烟台市初中数学锐角三角函数的知识点总复习有解析

烟台市初中数学锐角三角函数的知识点总复习有解析

一、选择题

1．将直尺、有60°角的直角三角板和光盘如图摆放，A 为60°角与直尺的交点，B 为光盘与直尺的交点，AB =4，则光盘表示的圆的直径是( )

A ．4

B ．83

C ．6

D ．43

【答案】B

【解析】

【分析】 设三角板与圆的切点为C ，连接OA 、OB ，根据切线长定理可得AB=AC=3，∠OAB=60°，然后根据三角函数，即可得出答案.

【详解】

设三角板与圆的切点为C ，连接OA 、OB ，

由切线长定理知，AB =AC =3，AO 平分∠BAC ，

∴∠OAB =60°，

在Rt △ABO 中，OB =AB tan ∠OAB 3

∴光盘的直径为3

故选：B ．

【点睛】

本题主要考查了切线的性质，解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数.

2．在半径为1的O e 中，弦AB 、AC 32，则BAC ∠为（ ）度． A ．75

B ．15或30

C ．75或15

D ．15或45

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意画出草图，因为C 点位置待定，所以分情况讨论求解．

【详解】

利用垂径定理可知：32AE ．

sin ∠AOD=32，∴∠AOD=60°； sin ∠AOE=22

，∴∠AOE=45°； ∴∠BAC=75°．

当两弦共弧的时候就是15°．

故选：C ．

【点睛】

此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形.

3．如图，在ABC ?中，AB AC =，MN 是边BC 上一条运动的线段（点M 不与点B 重合，点N 不与点C 重合），且12

MN BC =，MD BC ⊥交AB 于点D ，NE BC ⊥交AC 于点E ，在MN 从左至右的运动过程中，设BM x =，BMD ?的面积减去CNE ?的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【解析】

【分析】

设a ＝12BC ，∠B ＝∠C ＝α，求出CN 、DM 、EN 的长度，利用y ＝S △BMD ?S △CNE ，即可求解． 【详解】 解：设a ＝12

BC ，∠B ＝∠C ＝α，则MN ＝a ， ∴CN ＝BC?MN?BM ＝2a?a?x ＝a?x ，DM ＝BM·

tanB ＝x·tanα，EN ＝CN?tanC ＝（a?x ）·tanα， ∴y ＝S △BMD ?S △CNE ＝12

（BM·DM?CN·EN ）＝()()221tan tan 22

2x a x a tan x a ααα????-?=??--， ∵

2a tan α?为常数， ∴上述函数图象为一次函数图象的一部分，

故选：A ．

【点睛】

本题考查了动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．

4．如图，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上的点A′处，并使折痕经过点B ，得到折痕BM ，若矩形纸片的宽AB=4，则折痕BM 的长为( )

A 83

B 43

C ．8

D ．83【答案】A

【解析】

【分析】

根据折叠性质可得BE=12

AB ，A′B=AB=4，∠BA ′M=∠A=90°，∠ABM=∠MBA ′，可得∠EA ′B=30°，根据直角三角形两锐角互余可得∠EBA ′=60°，进而可得∠ABM=30°，在Rt △ABM 中，利用∠ABM 的余弦求出BM 的长即可.

∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，AB=4，

∴BE=1

2

AB=2，∠BEF=90°，

∵把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点A’处，并使折痕经过点B，∴A′B=AB=4，∠BA′M=∠A=90°，∠ABM=∠MBA′，

∴∠EA′B=30°，

∴∠EBA′=60°，

∴∠ABM=30°，

∴在Rt△ABM中，AB=BM?cos∠ABM，即4=BM?cos30°，

解得：BM=83

，

故选A.

【点睛】

本题考查了折叠的性质及三角函数的定义，折叠前后，对应边相等，对应角相等；在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边比斜边；余弦是角的邻边比斜边；正切是角的对边比邻边；余切是角的邻边比对边；熟练掌握相关知识是解题关键.

