2014广州大学复变函数期末试卷习题三解答

习题三解答
1.沿下列路线计算积分 ∫
3+ i 0
z 2 dz 。
（1）自原点到 3 + i 的直线段 （2）自原点沿实轴至 3，再由 3 沿垂直向上至 3 + i ；
⎧ x = 3t , 解（1） ⎨ ⎩ y = t,
0 ≤ t ≤ 1 ，故 z = 3t + i t ， 0 ≤ t ≤ 1 。 dz = (3 + i )dt
4 z 2 Z dz = ∫C | z | ∫|z|=2 2 dz = ∫|z|=2 z dz = 4π i
（2）因在 C 上有 | z |= 4 ， z ⋅ z =| z | 2 = 16 ，从而有 z =
16 ，故有 z 4 dz = 8π i z
∫
z dz = C| z|
∫
16 Z
| z| = 4
f ( z ) = (1 − i ) z 3 + ic, c ∈ \ ；
2） f '( z ) = v y + ivx =
−2 xy x2 − y 2 x 2 − y 2 − 2ixy z2 1 + = = = 2 ，故 i 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z (x + y ) (x + y ) (x + y ) ( zz )
0
z 2 dz =
∫
3+ i
0
z 2 dz +
∫
C1
z 2 dz +
∫
C2
z 2 dz 。 C1 之参数方程为 ⎨
⎧ x = 3t , (0 ≤ t ≤ 1) ； C2 之参数方程为 y = t , ⎩
⎧ x = 3, (0 ≤ t ≤ 1) ⎨ ⎩ y = t,
故
∫
3+ i
0
z 2 dz =
∫ 9t
2
∫
C
=∫
| z −i| =
1 3
(z + i )(z 2 + 4) dz +
z −i
1
∫
| z +i| =
1 3
(z + i )(z 2 + 4) dz
z +i =
z =− i
1
= 2π i
1 ( z + i)( z 2 + 4)
+ 2π i
z =i
1 ( z − i)( z 2 + 4)
π
3
−
π
（8 ）
e z dz v ∫C z 5 ， C :| z |= 1
= 2πe 2 i
解
（1）由 Cauchy 积分公式， ∫ 解 1： ∫ 解 2： ∫
C
ez dz = 2π i e z z−2
z =2
（2）
C
1 dz z a dz = 2π i 1 + =∫ 2 2 C z−a z+a z −a
=
4） f '( z ) = v y + ivx =
x x − iy z 1 −y +i 2 = 2 = = ，故 f ( z ) = ln z + c, c ∈ \ 。 2 2 2 x +y x +y x +y zz z
2
-8-
3
=0
（7）由高阶求导公式， ∫
sin z
C
π⎞ ⎛ ⎜z − ⎟ 2⎠ ⎝
2
dz = 2π i(sin z )'
z=
π
2
=0
（8 ）由高阶求导公式， 5．计算下列各题： 1） 2）
e z dz 2π i z (4) πi v ∫C z 5 = 4! (e ) |z =0 = 12
∫
1
0 i
z sin zdz ；
8x2 y 2y 8 y3 6y − = − 2 v ， ，则 yy 2 2 3 2 2 2 2 2 3 (x + y ) (x + y ) ( x + y ) ( x + y 2 )2 8x2 y 8 y3 8y + − 2 =0。 2 2 3 2 2 3 ( x + y ) ( x + y ) ( x + y 2 )2
1 1 1 f ( z ) = − + c, 又f (2) = 0，则f ( z ) = − ； z 2 z
3） f '( z ) = u x − iu y = 2 y − 2i( x − 1) = −2i( x − 1 + iy ) = −2i( z − 1) ，故
f ( z ) = −i( z − 1) 2 + c, 又f (2) = −i，则f ( z ) = −i( z − 1)2 ；
z =a
π
a
i，
C
1 dz 1 ⎡ 1 1 ⎤ = dz −∫ dz ⎥ = [2π i− 0] = π i ∫ C z −a C z +a 2 a a z 2 − a 2 2a ⎢ ⎣ ⎦
（3）由 Cauchy 积分公式，
v ∫
C
eiz dz eiz dz /( z + i) e iz π = = 2 i ∫ z -i z2 +1 v z +i C
4
dz =
∫
| z| = 4
3．利用观察法得出下列积分的值。 解 利用柯西－古萨基本定理和柯西积分公式。 4．沿指定曲线的正向计算下列各积分。 （1） ∫ （3）
C
ez dz ， C :| z − 2 |= 1 z−2
（2）
v ∫
C
C
dz ， C :| z − a |= a z − a2
2
v ∫
C
eiz dz ， C :| z − 2i |= 3 / 2 z2 +1
=π /e
z =i
-2-
（4） （5） 由柯西基本定理知：其结果均为 0 （6）因被积函数的奇点 z = ± i 在 C 的内部， z = ±2 i 在 C 的外部，故由复合闭路定理及 Cauchy 积分公式有：
dz dz dz =∫ 1 2 +∫ 1 2 2 2 2 | i | | i | z − = z + = ( z + 1)( z + 4) 3 ( z + 1)( z + 4) 3 ( z + 1)( z + 4)
∫ v
2
-3-
9 ．证明： u = x 2 − y 2 和 v =
y 都是调和函数，但是 u + iv 不是解析函数。 x + y2
2
证明
u x = 2 x ， u y = −2 y ， vx =
vxx =
−2 xy x2 − y2 = v ， ， y ( x 2 + y 2 )2 ( x2 + y 2 )2
−z
∫ ( z − i)e
0
dz ；
解 1） 2）
∫
1
0 i
z sin zdz = (sin z − z cos z ) |1 0 = sin1 − cos1
−z
∫ ( z − i)e
dz = (i − 1 − z )e − z |i0 = 1 − cos1 + i(sin1 − 1)
6．计算积分：
cos z dz, 其中C1 :| z |= 2为正向，C2 :| z |= 3为负向 3 z C = C1 + C2
∫ v
解
cos z cos z cos z 2π i 2π i dz = v dz − v dz = (cos z ) '' |z =0 − (cos z ) '' |z =0 = 0 3 3 3 ∫ ∫ z z z 2! 2! − C =C1 + C2 C1 C
u xx + u yy = 2 + (−2) = 0 ， vxx + v yy =
10．由下列各已知调和函数求解析函数 f ( z ) = u + iv ： 1） u = ( x − y )( x + 4 xy + y ) ；
2 2
2） v =
y , f (2) = 0 ； x + y2
2
3） u = 2( x − 1) y, f (2) = −i ； 解
于是
y
∫
3+1
0
z 2 dz =
∫ (3t + i t ) (3 + C4
(z) 3+i C2
= (3 + i )
3 1 2 0
∫ t dt
C1
3
1 1 1 26 3 = (3 + i) 3 t 3 | = (3 + i ) = 6 + i 0 3 3 3
x
（2） ∫
3+ i
0
1
2
⋅ 3dt +
∫ (3 + i t )
1 0
2
⋅ i dt = 6 +
26 i。 3
-1-
2．计算积分 ∫ C 解
z （1） z = 2 ； （2） z = 4 dz 的值，其中 C 为正向圆周： z 4 ，故有 z
（1）因在 | z |= 2 上有 | z |= 2 ， z ⋅ z =| z | 2 = 4 ，从而有 z =
（4）
v ∫ z − 3 ， C :| z |= 2
zdz
（5）
v ∫
C
C
z 3 cos zdz ， C为包围z＝0的闭曲线
（6）
v ∫ (z