函数的单调性和凹凸性
函数单调与凹凸教学
单调性是函数的局部性质，即在某 个区间内单调递增或递减，并不代 表在整个定义域上都是单调的。
判断函数单调性的方法
导数法
通过求函数的导数，并判断导 数的符号来判定函数的单调性
。
定义法
通过比较函数在定义域内的任意 两点x1和x2的函数值f(x1)和 f(x2)，来判断函数的单调性。
图像法
通过观察函数的图像，可以直 观地判断函数的单调性。
判断函数凹凸性的方法
导数法
通过求函数的导数，然后判断导数的正负来判断函数的凹凸性。如果导数在某 区间内大于0，则函数在该区间内为凹函数；如果导数在某区间内小于0，则函 数在该区间内为凸函数。
二阶导数法
如果一个函数的二阶导数在某区间内大于0，则该函数在该区间内为凹函数；如 果二阶导数在某区间内小于0，则该函数在该区间内为凸函数。
单调性决定了函数值的增减趋势，而 凹凸性则决定了函数图像的弯曲程度。
在单调递减的函数中，如果函数是凹 的，则图像呈现向下凸起的形状；如 果函数是凸的，则图像呈现向上凸起 的形状。
在单调递增的函数中，如果函数是凹 的，则函数图像呈现出向上凸起的形 状；如果函数是凸的，则图像呈现向 下凸起的形状。
单调与凹凸在函数图像上的表现
函数凹凸性的应用
01
02
03
最优化问题
利用函数的凹凸性，可以 确定函数的最大值或最小 值，从而解决最优化问题。
经济模型
在经济学中，凹凸性可以 用来描述某些经济现象， 例如供需关系、成本和收 益等。
物理学
在物理学中，凹凸性可以 用来描述物理量之间的关 系，例如弹性、能量等。
03 单调与凹凸的关系
单调与凹凸的相互影响
函数单调与凹凸教学
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
从几何上看，曲线的凹凸性反映的是曲线弧上两点，连接这两点间的弦与 这两点间的弧段的位置关系。
第三章 微分中值定理与导 数的应用
9
定理 2
设 f (x ) 在 a ,b 上连续，在 (a ,b ) 内具有一阶和二阶导数，那么
> 0 ，则 f ( x ) 在 a ,b 上的图形是凹的； < 0 ，则 f ( x ) 在 a ,b 上的图形是凸的。 ∈ a ,b ，且 x 1 < x 2 ，记 x 0 =
= 0 处，曲线 y = x 3 有水平切线，即 x 轴。
一般地，如果 f ′ (x ) 在某区间内的有限个点处为零，在其余各点处保持固定 符号时，函数 f (x ) 在该区间上是单调的。 结论在 f ′ (x )
= 0 有无限个解时未必成立。
第三章 微分中值定理与导 数的应用
7
例6 证
证明：当 x 令 f (x )
=0
< a < 1,b = 2k + 1 k ∈ Z + ,ab > 1 +
(
)
3π 2
，
Van Der Waerden 构造并证明： f (x )
=
n =0
∑
∞
ϕ 10n x
10n
(
) ，其中
x − x , ϕ (x ) = x + 1 − x ,
> 1 时， 2 x > 3 −
1
x
。
1 = 2 x − 3 − ，则 x
f ′ (x ) =
1
x
−
1
x
2
=
1
x2
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判定法定理1 设函数()y f x =在[],a b 上连续，在(),a b 内可导．（1）如果在(),a b 内()0f x '≥，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数()y f x =在[],a b 上单调增加；（2）如果在(),a b 内()0f x '≤，且等号仅在有限多个点处成立，那么函数()y f x =在[],a b 单调减少．例1 判定函数sin y x x =-在[],ππ-上的单调性． 解 因为函数sin y x x =-在[],ππ-上连续，当x ∈(),ππ-时， 1cos 0y x '=-≥，且等号仅在0x =处成立，所以函数sin y x x =-在[],ππ-上单调增加． 例2 讨论函数1x y e x =--的单调性．解 函数1x y e x =--的定义域为(),-∞+∞， 1.x y e '=- 因为在(),0-∞内0y '<，在()0,+∞内0y '>，所以1x y e x =--在(],0-∞上单调减少，在[)0,+∞上单调增加．例3 讨论函数y解 的定义域为(),-∞+∞．当0x ≠时，y '=而函数在0x =处不可导．在(),0-∞内，0y '<，在()0,+∞内0y '>，因此函数y =在(],0-∞上单调减少，在[)0,+∞上单调增加．该函数的图象如下图所示．例4 确定函数()3229123f x x x x =-+-的单调区间．解 该函数的定义域为(),-∞+∞．()()()261812611.f x x x x x '=-+=--方程()0f x '=的全部根为121, 2.x x ==这两个根把区间(),-∞+∞分为三个部分区间：(][][),1,1,2,2,.-∞+∞在区间(),1-∞内()0f x '>，函数()f x 在(],1-∞单调增加．在区间()1,2内，()0f x '<，函数()f x 在区间[]1,2单调减少．