和10的n次方加减1有关的速算法及其证明。
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和n
10±1有关的速算法及其证明
1、加减法中和n 10±1有关的速算法。
例1：287+1001=287+（310+1）=287+310+1=1287+1=1288
287+999=287+（310-1）=287+310-1=1287-1=1286
法则： 当有一个加数是n 10±1时，先用另一个加数加上n 10，再加上1或者减去1。口诀是：先加整，再看零；少加1要加上1，多加1要减去1。
例2：3596-1001=3596-（310+1）=3596-310-1=2596-1=2595
3596-999=3596-（310-1）=3596-310+1=2596+1=2597
法则： 当减数是n 10±1时，先减去n 10，再减去1或者加上1。口诀是：先减整，再看零；少减1要减去1，多减1要加上1。
2、乘除法中和n 10±1有关的速算法。
例3：429⨯999=429⨯（310-1）=429⨯310-429⨯1=429000-429=428571
53⨯99=53⨯（210-1）=53⨯210-53⨯1=5300-53=5247
法则：当有一个因数是n 10-1时，用另一个因数减去1作积的前半部分，用n 10减去积的前半部分作积的后半部分。
这是另一个因数是n 位数时的速算法。其实当另一个因数的位数少于n 位时速算方法也相同，但是当另一个因数的位数多于n 位时，速算方法稍有不同。
例4：4167⨯99=4167⨯（210-1）=4167⨯210-4167⨯1=416700-4167=412533
2673⨯9=2673⨯（110-1）=2673⨯110-2673⨯1=26730-2673=24057
法则：当另一个因数的位数多于n 位时，先用这个因数从个位起的n 位减去1的差作减数，用n 10作被减数，差作积的后半部分，再用这个因数减去它从最高位起多于n 位的部分，再减去1作积的前半部分。
法则虽然啰嗦难记，但是运用起来并不复杂，速度还是要比笔算快许多。
例5：429⨯1001=429⨯（310+1）=429⨯310+429⨯1=429000+429=429429
53⨯101=53⨯（210+1）=53⨯210+53⨯1=5300+53=5353
法则：当有一个因数是n 10+1时，把另一个因数连写两遍就得到积。
这是另一个因数是n 位数时的速算法。当另一个因数的位数少于n 位时，这个因数少几位就在写第二遍时先写几个0就行了。但是当另一个因数的位数多于n 位时，速算方法稍有不同。 例6：：4167⨯101=4167⨯（210+1）=4167⨯2
10+4167⨯1=416700+4167=420867 2673⨯1001=2673⨯（310+1）=2673⨯310+2673⨯1=2673000+2673=2675673
法则：当另一个因数的位数多于n 位时，把这个因数错开n 位写两遍再求和就行了。
当n 10-1作除数时，除非被除数是n 10-1的整数倍，一般情况下，商是纯循环小数，循环节有n 位。当被除数是n 位时，被除数就是循环节；当被除数少于n 位时，在被除数前用0补够n 位就是循环节；当被除数多于n 位时，商是带小数，是以上两种情况的综合。 例7：429÷1001=0.428571（428571是循环节）
53÷101=0.5247（5247是循环节）
和例3对比可以发现：除数是n 10+1时商的循环节正好是因数是n 10-1时的积。条件是被除数和另一个因数相同且是n 位数。
证明如下：若A 是n 位数，则有 A ÷（n
10+1）=110+n A =)110)(110()110(-+-n n n A =110)110(2--n n A 。分母n 210-1是由2n 个9组成的，这说明A ÷（n 10+1）的商是纯循环小数，循环节是)110(-n A 。问题得证。
二〇一五年三月三日