第五 代数结构优秀课件
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离散数学第5章 代数结构
[( a, b) (c, d )] (e, f ) (a, b) [( c, d ) (e, f )] ,
所以*满足结合律;
交换律: (a , b) (c, d ) (ac, ad b) , (c, d ) (a, b) (ca, cb d ) , 一般, ( a , b ) ( c , d ) ( c , d ) ( a , b ) ,
s1 s2 ...sk t1t 2 ...t s . 易证: (*, ◦)是半群. 上的所有非空串组成的集合+, 关于其上的串 的连接运算也构成一个半群(+, ◦).
12
定义 设*是非空集合M上的2元代数运算, 若*满足结合律且M关于*有幺元e, 即对于任意 xM, 有e*x = x*e = x, 则称(M, *, e)为独异点. 含幺半群就是独异点. (Z, +),(R, )? (Z, +,0), (R, ,1)
a S : a 1 , a 2 , a 3 ,... S . Proof 取 i , j : a a (i j ).
i j
p i j 1: a a a a .
i p j j
a j 1 a p a j 1 ,... a a a , q j .
证2zxyyxzyx?????226zxyyxzxyyx226222626??????xyzzxyzxyzyx??24615226?2yyzzyxzyxx?yz?2?x?6xyyxyx???226226622yzzyz????y??6xxyzzxyzxyzx???24zyxzy???满足结合律
Chapter 5 代数结构
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所以*满足结合律;
交换律: (a , b) (c, d ) (ac, ad b) , (c, d ) (a, b) (ca, cb d ) , 一般, ( a , b ) ( c , d ) ( c , d ) ( a , b ) ,
s1 s2 ...sk t1t 2 ...t s . 易证: (*, ◦)是半群. 上的所有非空串组成的集合+, 关于其上的串 的连接运算也构成一个半群(+, ◦).
12
定义 设*是非空集合M上的2元代数运算, 若*满足结合律且M关于*有幺元e, 即对于任意 xM, 有e*x = x*e = x, 则称(M, *, e)为独异点. 含幺半群就是独异点. (Z, +),(R, )? (Z, +,0), (R, ,1)
a S : a 1 , a 2 , a 3 ,... S . Proof 取 i , j : a a (i j ).
i j
p i j 1: a a a a .
i p j j
a j 1 a p a j 1 ,... a a a , q j .
证2zxyyxzyx?????226zxyyxzxyyx226222626??????xyzzxyzxyzyx??24615226?2yyzzyxzyxx?yz?2?x?6xyyxyx???226226622yzzyz????y??6xxyzzxyzxyzx???24zyxzy???满足结合律
Chapter 5 代数结构
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第五 代数结构优秀课件
§2运算及其性质
《定义》:设*是S上的二元运算,对任一xS,则: x1=x, x2=x*x,…xn=xn-1*x
《定理》:设*是S上的二元运算,且x S,对任一m,n I+ 有
(1)xmxn=xm+n
(2)(xm)n=xmn
证明:
(1) xmxn= (xm x) x… x = (xm+1 x) x… x
对而言,θ = E ; (3){命题逻辑}中,对∨而言,θ ∨ =T ;
对∧而言,θ ∧ = F。
§2运算及其性质
《定义》:设*是Z中的二元运算,且Z中含幺元e,
令x Z, (1)若存在一xlZ,能使xl *x= e,则称xL是x的左逆 元,并且称x是左可逆的; (2)若存在一xr Z,能使x* xr = e,则称xr是x的右 逆元,并且称x是右可逆的; (3)若元素x既是左可逆的,又是右可逆的,则称x 是可逆的,且x的逆元用x-1表示。
元e1和e2,则有e1* e2= e2= e1,这和假设相矛盾。 ∴若存在幺元的话一定是唯一的。
例: (1)在实数集合R中,对+而言, e+=0;对×而言, e*=1 ; (2)在(E)中,对而言, e =E(全集合);
对而言, e =(空集);
§2运算及其性质
(3){双射函数}中,对“”而言, e =Ix(恒等函数);
《定理》:若el和er分别是Z中对于*的左幺元和右幺元,
则称e对为于Z每中一关个于x运算Z,* 的可幺有元el=,e且r =e
e和e*x=x* e=x,则 Z是唯一的。
§2运算及其性质
∵ el和er分别是对*的左,右左元, 则有el * er = er = el
∴有el = er = e成立。 (2)幺元e是唯一的。用反证法:假设有二个不同的幺
第五章代数结构
2019/10/30
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二、可交换性
定义5-2.2 设*是定义在集合A上的二元运算,如果对于 任意的x,yA,都有x*y=y*x,则称二元运算*在A上是可 交换的。