5．一个物体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是全等的等边三角形，俯视图是圆，根据图中所示数据，可求这个物体的表面积为（）

A．πB．2πC．3πD．31)π

【答案】C

【解析】

【分析】

3

为2，据此即可得出表面积．

【详解】

3的正三角形．

∴正三角形的边长

3

2 ==．

∴圆锥的底面圆半径是1，母线长是2，∴底面周长为2π

∴侧面积为12222

ππ??=，∵底面积为2r ππ=， ∴全面积是3π．

故选：C ．

【点睛】 本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．

6．如图，在矩形ABCD 中，BC ＝2，AE ⊥BD ，垂足为E ，∠BAE ＝30°，则tan ∠DEC 的值是（ ）

A ．1

B ．12

C ．32

D ．33

【答案】C

【解析】

【分析】 先根据题意过点C 作CF ⊥BD 与点F 可求得△AEB ≌△CFD （AAS ），得到AE ＝CF ＝1，EF ＝323-33

【详解】

过点C 作CF ⊥BD 与点F ．

∵∠BAE ＝30°，

∴∠DBC ＝30°，

∵BC ＝2，

∴CF ＝1，BF 3 ，

易证△AEB ≌△CFD （AAS ）

∴AE ＝CF ＝1，

∵∠BAE ＝∠DBC ＝30°，

∴BE ＝33 AE ＝33

， ∴EF ＝BF ﹣BE 3 3233， 在Rt △CFE 中，

tan ∠DEC ＝323CF EF ==，

故选C ．

【点睛】

此题考查了含30°的直角三角形，三角形全等的性质，解题关键是证明所进行的全等

7．如图，为了测量某建筑物MN 的高度，在平地上A 处测得建筑物顶端M 的仰角为30°，向N 点方向前进16m 到达B 处，在B 处测得建筑物顶端M 的仰角为45°，则建筑物MN 的高度等于( )

A ．31)m

B ．31)m

C ．31)m

D ．31)m 【答案】A

【解析】

设MN=xm ，

在Rt △BMN 中,∵∠MBN=45°，

∴BN=MN=x ，

在Rt △AMN 中,tan ∠MAN=

MN AN ， ∴tan30°=16x x

+ =3√3， 解得：3，

则建筑物MN 的高度等于3 +1)m ；

故选A.

点睛：本题是解直角三角形的应用，考查了仰角和俯角的问题，要明确哪个角是仰角，哪个角是俯角，知道仰角是向上看的视线与水平线的夹角，俯角是向下看的视线与水平线的夹角，并与三角函数相结合求边的长.

8．如图，在矩形ABCD 中E 是CD 的中点，EA 平分,BED PE AE ∠⊥交BC 于点P ，连接PA ，以下四个结论：①EB 平分AEC ∠；②PA BE ⊥；③3AD AB =

；④2PB PC =．其中结论正确的个数是（ ）

A．4个B．3个C．2个D．1个

【答案】A

【解析】

【分析】

根据矩形的性质结合全等三角形的判定与性质得出△ADE≌△BCE（SAS），进而求出△ABE 是等边三角形，再求出△AEP≌△ABP（SSS），进而得出∠EAP＝∠PAB＝30°，再分别得出AD与AB，PB与PC的数量关系即可．

