岩石力学数值方法(翻译)

在裂隙单元的相对面上使用位移和牵引边界方程[73,74]。然而，使用两个独立的边界积分方 程进行裂隙分析的原始概念， 一个位移方程和一个带有它的法向导数的位移方程， 最初出现 于文献[41]中。因为应力和位移的奇异性，特殊的裂纹尖端的元素，如文献[75,76]中，应该 在裂缝尖端使用。 边界元法的一个特殊方法，被称为伽辽金边界元法，或 GBEM，由传统的边界积分两 次，乘以一个加权试函数，产生一个对称的系数矩阵，这就是伽辽金意义上的加权余量法。 文献[77]中给出了伽辽金边界元法的最新评论，文献[78]中对岩石力学问题应用也进行了报 道。 在边界元法中，源项的内含物，如潜在问题的体力，热源，汇 /源项等等，会导致域积 分。在考虑初始应力/应变效应和材料非线性行为时这个问题也会出现，如塑性变形。在处 理这类域积分时传统的技术是把域划分为多个内部单元， 基本上消除了边界元法只有边界离 散化的优势。多年来已经开发了克服这个困难的不同技术[79]，最显著的是双重互易法[80]。 文献[81]中使用该法解决地下水流动问题。 与有限元法和有限差分法相比较， 边界元法的主要优点是生成更简单的网格， 模型尺寸 减小，因此输入数据准备减少。此外，域内解是连续的，不像利用有限元法和有限差分法得 到的点明智的不连续解。然而，在一般情况下，在处理材料的不均匀性时，边界元法没有有 限元法有效，因为它不像有限元法中的单元那样，有许多子区域。在模拟非线性材料的行为 时，边界元法也没有有限元法有效，如塑性和损伤演化过程，因为域积分往往出现于这些问 题中。边界元法更适合于求解不均匀破裂和线弹性体问题。
2.3. 边界元法以及有关方法
不同于有限单元法和有限差分法，边界元方法最初利用 Betti 互易定理和 Somiglian 不 等式通过推导的积分方程的数值解在全局层面上寻求一个弱解。文献[40,41]中，利用不同阶 的形函数引入等参元， 和在有限元分析中使用相同的方式， 大大提高了边界元法对应力分析 的适用性。 在岩石力学领域边界元法的应用最显著和原始的发展可能要归于文献[42-44]中报道的 早期工程，其他许多人紧随其后[45-48]，应用包括地下工程开挖，土-结构相互作用，地下 水流动和破裂过程的一般应力和变形分析。工程中著名的例子如下： � 带有或没有裂隙的地下工程开挖应力分析 [49-55] � 动力学问题[56-58] � 原位应力和弹性材料中的反分析[59,60] � 渗透率测量的井下试验[61] 自 80 年代初以来，一个重要发展涉及 TM 和 HM 耦合过程的边界元法公式，例如文献 [62-64]中报道的工程。 由于边界元法在降低模型尺寸方面的优势， 三维方面的应用也有报道， 特别是采用位移不连续法 （DDM） 进行应力分析， 如在文献[65-67]中报道的。 DDM 方法[68] 最适合于裂缝扩展模拟， 推广应用到岩石二维[69]和三维[70,71]的裂隙问题。 它的相反部分， 虚拟应力方法，也是一种适用于应力模拟的间接边界元法。 为使用标准的边界元法模拟裂缝扩展， 已经提出了两种技术。 一种是将问题域划分成多 个裂隙沿界面的子域，这是一个预先假定的裂隙路径[72]；第二种是双重边界元法（DBEM）
2.岩石力学数值方法最新进展
2.1.有限差分法以及有关方法
在有限差分法中， 最基本的技术是通过在相邻网格点定义的差值替代偏导数来实现控制 偏微分方程的离散化。 网格系统是采样点之间获取目标函数的一种简便方式， 在采样点之间， 间距足够小， 以致产生的误差小到可以接受。 用恰当的公式表达， 例如静态或动态松弛技术，