【例5.2.2】设Q是有理数集合,Δ是Q上的二元运算,对任 意的a,bR,aΔb=a+b-a·b,问运算Δ是否可交换。 解:因为 aΔb=a+b-a·b=b+a-b·a=bΔa
【例5.1.4】设R-0是全体非零实数集合,*是R-0上二元 运算,定义为:a,b R-0,a*b=b。则<R-0,*>是代数
系统。
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5-2 运算及其性质
虽然集合不同,运算不同,但是它们是一些具 有共同运算规律的运算,研究 < I,+ >就相当于研 究< I,*>,<R,+>,< P(S),∪>,< P(S),∩>
即 a*(a∘b)=a 同理可证a∘(a*b)=a 因此运算*和∘适合吸收律。
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六、等幂律 定义5-2.6 设*是非空集合A上的二元运算,如果对于任意的
aA,有a∗a=a,则称运算*是幂等的或运算∗满足幂等律。 如果A的某个元素a满足a∗a=a,则称a为运算*的幂等元。
易见,集合的并、交运算满足幂等律,每一个集合都是 幂等元。
f3:a→ -a , aR
二元运算: f4:a,b→a+b , a,bR
事实这些例子的共同特 征就是运算结果还在原 来的集合中。称具有这 种特征的运算是封闭的,
f5:a,b→a·b , a,bR 简称闭运算。
f6:R2→R 三元运算:f7:三种颜色→三种颜色混合色
线性代数(第五版)课件
二阶行列式的计算 ——对角线法则
主对角线 副对角线
a11 a21
a12 a22
a11a22
a12a21
即:主对角线上两元素之积-副对角线上两元素之积
二元线性方程组
aa1211
x1 x1
a12 a22
x2 x2
b1 b2
若令
D a11 a12 (方程组的系数行列式) a21 a22
D1
b1 b2
(a11a22 a a12 21 ) x2 a11b2 b1a21
当a a11 22 a12a时21,该0方程组有唯一解
ba a b
1 22
12 2
x 1
a a a a 11 22
12 21
a b ba
11 2
1 21
x 2
a a a a 11 22
12 21
二元线性方程组
a11 a21
对于n 个不同的元素,可规定各元素之间的标准次序. n 个不同的自然数,规定从小到大为标准次序.
定义 当某两个元素的先后次序与标准次序不同时, 就称这两个元素组成一个逆序.
例如 在排列32514中, 逆序
32514
逆序 逆序 思考题:还能找到其它逆序吗? 答:2和1,3和1也构成逆序.
定义 排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.
a12 a22
D2
a11 a21
b1 b2
则上述二元线性方程组的解可表示为
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
D1 D
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
D2 D
例1
求解二元线性方程组
数学高等代数第五版精品PPT课件
如果a是集合A的元素,就说a属于A,记作 a A ;或
者说A包含a,记作A∋a 如果a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作 a A; 或者说A不包含a,记作
例如,设A是一切偶数所成的集合,那么4∈A,
而3 A.
一个集合可能只含有有限多个元素,这样的集合叫 做有限集合. 如,前十个正整数的集合;一个学校的
集合 a1, a2 ,, an 表示成:a1,a2 ,,an . 前五个正
整数的集合就可以记作 1,2,3,4,5 .
枚举仅用来表示有限集合.
拟枚举: 自然数的集合可以记作 1,2,3,4,5....n..... , 拟枚举
可以用来表示能够排列出来的的集合, 像自 然数、整数…
概括原则: 如果一个集A是由一切具有某一性质的元
算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。 --高斯(Gauss,1777-1855)
数可以说成是统治整个量的世界,而算术的四则可以 被认为是作为数学家的完全的装备。 --麦斯韦(James Clark Maxwell 1831-1879)
1.1 集合
内容分布
1.1.1 集合的描述性定义 1.1.2 集合的表示方法 1.1.3 集合的包含和相等 1.1.4 集合的运算及其性质
反证之明,设若xxA(AB B)C,( A那 C么) x,那A且么 xxBACB 或,于是
者x x A且A 至C少. 但属于B BB与CC,中C的之B一 C. 若,x所以B 不,论那哪么一因
种为情x形都A 有,所x 以A,xBACB,;所同以样,若 x C , 则 x A CA.不B论哪A一 C种 情A形都B有 Cx (A B) (A C) .
例如,A={1,2,3,4},B={2,3,4,5},则
者说A包含a,记作A∋a 如果a不是集合A的元素,就说a不属于A,记作 a A; 或者说A不包含a,记作
例如,设A是一切偶数所成的集合,那么4∈A,
而3 A.
一个集合可能只含有有限多个元素,这样的集合叫 做有限集合. 如,前十个正整数的集合;一个学校的
集合 a1, a2 ,, an 表示成:a1,a2 ,,an . 前五个正
整数的集合就可以记作 1,2,3,4,5 .
