基于随机响应面模型的随机模型修正方法_张秋虎
基于响应曲面模型拟合优度的多响应优化方法
型拟合优度，确定一个合理的能够衡量模型的回归拟合程度的指标。由于Ｒ２会 随着模型中因子个数的增加而增大，使用尺２作为回归模型的拟合优度的度量不
太恰当。而考虑修正的Ｒ２，即Ｒ２耐，但Ｒ２鲫的优越性并没有得到理论性的证明，
将其作为回归模型的拟合优度的指标也不合适。ＲＵＬ被用于非线性回归模型的拟 合优度指标，ＲｌＣＬ有一定的合理性。
ｒｅｌｉａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｒｅｓｕｌｔ
ｃａｎ
ｂｅ ｉｍｐａｃｔｅｄ ｂｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｇｏｏｄｎｅｓｓ ｏｆ ｆｉｔ ｏｆ ｔｈｅ
ｏｎ
ｒｅｐｓｏｎｓｅ ｓｕｒｆａｃｅ ｍｏｄｅｌｓ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ，ｔｈｉｓ ｔｈｅｓｉｓ ｄｏｅｓ ｔｈｅ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｍｅｔｈｏｄ ｆｏｒ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｒｅｓｐｏｎｓｅｓ ｂａｓｅｄ
第一类是距离法。使用距离法进行多响应优化时，问题的解决思路主要是将
响应变量与其目标值之间的距离最小化。最初，由Ｋｈｕｒｉ与Ｃｏｎｌｏｎ［２Ｊ为解决多重 响应问题，提出了马氏距离法。但是，应用该方法的前提条件是，假设所有响应 都依赖于同一组设计变量，并且需要用二阶多项式回归模型描述。而且马氏距离 方法将各响应之间的相对重要性忽略了。何桢【３Ｊ对该方法进行改进，将马氏距离
进行多响应优化的设计。多响应问题要比单响应问题复杂的多，它需要对多个指 标同时进行优化，寻求一种使各项指标都相对满意的组合方案。目前，国内外研 究人员已针对多响应优化问题，提出了多种方法。 但是，在多响应优化问题中，各响应回归模型的拟合优度不同，会对优化多 个响应模型所得结果的可靠性和准确度产生影响。因此，寻求应用合适的多响应 优化方法，解决不同拟合优度下的多响应问题，是目前国内外质量管理领域的前 沿性问题。
响应面优化实验范文
响应面优化实验范文响应面优化实验是一种常用的实验设计方法，用于寻找多个影响因素对实验结果的最佳组合。
通过对响应变量的系统性观测，结合统计学方法进行分析，可以得出最佳的实验参数组合，以达到所需的优化目标。
在这篇文章中，我将介绍响应面优化实验的原理、步骤和一些实际应用。
响应面优化实验的原理基于响应面法，该方法通过建立实验结果与多个影响因素之间的数学模型，来预测和优化实验结果。
响应面模型通常是一个多元回归方程，其中响应变量是主要的实验结果，而影响因素是自变量。
通过建立这个数学模型，我们可以了解不同因素对实验结果的影响程度及其相互作用，进而确定最佳的实验参数组合。
1.确定影响因素：在实验设计之前，我们需要确定可能对响应变量有影响的因素，这些因素可以是物质的浓度、温度、反应时间等。
通常，我们选择3~5个因素进行研究。
2.设计实验：根据所选的影响因素，设计一组实验来观测响应变量的不同取值。
实验设计可以采用正交实验设计、中心组合设计等方法，以保证实验结果的可靠性和准确性。
3.收集数据：进行实验并记录实验结果。
要保证实验数据的可靠性，通常需要进行多次实验，并取平均值作为最终结果。
4.建立数学模型：使用收集到的实验数据，建立响应面模型。
常见的方法包括线性回归、多项式回归、逐步回归等。
选择合适的数学模型是关键，它要能够准确描述实验结果和影响因素之间的关系。
5.分析模型：通过对建立的数学模型进行分析，可以了解各个因素对实验结果的主效应和相互作用效应。
主效应表示单个因素对实验结果的影响程度，而相互作用效应表示不同因素之间的影响关系。
6.优化实验参数：通过数学模型和分析结果，我们可以确定最佳的实验参数组合，以达到所需的优化目标。
这可以通过模型的预测和优化算法实现，例如数值优化算法、遗传算法等。
响应面优化实验在许多领域中都有广泛的应用。
在工程领域，它可以用于优化产品性能、工艺参数以及系统设计。
在制药行业，它可以用于优化药物配方、生产工艺和酶催化反应等。
随机响应面法在结构随机响应计算中的应用_郭秩维
摘
要: 传统 的响应面方法以一 般多项式逼近结构 的随机响应, 但这种方式并不 能保证收敛性. 以随机
多项式为基础的随机响应面方法, 可以弥补这一不足. 两 个数值例子 和一个发 动机轮盘实 例来验证 这一方法
的有效性. 结果表明: 随着随机多项式 次数的增 加, 随机响 应面所得 到的响 应概率 密度曲 Fra bibliotek愈加 趋近于 由蒙
f (x) = f nHn( x)
( 4a)
n= 0
其中 f n 为系数, 定义为
f n = f ( x ) H n ( x ) ( dx ) = ( f ( x ) , H n ( x ) ) -
( 4b) 即 f n 为 f ( x ) 在 H n( x ) 上的投影. 从上面的分析 可知: 任意来自 L 2( R, ) 的函数可由 H erm it e 多 项式函数来近似. 当 x 以标准正态变量 所表示 时, 公式( 4a) 可表示为
( f , g) = f (x)g( x) (dx) = -
f ( x)g(x ) ( x)dx
( 3)
-
设 { H n ( x ) , n = 0, 1, 2, } 是 H ermit e 多项
式函数所组成的集合, 则齐次随机函数所组成的
n
集合 可 表示 为:
f i H i ( x ) , n = 0, 1, 2, .
f ( ) = f nHn( )
( 4c)
n= 1
而对于 Rd 空间上的, 定义在 L2 ( Rd , d ) 上的函数
也有类似一维情况时的结论, 即任意定义在 Rd 空
间上的随机变量 u( ) , 可表示为
u( ) = a0 H 0 + i1= a1 i1 H 1 ( i1 ( ) ) +
频率响应函数驱动的结构有限元模型修正贝叶斯算法及实验研究
摘要近年来，频响函数（Frequency Response Function，简称FRF）驱动的有限元模型修正方法得到了广泛的关注，然而现有的研究大多局限于确定性范畴，无法考虑多源不确定性因素的影响，致使其适用范围受到限制，鲁棒性受到影响。
本文在国家自然科学基金面上项目“频响函数概率模型驱动的结构系统识别不确定性量化与传播机理研究”（编号:51778203）等课题的资助下，对基于频响函数的结构有限元模型修正的不确定性量化方法进行了研究。
论文基于频率响应函数的概率模型，提出了频响函数驱动的结构有限元模型修正贝叶斯方法，并采用渐进马尔科夫蒙特卡洛算法（TMCMC）进行求解待修正参数的最优解及后验概率密度函数。
针对贝叶斯模型修正求解过程中存在计算耗费大和收敛困难等问题，本文融合了向量化运算和并行计算的思路，提出了快速数值算法，有效地提高了计算效率。
论文的主要研究工作和结论包括：1.基于频率响应函数的解析概率模型，将含有待修正参数的频响函数理论模型与实测频响函数值之间建立统计关系，形成了结构待修正参数的极大似然函数。
利用待修正参数的先验分布和极大似然函数，基于贝叶斯系统识别的框架，推导出了贝叶斯模型修正的目标函数。
该目标函数将随机模型修正问题转化为一个优化问题，采用TMCMC抽样算法优化该目标函数，可以得到各修正参数的最优值并量化参数的不确定性。
2.采用TMCMC抽样方法进行数值求解需要反复调用目标函数，而目标函数的每一次运算皆需要循环计算不同频率点和不同测试自由度对应的似然函数，构成了多重嵌套循环，导致计算量随着选取频带内数据点数和测试自由度数的增加呈现爆炸式增长。
为了解决目标函数嵌套循环带来的计算瓶颈，本文引入了向量化运算的手段，推导出了目标函数的向量化解析表达式，避免了计算过程的循环操作，减少了反复调用目标函数带来的巨大计算耗费。
3.采用TMCMC进行数值求解的另外一个问题是随机抽样阶段和抽样数目过大会制约计算效率。
基于响应面法和遗传算法的某SUV前悬优化