在区间()2,+∞内()0f x '>，函数()f x 在区间[)2,+∞单调增加．例5 证明：当1x >时，13.x-证 令()13f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则 ()()22111.f x x x '== ()f x 在[)1,+∞上连续，在()1,+∞内()0f x '>，因此在[)1,+∞上函数()f x 单调增加，于是当1x >时，()()10f x f >=，即130,x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭ 13.x- 二、曲线的凹凸性与拐点定义 设函数()f x 在区间I 上连续，如果对I 上任意两点12,x x ，恒有()()1212,22f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭那么称()f x 在I 上的图形是凹的；如果恒有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭， 那么称()f x 在I 上是凸的．定理2 设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内具有一阶和二阶导数，那么（1）若在(),a b 内()0f x ''>，则()f x 在[],a b 上的图形是凹的；（2）若在(),a b 内()0f x ''<，则()f x 在[],a b 上的图形是凸的． 例6 判定曲线ln y x =的凹凸性．解 因为211,y y x x'''==-，所以函数ln y x =在定义域()0,+∞内，0y ''<，故曲线ln y x =是凸的．例7 判定曲线3y x =的凹凸性．解 因为23,6.y x y x '''==当0x <时，0y ''<，所以曲线在(],0-∞是凸的；当0x >时，0y ''>，曲线在[)0,+∞是凹的．例8 求曲线32231214y x x x =+-+的拐点．解 216612,126122y x x y x x ⎛⎫'''=+-=+=+ ⎪⎝⎭． 解方程0y ''=，得1.2x =-当12x <-时，0y ''<；当12x >-时，0y ''>．因此点11,2022⎛⎫- ⎪⎝⎭是曲线的拐点．例9 求曲线43341y x x =-+的拐点及凸凹区间． 解 函数43341y x x =-+的定义域为(),-∞+∞．321212,y x x '=-22362436.3y x x x x ⎛⎫''=-=- ⎪⎝⎭ 解方程0y ''=，得1220,.3x x == 在(),0-∞内，0y ''>，曲线在区间(),0-∞凹的．在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内，0y ''<，曲线在区间20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦是凸的．在2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内，0y ''>，曲线在区间2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭是凹的． 当0x =时，1y =．当23x =时，11.27y = 点()0,1和211,327⎛⎫ ⎪⎝⎭是这曲线的两个拐点． 习题3-41.判定函数()arctan f x x x =-的单调性．解 ()22211011x f x x x '=-=-≤++且仅在0x =时成立．因此函数()arctan f x x x =-在(),-∞+∞内单调减少．2.判定函数()cos f x x x =+的单调性．解 ()1sin 0f x x '=-≥，且当()20,1,2,2x n n ππ=+=±± 时，()0f x '=．因此函数()cos f x x x =+在(),-∞+∞内单调增加．3.确定下列函数的单调区间：（1）3226187y x x x =---；解 函数的定义域为(),-∞+∞，在(),-∞+∞内可导，且 ()()261218631.y x x x x '=--=-+令0y '=，得驻点121, 3.x x =-=当时1x <- 时，0y '>，函数在(],1-∞-单调增加； 当13x -<<时，0y '<，函数在[]1,3-单调减少； 当3x >时，0y '>，函数在()3,+∞单调增加．（2）()820y x x x=+>；解 函数的定义域为()0,+∞，在()0,+∞内可导，且()()22222228282.x x x y x x x -+-'=-== 令0y '=，得驻点12x =-（舍去），22x = 当02x <<时，0y '<，函数在(]0,2单调减少；当2x >时，0y '>，函数在[)2,+∞单调增加．。
函数的单调性与曲线的凹凸性ppt课件
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
在区间 I 上连续 ,
(1) 若恒有 图形是凹的;
则称
(2) 若恒有
则称
图形是凸的 .
