课时分层作业40 公式五和公式六
2018年秋高中数学 课时分层作业7 公式五和公式六 新人教A版必修4
课时分层作业(七) 公式五和公式六(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α等于( )【导学号：84352067】A ．－12B ．12C ．32D ．－32A [∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－12，∴sin α＝12.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫7π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α ＝－sin α＝－12.]2．已知sin 10°＝k ，则cos 620°的值为( ) A ．k B ．－k C ．±kD ．不确定B [cos 620°＝cos(360°＋260°)＝cos 260° ＝cos(270°－10°)＝－sin 10°＝－k .]3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α等于( ) A ．－13B ．13 C ．223D ．－223A [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13.故选A.]4．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是( )【导学号：84352068】A ．－2a 3B ．－3a 2C ．2a 3D ．3a 2B [由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ， 得－sin α－sin α＝－a ，即sin α＝a2，cos(270°－α)＋2sin(360°－α) ＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32a .]5．化简：sin θ－5πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－θcos 8π－θsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－3π2sin －θ－4π＝( )A ．－sin θB ．sin θC ．cos θD ．－cos θA [原式＝sin θ－πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θcos θcos θsin －θ＝－sin θ－sin θcos θcos θ－sin θ＝－sin θ.]二、填空题6．化简sin(π＋α)cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos(π＋α)＝________.【导学号：84352069】－1 [原式＝(－sin α)·sin α＋cos α·(－cos α) ＝－sin 2α－cos 2α＝－1.]7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝32，且|φ|＜π2，则tan φ＝________.－ 3 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝－sin φ＝32，sin φ＝－32， 又∵|φ|＜π2，∴cos φ＝12，故tan φ＝－ 3.]8．已知α是第四象限角，且cos(5°＋α)＝45，则cos(α－85°)＝________.【导学号：84352070】－35 [因为α是第四象限角，且cos(5°＋α)＝45＞0，所以5°＋α是第四象限角， 所以sin(5°＋α)＝－1－cos25°＋α＝－35，所以cos(α－85°)＝cos(5°＋α－90°) ＝sin(5°＋α)＝－35.]三、解答题9．已知角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35.(1)求sin α的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αtan α－πsin α＋πcos 3π－α的值.【导学号：84352071】[解] (1)因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35，所以|OP |＝1，sin α＝－35.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－αtan α－πsin α＋πcos 3π－α＝cos αtan α－sin α－cos α＝1cos α，由三角函数定义知cos α＝45，故所求式子的值为54.10．求证：2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π2－11－2sin 2θ＝tan 9π＋θ＋1tan π＋θ－1. [证明] 左边＝－2cos θ·sin θ－1sin 2θ＋cos 2θ－2sin 2θ ＝－sin θ＋cos θ2cos θ＋sin θcos θ－sin θ＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ，右边＝tan·8π＋π＋θ＋1tan π＋θ－1＝tan π＋θ＋1tan π＋θ－1＝tan θ＋1tan θ－1＝sin θcos θ＋1sin θcos θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ， 所以等式成立．[冲A 挑战练]1．若f (cos x )＝cos 2x ，则f (sin 15°)的值为( ) A ．－32B ．32C ．－12D ．12A [因为f (sin 15°)＝f (cos 75°)＝cos 150°＝－32.] 2．计算sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°＝( ) A ．89 B ．90 C ．892D ．45C [原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋…＋(sin 244°＋sin 246°)＋sin 245°＝44＋12＝892.]3．已知sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－θ＝________. 【导学号：84352072】310 [∵sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2, sin θ＝3cos θ， ∴tan θ＝3.sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－θ＝sin θcos θ＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ ＝tan θtan 2θ＋1＝310.] 4．已知锐角α终边上一点P 的坐标是(2sin 2，－2cos 2)，则α等于_______．2－π2 [cos α＝2sin 22sin 22＋－2cos 22＝sin 2，∵α为锐角，∴α＝2－π2.]5．已知f (α)＝tan π－αcos 2π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos －α－π.(1)化简f (α)；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－35，且α是第二象限角，求tan α. 【导学号：84352073】 [解] (1)f (α)＝tan π－αcos 2π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos －α－π＝－tan α·cos α·cos α－cos α＝sin α.(2)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝－35，得cos α＝－35，又α是第二象限角，所以sin α＝1－cos 2α＝45，则tan α＝sin αcos α＝－43.。
2019_2020学年高中数学课时分层作业13数轴上的基本公式(含解析)新人教B版必修2
课时分层作业(十三) 数轴上的基本公式(建议用时：40分钟)[合格基础练]一、选择题1．给出以下几个命题，其中正确命题的个数是( )①数轴上起点相同的向量方向相同；②数轴上相等的向量，若起点不同，则终点一定不同；③数轴上不相等的向量，终点一定不相同；④零向量没有方向．A ．1B ．2C ．3D ．4A [起点相同的向量，它的终点位置不定，所以方向不一定相同，故①错；相等的向量，若起点不同，则终点一定不同，故②对；向量的相等与起点、终点无关，因此不相等的向量，终点完全可以相同，故③错；零向量是方向不确定的向量，不是没有方向，若没有方向，则它就不是向量了，故④错．综上，正确的只有②.]2．在数轴上M 、N 、P 的坐标分别是3、－1、－5，则MP －PN 等于( )A ．－4B ．4C ．－12D ．12C [MP ＝(－5)－3＝－8，PN ＝(－1)－(－5)＝4，MP －PN ＝－8－4＝－12.]3．若A ，B ，C ，D 是数轴上的四个点，且BA ＝6，BC ＝－2，CD ＝6，则AD ＝( )A ．0B ．－2C ．10D ．－10B [由题意知AD ＝AB ＋BC ＋CD＝－BA ＋BC ＋CD ＝－6－2＋6＝－2，故选B.]4．数轴上向量AB →的坐标为－8，且B (－5)，则点A 的坐标为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 C [由AB ＝x B －x A ，得－5－x A ＝－8，解得x A ＝3.]5．对于数轴上任意三点A ，B ，O ，如下关于线段的数量关系不恒成立的是( )A ．AB ＝OB －OAB ．AO ＋OB ＋BA ＝0C ．AB ＝AO ＋OBD ．AB ＋AO ＋BO ＝0D [由有向线段数量关系的运算知：AB ＝OB －OA ，AB ＝AO ＋OB ，AO ＋OB ＋BA ＝AB ＋BA ＝0，所以A 、B 、C 都恒成立，而对于D ，AB ＋AO ＋BO ＝OB －OA ＋AO ＋BO ＝2AO ，故选D.]二、填空题6．若在直线坐标系中，有两点A (5)，B (－2)，且AB ＋CB ＝0，则C 点的坐标为________． －9 [设C 点的坐标为x ，则－2－5＋(－2－x )＝0，解得x ＝－9.]7．在数轴上从点A (－3)引一线段到B (4)，再延长同样的长度到C ，则点C 的坐标为________．11 [∵d (A ，B )＝4－(－3)＝7＝d (B ，C )＝x －4，∴x ＝11.]8．已知点A (2x )，B (x 2)，且点A 在点B 右侧，则x 的取值范围是________．(0,2) [∵A 在B 点的右侧，∴2x >x 2，即x 2－2x <0，∴0<x <2.]三、解答题9．已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|，若关于x 的不等式f (x )≥k 有解，求k 的最大值．[解] |x －2|表示x 与2的距离，|x －5|表示x 与5的距离， f (x )＝|x －2|－|x －5|表示x 与两点2和5的距离之差．当x ≤2时，f (x )为－3；当2<x <5时，f (x )的范围为(－3,3)；当x ≥5时，f (x )为3，∴－3≤|x －2|－|x －5|≤3.要使不等式f (x )≥k 有解，则k ≤3，∴k max ＝3.10．已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3.(1)求向量OA →、AB →的数量；(2)求所有满足条件的点B 到原点O 的距离之和．[解] (1)∵A 与原点的距离为3，∴A (3)或A (－3)．当A (3)时，∵A 、B 距离为1，∴B (2)或B (4)，这时OA →的数量为3，AB →的数量为－1或1，当A (－3)时，∵A 、B 距离为1，所以B (－4)或B (－2)，此时OA →的数量为－3，AB →的数量为－1或1.(2)满足条件的所有点B 到原点的距离和为2＋4＋4＋2＝12.[等级过关练]1．三个不相等的实数a ，b ，c 在数轴上分别对应点A ，B ，C ，如果|a －b |＋|b －c |＝|a －c |，则点B 在点( )A ．A ，C 的右边B ．A ，C 的左边C ．A ，C 之间D ．A 或C 上C [①若点B 在A ，C 右边，则b >a ，b >c ，则有|a －b |＋|b －c |＝b －a ＋b －c ＝2b －(a ＋c )，不一定等于|a －c |；②若点B 在A ，C 左边，则b <a ，b <c 所以|a －b |＋|b －c |＝a －b ＋c －b ＝(a ＋c )－2b 也不一定与|a －c |相等；③若点B 在点A ，C 之间，则a <b <c 或c <b <a ，则有|a －b |＋|b －c |＝|a －b ＋b －c |＝|a －c |；④∵a ，b ，c 不相等，故点B 不可能在点A ，C 上．]2．设数轴上三点A ，B ，C ，点B 在A ，C 之间，则下列等式不成立的有________(填序号)． ①|AB →－CB →|＝|AB →|－|CB →|；②|AB →＋CB →|＝|AB →|＋|CB →|；③|AB →－CB →|＝|AB →|＋|CB →|；④|AB →＋CB →|＝|AB →－CB →|.①②④ [∵|AB →－CB →|＝|AB →＋BC →|＝|AC →|，而AB ＋BC ＝AC ，所以③正确．其余均错．]。
2020学年高中数学课时分层作业6三角形中的几何计算(含解析)新人教A版必修5(最新整理)
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课时分层作业(六) 三角形中的几何计算(建议用时：60分钟）[基础达标练]一、选择题1．已知锐角△ABC的面积为3错误!，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为（）A．60°或120°B．120°C．60°D．30°C［S△ABC＝错误!·BC·CA·sin C＝3错误!，∴sin C＝错误!，∵C∈（0°，90°）,∴C＝60°.]2．在△ABC中,三边a，b，c与面积S的关系式为a2＋4S＝b2＋c2,则角A为( ）A．45°B．60°C．120°D．150°A[4S＝b2＋c2－a2＝2bc cos A，∴4·错误!bc sin A＝2bc cos A，∴tan A＝1,又∵A∈(0°,180°），∴A＝45°.]3．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为( )A．40错误!B．20错误!C．40错误!D．20错误!A[设另两边长为8x，5x，则cos 60°＝64x2＋25x2－14280x2＝错误!，解得x＝2.两边长是16与10,三角形的面积是12×16×10×sin 60°＝40错误!。
2020-2021学年人教A版数学必修4课时分层作业：1.3.1公式二、公式三和公式四
