基于随机响应面模型的随机模型修正方法_张秋虎

项式的正交性，直接推导求出结构响应的均值和方差。
3 随机模型修正过程
本文提出了一种基于随机响应面模型的随机模型修正方法，即首先根据参数和响应的概率分布形式， 建立随机响应面模型； 再通过构建一个优化反演逆问题， 来估计参数的概率分布统计特征值(本文假设参数 和响应均服从正态分布，因此特征值为均值 x 和标准差 x )。优化迭代过程每一步均根据上一步修正得到 的参数概率分布来重构随机响应面，避免了构建灵敏度矩阵可能导致的复杂性和病态优化问题。 3.1 随机响应面建模 首先建立 2 阶随机响应面模型：根据参数的初始概率分布，结合概率配点法和回归分析，确定随机响 应面模型的待定系数；再利用 Hermite 多项式的正交性，直接推导求出结构响应的均值和标准差。 3.2 优化方法 为了简化随机模型修正过程，本文将不确定性参数的均值和标准差分两步修正。 (1) 参数均值修正过程采用的目标函数 F1 ( x ) ：
Abstract: By using the probabilistic collocation method and regression analysis, stochastic response surface models are constructed for expressing the relationship between the uncertain parameters and responses of a structure. Then a stochastic model updating procedure is established for quantifying the parameter uncertainties. The proposed method has been validated using a set of numerical steel plates. Key words: stochastic model updating, parameter uncertainty, stochastic response surface models, probabilistic collocation method
表6
频率
参数 E、G 修正前后频率均值相对误差
I 目标值 II 初值 有限元 误差 0.62 0.43 1.40 0.33 1.30 4.08 44.37 122.89 136.53 242.12 279.79 III 修正值 有限元 44.23 122.35 138.48 240.74 283.35 误差 0.29 0.01 0.01 0.24 0.05 0.60
文章编号：CSTAM2013-P28-E0278
基于随机响应面模型的随机模型修正方法
张秋虎 1，*方圣恩 1,2，任伟新 1
(1. 合肥工业大学土木与水利工程学院，安徽 合肥 230009；2. 福州大学 土木工程学院，福建 福州 350108)
摘
要：通过概率配点法和回归分析建立随机响应面模型，用以表述结构不确定性参数与响应之间的关系；再通
过随机模型修正过程量化结构参数的不确定性；最后采用钢板数值模拟方式，验证了所提出方法的有效性。 关键词：随机模型修正；参数不确定性；随机响应面模型；概率配点法
A STOCHASTIC MODEL UPDATING METHOD BASED ON STOCHASTIC RESPONSE SURFACE MODELS
n
(2)
基于独立标准随机变量 i i 1 的 Hermite 多项式具有正交性：
E p q 0
if
p q
(3)
本文采用概率配点法结合回归分析[7]来确定式(1)的待定系数。当待定系数确定以后，结构响应的统计
特征值就可以基于展开式(即随机响应面模型)方便地求出。对于常用的 2 阶随机响应面，可以利用 Hermite 多
表5
参数 E、G 初始和修正后概率分布
参数 t1 t2 t3 Std.( t1) 初值(mm) 3.000 3.000 3.000 3.000×10
-2
修正值(mm) 3.011 3.005 3.011 2.025×10-2
表3
频率
参数 t 修正前后频率均值相对误差
I 目标值 (Hz) II 初值 有限元 44.37 122.87 136.53 242.11 279.78 误差 0.61 0.42 1.41 0.33 1.31 4.08 III 修正值 有限元 44.45 123.25 136.80 242.85 280.75 误差 0.80 0.73 1.21 0.63 0.97 4.34
参数 t1 t2 t3 Std.( t1) Std.( t2) Std.( t3)
参数 t 初始和修正后概率分布
初值(mm) 3.000 3.000 3.000 3.000×10-2 3.000×10-2 3.000×10-2 修正值(mm) 3.011 3.005 3.011 2.025×10-2 1.782×10-2 2.059×10-2
2 随机响应面模型
随机响应面方法是确定性响应面的拓展应用[7]，结构不确定响应 Y 采用基于 Hermite 多项式的多项式
基金项目：国家自然科学基金项目(51108090)，福建省自然科学基金项目(2011J05129)，福建省高校杰出青年科研人才培育计划(JA12020)，教育部留 学回国人员科研启动基金(LXKQ201201)。 作者简介：张秋虎(1986―)，男，安徽人，硕士，主要从事结构健康监测与鉴定加固； *方圣恩(1980―)，男，福建人，副研究员，主要从事结构健康监测与损伤识别(shengen.fang@fzu.edu.cn)； 任伟新(1960―)，男，湖南人，长江学者特聘教授，主要从事结构健康监测，结构稳定与振动。
i2
(1)
