3.1.1 函数的概念ppt课件
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3.1.1函数的概念课件(一)高一上学期数学人教A版必修一
√B.A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图：
C.A＝R，B＝R，f：x→y＝x－1 2
D.A＝Z，B＝Z，f：x→y＝ 2x－1
2.函数y＝f(x)的图象与直线x＝2 023的公共点有
A.0个
B.1个
√C.0个或1个
D.以上答案都不对
3.若函数y＝x2－3x的定义域为{－1,0,2,3}，则其值域为_{_－__2_,0_,_4_}_.
问题3 通过对课本中的4个问题的分析，你能说出它们有什么不同点和 共同点吗？ 不同点：课本中的问题1,2是用解析式刻画两个变量之间的对应关系，问 题3是用图象刻画两个变量之间的对应关系，问题4是用表格刻画两个变 量之间的对应关系. 共同点：①都包含两个非空数集，分别用A，B来表示； ②都有一个对应关系； ③对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确 定的数y和它对应. 函数的本质特征
知识梳理
注意点： (1)A，B是非空的实数集. (2)定义域是非空的实数集A，但函数的值域不一定是非空实数集B，而是 集合B的子集. (3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性. (4)函数符号“y＝f(x)”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也 不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系(venn…). (5)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号表示函数.
由图象和表格呈现出来的变量间的对应关系比解析式更直观、形象.
年份y 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
恩格尔
系数 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 29.89 29.35 28.57
C.A＝R，B＝R，f：x→y＝x－1 2
D.A＝Z，B＝Z，f：x→y＝ 2x－1
2.函数y＝f(x)的图象与直线x＝2 023的公共点有
A.0个
B.1个
√C.0个或1个
D.以上答案都不对
3.若函数y＝x2－3x的定义域为{－1,0,2,3}，则其值域为_{_－__2_,0_,_4_}_.
问题3 通过对课本中的4个问题的分析，你能说出它们有什么不同点和 共同点吗？ 不同点：课本中的问题1,2是用解析式刻画两个变量之间的对应关系，问 题3是用图象刻画两个变量之间的对应关系，问题4是用表格刻画两个变 量之间的对应关系. 共同点：①都包含两个非空数集，分别用A，B来表示； ②都有一个对应关系； ③对于数集A中的任意一个数x，按照对应关系，在数集B中都有唯一确 定的数y和它对应. 函数的本质特征
知识梳理
注意点： (1)A，B是非空的实数集. (2)定义域是非空的实数集A，但函数的值域不一定是非空实数集B，而是 集合B的子集. (3)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性. (4)函数符号“y＝f(x)”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也 不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系(venn…). (5)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号表示函数.
由图象和表格呈现出来的变量间的对应关系比解析式更直观、形象.
年份y 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015
恩格尔
系数 36.69 36.81 38.17 35.69 35.15 33.53 33.87 29.89 29.35 28.57
3.1.1函数的概念(第一课时)课件 高一上学期数学人教A版(2019)必修一
2.如图所示，不可能表示函数的是（ ）
3.能否称f为集合A到集合B的一个函数?
f
f
18
6
二.函数的三要素
1. 定义域、对应关系、值域 为函数的三要素.
2.两函数相同，当且仅当
.
定义域和对应关系完全相同
练习：下列函数中，与y=x是同一函数的是(C )
例2 函数
的定义域是
.
练习：P97 A组第五题
一.函数的概念
设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关
系f,使对于集合A中的 任意一个数，x在集合B中都有
的唯数一f(确x)定和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的
一叫函个数函定义的数域值,其域中，x{的值f(x取域)|x值∈是范A}围A叫函数的
,
集合B 的子集.
概念深化：
1.看电影的观众构成集合A，电影院的位置看作集合B，能否称f为集 合A到集合B的一个函数？
3.1.1 函数的概念
影院对以上三部电影票价五折优惠，则现在三部电影票价是：
志愿军：31元 熊猫计划：24 爆款好人：25
问题：我们对哪些数进行了运算，如何运算，运算结 果是什么？你能将运算过程抽象成一个函数模型吗？
问题：
能否体感温度看作是关于时间的函数？
以上三个函数例子的有什么共同点？请说出函数的概念.
例3. 已知函数 (1)求函数的定义域.
(2)求
的值.
(3)当 时，求 ，
的值.
例4.