设 是区间 I 内的点，如果曲 yyy 拐点
线
在经过点
时,
曲线的凹凸性改变了, 那么就称点 OOO
为这曲线的 拐点.
x x1x1x1x21x22x2x2x2 x x
高等数学（上）
类似地可以证明 f (x) 0 的情形.
高等数学（上）
第三章 微分中值定理与导数的应用
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
例1 判定函数y x sin x 在 [0, 2 ] 上的单调性 解 因为在 (0, 2 )内
y 1 cos x 0,
所以函数 y x sin x在 [0, 2 ] 上的单调增加.
2）若函数在其定义域的某个区间内是单调的， 则该区间称为函数的单调区间.
3）导数等于零的称为驻点（或称稳定点、临界
点），驻点可能是单调区间的分界点． 4）如果函数在某驻点两边导数同号,
y
y x3
则不改变函数的单调性 . 例如,
O
x
高等数学（上）
第三章 微分中值定理与导数的应用
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
第三章 微分中值定理与导数的应用
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
求函数单调区间的步骤: 1）确定函数 的定义域；
2）在定义域内求出使 存在的点；
的点与 不
3）用上述这些点把定义域分成若干个互不重叠 的子区间；
4）考察 在这些子区间内的符号，并由定
理1得出单调区间. 注意上述这些点中若有某些点两 侧的单调性一致， 则应将两侧合在一起构成一个单 调区间.
函数的单调性与凹凸性
单调性与导数的关系
单调性是导数的一个应用，如果函数在某区间内单调递增或递减，则该函数的导 数在此区间内非负或非正。
导数的符号决定了函数的单调性，如果导数大于0，则函数单调递增；如果导数小于 0，则函数单调递减。
02 函数的凹凸性
凹函数与凸函数
凹函数
对于函数$f(x)$，如果在区间$I$上， 对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) + f(x_2) > 2f[(x_1 + x_2)/2]$，则称 $f(x)$在区间$I$上为凹函数。
求解方法
通过导数判断函数的单调性，并结合端点值进行比较。
应用
在物理学、化学等领域中，常需要求解函数在开区间 上的最值问题，以解释某些现象或预测结果。
无界区间上的最值问题
定义
在无界区间上，函数可能没有最大值或最小 值。
求解方法
通过导数判断函数的增减性，并考虑无穷远处的情 况。
应用
在数学分析、实变函数等领域中，常需要研 究函数在无界区间上的最值问题，以深入理 解函数的性质和行为。
减函数
对于函数$f(x)$，如果对于任意$x_1 < x_2$，都有$f(x_1) > f(x_2)$，则称 $f(x)$为减函数。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
单调性的判断方法
定义法
通过比较任意两点之间的函数值来确定函数的单调性。
导数法
利用导数来判断函数的单调性，如果导数大于0，则函数单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
在分析力学系统的运动规律时，利用函数的 单调性和凹凸性，可以判断系统的稳定性和 运动状态。
电路分析
在电子和电路工程中，利用函数的单调性和 凹凸性，可以分析电路的工作状态和性能， 优化电路设计。
函数的单调性与曲线的凹凸性
2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如,
例2. 证明 证: 令
时, 成立不等式
且
证
从而
因此
证明
二、曲线的凹凸与拐点
定义 . 设函数 在区间 I 上连续 ,
(1) 若恒有 图形是凹的;
(2) 若恒有
图形是凸的 . 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 .
则称
则称
的凹凸区间及拐点.
2) 求拐点可疑点坐标
令
得
3) 列表判别
对应
凹
故该曲线在
及
向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及
凸
凹
上向上凹, 均为拐点.
内容小结
1. 可导函数单调性判别
2.曲线凹凸与拐点的判别
在 I 上单调递增 在 I 上单调递减
+
–
拐点 — 连续曲线上有切线的凹凸分界点
思考与练习
1. 设在 或
拐点
定理2.(凹凸判定法)设函数 在区间I 上有二阶导数
(1) 在 I 内
则 f (x) 在 I 内图形是凹的 ;
(2) 在 I 内 证:
则 f (x) 在 I 内图形是凸的 . 利用一阶泰勒公式可得
两式相加
说明 (1) 成立; (2) 证毕
例3. 判断曲线 解:
的凹凸性.
故曲线
在
上是向上凹的.
说明:
1) 若在某点二阶导数为 0 , 在其两侧二阶导数不变号, 则曲线的凹凸性不变 .