课时分层作业(六)(建议用时：45分钟)一、选择题1．已知sin(π＋θ)＝45，则角θ的终边在()A．第一或第二象限B．第二或第三象限C．第一或第四象限D．第三或第四象限D[sin(π＋θ)＝－sin θ＝45，∴sin θ＝－45＜0，所以θ为第三或第四象限角．]2．sin2(2π－α)＋c os(π＋α)cos(π－α)＋1的值是()A．1B．2C．0D．－1B[原式＝sin2α＋(－cos α)·(－cos α)＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝1＋1＝2.]3．已知600°角的终边上有一点P(a，－3)，则a的值为() A. 3 B．－ 3C.33D．－33B[由题意得tan 600°＝－3 a，又因为tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan 240°＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝3，所以－3a＝3，所以a＝－ 3.]4．已知点(－4,3)是角α终边上的一点，则sin(π－α)＝()A.35B．－35C．－45 D.45A [x ＝－4，y ＝3，∴r ＝(－4)2＋32＝5，∴sin(π－α)＝sin α＝y r ＝35.故选A.] 5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－α的值为( )A.12 B ．－12 C.32D ．－32C [sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32.]二、填空题6．求值：(1)cos 29π6＝ ；(2)tan(－855°)＝ . (1)－32 (2)1 [(1)cos 29π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋5π6＝cos 5π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32.(2)tan(－855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝1.]7．已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝ . 1213 [由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α)＝cos(148°－α)＝1213，所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°) ＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝1213.] 8．已知sin(α＋π)＝45，且sin αcos α＜0， 则2sin (α－π)＋3tan (3π－α)4cos (α－3π)＝ .－73 [因为sin(α＋π)＝－sin α＝45， 且sin αcos α＜0，所以sin α＝－45，cos α＝35，tan α＝－43， 所以2sin (α－π)＋3tan (3π－α)4cos (α－3π)＝－2sin α－3tan α－4cos α＝85＋4－4×35＝－73.]三、解答题 9．化简下列各式： (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－193πcos 76π；(2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°)． [解] (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－193πcos 76π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π6＝sin π3cos π6＝34. (2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°) ＝－sin(180°＋60°＋2×360°)cos(30°＋4×360°)＋ cos(180°＋60°)sin(180°＋30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝1. 10．已知f (α)＝sin (π＋α)cos (2π－α)tan (－α)tan (－π－α)sin (－π－α).(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－31π3，求f (α)的值． [解] (1)f (α)＝－sin αcos α(－tan α)(－tan α)sin α＝－cos α.(2)∵sin(α－π)＝－sin α＝15，∴sin α＝－15. 又α是第三象限角，∴cos α＝－265，∴f (α)＝265. (3)∵－31π3＝－6×2π＋5π3， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos5π3＝－cos π3＝－12.1．已知a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6，b ＝cos 23π4，c ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33π4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．b ＞c ＞aD ．c ＞a ＞bB [a ＝－tan 7π6＝－tan π6＝－33， b ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π－π4＝cos π4＝22，c ＝－sin 33π4＝－sin π4＝－22， ∴b ＞a ＞c .]2．(2019·西湖区校级模拟)在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点与原点重合，始边为x 轴的非负半轴，点P (－1,2)在其终边上，则sin α＝ ，cos(π－α)＝ .255 55 [角α的顶点与原点重合，始边为x 轴的非负半轴，点P (－1,2)在其终边上，则sin α＝2(－1)2＋22＝255，cos(π－α)＝－cos α＝－－1(－1)2＋22＝55.]莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
2019_2020学年高中数学课时分层作业5三角形中的几何计算(含解析)新人教B版必修5
课时分层作业(五) 三角形中的几何计算(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．在△ABC 中，∠A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则∠A 的对边的长为( ) A ．57 B ．37 C ．21D ．13D [∵S △ABC ＝12bc sin A ＝3，∠A ＝60°，b ＝1∴c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cosA ＝13.∴a ＝13.]2．已知△ABC 的内角∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，若满足sin B －sin A sin B －sin C ＝ca ＋b ，则∠A ＝( )A ．π6B ．π3C ．2π3D ．π3或2π3B [由sin B －sin A sin B －sinC ＝c a ＋b ，结合正弦定理，得b －a b －c ＝c a ＋b，整理得b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，由∠A 为三角形的内角，知∠A ＝π3.]3．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，∠B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A ．32 B ．332C ．3＋62D ．3＋394B [作图，AD ⊥BC 于D ．在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，代入数值得AB ＝3.在Rt △ABD 中，AD ＝AB sin 60°＝332.]4．在△ABC 中，内角∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是a ，b ，C ．若c 2＝(a －b )2＋6，∠C ＝π3，则△ABC 的面积是( ) A ．3B ．932C ．332D ．3 3C [由题意得，c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6，又由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－aB ．∴－2ab ＋6＝－ab ，即ab ＝6， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝332.]5．已知在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( ) A ．32 B ．34 C ．32或 3 D ．34或32D [AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，得BC ＝1或BC ＝2，当BC ＝1时，△ABC 的面积S ＝12AB ·BC sin B ＝12×3×1×12＝34；当BC ＝2时，△ABC 的面积S ＝12AB ·BC sin B ＝12×3×2×12＝32.] 二、填空题6．在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cos C ＝13，则△ABC 的面积为________．4 3 [∵cos C ＝13，0<∠C <π，∴sin C ＝223，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×32×23×223＝4 3.]7．有一三角形的两边长分别为3 cm,5 cm ，其夹角α的余弦值是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是________cm 2.6 [解方程5x 2－7x －6＝0，得x ＝2或x ＝－35，∵|cos α|≤1，∴cos α＝－35，sin α＝45.故S ＝12×3×5×45＝6(cm 2)．]8．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，已知∠B ＋∠C ＝2π3，a ＝3，b＝1，则S △ABC 等于________．32 [因为∠B ＋∠C ＝23π，所以∠A ＝π－23π＝π3， 由a sin A ＝bsin B，得3sinπ3＝1sin B ，则sin B ＝12， 因为a >b ，所以∠A >∠B ，则∠B ＝π6，所以∠C ＝π2，所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×3×1×1＝32.]三、解答题9．在△ABC 中，求证：a －c cos Bb －c cos A ＝sin Bsin A.[证明] 法一：左边＝a －c (a 2＋c 2－b 2)2acb －c (b 2＋c 2－a 2)2bc ＝a 2－c 2＋b 22a ·2b b 2－c 2＋a 2＝b a ＝2R sin B 2R sin A ＝sin B sin A＝右边， (其中R 为△ABC 外接圆的半径) ∴a －c cos Bb －c cos A ＝sin Bsin A.法二：左边＝sin A －sin C cos Bsin B －sin C cos A＝sin (B ＋C )－sin C ·cos Bsin (A ＋C )－sin C ·cos A＝sin B cos C sin A cos C ＝sin Bsin A＝右边(cos C ≠0)，∴a －c cos Bb －c cos A ＝sin Bsin A.10．在△ABC 中，内角∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2C2，BC 边上的中线AM 的长为7.(1)求∠A 和∠B 的大小； (2)求△ABC 的面积．[解] (1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，得a 2－b 2－c 2＝－3bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32，又0<∠A <π，∴∠A ＝π6.由sin A sin B ＝cos 2C 2，得12sin B ＝1＋cos C 2，即sin B ＝1＋cos C ，则cos C <0，即∠C 为钝角，∴∠B 为锐角，且∠B ＋∠C ＝5π6，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－C ＝1＋cos C ，化简得cos ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝－1，得∠C ＝2π3，∴∠B ＝π6.(2)由(1)知a ＝b ，则AM 2＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－2b ×a 2×co s C ＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2，得b ＝2，故S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×32＝ 3.[能力提升练]1．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，a ＝8，b ＝83，则△ABC 的面积为( ) A ．32 3 B ．16C ．323或16D ．323或16 3D [在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin A a ＝83×128＝32，又b >a ，∴∠B ＝60°或120°.当∠B ＝60°时，∠C ＝180°－30°－60°＝90°， ∴S △ABC ＝12×8×83＝323；当∠B ＝120°时，∠C ＝180°－30°－120°＝30°， ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×8×83×12＝16 3.]2．△ABC 的周长为20，面积为103，∠A ＝60°，则BC 的边长等于( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．8C [如图，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝20，12bc sin 60°＝103，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos 60°，则bc ＝40，a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ＝(20－a)2－3×40，∴a ＝7.]3．在△ABC 中，ab ＝60，S △ABC ＝153，△ABC 的外接圆半径为3，则边c 的长为________． 3 [S △ABC ＝12ab sin C ＝153，∴sin C ＝32.由正弦定理csin C＝2R ，∴c ＝2R ×sin C ＝3.] 4．已知△ABC 的面积为32，a ＋c ＝210，cos B ＝－13，则b 的值为________．27 [在△ABC 中，由cos B ＝－13可得sin B ＝223，根据面积为32得，12ac sin B ＝32得ac ＝9，由余弦定理得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B＝40－18＋6＝28，则b ＝27.]5．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，C ．已知3cos(B －C )－1＝6cos B cosC ．(1)求cos A ；(2)若a ＝3，△ABC 的面积为22，求b ，C ． [解] (1)由3cos(B －C )－1＝6cos B cos C ， 得3(cos B cos C －sin B sin C )＝－1， 即cos(B ＋C )＝－13，从而cos A ＝－cos (B ＋C )＝13.(2)由于0<∠A <π，cos A ＝13，所以sin A ＝223.又S △ABC ＝22，即12bc sin A ＝22，解得bc ＝6.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b2＋c 2＝13，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧bc ＝6，b 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3，c ＝2.。
2021_2022学年高中数学课时分层作业5综合法及其应用(含解析)新人教B版选修1_2