枚举仅用来表示有限集合.
拟枚举: 自然数的集合可以记作 1,2,3,4,5....n..... , 拟枚举
可以用来表示能够排列出来的的集合, 像自 然数、整数…
概括原则: 如果一个集A是由一切具有某一性质的元
算术给予我们一个用之不竭的、充满有趣真理的宝库。 --高斯(Gauss,1777-1855)
数可以说成是统治整个量的世界,而算术的四则可以 被认为是作为数学家的完全的装备。 --麦斯韦(James Clark Maxwell 1831-1879)
1.1 集合
内容分布
1.1.1 集合的描述性定义 1.1.2 集合的表示方法 1.1.3 集合的包含和相等 1.1.4 集合的运算及其性质
反证之明,设若xxA(AB B)C,( A那 C么) x,那A且么 xxBACB 或,于是
者x x A且A 至C少. 但属于B BB与CC,中C的之B一 C. 若,x所以B 不,论那哪么一因
种为情x形都A 有,所x 以A,xBACB,;所同以样,若 x C , 则 x A CA.不B论哪A一 C种 情A形都B有 Cx (A B) (A C) .
例如,A={1,2,3,4},B={2,3,4,5},则
离散数学代数结构部分演示精品PPT课件
例5.2 设Q是有理数集合,*是Q上的二元 运算,对任意的a,b∈Q,a*b=a+ba·b,问运算*是否可交换。
解:因为 a*b=a+b-a·b=b+a-b·a=b*a, 所以运算*是可交换的。
7
5.1节 二元运算及其性质
➢定义5.1 设 S 为集合,函数 f : S S S 称 为 S 上的二元运算,简称为二元运算。
义两个二元运算*和★,对于任意 x,y∈N,有x*y=max(x,y), x★y=min(x,y),
验证运算*和★满足吸收律。
13
解:对于任意a,b∈N a*(a★b)=max(a,min(a,b))=a
a★(a*b)=min(a,max(a,b))=a 因此,*和★满足吸收律。
14
5.2节 二元运算中的特殊元素 1. 幺元 ➢定义5.7 设*是S上的二元运算,
23
2. 逆元 ➢定义5.9 设*是S上的二元运算,
24
例5.8 整数集Z上关于加法的幺元是0,对 任意的整数m,它关于加法的逆元是-m, 因为
25
➢定理5.5 设*是S上可结合的二元运算, e为幺元,如果S中元素x存在(关于运 算* )的逆元, 则必是惟一的。
所以对于可结合的二元运算,逆元是惟一的。
15
➢在自然数集N上加法的幺元是0,乘法 的幺元是1. 对于给定的集合和运算有的存在幺 元,有的不存在幺元。
16
17
➢ 定理5.1 设*是S上的二元运算, 如果S中存在关于运算*的)幺元, 则必是唯一的。
所以幺元是唯一的。
18
➢定理5.2 设*是S上的二元运算,
如果S中既存在关于运算*的左幺元 el ,
2 封闭性 集合S中任意的两个元素运算的结果都是 属于S的,就是说S对该运算是封闭的
解:因为 a*b=a+b-a·b=b+a-b·a=b*a, 所以运算*是可交换的。
7
5.1节 二元运算及其性质
➢定义5.1 设 S 为集合,函数 f : S S S 称 为 S 上的二元运算,简称为二元运算。
义两个二元运算*和★,对于任意 x,y∈N,有x*y=max(x,y), x★y=min(x,y),
验证运算*和★满足吸收律。
13
解:对于任意a,b∈N a*(a★b)=max(a,min(a,b))=a
a★(a*b)=min(a,max(a,b))=a 因此,*和★满足吸收律。
14
5.2节 二元运算中的特殊元素 1. 幺元 ➢定义5.7 设*是S上的二元运算,
23
2. 逆元 ➢定义5.9 设*是S上的二元运算,
24
例5.8 整数集Z上关于加法的幺元是0,对 任意的整数m,它关于加法的逆元是-m, 因为
25
➢定理5.5 设*是S上可结合的二元运算, e为幺元,如果S中元素x存在(关于运 算* )的逆元, 则必是惟一的。
所以对于可结合的二元运算,逆元是惟一的。
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➢在自然数集N上加法的幺元是0,乘法 的幺元是1. 对于给定的集合和运算有的存在幺 元,有的不存在幺元。
16
17
➢ 定理5.1 设*是S上的二元运算, 如果S中存在关于运算*的)幺元, 则必是唯一的。
所以幺元是唯一的。
18
➢定理5.2 设*是S上的二元运算,
如果S中既存在关于运算*的左幺元 el ,
2 封闭性 集合S中任意的两个元素运算的结果都是 属于S的,就是说S对该运算是封闭的
离散数学课件 第五章 代数结构_2
5-7 陪集与拉格朗日定理(群的分解)
