复数域数学模型传递函数
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本节内容
❖ 拉式变换 ❖ 拉式反变换 ❖ 传递函数的概念和表达形式 ❖ 系统传递函数的建立 ❖ 典型环节的传递函数
第一章 自动控制的一般概念
2-2 传递函数
一 拉氏变换
❖1.定义：设函数 f(t)当 t 0时有定义，设
原函数
F(s) L f t f (t)estdt
且积分存在，则称F(s)是0 f(t)的拉普拉斯变换。
F (s) 1 1 1 s s 1 (s 1)2
f (t) L1[F (s)] 1 et tet
第一章 自动控制的一般概念
留数法
numerator
F(s)
N(s) D(s)
b0sm a0sn
b1sm1 a1sn1
e at
te at
t m eat m!
序号 9 10
拉氏变换 F(s) a
s(s a) ba
(s a)(s b)
时间函数 f (t)
1 eat eat ebt
11
s2 2
s
12
s2 2
13 (s a)2 2
sin t
cost
eat sin t
14
sa (s a)2 2
1
15
L[eat f (t)] F (s a)
第一章 自动控制的一般概念
二 拉氏反变换
1. 定义：从象函数F(s)求原函数 f(t)的运算称为拉 氏反变换。记为 L1[F(s)] 。由F(s)可按下式求出
f
(t)
L1[F (s)]
1
2
j
C j
C j
F (s)est ds(t
0)
式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。
第一章 自动控制的一般概念
配方法
例1：求
F(s)
1
(s a)(s b)
的拉氏反变换。
解： F(s)
1
1 (1 1)
(s a)(s b) b a s a s b
则f (t) L1[F (s)] eat ebt ba
例2：求
F (s)
s2
1 的拉氏反变换。
(s 1)
解：
F(s)
第一章 自动控制的一般概念
第二章 控制系统的数学模型
第二节 复数域数学模型 —传递函数
第一章 自动控制的一般概念
思考？
建立系统微分方程的目的是什么？ 如何求解得到的微分方程式？ 对于高阶线性微分方程如何求解？ 使用拉普拉斯变换法解线性微分方程有哪些 优势？
第一章 自动控制的一般概念
优势：
在求解方法上：计算简单 (把微积分运算 变换成代数运算或查表) ，容易求出系统对 输入的响应。
t 0
s
(6)时间比例尺(相似)定理
L[ f ( t )] aF(as) a
第一章 自动控制的一般概念
(7)位移定理
a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延
迟 ，则其象函数应乘以 es。
L[ f (t )] es F (s)
b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a，
原函数应乘以e at。即
s (1/ T ) ln a
1
16
1 eTs
eat cost
at /T
T (t) (t nT ) n0
第一章 自动控制的一般概念
若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要将F(s)展开 成若干部分分式之和，而这些部分分式的拉氏变换在表中可 以查到。
展开的常用方法有：
配方法 比较系数法 留数法
s2 2
1(t )
1 s
cost
s
s2 2
t
1 s2
eat sint
(s a)2 2
eat
1 sa
eat cost
sa
(s a)2 2
第一章 自动控制的一般概念
❖4.拉氏变换的基本性质
(1)线性性质
L[af (t) bf (t)] aL[ f (t)] bL[ f (t)]
1
2
1
1 s2 (s 1)
1 s2
1 1 s s 1
f (t) L1[F (s)] t 1 et
第一章 自动控制的一般概念
比较系数法
例3
求F (s)
1 s(s 1)2
的拉氏反变换。
解：F (s)
a s
s
b 1
(s
c 1) 2
则a(s 1)2 bs(s 1) cs 1
对应项系数相等得a 1,b 1, c 1
直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏变 换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须是一种能直接 查到的原函数的形式。
第一章 自动控制的一般概念
序号 拉氏变换 F(s) 时间函数 f (t)
1
1
(t)
2
1
s
3
1
s2
4
1
s3
1
5
s n1
1
6
sa
1
7
(s a)2
1
8
(s a)m1
1(t )
t
t2 2 tn n!