式中： a0，ai1，ai1 i2，ai1 i2 i3 均为待定系数；n 为标准正态随机变量 的个数； p (i1，i2， ，i p ) 为 p 阶 Hermite 多项式，其计算公来自百度文库为：
1 ξT ξ ξT ξ p e 2 i1 i p 1
p (i1，i2， ，i p ) (1) p e 2
・Ⅲ-466・
混沌展开式表示为：
Y a0 ai1 1 (i1 ) ai1 i2 2 (i1，i2 ) ai1 i2 i3 3 (i1，i2，i3 ) ，
i1 1 i1 1 i2 1 i1 1 i2 1 i3 1
n
n
i1
n
i1
srsm m f f F1 ( x )= m f
(2) 参数标准差修正过程采用的目标函数 F2 ( x ) ：

2
(4)
式中 x 为参数 x 的均值； srsm 为模型预测的频率均值； m f f 为结构实测的频率均值。
srsm m f f F2 ( x ) m f srsm 式中 x 为参数 x 的标准差； f 为模型预测的频率标准差； m f 为结构实测的频率标准差。
ZHANG Qiu-hu1 , FANG Shen-gen1,2 , REN Wei-xin1
(1. School of Civil Engineering, Hefei University of Technology, Hefei, Anhui Province 230009, PR China; 2. School of Civil Engineering, Fuzhou University, Fuzhou, Fujian Province 350108, PR China)
1 2 3 4 5 总误差
44.10 122.36 138.47 241.32 283.49
1 2 3 4 5 总误差
44.10 122.36 138.47 241.32 283.49
表4
频率
参数 t 修正前后频率标准差相对误差
I 目标值 (Hz) II 初值 有限元 0.395 0.710 1.182 1.406 1.823 误差 92.1 54.4 16.1 81.4 48.5 III 修正值 有限元 0.236 0.466 0.705 0.930 1.238 误差 14.5 1.26 30.8 20.0 28.8 95.36
目标函数的优化均采用 MATLAB®提供的多维约束优化算法 fmincon[8]。
2
(5)
4 数值模拟算例
本文采用尺寸 600mm(长) 120mm(宽) 3mm(厚)钢 板进行数值验证， 钢板材料特性为： 杨氏模量 E=210GPa， 3 =7860kg/m 。钢板前 5 阶的 剪切模量 G=83GPa，密度 自振频率列于表 1， 为修正所需的目标频率。 其中第 1、 2、 4 阶为弯曲模态，第 3、5 阶为扭转模态。钢板厚度 t，杨 氏模量 E 和剪切模量 G 作为随机模型修正参数。 ・Ⅲ-467・
分布，建立钢板前 5 阶频率的随机响应面模型，并计算各阶频率响应的统计特征值；然后采用针对目标函 数(公式(4)、(5))构建优化反问题，进而识别出参数的“真实”概率分布。表 2~4 给出了参数 t 的修正结果。 修正结果表明本文所提出方法较为合理：(1)t1、t3 部分关于钢板中心线对称，因此修正得到的 t1、t3 均值 相等是合理的。同时 t1、t3 标准差也近似相等(相差 1.68%，误差主要是由于随机响应面建模误差引起的， 同时也说明参数标准差的修正需要更高的计算精度)；(2)整块钢板本身几何和材料参数分布均匀，因此 t1、 t2、t3 的标准差相差不大。 值得注意的是，本文采用单目标优化策略，优化的目标函数为钢板前 5 阶频率均值、标准差的相对误 差平方和，初始误差较大的第 3、5 阶频率(扭转模态)得到了较好地改善，而初始误差较小的第 1、2、4 阶 频率(弯曲模态)则可能出现略微增加的趋势。由图 2(a)、(b)可见，修正后的钢板预测频率分布无法收敛于 目标值。 4.2 参数 E、G 的随机模型修正 鉴于板厚 t 的修正效果不理想，本文还采用杨氏模量 E 和剪切模型 G 进行随机模型修正，修正过程与 t 的基本相同。表 5~7 为参数 E、G 的修正结果。修正结果及图 2(c)、(d)表明，参数 E、G 修正后的钢板预 测频率分布能够很好地收敛于目标值。 表2
频率 1 2 3 4 5
表1
钢板前 5 阶频率目标值
标准差(Hz) 0.206 0.460 1.018 0.775 1.739 标准差/均值(%) 0.467 0.376 0.735 0.321 0.620
均值(Hz) 44.10 122.36 138.47 241.32 283.49
4.1
参数 t 的随机模型修正 将钢板沿长度方向等分为 3 个部分，板厚分别用 t1、t2、t3 表示。首先，根据 t1、t2、t3 的初始概率
1 引言
传统的确定性有限元模型修正方法已得到大量的研究和应用[1]。然而，实际工程结构中的不确定性因 素是普遍存在且不可避免的，使得确定性模型修正方法在实际工程上的应用受到很大的限制。因此，考虑 了不确定性因素的随机模型修正方法开始得到研究人员的关注[2-6]。 当前参数和响应不确定性的传播分析一般采用概率方法、模糊方法和区间分析方法，当结构参数和响 应的概率分布可知时，就可以采用概率随机模型修正过程求得参数的不确定性。但上述过程的难点在于优 化迭代过程中灵敏度矩阵的求解往往十分困难，或者采用蒙特卡罗方法时需要大量的样本和数值计算，不 利于工程实际应用。因此为了提高随机模型修正的效率，本文根据参数和响应的概率分布形式，结合概率 配点法及回归分析，建立显式的随机响应面模型来描述不确定性参数和响应之间关系，该模型本质上是基 于 Hermite 多项式的多项式混沌展开式(一种多项式数学表达式)。因此在随机模型修正过程中仅需对数学 表达式进行运算和操作， 避免了灵敏度矩阵的构造和计算， 在保证修正精度的前提下大大提高了修正效率。