定义5-7.1 设<G,>为群,A,Bρ(G),且A≠Φ, B≠Φ,记 AB={ ab aA,bB} 和 A-1= { a-1 aA} 分别称为A,B的积和A的逆。 定义5-7.2 设<H,>为<G,>的子群,那么对任 一 aG , 称 aH={a*h | h∈H} 为 H 的 左 陪 集 (left coset), 记 为 aH; 称 Ha={h*a | h∈H} 为 H 的 右 陪 集 (right coset),记为Ha。
6
3
2
3
6
1
循环群与生成元
定义5-5.2 设<G,>为群,如果在G中存在元素a,使 得G中的任何元素都可表示为a的幂(约定 a0=e,ak=a*a*…*a(k个)),称<G,>为循环群,这时a 称为循环群G的生成元。 例1:整数加群<I,+>是循环群,其生成元为 1和-1 。 计算群的生成元是判别一个群是否为循环群的 关键。
∴ {a,a2,,ar}=G ∴ <G,*>是循环群
拉格朗日定理练习
例1.试证奇数阶群所有元素之积等于幺元。 证: 设<G,*>是一个群,e为幺元,则 在G中不存在这样的元素a:ae,a=a-1 ∵ 若a=a-1 则a2=e <{a,e},*> 是<G,*>的子群 又因为|{a,e}|=2,所以由拉格朗日定理可得: 2整除|G|,这与G是奇数阶群矛盾。 所以,∀a∈G,若a≠e,a、a-1总是成对出现 G={e,a1,a1-1,a2,a2-1,,an,an-1},其中aiai-1 e*a*a1-1**an*an-1 = e
《离散数学》代数系统--代数系统的基本概念 ppt课件
解:(1) 封闭、可交换、等幂、幺元是b、无零元
b-1=b a-1=c c-1=a
(2) 封闭、不可交换、无等幂性、幺元是a、
无零元,d是左零元、
a-1=a b-1=b c-1=b b-1=c
23
P184
作业
(1)(2)
24
16
定理2:*是A上的二元运算,且在A中有关于*的左零元l和右零元 r,则l = r = ,且A中零元是唯一的。
证明:(1) r = l * r = l = (2) 设’也是A中关于*的零元,则 * ’= ’ 又∵ 是A中关于*的零元, ∴ * ’= ∴ = ’
定理3:设<A,*>是一个代数系统,且 | A |>1,若<A,*>中存在幺元e 和零元,则e ≠ 。 证明: 假设 = e ,则 对于A中任意元素,有x=e*x= *x= =e 即A中所有元素都是 ,也都是e,所有元素都相同, ∴ | A |=1 与已知矛盾,假设错 ∴e≠
例:代数系统<I,+>满足消去律。
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代数系统的组成
N元运算法则
如+、-
×………
特异元素
如×中的1和0
代数载体
(集合:如实数集、整数集)
代数系统
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4. 代数常元
幺元
定义3:设*是集合A上的二元运算 若elA,对于xA ,都有el*x=x,则称el为A中 关于运算*的左幺元; 若erA,对于xA ,都有x*er=x,则称er为A中 关于运算*的右幺元; 若eA,对于xA ,都有e*x=x*e=x,则称e为A 中关于运算*的幺元。
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零元
定义4:设*是集合A上的二元运算 若lA,对于xA ,都有l*x=l ,则称l为A中关于运 算*的左零元; 若rA,对于xA ,都有x*r=r ,则称r为A中关于 运算*的右零元; 若A,对于xA ,都有*x=x*=,则称为A中关于 运算*的零元。
工程数学线性代数第五版课件.ppt
0 0 ain ai1 Ai1 ai2 Ai2 ain Ain
i 1,2,,n
an1 an2 ann
7
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例1 (即P12的例7)
3 1 1 2
5 1 D
3 4 c1 2c3
2 0 1 1 c4 c3
1 5 3 3
5 1 1 1 11 1 3 1
0 010 5 5 3 0
第 j行
an1 ann
14
上页 下页 返回
把 a jk 换成 aik (k 1,,n),可得
a11 a1n
ai1 ain
ai1 Aj1 ain Ajn
,
ai1 ain
第i行 第 j行
相同
当 i j 时,
an1 ann
ai1 Aj1 ai 2 Aj2 ain Ajn 0, (i j).
x3 x1
xn x1
x3 ( x3 x1 ) xn ( xn x1 )
0 x2n2 ( x2 x1 ) x3n2 ( x3 x1 ) xnn2 ( xn x1 )
按第1列展开,并把每列的公因子 ( xi x1 ) 提出, 就有
12
上页 下页 返回
1
( x2 x1 )( x3 x1 )( xn x1 )
证 用数学归纳法
1 D2 x1
1
x2
x2 x1
( xi x j ),
2i j1
当 n 2 时(1)式成立.