小结： 1.函数概念 2.判断是否是同一函数 3.求函数定义域、函数值及值域
作业：
1.课后练习 2.教材P93 练习A
教材P98 练习B
3.能否称f为集合A到集合B的一个函数?
f
f
18
6
二.函数的三要素
1. 定义域、对应关系、值域 为函数的三要素.
2.两函数相同，当且仅当
.
定义域和对应关系完全相同
练习：下列函数中，与y=x是同一函数的是(C )
例2 函数
的定义域是
.
练习：P97 A组第五题
一.函数的概念
设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关
系f,使对于集合A中的 任意一个数，x在集合B中都有
的唯数一f(确x)定和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的
一叫函个数函定义的数域值,其域中，x{的值f(x取域)|x值∈是范A}围A叫函数的
,
集合B 的子集.
概念深化：
1.看电影的观众构成集合A，电影院的位置看作集合B，能否称f为集 合A到集合B的一个函数？
3.1.1 函数的概念
影院对以上三部电影票价五折优惠，则现在三部电影票价是：
志愿军：31元 熊猫计划：24 爆款好人：25
问题：我们对哪些数进行了运算，如何运算，运算结 果是什么？你能将运算过程抽象成一个函数模型吗？
问题：
能否体感温度看作是关于时间的函数？
以上三个函数例子的有什么共同点？请说出函数的概念.
例3. 已知函数 (1)求函数的定义域.
(2)求
的值.
(3)当 时，求 ，
的值.
例4.
小结： 1.函数概念 2.判断是否是同一函数 3.求函数定义域、函数值及值域
作业：
1.课后练习 2.教材P93 练习A
教材P98 练习B
3.1.1函数的概念 课件(共23张PPT)
3
十 八 世 纪
伯努利称其为变量与常量的组合 欧拉认为其是某些变量依赖另一些变量的变化
4
十 九 世 纪
柯西，傅里叶，狄利克雷提出“对应关系”，也就是我们 初中学习到的函数的定义
5
一.知识回顾
初中学习的函数概念是什么？
设在某一变化过程中有两个变量x与y，如果 对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应， 则称y是x的函数。x是自变量，y是因变量。
22
例题六：已知函数 f (x) x 3 1
x2
(1)求该函数的定义域 (2)求当x=-3时该函数的值
答案：1.{x|x≥-3且x≠-2}
2.f (-3)= -1
23
例题五：
(1){x|x≤-3}用区间表示为
答案: (1)(-∞,-3]
(2)数集{x|x>5}用区间表示为
(2)(5,+∞)
(3)数集{x|1<x≤7}用区间表示为
(3)(1,7]
(4)数集{x|x<-2或x≥6}用区间表示为 (4)(-∞,-2)∪[6,+∞)
21
注意：
1.区间是集合 2.区间的左端点必须小于右端点 3.区间中的元素都是实数，可以在数轴上表示出来 4.以－∞或+∞为区间的一端时，这一端必须是小括号
值域也就随之确定了.如果两个函数的 这两个
完全相同就称
15
例题三：判断下列各组中两个函数是否为同一个函数
(1) f ( x) x 与g(x)= x 2;
(2)f ( x) x与g( x) 3 x3 ; (3) f ( x) x 1 x 1与g( x) x2 1; (4) f ( x) x2 2 x 1与g(t) t 2 2t 1.
十 八 世 纪
伯努利称其为变量与常量的组合 欧拉认为其是某些变量依赖另一些变量的变化
4
十 九 世 纪
柯西，傅里叶，狄利克雷提出“对应关系”，也就是我们 初中学习到的函数的定义
5
一.知识回顾
初中学习的函数概念是什么？
设在某一变化过程中有两个变量x与y，如果 对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应， 则称y是x的函数。x是自变量，y是因变量。
22
例题六：已知函数 f (x) x 3 1
x2
(1)求该函数的定义域 (2)求当x=-3时该函数的值
答案：1.{x|x≥-3且x≠-2}
2.f (-3)= -1
23
例题五：
(1){x|x≤-3}用区间表示为
答案: (1)(-∞,-3]
(2)数集{x|x>5}用区间表示为
(2)(5,+∞)
(3)数集{x|1<x≤7}用区间表示为
(3)(1,7]
(4)数集{x|x<-2或x≥6}用区间表示为 (4)(-∞,-2)∪[6,+∞)
21
注意：
1.区间是集合 2.区间的左端点必须小于右端点 3.区间中的元素都是实数，可以在数轴上表示出来 4.以－∞或+∞为区间的一端时，这一端必须是小括号
值域也就随之确定了.如果两个函数的 这两个
完全相同就称
15
例题三：判断下列各组中两个函数是否为同一个函数
(1) f ( x) x 与g(x)= x 2;
(2)f ( x) x与g( x) 3 x3 ; (3) f ( x) x 1 x 1与g( x) x2 1; (4) f ( x) x2 2 x 1与g(t) t 2 2t 1.