2) 根据拐点的定义及上述定理, 可得拐点的判别法如下:
若曲线
或不存在,
但
在 两侧异号, 则点
是曲线
的一个拐点.
第四节函数的单调性与凹凸性
F ( x ) 是凸函数
F ( x ) min F (0), F ( ) 0 (自证) 2 2 sin x x 即
第四节、函数单调性与凹凸性
五、作业
第四节、函数单调性与凹凸性
在区间I 上有二阶导数
在 I 内图形是凹的 ;
则 在 I 内图形是凸的 . 利用一阶泰勒公式可得
x1 x2 x x x x 1 2 1 2 f ( x1 ) f ( ) ) ( x1 ) f ( 2 2 2 f (1 ) x1 x2 2 ( x1 ) 2! 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 ) ) f ( ) ( x2 f ( x2 ) f ( 2 2 2 f ( 2 ) x1 x2 2 ( x2 ) 两式相加，得 2! 2
第四节 函数的单调性与凹凸性
一、函数单调性的判定 法 二、曲线的凹凸与拐点 三、小结、思考与练习 四、作业
一、 函数单调性的判定法
定理 1. 设函数 在开区间 I 内可导, 若 在 I 内单调递增 (递减). 任取
( f ( x ) 0) ,则
证: 无妨设
由拉格朗日中值定理得
0
故
这说明 在 I 内单调递增.
( x 1)
2( x 3 3 x 2 3 x 1) 2 3 ( x 1)
2( x 1)( x 2 3 )( x 2 3 ) 2 3 ( x 1)
第四节、函数单调性与凹凸性
令 y 0 得 x1 1 , x2 2 3 ,
x 3 2 3
内容小结
1. 可导函数单调性判别 f ( x ) 0 , x I f ( x ) 0 , x I
函数的单调性与曲线凹凸性
一次函数图像是一条直线，没有凹凸性。
二次函数的单调性与凹凸性
二次函数
单调性
凹凸性
$y = ax^2 + bx + c$
当$a > 0$时，函数在区间$(infty, -frac{b}{2a})$上单调递 减，在区间$(-frac{b}{2a}, infty)$上单调递增；当$a < 0$时，函数在区间$(-infty, frac{b}{2a})$上单调递增，在 区间$(-frac{b}{2a}, infty)$上 单调递减。
凹凸性
正弦函数图像是下凹的。
余弦函数
$y = cos x$
单调性
在每个周期内，函数在$[0, pi]$上单调递减，在$[pi, 2pi]$上单调递增。
凹凸性
余弦函数图像是上凸的。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
产量之间的关系。
在物理学中，单调性与凹凸 性可用于描述物体的运动轨 迹、速度与加速度之间的关
系等。
在工程领域，单调性与凹凸性 可用于优化设计，例如在桥梁、 建筑和机械设计中考虑结构的
稳定性与安全性。
04 实例分析
一次函数的单调性与凹凸性
一次函数
$y = ax + b$
单调性
当$a > 0$时，函数在$mathbb{R}$上单调递增； 当$a < 0$时，函数在$mathbb{R}$上单调递减。
通过求函数的导数，分析导数的符号变化，判断函数的单 调性。如果导数大于0，函数单调递增；如果导数小于0， 函数单调递减。
定义法
通过比较函数在不同点上的函数值来判断函数的单调性。 如果对于任意两点，函数值满足递增或递减关系，则函数 在该区间内单调。
4[1].4函数的单调性与凹凸性
![4[1].4函数的单调性与凹凸性](https://img.taocdn.com/s3/m/8cab8c07e87101f69e3195eb.png)
f ′ ( x ) = cos x 1 ≤ 0
5函数的凸性 函数的凸性 凸性 设 函 数 f ( x ) : [ a , b ] → R .
如 果 x1 , x 2 ∈ [ a , b ], 不 等 式 f ( λ1 x1 + λ 2 x 2 ) ≤ λ1 f ( x1 ) + λ 2 f ( x 2 ) 对 于 满 足 λ1 + λ 2 = 1 的 任 意 非 负 实 数 λ1和 λ 2 都 成 立 , 则 称 f 在 [a , b ] 上 为 凸 函 数 .
