高考数学总复习之三角函数(完整版)

三角函数总结及统练

一. 教学内容：

三角函数总结及统练

（一）基础知识

1. 与角α终边相同的角的集合},2{Z k k S ∈+==απβ

2. 三角函数的定义（六种）——三角函数是x 、y 、r 三个量的比值

3. 三角函数的符号——口诀：一正二弦，三切四余弦。

4. 三角函数线 正弦线MP=αsin 余弦线OM=αcos 正切线A T=αtan

5. 同角三角函数的关系

平方关系：商数关系：

倒数关系：1cot tan =⋅αα 1csc sin =⋅αα 1sec cos =⋅αα 口诀：凑一拆一；切割化弦；化异为同。

6. α

απ+k 2 α- απ- απ+

απ-2 α

π

-2 α

π

+2 正弦 αsin αsin - αsin αsin - αsin - αcos αcos 余弦 αcos αcos αcos - αcos - αcos αsin αsin - 正切

αtan αtan - αtan - αtan αtan - αcot αcot - 余切

αcot

αcot -

αcot -

αcot

αcot -

αtan

αtan -

7. 两角和与差的三角函数

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧

⋅+-=-⋅-+=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧⋅+⋅=-⋅-⋅=+⋅-⋅=-⋅+⋅=+βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(tan tan 1tan tan )tan(sin sin cos cos )cos(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(sin cos cos sin )sin(

8. 二倍角公式——代换：令αβ=

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧

-=

-=-=-=⋅=ααααααααααα22222tan 1tan 22tan sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin

降幂公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧+=-=22cos 1cos 22cos 1sin 22αααα

半角公式：

2cos 12

sin

αα

-±

=；2cos 12cos αα+±=；

αα

αcos 1cos 12tan +-±

= αα

ααα

cos 1sin sin cos 12

tan

+=

-=

9. 三角函数的图象和性质

函数

x y sin = x y cos = x y tan =

图象

定义域 R

R

⎭⎬⎫

⎩⎨

⎧∈+≠∈Z k k x R x x ,2|ππ且

值域 最值

]1,1[- ]1,1[-

R

无最大值

10. 函数)sin(ϕω+=x A y 的图象变换 0,0>>ωA

函数)sin(ϕω+=x A y 的图象可以通过下列两种方式得到：

（1）−−−−−−−−−→−+=−−−−→−=倍

横坐标缩短到原来的图象左移ωϕϕ1

)sin(sin x y x y

)sin(ϕω+=x y )sin(ϕω+=−−−−−−−−−→−x A y A 倍

纵坐标伸长为原来的

（2）−−−−→

−=−−−−−−−−−→−=ωϕ

ωω图象左移

倍

横坐标缩短到原来的)sin(sin 1

x y x y

)sin(ϕω+=x y )sin(ϕω+=−−−−−−−−−→−x A y A 倍

纵坐标伸长为原来的

（二）数学思想与基本解题方法

1. 式子变形原则：凑一拆一；切割化弦；化异为同。

2. 诱导公式原则：奇变偶不变，符号看象限。

3. 估用公式原则：一看角度，二看名称，三看特点。

4. 角的和与差的相对性

如：)(βαβ+=－α 角的倍角与半角的相对性

如：

42

2

,22αααα==

5. 升幂与降幂：升幂角减半，降幂角加倍。

6. 数形结合：心中有图，观图解题。

7. 等价转化的思想：将未知转化为已知，将复杂转化为简单，将高级转化为低级。 8. 换元的手段：通过换元实现转化的目的。

【典型例题】

1. 如：

a b

x b a x b x a y =

++=+=ϕϕtan ),sin(cos sin 22（化成一个角的一个三角函数）

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧

±=±=±=±=±=±=)6sin(2cos sin 3)3sin(2cos 3sin )4sin(2cos sin πππx x x y x x x y x x x y ；

[例1] 求下列函数的最大值和最小值及何时取到？

（1）

x x x x x f 2

2cos 3cos sin 2sin )(+⋅+= （2）

1cos sin sin )(2+⋅+=x x x x f 解：

（1）

)42sin(22π

+

+=x y ，22max +=y ，

)

(8

Z k k x ∈+

=π

π

)(83,22min Z k k x y ∈-

=-=π

π

（2）

)42sin(2223π-+=

x y ，223max +=y ，)(83Z k k x ∈+=π

π

223min -=

y ，)(8Z k k x ∈-=π

π

2.“1”的妙用——凑一拆一

熟悉下列三角式子的化简

)4sin(2cos sin cos sin 21π

ααααα+

=+=⋅+

)42sin(

22

cos

2

sin

2

cos

2

sin

21sin 1π

α

α

α

α

α

α-=-=⋅-=-

2sin

2cos 1α

α=-；

2cos

2cos 1α

α=+

[例2] 化简=++

-8cos 228sin 12 。

答案：4sin 2-