11
上页 下页 返回
假设(1)对于 n 1 阶范德蒙德行列式成立,
对Dn , 从第n行开始,后行减去前行的x1倍,得
Dn
1
1
1
1
0
x2 x1
【精编】中小学精品课件代数结构课件.ppt
2020返/6/回15 本章首页
2
第二节 置换(1)
• 群论的研究始于置换群.置换群在群论里有重要 的地位.例如,五次以上方程不能用根号求解的 问题的证明就用到置换群.置换概念本身在计算 机科学中也起作重要作用.同时置换群的记法简 单,运算方便.
• 本节的概念有:置换、循环置换、不相交置换、 对换、奇置换、偶置换等;
2020/返6/1回5 本章首页
11
第九节 同态定理
• 设f:G→G’是群同态,于是可以构造 商群G/Kerf,同态定理是: 同态基本定理设:f:G→G’是群同态, 则:
G/Kerf≌G’
2020/6/1返5 回本章首页
12
第十节 环(1)
• 前面讨论的都是只有一个代数运算的代数系统, 本节我们介绍有两个代数运算的代数系统—— 环 .环的两个被称为加法、乘法的代数运算是 我们最为熟悉的代数运算,由于本课程的限制,我 们对环仅作极其初步,简单的介绍.
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1
第一节 代数结构概述
• 我们在前面已经研究过集合,那时没有过多地 考虑一个集合内部元素之间的联系.现在我们要 在一个集合的内部引入运算,并研究其运算规 律,主要内容为:
• 1.代数系统的定义,然后用例子说明代数系统的 丰富性;
8
第七节 群的同态(1)
• 同态是两个代数系统间的一种联系,通过这种 联系,可以把一个代数系统的运算转移到另一 个代数系统.使得在一个代数系统中较难解决的 问题转移到另一个代数系统中成为较易解决的 问题.例如,我们常用的对数,实际上,它就是 正实数的乘法群到实数的加法群的一个同态.利 用对数,我们实现了把较难的乘法运算转化成 较易的加法运算,因此,同态是代数系统间十 分重要的关系
离散数学第5章 代数结构-why
例: 1.<R, ·> 是半群。
2.<R,/>不是广群,不是半群 ∵x/0不存在,结果不在R中。 (x/y)/z ≠ x/(y/z)
3.< I+, ->不是广群,也不是半群。 ∵1-2= –1 I+
4.SK={x|x ∈ I∧x≥k} (k≥0),<Sk,+> 是半群。 若k<0,则 +是不封闭的。
5-2 代数系统的基本性质
9、逆元:
〈A,*〉, *是A上的二元运算,e是幺元,如对某个aA,b
A,使得b*a=e,则称b是a的左逆元【如<R,>,e=1,1 2 1, 1
是2的左逆元
2
2
如果a*b=e,则称b为a的右逆元【如<R,>,2
1 2
1,
1 2
是2的
右逆元】
如果b既是a的左逆元又是a的右逆元,则称b是a的一个逆元,
∴有逆元
右逆元为 右逆元为
5-2 代数系统的基本性质
定理:<A, >有e,若任意x ∈A,都有左逆元,且是可结 合的,则任一元素x的左逆元必是它的右逆元, 且x的逆元是唯一的。
定义逆元时先有幺元
5-2 代数系统的基本性质
❖ 例:构造代数系统,使其中只有一个元素有逆元。 解: T={x | x ∈ I, m≤x ≤ n, m ≤ n},则<T,max> 幺元是m, 仅有m 有逆元, max(m,m)=m. ( x,x ∈ T, max(x,m)=x)
5-4 群与子群
例:(1) <R, ·>:是独异点 e=1 —— 不是群,∵0无逆元。
(2)<R-{0}, ·>:是群,e=1 x־¹=1/x。 (3)<I, +>:是群,幺元为0 x־¹= –x。 (4)< (s),> :是群,幺元e= A∈(s) A־¹=A (5) <G, > G={e}是群,{e}和G称为平凡子群。
2.<R,/>不是广群,不是半群 ∵x/0不存在,结果不在R中。 (x/y)/z ≠ x/(y/z)
3.< I+, ->不是广群,也不是半群。 ∵1-2= –1 I+
4.SK={x|x ∈ I∧x≥k} (k≥0),<Sk,+> 是半群。 若k<0,则 +是不封闭的。
5-2 代数系统的基本性质
9、逆元:
〈A,*〉, *是A上的二元运算,e是幺元,如对某个aA,b
A,使得b*a=e,则称b是a的左逆元【如<R,>,e=1,1 2 1, 1
是2的左逆元
2
2
如果a*b=e,则称b为a的右逆元【如<R,>,2
1 2
1,
1 2
是2的
右逆元】
如果b既是a的左逆元又是a的右逆元,则称b是a的一个逆元,
