初三中考第一轮复习相似三角形(一对一 教案)

教育学科教师辅导讲义学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科教师：授课类型T相似三角形判定 C 相似三角形的判定特点T 中考题型分析授课日期及时段教学内容一、同步知识梳理1、相似的概念相似形：各角对应相等、各边对应成比例的两个图形相似三角形：三角形对应相等、三边对应成比例的两个三角形2、相似的性质图形相似→对应线段如：111222==长短中长短中→对应角相等→周长比=相似比→面积比=相似比23、三角形相似的判定通 用 判 定判定1：“SSS ” 判断2：“SAS ” 判定3：“AA ” 判定4：平行 Rt △特殊判定：“HL ”4、特殊的相似与特点：全等形：相似比为“1”的两个图形位似形：各对应点连线相交一点的两个相似图形二、同步题型分析题型1：相似的性质（★）例1：如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别与AB 、AC 相交于点D 、E ，若AD=4，DB=2，则DE ∶BC 的值为___________ 。

答案 ：2：3 B C（★）例2：如图，王芳同学跳起来把一个排球打在离地2m 远的地上，然后反弹碰到墙上，如果她跳起击球时的高度是1.8m ，排球落地点离墙的距离是6m ，假设球一直沿直线运动，球能碰到墙面离地多高的地方？答案：5.4m题型2：三角形相似的判定A B OCD2m 6m1.8m（★★）例1：如图2，点P 是ABC ∆的边AC 上一点，连结BP ，以下条件中，不能判定ABP ∆∽ACB ∆的是（ ）A ．AB AC AP AB = B ．ABACBP BC =C ．C ABP ∠=∠D ．ABC APB ∠=∠ 答案：B（★★）例2：如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与ABC ∆相似的是（ ）答案：B（★★）例3：如图3，D 、E 分别在边AB 、AC 上，且B ∠=∠=∠21，则图中相似三角形有（ ） A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对答案：D题型3：三角形相似的应用（★★）例1： 某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的的矩形彩条，如图，在ABC Rt ∆中，cm AB cm AC C 50,30,90==︒=∠，仿效裁下宽为cm 1的矩形纸条321,,a a a ，……，若使得裁得的矩形纸条的长都不小于cm 5，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是（ ）A ．24B ．25C ．26D ．27答案：C（★★）例2：美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm ，下半身长x 与身高l 的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ） A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm答案：C（★）例3：小明想利用太阳光测量楼高．他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E 处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD ＝1.2m ，CE ＝0.8m ，CA ＝30m （点A E C 、、在同一直线上）．已知小明的身高EF 是1.7m ，请你帮小明求出楼高AB （结果精确到0.1m ）．答案：20m三、课堂达标检测（★）检测题1：已知⊿ABC 的三边长分别为2,6,2,⊿A ′B ′C ′的两边长分别是1和3,如果⊿ABC 与⊿A ′B ′C ′相似,那么⊿A ′B ′C ′的第三边长应该是( ) A.2B.22C.26D.33 （★★）检测题2：若P 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B ，C 的一点，过点P 作直线截△ABC ，截得的三角形与原△ABC 相似，满足这样条件的直线共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条（★★）检测题3：如图，若A 、B 、C 、P 、Q 、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使PQR ∆∽ABC ∆，则点R 应是甲、乙、丙、丁四点中的 。