简称拉氏变换。
f(t)称为 F(s)的拉氏逆变换。记为：
象函数
f t L1 F(s)
第一章 自动控制的一般概念
❖2.常用函数的拉氏变换
(1)例1 求单位脉冲函数 f (t) (t) 的拉氏变换。
0
F(s) (t)estdt (t)es0dt es0 (t)dt es0 1
0
0
0
(2)例2 求阶跃函数 f (t) R 1(t)的拉氏变换。
F (s) Restdt R est R
0
s 0s
单位阶跃函数 f (t) 1(t) 的拉氏变换为 1 。
s
第一章 自动控制的一般概念
❖3.几个重要的拉氏变换（掌握）
f(t)
F(s)
f(t)
F(s)
(t)
1
sin t
引入传递函数的概念(复数域数学模型)， 把系统的动态性能和传函的零极点联系起来， 使在复数域内(根轨迹法)和频域内(频率法) 分析和设计系统成为可能。
第一章 自动控制的一般概念
2-2 复数域数学模型—传递函数
项目
内容
教学目的
从时域内的微分方程形式数学模型向复数域内的 传递函数形式过渡。
教 学 重 点 熟悉传递函数的各种一般表达形式。
2
(2)积分性质
L[ f (t)dt] 1 F(s) 1 f 1(0)
s
s
(3)微分性质
L[ f n (t)] snF(s) sn1 f (0) sn2 f (0) f n1(0)
第一章 自动控制的一般概念
(4)终值定理
lim f (t) lim sF(s)
Baidu Nhomakorabea
t
s0
(5)初值定理
lim f (t) lim sF (s)
教学难点
传递函数的解析表达式和几何表达形式的联合思 维方法。对典型环节传递函数的理解。
讲授技巧及 注意事项
注重微分方程同传递函数的对比。
第一章 自动控制的一般概念
本节的学习思路：从多个方位 来观察我们将要研究的对象—传递 函数，为下一步深入细致的讨论(第 四章和第五章)做准备。
第一章 自动控制的一般概念
❖ 拉式变换 ❖ 拉式反变换 ❖ 传递函数的概念和表达形式 ❖ 系统传递函数的建立 ❖ 典型环节的传递函数
第一章 自动控制的一般概念
2-2 传递函数
一 拉氏变换
❖1.定义：设函数 f(t)当 t 0时有定义，设
原函数
F(s) L f t f (t)estdt
且积分存在，则称F(s)是0 f(t)的拉普拉斯变换。
F (s) 1 1 1 s s 1 (s 1)2
f (t) L1[F (s)] 1 et tet
第一章 自动控制的一般概念
留数法
numerator
F(s)
N(s) D(s)
b0sm a0sn
b1sm1 a1sn1
e at
te at
t m eat m!
序号 9 10
拉氏变换 F(s) a
s(s a) ba
(s a)(s b)
时间函数 f (t)
1 eat eat ebt
11
s2 2
s
12
s2 2
13 (s a)2 2
sin t
cost
eat sin t
14
sa (s a)2 2
1
15
L[eat f (t)] F (s a)
第一章 自动控制的一般概念
二 拉氏反变换
1. 定义：从象函数F(s)求原函数 f(t)的运算称为拉 氏反变换。记为 L1[F(s)] 。由F(s)可按下式求出
f
(t)
L1[F (s)]
1
2
j
C j
C j
F (s)est ds(t
0)
式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。
第一章 自动控制的一般概念
配方法
例1：求
F(s)
1
(s a)(s b)
的拉氏反变换。
解： F(s)
1
1 (1 1)
(s a)(s b) b a s a s b
则f (t) L1[F (s)] eat ebt ba
例2：求
F (s)
s2
1 的拉氏反变换。
(s 1)
解：
F(s)
第一章 自动控制的一般概念
第二章 控制系统的数学模型
第二节 复数域数学模型 —传递函数
第一章 自动控制的一般概念
思考？
建立系统微分方程的目的是什么？ 如何求解得到的微分方程式？ 对于高阶线性微分方程如何求解？ 使用拉普拉斯变换法解线性微分方程有哪些 优势？
第一章 自动控制的一般概念
优势：
在求解方法上：计算简单 (把微积分运算 变换成代数运算或查表) ，容易求出系统对 输入的响应。