[证] 必要性 证 设 f ( x ) 在区间 [ a , b ]上为下凸函数
x1 , x 2 ∈ [ a , b ], 且 x1 < x 2 , x : x1 < x < x 2
有 f ( x ) f ( x1 ) f ( x ) f ( x 2 ) ≤ x x1 x x2
因为 f ( x )在 x1与 x 2 都可导 , 根据极限的保号 性, 有
4.4函数的单调性与凹凸性 函数的单调性与凹凸性
1 问题的提出
y
y = f (x)
A
B
y
A y = f (x) B
o
a
b
x
o a
f ′( x) ≤ 0
b x
在区间( 若 y = f (x)在区间(a,b)上单调上升 上单调上升 在区间( 若 y = f (x)在区间(a,b)上单调下降 上单调下降
f ′( x) ≥ 0 f ′( x) ≤ 0
这就是说 ,函数 f ( x )在区间 [a , b ] 上是 下凸的 .
定理2: 定理 :( 用二阶导数判定函数的凸性 )
设函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b )内 二阶可导 , 则 f 在 [ a , b ] 为下凸 ( 上凸 ) 函数 的充分必要条件是 : f ′′( x ) ≥ 0 ( f ′′( x ) ≤ 0 ).
3.4函数的单调性与凹凸性
1. 单调性判别法
2. 单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用 3. 曲线凹凸性与拐点的概念 4. 曲线凹凸性与拐点的判别法
一、单调性的判别法
f ( x ) 定理 设函数 y 在 [a, b]上连续, 在 (a,b)
内可导
' ( x ) 0 ,则函数 y (1) 若在 (a,b)内 f f ( x ) 在
5 1 ,0 ) 综上所述可知， 方程 x 在区间 ( x 1 0
内有且只有一个实根.
二、曲线凹凸的概念 问题 如何研究曲线的弯曲方向?
x x f ( x ) f ( x ) 1 2 1 2 两点 x ( ) , 1, x 2,恒有 f 2 2 则称 f (x)在 I上的图形是凹的. 若对 I 上任意 x x f ( x ) f ( x ) 1 2 1 2 两点 x ( ) , 1, x 2,恒有 f 2 2 则称 f (x)在 I上的图形是凸的.
[a, b]上单调增加;
' ( x ) 0 , f ( x ) 在 则函数 y (2) 若在 (a,b) 内 f
[a, b] 上单调减少;
证 x , x ( a , b ), x ,应用拉氏定理得 且 x 1 2 1 2
( x x ), f ( x ) f ( x ) f ' ( )( x x ) 1 2 2 1 2 1
函数单调减少； 函数单调增加.
注：函数的单调性是一个区间上的性质，要用导
数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处 的导数符号来判别一个区间上的单调性.
完
单调区间的求法 问题: 如何确定函数在定义域内各部分区间上函 数的单调性. 定义: 若函数在其定义域的某个区间内是单调的, 则该区间称为函数的单调区间. 注意: 导数等于零的点和不可导点, 均可能是单调
函数的单调性与凹凸性
函数的单调性与凹凸性在数学中，函数的单调性和凹凸性是研究函数图像性质的重要方面。
本文将介绍函数的单调性和凹凸性的定义以及它们在解决实际问题中的应用。
一、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域上的取值随自变量的增大或减小而增大或减小的规律。
具体地，一个函数在区间上是单调递增的，即当x1 < x2时，f(x1) ≤ f(x2)，则称函数在该区间上是递增的。
类似地，如果一个函数在区间上是单调递减的，即当x1 < x2时，f(x1) ≥ f(x2)，则称函数在该区间上是递减的。
函数单调性的研究可以帮助我们确定函数的增减区间以及解决一些优化问题。
例如，在生产成本最小化的问题中，我们可以通过研究成本函数的单调性来确定最佳生产量。
二、函数的凹凸性函数的凹凸性是指函数图像在定义域上的弯曲程度。
具体地，如果一个函数在区间上任意两点间的连线位于函数图像的下方，则称函数在该区间上是凹的；如果函数图像上任意两点间的连线位于函数图像的上方，则称函数在该区间上是凸的。