课时分层作业(五)(建议用时：40分钟)[根底达标练]一、选择题1．a ，b 为非零实数，那么使不等式：a b ＋b a≤－2成立的一个充分不必要条件是( ) A ．a ·b >0 B ．a ·b <0C ．a >0，b <0D ．a >0，b >0[解析] ∵a b ＋b a ≤－2，∴a 2＋b 2ab ≤－2.∵a 2＋b 2>0，∴ab <0，那么a ，b 异号，应选C.[答案] C2．平面内有四边形ABCD 和点O ，OA →＋OC →＝OB →＋OD →，那么四边形ABCD 为() A ．菱形 B ．梯形C ．矩形D ．平行四边形[解析] ∵OA →＋OC →＝OB →＋OD →，∴OA →－OB →＝OD →－OC →，∴BA →＝CD →，∴四边形ABCD 为平行四边形．[答案] D3．假设实数a ，b 满足0<a <b ，且a ＋b ＝1，那么以下四个数中最大的是() A.12 B ．a 2＋b 2C ．2abD ．a[解析] ∵a ＋b ＝1，a ＋b >2ab ，∴2ab <12.而a 2＋b 2>(a ＋b )22＝12，又∵0<a <b ，且a ＋b ＝1，∴a <12，∴a 2＋b 2最大，应选B.[答案] B4．A ，B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 假设A >B ，那么a >b ，又a sin A ＝bsin B ，∴sin A >sin B ； 假设sin A >sin B ，那么由正弦定理得a >b ，∴A >B .[答案] C5．假设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，那么以下命题中的真命题是( )A ．假设m ⊂β，α⊥β，那么m ⊥αB ．假设α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，m ∥n ，那么α∥βC ．假设m ⊥β，m ∥α，那么α⊥βD ．假设α⊥γ，α⊥β，那么β⊥γ[解析] 对于A ，m 与α不一定垂直，所以A 不正确；对于B ，α与β可以为相交平面；对于C ，由面面垂直的判定定理可判断α⊥β；对于D ，β与γ不一定垂直．[答案] C二、填空题6．设e 1，e 2是两个不共线的向量，AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，假设A ，B ，C 三点共线，那么k ＝________.[解析] 假设A ，B ，C 三点共线，那么AB →＝λCB →，即2e 1＋k e 2＝λ(e 1＋3e 2)＝λe 1＋3λe 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，3λ＝k ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，k ＝6. [答案] 6 7．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，那么a ，b ，c 的大小关系为________． [解析] ∵a 2－c 2＝2－(8－43)＝48－36>0，∴a >c ，又∵c b ＝6－27－3＝7＋36＋2>1，∴c >b ，∴a >c >b .[答案] a >c >b8．三个不等式：①ab >0；②c a >d b ；③bc >ad .以其中两个作为条件，余下一个作为结论，那么可能组成________个正确的命题．[解析] 对不等式②作等价变形：c a >d b ⇔bc －ad ab >0.于是，假设ab >0，bc >ad ，那么bc －ad ab >0，故①③⇒②.假设ab >0，bc －ad ab >0，那么bc >ad ，故①②⇒③.假设bc >ad ，bc －ad ab>0，那么ab >0，故②③⇒①.因此可组成3个正确的命题．[答案] 3三、解答题9．如图，四棱锥P ABCD 的底面是平行四边形，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，求证：AF ∥平面PEC .[证明] ∵四棱锥P ABCD 的底面是平行四边形，∴AB CD .又∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点，∴CF AE .∴四边形AECF 为平行四边形．∴AF ∥EC .又AF 平面PEC ，EC ⊂平面PEC ，∴AF ∥平面PEC .10．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 也成等差数列．求证：△ABC 为等边三角形．[证明] 由A ，B ，C 成等差数列知，B ＝π3，由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－ac ， 又a ，b ，c 也成等差数列，∴b ＝a ＋c 2， 代入上式得(a ＋c )24＝a 2＋c 2－ac ， 整理得3(a －c )2＝0，∴a ＝c ，从而A ＝C ，而B ＝π3，那么A ＝B ＝C ＝π3，从而△ABC 为等边三角形．[能力提升练]1．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，假设a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，那么1x ＋1y的最大值为( ) A ．2 B.32 C ．1 D.12[解析] ∵a x ＝b y ＝3，x ＝log a 3，y ＝log b 3，∴1x ＋1y ＝log 3(ab )≤log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1.应选C. [答案] C2．在△ABC 中，tan A ·tan B >1，那么△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定 [解析] 因为tan A ·tan B >1，所以角A ，角B 只能都是锐角，所以tan A >0，tan B >0,1－tan A ·tan B <0，所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A ·tan B<0. 所以A ＋B 是钝角，即角C 为锐角．[答案] A3．假设0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，那么a ＋b,2ab ，a 2＋b 2,2ab 中最大的是________．[解析] 由0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，得a ＋b ≥2ab ，a 2＋b 2≥2ab .又a >a 2，b >b 2，知a ＋b >a 2＋b 2，从而a ＋b 最大．[答案] a ＋b4．如下图，M 是抛物线y 2＝x 上的一点，动弦ME ，MF 分别交x 轴于A ，B 两点，且MA ＝MB .假设M 为定点，求证：直线EF 的斜率为定值．[证明] 设M (y 20，y 0)，直线ME 的斜率为k (k >0)，∵MA ＝MB ，∴∠MAB ＝∠MBA ，∴直线MF 的斜率为－k ，∴直线ME 的方程为y －y 0＝k (x －y 20)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y －y 0＝k (x －y 20)，y 2＝x ，消去x 得ky 2－y ＋y 0(1－ky 0)＝0.解得y E ＝1－ky 0k ，∴x E ＝(1－ky 0)2k 2. 同理可得y F ＝1＋ky 0－k ，∴x F ＝(1＋ky 0)2k 2. ∴k EF ＝y E －y F x E －x F ＝1－ky 0k －1＋ky 0－k (1－ky 0)2k 2－(1＋ky 0)2k 2 ＝－12y 0(定值)． ∴直线EF 的斜率为定值．。
2018年秋高中数学 课时分层作业5 综合法和分析法 新人教A版选修1-2
课时分层作业(五) 综合法和分析法(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．证明命题“f(x)＝e x＋1e x在(0，＋∞)上是增函数”，一个同学给出的证法如下：∵f(x)＝e x＋1e x ，∴f′(x)＝e x－1e x.∵x>0，∴e x>1,0<1e x <1 ∴e x－1e x>0，即f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．他使用的证明方法是( )A．综合法B．分析法C．反证法D．以上都不是A[该证明方法符合综合法的定义，应为综合法．故选A.]2．设P＝2，Q＝7－3，R＝6－2，那么P，Q，R的大小关系是( )【导学号：48662076】A．P＞Q＞R B．P＞R＞QC．Q＞P＞R D．Q＞R＞PB[先比较R，Q的大小，可对R，Q作差，即Q－R＝7－3－(6－2)＝(7＋2)－(3＋6)．又(7＋2)2－(3＋6)2＝214－218＜0，∴Q＜R，由排除法可知，选B.]3．要证3a－3b＜3a－b成立，a，b应满足的条件是( )A．ab＜0且a＞bB．ab＞0且a＞bC．ab＜0有a＜bD．ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜bD[要证3a－3b<3a－b，只需证(3a－3b)3<(3a－b)3，即证a－b－33a2b＋33ab2<a－b，即证3ab 2<3a 2b ，只需证ab 2<a 2b ，即证ab (b －a )<0.只需ab >0且b －a <0或ab <0，且b －a >0.故选D.] 4．下面的四个不等式：①a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ；②a (1－a )≤14；③b a ＋a b≥2；④(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2. 其中恒成立的有( )【导学号：48662077】A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个C [∵(a 2＋b 2＋c 2)－(ab ＋bc ＋ac )＝12[(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2]≥0a (1－a )－14＝－a 2＋a －14＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122≤0，(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2.∴应选C.] 5．若两个正实数x 、y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞)B [∵x >0，y >0，1x ＋4y＝1，∴x ＋y 4＝(x ＋y 4)(1x ＋4y )＝2＋y 4x ＋4x y≥2＋2y 4x ·4xy＝4， 等号在y ＝4x ，即x ＝2，y ＝8时成立， ∴x ＋y4的最小值为4，要使不等式m 2－3m >x ＋y4有解，应有m 2－3m >4，∴m <－1或m >4，故选B.] 二、填空题6．如图222所示，四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD ⊥A 1C (写上一个条件即可)．图222AC ⊥BD (答案不唯一) [要证BD ⊥A 1C ，只需证BD ⊥平面AA 1C .因为AA 1⊥BD ，只要再添加条件AC ⊥BD ， 即可证明BD ⊥平面AA 1C ，从而有BD ⊥A 1C .]7．已知sin α＋sin β＋sin r ＝0，cos α＋cos β＋cos r ＝0，则cos(α－β)的值为________.【导学号：48662078】－12 [由sin α＋sin β＋sin r ＝0，cos α＋cos β＋cos r ＝0，得sin α＋sin β＝－sin r ，cos α＋cos β＝－cos r ，两式分别平方，相加得2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1，所以cos (α－β)＝－12.]8．设a >0，b >0，则下面两式的大小关系为lg(1＋ab )________12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．≤ [∵(1＋ab )2－(1＋a )(1＋b ) ＝1＋2ab ＋ab －1－a －b －ab ＝2ab －(a ＋b )＝－(a －b )2≤0.∴(1＋ab )2≤(1＋a )(1＋b )，∴lg(1＋ab )≤12[lg(1＋a )＋lg(1＋b )]．]三、解答题9．设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，求证：a x ＋c y＝2.【导学号：48662079】[证明] 由已知条件得b 2＝ac ， 2x ＝a ＋b,2y ＝b ＋c .①要证a x ＋c y＝2，只要证ay ＋cx ＝2xy ，只要证2ay ＋2cx ＝4xy . ②由①②得2ay ＋2cx ＝a (b ＋c )＋c (a ＋b )＝ab ＋2ac ＋bc ， 4xy ＝(a ＋b )(b ＋c )＝ab ＋b 2＋ac ＋bc ＝ab ＋2ac ＋bc ， 所以2ay ＋2cx ＝4xy .命题得证． 10. 设a ＞0，b ＞0,2c ＞a ＋b ，求证： (1)c 2＞ab ；(2)c －c 2－ab ＜a ＜c ＋c 2－ab .[证明] (1)∵a ＞0，b ＞0,2c ＞a ＋b ≥2ab ， ∴c ＞ab ， 平方得c 2＞ab ；(2)要证c －c 2－ab ＜a ＜c ＋c 2－ab . 只要证－c 2－ab ＜a －c ＜c 2－ab . 即证|a －c |＜c 2－ab ， 即(a －c )2＜c 2－ab ，∵(a －c )2－c 2＋ab ＝a (a ＋b －2c )＜0成立， ∴原不等式成立．[能力提升练]1．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，a 、b ∈R ＋，A ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，B ＝f (ab )，C ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b ，则A 、B 、C 的大小关系为( )A ．A ≤B ≤C B ．A ≤C ≤B C ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤AA [a ＋b2≥ab ≥2ab a ＋b ，又函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≤f (ab )≤f ⎝⎛⎭⎪⎫2ab a ＋b .即A ≤B ≤C .] 2．若a ，b ，c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2＋b 2＋c 2≥2 B ．(a ＋b ＋c )2≥3 C ．1a ＋1b ＋1c≥2 3D ．abc (a ＋b ＋c )≤13B [∵a ，b ，c ∈R ，∴a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，a 2＋c 2≥2ac ，∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ＝1，又(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac＝a 2＋b 2＋c 2＋2≥3.] 3. 若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________.【导学号：48662080】⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞ [若对任意x >0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求y ＝x x 2＋3x ＋1的最大值，且令a 不小于这个最大值即可．因为x >0，所以y ＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12x ·1x＋3＝15，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞.] 4．已知x 1是方程x ＋2x＝4的根，x 2是方程x ＋log 2x ＝4的根，则x 1＋x 2的值是________． 4 [∵x ＋2x＝4，∴2x＝4－x ，∴x 1是y ＝2x与y ＝4－x 交点的横坐标． 又∵x ＋log 2x ＝4，∴log 2x ＝4－x ，∴x 2是y ＝log 2x 与y ＝4－x 交点的横坐标． 又y ＝2x与y ＝log 2x互为反函数，其图象关于y ＝x 对称，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4－x ，y ＝x 得x ＝2，∴x 1＋x 22＝2，∴x 1＋x 2＝4.]5．求证抛物线y 2＝2px (p ＞0)，以过焦点的弦为直径的圆必与x ＝－p2相切.【导学号：48662081】[证明] 如图，作AA ′、BB ′垂直准线，取AB 的中点M ，作MM ′垂直准线．要证明以AB 为直径的圆与准线相切，只需证|MM ′|＝12|AB |，由抛物线的定义：|AA ′|＝|AF |，|BB ′|＝|BF |， 所以|AB |＝|AA ′|＋|BB ′|，因此只需证|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)根据梯形的中位线定理可知上式是成立的． 所以以过焦点的弦为直径的圆必与x ＝－p2相切.。
2020-2021学年高中数学 课时分层作业6 等比数列的概念及其通项公式 北师大版必修5