（★）检测题4：如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔50米有 一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两 棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为 米．（★★）检测题5：如图，已知正方形ABCD ，P 为DC 上一点（D 、C 除外），连结AP ，将△APD 绕点D 逆时针旋转90°，得到△CED ，直线EC 交直线AP 于G. 求证：AE ·ED=EG ·CE.AB CD FE· P北岸南岸答案：1、A 2、C 3、丙4、135 5、△AGE∽△CDE一、专题精讲题型一：相似三角形证明等量（★★）例1：如图所示，已知AB∥CD，AD，BC交于点E，F为BC上一点，且∠EAF＝∠C．求证：(1)∠EAF＝∠B；(2)AF2＝FE·FB．提示：证明△AFE∽△BFA题型二：构造相似三角线求解面积（★★）已知：如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，AB＝3，BC＝11，DC＝6．请问：在BC上若存在点P，使得△ABP与△PCD相似，求BP的长及它们的面积比．答案：BP=2或9或311，面积比为1：3或3：2或1：2题型三：存在性问题（★★★）如图，已知在等腰△ABC 中，∠A ＝∠B ＝30°，过点C 作CD ⊥AC 交AB 于点D ． （1）尺规作图：过A ，D ，C 三点作⊙O （只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）；（2）若过A ，D ，C 三点的圆的半径为3，则线段BC 上是否存在一点P ，使得以P ，D ，B 为顶点的三角形与△BCO 相似，若存在，求出DP 的长；若不存在，请说明理由．解：（1）作出圆心O ， ………………………………………………………………1分以点O 为圆心，OA 长为半径作圆.…………………………………………1分 （2）证明：∵CD ⊥AC ,∴∠ACD =90°.∴AD 是⊙O 的直径……………1分 连结OC ，∵∠A =∠B =30°, ∴∠ACB =120°,又∵OA =OC , ∴∠ACO =∠A =30°,…………1分 ∴∠BCO =∠ACB -∠ACO=120°-30°=90°. ………………1分 ∴BC ⊥OC ,∴BC 是⊙O 的切线. ……………………………………………1分（3）存在. ……………………………………………………………………………1分B A CDOP 2P 1DCBA∵∠BCD =∠ACB -∠ACD =120°-90°=30°, ∴∠BCD =∠B , 即DB =DC .又∵在Rt△ACD 中，DC=AD 330sin =︒⋅, ∴BD =3. ……………1分解法一：①过点D 作DP 1// OC ，则△P 1D B ∽△COB , BOBDCO D P =1， ∵BO =BD +OD =32,∴P 1D =BOBD×OC =33×3 =32. ……………………………1分②过点D 作DP 2⊥AB ,则△BDP 2∽△BCO , ∴BCBDOC D P =2， ∵BC ＝,322=-CO BO∴13332=⨯=⨯=OC BC BD D P .………………………………………1分 解法二：①当△B P 1D ∽△BCO 时，∠DP 1B =∠OCB =90°.在Rt△B P 1D 中，DP 1=2330sin =︒⋅BD . ………………1分 ②当△B D P 2∽△BCO 时，∠P 2DB =∠OCB =90°. 在Rt△B P 2D 中，DP 2=130tan =︒⋅BD . ……………1分题型四：动点问题（★★★）如图2－5－15所示，等边三角形ABC 的边长为6，点D 、E 分别在边AB ，AC 上，且AD=AE=2，若点F从点B 开始以每秒二个单位长度的速度沿射线BC 方向运动，设点F 运动的时间为t 秒，当t ＞0时，直线FD 与过点A 且平行于BC 的直线相交于点G ，GE 的延长线与BC 的延长线相交于点H ，AB 与GH 相交于点O ． ⑴ 设△EGA 的面积为S ，写出S 与 t 的函数解析式； ⑵ 当t 为何值时，AB ⊥GH ； ⑶ 请你证明△GFH 的面积为定值．答案：(1)t s 43=，(2)当t=4时，AB⊥HG ,(3)不论t 为何值,39=s二、专题过关（★★）检测题1：如图所示，⊙O 的内接△ABC 中，∠BAC ＝45°，∠ABC ＝15°，AD ∥OC 并交BC 的延长线于D 点，OC 交AB 于E 点．(1)求∠D 的度数；(2)求证：AC 2＝AD ·CE ．（★★★）检测题2:已知：如图①，②，在矩形ABCD 中，AB =4，BC =8，P ，Q 分别是边BC ，CD 上的点．（1）如图①，若AP PQ ⊥，BP =2，求CQ 的长；（2）如图②，若2=CQBP，且E ，F ，G 分别为AP ，PQ ，PC 的中点，求四边形EPGF 的面积．(1)求直线AB 的解析式；(2)当t 为何值时，△APQ 与△ABO 相似? (3)当t 为何值时，△APQ 的面积为524个平方单位? 答案：(1)643+-=x y ，(2) 当t ＝2．4秒时，△APQ 与△ABO 相似 （3）当t ＝2秒,或t ＝3秒时，△APQ 的面积为5分之24个平方单位．三、学法提炼1、专题特点：主要是理解相似三角形的性质，灵活运用性质和判定之间的转换解决问题，掌握相似三角形的运用特点2、解题方法：在相似三角形的运用中，主要是先找到相等的角，再根据题意运用相关判定。