凹凸性常常与函数的极值点相关。
对于一个凸函数，在定义域上任意两点连线的斜率都大于函数图像上相应的切线斜率，而对于一个凹函数，则相反。
因此，研究函数的凹凸性能够帮助我们找到函数的极值点。
三、在实际问题中，函数的单调性与凹凸性常常同时存在，并能够相互影响。
例如，对于一个单调递增的函数，在单调区间上的任意两点都能够形成一个凸函数的子区间。
同样地，对于一个单调递减的函数，在单调区间上的任意两点都能够形成一个凹函数的子区间。
函数的单调性和凹凸性的研究除了能够帮助我们解决实际问题外，还能够提供对函数图像性质的深入理解。
通过观察函数图像的单调性和凹凸性，我们能够得到更直观的信息，比如函数的整体趋势、局部极值点等。
总结：函数的单调性和凹凸性是研究函数图像性质的重要方面。
函数的单调性描述了函数值随自变量增减变化的规律，而函数的凹凸性则描述了函数图像的弯曲程度。
函数的单调性和凹凸性不仅能够解决实际问题，还能够提供对函数图像性质的深入理解。
函数的单调性与凸凹性
函数的单调性与凸凹性函数在数学中扮演着重要的角色，而其中的单调性与凸凹性则是研究函数性质的重要方面。
本文将为你详细介绍函数的单调性与凸凹性，并探讨它们在数学和实际问题中的应用。
一、函数的单调性在数学中，函数的单调性指的是函数随着自变量的增大或减小而产生的变化趋势。
具体而言，单调性可以分为“单调递增”和“单调递减”两种情况。
1. 单调递增当函数的自变量增大时，函数的取值也相应增大，这种情况下函数被称为单调递增函数。
在数学语言中，假设有函数f(x)，当对于任意的x1和x2 (x1 < x2)，都有f(x1) ≤ f(x2)，则函数f(x)是单调递增函数。
例如，考虑函数f(x) = x^2，我们可以看到当x1 < x2时，f(x1) =x1^2 < x2^2 = f(x2)，所以f(x) = x^2是一个单调递增函数。
2. 单调递减与单调递增相反，单调递减函数在自变量增大时，函数的取值反而减小。
同样地，对于任意的x1和x2 (x1 < x2)，函数f(x)是单调递减函数，当且仅当f(x1) ≥ f(x2)。
例如，考虑函数f(x) = 2/x，当x1 < x2时，f(x1) = 2/x1 > 2/x2 =f(x2)，因此f(x) = 2/x是一个单调递减函数。
函数的单调性在数学和实际问题中都有重要的应用。
它们可以帮助我们研究函数的性质，求解方程、优化问题等。
二、函数的凸凹性函数的凸凹性也是函数性质的重要方面，它揭示了函数曲线的弯曲程度。
具体而言，凸函数与凹函数是最常见的两种情况。
1. 凸函数在数学中，如果对于函数f(x)上的任意两个点(x1, f(x1))和(x2, f(x2))，连接这两点的线段在曲线上方，那么函数f(x)被称为凸函数。
以函数f(x) = x^2为例，对于任意的x1和x2，当x1 ≠ x2时，(x1,f(x1))和(x2, f(x2))之间的线段都在曲线y = x^2的上方，因此f(x) = x^2是一个凸函数。
§3.4 函数的单调性与凹凸性
为铅直渐近线
导数的应用
又因
即
为斜渐近线.
( x 3) 2 y 4( x 1)
5) 求特殊点
( x 3)( x 1) y 4( x 1) 2 2 y ( x 1)3
导数的应用
6）绘图
(极大)
无 定 义
(极小)
铅直渐近线 斜渐近线 特殊点
1
( x 3) 2 y 4( x 1)
的单调区间.
导数的应用
2.函数的极值
定义:
在其中当 (1) 时,
则称
称
为
的极大点 ,
为函数的极大值 ;
(2)
则称 称
为
的极小点 , 为函数的极小值 .
极大点与极小点统称为极值点 .
导数的应用
3. 函数极值的判定 定理3.4.2 (极值第一充分条件) 设 f (x) 在 x0 处连续, 在 x0 的某去心 δ 邻域内可导, (1) 如果当 如果当 (2) 如果当 如果当 (3) 如果 在
导数的应用
§3.4 函数的单调性与凹凸性
3.4.1 函数的单调性与极值 3.4.2 函数凹凸性及其判定 内容小结与作业
导数的应用
3.4.1 函数的单调性与极值
1. 函数的单调性判定
y B D
A
O
C
x
对曲线段
、
，其各点处的切线斜率为正，曲
线是上升的；对曲线段 为负，曲线是下降的．
，其各点处的切线斜率
f ( x) 0.
导数的应用 \\5.4.2 函数凹凸性及其判定
例9
求曲线
的凹凸区间和拐点.
例10 求曲线
的凹凸区间和拐点.