课时分层作业（六) 等比数列的概念及其通项公式(建议用时：60分钟)一、选择题1．在等比数列{a n｝中，满足2a4＝a6－a5,则公比是( )A．1 B．1或－2C．－1或2 D．－1或－2C［法一:由已知得2a1·q3＝a1·q5－a1·q4,即2＝q2－q，∴q＝－1或q ＝2．法二：∵a5＝a4·q，a6＝a4·q2，∴由已知条件得2a4＝a4·q2－a4·q，即2＝q2－q，∴q＝－1或q＝2．]2．下列数列为等比数列的是( ）A．2,22，222，…B．错误!,错误!，错误!，…C．S－1，(S－1）2，(S－1）3，…D．0,0,0…B［A项中，错误!≠错误!，∴A不是；B是首项为错误!，公比为错误!的等比数列；C项，当S＝1时，数列为0，0，0,…，∴不是；D显然不是．] 3．已知等比数列｛a n｝满足a1＋a2＝3,a2＋a3＝6，则a7等于( ）A．64 B．81C．128 D．243A［q＝错误!＝2代入a1＋a2＝a1（1＋q)＝3,得a1＝1，∴a7＝a1q6＝26＝64，故选A．]4．设a1＝2，数列{1＋2a n}是公比为2的等比数列，则a6等于（）A．31．5 B．160C．79．5 D．159．5C[1＋2a n＝（1＋2a1)·2n－1,所以1＋2a6＝5·25．所以a6＝5×32－12＝79．5．]5．对任意等比数列｛a n｝，下列说法一定正确的是( )A．a1,a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4,a8成等比数列D．a3，a6,a9成等比数列D[设等比数列的公比为q，则a3＝a1q2，a6＝a1q5,a9＝a1q8，满足（a1q5）2＝a1q2·a1q8，即（a6）2＝a3·a9．故D正确．]二、填空题6．数列{a n}满足：a9＝1，a n＋1＝2a n（n∈N＋)，则a5＝____________________________________．错误!［由a n＋1＝2a n(n∈N＋）知数列{a n}是公比q＝错误!＝2的等比数列．∴a5＝a1q4＝错误!＝错误!＝错误!．]7．等比数列{a n｝中，a4＝2，a5＝4，若b n＝lg a n，则数列{b n}的通项公式为________．b n＝(n－3)lg 2(n∈N＋) ［q＝错误!＝2，故a4＝a1·q3，得a1＝2－2，a n＝2n－3，可得b n＝lg 2n－3＝（n－3）lg 2（n∈N＋）．］8．已知某单位某年十二月份的产值是同年一月份产值的m倍，那么该单位此年的月平均增长率是________．错误!－1 [设一月份产值为1，此年的月平均增长率为x．则(1＋x）11＝m,解得x＝错误!－1．］三、解答题9．已知等比数列｛a n｝中，a2＝3，a3＋a4＝错误!，求数列{a n}的通项公式．[解］设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则由a2＝3，a3＋a4＝错误!得错误!解得错误!或错误!所以a n＝错误!错误!错误!或a n＝－错误!错误!错误!．10．已知数列｛a n｝的前n项和为S n，S n＝错误!(a n＋1)(n∈N＋）．（1）求a1，a2；(2)求证：数列{a n｝是等比数列．[解］(1）由S1＝错误!(a1＋1），得a1＝错误!（a1＋1），∴a1＝1 3．又S2＝错误!(a2＋1)，即a1＋a2＝错误!(a2＋1)，解得a2＝－错误!．(2)证明：当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝错误!（a n＋1）－错误!（a n－1＋1）,解得34a n＝－错误!a n－1，即错误!＝－错误!，当n＝1时，a1＝错误!，a2＝－错误!,∴错误!＝－错误!，故{a n}是以错误!为首项,公比为－错误!的等比数列．1．若等比数列{a n｝满足a n a n＋1＝16n，则公比为( ）A．2 B．4C．8 D．16B[设公比为q，由题意知，a1a2＝16,a2a3＝162,∴q2＝错误!＝错误!＝16．又a1a2＝a错误!q＝16，∴q〉0，∴q＝4．]2．设等比数列{a n}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…a n的最大值为( ）A．64 B．32C．128 D．16A[设｛a n｝的公比为q，由a1＋a3＝10，a2＋a4＝5得a1＝8，q＝错误!，则a2＝4，a3＝2，a4＝1,a5＝1 2，∴a1a2…a n≤a1a2a3a4＝64．]3．在数列｛a n}中,对任意n∈N＋，都有a n＋1－2a n＝0（a n≠0),则错误!等于________．错误
课时作业40 总体百分位数的估计基础强化1.8位居民的华蜜感指数为5、7、9、6、10、4、7、6，则这组数据的第80百分位数是( )A．7 B．8C．9 D．102．数据0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的60百分位数为( )A．6 B．6.5C．7 D．5.53．下表是校篮球队某队员若干场竞赛的得分数据，则该队员得分的第40百分位数是( )A.6 B．7 C．8 D．104．某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设该组数据的平均数为a，50百分位数为b，则有( )A．a＝13.7，b＝15.5B．a＝14，b＝15C．a＝12，b＝15.5D．a＝14.7，b＝155．(多选)已知100个数据的第55百分位数是75，则下列说法正确的是( )A．这100个数据中至少有55个数据小于或等于75B．把这100个数据从小到大排列后，第55个数据是75C．把这100个数据从小到大排列后，第55个与第56个数据的平均数是75D．把这100个数据从小到大排列后，第55个与第54个数据的平均数是756．(多选)在秋季运动会的跳远竞赛中，张明是选手中跳得最远的，李华是选手中跳得最近的，总共有20名选手，则下列描述中正确的有( )A．张明跳远成果的百分位数约为100B．张明跳远成果的百分位数约为20C．李华跳远成果的百分位数约为0D．李华跳远成果的百分位数约为67．数据8，6，4，4，3，3，2，2，2，1的85%分位数为________．8．在共有100名学生参与的某项测试中，小李的成果恰为第80百分位数，小张的成果排名是第80名，则他们两人中成果较好的是________．9．求下列数据的四分位数．13，15，12，27，22，24，28，30，31，18，19，20.10．如图是某市2024年4月1日至4月7日每天最高、最低气温的折线统计图，求这7天的日最高气温的第10百分位数和日最低气温的第80百分位数．实力提升11.数据3.2，3.4，3.8，4.2，4.3，4.5，x，6.6的第65百分位数是4.5，则实数x 的取值可以是( )A．3 B．3.5C．4 D．4.512．为了解学生每天的体育活动时间，某市教化部门对全市中学学生进行调查，随机抽取1 000名学生每天进行体育运动的时间，依据时长(单位：分)分成6组：第一组[30，40)，其次组[40，50)，第三组[50，60)，第四组[60，70)，第五组[70，80)，第六组[80，90].对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则可以估计该市中学学生每天体育活动时间的第25百分位数约为( )A．43.5分钟 B．45.5分钟C．47.5分钟 D．49.5分钟13．有按从小到大依次排列的9个数据：10，16，25，33，39，43，m，65，70.若这组数据的第一四分位数与第三四分位数的和是73，则m等于( )A．40 B．48C．50 D．5714．(多选)某学习小组(共18位同学)在一次数学周测中的成果(单位：分)如下：a87 101 109 112 115 116 118 119119 121 122 126 127 129 130 135 142若a是这组数据的上四分位数，则a可能为( )A．126 B．127C．128 D．129[答题区]题号12345611121314 答案15.如图所示是一个样本容量为100的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其40%分位数为________．16．某校对学生成果统计(折合百分制，得分为整数)，考虑该次竞赛的成果分布，将样本分成5组，绘成频率分布直方图(如图)，图中从左到右依次为第一组到第五组，各小组的小长方形的高的比为1∶3∶6∶4∶2，第五组的频数为12.(1)该样本的容量是多少？(2)该样本的第75百分位数在第几组中？课时作业40 总体百分位数的估计1．解析：这组数据依据从小到大排列为4，5，6，6，7，7，9，10，因为8×80%＝6.4，其比邻整数为7，故第80百分位数是第7个数9.故选C.答案：C2．解析：由题设知，10×60%＝6，故60百分位数为5＋62＝5.5.故选D.答案：D3．解析：依题意可知一共有2＋1＋2＋3＋1＋1＋1＝11(场)竞赛得分，其中11×40%＝4.4，所以第40百分位数为第5个数7.故选B.答案：B4．解析：把该组数据按从小到大的依次排列为10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，其平均数a ＝110×(10＋12＋14＋14＋15＋15＋16＋17＋17＋17)＝14.7，因为50×10100＝5，所以这10名工人一小时内生产零件的个数的50百分位数b ＝15＋152＝15.故选D.答案：D5．解析：由百分位数的概念可推断A 正确；依据百分位数的计算方法，第55百分位数i ＝55%×100＝55，i 为整数，把这100个数据从小到大排列后，75不肯定是第55个数据，选项B 错误；把这100个数据从小到大排列后，75是第55个与第56个数据的平均数，选项C 正确，选项D 错误．故选AC.答案：AC6．解析：由百分位数的定义知：一组数据从小到大排序，第p 百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p %的数据小于或等于这个值，至少有(100－p )%的数据大于或等于这个值．对于A ，跳远成果从小到大排序，因为张明是选手中跳得最远的，即至少有100%的数据小于或等于张明的成果，至少有0%的数据大于或等于张明的成果，所以张明跳远成果的百分位数约为100，故A 正确，B 不正确；对于C ，跳远成果从小到大排序，因为李华是选手中跳得最近的，即至少有0%的数据小于或等于李华的成果，至少有100%的数据大于或等于李华的成果，所以李华跳远成果的百分位数约为0，故C 正确，D 不正确．故选AC.答案：AC7．解析：10×85%＝8.5，故从小到大，选择第9个数作为85%分位数，即6为正确答案．答案：68．解析：由小李的成果恰为第80百分位数，可知大约有80名学生的成果比小李低，即小李成果排名大约为第20名，而小张的成果排名是第80名，故他们两人中成果较好的是小李．答案：小李9．解析：把12个数据按从小到大的依次排列可得： 12，13，15，18，19，20，22，24，27，28，30，31. 12×25100＝3，12×50100＝6，12×75100＝9，所以数据的25百分位数为15＋182＝16.5，50百分位数为20＋222＝21，75百分位数为27＋282＝27.5.10．解析：由折线图可知，把日最高气温依据从小到大排序，得24，24.5，24.5，25，26，26，27，因为共有7个数据，所以7×10%＝0.7，不是整数，故7天日最高气温的第10百分位数是第1个数据24 ℃.把日最低气温依据从小到大排序，得12，12，13，14，15，16，17，因为共有7个数据，所以7×80%＝5.6，不是整数，所以这7天日最低气温的第80百分位数是第6个数据16 ℃.11．解析：因为8×65%＝5.2，所以这组数据的第65百分位数是第6项数据4.5，所以应有5个数不大于4.5，则x ≥4.5.故选D.答案：D12．解析：由频率之和为1得10×(0.01＋0.02＋0.03＋2a ＋0.01)＝1，解得a ＝0.015，由10×0.01＝0.1<0.25，10×0.01＋10×0.02＝0.3>0.25，故第25百分位数位于[40，50)内，则第25百分位数为40＋0.25－0.10.3－0.1×10＝47.5.可以估计该市中学学生每天体育活动时间的第25百分位数约为47.5.故选C.答案：C13．解析：已知9个数据：10，16，25，33，39，43，m ，65，70.∵9×25%＝2.25，∴第一四分位数为25，∵9×75%＝6.75，∴第三四分位数为m ，∴25＋m ＝73，解得m ＝48.故选B.答案：B14．解析：将所给的数据除a 外按从小到大的依次排列为：87 101 109 112 115 116 118 119 119 121 122 126 127 129 130 135 142由上四分位数的定义可得：该组数据的上四分位数位于第1＋（18－1）4×3＝13.75(个)，即该组数据的上四分位数位于第13个和第14个数之间，而该组数据从小到大的依次排列后第13个和第14个数分别为127，129，所以127≤a ≤129，结合选项a 可能为127，128，129.故选BCD.答案：BCD15．解析：由图可知第一组的频率为0.04×5＝0.2<0.4，前两组的频率之和为0.04×5＋0.1×5＝0.7>0.4，则可知其40%分位数在[10，15)内，设为x ，则0.1×(x －10)＝0.4－0.2，解得x ＝12.答案：1216．解析：(1)由题意可知，第五组的频率为21＋3＋6＋4＋2＝18，则样本的容量为1218＝96.(2)因为[50.5，60.5)的频率为11＋3＋6＋4＋2＝116，[60.5，70.5)的频率为31＋3＋6＋4＋2＝316，[70.5，80.5)的频率为61＋3＋6＋4＋2＝38，[80.5，90.5)的频率为41＋3＋6＋4＋2＝14，∵116＋316＋38＝0.625<0.75，116＋316＋38＋14＝0.825>0.75， ∴该样本的第75百分位数在第四组中．。
高中物理课时分层作业(五)向心力必修第二册
课时分层作业(五) 向心力A级必备知识基础练1.[2022·天津静海高一联考](多选)关于匀速圆周运动的向心力，下列说法正确的是( )A．向心力是指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果命名的B．向心力可以是多个力的合力，也可以是其中一个力或一个力的分力C．对稳定的圆周运动，向心力是一个恒力D．向心力的效果是改变质点的线速度大小2．如图所示，某物体沿14光滑圆弧轨道自最高点滑到最低点的过程中，物体的速率逐渐增大，则( )A．物体的合力为零B．物体的合力大小不变，方向始终指向圆心OC．物体的合力就是向心力D．物体的合力方向与其运动方向不垂直(最低点除外)3.鹰在高空中盘旋时，垂直于翼面的升力和其重力的合力提供向心力．如图所示，当翼面与水平面成θ角且以速率v匀速水平盘旋时，半径为( )A．R＝v2g cosθ B．R＝v2g tanθC．R＝tanθv2g D．R＝v2g sinθ4．[2022·潍坊高一检测]如图甲所示为被称作“雪游龙”的国家雪车雪橇中心，2022年北京冬奥会期间，该场馆承担雪车、钢架雪车、雪橇三个项目的全部比赛．图乙为运动员从侧壁冰面过“雪游龙”独具特色的360°回旋弯道的场景，在某段滑行中运动员沿倾斜侧壁在水平面内做匀速圆周运动，则此段运动过程中( )A．雪车和运动员所受合外力为零B．雪车受到冰面斜向上的摩擦力C．雪车受到冰面的摩擦力方向与其运动方向相反D．运动员所受雪车的支持力小于自身重力5.如图所示，一竖直圆筒绕中心轴OO′以角速度ω匀速转动，小物块紧贴在圆筒的内壁上，相对于圆筒静止．此时，小物块受圆筒壁的弹力大小为F，摩擦力大小为F f.当圆筒以角速度2ω匀速转动时(小物块相对于圆筒静止)，小物块受圆筒壁的( ) A．摩擦力大小变为4F fB．摩擦力大小变为2F fC．弹力大小变为4FD．弹力大小变为8F6.如图所示，一光滑轻杆沿水平方向放置，左端O处连接在竖直的转动轴上，a、b为两个可视为质点的小球，穿在杆上，并用细线分别连接Oa和ab，且Oa和ab两线长度相等，已知b球质量为a球质量的3倍．当轻杆绕O处转动轴在水平面内匀速转动时，Oa和ab两线的拉力之比为( )A．1∶3 B．1∶6C．4∶3 D．7∶67．链球运动员在将链球抛掷出去之前，总要双手抓住链条，加速转动几圈，如图所示，这样可以使链球的速度尽量增大，抛出去后飞行更远，在运动员加速转动的过程中，能发现他手中与链球相连的链条与竖直方向的夹角θ将随链球转速的增大而增大，则以下几个图像中能描述ω与θ关系的是( )8．(多选)如图所示，转台上固定有一长为4L的水平光滑细杆，两个中心有孔的小球A、B从细杆穿过并用原长为L的轻弹簧连接起来，小球A、B的质量分别为3m、2m.竖直转轴处于转台及细杆的中心轴线上，当转台绕转轴匀速转动时( )A．小球A、B受到的向心力之比为3∶2B．当轻弹簧长度变为2L时，小球A做圆周运动的半径为LC．当轻弹簧长度变为3L时，转台转动的角速度为ω，则弹簧的劲度系数为mω2D．如果角速度逐渐增大，则小球B先接触转台边沿9.如图所示，飞机做俯冲拉起运动时，在最低点附近做半径r＝180 m的圆周运动，如果飞行员的质量m＝72 kg.飞机经过最低点时的速度v＝360 km/h(g取10 m/s2)，求这时飞行员对座位的压力．B级关键能力提升练10.[2022·浙江绍兴高一下期末]拨浪鼓最早出现在战国时期，宋代时小型拨浪鼓已成为儿童玩具．