∴有逆元
右逆元为 右逆元为
5-2 代数系统的基本性质
定理:<A, >有e,若任意x ∈A,都有左逆元,且是可结 合的,则任一元素x的左逆元必是它的右逆元, 且x的逆元是唯一的。
定义逆元时先有幺元
5-2 代数系统的基本性质
❖ 例:构造代数系统,使其中只有一个元素有逆元。 解: T={x | x ∈ I, m≤x ≤ n, m ≤ n},则<T,max> 幺元是m, 仅有m 有逆元, max(m,m)=m. ( x,x ∈ T, max(x,m)=x)
5-4 群与子群
例:(1) <R, ·>:是独异点 e=1 —— 不是群,∵0无逆元。
(2)<R-{0}, ·>:是群,e=1 x־¹=1/x。 (3)<I, +>:是群,幺元为0 x־¹= –x。 (4)< (s),> :是群,幺元e= A∈(s) A־¹=A (5) <G, > G={e}是群,{e}和G称为平凡子群。
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元e1和e2,则有e1* e2= e2= e1,这和假设相矛盾。 ∴若存在幺元的话一定是唯一的。
例: (1)在实数集合R中,对+而言, e+=0;对×而言, e*=1 ; (2)在(E)中,对而言, e =E(全集合);
对而言, e =(空集);
§2运算及其性质
(3){双射函数}中,对“”而言, e =Ix(恒等函数);
(4){命题逻辑}中,对∨而言,e ∨ =F(永假式); 对∧而言, e ∧ =T(永真式)。
《定义》:设*是对集合Z中的二元运算, (1)若有一元素θl Z,且对每一个x Z有 θl *x= θl ,则称θl 为Z中对于*的左零元; (2)若有一元素θr Z,且对每一个x Z有 x* θr= θr ,则称θr为Z中对于*的右零元。
《定义》:设*是集合S上的二元运算,对任一x,yS有 xy=y x,则称运算在S上是可交换的(或者说在S 上满足交换律)。
§2运算及其性质
《定义》:设*是集合S上的二元运算,对任一x,y,z S 都有 (x y) z=x (y z),则称运算在S上是可结 合的(或者说*在S上满足结合律)。
第五 代数结构
代数系统
第五章 代 数 结 构
§1 代数系统的引入 §2 运算及其性质 §3 半群 §4 群与子群 §5 阿贝尔群和循环群
§6* 陪集与拉格朗日定理 §7 同态与同构
§1 代数系统的引入
《定义》:设Z是一个集合,f是一个函数,f:ZnZ,则称f为
Z中的n元运算,整数n称为运算的阶(元,次)。 若n=1,则称f: ZZ为一元运算; 若n=2,则f: Z2Z为二元运算。
对而言,θ = E ; (3){命题逻辑}中,对∨而言,θ ∨ =T ;
对∧而言,θ ∧ = F。
§2运算及其性质
《定义》:设*是Z中的二元运算,且Z中含幺元e,
令x Z, (1)若存在一xlZ,能使xl *x= e,则称xL是x的左逆 元,并且称x是左可逆的; (2)若存在一xr Z,能使x* xr = e,则称xr是x的右 逆元,并且称x是右可逆的; (3)若元素x既是左可逆的,又是右可逆的,则称x 是可逆的,且x的逆元用x-1表示。
§2运算及其性质
例:(1)在实数集合R中,+,×是可交换,可结合的,×对+ 是满足分配律的,“0”对+是等幂元素,而其它不为等幂元 素,对“-”法是不可交换,不可结合的;
(2)在(z)中, ,均是可交换,可结合的, 对, 对 均是可分配的; (z)中任一元素,对,均是等幂元素。∴满足等幂律; 而(z)中,对称差分是可交换,可结合的。 除(s) ={}以外不满足等幂律。∵ = ,而除 以外的A (z)有A A≠A。
§2运算及其性质
《定义》:设*是S上的二元运算,对任一xS,则: x1=x, x2=x*x,…xn=xn-1*x
《定理》:设*是S上的二元运算,且x S,对任一m,n I+ 有
(1)xmxn=xm+n
(2)(xm)n=xmn
证明:
(1) xmxn= (xm x) x… x = (xm+1 x) x… x
n
n-1
=….= xm+n (2)(xm)n= xm … xm= xm+m xm … xm=…=xmn
n
n-1
§2运算及其性质
下面定义特异元素幺元,零元和逆元。
《定义》:设*是集合Z中的二元运算,
(中1)对若于有*一的元左素幺e元l (左Z,对单任位一元x素);Z有el*x=x;则称el为Z (中2)对若于有*一的元右素幺e元r (Z右,对单任元一元x 素Z)有。x* er=x;则称er为Z