当模拟裂缝发育的过程时，小单元尺寸、裂缝发育连续网格重建、裂隙路径和单元边界 的要求， 对有限元法不利。 这个整体的缺点使得有限元法在处理裂隙问题时比同类边界元法 要低效。然而，现已开发出特殊的算法，试图克服这一缺点，例如对裂隙萌生和扩展的隐式 模拟使用不连续形函数[21]，通过分岔理论、‘丰富的有限元法’和‘广义的有限元法’[22–25]。 在单元层面裂隙的处理： 通过设置距离函数定义裂隙面， 使得它们的表征只需要节点函数值， 用试函数里的附加自由度， 沿裂隙的跳跃函数和顶端裂缝函数表示。 使用等值面技术和无预 定义裂隙单元模拟裂隙的运动。在广义的有限元法中，网格可以独立于问题几何形状。在文 献[26]中，丰富的有限元法应用于带位移不连续的裂隙的隧道稳定性分析。 除了裂隙和离散块的处理，广义有限元法在许多方面和‘流形方法’类似[27–29]。流形方 法使用截断的不连续形函数来模拟裂隙和处理连续体、 裂隙体和按统一方式形成的离散块的 集合体， 是连续与离散表征之间的天然桥梁。 该方法是基于节点的星形覆盖系统构造试函数 制定的， 其中节点与覆盖星形相关， 可以是一组有节点的标准有限元法单元或由使用普通形 状的最小二乘核心技术产生。然而，整合，分析地采用单纯形积分技术进行。流形方法也有 独立域几何形状的网格，因此大大简化网格划分任务，模拟裂隙发展过程不需要网格重划。 该技术已被扩展应用于大变形和裂纹扩展的岩石力学问题的[30,31]。 大多数的出版物都包括 在 ICADD1 会议[32-35]的一系列会议记录里。 当把有限元法应用于实际问题时， 具有复杂内部结构和外部边界的网格的生成， 是一项 艰巨的任务。当处理带有复杂几何形状的三维问题时，这个问题是至关重要的。在过去十年 中，‘无网格’法取得了重大进步，它大大简化了网格划分任务。在这个方法里，试函数不再 是标准的，但由不同近似范围影响区域相邻节点产生，如最小二乘技术。该方法的全面概述 在文献[36]中。从纯计算能力的角度看，它尚未超越有限元法技术，但是它有针对一般土木 工程问题的潜力，尤其是岩石力学应用，主要是由于它在处理裂隙时的灵活性，像文献[37] 报道的带块-界面模型的节理岩体的分析和文献[38]报道的混凝土裂隙扩展。在文献[39]中， 接触-识别算法使用无网格技术，为延伸无网格技术到离散块系统建模铺平道路，其概念也 延伸到边界元法。
图 1 四类基本方法，两级，因此形成八种不同方法，可用于岩石力学建模，为岩土工程提供预测[1]
建模和设计工作以图 1 中顶部方框中的目标开始， 接着在中央方框中有八种建模和设计 方法，四列代表着四类主要的建模方法： 方法 A：基于以往经验的设计。 方法 B：基于简化模型的设计。 方法 C：基于试图捕捉多数相关机理而建模的设计。 方法 D：基于包括一切而建模的设计。 在图 1 中央大的方框中有两行，上边的一行，第一级，包括试图实现模型中一对一映射 机理的方法。换句话说，该机理被认为真实发生在岩石中，并被包括在模型中而直接建模， 例如显式应力-应变关系。相反，下边的一行，第二级，包括非完全直接映射机理的方法， 例如岩体分级系统的使用。左手的方框内，一些岩体表征参数将从现场调查获得。然后， 岩 土工程的设计和施工工序从施工循环反馈给建模。 评论指向位于图 1 中间方框中顶部行第一级的方法 C 和 D。重要的一点是，在岩土力 学和工程设计中，一种生活方式是没有足够的数据，而不是一个当地的困难，这是为什么经 验方法，例如分级系统得到发展仍然需要的缘故。因此，我们也将讨论表征单元体 REV， 均质化/放大化，反分析和反算的话题。这些都是与建模有关的基本问题，并与图中所有的 A，B，C 和 D 各类方法有关。 对岩石力学问题最常用的数值方法： （1）连续方法：有限差分法（FDM） ，有限单元法（FEM） ，和边界元法（BEM） 。 （2）离散方法：离散单元法（DEM） ，离散裂缝网络方法（DFN） 。 （3）混合连续/离散方法。 连续或离散方法的选择取决于许多具体问题的因素， 主要取决于问题的规模和裂隙系统 的几何形状。 如果只存在少许裂隙或开口裂隙和完全的块分离不是重要因素， 就可以使用连 续方法。在中等的裂隙岩体中，对连续的裂隙单元方法来说，裂隙的数目太大，或单个块体 的大尺度位移可能发生， 采用离散方法是最合适的。 没有一种方法有绝对的优势超过另一种 方法。然而，通过使用结合连续离散方法的混合模型，每种方法的一些缺点是可以避免的。 在这篇综述中，我们专注于针对岩石力学目的的数值方法的最高水准的能力和实用性， 注重突出问题的解决。 该综述重点是在土木工程中的应用， 但资料适用于所有岩土工程分支， 此处通过广泛的文献参考源获得适量的支持。
岩石力学数值方法（翻译稿）