人教B版(2019)数学必修(第一册)：3.1.1 函数及其表示方法 课件(共71张PPT)
跟踪训练 4 求下列函数的值域： （1）y＝2x＋1，x∈{1，2，3，4，5}； （2）y＝ x＋1； （3）y＝11－ ＋xx22； （4）y＝－x2－2x＋3（－5≤x≤－2）。
解析：（1）将 x＝1，2，3，4，5 分别代入 y＝2x＋1， 计算得函数的值域为{3，5，7，9，11}。
（2）因为 x≥0，所以 x＋1≥1， 即所求函数的值域为[1，＋∞）。 （3）因为 y＝11－ ＋xx22＝－1＋1＋2 x2， 所以函数的定义域为 R，
（1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察 法得到。
（2）配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法。 （3）换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的 函数，从而求得原函数的值域。对于 f（x）＝ax＋b＋ cx＋d（其 中 a，b，c，d 为常数，且 ac≠0）型的函数常用换元法。 （4）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分 式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域。
跟踪训练 1 （1）设 M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}， 给出下列四个图形，其中能表示从集合 M 到集合 N 的 函数关系的有（ ）
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 （2）下列对应是否是函数？ ①x→3x，x≠0，x∈R； ②x→y，其中 y2＝x，x∈R，y∈R。
解析：（1）
【解析】（1）因为函数有意义当且仅当x＋x＋1≥10≠，0， 解得 x>－1，所以函数的定义域为（－1，＋∞）。 （2）因为函数有意义当且仅当xx≠＋02，≠0， 解得 x≠0 且 x≠－2，因此函数的定义域为（－∞，－ 2）∪（－2,0）∪（0，＋∞）。
教材反思 求函数的定义域
（1）要明确使各函数表达式有意义的条件是什么， 函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为 0；②偶 次根式的被开方数非负；③y＝x0 要求 x≠0。
3.1.1函数的概念(共53张PPT)
其中表示同一个函数的是________．(填上所有同一个函数的序号)
【解析】 (1)①错误．函数 f(x)＝x0 的定义域为{x|x≠0}，函数 g(x)＝1 的定 义域是 R，不是同一个函数； ②正确．y＝f(x)，x∈R 与 y＝f(x＋1)，x∈R 两函数定义域相同，对应关系 可能相同，所以可能是同一个函数；③正确．两个函数定义域相同，对应关 系完全一致，是同一个函数．所以正确的个数有 2 个．
(3)要使此函数有意义，则 xx＋ ＋32≥ ≠00，⇒xx≥ ≠－ －32，⇒x≥－3 且 x≠－2. 所以 f(x)的定义域为{x|x≥－3 且 x≠－2}．
探究点 3 同一个函数
(1)给出下列三个说法：
①f(x)＝x0 与 g(x)＝1 是同一个函数；②y＝f(x)，x∈R 与 y＝f(x＋1)，x∈R
1．下列图形中可以表示以 M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以 N＝{y|0≤y≤1}为
值域的函数的图象是
()
解析：选 C.由函数的定义知选 C.
2．(多选)下列两个集合间的对应中，是 A 到 B 的函数的有 A．A＝{－1，0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A 中的数的平方 B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A 中的数的开方 C．A＝Z，B＝Q，f：A 中的数的倒数 D．A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，f：A 中的数的 2 倍
③函数就是两个集合之间的对应关系．
其中正确说法的个数为
()
A．0
B．1
C．2
D．3
(3)已知集合 A＝[0，8]，集合 B＝[0，4]，则下列对应关系中，不能看作是
从 A 到 B 的函数关系的是
()
A．f：x→y＝18x
3.1.1函数的概念 第1课时 课件高一上学期数学人教A版(2019)必修一
(3)若直线l与图象始终有且只有一个交点，则是函数;若在定义域内没有
交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.