四个拨浪鼓于同一高度上，分别系有长度不等的两根细绳，绳一端系着小球，另一端固定在关于手柄对称的鼓沿上，现使鼓绕竖直放置的手柄匀速转动，两小球在水平面内做周期相同的圆周运动．下列各图中两球的位置关系可能正确的是(图中细绳与竖直方向的夹角α<θ<β)( )11.[2022·四川阆中中学高一联考](多选)如图所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔的水平桌面上．小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆)．现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动(图上未画出)，两次金属块Q都保持在桌面上静止．则后一种情况与原来相比较，下面的判断中正确的是( )A．Q受到桌面的支持力变大B．Q受到桌面的静摩擦力变大C．小球P运动的角速度变大D．小球P运动的周期变大12.[2022·江苏常州高一期末]如图所示，一根原长为L的轻弹簧套在光滑直杆AB上，其下端固定在杆的A端，质量为m的小球也套在杆上且与弹簧的上端相连．小球和杆一起绕经过杆A端的竖直轴OO′匀速转动，且杆与水平面间的夹角始终保持θ＝37°，弹簧始终处于弹性限度内．已知杆处于静止状态时弹簧长度为L，重力加速度为g，sin 37°＝，cos 37°＝0.8.(1)求弹簧处于原长时，小球的角速度ω0；(2)当杆的角速度ω＝54√gL时，求弹簧形变量x.课时分层作业(五) 向心力1．解析：匀速圆周运动的向心力指向圆心，向心力是指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果命名的，故A正确；向心力可以是多个力的合力，也可以是其中一个力或一个力的分力，故B正确；对于稳定的圆周运动，向心力的大小不变，但向心力的方向始终指向圆心，方向时刻在变化，所以向心力一定是变力，故C 错误；向心力始终与速度方向垂直，只改变速度的方向，不改变速度的大小，故D 错误．答案：AB2．解析：A 错：物体做加速曲线运动，合力不为零．B 错：物体做速度增大的圆周运动，合力不指向圆心．C 错：合力沿半径方向的分力提供向心力．D 对：合力沿切线方向的分力使物体的速度变大，即除在最低点外，物体的速度方向与合力方向间的夹角为锐角，合力方向与速度方向不垂直．答案：D 3．解析：鹰做匀速圆周运动，受力如图所示，合力提供向心力，则有mg tan θ＝m v 2R，解得半径为R ＝v 2g tan θ，故选项B 正确．答案：B4．解析：雪车和运动员沿倾斜侧壁在水平面内做匀速圆周运动，处于非平衡状态，所受合外力不为零，A 错误；雪车受到的摩擦力是滑动摩擦力，与相对冰面运动方向相反，故受到的摩擦力方向与其运动方向相反，B 错误，C 正确；雪车和运动员沿倾斜侧壁在水平面内做匀速圆周运动，运动员所受到的合外力指向轨迹圆心，故所受雪车的支持力大于自身重力，D 错误．答案：C5．解析：对小物块进行受力分析可知，其受重力、圆筒壁的弹力和静摩擦力作用，小物块在水平面内做匀速圆周运动，圆筒壁的弹力提供向心力，根据向心力公式，在水平方向有F ＝mω2r ，可知当圆筒的角速度变成2ω后，小物块受到圆筒壁的弹力的大小变为4F ，C 正确，D 错误；由于小物块相对圆筒静止，根据平衡条件，在竖直方向有F f ＝mg ，可知静摩擦力的大小与角速度无关，A 、B 错误．答案：C6．解析：设Oa 、ab 段细线长为l ，由牛顿第二定律，对a 球有F Oa －F ab ＝mω2l ；对b 球有F ab ＝3mω2·2l ，由以上两式得，Oa 和ab 两线的拉力之比为7∶6，选项D 正确．答案：D7．解析：设链条长为L，链球圆周运动的向心力是重力mg和拉力F T的合力，向心力F n＝mg tan θ＝mω2(L sin θ)，解得ω2＝gL cos θ，故选项D正确，A、B、C错误．答案：D8．解析：A错：转台转动时，小球A、B受到的向心力均由弹簧的弹力提供，则向心力大小相等．B错：当轻弹簧长度变为2L时，设小球A做圆周运动的半径为r A，则3mω2r A＝2mω2(2L－r A)，解得r A＝L.C对：当轻弹簧长度变为3L时，转台转动的角速度为ω，则k(3L－L)＝3mω2r A＝2mω2(3L－r A)，解得r A＝L，k＝mω2.D对：因r B>r A，则当角速度逐渐增大时，小球B先接触转台边沿．答案：CD9．解析：飞行员在最低点时，受到重力mg和座位对他的支持力F N，则有F n＝F N－mg＝m v2r，其中v＝360 km/h＝100 m/s，代入上式得F N＝mg＋mv2r＝(72×10＋72×1002180)N＝4 720 N，由牛顿第三定律可知飞行员对座位的压力大小为F′N＝F N＝4 720 N，方向向下．答案：4 720 N，方向向下10.解析：由题可知，小球做匀速圆周运动，角速度相同，受力分析如图，设绳长为L′，其反向延长线与拨浪鼓转轴交点为O，小球到转轴上O点的距离为L，绳与拨浪鼓连接处为A.根据牛顿第二定律得mg tan θ＝mω2L sin θ，小球转动平面与O点竖直距离h＝L cosθ，联立可得h＝gω2，又通过几何关系可知h＝L′cos θ＋OA cos θ，即绳子反向延长线与拨浪鼓转轴交点O到小球转动平面的高度h恒定，绳子与拨浪鼓连接点A离小球圆周运动平面的距离h′＝L′cos θ＝h－OA cos θ，绳子长度L′越大，则偏转角θ越大，h′越大．故选C.答案：C11．解析：对小球受力分析，设细线的拉力大小为F T ，细线与竖直方向夹角为θ，细线的长度为l ，则有F T cos θ＝mg ，F T sin θ＝m (2π/T )2r ，r ＝l sin θ，解得T 2＝4π2l cosθ/g ，ω2＝g /(l cos θ)，当小球位置升高时，周期减小，角速度增大，C 正确，D 错误；金属块Q 处于平衡状态，有F N ＝Mg ＋F T cos θ＝(M ＋m )g ，支持力不变，A 错误；水平方向上有F f ＝F T sin θ＝mg tan θ，小球的位置升高，θ增大，F f 增大，B 正确．答案：BC12．解析：(1)弹簧为原长时，小球只受到重力和杆的支持力，合力提供向心力mω20 L cosθ＝mg tan θ解得ω0＝1415gL.(2)小球静止时，受力平衡mg sin θ＝k (L －L ) 解得k ＝6mg5L当杆的角速度ω＝54gL时，因为ω>ω0，故弹簧处于伸长状态，弹簧的形变量为x ，弹簧弹力为FF ＝kx对小球受力分析，竖直方向有F N cos θ＝mg ＋F sin θ 水平方向有F N sin θ＋F cos θ＝mω2(L ＋x )cos θ 解得x ＝2L . 答案：(1)1415gL(2)2L。
2018年秋高中数学课时分层作业组合与组合数公式新人教A版选修
课时分层作业(五) 组合与组合数公式(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．下列四个问题属于组合问题的是( )A ．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作B ．从0,1,2,3,4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数C ．从全班同学中选出3名同学出席深圳世界大学生运动会开幕式D ．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 C [A 、B 、D 项均为排列问题，只有C 项是组合问题．]2．已知平面内A ，B ，C ，D ，E ，F 这6个点中任何3点均不共线，则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为( )【导学号：95032053】A ．3B ．20C ．12D ．24B [C 36＝6×5×43×2×1＝20.]3．若C x6＝C 26，则x ＝( ) A ．2 B ．4 C ．4或2D ．3C [由组合数性质知，x ＝2或x ＝6－2＝4.] 4．若A 3n ＝12C 2n ，则n 等于( ) A ．8 B ．5或6 C ．3或4D ．4A [A 3n ＝n (n －1)(n －2)，C 2n ＝12n (n －1)，所以n (n －1)(n －2)＝12×12n (n －1)．由n ∈N *，且n ≥3，解得n ＝8.]5．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有( )【导学号：95032054】A ．36种B ．48种C ．96种D ．192种C [甲选修2门有C 24＝6种选法，乙、丙各有C 34＝4种选法．由分步乘法计数原理可知，共有6×4×4＝96种选法．]二、填空题 6．方程：C 2x4＋C 2x －14＝C 56－C 66的解集为________．{x |x ＝2} [由组合数公式的性质可知，解得x ＝1或x ＝2，代入方程检验得x ＝2满足方程，所以原方程的解为{x |x ＝2}．]7．C 03＋C 14＋C 25＋…＋C 1821的值等于________.【导学号：95032055】7 315 [原式＝C 04＋C 14＋C 25＋…＋C 1821＝C 15＋C 25＋…＋C 1821＝C 1721＋C 1821＝C 1822＝C 422＝7 315.] 8．10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为________．(用数字作答)210 [从10人中任选出4人作为甲组，则剩下的人即为乙组，这是组合问题，共有C 410＝210种分法．]三、解答题9．从1,2,3,4,5,6六个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数，则可以得到多少个不同的这样的最小三位数？【导学号：95032056】[解] 从6个不同数字中任选3个组成最小三位数，相当于从6个不同元素中任选3个元素的一个组合，故所有不同的最小三位数共有C 36＝6×5×43×2×1＝20个．10．求式子1C x 5－1C x 6＝710C x 7中的x .[解] 原式可化为：x ！－x ！5！－x ！－x ！6！＝7·x ！－x ！10·7！，∵0≤x ≤5，∴x 2－23x ＋42＝0，∴x ＝21(舍去)或x ＝2，即x ＝2为原方程的解．[能力提升练]一、选择题1．满足方程C x 2－x 16＝C 5x －516的x 值为( ) A ．1,3,5，－7 B ．1,3 C ．1,3,5D ．3,5B [由x 2－x ＝5x －5或x 2－x ＝16－(5x －5)，得x ＝1,3,5，－7，只有x ＝1,3时满足组合数的意义．]2．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有( )A ．140种B ．84种C ．70种D ．35种C [可分两类：第一类，甲型1台、乙型2台，有C 14·C 25＝4×10＝40(种)取法，第二类，甲型2台、乙型1台，有C 24·C 15＝6×5＝30(种)取法，共有70种不同的取法．]二、填空题3．按ABO 血型系统学说，每个人的血型为A ，B ，O ，AB 四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB 型时，子女一定不是O 型，若某人的血型为O 型，则父母血型所有可能情况有________种.【导学号：95032057】9 [父母应为A ，B 或O ，C 13C 13＝9种．]4．已知C m －1n 2＝C mn 3＝C m ＋1n4，则m 与n 的值为________．14 34 [可得：三、解答题 5．规定C mx ＝x x －x －m ＋m ！，其中x ∈R ，m 是正整数，且C 0x ＝1，这是组合数C mn (n ，m 是正整数，且m ≤n )的一种推广．(1)求C 5－15的值； (2)组合数的两个性质： ①C m n ＝C n －mn ；②C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1是否都能推广到C mx (x ∈R ，m 是正整数)的情形；若能推广，则写出推广的形式并给出证明，若不能，请说明理由.【导学号：95032058】[解] (1)C 5－15＝－－－－－5！＝－11 628.(2)性质①不能推广，例如当x ＝2时，有意义，但无意义．性质②能推广，它的推广形式是C m x ＋C m －1x ＝C mx ＋1，x ∈R ，m 为正整数． 证明：当m ＝1时， 有C 1x ＋C 0x ＝x ＋1＝C 1x ＋1； 当m ≥2时， C mx ＋C m －1x ＝x x －x －m ＋m ！＋x x －x －x －m ＋m －！＝x x －x －m ＋m －！⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m ＋1m ＋1 ＝x ＋x x －x －m ＋m ！＝C mx ＋1.综上，性质②的推广得证．课时分层作业(六) 组合的综合应用(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )A．60种B．70种C．75种D．150种C[从6名男医生中选出2名有C26种选法，从5名女医生中选出1名有C15种选法，由分步乘法计数原理得不同的选法共有C26·C15＝75种，故选C.]2．圆上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为( )【导学号：95032066】A．720 B．360C．240 D．120D[确定三角形的个数为C310＝120.]3．一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个黑球，从中取2个球，则这2个球同色的不同取法有( )A．27种B．24种C．21种D．18种C[分两类：一类是2个白球有C26＝15种取法，另一类是2个黑球有C24＝6种取法，所以共有15＋6＝21种取法．]4．某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有( )A．56种B．68种C．74种D．92种D[根据划左舷中有“多面手”人数的多少进行分类：划左舷中没有“多面手”的选派方法有C33C36种，有一个“多面手”的选派方法有C12C23C35种，有两个“多面手”的选派方法有C13C34种，既共有20＋60＋12＝92种不同的选派方法．]5．将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1人，最多2人，则不同的分配方案有( )【导学号：95032067】A．30种B．90种C ．180种D ．270种B [先将5名教师分成3组，有C 15C 24C 222＝15种分法，再将3组分配到3个不同班级有A 33＝6种分法，故共有15×6＝90种方案．]二、填空题6．4位同学每人从甲、乙、丙三门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有________种．24 [依题意，满足题意的选法共有C 24×2×2＝24种．]7．将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有________种．18 [因为先从3个信封中选一个放标号为1,2的卡片，有3种不同的选法，再从剩下的4个标号的卡片中选两个放入一个信封有C 24＝6种，余下的放入最后一个信封，所以共有3C 24＝18(种)．]8．将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子内．每个盒内放一个球，则恰好有3个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法共有________种．(以数字作答)【导学号：95032068】240 [从10个球中任取3个，有C 310种方法．取出的3个球与其所在盒子的标号不一致的方法有2种．∴共有2C 310种方法．即240种．] 三、解答题9．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加； (5)甲、乙、丙三人至少1人参加． [解] (1)C 512＝792种不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C 29＝36种不同的选法． (3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C 59＝126种不同的选法．(4)甲、乙、丙三人只能有1人参加，分两步，先从甲、乙、丙中选1人，有C 13＝3种选法，再从另外的9人中选4人有C 49种选法，共有C 13C 49＝378种不同的选法．(5)法一：(直接法)可分为三类：第一类，甲、乙、丙中有1人参加，共有C13C49种不同的选法；第二类，甲、乙、丙中有2人参加，共有C23C39种不同的选法；第三类，甲、乙、丙3人均参加，共有C33C29种不同的选法；共有C13C49＋C23C39＋C33C29＝666种不同的选法．法二：(间接法)12人中任意选5人共有C512种，甲、乙、丙三人不能参加的有C59种，所以共有C512－C59＝666种不同的选法．