基于响应面法和遗传算法的某SUV前悬优化柯婉頔;吴婧;杨森;钱开宇;田正超【摘要】为了提高SUV的操纵稳定性,实现越野车型前悬架性能的优化,以某SUV 的前悬架为研究对象,以多体动力学为基础,利用ADAMS/Car软件建立了某中大型SUV的前悬架装配动力学模型.采用灵敏度分析选取对前轮定位参数影响大的关键点作为优化变量,基于响应面法建立了3种阶次的响应面模型.在MATLAB中运用遗传算法得到了响应面模型目标函数的最优解,最后对各优化结果进行对比分析.研究结果表明响应面法能较精确地表示前轮定位参数,遗传算法优化可以明显减小前轮同向跳动过程中定位参数的变化量.%In order to improve the handling stability of sports utility vehicle and achieve the optimization of front suspension performance,front suspension of a sports utility vehicle was established in application of Automatic Dynamic Analysis of Mechanical systems (ADAMS) based on multi-body system dynamics.The sensitivity of design parameters was analyzed by ADMAS/Insight.Key design variables which play important roles in alignment parameters of front wheels were chosen.Then,according to RSM (Response Surface Method),three different orders of response surface model were built.Next,Genetic algorithm was applied to get optimal solution of objective function.Finally,from comparing different optimization results,it indicates that RSM is able to accurately represent the alignment parameters,and genetic algorithm optimization will significantly reduce the variation of alignment parameters in the process of parallel wheel travel.【期刊名称】《华中师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(051)004【总页数】6页(P455-460)【关键词】前悬架优化;ADAMS;响应面法;遗传算法;多体系统动力学【作者】柯婉頔;吴婧;杨森;钱开宇;田正超【作者单位】武汉理工大学现代汽车零部件技术湖北省重点实验室,武汉430070;武汉理工大学现代汽车零部件技术湖北省重点实验室,武汉430070;武汉理工大学现代汽车零部件技术湖北省重点实验室,武汉430070;武汉理工大学现代汽车零部件技术湖北省重点实验室,武汉430070;武汉理工大学现代汽车零部件技术湖北省重点实验室,武汉430070【正文语种】中文【中图分类】U463.33;TH164;O224;TP301.6;U461.1悬架是现代汽车上的重要总成之一，它能够保证汽车的行驶平顺性和操纵稳定性.针对悬架优化，国内外学者已经进行了大量的研究，主要集中在优化对象、优化目标、优化方法这3方面.优化对象涉及不同车型和不同的悬架类型[1-8].优化目标根据研究目的不同有以车轮定位参数、侧向稳定性以及整车操纵稳定性/平顺性等为目标的[3-5].优化方法的应用方面，文献[6]利用ADAMS/Insight对前悬硬点进行灵敏度分析，优化结果解决了前轮磨损严重的问题，提高了车型的综合性能.文献[7]基于遗传算法开发了多目标优化程序，优化结果有效地改善了悬架性能.文献[8]应用响应面法和非支配排序遗传算法进行悬架结构参数优化，结果显示出较高的精确性和有效性.文献报道的优化方法研究主要是多种方法联合的多目标优化，响应面模型作为目标函数大多是二阶，不同阶次的模型的优化对比还有待进一步研究. 本文以前悬架的前轮定位参数对整车操纵稳定性的重要影响为目标，利用ADAMS/Car软件建立了某中大型SUV的前悬架装配动力学模型，使仿真结果更准确.优化过程中，通过建立不同阶次的响应面模型，并联合遗传算法优化减小了前轮同向跳动过程中定位参数的变化量，达到了预期研究目标.1.1建立前悬架动力学模型根据某中大型SUV的前悬架设计参数，表1列出了重要硬点的坐标参数.该车采用的是双横臂式独立悬架(下横臂与一般双横臂式不同)，各部件的质量、转动惯量信息由三维数学模型测量得到，在模板模块下分别建立了前悬架、前稳定杆和转向子系统.最后在标准模块中建立了前悬架装配仿真模型，如图1所示.1.2前轮定位参数灵敏度分析汽车的多种性能受到前轮定位参数取值与变化的影响，包括汽车稳态与动态转向特性、回正性、转向轻便性、制动稳定性、前轮摆振，以及轮胎的磨损与滚动阻力等，整车的操纵稳定性影响很大[9].首先采用基于灵敏度分析的优化设计方法在建立优化模型前对设计参数进行灵敏度分析.基于灵敏度分析的优化设计方法利用灵敏度的高低来选择设计变量，能够有效地减少机械优化设计问题的设计变量个数，缩小优化问题的规模，从而减少优化过程中的计算工作量.在ADAMS/Car软件中对前悬架进行双轮同向跳动仿真试验(Parallel Wheel Travel)，并将跳动量设为-50～50 mm(负号表示下跳，正号表示上跳).先利用DOE Screening(2 level)方法在30个因子(变化量设为-5～5 mm)中选出灵敏度高的变量，然后再利用响应面法的D-优化设计方法进行试验设计，图2～图5为对各前轮定位参数的灵敏度分析结果(只选取灵敏度高的因子).由图2～图5可以看出对前轮前束角影响最大的参数是hpl_tierod_inner.z；对前轮外倾角有较大影响的参数在数值上非常接近，但数值不大，本文选取前两个超过5%的参数hpl_uca_outer.x和hpl_lca_rear_outer.y；对主销内倾角影响大的参数是hpl_lca_front_outer.y和hpl_uca_outer.y，并且灵敏度值高，分别是-26.76%和25.52%；对主销后倾角影响大的参数是hpl_lca_front_outer.x和hpl_uca_outer.x.综合以上参数分析结果，最终选定的变量为6个，如表2所示.1.3ADAMS/Insight优化分析选定设计变量对前轮定位参数的影响(灵敏度正值表示分析参数与目标成正相关，负值表示与目标成负相关)，以减小跳动过程中定位参数的变化量为目标，根据ADAMS/Insight优化后提供的网页数据，不断调整6个变量的值进行迭代仿真，最终参数取值如表3所示.根据优化结果修改悬架结构，再次采取双轮同向跳动仿真试验，该仿真结果和下文遗传算法优化的结果将在文章第四部分以对比的形式展现.2.1求解系数响应面法是一套数学与统计学相结合的方法，是利用超曲面来近似替代实际复杂结构输入与输出关系的方法.基本思想是数值仿真分析或试验方法，通过近似构造一个具体有明确表达形式的多项式来表达系统响应和系统随机输入变量之间的关系[10].本文将研究3种阶次的响应面模型，将第二部分得出的设计变量在ADAMS/Insight中分别运用一阶、二阶、三阶响应面法再进行一次试验，各设计变量变化范围设为-8～8 mm.对多元一阶响应面模型一般公式为：对多元二阶响应面模型一般公式为：对多元三阶响应面模型一般公式为：y(x)=，式中，有n个变量，i、j、k为1-n之间的整数；ai、aij、aii、aijk、aijj、aiii为待定系数；ε为近似误差，在满足工程精度要求的情况下可认为ε=0.2.2不同阶次响应面函数根据响应面法仿真结果得到了3个响应面模型的回归系数，为了保证模型的可靠性，在生成响应面模型后要进行预测能力评估，一般采用R2(Coefficient of multiple determination)来说明模型的拟合程度.式中，yi为仿真输出值，为模型计算值，n为评估测试点数.R2反映响应面模型符合实际数据的程度，其取值范围为(0，1)，当值达到0.9以上时说明模型拟合程度好.本文3个模型的可靠性结果如表4所示，可以看出3个阶次的模型都在精度允许范围内，可以代替实际悬架模型进行目标性能优化.3.1建立目标函数根据优化分析以仿真分析结果与目标曲线的差别最小为要求，确定车轮相对车体上下跳动的目标函数为：其中，分别为4个前轮定位参数的变化量，y1为前轮前束角的响应面函数，y2为车轮外倾角的响应面函数，y3为主销内倾角的响应面函数，y4为主销后倾角的响应面函数，yi0为各定位参数对应的初始值.多目标优化中，要求优先达到的目标应赋予较大的权重因子.前轮定位参数中的车轮外倾角和前束角很大程度上影响了汽车的直线行驶能力，因此对车辆操纵稳定性影响较大，应赋予较大权重.综合分析，确定目标函数各部分权重大小如表5所示.3.2MATLAB优化接下来利用MATLAB里的遗传算法计算出目标函数的最优解.初始种群设为50，其中精英个体比例为0.05，选择策略为轮盘赌策略，交换策略采用单点交换，交换概率为0.8，变异概率为0.01.3个响应面模型经过遗传算法优化后得出的最优解如表6所示.根据遗传算法得出的3个响应面模型的最优解，修改前悬架动力学模型中设计变量的坐标值，再次在Car模块中进行双轮同向跳动仿真实验.在后处理模块中将原悬架模型仿真数据与经ADAMS/Insight优化和RSM(Response Surface Method)&GA(Genetic Algorithm)优化的结果进行对比，得到4个前轮定位参数的变化结果对比图，如图6～图9所示.从上面4个图中，可以明显看出，不论是ADAMS/Insight优化还是RSM&GA优化都达到了减小定位参数在车轮同向跳动过程中变化量的结果，提升了前悬架的性能.但相对于ADAMS/Insight优化结果，经过RSM&GA优化后的悬架性能明显提升更多，体现在图中也即曲线变化更为平缓.其中，图6和图7中三阶响应面模型优化结果显示了最优性能，但是图7中3个响应面模型优化结果的差异不大，而在图8和图9中3个响应面模型的优化结果基本重合.优化后的悬架前轮四个定位参数性能提升百分比详细列在表7中.三阶响应面模型在前束角上达到了最大的优化比，但是一阶和二阶响应面模型在四个参数上的优化百分比相对平均.