作者编号：32101
归纳总结
2.判断一个对应关系是否为函数的方法:
作者编号：32101
试确定一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域
函 数
一次函数
y＝ax＋b(a≠0)
二次函数
y＝ax2＋bx＋c (a≠0)
问题
情景
问题1
自变量的集合
定义域
1 ={t|0≤t≤0.5}
一个对应关系、两个非空数集
f 对应
关系
函数值所在集合
S=350t
解析式
1 ={S|0≤S≤175}
2 ={1，2，3，4，
2 ={350，700，1050，
w=350d
问题2
5，6}
1400，1750，2100}
问题3
3 ={t|0≤t≤24}
根据集合的互异性，函数的值域为{0，1}.
作者编号：32101
.
课堂总结
回顾本节课，回答下列问题：
(1)函数的概念是什么？
(2)函数的三要素有呢些？
作者编号：32101
当堂检测
1.下列关于x，y的关系式中，y可以表示为x的函数关系式的是( D )
A.x2+y2=1
B.|x|+|y|=1
C.x3+y2=1
函数的概念
的 任意一个数x ，按照某种 确定 的对应关系f，在集合B
中都有 唯一确定 的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集
合A到集合B的一个函数
三 对应关系
作者编号：32101
y＝f(x)，x∈A
3.1.1函数的概念及其表示课件高一上学期数学人教A版(2019)必修一
【对点练清】 1．下列对应或关系式中是 A 到 B 的函数的是
A．A＝R ，B＝R ，x2＋y2＝1 B．A＝{1,2,3,4}，B＝{0,1}，对应关系如图： C．A＝R ，B＝R ，f：x→y＝x－1 2
()
D．A＝Z ，B＝Z ，f：x→y＝ 2x－1
解析： A 错误，x2＋y2＝1 可化为 y＝± 1－x2，显然对任意 x∈A，y 值不 唯一．B 正确，符合函数的定义．C 错误，2∈A，在 B 中找不到与之相对 应的数．D 错误，－1∈A，在 B 中找不到与之相对应的数． 答案：B
区间可以用数轴表示，在数轴表示时，用实心点表示包括在区间内的端点， 用空心点表示不包括在区间内的端点.
定义
名称
区间
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
_[a_，___b_]
{x|a＜x＜b}
开区间
(a，_b_)_
{x|a≤x＜b} 半开半闭区间 [a，_b_)_
续表
{x|a＜x≤b} 半开半闭区间 (a，b]
函数的定义域． 推理素养.
4.能够正确使用区间表示数集.
பைடு நூலகம்
知识点一 函数的有关概念 (一)教材梳理填空 1．函数的概念：
定义
一般地，设A，B是 非空的实数集 ，如果对于集合A中的 任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 _唯__一__确__定__的__数__y_和它对应，那么就称 f：A→B 为从集合A到集 合B的一个函数
(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？
提示：(1)这种看法不对． 符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加 的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以 是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变 量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研 究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．
人教2019A版3.1.1 函数的概念(共30张ppt)
3.1.1 函数的概念
问题1和问题2中的 函数有相同的对应关系,你 认为它们是同一个函数吗?为什么?
S=350t
①
w=350d
②
3.1.1 函数的概念
问题3 下图是北京市2016年11月23日的空气质量指 数(Air Quality Index简称AQI)变化图.如何根据该图 确定这一天内任一时刻t h的空气质量指数(AQI)的 值I?你认为这里的I是t的函数吗？
3.1.1 函数的概念
5、设 A {x | 0 ≤ x ≤ 2}, B { y | 1≤ y ≤ 2}.
下图表示从A到B的函数是( D )
y
y
y
y
2
2
2
2
1
1
1
0 1 2x 0 1 2 x 0
2x 0 1 2x
A
B
C
D
3.1.1 函数的概念
6、下列图象具有函数关系的是_A_和_D_.
y
y
1、函数定义 2、函数的三要素:定义域、值域、对应关系
天,至多不超过6天.如果公司确 定的工资标准是
每人每天350元,而且每周付一次工资,那么你认
为该怎样确定一个工人 每周的工资?一个工人的
工资w(单位:元)是他工作天数d的函数吗?
显然,工资w是一周工作天数d的函数,其对应
关系是
w=350d
②
其中,d的变化范围是数集A2={1,2,3,4,5,6}, w的变 化 范围是数集B2={350,700,1050,1400,1750,2100} 对于数集A2中的任一个工作天数d,按照对应关系 ②,在数集B2中都有唯一确定的工资w与它对应．
①x是自变量,它是对应关系所施加的对象； ②f是对应关系, 它可以是一个或几个解析式, 可以是图象,表格, 也可以是文字描述; ③y=f(x)仅仅是函数符号,不是表示“y等于f 与x的乘积”，f(x)也不一定是解析式.