【详解】

解：∵在矩形ABCD中，点E是CD的中点，

∴DE＝CE，

又∵AD＝BC，∠D＝∠C，

∴△ADE≌△BCE（SAS），

∴AE＝BE，∠DEA＝∠CEB，

∵EA平分∠BED，

∴∠AED＝∠AEB，

∴∠AED＝∠AEB＝∠CEB＝60°，故：①EB平分∠AEC，正确；

∴△ABE是等边三角形，

∴∠DAE＝∠EBC＝30°，AE＝AB，

∵PE⊥AE，

∴∠DEA＋∠CEP＝90°，

则∠CEP＝30°，

故∠PEB＝∠EBP＝30°，

则EP＝BP，

又∵AE＝AB，AP＝AP，

∴△AEP≌△ABP（SSS），

∴∠EAP＝∠PAB＝30°，

∴AP⊥BE，故②正确；

∵∠DAE＝30°，

∴tan∠DAE＝DE

AD

＝tan30°＝

3

3

，

∴AD ＝3DE ，即32AD CD =

， ∵AB ＝CD ，

∴③3AD AB =正确； ∵∠CEP ＝30°，

∴CP ＝

12

EP ， ∵EP ＝BP ， ∴CP ＝12

BP ， ∴④PB ＝2PC 正确．

综上所述：正确的共有4个．

故选：A ．

【点睛】

此题主要考查了四边形综合，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形性质以及三角函数等知识，证明△ABE 是等边三角形是解题关键．

9．如图，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工．在AC 上找一点B ，取145ABD ∠=o ，500BD m =，55D ∠=o ，要使A ，C ，E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是（ ）

A ．500sin55m o

B ．500cos55m o

C ．500tan55m o

D ．500cos55m o

【答案】B

【解析】

【分析】

根据已知利用∠D 的余弦函数表示即可．

【详解】 在Rt △BDE 中，cosD=

DE BD

， ∴DE=BD ?cosD=500cos55°．

故选B ．

【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．

10．如图，ABC ?是一张顶角是120?的三角形纸片，,6AB AC BC ==现将ABC ?折

叠，使点B 与点A 重合，折痕DE ，则DE 的长为（ ）

A ．1

B ．2

C ．2

D ．3

【答案】A

【解析】

【分析】 作AH ⊥BC 于H ，根据等腰三角形的性质求出BH ，根据翻折变换的性质求出BD ，根据正切的定义解答即可． 【详解】

解：作AH ⊥BC 于H ，

∵AB=AC ，AH ⊥BC ，

BH=12

BC=3， ∵∠BAC=120°，AB=AC ，

∴∠B=30°，

∴AB=30BH cos ?

3 由翻折变换的性质可知，3

∴DE=BD ?tan30°=1，

故选：A ．

【点睛】

此题考查翻折变换的性质、勾股定理的应用，解题关键在于掌握翻折变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

11．把Rt ABC ?三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的余弦值（ ）

A ．扩大为原来的3倍

B ．缩小为原来的

13

C ．扩大为原来的9倍

D ．不变 【答案】D

【解析】

【分析】

根据相似三角形的性质解答．

【详解】

三边的长度都扩大为原来的3倍，

则所得的三角形与原三角形相似，

∴锐角A 的大小不变，

∴锐角A 的余弦值不变，

故选：D ．

【点睛】

此题考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键．

12．如图，菱形ABCD 中，AC 交BD 于点O ，DE ⊥BC 于点E ，连接OE ，∠DOE ＝120°，DE ＝1，则BD ＝（ ）

A 3

B ．233

C ．3

D ．3【答案】B

【解析】

【分析】

证明△OBE 是等边三角形，然后解直角三角形即可．

【详解】

∵四边形ABCD 是菱形，∴OD =OB ，CD =BC ．

∵DE ⊥BC ，∴∠DEB =90°，∴OE =OD =OB ．

∵∠DOE =120°，∴∠BOE =60°，∴△OBE 是等边三角形，∴∠DBC =60°．

∵∠DEB =90°，∴BD =

23sin60DE =?． 故选B ．

【点睛】

本题考查了解直角三角形，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边的中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

13．利用量角器可以制作“锐角余弦值速查卡”．制作方法如下：如图，设1OA =，以O 为圆心，分别以0.05，0.1，0.15，0.2，…，0.9，0.95长为半径作半圆，利用“锐角余弦值速查卡”可以读出相应锐角余弦的近似值．例如：cos300.87?≈，cos450.71?=．下列角度中余弦值最接近0.94的是（ ）

A．30°B．50?C．40?D．20?

【答案】D

【解析】

【分析】

根据“锐角余弦值速查卡”解答即可.

【详解】

从“锐角余弦值速查卡”可以读出cos20?≈0.94，

∴余弦值最接近0.94的是20?，

故选：D.

【点睛】

此题考查“锐角余弦值速查卡”，正确读出“锐角余弦值速查卡”是解题的关键.

