烟台市初中数学锐角三角函数的知识点总复习有解析

烟台市初中数学锐角三角函数的知识点总复习有解析

一、选择题

1．将直尺、有60°角的直角三角板和光盘如图摆放，A 为60°角与直尺的交点，B 为光盘与直尺的交点，AB =4，则光盘表示的圆的直径是( )

A ．4

B ．83

C ．6

D ．43

【答案】B

【解析】

【分析】 设三角板与圆的切点为C ，连接OA 、OB ，根据切线长定理可得AB=AC=3，∠OAB=60°，然后根据三角函数，即可得出答案.

【详解】

设三角板与圆的切点为C ，连接OA 、OB ，

由切线长定理知，AB =AC =3，AO 平分∠BAC ，

∴∠OAB =60°，

在Rt △ABO 中，OB =AB tan ∠OAB 3

∴光盘的直径为3

故选：B ．

【点睛】

本题主要考查了切线的性质，解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数.

2．在半径为1的O e 中，弦AB 、AC 32，则BAC ∠为（ ）度． A ．75

B ．15或30

C ．75或15

D ．15或45

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意画出草图，因为C 点位置待定，所以分情况讨论求解．

【详解】

利用垂径定理可知：32AE ．

sin ∠AOD=32，∴∠AOD=60°； sin ∠AOE=22

，∴∠AOE=45°； ∴∠BAC=75°．

当两弦共弧的时候就是15°．

故选：C ．

【点睛】

此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形.

3．如图，在ABC ∆中，AB AC =，MN 是边BC 上一条运动的线段（点M 不与点B 重合，点N 不与点C 重合），且12

MN BC =，MD BC ⊥交AB 于点D ，NE BC ⊥交AC 于点E ，在MN 从左至右的运动过程中，设BM x =，BMD ∆的面积减去CNE ∆的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【解析】

【分析】

设a ＝12BC ，∠B ＝∠C ＝α，求出CN 、DM 、EN 的长度，利用y ＝S △BMD −S △CNE ，即可求解． 【详解】 解：设a ＝12

BC ，∠B ＝∠C ＝α，则MN ＝a ， ∴CN ＝BC−MN−BM ＝2a−a−x ＝a−x ，DM ＝BM·

tanB ＝x·tanα，EN ＝CN•tanC ＝（a−x ）·tanα， ∴y ＝S △BMD −S △CNE ＝12

（BM·DM−CN·EN ）＝()()221tan tan 22

2x a x a tan x a ααα⋅⎡⎤⋅-⋅=⎣⎦--， ∵

2a tan α⋅为常数， ∴上述函数图象为一次函数图象的一部分，

故选：A ．

【点睛】

本题考查了动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．

4．如图，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上的点A′处，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，若矩形纸片的宽AB=4，则折痕BM 的长为( )

A 83

B 43

C ．8

D ．83【答案】A

【解析】

【分析】

根据折叠性质可得BE=12

AB ，A′B=AB=4，∠BA ′M=∠A=90°，∠ABM=∠MBA ′，可得∠EA ′B=30°，根据直角三角形两锐角互余可得∠EBA ′=60°，进而可得∠ABM=30°，在Rt △ABM 中，利用∠ABM 的余弦求出BM 的长即可.

∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，AB=4，

∴BE=1

2

AB=2，∠BEF=90°，

∵把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点A’处，并使折痕经过点B，∴A′B=AB=4，∠BA′M=∠A=90°，∠ABM=∠MBA′，

∴∠EA′B=30°，

∴∠EBA′=60°，

∴∠ABM=30°，

∴在Rt△ABM中，AB=BM⋅cos∠ABM，即4=BM⋅cos30°，

解得：BM=83

，

故选A.

【点睛】

本题考查了折叠的性质及三角函数的定义，折叠前后，对应边相等，对应角相等；在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边比斜边；余弦是角的邻边比斜边；正切是角的对边比邻边；余切是角的邻边比对边；熟练掌握相关知识是解题关键.

5．一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（）

A．πB．2πC．3πD．31)π

【答案】C

【解析】

【分析】

3

为2，据此即可得出表面积．

【详解】

3的正三角形．

∴正三角形的边长

3

2 ==．

∴圆锥的底面圆半径是1，母线长是2，∴底面周长为2π

∴侧面积为12222

ππ⨯⨯=，∵底面积为2r ππ=， ∴全面积是3π．

故选：C ．

【点睛】 本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．

6．如图，在矩形ABCD 中，BC ＝2，AE ⊥BD ，垂足为E ，∠BAE ＝30°，则tan ∠DEC 的值是（ ）

A ．1

B ．12

C ．32

D ．33

【答案】C

【解析】

【分析】 先根据题意过点C 作CF ⊥BD 与点F 可求得△AEB ≌△CFD （AAS ），得到AE ＝CF ＝1，EF ＝323-33

【详解】

过点C 作CF ⊥BD 与点F ．

∵∠BAE ＝30°，

∴∠DBC ＝30°，

∵BC ＝2，

∴CF ＝1，BF 3 ，

易证△AEB ≌△CFD （AAS ）

∴AE ＝CF ＝1，

∵∠BAE ＝∠DBC ＝30°，

∴BE ＝33 AE ＝33

， ∴EF ＝BF ﹣BE 3 3233， 在Rt △CFE 中，

tan ∠DEC ＝323CF EF ==，