专题04 函数的最大、最小值(教案)

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专题4 函数的最大、最小值（教案）

前言：

一般地，设函数()y f x =在0x 处的函数值是0()f x ，如果对于定义域内任意x ，不等式0()()f x f x ≥都成立，那么0()f x 叫做函数()y f x =的最小值，记作min 0()y f x =；如果对于定义域内任意x ，不等式0()()f x f x ≤都成立，那么0()f x 叫做函数()y f x =的最大值，记作max 0()y f x =。

一、专题知识

1. 基本公式

（1）二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠ 当0a >时，当2b x a =-时，2

min 44ac b y a

-=； 当0a <时，当2b x a =-时，2

max 44ac b y a

-=。

（2）若0,0a b >>，则2

a b ab +≥（当且仅当a b =时，等号成立） 当a b +为定值时，2max ()2a b ab +⎛⎫= ⎪⎝⎭

； 当ab 为定值时，min ()2a b ab +=。

2. 基本结论

一次函数12()(0)()f x kx b k x x x =+≠≤≤

当0k >时，min 1max 2()(),()()f x f x f x f x ==；

当0k <时，min 2max 1()(),()()f x f x f x f x ==。

二、例题分析

例题1 若0x >，求函数21y x x x

=-+

的最小值。 【解】将21y x x x =-+配方得， 2221(1)11(1)1y x x x x x x ⎛⎫=-++- ⎪⎝

⎭⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭

由于2(1)0x -≥（当且仅当1x =时，等号成立），

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10x x ⎛⎫-≥ ⎪⎝

⎭（当且仅当1x =时，等号成立） 所以当1x =时，函数21y x x x

=-+的最小值为1

例题 2 已知函数()1515f x x p x x p =-+-+--（其中15,015p x p ≤≤<<），求函数()f x 的最小值。

【解】由于015p x <≤≤， 所以,1515,1515x p x p x x x p p x -=--=---=+-， 于是()151530f x x p x x p x =-+-+--=-

所以min ()(15)15f x f ==。

例题3 若关于x 的方程22(2)(35)0()x k x k k k R --+++=∈的两个实数根分别为12,x x ，求2212x x +的最小值。

【解】 由题意得[]22(2)4(35)0k k k ∆=---++≥ 即2316160k k ++≤， 解得443

k -≤≤- 12212235

x x k x x k k +=-⎧⎨=++⎩ ， 设2212()f k x x =+，则

2222()(2)2(35)10619(5)f k k k k k k k =--++=---=-+

当4k =-时，max ()18f k =；当43k =-时，min 50()9

f k =。 所以，当4k =-时，2212max ()18x x +=；当43k =-时，2212min 50()9

x x +=。

例题4 求函数222321

x x y x x --=++的最大值、最小值。 【解】 将方程222321

x x y x x --=++变形为2(21)(22)(3)0y x y x y -++++=， 此方程可以看作为关于x 的方程，于是

（1）当12y =时，方程变为7302

x +=，此时方程有解。 （2）当12

y ≠时，实数x 存在，所以2(22)4(21)(3)0y y y ∆=+--+≥解得41y -≤≤

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哈佛北大精英创立 3 由（1）、（2）可得，41y -≤≤，当4y =-时，1

3

x =-；当1y =时，2x =-。 所以函数222321

x x y x x --=++的最大值为1、最小值为4-。

三、专题训练

专题练习

1. 已知b a >,且2=+b a ,求b

a b a -+2

2的最小值。

2. 求函数)

1(11)(x x x f --=的最大值。

3. 求函数31-+-=x x y 的最小值。

4. 求函数x x y 21--=的最大值。

5. 函数32)(2+-=x x x f 在区间[]a ,0上得最大值为3，最小值为2，求实数a 的取值范

围。

6. 求函数4)4(1)(22+-++=

x x x f 的最小值。

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7. 已知关于正整数n 的二次式an n y +=2（a 为实数），若当且仅当5=n 时，函数y 有最

小值，求实数a 的取值范围。

8. 求函数2

21012622++++=x x x x y 的最小值。

9. 设实数y ,x 满足方程x y x 43222=+，求y x +的最小值。

10. 函数12)(2+-=ax x x f 在区间[]1,1-上的最小值记为)(x g 。

（1）求)(x g 的解析式；

（2）求)(x g 的最大值。

专题作业

1.已知50≤≤x ，求函数34)(2+-=x x x f 。