综合上述分析，一阶响应面模型经过遗传算法优化的结果能够在简化计算的前提下很好地减小车轮同向跳动过程中定位参数的变化量，从而改善悬架在行驶过程中的运动学特性，达到提升悬架稳定性的目的.本文应用ADAMS/Car建立了前悬架的多体系统动力学模型，采用灵敏度分析选取设计变量，通过响应面法拟合了3种阶次的响应面模型，结合遗传算法得出了模型的最优解，达到了前悬架优化，提高汽车操作稳定性的目的.在整个优化仿真过程中，得出以下结论.1) 应用响应面法构建前悬架车轮定位参数的模型可以达到用简单的函数表示系统性能的目的，同时采用遗传算法对模型进行优化能够快速求得目标函数的最优解，相比ADAMS/Insight可以更好地实现悬架性能的优化.2) 综合考虑计算量和3种模型的优化对比结果，一阶响应面模型在经过遗传算法优化后能够得到较好的结果，有效提升前悬架的运动学特性，从而可以提高车辆行驶过程中的稳定性，为后续的整车操纵稳定性研究提供基础.【相关文献】[1] MAHMOODI-KALEIBAR M， JAVANSHIR I， ASADI K， et al. Optimization of suspension system of off-road vehicle for vehicle performance improvement[J]. Journal of Central South University， 2013， 20(4):902-910．[2] LAGER T H， IVERSEN T K， MOURITSEN O， et al. Suspension system performance optimization with discrete design variables[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2013，47(4):621-630．[3] 唐应时，朱位宇，朱彪. 基于轮胎磨损的悬架与转向系统硬点优化[J].汽车工程， 2013，35(7):640-644．[4] 谷正气，赵荣远，杨易. 基于多体动力学的悬架优化对汽车侧风稳定性影响研究[J].科技导报，2008， 26(8):48-48．[5] 潘云伟，胡启国，罗天洪. 基于遗传算法的悬架系统的优化和仿真[J].重庆交通大学学报(自然科学版)， 2013， 32(5): 1068-1070．[6] 宋晓琳，毛开楠，李叶松，等. 麦弗逊前悬架硬点参数的灵敏度分析和优化[J].现代制造工程，2011(6): 106-110．[7] 陈黎卿，陈无畏，何钦章. 双横臂扭杆独立悬架多目标遗传优化设计[J].中国机械工程，2007，18(17): 2122-2125．[8] 李伟平，王世东，周兵，等. 基于响应面法和NSGA—II算法的麦弗逊悬架优化[J].湖南大学学报(自然科学版)， 2011， 38(6):27-32．[9] 秦东晨. 面向运动型多功能车操纵稳定性的建模、仿真与优化[D].武汉：华中科技大学，2007．[10] 王延克. 基于响应面法的汽车悬架系统优化设计[D].西安：西安交通大学， 2006．。
基于随机响应面法的响应灵敏度分析及稳健优化设计
基于随机响应面法的响应灵敏度分析及稳健优化设计
乔红威;吕震宙;李洪双
【期刊名称】《中国机械工程》
【年(卷),期】2009(020)003
【摘要】基于随机响应面法,建立了随机结构响应统计矩的灵敏度分析方法,并将其用于结构稳健优化设计.所建立的方法利用随机响应面法将隐式的结构响应函数转换成显式函数,在显式的响应函数基础上求解响应的均值、标准差以及对应的灵敏度,所求出的响应灵敏度能为基于函数梯度的优化算法提供梯度信息.算例表明,所建立的灵敏度分析方法具有较高的效率和精度,提高了结构稳健优化设计的效率.【总页数】5页(P337-341)
【作者】乔红威;吕震宙;李洪双
【作者单位】西北工业大学,西安,710072;西北工业大学,西安,710072;西北工业大学,西安,710072
【正文语种】中文
【中图分类】TH122
【相关文献】
1.基于响应面法炮尾炮闩6σ稳健优化设计 [J], 项立银;顾克秋
2.基于摄动响应面法的汽轮机转子随机响应特性及灵敏度分析 [J], 周宗和;杨自春;葛仁超;朱江江
3.不确定性参数灵敏度分析的随机响应面法 [J], 方圣恩;张秋虎;林友勤;张笑华
4.基于随机响应面法的可靠性灵敏度分析及可靠性优化设计 [J], 乔红威;吕震宙;赵
新攀
5.采用随机响应面法钢筋混凝土框架抗震全局灵敏度分析 [J], 宋彦;吕大刚
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基于响应曲面法的工艺参数优化研究
基于响应曲面法的工艺参数优化研究近年来，随着工业领域的不断发展，工艺参数优化成为一个备受瞩目的问题。
寻找能够提高生产效率和降低成本的途径，是许多生产厂家和学术界人士一直在探索的方向。
而响应曲面法，则是在众多优化方法中，极为重要的一种。
本文将从响应曲面法的几个方面入手探讨如何基于这一优化方法进行工艺参数优化的研究。
一、响应曲面法的概念响应曲面法，又称为响应面法，是一种寻优的模型优化方法，其核心思想是寻找多个自变量对单一因变量的最优值。
该方法可用于优化复杂的工艺参数，以及优化机器、材料和设计参数等。
通过分析样本数据建立多元回归方程，然后描绘响应曲面，由此实现优化目标的预测和寻找最优参数。
二、响应曲面法的基本步骤响应曲面法分为两个主要步骤：试验设计和响应面推导。
1.试验设计试验设计是获得可靠数据的基础。
设计试验需要在各种因素的影响下测量响应变量的响应值。
对于非线性模型而言，需要进行一定量的重复实验。
设计试验很大程度上取决于响应变量的类型和实际操作背景。
2.响应面推导响应面推导是通过建立响应曲面，进而预测响应变量的最优值。
该过程依赖于推导响应曲面的工具，如偏回归系数、中心复合设计和全面因素设计等。
三、基于响应曲面法的工艺参数优化研究工艺参数优化研究是工业界和学术界一直在关注的问题。
通过响应曲面法分析和优化重要制造参数，可以探索最佳制造参数并优化产品性能。
以下是一些基于响应曲面法的工艺参数优化研究案例：1.进料流量对打印机墨水用量的影响该研究旨在探索进料流量和墨水用量之间的关系。
实验数据的采集包括4个参数（进料流量、增压机压力、墨水压力和喷嘴温度）和1个响应变量（墨水用量）。
然后利用中心复合设计（CCD）建立了回归方程，并用Excel进行数值优化，以确定进料流量的最佳值。
结果表明，在此实验条件下，最佳进料流量为13.6mg/s。
2.最优喷嘴孔径研究该研究旨在优化不同喷嘴孔径下的机器零件质量。
实验数据包括4个参数（喷嘴孔径、刀路速度、切削深度和切削速度）和1个响应变量（光滑度）。
基于Hopfield神经网络的有限元模型修正
d o i :10.3963/j .i s s n .1674-6066.2022.04.012基于H o pf i e l d 神经网络的有限元模型修正杨昕怡(武汉理工大学土木工程与建筑学院,武汉430070)摘 要: 工程结构的有限元模型对结构的健康监测与可靠性评估有重大意义,但实际工程中测量数据和模型都与结构初始有限元模型有一定的差异,因此有必要对实际结构的有限元模型进行修正㊂首先建立有限元模型修正方程来表达结构响应与待修正参数之间的关系,再通过H o p f i e l d 递归神经网络技术,对模型修正方程进行求解㊂通过一个数值梁模型对提出的方法进行了验证,结果显示H o p f i e l d 神经网络在求解线性模型修正仿真中有较好的效果㊂关键词: H o pf i e l d 神经网络; 模型修正; 线性方程组; 有限元模型F i n i t eE l e m e n tM o d e lM o d i f i c a t i o nB a s e do nH o p f i e l d N e u r a lN e t w o r kY A N G X i n -yi (S c h o o l o fC i v i l E n g i n e e r i n g a n dA r c h i t e c t u r e ,W u h a nU n i v e r s i t y o fT e c h n o l o g y ,W u h a n430000,C h i n a )A b s t r a c t : T h e f i n i t e e l e m e n tm o d e l o f e n g i n e e r i n g s t r u c t u r ew a so f g r e a t s i g n i f i c a n c e t o t h eh e a l t h m o n i t o r i n g a n d r e l i a b i l i t y e v a l u a t i o n o f t h e s t r u c t u r e ,b u t t h em e a s u r e d d a t a a n d t h em o d e l i n t h e a c t u a l e n g i n e e r i n g w e r e d i f f e r e n t f r o m t h e i n i t i a l f i n i t e e l e m e n tm o d e l o f t h