函数的概念ppt课件
→s=x 十y;
⑥A={x|—1≤x≤1,x∈R},B={0}, 对应关系f:x→
y=0.
A.①⑤⑥
B.②④⑤⑥
C.②③④
D.①②③⑤
【思维·引】
1.在x 轴上区间[0,2]内作与x 轴垂直的直线，此直线 与函数的图象恰有一个公共点.
2.先看集合A,B 是否为非空数集，再判断非空数集A 中任取一个数，在非空数集 B 中是否有唯一的数与之 对应.
②求f(g(a)): 已 知f(x) 与 g(x), 求 f(g(a)) 的值应遵 循由里往外的原则.
(2)关注点：用来替换解析式中x 的 数a 必须是函数定 义域内的值，否则函数无意义.
习练 ·破
1.若f(x)=ax²—√2,a 为正实数，且f(f(√2))=—√2, 则 a=
2.设f(x)=2x²+2,
函数的定义，所以A 不是函数.B.由 |x—1|+√y²-1=
0得， |x—1|=0,√y²-1=0, 所以x=1,y=±1, 所以
●
( 1 ) 求 f(2),f(a+3),g
—2),g(f(2)). (2)求g(f(x)).
(a)+g(0)(a≠
≠—2),
【加练·固】
若
(x≠—1), 求 f(0),f(1),
f(1—a)(a≠2),f(f(2)) 的值.
课堂达标检测
1.下列图形中，不能确定y 是x 的函数的是
y
3
(
)
3
x
⑥对于由实际问题的背景确定的函数，其定义域还要受 实际问题的制约.
★习练·破
求下列函数的定义域：
(1
;(2)y=√x- 1·√1—x;
③
新人教版高中数学必修一3.1.1函数的概念(16页PPT)
ab ab
实数集R可以表示为（-∞，+ ∞）
x≥a
x >a
x≤b
x<b
[a，+∞） （a，+∞） （ -∞ ，b] （-∞，b）
练习：用区间表示下列集合
1.{x|1≤x≤4} 2.{x|-1<x≤2} 3.{x|1≤x<5} 4.{x|a≤x<b}
[1,4] (-1,2] [1,5)
[a,b)
课堂小结 1.理解函数的定义，从数集到数集的一 一对应关系.
2.根据函数的定义，判断是否是函数.
3.求函数的定义域，用区间表示集合.
数，记作：
y=f(x) x∈A．
x叫作自变量,集合A叫作函数的定义域, 集合{f(x)|x∈A} 叫作函数的值域.
思维实验
数集A
输入
x
加工设备 输出
fy
数集B
函数的三要素： 定义域 对应关系
值域
例1 结合函数的定义，判断下列对应是不是从数集
A到数集B的函数.
f
A1
2B
2
4
3
6
(1) 7
f A1
2B
2
4
3
6
4 (2)
A1
2B
2
4
3
(3)
f A1
2B
2
4
3
6
(4) 8
练习 判断下列对应是不是从数集A到数集B的函数.
f
A1
2B
2
4
3
6
7
(1)
不是
f
A1
B
2
1
3
(2)
是
下列图形哪个可以表示函数的图象？
2024-2025学年高一数学必修第一册(配湘教版)教学课件3.1.1对函数概念的再认识
值与之对应.
变式训练
集合A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列不表示从A到B的函数的是( C )
A.x→y=2
B.x→y=3
2
C.x→y=
3
D.x→y=
解析
x→y=2 ,{x|0≤x≤4},代入表达式得到
x→y=3 ,x∈[0,4]⇒y∈
4
0, 3
2
x→y= 3 ,x∈[0,4]⇒y∈
课 标 要 求
1.能够用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念.
2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.
3.掌握构成函数的要素,能求简单函数的定义域.
4.会判断两个函数是否相等.
目 录 索 引
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
基础落实·必备知识一遍过
⑤对于由实际问题的背景确定的函数,其定义域还要受实际问题的制约.
2.函数的对应关系
【例3】 已知函数f(x)=2x2+3,计算下列各式.
(1)f(2);(2)f(f(-1));(3)f(a+1).
解 (1)f(2)=2×22+3=11.
(2)f(f(-1))=f(5)=53.
(3)f(a+1)=2(a+1)2+3=2a2+4a+5.
①如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R.
②如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.
③如果f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于
零的实数的集合.