14．如图，在扇形OAB中，120

AOB

∠=?，点P是弧AB上的一个动点（不与点A、B

CD=，则扇形AOB的面积为（）重合），C、D分别是弦AP，BP的中点．若33

A．12πB．2πC．4πD．24π

【答案】A

【解析】

【分析】

如图，作OH⊥AB于H．利用三角形中位线定理求出AB的长，解直角三角形求出OB即可解决问题．

【详解】

解：如图作OH⊥AB于H．

∵C 、D 分别是弦AP 、BP 的中点．

∴CD 是△APB 的中位线，

∴AB ＝2CD ＝63， ∵OH

⊥AB ，

∴BH ＝AH ＝33， ∵OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，

∴∠AOH ＝∠BOH ＝60°，

在Rt △AOH 中，sin ∠AOH ＝AH AO

， ∴AO ＝336sin 3

AH AOH ==∠， ∴扇形AOB 的面积为：2

120612360

ππ=g g ， 故选：A ．

【点睛】

本题考查扇形面积公式，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．

15．南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁，小芳同学在校外实践活动中对此开展测量活动．如图，在桥外一点A 测得大桥主架与水面的交汇点C 的俯角为α，大桥主架的顶端D 的仰角为β，已知测量点与大桥主架的水平距离AB ＝a ，则此时大桥主架顶端离水面的高CD 为( )

A ．asinα+asinβ

B ．acosα+acosβ

C ．atanα+atanβ

D ．tan tan a a αβ

+ 【答案】C

【解析】

【分析】

在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，由三角函数得出BC ＝atanα，BD ＝atanβ，得出CD ＝BC+BD ＝atanα+atanβ即可．

【详解】

在Rt △ABD 和Rt △ABC 中，AB ＝a ，tanα＝BC AB ，tanβ＝BD AB ， ∴BC ＝atanα，BD ＝atanβ，

∴CD ＝BC+BD ＝atanα+atanβ，

故选C ．

【点睛】

本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题；由三角函数得出BC 和BD 是解题的关键．

16．如图，已知△A 1B 1C 1的顶点C 1与平面直角坐标系的原点O 重合，顶点A 1、B 1分别位于x 轴与y 轴上，且C 1A 1＝1，∠C 1A 1B 1＝60°，将△A 1B 1C 1沿着x 轴做翻转运动，依次可得到△A 2B 2C 2，△A 3B 3C 3等等，则C 2019的坐标为（ ）

A ．（30）

B ．（3，0）

C ．（403523，32

D ．（30） 【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意可知三角形在x 轴上的位置每三次为一个循环，又因为20193673÷=，那么2019C 相当于第一个循环体的3673C 个即可算出.

【详解】

由题意知，111C A =，11160C A B ?∠=，

则11130C B A ?∠=，11222A B A B ==，1122333C B C B C B ===

结合图形可知，三角形在x 轴上的位置每三次为一个循环，

Q 20193673÷=，

∴2019673(123)20196733OC =+=+，

∴2019C (20196733,0)+，

故选B .

【点睛】

考查解直角三角形，平面直角坐标系中点的特征，结合找规律.理解题目中每三次是一个循环是解题关键.

17．定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对，顶角A 的正对记作sadA ，即sadA =底边:腰.如图，在ABC ?中，AB AC =，2A B ∠=∠.则sin B sadA ?=（ ）

A ．12

B ．2

C ．1

D ．2

【答案】C

【解析】

【分析】

证明△ABC 是等腰直角三角形即可解决问题．

【详解】

解：∵AB=AC ，

∴∠B=∠C ，

∵∠A=2∠B ，

∴∠B=∠C=45°，∠A=90°，

∴在Rt △ABC 中，BC=

sin AC B ∠=2AC ， ∴sin ∠B ?sadA=

1AC BC BC AC

=g , 故选：C ．

【点睛】

本题考查解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质三角函数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

18．如图，在平面直角坐标系中，AOB ?的顶点B 在第一象限，点A 在y 轴的正半轴上，2AO AB ==，120OAB ∠=o ，将AOB ∠绕点O 逆时针旋转90o ，点B 的对应点'B 的坐标是（ ）

A ．3(23)2--

B ．33(2222---

C ．3(3,22

--

D ．(3,3)- 【答案】D 【解析】 【分析】 过点'B 作x 轴的垂线，垂足为M ，通过条件求出'B M ，MO 的长即可得到'B 的坐标.