10．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒子内．(1)共有几种放法？(2)恰有2个盒子不放球，有几种放法？【导学号：95032069】[解](1)44＝256(种)．(2)恰有2个盒子不放球，也就是把4个不同的小球只放入2个盒子中，有两类放法；第一类，1个盒子放3个小球，1个盒子放1个小球，先把小球分组，有C34种，再放到2个小盒中有A24种放法，共有C34A24种方法；第二类，2个盒子中各放2个小球有C24C24种放法，故恰有2个盒子不放球的方法共有C34A24＋C24C24＝84种放法．[能力提升练]一、选择题1．某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求最后播放的必须是公益广告，且2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式有( )A．120种B．48种C．36种D．18种C[依题意，所求播放方式的种数为C12C13A33＝2×3×6＝36.]2．某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有( )【导学号：95032070】A．16种B．36种C．42种D．60种D[(1)每城不超过1个项目，有A34＝24(种)；(2)有1个城市投资2个项目，有C14C23C13＝36(种)．∴共有24＋36＝60(种)方案．]二、填空题3．以正方体的顶点为顶点的四面体共有________个．58[先从8个顶点中任取4个的取法为C48种，其中，共面的4点有12个，则四面体的个数为C48－12＝58个．]4．某科技小组有六名学生，现从中选出三人去参观展览，至少有一名女生入选的不同选法有16种，则该小组中的女生人数为________．2[设男生人数为x，则女生有(6－x)人．依题意C36－C3x＝16，即6×5×4＝x(x－1)(x －2)＋16×6，所以x(x－1)(x－2)＝2×3×4，解得x＝4，即女生有2人．]三、解答题5．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？【导学号：95032071】[解](1)先排前4次测试，只能取正品，有A46种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上测试，有C24A22＝A24种测法，再排余下4件的测试位置，有A44种测法．所以共有不同测试方法A46·A24·A44＝103 680种．(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现，所以共有不同测试方法C16·C34·A44＝576种．。
2019_2020学年高中数学课时分层作业6诱导公式(一)、(二)(含解析)新人教B版必修4
课时分层作业(六) 诱导公式(一)、(二)(建议用时：40分钟)[合格基础练]一、选择题1．sin 25π6的值为( )A ．12 B ．22 C ．－12D ．－32A [sin 25π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π＋π6＝sin π6＝12，故选A.] 2．给出下列函数值：①sin(－1 000°)；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4；③tan 2，其中符号为负的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3B [①sin(－1 000°)＝sin(－360°×3＋80°)＝sin 80°>0； ②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝cos π4＝22>0；③∵π2<2<π， ∴tan 2<0.]3．记cos(－80°)＝k ，那么tan 440°＝( ) A ．1－k2k B ．－1－k2k C ．k1－k2D ．－k1－k2A [∵cos(－80°)＝cos 80°＝k ，∴sin 80°＝1－cos 280°＝1－k 2，tan 440°＝tan(360°＋80°)＝tan 80°＝sin 80°cos 80°＝1－k2k，故选A.]4．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－α＝a ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋76π＝( )A ．aB ．－aC ．±aD ．不确定B [∵⎝⎛⎭⎪⎫5π6－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋76π＝2π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋76π＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－5π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－α＝－a ，故选B.]5.1－2sin (2π＋2)cos (2π－2)＝( ) A ．sin 2－cos 2 B ．sin 2＋cos 2 C ．±(sin 2－cos 2) D ．cos 2－sin 2A [原式＝1－2sin 2cos 2＝(sin 2－cos 2)2＝|sin 2－cos 2|.而sin 2＞cos 2，故应选A.] 二、填空题6．cos 1 110°的值为________．32 [cos 1 110°＝cos (3×360°＋30°)＝cos 30°＝32.] 7．若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a )，则a 的值为________． －4 3 [由三角函数定义知，tan 420°＝－a4，又tan 420°＝tan(360°＋60°)＝tan 60°＝3， ∴－a4＝3，∴a ＝－4 3.]8．化简：cos (2π＋α)sin (4π－α)tan (－α－2π)cos 2(－α)＝________. 1 [原式＝cos αsin (－α)tan (－α)cos 2α＝cos αsin (－α)－tan αcos 2α ＝cos α(－sin α)－sin αcos α·cos 2α＝1.]三、解答题9．求下列各式的值：(1)a 2sin(－1 350°)＋b 2tan 405°－2ab cos(－1 080°)； (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π＋cos 125π·tan 4π. [解] (1)原式＝a 2sin(－4×360°＋90°)＋b 2tan(360°＋45°)－2ab cos(－3×360°)＝a 2sin 90°＋b 2tan 45°－2ab cos 0° ＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2.(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π＋cos 125π·tan 4π ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos 125π·tan 0＝sin π6＋0＝12.10．化简：sin 2(α－2π)cos (2π＋α)cot (－α－2π)tan (2π－α)cos 3(－α－4π). [解] 原式＝sin 2α·cos α·cot (－α)tan (－α)cos 3(－α) ＝sin 2αcos α·cos α⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin αcos α·cos 3α·sin (－α) ＝sin 2α·cos 2αsin 2α·cos 2α ＝1.[等级过关练]1．设f (α)＝2sin (2π－α)cos (2π＋α)－cos (－α)1＋sin 2α＋sin (2π＋α)－cos 2(4π－α)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－236π的值为( ) A ．33B ．－33C ． 3D ．－ 3D [f (α)＝2sin (－α)cos α－cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α ＝－cos α(2sin α＋1)sin α(2sin α＋1)＝－1tan α，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－236π＝－1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－236π＝－1tan π6＝－ 3.] 2．已知α∈(0，π)，若cos(－α)－sin(－α)＝－15，则tan α等于( )A ．34B ．－34C ．－43或－34D ．－43B [∵cos(－α)－sin(－α)＝－15，∴cos α＋sin α＝－15，∴1＋2sin αcos α＝125.∴2sin αcos α＝－2425<0.又α∈(0，π)，∴sin α>0，cos α<0， ∴cos α－sin α＝－1－2sin αcos α＝－75.由⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋sin α＝－15，cos α－sin α＝－75，解得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝－45，sin α＝35.∴tan α＝sin αcos α＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－54＝－34.]3．若α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为________．－105 [由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α， 将其代入sin 2α＋cos 2α＝1， 得109cos 2α＝1，∴cos 2α＝910，易知cos α<0， ∴cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105.] 4．已知tan(4π＋α)＝m (m ≠±1)，则sin (α－2π)＋2cos (2π－α)2sin (－α)－cos (2π＋α)的值为________． －m ＋22m ＋1[∵tan(4π＋α)＝tan α＝m ， 又sin (α－2π)＋2cos (2π－α)2sin (－α)－cos (2π＋α)＝sin α＋2cos α－2sin α－cos α＝－sin α＋2cos α2sin α＋cos α＝－tan α＋22tan α＋1＝－m ＋22m ＋1.]5．设函数f (x )＝a sin(πx ＋a )－b cos(πx －b )＋c tan(πx ＋c )，其中a ，b ，c ∈R 且abc ≠0，且有f (2 016)＝－1，求f (2 018)的值．[解] f (2 016)＝a sin(2 016π＋a )－b cos(2 016π－b )＋c tan(2 016π＋c )＝a sin a－b cos b＋c tan c，而f(2 018)＝a sin(2 018π＋a)－b cos(2 018π－b)＋c tan(2 018π＋c)＝a sin a－b cos b＋c tan c，所以f(2 018)＝f(2 016)＝－1.。
中图版高中地理必修第一册课时分层作业6风沙地貌和喀斯特地貌含答案
课时分层作业(六)风沙地貌和喀斯特地貌读图，回答1～2题。
①②③④1．上图所示景观中，主要由风力堆积作用形成的是()A．①B．②C．③D．④2．上图所示景观中，主要由流水溶蚀作用形成的是()A．①B．②C．③D．④1．B2．C[读图可知，①是冰川侵蚀形成的冰蚀地貌；②是风力堆积作用形成的沙丘；③是流水溶蚀形成的喀斯特地貌；④是风力侵蚀形成的雅丹地貌。
]读某地貌景观示意图，回答3～4题。
3．该类地貌景观常见于我国的()A．海南岛B．四川盆地C．华北平原D．准噶尔盆地4．该类地貌景观形成于()A．流水侵蚀B．冰川侵蚀C．风力侵蚀D．波浪侵蚀3．D4．C[第3题，图中为荒漠景观，地貌为风沙地貌，主要发育在我国西北地区。
第4题，我国西北地区远离海洋，降水稀少，多大风天气，因此外力作用以风力作用为主，图中地貌为风蚀蘑菇。
]“醉美多彩贵州”是贵州省的旅游宣传标语。
贵州省是中国南方喀斯特世界自然遗产地的核心区。
据此回答5～6题。
5．“中国南方喀斯特”形成的自然条件是()A．炎热多雨的气候B．寒冷干燥的气候C．岩浆岩广布D．植被以热带雨林为主6．“中国南方喀斯特”常见的地貌景观是()A．角峰B．沙丘C．峰林D．风蚀蘑菇5．A6．C[第5题，喀斯特地貌不仅需要石灰岩广布，而且还要有高温多雨的气候条件，在我国喀斯特地貌分布广泛的地区以亚热带气候为主，植被以亚热带常绿阔叶林为主。
第6题，“中国南方喀斯特”常见的地貌景观有峰林、溶洞等。
角峰是由冰川侵蚀作用形成的，沙丘是由风力堆积作用形成的，风蚀蘑菇是由风力侵蚀作用形成的。
]龙里猴子沟风景名胜区，距贵阳市中心28 km。
猴子沟风景区内部资源是一个有机组合整体，主要景观有大面积的草原与草原中的峡谷、沟谷、峰林、峰丛、竖井、天坑、洼地等(下图所示)。
读图，回答7～8题。
龙里高山草原地貌特征示意图7．图示地区位于我国的()A．青藏高原B．内蒙古高原C．黄土高原D．云贵高原8．图示地区主要的岩石类型和该处地貌形成的主要外力作用分别是() A．岩浆岩、风力侵蚀B．岩浆岩、流水堆积C．沉积岩、冰川侵蚀D．沉积岩、流水侵蚀7．D8．D[第7题，图示反映喀斯特地貌，广泛分布于我国云贵高原地区。
2019高中数学 课时分层作业6 三角形中的几何计算 新人教A版必修5
课时分层作业(六) 三角形中的几何计算(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( ) A ．60°或120° B ．120° C ．60°D ．30°C [S △ABC ＝12·BC ·CA ·sin C ＝33，∴sin C ＝32，∵C ∈(0°，90°)， ∴C ＝60°.]2．在△ABC 中，三边a ，b ，c 与面积S 的关系式为a 2＋4S ＝b 2＋c 2，则角A 为( ) 【导学号：91432083】A ．45°B ．60°C ．120°D ．150°A [4S ＝b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，∴4·12bc sin A ＝2bc cos A ，∴tan A ＝1，又∵A ∈(0°，180°)，∴A ＝45°.]3．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为( )A ．40 3B ．20 3C ．40 2D ．20 2A [设另两边长为8x,5x ， 则cos 60°＝64x 2＋25x 2－14280x 2＝12， 解得x ＝2.两边长是16与10，三角形的面积是12×16×10×sin 60°＝40 3.]4．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则asin A等于( )【导学号：91432084】A.2393B.2293C.2633D ．3 3A [面积S ＝3＝12bc sin A ＝12·1·c ·32，∴c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝12＋42－2·1·4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝13，∴asin A＝1332＝2393.] 5．在平行四边形ABCD 中，对角线AC ＝65，BD ＝17，周长为18，则这个平行四边形的面积是( )A ．8B ．16C ．18D ．32B [在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝65，即AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos B ＝65， ① 在△ABD 中，BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos A ＝17， ② 又cos A ＋cos B ＝0. ①＋②得AB 2＋AD 2＝41， 又AB ＋AD ＝9，∴AB ＝5，AD ＝4或AB ＝4，AD ＝5. ∴cos A ＝35，A ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin A ＝45，∴这个平行四边形的面积S ＝5·4·45＝16.]二、填空题6．