④如果f(x)是由几个数学式子构成的,那么函数的定义域是使各式子都有
变式训练
集合A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列不表示从A到B的函数的是( C )
A.x→y=2
B.x→y=3
2
C.x→y=
3
D.x→y=
解析
x→y=2 ,{x|0≤x≤4},代入表达式得到
x→y=3 ,x∈[0,4]⇒y∈
4
0, 3
2
x→y= 3 ,x∈[0,4]⇒y∈
课 标 要 求
1.能够用集合语言和对应关系刻画函数,建立完整的函数概念.
2.体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.
3.掌握构成函数的要素,能求简单函数的定义域.
4.会判断两个函数是否相等.
目 录 索 引
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
基础落实·必备知识一遍过
⑤对于由实际问题的背景确定的函数,其定义域还要受实际问题的制约.
2.函数的对应关系
【例3】 已知函数f(x)=2x2+3,计算下列各式.
(1)f(2);(2)f(f(-1));(3)f(a+1).
解 (1)f(2)=2×22+3=11.
(2)f(f(-1))=f(5)=53.
(3)f(a+1)=2(a+1)2+3=2a2+4a+5.
①如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R.
②如果f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.
③如果f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于
零的实数的集合.
④如果f(x)是由几个数学式子构成的,那么函数的定义域是使各式子都有
3.1.1函数的概念(2)课件高一上学期数学人教A版(2019)必修一
12345
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活动二 探究抽象函数的定义域
例 2 (1) 已知函数f(x)的定义域为(0,1)，求f(x2)的定义域； 【解析】 因为f(x)的定义域为(0,1)， 所以要使f(x2)有意义，则0<x2<1， 即－1<x<0或0<x<1，所以函数f(x2)的定义域为{x|－1<x<0或0<x<1}．
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例 1 求下列函数的定义域： (1) y＝3－12x； 【解析】 函数 y＝3－12x 的定义域为 R.
(2) y＝x＋x＋120； 【解析】 由于 00 无意义，故 x＋1≠0，即 x≠－1. 又 x＋2>0，即 x>－2，所以 x>－2 且 x≠－1， 所以函数 y＝x＋x＋120的定义域为{x|x>－2，且 x≠－1}．
【答案】 D
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3. (多选)(2022·佛山顺德区容山中学高一期中)已知函数f(x)＝x2－2x－3的
定义域为[a，b]，值域为[－4,5]，则实数对(a，b)可能为( )
A. (－2,4)B. (－2 Nhomakorabea1)C. (1,4)
D. (－1,1)
【解析】 画出f(x)＝x2－2x－3的图象如图所示．由图可知，f(－2) ＝f(4)＝5，f(1)＝－4，根据选项可知．当f(x)＝x2－2x－3的定义域为[a， b]，值域为[－4，5]时，实数对(a，b)可能为(－2,4)，(－2,1)，(1,4)．故 选ABC.
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1. 函数值域的定义： 若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x，都有一个输出值 y与之对应．我们将所有输出值y组成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}称为函数的 值域． 2. 函数的值域是由函数的定义域和对应法则共同确定的，所以求函 数的值域一定要注意定义域是什么，对于同一个函数关系式，当定义域 变化时，值域也可能发生变化.
3.1.1函数的概念(第二课时)课件(人教版)
.
x2
(1)求函数的定义域；
f (a)：当x=a时函数f(x)的取值
2
f(a)是f(x)的一个特殊值,是一个相对确定的
(2)求 f ( 3),f ( ) 的值；
3
数.
(3)当a>0时，求f (a)，f (a－1)的值.
x 3 0
解 : (1)由
得 x 3,且x 2.
x 2 0
函数f ( x )的定义域为 { x | x 3且x 2}.
(2) f ( 3)
2
f( )
3
1
3 3
1,
3 2
2
1
3
3
2
3
8
2
3
33
.
3
1
(3) f (a ) a 3
,
a2
f (a 1) a 1 3
1
1
a2
+
≥ .
解： 由题知 =
−
+
=
+−
+
=+
∵ ≥ ，∴ + ≥ ，∴ <
∴ − ≤
−
+
< ， ∴ − ≤ +
+
−
+
−
.
+
≤ ，
< . ∴ 函数的值域为 [−, ) .
分离常数法：此方法主要针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数
所以 的定义域为 [0,2) ，
1
1
则在 1 − 3 中，由 0 ≤ 1 − 3 < 2 解得 − < ≤ ，
x2
(1)求函数的定义域；
f (a)：当x=a时函数f(x)的取值
2
f(a)是f(x)的一个特殊值,是一个相对确定的
(2)求 f ( 3),f ( ) 的值；
3
数.