导数的应用
函数单调性与凹凸性
凹、凸的区间 .
解
2 y′′ = 36 x ( x − ). y′ = 12 x − 12 x , 3 2 令y′′ = 0, 得 x1 = 0, x2 = . 3
3 2
Q D : ( −∞ ,+∞ )
x
f ′′( x )
(−∞ ,0) −∞
+
凹的
0 0
拐点
(0, 2 ) 3 −
凸的
2
3 0
( 2 ,+∞ ) 3 +
例3
但在( −∞ ,0)内, y′′ > 0, 曲线在( −∞ ,0]上是凹的;
在(0,+∞ )内, y′′ < 0, 曲线在[0,+∞ )上是凸的.
∴ 点(0,0)是曲线 y = 3 x的拐点.
小结： 小结：
1. 可导函数单调性判别
f ′(x) > 0, x∈I f ′(x) < 0, x∈I
2.曲线的弯曲方向 曲线的弯曲方向--------凹凸性 凹凸性; 曲线的弯曲方向 凹凸性 凹凸性的判定. 凹凸性的判定
如 对 a, b) 任 两 x1 , x2 , 果 ( 内 意 点 x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x2 ) )> , 恒 有 f( 2 2 末 f ( 那 称 ( x)在 a, b) 的 形 凸 ; 内 图 是 的
果 [ 内 续 在 如 f ( x)在 a, b] 连 ,且 (a, b)内 图 是 的 形 凹 (或 )的 那 称 ( x)在 a, b]内 图 是 (或 )的 凸 , 末 f [ 的 形 凹 凸 ;
五、曲线的拐点及其求法
1.定义 1.定义
续 线 凹 的 界 称 曲 的 点 连 曲 上 凸 分 点 为 线 拐 .
3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
(−∞, 1) (1,2)
(2, +∞)
′ ()
+
−
+
()
单增
单减
单增
单调增区间为
(−∞, 1], [2, +∞).
单调减区间为
[1,2].
第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性
第三章 微分中值定理与导数的应用
例4 确定函数 () =
注意:
区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.
例如:
= 3, ′ቚ
=0
= 0, 但在(−∞, +∞)上单调增加.
一般地, 有如下定理：
定理2
设函数 = ()在[, ]上连续, 在(, )内可导.
(1) 如果在(, )内 ′ ()≥0, 且等号仅在有限多个点处成立,
例8
求曲线 = 3 4 − 4 3 + 1 #43;∞).
2
= 36( − ).
=
−
3
2
″
令 = 0, 得 1 = 0, 2 = .
3
′
12 3
″ ()
()
12 2 ,
″
(−∞, 0)
0
(0, 2ൗ3)
2ൗ
3
+
0
−
0
+
拐点(0,1)
凸的
拐点(2ൗ3 , 11ൗ27)
3. 利用单调性证明不等式
π
sin 2
例5 证明: 当0 < ≤ 时,
≥ .
2
π
证
π
sin 2
高数讲义第四节函数的单调性与凹凸性
2、曲线凹凸的判定
特点：（1）曲线弧总位于 切线的下方。
（2）切线的斜率随 x 的增大 而减少。
y y f (x)
B
A oa
bx
即 f ( x)在[a, b]上单调减少.
由单调性判断可知：
若 f ( x) 0 f ( x)单调减少 曲线 y f ( x)是凸的.
2、曲线凹凸的判定
定理2 如果 f ( x) 在 [a, b] 上连续, 在 (a, b) 内具有
o
x
当 x 0时， y 0, 在(,0]上单调增加；
当0 x 时， y 0, 在[0,)上单调增加；
在(,)上函数单调增加.
一般地:若 f (x) 在区间内除有限个点处的导数为零, 在其余点处导数恒为正（或恒为负），则 f (x) 在该 区间上仍旧是单调增加的（或单调减少的 ） .
注意:单调性也常用来证明不等式或方程的根的个数.
一阶和二阶导数 , 若在 (a, b) 内 (1) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a, b] 上的图形是凹的; (2) f ( x) 0,则 f ( x) 在 [a, b] 上的图形是凸的.