es t r u c t u r e ,s o i tw a sn e c e s s a r y t o m o d i f y t h e f i n i t ee l e m e n tm o d e l o f t h ea c t u a l s t r u c t u r e .F i r s t l y ,t h e f i n i t ee l e m e n tm o d e lm o d i f i c a t i o ne q u a t i o n w a se s t a b l i s h e dt oe x p r e s st h er e l a t i o n s h i p b e t w e e n s t r u c t u r a l r e s p o n s e a n d p a r a m e t e r s t o b em o d i f i e d ,a n d t h e n t h eH o p f i e l d r e c u r s i v e n e u r a l n e t w o r k t e c h n o l o g y wa s u s e d t os o l v e t h em o d e lm o d i f i c a t i o n e q u a t i o n .An u m e r i c a lb e a m m o d e lw a s u s e d t o v e r i f y t h e p r o p o s e dm e t h o d ,a n d t h e r e -s u l t s s h o w e d t h a tH o p f i e l dn e u r a l n e t w o r kw a s e f f e c t i v e i n s o l v i n g l i n e a rm o d e lm o d i f i c a t i o n s i m u l a t i o n .K e y wo r d s : H o p f i e l dn e u r a l n e t w o r k ; m o d e lm o d i f i c a t i o n ; l i n e a r e q u a t i o n s ; f i n i t e e l e m e n tm o d e l 收稿日期:2022-04-08.基金项目:武汉理工大学土木工程与建筑学院国家级大学生创新创业训练计划资助(202110497067).作者简介:杨昕怡(2000-),本科生.E -m a i l :y a n g x i n y i @w h u t .e d u .c n 自有限单元元分析法问世至今,一直备受工程界学者的广泛关注㊂利用有限元模型来模拟研究结构响应对结构的设计㊁运营㊁维护㊁监测等活动具有重大作用㊂有限元模型修正主要是用结构实测的响应来反演结构力学参数,如弹性模型㊁质量㊁密度㊁尺寸参数等㊂常用的结构实测响应数据主要有静力数据和动力数据㊂由于结构动力数据种类丰富㊁测量方便,因此基于动力数据的有限元模型修正方法较多㊂国内外很多工程领域的研究人员都对基于动力数据的模型修正方法开展了研究,例如,方圣恩等[1]提出了一种模型修正措施,将建立的响应面模型与应用蒙特卡罗仿真技术得到的结构响应样本相联合,用于结构有限元模型修正㊂姚春柱等[2]采用了贝叶斯模型修正方法,将使用吉布斯抽样的蒙特卡罗马尔科夫链抽样方法得到的数据代入随机模型,应用贝叶斯理论,得到关于模型参数的后验分布动态统计特征,达到对参数进行识别的目标㊂陈辉等[3]结合结构随机响应实测数据列出了能准确表达待修正参数与结构反应之间联系的模型修正方程式,并在求解该方程时运用混合摄动-伽辽金方法,从而获取修正参数的概率统计特征㊂在国际上,美国的B e c k JL 教授[4]在对线弹性土木结构的随机模型修正研究中应用了贝叶斯方法,通过判断所抽取样本对应的响应与测量结果是否吻合来确定修正参数㊂R u i [5]通过响应面法㊁改进的蒙特卡洛统计模拟法和移动最小二乘法求解了模型修正方程㊂模型修正是力学反问题,求解模型修正方程,会涉及大型矩阵反复求逆,或存在多解或者病态问题,导致64建材世界 2022年 第43卷 第4期计算精度不高㊂并且根据目前国内外研究人员的研究成果可以看出学者们对模型修正的研究还在初级阶段,还需克服许多困难㊂因此,在工程界的迫切需求下,提出更为实用和高效的模型修正方法具有必要性㊂使用H o p f i e l d神经网络来求解模型修正方程能有效解决上述问题㊂首先建立基于动力模态数据的模型修正方程,并对H o p f i e l d神经网络解决实际问题的理论解与模型推导进行阐述,然后通过一个两跨连续梁对该方法进行了验证㊂结果表明,该方法能非常准确地求解模型修正方程,使修正结果与预设的工况一致,修正后的结构参数能够复现结构动力响应,具有实际工程意义㊂1理论1.1模型修正方程的建立考虑具有N个自由度的无阻尼结构,初始模型满足以下特征值方程K aφi=λi M aφi(i=1, ,n c)(1)式中,K a和M a分别是初始结构模型的整体刚度矩阵和质量矩阵;λi和φi分别是初始模型的第i阶特征值和特征向量;n c为初始模型的计算模态个数㊂类似地,实际结构的特征方程可以表示为K dφ-j=λ-j M dφ-j(j=1, ,n m)(2)式中,K d和M d分别是实际结构模型的整体刚度矩阵和质量矩阵;λ-j和φ-j分别是实际模型的第j阶特征值和特征向量;n m为实际模型的计算模态的个数㊂初始结构跟实际结构的质量矩阵与刚度矩阵存在以下关系M d=M a+ðN e n=1βn M n(3)K d=K a+ðN e n=1αn K n(4)式中,N e为结构的单元个数;K n和M n分别是结构第n个单元的NˑN单元组装矩阵;αn和βn分别为结构第n个单元的质量和刚度的修正系数,表示为实际结构的单元刚度和质量相对于初始矩阵的变化率㊂将式(1)的每个方程左乘φ-T j,其中j=1, ,n m㊂同样,将式(2)的每个方程左乘φT i,其中i=1, ,n c㊂可以得到φ-T j K aφi=λiφ-T j M aφi(5)φT i K dφ-j=λ-T jφi M dφ-j(6)合并式(5)和式(6)可以得到φT i K dφ-jφT i K aφ-j =λ-jφT i M dφ-jλiφT i M aφ-j(7)将式(3)㊁式(4)代入式(7)可以得到1+ðN e n=1αnφT i K nφ-jφT i K aφ-j =λ-jλi1+ðN e n=1βnφT i M nφ-jφT i M aφ-æèçöø÷j(8)对式(8)进行因式变换可以得到ðN e n=1αnφT i K nφ-jφT i K aφ-j -ðN e n=1βnφT i M nφ-jφT i M aφ-j=λ-jλi-1(9)式(9)可以简写为C(0)E(0[])㊃γ(0)=f(0)(10)式中,C=Φ()i T K nΦj,E=ðN e n=1-λ-jΦ()i T M nΦj,f(0)=λ-jΦ()i T MΦj-Φ()i T KΦj,γ=α[]βT㊂1.2H o p f i e l d神经网络H o p f i e l d神经网络作为一种递归神经网络,具有多反馈回路㊂递归神经网络通过结构递归建立,根据不同形式的递归性应用,产生了许多具有不同结构的递归网络㊂在各种神经网络的学习算法中,梯度下降法应用十分广泛㊂采用H o p f i e l d神经网络来求解现行矩阵方程,根据得到的解与理论解之间的对比,能判断该74建材世界2022年第43卷第4期神经网络模型求解线性矩阵方程的有效性㊂数学矩阵论中求C (0)E (0[])㊃γ(0)=f (0)的方法如下x =C ()0 E ()[]0/f ()0=C ()0 E ()[]0-()1㊃f ()0 下面依据负梯度设计方法推导该神经网络模型:1)构造一个基于矩阵范数的标量误差函数ε(t )= C ()0E ()[]0 22/2=C ()0E ()[](0㊃γ()0-f ())0T C ()0E ()[]0㊃γ()0-f ()()0/2 2)为了使上述误差减小,可采用经典的负梯度方法,因此我们可以得到如下误差函数负梯度方向作为下降方向-∂ε∂χ=-C ()0E ()[]0T C ()0E ()[](0㊃γ()0-f ())0 3)线性的基于负梯度的神经网络模型如下γ㊃()0()t =-γC ()0E ()[]0T C ()0E ()[](0㊃γ()0-f ())0其中参数γ>0决定网络的收敛速度,如条件允许,越大越好㊂2 数值算例下面对一个双跨连续梁进行模型修正研究,跨长和梁截面如图1所示㊂模拟连续梁的有限元模型由12个相同的欧拉-伯努利梁单元组成㊂单元中的每一个节点包括两个自由度㊁一个垂直位移和一个扭转角度㊂假设初始梁模型弹性模量为2.8ˑl 010P a ,密度为2.5ˑ103k g /m 3㊂假设第②㊁⑤㊁⑩三个单元的真实质量分别下降了40%㊁30%和20%,同时第③㊁⑤㊁⑨㊁⑩㊁单元的弹性模量分别减少30%㊁40%㊁35%㊁30%和20%,其他单元的质量与弹性模量保持初始值不变㊂将12个单元的弹性模量和质量认定为修正参数㊂修正后的弹性模量参数从左到右编为1~12号,相应的质量参数为13~24㊂换句话说,修正后的参数总数为24㊂计算得到该两跨连续梁24个参数修正后的神经网络预测值与实际真值结果对比如图2所示㊂由图2可以看出,修正后的H o p f i e l d 识别值与实际真值基本吻合,由此可证明H o p f i e l d 神经网络修正模型的有效性㊂(下转第65页)84建材世界 2022年 第43卷 第4期建材世界2022年第43卷第4期[10]施有志,柴建峰,赵花丽,等.