(3)当a>0时，求f (a)，f (a－1)的值.
x 3 0
解 : (1)由
得 x 3,且x 2.
x 2 0
函数f ( x )的定义域为 { x | x 3且x 2}.
(2) f ( 3)
2
f( )
3
1
3 3
1,
3 2
2
1
3
3
2
3
8
2
3
33
.
3
1
(3) f (a ) a 3
,
a2
f (a 1) a 1 3
1
1
a2
+
≥ .
解： 由题知 =
−
+
=
+−
+
=+
∵ ≥ ，∴ + ≥ ，∴ <
∴ − ≤
−
+
< ， ∴ − ≤ +
+
−
+
−
.
+
≤ ，
< . ∴ 函数的值域为 [−, ) .
分离常数法：此方法主要针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数
所以 的定义域为 [0,2) ，
1
1
则在 1 − 3 中，由 0 ≤ 1 − 3 < 2 解得 − < ≤ ，
函数的概念(1)课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
350km/h后，运行了1h就前进了350km”你认为这个说法正确吗？
3）你认为如何表述s与t的对应关系才能更精确？
问题二：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不
超过6天。如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每
周付一次工资
（1）你认为该怎样确定一个工人的每周所得？
工作时间/天 1
2
3
4
5
6
所得工资/元 350
700
1050
1400
1750
2100
（2）一个工人的工资w是他工作天数d的函数吗？
（3）你能仿照问题1中对S与t的对应关系的精确表示，给出
这个问题中w与d的对应关系的精确表示吗？
（4）问题1和2中函数的对应关系相同，你认为他们是同一个
函数吗？为什么？
150
问题三：右图是北京市2016
57}
B4 = r 0＜r ≤ 1
上述问题的共同特征有：
（1）都包含两个非空数集，用A，B来表示；
（2）都有一个对应关系；
（3）尽管对应关系的表示方法不同，但是他们都有如下特
征：对于数集A中的任意一个数x,按照对应关系，在数集B中
都有唯一确定的数y和它对应。
w=350d
一般地，设A、B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意
一个数x，按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一
确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B
中的一个函数
记作y = f x ，x ∈ A
其中x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；与x
相对应的y值叫作函数值，函数值的集合ሼf x 丨x ∈ A}叫作
函数的值域
下列集合A到集合B的对应哪些是函数：
3）你认为如何表述s与t的对应关系才能更精确？
问题二：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不
超过6天。如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每
周付一次工资
（1）你认为该怎样确定一个工人的每周所得？
工作时间/天 1
2
3
4
5
6
所得工资/元 350
700
1050
1400
1750
2100
（2）一个工人的工资w是他工作天数d的函数吗？
（3）你能仿照问题1中对S与t的对应关系的精确表示，给出
这个问题中w与d的对应关系的精确表示吗？
（4）问题1和2中函数的对应关系相同，你认为他们是同一个
函数吗？为什么？
150
问题三：右图是北京市2016
57}
B4 = r 0＜r ≤ 1
上述问题的共同特征有：
（1）都包含两个非空数集，用A，B来表示；
（2）都有一个对应关系；
（3）尽管对应关系的表示方法不同，但是他们都有如下特
征：对于数集A中的任意一个数x,按照对应关系，在数集B中
都有唯一确定的数y和它对应。
w=350d
一般地，设A、B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意
一个数x，按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一
确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B
中的一个函数
记作y = f x ，x ∈ A
其中x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；与x
相对应的y值叫作函数值，函数值的集合ሼf x 丨x ∈ A}叫作
函数的值域
下列集合A到集合B的对应哪些是函数：
3.1.1 函数的概念 课件(共30张ppt)
3.1.1 函数的概念
函数符号y＝f(x) 是由德国数学 家莱布尼兹在18世纪引入的． 显然,值域是集合B的子集.在问题1与问题2 中,值域就是B1和B2;在问题3中,值域是数集B3的 真子集;在问题4中,值域 B4={0.3669,0.3681,0.3817, 0.3569,0.3515, 0.3353,0.3387,0.2989,0.2935,0.2857},是数集 B4={r｜0＜r≤1}的真子集．
3.1.1 函数的概念
一般地,设A、B是非空的实数集,如果对于 集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应 关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应, 那么就称ƒ:A→B为从集合A到集合B的一个函 数 (function).记作: y=f(x),xA.