L. Jing, J.A. Hu于不同环境和不同用途的岩土工程结构设计中， 且不同的建 模技术已经得到发展， 因此我们现在有一个广泛的建模和设计方法。 这些方法以不同的方式 出现，在四类方法和两个层次的基础上，分为八种方法，如图 1 所示（参看英文原稿，图 1 内容不再翻译） 。
2.2. 有限单元法以及有关方法
有限单元法可能是应用最广泛的数值方法，其遍布科学和工程领域。自从 20 世纪 60 年代早期诞生以来，更多的有限单元法发展工作专门针对岩石力学问题 [7-10]，这因为它是 第一个足够灵活处理材料非均匀性、变形非线性（主要是塑性） 、复杂边界条件、原岩应力 和重力场的数值方法。在 20 世纪 60 年代晚期和 70 年代早期，当传统的带有规则网格的有 限差分法不能满足岩石力学问题的这些基本需要时，有限单元法出现了。由于这些优势， 它 超越了传统的有限差分法。 20 世纪 60 年代后期以来，在有限元法中岩石裂隙的表征已受到岩石力学需求的激发， 最显著的贡献见于文献[11,12]中。岩石力学中著名的 Goodman 节理单元已经在有限元法代 码中广泛使用，并应用于许多实际的岩土工程问题。然而，这些模型基于连续介质假设而形 成，因此大尺度的开口、滑动和单元的完全脱离是不允许的。由于节理单元大的纵横比（长 度与厚度的比值）Goodman 节理单元的零厚度导致数值病态，在后来的文献[13-20]中节理 单元有所改进。 尽管取得了这些努力， 但裂缝和裂缝发育的处理仍然是有限元法岩石力学问题应用最重 要的制约因素。有限元法存在这样的事实，当许多裂隙单元加入时，整体刚度矩阵表现为病 态。由于有限元法公式中广义连续性假设要求裂隙单元不能被撕开，故其不能处理块旋转、 完全脱离和大尺寸开口裂隙。
不需要组成和求解全局坐标系下的矩阵形式的方程， 方程的组成和求解是局部的， 在计算机 执行时内存和存储方面，会更有效。在采样点的邻域，没有像有限单元法和边界元中那样使 用局部尝试（插值）函数对偏微分方程进行近似。因此，有限差分法是偏微分方程求解的最 直接和直观的方法， 这也对本构复杂材料行为的直接模拟提供了附加的优势， 如塑性和损伤， 没有在使用全局矩阵方程系统的其他数值方法中必须采用的预估校正映射的迭代求解方案， 例如在有限元法和边界元法中。 带有规则网格系统的传统有限差分法也有缺点， 首先在于在处理裂隙、 复杂边界条件和 材料不均匀性时缺乏灵活性， 这使得标准的有限差分法一般不适用于实际岩石力学问题的建 模。然而，有限差分法在不规则网格方面已经有了重大进步，如三角网格或 Voronoi 网格系 统，从而导致出现所谓的控制体积，或有限体积技术。Voronoi 多边形基于点发展填满空间， 与切割平面的线形成的多边形镶嵌，或建立一个源于已存在多边形的镶嵌图案相对立。 有限体积法可以制定基本变量（如位移）在单元（元素）或节点（网格点）中心的非结 构化网格。也可以考虑在不同的单元中具有不同的材料特性。因此，有限体积法在处理材料 的非均匀性、网格生成和带有任意形状非结构化网格的边界条件时，与有限元法一样灵活。 它与有限元法有相似之处， 被认为是有限差分法和有限单元法之间的桥梁。 在有限体积法中 用于应力分析的原始概念和早期代码可以追溯到文献[2]中的工作，使用带有四边形网格的 顶点-中心格式。目前，利用有限体积法/有限差分法的岩土工程问题应力分析的最知名的计 算机代码可能是 FLAC 代码组[3]，它有三角形或四边形网格顶点格式。 在有限差分法/有限体积法中显式表达是不容易的， 因为它们需要相邻网格节点之间函 数的连续性。而且，在有限差分法或有限体积法中，和有限单元法一样具有特殊的裂隙单元 是不可能的。事实上，不能进行裂隙的整体显式表达是有限差分法 /有限体积法进行岩石力 学分析的弱点。另一方面，有限差分法/有限体积法模型被用来研究破裂过程机理，如岩石 和土样在实验室条件下剪切带的形成[4]，作为构造荷载的结果断层系统的形成[5]，这可以 通过模型表面没有裂隙的网格点或单元中心处材料的失效过程或损伤传播获得。 有限体积法是岩土工程中最流行的数值方法之一，其应用几乎覆盖岩石力学的所有方 面，如边坡稳定性，岩体特性表征，构造演化过程和冰川动力学，涉及范围的广泛性可参见 文献[6]。