地铁深基坑开挖对邻近建筑物影响分析[J].防灾减灾工程学报,2018,38(6):927-935.[11]郑翔,汤继新,成怡冲,等.软土地区地铁车站深基坑施工全过程对邻近建筑物影响实测分析[J].建筑结构,2021,51(10):128-134.[12]A n JB,S u nCF.S a f e t y A s s e s s m e n t o f t h e I m p a c t s o f F o u n d a t i o nP i t C o n s t r u c t i o n i nM e t r oS t a t i o no nN e a r b y B u i l d i n g s[J].I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f S a f e t y a n dS e c u r i t y E n g i n e e r i n g,2020,10(3):423-429.[13]王利军,邱俊筠,何忠明,等.超大深基坑开挖对邻近地铁隧道变形影响[J].长安大学学报(自然科学版),2020,40(6):77-85.[14]尚国文,李飒,翟超,等.基坑开挖与邻近地铁结构变形相关性的实测分析[J].防灾减灾工程学报,2020,40(1):107-115.[15]丁智,张霄,金杰克,等.基坑全过程开挖及邻近地铁隧道变形实测分析[J].岩土力学,2019,40(S1):415-423.[16]许四法,周奇辉,郑文豪,等.基坑施工对邻近运营隧道变形影响全过程实测分析[J].岩土工程学报,2021,43(5):804-812.[17]左自波,黄玉林,吴小建,等.基坑施工对下方双线地铁隧道影响的数值模拟[J].北京交通大学学报,2019,43(3):50-56.[18]章润红,刘汉龙,仉文岗.深基坑支护开挖对临近地铁隧道结构的影响分析研究[J].防灾减灾工程学报,2018,38(5):857-866.[19]S u nH S,W a n g,L W,C h e nSW,e t a l.AP r e c i s e P r e d i c t i o n o f T u n n e l D e f o r m a t i o nC a u s e d b y C i r c u l a r F o u n d a t i o nP i t E x-c a v a t i o n[J].A p p l i e dS c i e n c e s,2019,9(11),2275.[20]徐宏增,石磊,王振平,等.深基坑开挖对邻近大直径管线影响的优化分析[J].科学技术与工程,2021,21(2):714-719.[21]贺雷,张亚楠,曹明洋,等.软土区基坑开挖对邻近电缆隧道的影响研究[J].建筑结构,2020,50(S1):1032-1037.[22]施有志,葛修润,李秀芳,等.地铁深基坑施工对周边管线影响数值分析[J].中山大学学报(自然科学版),2017,56(6):83-93.[23]L iWJ,H a nX M,C h e nT,e t a l.R e s e a r c ho n I n f l u n e n c eL a wo f E x i s t i n g P i p e-j a c k i n g T u n n e lA f f e c t e db y A d j a c e n t F o u n-d a t i o nP i tE x c a v a t i o ni nS o f tC l a y S t r a t u m[J].I O P C o n fe r e n c eS e r i e s M a t e r i a l sS c i e n c ea n d E n g i n e e r i n g,2019,688:022041.(上接第48页)3结论该文提出了一种基于H o p f i e l d人工神经网络和模态数据求解有限元模型修正参数的方法㊂基于结构实测响应,通过构建修正方程与H o p f i e l d神经网络对一两跨连续梁质量与弹性模量参数进行修正,修正后得到的有限元模型与结构实际特征基本统一㊂因此可以认为将H o p f i e l d神经网络引入模型参数修正中可以避免大型矩阵求逆和正则化,能更准确的修正结构参数㊂参考文献[1]方圣恩,林友勤,夏樟华.考虑结构参数不确定性的随机模型修正方法[J].振动.测试与诊断,2014,34(5):832-837,973.[2]姚春柱,王红岩,芮强,等.车辆点焊结构有限元模型参数不确定性修正方法[J].机械科学与技术,2014,33(10):1545-1550.[3]陈辉,张衡,李烨君,等.测量模态不确定的梁式结构随机有限元模型修正[J].振动工程学报,2019,32(4):653-659.[4] B e c k JL,K a t a f y g i o t i sLS.U p d a t i n g M o d e l s a n dT h e i rU n c e r t a i n t i e s-I:B a y e s i a nS t a t i s t i c a l F r a m e w o r k[J].J o u r n a l o f E n-g i n e e r i n g M e c h a n i c s,1988,124(4):455-461.[5] R u iQ,O u y a n g H,W a n g H Y.A nE f f i c i e n tS t a t i s t i c a l l y E q u i v a l e n tR e d u c e d M e t h o do nS t o c h a s t i c M o d e lU p d a t i n g[J].A p p l i e d M a t h e m a t i c a lM o d e l l i n g,2013,37(8):6079-6096.56。
响应面模型成功的标准
响应面模型成功的标准
响应面模型是一种统计模型，可用于找到多个自变量与响应变量之间的最佳关系，并优化响应变量。
对于响应面模型的成功应用，可以根据以下标准进行评估：
1. 模型的可靠性：模型应该能够在未知数据上进行准确预测。
为了评估模型的可靠性，可以使用交叉验证技术或保留样本技术。
2. 模型的可解释性：模型应该能够解释自变量与响应变量之间的关系。
这可以通过分析模型的系数或响应曲面来实现。
3. 模型的优化能力：模型应该能够找到使响应变量最优化的自变量组合。
这可以通过最大化或最小化响应曲面来实现。
4. 模型的稳健性：模型应该能够在噪声或异常值的存在下仍然保持其可靠性和优化能力。
这可以通过使用鲁棒统计方法或异常值检测技术来实现。
5. 模型的可扩展性：模型应该能够在新的自变量或响应变量被引入时进行扩展。
这可以通过在模型中添加新的自变量或响应变量来实现。
综上所述，响应面模型的成功应用需要考虑模型的可靠性、可解释性、优化能力、稳健性和可扩展性。
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基于响应面法和遗传算法的机身隔框结构优化
基于响应面法和遗传算法的机身隔框结构优化摘要：对机身典型隔框结构进行参数优化，选取隔框减轻孔大小以及隔框的厚度等作为优化参数，隔框最大应力及隔框重量作为优化目标。
通过设计27组仿真试验，建立起4个优化参数关于2个优化目标的响应面模型。
对响应面模型拟合度进行检验，其拟合度较高。
通过NSGA-Ⅱ遗传算法进行多目标优化，根据求得的Pareto解集选取最终结构优化方案为R=50mm，C=279mm，K=176mm，T=0.9mm。
分析验证优化后的隔框结构，隔框最大应力减少9.4%，隔框减重4.3%，满足机身隔框结构设计强度指标和减重目的。
关键词：机身隔框结构；响应面模型；多目标优化；强度性能；结构减重中图分类号：TH122 文献标识码：A飞机结构部件的优化研究，通常围绕提升强度性能和结构减重这两个目标开展。
刑本东等针对某型飞机舱门摇臂结构在耳片连接区应力水平较低、存在较大减重设计空间的问题，对舱门摇臂结构进行拓扑优化设计，优化后的新型摇臂结构质量减小19.5%[1]。
呼斯乐图等以某型电传飞机主动侧杆装置机架为研究对象，根据CATIA三维实体模型建立有限元模型，对其进行了拓扑优化分析并验证振动特性，实现机架结构满足振动要求，减重9.92%[2]。
马建建等建立起飞机起落架前撑杆疲劳寿命和结构重量的响应面模型，对前撑杆以疲劳寿命为设计目标以结构重量为约束进行结构优化，疲劳寿命提高了约5.4倍[3]。
Song-Zhen Tang等采用响应面模型和遗传算法对H型翅片管结构参数进行优化，使得优化后的传热器性能提升了48%~55%[4]。
本文对机身典型隔框结构进行参数优化，通过响应面模型方法和遗传算法进行结构优化，使隔框既能满足强度指标，也符合轻量化的设计要求。
1机身隔框结构设计1.1机身隔框结构隔框是机身内的主要横向承力和传力结构，本文所研究的机身隔框为铝合金材料制成，在满足隔框强度的同时，腹板上开有减轻孔减少了结构重量，并且能够安装系统设备或作为设备通路，保证飞机结构的可达性、方便维修。