《定理》:若el和er分别是Z中对于*的左幺元和右幺元,
则称e对为于Z每中一关个于x运算Z,* 的可幺有元el=,e且r =e
e和e*x=x* e=x,则 Z是唯一的。
§2运算及其性质
∵ el和er分别是对*的左,右左元, 则有el * er = er = el
∴有el = er = e成立。 (2)幺元e是唯一的。用反证法:假设有二个不同的幺
《定义》:设和是集合S上的二个二元运算, 对任一x,y,z S有 x (y z)=(x y) (x z);
(y z) x=(y x) (z x),则称运算对是 可分配的(或称对满足分配律)。
§2运算及其性质
《定义》:设,是定义在集合S上的两个可交换二元运 算,如果对于任意的x,yS,都有: x (x y)=x;x (xy)=x
§2运算及其性质
《右能定零 使理θ元》*x,:=于x若*θ是θ=l对θ和。所θ在r分有此别的情是x 况ZZ中下,对,可于θ有*的θZl是左= 唯零θr一元=θ的和,,
并称θ是Z中对*的零元。 证明:方法同幺元。 例: (1)在实数集合R中,对×而言,,θL = θr =0 (2)在(E)中,对而言,θ = ;
例:(1)在正整偶数的集合E中,对×,+运算是封闭的; 在正整奇数的集合中,对×运算是封闭的,
而对+运算不是封闭的。
(2)在前例中,R,I集合中+,-,×运算; (z)的元 素中, ,~,运算等均为封闭的。
§2运算及其性质
《定义》:设*是集合S上的二元运算,对任一x,yS有 xy∈S则称运算在S上是封闭的。
本章主要பைடு நூலகம்论一元运算和二元运算。
例:(1)在整数I和实数R中,+,-,×均为二元运算,而对 ÷而言就不是二元运算
(2)在集合Z的幂集(z)中,,均为二元运算,而 “~”是一元运算;
§1 代数系统的引入
(3){命题公式}中,∨,∧均为二元运算,而“”为一元 运算
(4){双射函数}中,函数的合成运算是二元运算; 二元运算常用符号:+,,,,,,,等等。
《定义》:一个非空集合A连同若干个定义在该集合上的运 算f1,f2,….,fk所组成的系统就称为一个代数系统, 记作<A, f1,f2,….,fk>。
§1 代数系统的引入
《定义》:若对给定集合中的元素进行运算,而产生的象 点仍在该集合中,则称此集合在该运算的作用下是封闭 的。 在f:Z2Z二元运算的定义中,本身要求满足运算是封 闭的。
则称运算和运算满足吸收律。 《定义》:设*是S上的二元运算,若对任一 x S有x x=x,则称满足等幂律。 讨论定义: 1)S上每一个元素均满足xx=x,才称在S上满足幂等律; 2)若在S上存在元素xS有x x=x,则称x为S上的幂等元
素; 3)由此定义,若x是幂等元素,则有x x=x和xn=x成立。
例: (1)在实数集合R中,对+而言, e+=0;对×而言, e*=1 ; (2)在(E)中,对而言, e =E(全集合);
对而言, e =(空集);
§2运算及其性质
(3){双射函数}中,对“”而言, e =Ix(恒等函数);
(4){命题逻辑}中,对∨而言,e ∨ =F(永假式); 对∧而言, e ∧ =T(永真式)。
《定义》:设*是对集合Z中的二元运算, (1)若有一元素θl Z,且对每一个x Z有 θl *x= θl ,则称θl 为Z中对于*的左零元; (2)若有一元素θr Z,且对每一个x Z有 x* θr= θr ,则称θr为Z中对于*的右零元。
《定义》:设*是集合S上的二元运算,对任一x,yS有 xy=y x,则称运算在S上是可交换的(或者说在S 上满足交换律)。
§2运算及其性质
《定义》:设*是集合S上的二元运算,对任一x,y,z S 都有 (x y) z=x (y z),则称运算在S上是可结 合的(或者说*在S上满足结合律)。
第五 代数结构
代数系统
第五章 代 数 结 构
§1 代数系统的引入 §2 运算及其性质 §3 半群 §4 群与子群 §5 阿贝尔群和循环群
§6* 陪集与拉格朗日定理 §7 同态与同构
§1 代数系统的引入
《定义》:设Z是一个集合,f是一个函数,f:ZnZ,则称f为
Z中的n元运算,整数n称为运算的阶(元,次)。 若n=1,则称f: ZZ为一元运算; 若n=2,则f: Z2Z为二元运算。
对而言,θ = E ; (3){命题逻辑}中,对∨而言,θ ∨ =T ;
对∧而言,θ ∧ = F。
§2运算及其性质