在△ABC 中，B ＝60°，AB ＝1，BC ＝4，则BC 边上的中线AD 的长为________.【导学号：91432085】3 [画出三角形(略)知AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos 60°＝3，∴AD ＝ 3.]7．在△ABC 中，若A ＝60°，b ＝16，此三角形的面积S ＝2203，则a 的值为________． 49 [由12bc sin A ＝2203得c ＝55，又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝2 401， 所以a ＝49.]8．在△ABC 中，B ＝120°，b ＝7，c ＝5，则△ABC 的面积为________.【导学号：91432086】1534[由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 即49＝a 2＋25－2×5×a cos 120°，整理得a 2＋5a －24＝0，解得a ＝3或a ＝－8(舍)， ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×5sin 120°＝1534.]三、解答题9．已知△ABC 的三内角满足cos(A ＋B )cos(A －B )＝1－5sin 2C ，求证：a 2＋b 2＝5c 2. [证明] 由已知得cos 2A cos 2B －sin 2A sin 2B ＝1－5sin 2C ， ∴(1－sin 2A )(1－sin 2B )－sin 2A sin 2B ＝1－5sin 2C ， ∴1－sin 2A －sin 2B ＝1－5sin 2C ， ∴sin 2A ＋sin 2B ＝5sin 2C .由正弦定理得，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2R 2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2R 2，即a 2＋b 2＝5c 2.10．四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2. (1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积.【导学号：91432087】[解] (1)由题设及余弦定理得BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ， ① BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ． ②由①，②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7.(2)四边形ABCD 的面积S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2＋12×3×2·sin 60°＝2 3. [冲A 挑战练]1．已知锐角△ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，则AB →·AC →的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．4D ．－4A [由题意S △ABC ＝12|AB →||AC →|sin A ＝3，得sin A ＝32，又△ABC 为锐角三角形， ∴cos A ＝12，∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos A ＝2.]2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )【导学号：91432088】A.π6B.π3C.2π3D.5π6A [由正弦定理可得sin A sinB cosC ＋sin C ·sin B cos A ＝12sin B ，又因为sin B ≠0，所以sin A cos C ＋sin C cos A ＝12，所以sin(A ＋C )＝sin B ＝12.因为a >b ，所以B ＝π6.]3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝23，c ＝22，1＋tan A tan B ＝2cb ，则角C 的值为________．π4 [由正弦定理得1＋sin A cos A ·cos B sin B ＝2sin C sin B ， 即A ＋B sin B cos A ＝2sin Csin B，∴cos A ＝12，A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，A ＝π3，sin A ＝32，由asin A ＝c sin C 得sin C ＝22， 又c <a ，C <A ，∴C ＝π4.]4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________.【导学号：91432089】8 [在△ABC 中，由cos A ＝－14可得sin A ＝154，所以有⎩⎪⎨⎪⎧12bc ×154＝315，b －c ＝2，a 2＝b 2＋c 2－2bc ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝6，c ＝4.]5．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .向量m ＝(a ，3b )与n ＝(cos A ，sin B )平行．(1)求A ；(2)若a ＝7，b ＝2，求△ABC 的面积．[解] (1)因为m∥n ，所以a sin B －3b cos A ＝0， 由正弦定理，得sin A sin B －3sin B cos A ＝0， 又sin B ≠0，从而tan A ＝ 3. 由于0<A <π，所以A ＝π3.(2)法一：由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 而a ＝7，b ＝2，A ＝π3，得7＝4＋c 2－2c ，即c 2－2c －3＝0. 因为c >0，所以c ＝3.故△ABC 的面积为12bc sin A ＝332.法二：由正弦定理，得7sinπ3＝2sin B ，从而sin B ＝217.又由a >b ，知A >B ，所以cos B ＝277.故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝sin B cos π3＋cos B sin π3＝32114.所以△ABC 的面积为12ab sin C ＝332.。
[推荐学习]2018年秋高中数学课时分层作业6公式二公式三和公式四新人教A版必修4
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课时分层作业(六) 公式二、公式三和公式四(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．sin 2150°＋sin 2135°＋2sin 210°＋cos 2225°的值是( )【导学号：84352057】A.14 B.34 C.114D.94A [因为sin 150°＝sin(180°－30°)＝sin 30°＝12，sin 135°＝sin(180°－45°)＝sin 45°＝22， sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－12，cos 225°＝cos(180°＋45°)＝－cos 45°＝－22， 所以原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－222＝14＋12－1＋12＝14.] 2．sin 2(2π－α)＋cos(π＋α)cos(π－α)＋1的值是( ) A ．1 B ．2 C ．0D ．－1B [原式＝sin 2α＋(－cos α)·(－cos α)＋1 ＝sin 2α＋cos 2α＋1＝1＋1＝2.]3．已知600°角的终边上有一点P (a ，－3)，则a 的值为( )【导学号：84352058】A ． 3B ．－ 3C ．33D ．－33B [由题意得tan 600°＝－3a，又因为tan 600°＝tan(360°＋240°) ＝tan 240°＝tan(180°＋60°) ＝tan 60°＝3，所以－3a＝3，所以a ＝－ 3.]4．设sin 160°＝a ，则cos 340°的值是( ) A ．1－a 2B ．1－a 2C ．－1－a 2D ．±1－a 2B [因为sin 160°＝a ，所以sin(180°－20°)＝sin 20°＝a ，而cos 340°＝cos(360°－20°)＝cos 20°＝1－a 2.]5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4－α的值为( ) A ．12 B ．－12C ．32D ．－32C [sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4－α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝32.]二、填空题 6.2＋π－θ－cos2π＋θ可化简为________．1－sin θ [原式＝2－2sin θ－cos 2θ＝2－2sin θ－－sin 2θ＝θ－2＝1－sin θ.]7．已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝________.1213[由于cos(508°－α)＝cos(360°＋148°－α) ＝cos(148°－α)＝1213，所以cos(212°＋α)＝cos(360°＋α－148°) ＝cos(α－148°)＝cos(148°－α)＝1213.]8．已知sin(α＋π)＝45，且sin αcos α＜0，则α－π＋π－αα－3π＝________.【导学号：84352059】－73 [因为sin(α＋π)＝－sin α＝45， 且sin αcos α＜0，所以sin α＝－45，cos α＝35，tan α＝－43，所以α－π＋π－αα－3π＝－2sin α－3tan α－4cos α＝85＋4－4×35＝－73.] 三、解答题9．已知tan(7π＋α)＝2， 求π－α－3sin 3π＋α－α＋sin 2π－α的值．[解] ∵tan(7π＋α)＝2，∴tan α＝2， ∴π－α－3sin 3π＋α－α＋sin 2π－α＝－2cos α＋3sin α4cos α－sin α＝－2＋3tan α4－tan α＝－2＋3×24－2＝2.10．已知f (α)＝π＋αcos 2π－αtan －α－π－αsin －π－α.(1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝15，求f (α)的值；(3)若α＝－31π3，求f (α)的值.【导学号：84352060】[解] (1)f (α)＝－sin αcos α－tan α－tan αsin α＝－cos α.(2)∵sin(α－π)＝－sin α＝15，∴sin α＝－15.又α是第三象限角，∴cos α＝－265，∴f (α)＝265.(3)∵－31π3＝－6×2π＋5π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.[冲A 挑战练]1．在△ABC 中，给出下列四个式子： ①sin(A ＋B )＋sin C ； ②cos(A ＋B )＋cos C ； ③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ； ④cos(2A ＋2B )＋cos 2C . 其中为常数的是( ) A ．①③ B ．②③ C ．①④D ．②④B [①sin(A ＋B )＋sinC ＝2sin C ； ②cos(A ＋B )＋cos C ＝－cos C ＋cos C ＝0； ③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ＝sin[2(A ＋B )]＋sin 2C ＝sin[2(π－C )]＋sin 2C ＝sin(2π－2C )＋sin 2C ＝－sin 2C ＋sin 2C ＝0； ④cos(2A ＋2B )＋cos 2C ＝cos[2(A ＋B )]＋cos 2C ＝cos[2(π－C )]＋cos 2C ＝cos(2π－2C )＋cos 2C ＝cos 2C ＋cos 2C ＝2cos 2C . 故选B.]2．已知a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6，b ＝cos 23π4，c ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33π4，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．b ＞c ＞aD ．c ＞a ＞bB [a ＝－tan 7π6＝－tan π6＝－33，b ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫6π－π4＝cos π4＝22，c ＝－sin33π4＝－sin π4＝－22， ∴b ＞a ＞c .]3．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋7，α，β均为实数，若f (2 008)＝8，则f (2 017)的值为________．6 [因为f (2 008)＝a sin(2 008π＋α)＋b cos(2 008π＋β)＋7＝a sin α＋b cos β＋7，所以a sin α＋b cos β＋7＝8， 所以a sin α＋b cos β＝1，又f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017 π＋β)＋7＝－a sin α－b cos β＋7＝－1＋7＝6.所以f (2 017)＝6.]4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx x ＜，f x －－x ＞，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116的值为________.【导学号：84352061】－2 [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＝sin π6＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝f ⎝⎛⎭⎪⎫116－1－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56－1＝f ⎝⎛⎭⎪⎫56－1－2 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16－2 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－2＝－sin π6－2＝－12－2＝－52， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝12－52＝－2.]5．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角.【导学号：84352062】[解] 由条件得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ， 平方相加得2cos 2A ＝1，cos A ＝±22， 又A ∈(0，π)，∴A ＝π4或34π.当A ＝34π时，cos B ＝－32＜0，∴B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴A ，B 均为钝角，不合题意，舍去． ∴A ＝π4，cos B ＝32，∴B ＝π6，∴C ＝712π.综上所述，A ＝π4，B ＝π6，C ＝712π.。
2021苏教版数学必修第二册课时分层作业：9.3.1 平面向量基本定理
A．①④
B．②③
C．①③
D．②④
C [如图所示，A→D与A→B为不共线向量，可以作为基底.C→A与D→C为不共线向量，
可以作为基底.D→A与B→C，O→D与O→B均为共线向量，不能作为基底．
]
2．已知向量 a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中 e1，e2 不共线，则 a＋b 与 c＝6e1
－2e2 的关系是( )
A．1 3
B．1 4
C．1 5
D．1 6
B [如图，分别在A→B，A→C上取点 E，f ，
使A→E＝3A→B，A→F＝1A→C，
4
4
在B→C上取点 G，使B→G＝1B→C，则 EG∥AC，f G∥AE， 4
∴A→G＝A→E＋A→F＝A→M，
∴M 与 G 重合，∴S△ABM＝BM＝1.] S△ABC BC 4
所以 1＝mλ， 2＝m，
解得λ＝1，即当λ＝1时，a∥b.