说明： （1）证明的思路与单调性的情形完全一样。
（2）若将区间 [ a , b ] 换为其它形式的区间（包括 无穷区间），定理2的结论仍然成立。
解 D : (,).
f ( x) 6x2 18x 12 6( x 1)( x 2) 解方程f ( x) 0 得，x1 1, x2 2. 将 D划分为: (, 1], [1, 2] , [2, ) 当 x 1时， f ( x) 0, 在(,1]上单调增加； 当1 x 2时， f ( x) 0, 在[1,2]上单调减少；
f (1) 1 0, f (0) 1 0,
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(,1)
1
(1,3)
3
(3,)
+
0
－
0
＋
由上可知，函数的单调增区间为 (,1] 和[3,)
，单调减区间为 [1,3]
1．曲线的凹凸定义和判定法
知道了函数的单调性，对函数的变化情况有了初步的了解． 但仅限于此还不够，例如函数曲线
但它们上升的方式 y x 2 与 y x 在 (0,) 内都是上升的，
3 2 f ( x ) 2 x 6 x 18x 7 的定义域为一切实数， 解 函数
f ' ( x) 6x 2 12x 18 6( x 1)(x 3) ，令
f ' ( x) 0
，得 x1 1, x2 3
为表达简洁明了，列表表示
x
f ( x)
f ' ( x)
解 函数 f ( x) x 3 的定义域为一切 实数， f ' ( x) 3x 2 0 ，
3 f ' ( 0 ) 0 f ( x ) x 因此，函数 在 (,) 且只有 ，
上单调增加．
例2 求函数 f ( x) 2x 3 6x 2 18x 7 的单调区间．
却有明显的区别
y
y x2
y x
O
x
定义3-1 在某区间内，如果曲线弧位于其上任一点
处的切线的上方，则称曲线在该区间内是凹的；
如果曲线弧位于其上任一点处的切线的下方， 则称曲线在该区间内是凸的．
进一步分析上图可得凹凸性的判定定理 定理3-5 设函数 f ( x) 在区间 (a, b) 内具有二阶导数， （1）如果 x (a, b) 时，恒有 f " ( x) 0 ，则曲线 y f ( x) 在 (a, b) 内是凹的； （2）如果 x (a, b) 时，恒有 f " ( x) 0 ，则曲线 y f ( x) 在 (a, b) 内是凸的；
定理3-4 设函数 y f ( x) 在 [a, b] 上连续，在 ( a, b) 内可导，则: （1）如果在 ( a, b)内 f '( x ) 0, 那么函数 y f ( x )在 [a , b] 上单调增加；
（2）如果在( a , b )内 f '( x ) 0, 那么函数 y f ( x )在 [a , b] 上单调减少．
注意：
（1）如果将定理中的闭区间换成开区间或半开区间， 结论仍然成立． （2）如果在 (a, b) 内 f ' ( x) 0(或 0) ，但等号只 在有 限个点处成立，那么函数 f ( x )在 [a , b] 上仍然是单调
增加（或减少）的．
3 的单调性． f ( x ) x 例1 判定函数
f " ( x) 要么为零，要么不存在．
4 3 例5 求曲线 y x 2 x 1 的凹凸区间及拐点．
解: （1）函数 y x 4 2 x 3 1 的定义域为 (,) ；
3 2 2 y ' 4 x 6 x , y " 12 x 12x 12x( x 1) ，令 y" 0 （2 ）
，得 x1 0, x2 1 ，无 y" 不存在的点；
（3）列表判断（符号 表示凹的，符号
表示凸的），如下表所示．
x
y"
(,0)
＋
0
(0,1)
－
1
(1,)
＋
0
0
y
拐点
(0,1)
拐点
(1,0)
(,0) (1,) 为凹区间；(0,1) 为凸区间；点 由上可知，
(0,1) 及 (1,0) 为曲线的拐点．
4 2 y x 5 x 例3 判断曲线 的凹凸性．
3 2 y ' 4 x 10 x , y " 12 x 10 ，在 (,) 上，恒有 解：
y" 12x 2 10 0
故曲线 y x 4 5x 2 在 (,) 上为凹的。
定义3-2 连续曲线上凹与凸的分界点称为曲线的拐点． 既然拐点是曲线上凹与凸的分界点，那么在拐点的 要满足这一特征，拐点处的 左右近旁 f " ( x) 应为异号，
3.3 主 要 内 容 教 学 要 求
函数的单调性与曲线的凹凸性
一、函数的单调性 二、曲线的凹凸性和拐点
一、掌握用导数判别函数单调性的方法 二、会用导数判断曲线的凹凸性 三O
x
O
x
(a)
(b)
f '( x) tan 0
f ( x) tan 0
'