t 0
s
(6)时间比例尺(相似)定理
L[ f ( t )] aF(as) a
第一章 自动控制的一般概念
(7)位移定理
a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延
迟 ，则其象函数应乘以 es。
L[ f (t )] es F (s)
b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a，
原函数应乘以e at。即
s (1/ T ) ln a
1
16
1 eTs
eat cost
at /T
T (t) (t nT ) n0
第一章 自动控制的一般概念
若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需要将F(s)展开 成若干部分分式之和，而这些部分分式的拉氏变换在表中可 以查到。
展开的常用方法有：
配方法 比较系数法 留数法
s2 2
1(t )
1 s
cost
s
s2 2
t
1 s2
eat sint
(s a)2 2
eat
1 sa
eat cost
sa
(s a)2 2
第一章 自动控制的一般概念
❖4.拉氏变换的基本性质
(1)线性性质
L[af (t) bf (t)] aL[ f (t)] bL[ f (t)]
1
2
1
1 s2 (s 1)
1 s2
1 1 s s 1
f (t) L1[F (s)] t 1 et
第一章 自动控制的一般概念
比较系数法
例3
求F (s)
1 s(s 1)2
的拉氏反变换。
解：F (s)
a s
s
b 1
(s
c 1) 2
则a(s 1)2 bs(s 1) cs 1
对应项系数相等得a 1,b 1, c 1
直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏变 换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须是一种能直接 查到的原函数的形式。
第一章 自动控制的一般概念
序号 拉氏变换 F(s) 时间函数 f (t)
1
1
(t)
2
1
s
3
1
s2
4
1
s3
1
5
s n1
1
6
sa
1
7
(s a)2
1
8
(s a)m1
1(t )
t
t2 2 tn n!
简称拉氏变换。
f(t)称为 F(s)的拉氏逆变换。记为：
象函数
f t L1 F(s)
第一章 自动控制的一般概念
❖2.常用函数的拉氏变换
(1)例1 求单位脉冲函数 f (t) (t) 的拉氏变换。
0
F(s) (t)estdt (t)es0dt es0 (t)dt es0 1
0
0
0
(2)例2 求阶跃函数 f (t) R 1(t)的拉氏变换。
F (s) Restdt R est R
0
s 0s
单位阶跃函数 f (t) 1(t) 的拉氏变换为 1 。
s
第一章 自动控制的一般概念
❖3.几个重要的拉氏变换（掌握）
f(t)
F(s)
f(t)
F(s)
(t)
1
sin t
引入传递函数的概念(复数域数学模型)， 把系统的动态性能和传函的零极点联系起来， 使在复数域内(根轨迹法)和频域内(频率法) 分析和设计系统成为可能。
第一章 自动控制的一般概念
2-2 复数域数学模型—传递函数
项目
内容
教学目的
从时域内的微分方程形式数学模型向复数域内的 传递函数形式过渡。
教 学 重 点 熟悉传递函数的各种一般表达形式。
2
(2)积分性质
L[ f (t)dt] 1 F(s) 1 f 1(0)
s
s
(3)微分性质
L[ f n (t)] snF(s) sn1 f (0) sn2 f (0) f n1(0)
第一章 自动控制的一般概念
(4)终值定理
lim f (t) lim sF(s)
Baidu Nhomakorabea
t
s0
(5)初值定理
lim f (t) lim sF (s)
教学难点
传递函数的解析表达式和几何表达形式的联合思 维方法。对典型环节传递函数的理解。
讲授技巧及 注意事项
注重微分方程同传递函数的对比。
第一章 自动控制的一般概念
本节的学习思路：从多个方位 来观察我们将要研究的对象—传递 函数，为下一步深入细致的讨论(第 四章和第五章)做准备。
第一章 自动控制的一般概念