对于动态问题，关键需要以定制动，作出相应要求的图形，做到定形定量分析。

3、注意事项：相似的运用中，一定要遵循对应顶点的书写特点，防止因书写错误导致相似比错误。

一、 能力培养（★★★★★）综合题1 （2008广州）（14分）如图11，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=AD=DC=2cm ，BC=4cm ，在等腰△PQR 中，∠QPR=120°，底边QR=6cm ，点B 、C 、Q 、R 在同一直线l 上，且C 、Q 两点重合，如果等腰△PQR 以1cm/秒的速度沿直线l 箭头所示方向匀速运动，t 秒时梯形ABCD 与等腰△PQR 重合部分的面积记为S 平方厘米 （1）当t=4时，求S 的值（2）当4t ≤≤10，求S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值（1）t ＝4时,Q 与B 重合，P 与D 重合， 重合部分是BDC ∆＝3232221=⋅⋅（★★★）（2010广东广州，23，12分）已知反比例函数y ＝8m x-(m 为常数)的图象经过点A （－1，6）． （1）求m 的值；图11（2）如图9，过点A 作直线AC 与函数y ＝8m x-的图象交于点B ，与x 轴交于点C ，且AB ＝2BC ，求点C 的坐标．解：（1）∵ 图像过点A (－1，6)，861m -=-． ∴m －8－1=6 （2）分别过点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为点D 、E ，由题意得，AD ＝6，OD ＝1，易知，AD ∥BE ， ∴△CBE ∽△CAD ，∴CB BECA AD=． ∵AB ＝2BC ，∴13CB CA = ∴136BE =，∴BE ＝2． 即点B 的纵坐标为2当y ＝2时，x ＝－3，易知：直线AB 为y ＝2x ＋8， ∴C (－4，0)（★★★★★）（2013广东广州，24，14分）已知AB 是⊙O 的直径，AB=4，点C 在线段AB 的延长线上运动，点D 在⊙O 上运动（不与点B 重合），连接CD ，且CD=OA ． （1）当OC=时（如图），求证：CD 是⊙O 的切线；（2）当OC ＞时，CD 所在直线于⊙O 相交，设另一交点为E ，连接AE ．①当D 为CE 中点时，求△ACE 的周长；②连接OD ，是否存在四边形AODE 为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时AE •ED 的值；若不存在，请说明理由．B AOCy xB AOC y xDE考点：圆的综合题．分析：（1）关键是利用勾股定理的逆定理，判定△OCD为直角三角形，如答图①所示；（2）①如答图②所示，关键是判定△EOC是含30度角的直角三角形，从而解直角三角形求出△ACE的周长；②符合题意的梯形有2个，答图③展示了其中一种情形．在求AE•ED值的时候，巧妙地利用了相似三角形，简单得出了结论，避免了复杂的运算．解答：（1）证明：连接OD，如答图①所示．由题意可知，CD=OD=OA=AB=2，OC=，∴OD2+CD2=OC2由勾股定理的逆定理可知，△OCD为直角三角形，则OD⊥CD，又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线．（2）解：①如答图②所示，连接OE，OD，则有CD=DE=OD=OE，∴△ODE为等边三角形，∠1=∠2=∠3=60°；∵OD=CD，∴∠4=∠5，∵∠3=∠4+∠5，∴∠4=∠5=30°，∴∠EOC=∠2+∠4=90°，因此△EOC是含30度角的直角三角形，△AOE是等腰直角三角形．在Rt△EOC中，CE=2OA=4，OC=4cos30°=，在等腰直角三角形AOE中，AE=OA=，∴△ACE的周长为：AE+CE+AC=AE+CE+（OA+OC）=+4+（2+）=6++．②存在，这样的梯形有2个．答图③是D点位于AB上方的情形，同理在AB下方还有一个梯形，它们关于直线AB成轴对称．∵OA=OE，∴∠1=∠2，∵CD=OA=OD，∴∠4=∠5，∵四边形AODE为梯形，∴OD∥AE，∴∠4=∠1，∠3=∠2，∴∠3=∠5=∠1，在△ODE与△COE中，∴△ODE∽△COE，则有，∴CE•DE=OE2=22=4．∵∠1=∠5，∴AE=CE，∴AE•DE=CE•DE=4．综上所述，存在四边形AODE为梯形，这样的梯形有2个，此时AE•DE=4．二、能力点评这部分主要是广州中考大题，考察学生对于知识的综合运用能力、观察能力、作图能力以及思维能力，强化将文字叙述转变为数学语言，即数学代数式以及图形说明，要求学生在平时的生活中注重细节，用发展的眼光看问题。