基于模态参数灵敏度的模型修正方法研究
ｖ１，ｖ２，…，ｖＮ 。记Ｖ ＝ ［ｖ１，…，ｖＮ ］为 无 阻 尼 规 范 化
振型矩 阵，那 么 此 时 模 态 质 量 和 模 态 刚 度 矩 阵 分
别为
ＶＴＭＶ ＝ Ｅ，ＶＴＫＶ ＝ｄｉａｇ（－λ１，…，－λＮ ）。 对 于 经 典 阻 尼 系 统 ，模 态 阻 尼 矩 阵 为
ＶＴＣＶ ＝ｄｉａｇ（ｃ１，…，ｃＮ ）。
１，２，… ，２ Ｎ）满 足 方 程
（ｓｉ２Ｍ ＋ｓｉＣ ＋Ｋ）ｕｉ ＝０。
对于 Ｎ 自由度振动系统，特 征 方 程 ｄｅｔ［ｓ２ Ｍ ＋ｓＣ ＋
Ｋ］＝０有２ Ｎ 个呈复共轭对出现的特征值ｓ１，ｓ２，…，
ｓ２ Ｎ （其中ｓｉ＋１ 为ｓｉ 的共轭（ｉ＝１，３，…，２ Ｎ －１）），称 为系统的极点或复频 率。这 些 频 率 对 应 着 一 组 呈 复
收 稿 日 期 ：２０１９－０５－２０ 基 金 项 目 ：吉 林 省 科 技 厅 项 目 （２０１９０２０１０２８ＪＣ） 作 者 简 介 ：张 淼 （１９７２－ ），男 （汉 ），吉 林 长 春 人 ，博 士 ，教 授
主要研究结构优化设计与控制。
术之一。它的应用经常融合了残差型和灵敏度矩阵 方程型的目标函数，本 文 的 目 的 是 试 图 从 数 学 角 度 揭示这两种模型修 正 技 术 之 间 的 内 在 联 系，并 充 分 展示它们的技术轮廓。
１ 基 本 理 论 ［１］
描述自由度为 Ｎ 的线性阻尼离散系统的自由
振动方程为
Ｍｘ¨ （ｔ）＋Ｃｘ·（ｔ）＋Ｋｘ（ｔ）＝０，
（１）
式中 Ｍ，Ｃ和Ｋ ∈ＲＮ×Ｎ 分别为系统的质量、阻尼和刚
度矩 阵 。结 构 有 限 元 分 析 时 ，作 拉 普 拉 斯 变 换 ｘ（ｔ）＝
ｕｅ ｗｔ ＝ ｕｅｊωｔ（ｗ ＝ ｊω）代 入 式 （１）可 得 （ｗ２ Ｍｕ ＋
响应面优化实验方案设计
食品科学研究中实验设计的案例分析——响应面法优化超声辅助提取车前草中的熊果酸班级：学号：姓名：摘要：本文简要介绍了响应面曲线优化法的基本原理和使用步骤，并通过软件Design-Expert 7.0软件演示原文中响应面曲线优化法的操作步骤。
验证原文《响应面法优化超声辅助提取车前草中的熊果酸》各个数据的处理过程，通过数据对比，检验原文数据处理的正确与否。
关键词：响应面优化法数据处理 Design-Expert 7.0 车前草前言：响应曲面设计方法(Response SufaceMethodology，RSM)是利用合理的试验设计方法并通过实验得到一定数据，采用多元二次回归方程来拟合因素与响应值之间的函数关系，通过对回归方程的分析来寻求最优工艺参数，解决多变量问题的一种统计方法（又称回归设计）。
响应面曲线法的使用条件有：①确信或怀疑因素对指标存在非线性影响；②因素个数2-7个，一般不超过4个；③所有因素均为计量值数据；试验区域已接近最优区域；④基于2水平的全因子正交试验。
进行响应面分析的步骤为：①确定因素及水平，注意水平数为2，因素数一般不超过4个，因素均为计量值数据；②创建“中心复合”或“Box-Behnken”设计；③确定试验运行顺序(Display Design)；④进行试验并收集数据；⑤分析试验数据；⑥优化因素的设置水平。
响应面优化法的优点：①考虑了试验随机误差②响应面法将复杂的未知的函数关系在小区域内用简单的一次或二次多项式模型来拟合，计算比较简便，是降低开发成本、优化加工条件、提高产品质量，解决生产过程中的实际问题的一种有效方法③与正交试验相比，其优势是在试验条件寻优过程中，可以连续的对试验的各个水平进行分析，而正交试验只能对一个个孤立的试验点进行分析。
响应面优化法的局限性: 在使用响应面优化法之前，应当确立合理的实验的各因素和水平。
因为响应面优化法的前提是设计的试验点应包括最佳的实验条件，如果试验点的选取不当，实验响应面优化法就不能得到很好的优化结果。
基于随机响应面法的可靠性灵敏度分析及可靠性优化设计
收稿日期:2008206226;修改稿收到日期:20092012061基金项目:国家自然科学基金(10572117,50875213);新世纪优秀人才支持计划(NCET 20520868);航空基础基金(2007ZA53012)和民口863计划(2007AA04z401)联合资助项目1作者简介:乔红威3(19812),男,博士生(E 2mail :qiaohongwei @ ).第27卷第2期2010年4月 计算力学学报 Chinese Journal of Computational MechanicsVol.27,No.2April 2010文章编号:100724708(2010)022*******基于随机响应面法的可靠性灵敏度分析及可靠性优化设计乔红威3, 吕震宙, 赵新攀(西北工业大学航空学院,西安710072)摘 要:基于随机响应面法建立了可靠性灵敏度分析方法,并将其用于结构可靠性优化设计。
建立的方法利用随机响应面法将隐式的结构响应函数转换成显式函数,在显式的响应函数基础之上求解失效概率和进行可靠性灵敏度分析,得到的可靠性灵敏度能为基于函数梯度的优化算法提供梯度信息。
算例表明,本文提出的可靠性灵敏度分析方法具有较高的效率和精度,提高了结构可靠性优化设计的效率。
关键词:随机响应面法;可靠性灵敏度分析;可靠性优化设计;失效概率中图分类号:O213.2 文献标识码:A1 引言确定性结构优化设计往往不能考虑材料参数、几何尺寸及载荷的随机性对结构性能带来的影响,基于可靠性思想的优化将结构的随机性用可靠度或者失效概率的方式来体现,是更为接近客观实际的优化方法。
虽然可靠性优化设计的优势明显,但结构概率分析的计算效率和精度问题却限制了可靠性优化设计的发展,高效率的可靠性及其灵敏度分析方法对于提高优化效率起着至关重要的作用。
为了使可靠性优化设计的计算时间和计算精度达到可接受的水平,各国学者为此做了大量工作,也取得了不少的成果,如基于随机因子法[1]、序列逼近法[2](SA P )、移动最小二乘法响应面法[3]以及分裂分解法[4]。
基于随机响应面法的结构可靠度分析_胡冉
第27卷第9期Vol.27 No.9 工程力学2010年9月 Sep. 2010 ENGINEERING MECHANICS 192 文章编号：1000-4750(2010)09-0192-09基于随机响应面法的结构可靠度分析胡冉，*李典庆，周创兵，陈益峰(武汉大学水资源与水电工程科学国家重点实验室，湖北，武汉 430072)摘 要：提出了考虑变量间相关性的随机响应面法，采用正交变换解决随机响应面法输入随机变量间相关性问题。
推导了4阶和5阶Hermite随机多项式展开的解析表达式。
编写了基于C#语言的随机响应面法计算程序。
最后采用算例证明了随机响应面法在结构可靠度分析中的有效性。
结果表明，提出的随机响应面法能够有效地分析输入随机变量间相关性的可靠度问题。
3阶随机响应面法的计算精度在大多数情况下可以满足结构可靠度分析的需要，而且计算效率较高。
但是随着变量间相关性的增加，4阶或5阶随机响应面法才能保证足够的计算精度。
概率配点数目为随机多项式待定系数数目的两倍并不总能保证足够的计算精度，一般来说，配点数目要大于两倍待定系数的个数才能保证随机响应面法足够的计算精度。
关键词：结构可靠度；随机响应面；随机多项式；概率配点；蒙特卡罗模拟中图分类号：TB114.3 文献标识码：ASTRUCTURAL RELIABILITY ANALYSIS USING STOCHASTICRESPONSE SURFACE METHODHU Ran, *LI Dian-qing, ZHOU Chuang-bing, CHEN Yi-feng(State Key Laboratory of Water Resources and Hydropower Engineering Science, Wuhan University, Wuhan, Hubei 430072, China)Abstract:This paper aims to propose a stochastic response surface method considering correlated input random variables. The orthogonal transform is adopted to treat the correlated random variables in stochastic response surface method. Explicit polynomials are derived for the forth-order and fifth-order Hermite polynomial chaos expansions of random variables. A C#-language based computer program WHUSRSM (Wuhan University Stochastic Response Surface Method) is developed. Four examples are selected to illustrate the application of the proposed stochastic response surface method. The results indicate that the proposed stochastic response surface