【详解】

解：过点'B 作x 轴的垂线，垂足为M ，

∵2AO AB ==，120OAB ∠=?，

∴'''2A O A B ==，''120OA B ∠=?，

∴'0'6M B A ∠=?，

在直角△''A B M 中，3==2=B'M B'M 'sin B A M B '''A ∠ ， 1==2

2=A'M A'M 'cos B A M B '''A ∠， ∴'3B M =，'1A M =，

∴OM=2+1=3，

∴'B 的坐标为(3,3)-.

故选：D.

【点睛】

本题考查坐标与图形变化-旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

19．如图1，在△ABC 中，∠B ＝90°，∠C ＝30°，动点P 从点B 开始沿边BA 、AC 向点C 以恒定的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以恒定的速度移动，两点同时到达点C ，设△BPQ 的面积为y （cm 2）．运动时间为x （s ），y 与x 之间关系如图2所示，当点P 恰好为AC 的中点时，PQ 的长为（ ）

A．2 B．4 C．23D．43

【答案】C

【解析】

【分析】

点P、Q的速度比为3：3，根据x＝2，y＝63，确定P、Q运动的速度，即可求解．【详解】

解：设AB＝a，∠C＝30°，则AC＝2a，BC＝3a，

设P、Q同时到达的时间为T，

则点P的速度为3a

T

，点Q的速度为

3a

，故点P、Q的速度比为3：3，

故设点P、Q的速度分别为：3v、3v，

由图2知，当x＝2时，y＝63，此时点P到达点A的位置，即AB＝2×3v＝6v，BQ＝2×3v＝23v，

y＝1

2

?AB×BQ＝

1

2

?6v×23v＝63，解得：v＝1，

故点P、Q的速度分别为：3，3，AB＝6v＝6＝a，

则AC＝12，BC＝63，

如图当点P在AC的中点时，PC＝6，

此时点P运动的距离为AB+AP＝12，需要的时间为12÷3＝4，则BQ＝3x＝43，CQ＝BC﹣BQ＝63﹣43＝23，过点P作PH⊥BC于点H，

PC＝6，则PH＝PC sin C＝6×1

2

＝3，同理CH＝3，则HQ＝CH﹣CQ＝33

3，

PQ22

PH HQ

+39

+3，

故选：C．

【点睛】

本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．

20．某游乐场新推出了一个“极速飞车”的项目．项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需

求，游客可以乘坐垂直升降电梯AB自由上下选择项目难度．其中斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，BC＝12米，CD＝8米，∠D＝36°，（其中点A、B、C、D均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为（）米．（精确到0.1米，参考数据：

tan36°≈0.73，cos36°≈0.81，sin36°≈0.59）

A．5.6 B．6.9 C．11.4 D．13.9

【答案】C

【解析】

【分析】

根据勾股定理，可得CE，BE的长，根据正切函数，可得AE的长，再根据线段的和差，可得答案．

【详解】

解:如图,延长DC、AB交于点E，

，

由斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，得

BE：CE＝1：2．

设BE＝xm，CE＝2xm．

在Rt△BCE中，由勾股定理，得

BE2+CE2＝BC2，

即x2+（2x）2＝（12）2，

解得x＝12，

BE＝12m，CE＝24m，

DE＝DC+CE＝8+24＝32m，

由tan36°≈0.73，得

＝0.73，

解得AB＝0.73×32＝23.36m．

由线段的和差，得

AB＝AE﹣BE＝23.36﹣12＝11.36≈11.4m，

故选：C．

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用，利用勾股定理得出CE，BE的长是解题关键，又利用了正切函数，线段的和差．