其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数 的定义域(domain);与x的值相对应的y值叫做函 数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域 (range).
3.1.1 函数的概念
我们所熟悉的一次函数y＝ax+b(a≠0)的定义 域是R,值域也是R,对应关系f把 R中的任意一个数 x,对应到R中唯一确定的数ax+b(a≠0)．
二次函数y=ax2+bx当a＞0时,B { y| 4ac b2 } ;当a<0时, 4a
3.1.1 函数的概念
解:把y=x(10-x)看成二次函数,那么它的定义域是 R,值域是B={y | y≤25}.对应关系f把R中的任意一个 数x,对应到B中唯一确定的数x(10-x). 如果对x的取值范围作出限制,例如x∈{x | 0<x<10}, 那么可以构建如下情境: 长方形的周长为20,设一边长为x,面积为y,那么y＝ x(10-x).其中,x的取值范围是A={x｜0<x<10},y的 取值范围是B={y|0＜y≤25}.对应关系f把每一个长 方形的边长x,对应到唯一确定的面积x(10-x).
3.1.1函数的概念课件(人教版)(1)
-1/2
1/2 …
引出课题 形形成成概概念念 巩固反思 小结作业
6. 请同学们思考并回答以下问题：
(1)你认为对应关系图应包括几个要素呢? (2)我们所学的函数是否都能用对应关系图表示? (3)函数值如何得到?
(1)非空数集Ａ；非空数集Ｂ；对应关系． 即对应关系图实为两个数集间的一个对应．
(2)任何函数都能作出对应关系图. 函数也可理解为两个数集间的一种对应.
(平方的5倍 )
A1
5B
2
20
3
45
…
…
引出课题 形形成成概概念念 巩固反思 小结作业
5. 引课中三个函数能否作出对应关系图?
请同学动手试一试:
⑴ y = 2x+3 ⑵ y = x2 ⑶ y =
(2倍加3)
A -1
1B
2
7
5
13
…
…
引出课题 形形成成概概念念 巩固反思 小结作业
5. 引课中三个函数能否作出对应关系图?请
同学动手试一试:
⑴ y = 2x+3 ⑵ y = x2 ⑶ y =
(求平方)
A1
-1
1B
-2
4
2
…
…
引出课题 形形成成概概念念 巩固反思 小结作业
5. 引课中三个函数能否作出对应关系图?
请同学动手试一试:
⑴ y = 2x+3 ⑵ y = x2 ⑶ y =
A -1
1 -2 2 …
(求倒数)
-1 B
1
(3)集合A、B与f一起称A到B的函数，而非对应关系f或集 合A、B叫函数。
(4)函数的三要素，定义域，对应关系f，值域。值域由对 应关系f与定义域确定，所以判定两函数是否相同只需定 义域与对应关系相同就行了。
1/2 …
引出课题 形形成成概概念念 巩固反思 小结作业
6. 请同学们思考并回答以下问题：
(1)你认为对应关系图应包括几个要素呢? (2)我们所学的函数是否都能用对应关系图表示? (3)函数值如何得到?
(1)非空数集Ａ；非空数集Ｂ；对应关系． 即对应关系图实为两个数集间的一个对应．
(2)任何函数都能作出对应关系图. 函数也可理解为两个数集间的一种对应.
(平方的5倍 )
A1
5B
2
20
3
45
…
…
引出课题 形形成成概概念念 巩固反思 小结作业
5. 引课中三个函数能否作出对应关系图?
请同学动手试一试:
⑴ y = 2x+3 ⑵ y = x2 ⑶ y =
(2倍加3)
A -1
1B
2
7
5
13
…
…
引出课题 形形成成概概念念 巩固反思 小结作业
5. 引课中三个函数能否作出对应关系图?请
同学动手试一试:
⑴ y = 2x+3 ⑵ y = x2 ⑶ y =
(求平方)
A1
-1
1B
-2
4
2
…
…
引出课题 形形成成概概念念 巩固反思 小结作业
5. 引课中三个函数能否作出对应关系图?
请同学动手试一试:
⑴ y = 2x+3 ⑵ y = x2 ⑶ y =
A -1
1 -2 2 …
(求倒数)
-1 B
1
(3)集合A、B与f一起称A到B的函数，而非对应关系f或集 合A、B叫函数。
(4)函数的三要素，定义域，对应关系f，值域。值域由对 应关系f与定义域确定，所以判定两函数是否相同只需定 义域与对应关系相同就行了。