method can estimate the structural reliability involving correlated random variables efficiently. A third-order stochastic response surface method is reasonably accurate to calculate failure probabilities between 10-3 and 10-4. However, a fourth-order or fifth-order Hermite polynomial chaos expansions should be used for cases with high dependency between input random variables. The number of collocation points equaling twice the number of unknown coefficients does not ensure the accuracy. In general, it is recommended that the number of collocation points should be at least two times of the number of unknown coefficients of the Hermite polynomial chaos expansion.Key words: structural reliability; stochastic response surface method; polynomial chaos; probabilistic collocation; Monte Carlo simulation———————————————收稿日期：2009-06-15；修改日期：2009-11-30基金项目：国家自然科学基金项目(50879064)；高等学校全国优秀博士学位论文作者专项资金项目(2007B50)作者简介：胡冉(1985―)，男，湖北咸宁人，博士生，主要从事岩土工程渗流分析与控制研究(E-mail: whuran@)；*李典庆(1975―)，男，湖北竹溪人，教授，博士，主要从事岩土工程可靠度和风险分析，大坝安全的风险和不确定性分析方面的研究(E-mail: dianqing@)；周创兵(1962―)，男，江苏南通人，教授，博士，主要从事岩体多场耦合、岩体变形与稳定性方面的研究(E-mail: cbzhou@)；陈益峰(1974―)，男，福建漳平人，教授，博士，主要从事岩土多场耦合、岩土变形与稳定性方面的研究工作工程力学 193目前可靠度理论在结构工程中得到了广泛的应用，对于一般结构来说，无论是构件还是系统可靠度分析，在可靠度计算方面已经没有问题。
基于逆响应面法的有限元模型修正
基于逆响应面法的有限元模型修正张伟杰;陆秋海;缑百勇;王波【期刊名称】《噪声与振动控制》【年(卷),期】2013(033)006【摘要】基于响应面法(RSM)的有限元模型修正是以若干设计参数(如密度、弹性模量等)为自变量,以若干特征参数(如固有频率、振型等)为因变量,通过回归分析方法来拟合特征参数关于修正参数的显式表达式.提出的逆响应面法(IRSM)则是以特征参数作为自变量,设计参数作为因变量.利用此法的有限元模型修正可直接根据特征参数的目标值得到设计参数的修正量,而不需要经过迭代计算,有效地提高计算速度和精度.介绍逆响应面法及其应用,讨论使用响应面法和逆响应面法进行有限元模型修正的优缺点和适用范围,分析适合于逆响应面法的逆响应面函数、实验设计方案和回归精度检验的方法.利用逆响应面法对一简支梁进行有限元模型修正的结果表明,逆响应面法能高效准确地修正设计参数,对于输出变量少于输入变量的情况更能显著减少有限元计算次数,适用于复杂的工程结构.【总页数】6页(P5-10)【作者】张伟杰;陆秋海;缑百勇;王波【作者单位】清华大学航天航空学院应用力学教育部重点实验室,北京100084;长安福特汽车有限公司技术开发中心,重庆401122;清华大学航天航空学院应用力学教育部重点实验室,北京100084;清华大学航天航空学院应用力学教育部重点实验室,北京100084;清华大学航天航空学院应用力学教育部重点实验室,北京100084【正文语种】中文【中图分类】O241.82【相关文献】1.基于响应面法的印制电路板组件有限元模型修正 [J], 王开山;李传日;庞月婵;郭恒晖2.基于响应面法的数控磨床立柱热特性有限元模型修正 [J], 魏颃;李郝林;应杏娟3.基于响应面法的钢-砼混合梁悬索桥有限元模型修正 [J], 石帅;李永红4.基于改进区间逆响应面法的塔机有限元模型修正 [J], 秦仙蓉;龙世让;丁旭;张晓辉;孙远韬;张氢5.基于响应面法和麻雀搜索算法的结构有限元模型修正 [J], 徐喆;辛景舟;唐启智;肖维娜;李双江因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
基于区间响应面模型的随机模型修正方法[发明专利]
![基于区间响应面模型的随机模型修正方法[发明专利]](https://img.taocdn.com/s3/m/59636aa5336c1eb91a375df2.png)
专利名称：基于区间响应面模型的随机模型修正方法专利类型：发明专利
发明人：方圣恩,张秋虎,林友勤,夏樟华
申请号：CN201310253253.5
申请日：20130625
公开号：CN103324798A
公开日：
20130925
专利内容由知识产权出版社提供
摘要：本发明涉及一种基于区间响应面模型的随机模型修正方法，其特征在于包括以下步骤：步骤S01：基于试验设计和回归分析构建不包含交叉项的二阶多项式响应面模型；步骤S02：采用配方法将多项式响应面表达式转化为完全平方形式；步骤S03：将区间参数代入响应面表达式，使得确定性响应面模型变为区间响应面模型；步骤S04：在区间响应面模型上进行区间运算得到预测的结构响应区间，并结合实测响应区间建立目标函数；步骤S05：构建优化反演问题来识别参数的区间分布。
本发明不仅避免了区间运算的扩张性问题，同时兼顾了结构响应区间的快速计算，使得（区间）随机模型修正过程不必进行有限元分析计算和构建灵敏度矩阵，从而节省了大量的计算时间和耗费，也尽可能避免了病态优化问题的出现。
申请人：福州大学
地址：350108 福建省福州市闽侯县上街镇大学城学园路2号福州大学新区
国籍：CN
代理机构：福州元创专利商标代理有限公司
代理人：蔡学俊
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基于随机响应面模型的随机模型修正方法_张秋虎
过随机模型修正过程量化结构参数的不确定性；最后采用钢板数值模拟方式，验证了所提出方法的有效性。 关键词：随机模型修正；参数不确定性；随机响应面模型；概率配点法
A STOCHASTIC MODEL UPDATING METHOD BASED ON STOCHASTIC RESPONSE SURFACE MODELS
i2
(1)
式中： a0，ai1，ai1 i2，ai1 i2 i3 均为待定系数；n 为标准正态随机变量 的个数； p (i1，i2， ，i p ) 为 p 阶 Hermite 多项式，其计算公式为：
1 ξT ξ ξT ξ p e 2 i1 i p 1
p (i1，i2， ，i p ) (1) p e 2
n
(2)
基于独立标准随机变量 i i 1 的 Hermite 多项式具有正交性：
E p q 0
if
p q
(3)
本文采用概率配点法结合回归分析[7]来确定式(1)的待定系数。当待定系数确定以后，结构响应的统计
特征值就可以基于展开式(即随机响应面模型)方便地求出。对于常用的 2 阶随机响应面，可以利用 Hermite 多
Abstract: By using the probabilistic collocation method and regression analysis, stochastic response surface models are constructed for expressing the relationship between the uncertain parameters and responses of a structure. Then a stochastic model updating procedure is established for quantifying the parameter uncertainties. The proposed method has been validated using a set of numerical steel plates. Key words: stochastic model updating, parameter uncertainty, stochastic response surface models, probabilistic collocation method