2
2
又 a 与 b 是一组基底，
所以 a 与 b 不共线，所以λ≠1.] 2
5．设 e1，e2 是不共线的非零向量，且 a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.
(1)证明：a，b 可以作为一组基底；
(2)以 a，b 为基底，求向量 c＝3e1－e2 的分解式；
A．不共线
B．共线
C．相等
D．不确定
B [a＋b＝3e1－e2，所以 c＝2(a＋b)，所以 a＋b 与 c 共线．]
3．若 e1，e2 是表示平面所有向量的一组基底，且 a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2
不能作为一组基底，则 k 的值为( )
A．－2
B．－4
C．－6
D．－8
D [易知 a∥b，故设 3e1－4e2＝λ(6e1＋ke2)，
2021_2022学年高中数学课时分层作业6数列(含解析)新人教B版必修5
课时分层作业(六) 数 列(建议用时：60分钟)[根底达标练]一、选择题1．在数列1,1,2,3,5,8，x,21,34,55中，x 等于( ) A ．11 B ．12 C ．13D ．14C [观察数列可知，后一项为哪一项前两项的和，故x ＝5＋8＝13.] 2．下面有四个结论，其中表达正确的有( ) ①数列的通项公式是唯一的；②数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数； ③数列假设用图象表示，它是一群孤立的点； ④每个数列都有通项公式． A ．①② B ．②③ C ．③④D ．①④B [①数列的通项公式不唯一，错误，②正确，③正确，④数列不一定有通项公式．]3．数列的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋1，n 为奇数，2n －2，n 为偶数，那么a 2·a 3等于( )A ．70B ．28C ．20D ．8C [由通项公式得a 2＝2×2－2＝2，a 3＝3×3＋1＝10，所以a 2·a 3＝20.] 4．数列{a n }的通项公式是a n ＝n －1n ＋1，那么这个数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．摆动数列A [a n ＝n －1n ＋1＝1－2n ＋1， 当n ≥2时，a n －a n －1＝1－2n ＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2n＝2n －2n ＋1＝2n (n ＋1)>0，所以{a n }是递增数列．] 5．观察数列2,5,10,17，x,37，…的特点，那么x 等于( ) A ．24 B ．25 C ．26D ．27C [将数列变形为12＋1,22＋1,32＋1,42＋1，…，于是可得数列的一个通项公式为a n ＝n2＋1(n ∈N ＋)，当n ＝5时，a 5＝52＋1＝26，故x ＝26.]二、填空题6．观察以下数列的特点，用适当的一个数填空：1，3，5，________，3，11，…. 7 [由于数列的前几项的根号下的数是由小到大的奇数，所以需要填空的数为7.] 7．数列11,103,1 005,10 007，…的一个通项公式是________．a n ＝10n ＋2n －1 [a 1＝10＋1＝101＋1， a 2＝100＋3＝102＋(2×2－1)， a 3＝1 000＋5＝103＋(2×3－1)，…所以a n ＝10n＋2n －1.]8．数列的通项公式为a n ＝n 2－8n ＋15，那么3为此数列的第________项． 2或6 [令a n ＝n 2－8n ＋15＝3，即n 2－8n ＋12＝0，解得n ＝2或6.] 三、解答题9．写出下面各数列的一个通项公式． (1)12，34，78，1516，3132，…； (2)－1，32，－13，34，－15，36，…；(3)6,66,666,6 666，….[解] (1)这个数列前5项中，每一项的分子比分母少1，且分母依次为21,22,23,24,25，所以它的一个通项公式为a n ＝2n－12n .(2)这个数列的奇数项为负，偶数项为正，前6项的绝对值可看作分母依次为1,2,3,4,5,6，分子依次为1,3,1,3,1,3，所以它的一个通项公式为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧－1n，n ＝2k －1(k ∈N ＋)，3n ，n ＝2k (k ∈N ＋).(3)这个数列的前4项可写为69(10－1)，69(102－1)，69(103－1)，69(104－1)，所以它的一个通项公式为a n ＝69(10n－1)．10．数列{a n }的通项公式为a n ＝30＋n －n 2.(1)－60是否为这个数列中的项？假设是，求出它是第几项；假设不是，请说明理由； (2)当n 分别为何值时，a n ＝0，a n >0；(3)当n 为何值时，a n 取得最大值？并求出最大值． [解] (1)令30＋n －n 2＝－60，即n 2－n －90＝0，解得n ＝10或n ＝－9(舍去)，∴－60是这个数列的第10项，即a 10＝－60. (2)令30＋n －n 2＝0，即n 2－n －30＝0， 解得n ＝6或n ＝－5(舍去)， 即当n ＝6时，a n ＝0.令30＋n －n 2>0，即n 2－n －30<0， 解得－5<n <6. 又n ∈N ＋，∴当n ＝1,2,3,4,5时，a n >0.(3)a n ＝30＋n －n 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －122＋1214，∵n ∈N ＋，∴当n ＝1时，a n 取得最大值，最大值为30.[能力提升练]1．数列0.7,7.7,77.7,777.7，…的一个通项公式是a n ＝( ) A ．710(10n－1) B ．79(10n－1) C ．7100(10n－1) D ．790(10n－1) D [代入n ＝1检验，排除A 、B 、C ．]2．数列{a n }中，a n ＝n 2－kn (n ∈N ＋)，且{a n }单调递增，那么k 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－∞，3) C ．(－∞，2)D ．(－∞，3]B [a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－k (n ＋1)－n 2＋kn ＝2n ＋1－k ，又{a n }单调递增，故应有a n ＋1－a n >0，即2n ＋1－k >0恒成立，别离变量得k <2n ＋1，故只需k <3即可．]3．数列{a n }，a n ＝a n＋2m (a <0，n ∈N ＋)，满足a 1＝2，a 2＝4，那么a 3＝________.2 [⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝a ＋2m ＝2，a 2＝a 2＋2m ＝4，∴a 2－a ＝2，∴a ＝2或－1， 又a <0，∴a ＝－1. 又a ＋2m ＝2， ∴m ＝32，∴a n ＝(－1)n＋3， ∴a 3＝(－1)3＋3＝2.]4．如图是一系列有机物的构造简图，图中的“小黑点〞表示原子，两黑点间的“短线〞表示化学键，按图中构造，第n 个图中共有化学键________个．5n ＋1 [各图中的化学键个数依次是6,6＋5,6＋5＋5，….假设把6看成是1＋5，那么上述数列为1＋5,1＋5＋5,1＋5＋5＋5，…，于是第n 个图有化学键5n ＋1个．]5．在数列{a n }中，a n ＝n 2n 2＋1.(1)求数列的第7项；(2)求证：此数列的各项都在区间(0,1)内；(3)区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23内有无此数列的项？假设有，有几项？ [解] (1)a 7＝7272＋1＝4950.(2)证明：因为a n ＝n 2n 2＋1＝1－1n 2＋1，所以0<a n <1，故数列的各项都在区间(0,1)内． (3)由13<n 2n 2＋1<23，得12<n 2<2，又n ∈N ＋，所以n ＝1，即在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23内有且只有一项a 1.。
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课时分层作业(四十) 公式五和公式六
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
7π2－α等于( )
A ．－1
2 B ．12 C.32
D ．－3
2
A [∵sin(3π＋α)＝－sin α＝－12，∴sin α＝1
2. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π2－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α
＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α
＝－sin α＝－1
2
.]
2．已知sin 10°＝k ，则cos 620°的值为( ) A ．k B ．－k C ．±k
D ．不确定
B [cos 620°＝cos(360°＋260°)＝cos 260° ＝cos(270°－10°)＝－sin 10°＝－k .]
3．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π4＋α等于( ) A ．－1
3 B.1
3 C.223
D ．－223
A [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫α－π4＋π2
＝－sin ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫α－π4＝－13.故选A.]
4．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是( )
A ．－2a
3 B ．－3a 2 C.2a 3
D ．3a 2
B [由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ， 得－sin α－sin α＝－a ， 即sin α＝a 2，
cos(270°－α)＋2sin(360°－α) ＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32a .]
5．化简：sin (θ－5π)cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－π2－θcos (8π－θ)
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
θ－3π2sin (－θ－4π)＝( )
A ．－sin θ
B ．sin θ
C ．cos θ
D ．－cos θ
A [原式＝sin (θ－π)cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2＋θcos θ
cos θsin (－θ)
＝
(－sin θ)(－sin θ)cos θ
cos θ(－sin θ)
＝－sin θ.]
二、填空题
6．化简sin(π＋α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2＋αcos(π＋α)＝ .
－1 [原式＝(－sin α)·sin α＋cos α·(－cos α) ＝－sin 2α－cos 2α＝－1.]
7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2＋φ＝32，且|φ|＜π2，则tan φ＝ . －3 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2＋φ＝－sin φ＝32，sin φ＝－32，
又∵|φ|＜π2，∴cos φ＝1
2，故tan φ＝－ 3.]
8．已知α是第四象限角，且cos(5°＋α)＝4
5，则cos(α－85°)＝ . －35 [因为α是第四象限角，且cos(5°＋α)＝45＞0，所以5°＋α是第四象限角，
所以sin(5°＋α)＝－
1－cos 2(5°＋α)＝－3
5，
所以cos(α－85°)＝cos(5°＋α－90°) ＝sin(5°＋α)＝－3
5.] 三、解答题
9．已知角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4
5，－35.
(1)求sin α的值；
(2)求sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π2－αtan (α－π)sin (α＋π)cos (3π－α)的值．
[解] (1)因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4
5，－35，
所以|OP |＝1，sin α＝－3
5. (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2－αtan (α－π)sin (α＋π)cos (3π－α)
＝
cos αtan α－sin α(－cos α)
＝1
cos α，
由三角函数定义知cos α＝45，故所求式子的值为5
4.
10．求证：2sin⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
θ－
3π
2cos⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
θ＋
π
2－1
1－2sin2θ
＝
tan(9π＋θ)＋1
tan(π＋θ)－1
.
[证明]左边＝
－2cos θ·sin θ－1
sin2θ＋cos2θ－2sin2θ
＝
－(sin θ＋cos θ)2
(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)
＝
sin θ＋cos θ
sin θ－cos θ
，
右边＝
tan(8π＋π＋θ)＋1
tan(π＋θ)－1
＝
tan(π＋θ)＋1
tan(π＋θ)－1
＝
tan θ＋1
tan θ－1
＝
sin θ
cos θ
＋1
sin θ
cos θ
－1
＝
sin θ＋cos θ
sin θ－cos θ
，
所以等式成立．
11．若f(cos x)＝cos 2x，则f(sin 15°)的值为()
A．－
3
2B．
3
2
C．－
1
2D．
1
2
A[因为f(sin 15°)＝f(cos 75°)＝cos 150°＝－
3
2.]
12．计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝()
A．89B．90
C.
89
2D．45
C[原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋
sin 245°＝44＋12＝89
2.]
13．已知
sin θ＋cos θsin θ－cos θ
＝2，则sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
32π－θ＝ .
3
10 [∵sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2, sin θ＝3cos θ， ∴tan θ＝3.
sin(θ－5π)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
32π－θ＝sin θcos θ
＝sin θcos θsin 2θ＋cos 2
θ ＝
tan θtan 2θ＋1
＝310.]
14．(一题两空)已知f (α)＝tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
π2＋αcos (－α－π).
(1)化简f (α)＝ .
(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2－α＝－35，且α是第二象限角，则tan α＝ .
(1)sin α (2)－4
3 [(1)f (α) ＝tan (π－α)cos (2π－α)sin ⎝ ⎛⎭
⎪
⎫
π2＋αcos (－α－π)
＝
－tan α·cos α·cos α
－cos α
＝sin α.
(2)由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2－α＝－35，得cos α＝－35，
又α是第二象限角， 所以sin α＝
1－cos 2 α＝4
5，
则tan α＝sin αcos α＝－4
3.]
15．是否存在角α，β，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2
cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．
[解] 由条件，得⎩⎪⎨⎪⎧
sin α＝2sin β，①3cos α＝2cos β，②
①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2， 所以sin 2
α＝1
2.
又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，
所以α＝π4或α＝－π4.
将α＝π4代入②，得cos β＝32.
又β∈(0，π)，所以β＝π
6，代入①可知符合． 将α＝－π4代入②得cos β＝3
2，
又β∈(0，π)，所以β＝π
6，代入①可知不符合． 综上可知，存在α＝π4，β＝π
6满足条件.。