《定义》:设*是Z中的二元运算,且Z中含幺元e,
令x Z, (1)若存在一xlZ,能使xl *x= e,则称xL是x的左逆 元,并且称x是左可逆的; (2)若存在一xr Z,能使x* xr = e,则称xr是x的右 逆元,并且称x是右可逆的; (3)若元素x既是左可逆的,又是右可逆的,则称x 是可逆的,且x的逆元用x-1表示。
§2运算及其性质
例:(1)在实数集合R中,+,×是可交换,可结合的,×对+ 是满足分配律的,“0”对+是等幂元素,而其它不为等幂元 素,对“-”法是不可交换,不可结合的;
(2)在(z)中, ,均是可交换,可结合的, 对, 对 均是可分配的; (z)中任一元素,对,均是等幂元素。∴满足等幂律; 而(z)中,对称差分是可交换,可结合的。 除(s) ={}以外不满足等幂律。∵ = ,而除 以外的A (z)有A A≠A。
§2运算及其性质
《定义》:设*是S上的二元运算,对任一xS,则: x1=x, x2=x*x,…xn=xn-1*x
《定理》:设*是S上的二元运算,且x S,对任一m,n I+ 有
(1)xmxn=xm+n
(2)(xm)n=xmn
证明:
(1) xmxn= (xm x) x… x = (xm+1 x) x… x
n
n-1
=….= xm+n (2)(xm)n= xm … xm= xm+m xm … xm=…=xmn
n
n-1
§2运算及其性质
下面定义特异元素幺元,零元和逆元。
《定义》:设*是集合Z中的二元运算,
(中1)对若于有*一的元左素幺e元l (左Z,对单任位一元x素);Z有el*x=x;则称el为Z (中2)对若于有*一的元右素幺e元r (Z右,对单任元一元x 素Z)有。x* er=x;则称er为Z
《定理》:若el和er分别是Z中对于*的左幺元和右幺元,
则称e对为于Z每中一关个于x运算Z,* 的可幺有元el=,e且r =e
e和e*x=x* e=x,则 Z是唯一的。
§2运算及其性质
∵ el和er分别是对*的左,右左元, 则有el * er = er = el
∴有el = er = e成立。 (2)幺元e是唯一的。用反证法:假设有二个不同的幺
《定义》:设和是集合S上的二个二元运算, 对任一x,y,z S有 x (y z)=(x y) (x z);
(y z) x=(y x) (z x),则称运算对是 可分配的(或称对满足分配律)。
§2运算及其性质
《定义》:设,是定义在集合S上的两个可交换二元运 算,如果对于任意的x,yS,都有: x (x y)=x;x (xy)=x
§2运算及其性质
《右能定零 使理θ元》*x,:=于x若*θ是θ=l对θ和。所θ在r分有此别的情是x 况ZZ中下,对,可于θ有*的θZl是左= 唯零θr一元=θ的和,,
并称θ是Z中对*的零元。 证明:方法同幺元。 例: (1)在实数集合R中,对×而言,,θL = θr =0 (2)在(E)中,对而言,θ = ;
例:(1)在正整偶数的集合E中,对×,+运算是封闭的; 在正整奇数的集合中,对×运算是封闭的,
而对+运算不是封闭的。
(2)在前例中,R,I集合中+,-,×运算; (z)的元 素中, ,~,运算等均为封闭的。
§2运算及其性质
《定义》:设*是集合S上的二元运算,对任一x,yS有 xy∈S则称运算在S上是封闭的。
本章主要பைடு நூலகம்论一元运算和二元运算。
例:(1)在整数I和实数R中,+,-,×均为二元运算,而对 ÷而言就不是二元运算
(2)在集合Z的幂集(z)中,,均为二元运算,而 “~”是一元运算;
§1 代数系统的引入
(3){命题公式}中,∨,∧均为二元运算,而“”为一元 运算
(4){双射函数}中,函数的合成运算是二元运算; 二元运算常用符号:+,,,,,,,等等。
《定义》:一个非空集合A连同若干个定义在该集合上的运 算f1,f2,….,fk所组成的系统就称为一个代数系统, 记作<A, f1,f2,….,fk>。
§1 代数系统的引入
《定义》:若对给定集合中的元素进行运算,而产生的象 点仍在该集合中,则称此集合在该运算的作用下是封闭 的。 在f:Z2Z二元运算的定义中,本身要求满足运算是封 闭的。
则称运算和运算满足吸收律。 《定义》:设*是S上的二元运算,若对任一 x S有x x=x,则称满足等幂律。 讨论定义: 1)S上每一个元素均满足xx=x,才称在S上满足幂等律; 2)若在S上存在元素xS有x x=x,则称x为S上的幂等元
素; 3)由此定义,若x是幂等元素,则有x x=x和xn=x成立。