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(1. School of Civil Engineering, Hefei University of Technology, Hefei, Anhui Province 230009, PR China; 2. School of Civil Engineering, Fuzhou University, Fuzhou, Fujian Province 350108, PR China)
频率 1 2 3 4 5
表1
钢板前 5 阶频率目标值
标准差(Hz) 0.206 0.460 1.018 0.775 1.739 标准差/均值(%) 0.467 0.376 0.735 0.321 0.620
均值(Hz) 44.10 122.36 138.47 241.32 283.49
4.1
参数 t 的随机模型修正 将钢板沿长度方向等分为 3 个部分，板厚分别用 t1、t2、t3 表示。首先，根据 t1、t2、t3 的初始概率
Abstract: By using the probabilistic collocation method and regression analysis, stochastic response surface models are constructed for expressing the relationship between the uncertain parameters and responses of a structure. Then a stochastic model updating procedure is established for quantifying the parameter uncertainties. The proposed method has been validated using a set of numerical steel plates. Key words: stochastic model updating, parameter uncertainty, stochastic response surface models, probabilistic collocation method
过随机模型修正过程量化结构参数的不确定性；最后采用钢板数值模拟方式，验证了所提出方法的有效性。 关键词：随机模型修正；参数不确定性；随机响应面模型；概率配点法
A STOCHASTIC MODEL UPDATING METHOD BASED ON STOCHASTIC RESPONSE SURFACE MODELS
1 引言
传统的确定性有限元模型修正方法已得到大量的研究和应用[1]。然而，实际工程结构中的不确定性因 素是普遍存在且不可避免的，使得确定性模型修正方法在实际工程上的应用受到很大的限制。因此，考虑 了不确定性因素的随机模型修正方法开始得到研究人员的关注[2-6]。 当前参数和响应不确定性的传播分析一般采用概率方法、模糊方法和区间分析方法，当结构参数和响 应的概率分布可知时，就可以采用概率随机模型修正过程求得参数的不确定性。但上述过程的难点在于优 化迭代过程中灵敏度矩阵的求解往往十分困难，或者采用蒙特卡罗方法时需要大量的样本和数值计算，不 利于工程实际应用。因此为了提高随机模型修正的效率，本文根据参数和响应的概率分布形式，结合概率 配点法及回归分析，建立显式的随机响应面模型来描述不确定性参数和响应之间关系，该模型本质上是基 于 Hermite 多项式的多项式混沌展开式(一种多项式数学表达式)。因此在随机模型修正过程中仅需对数学 表达式进行运算和操作， 避免了灵敏度矩阵的构造和计算， 在保证修正精度的前提下大大提高了修正效率。
参数 t1 t2 t3 Std.( t1) Std.( t2) Std.( t3)
参数 t 初始和修正后概率分布
初值(mm) 3.000 3.000 3.000 3.000×10-2 3.000×10-2 3.000×10-2 修正值(mm) 3.011 3.005 3.011 2.025×10-2 1.782×10-2 2.059×10-2
表6
频率
参数 E、G 修正前后频率均值相对误差
I 目标值 II 初值 有限元 误差 0.62 0.43 1.40 0.33 1.30 4.08 44.37 122.89 136.53 242.12 279.79 III 修正值 有限元 44.23 122.35 138.48 240.74 283.35 误差 0.29 0.01 0.01 0.24 0.05 0.60
1 2 3 4 5 总误差
44.10 122.36 138.47 241.32 283.49
1 2 3 4 5 总误差
44.10 122.36 138.47 241.32 283.49
表4
频率
参数 t 修正前后频率标准差相对误差
I 目标值 (Hz) II 初值 有限元 0.395 0.710 1.182 1.406 1.823 误差 92.1 54.4 16.1 81.4 48.5 III 修正值 有限元 0.236 0.466 0.705 0.930 1.238 误差 14.5 1.26 30.8 20.0 28.8 95.36
文章编号：CSTAM2013-P28-E0278
基于随机响应面模型的随机模型修正方法
张秋虎 1，*方圣恩 1,2，任伟新 1
(1. 合肥工业大学土木与水利工程学院，安徽 合肥 230009；2. 福州大学 土木工程学院，福建 福州 350108)
摘
要：通过概率配点法和回归分析建立随机响应面模型，用以表述结构不确定性参数与响应之间的关系；再通
分布，建立钢板前 5 阶频率的随机响应面模型，并计算各阶频率响应的统计特征值；然后采用针对目标函 数(公式(4)、(5))构建优化反问题，进而识别出参数的“真实”概率分布。表 2~4 给出了参数 t 的修正结果。 修正结果表明本文所提出方法较为合理：(1)t1、t3 部分关于钢板中心线对称，因此修正得到的 t1、t3 均值 相等是合理的。同时 t1、t3 标准差也近似相等(相差 1.68%，误差主要是由于随机响应面建模误差引起的， 同时也说明参数标准差的修正需要更高的计算精度)；(2)整块钢板本身几何和材料参数分布均匀，因此 t1、 t2、t3 的标准差相差不大。 值得注意的是，本文采用单目标优化策略，优化的目标函数为钢板前 5 阶频率均值、标准差的相对误 差平方和，初始误差较大的第 3、5 阶频率(扭转模态)得到了较好地改善，而初始误差较小的第 1、2、4 阶 频率(弯曲模态)则可能出现略微增加的趋势。由图 2(a)、(b)可见，修正后的钢板预测频率分布无法收敛于 目标值。 4.2 参数 E、G 的随机模型修正 鉴于板厚 t 的修正效果不理想，本文还采用杨氏模量 E 和剪切模型 G 进行随机模型修正，修正过程与 t 的基本相同。表 5~7 为参数 E、G 的修正结果。修正结果及图 2(c)、(d)表明，参数 E、G 修正后的钢板预 测频率分布能够很好地收敛于目标值。 表2
2 随机响应面模型
随机响应面方法是确定性响应面的拓展应用[7]，结构不确定响应 Y 采用基于 Hermite 多项式的多项式
基金项目：国家自然科学基金项目(51108090)，福建省自然科学基金项目(2011J05129)，福建省高校杰出青年科研人才培育计划(JA12020)，教育部留 学回国人员科研启动基金(LXKQ201201)。 作者简介：张秋虎(1986―)，男，安徽人，硕士，主要从事结构健康监测与鉴定加固； *方圣恩(1980―)，男，福建人，副研究员，主要从事结构健康监测与损伤识别(shengen.fang@)； 任伟新(1960―)，男，湖南人，长江学者特聘教授，主要从事结构健康监测，结构稳定与振动。
目标函数的优化均采用 MATLAB®提供的多维约束优化算法 fmincon[8]。
2
(5)
4 数值模拟算例
本文采用尺寸 600mm(长) 120mm(宽) 3mm(厚)钢 板进行数值验证， 钢板材料特性为： 杨氏模量 E=210GPa， 3 =7860kg/m 。钢板前 5 阶的 剪切模量 G=83GPa，密度 自振频率列于表 1， 为修正所需的目标频率。 其中第 1、 2、 4 阶为弯曲模态，第 3、5 阶为扭转模态。钢板厚度 t，杨 氏模量 E 和剪切模量 G 作为随机模型修正参数。 ・Ⅲ-467・
srsm m f f F1 ( x )= m f
(2) 参数标准差修正过程采用的目标函数 F2 ( x ) x 为参数 x 的均值； srsm 为模型预测的频率均值； m f f 为结构实测的频率均值。
srsm m f f F2 ( x ) m f srsm 式中 x 为参数 x 的标准差； f 为模型预测的频率标准差； m f 为结构实测的频率标准差。
表5
参数 E、G 初始和修正后概率分布
参数 t1 t2 t3 Std.( t1) 初值(mm) 3.000 3.000 3.000 3.000×10
-2
修正值(mm) 3.011 3.005 3.011 2.025×10-2
表3
频率
参数 t 修正前后频率均值相对误差
I 目标值 (Hz) II 初值 有限元 44.37 122.87 136.53 242.11 279.78 误差 0.61 0.42 1.41 0.33 1.31 4.08 III 修正值 有限元 44.45 123.25 136.80 242.85 280.75 误差 0.80 0.73 1.21 0.63 0.97 4.34
n
(2)
基于独立标准随机变量 i i 1 的 Hermite 多项式具有正交性：
E p q 0
if