高中数学 认清集合元素的三大性质 专题辅导

高中数学 认清集合元素的三大性质 专题辅导

刘素梅

要想准确理解和把握集合及其集合元素的定义，就得认清集合元素的三大性质，只要把握问题的实质，就能熟练运用，本文从基本性质入手，帮助大家进一步认清集合元素的三大性质。

一、集合元素三大性质的理解

1、确定性

作为集合的元素，必须是确定的。对于集合A 和元素a ，要么A a ∈，要么A a ∉，二者必居其一。如“所有大于100的数”组成一个集合，集合中的元素是确定的。而“较大的整数”就不能构成一个集合，因为它的对象是不确定的，怎样的整数才算是较大呢？再如“较大的树”、“较高的人”等都不能构成集合。

2、互异性

对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的（或说是互异的），任何两个相同的对象在同一集合中时，只能算作这个集合中的一个元素。如由a ，2a 组成一个集合}a ,a {2，则a 的取值不能是0或1。

3、无序性

集合中的元素的次序无先后之分。如由1，2，3组成一个集合{1，2，3}，也可以写成{1，3，2}，它们都表示同一个集合。

二、典型例题分析

例1. 判断下列说法是否正确，并说明理由。

（1）“全体高个子中国人”构成一个集合；

（2）2

1|,21|,46,

23,1-这些数组成的集合有5个元素； （3）由a ，b ，c 组成的集合与由b ，a ，c 组成的集合是同一个集合。

分析：本题主要考查集合的概念和集合中元素的性质。解题的依据主要是集合中的元素是否具有确定性和互异性，从而确定集合是否成立。

解：（1）不正确。面对一位身高1.75m 和一位身高1.80m 的两个中国人，你可能会说身高1.75m 者不是“全体高个子中国人”中的一员，但面对身高分别是1.75m 和1.60m 的两个中国人，你却有理由认为身高1.75m 者是“全体高个子中国人”中的一员。由此可知“全体高个子中国人”没有明确的标准，不具有确定性，不能作为元素来组成集合。

（2）不正确。对于一个给定的集合，它的元素必须是互异的，即集合中的任何两个元素都是不同的，很明显，这个集合是由2

1,23,1这三个元素组成的。 （3）正确。集合中的元素相同，只是次序不同，它们都表示同一个集合。

评述：解此类判断题，主要是运用集合元素的三大性质。

例2. 设集合}3a 3a ,)1a (,2a {A 22++++=，若A 1∈，求实数a 的值。 分析：由于A 1∈，则3a 3a ,)1a (,2a 22++++都有可能为1，于是，对所取的值需分类讨论。

解：①若a ＋2＝1，则a ＝－1，所以A ＝{1，0，1}，这与集合中元素的互异性相矛盾，a ＝－1舍去。

②若1)1a (2=+则a ＝0或a ＝－2。当a ＝0时，A ＝{2，1，3}满足题意；当a ＝－2时，

A ＝{0，1，1}，这与集合中元素的互异性相矛盾，a ＝－2舍去。

③若13a 3a 2=++，则a ＝－1或a ＝－2，由上面的讨论知这两个值都应舍去。 由①②③知a ＝0。

评述：本题解法用到了分类讨论的思想。当集合的元素不确定时，要重点考虑集合中元素的互异性。因此，在求解有关集合元素的问题时，元素的互异性至关重要，大家一定要重视。

［练一练］

1、给出命题：①{a ，b ，c ，d}与{c ，d ，b ，a}是两个不同的集合。②方程0)2x )(1x (2=--的解集为{1，－1，2}。③0与1之间的全体无理数构成一个集合。其中正确命题的序号是____________。

2、设集合}0c y b x a |)y ,x {(B },0c y b x a |)y ,x {(A 222111=++==++=，则方程组⎩⎨⎧=++=++0c y b x a ,0c y b x a 222

111的解集是____________；方程0)c y b x a ()c y b x a (222l 11=++⋅++的解集是____________。

［参考答案］

1、②③

2、B A B A