(专题)有理数与无理数的计算
专题01 有理数无理数的概念及运算(解析版)
专题01 有理数无理数的概念及运算典例精选1．（新罗区校级自主招生）对于任意的两个实数对（a，b）和（c，d），规定：①（a，b）＝（c，d），当且仅当a＝c，b＝d；②运算“⊗”为：（a，b）⊗（c，d）＝（ac+bd，bc﹣ad）；③运算“θ”为：（a，b）θ（c，d）＝（a﹣c，b﹣d）．设p，q∈R，若（1，2）⊗（p，q）＝（11，2），则（1，2）θ（p，q）（ ）A．（﹣2，﹣2）B．（3，4）C．（2，1）D．（﹣1，﹣2）【点拨】先根据（1，2）⊗（p，q）＝（11，2），列方程组求p、q的值，再由规定运算“θ”求（1，2）θ（p，q）的结果．【解析】解：由规定②，得（1，2）⊗（p，q）＝（p+2q，2p﹣q），∵（1，2）⊗（p，q）＝（11，2），∴（p+2q，2p﹣q）＝（11，2），由规定①，得p+2q=112p―q=2，解得p=3q=4，由规定③，可知（1，2）θ（p，q）＝（1，2）θ（3，4）＝（1﹣3，2﹣4）＝（﹣2，﹣2）．故选：A．【点睛】本题考查了有理数无理数的概念与运算．关键是理解规定运算，依照规定运算的要求，依次计算．2．（瓯海区校级自主招生）设a=a是（ ）A．无理数B．正整数C．分数D．负整数【点拨】根据根号里面的形式，可将里面的式子配成立方公式，然后开立方后合并即可得出答案．【解析】解：―62―1＝3×22×3×2×2―1，令x＝2，y=3x2y﹣3xy2﹣1，又∵x3﹣y3＝8﹣7＝1，∴原式＝3x2y﹣3xy2﹣（x3﹣y3）＝y3﹣x3+3x2y﹣3xy2＝（y﹣x）32）3．∴a=―2―=―2．故选：D．【点睛】此题考查了有理数无理数的运算及立方公式的知识，技巧性较强，解答本题的关键是熟练立方公式的形式，将根号里面的式子配成立方公式，然后运算．3．（新编）若自然数n使得做竖式加法n+（n+1）+（n+2）均不产生进位现象，使称n为“连绵数”，例如12是“连绵数”，因12+13+14不产生进位现象；但13不是“连绵数”．则小于1000的“连绵数”共（ ）个．A．27B．47C．48D．60【点拨】首先根据题意求出个位数和十位数满足的条件，然后根据能构成“连绵数”的条件求出小于1000的“连绵数”的个数．【解析】解：根据题意个位数需要满足要求：∵n+（n+1）+（n+2）＜10，即n＜2.3，∴个位数可取0，1，2三个数，∵十位数需要满足：3n ＜10，∴n ＜103，∴十位可以取0，1，2，3四个数，∵百位数需要满足：3n ＜10，∴n ＜103，∴百位可以取0，1，2，3四个数，故小于1000的连绵数共有3×4×4＝48个．故选：C ．【点睛】本题主要考查整数的十进制表示法的知识点，解答本题需要从个位数和十位数需要满足的要求着手．4．（镇海区校级自主招生）有四个命题：①如果两个整数的和与积都相等，那么这两个整数都等于2；②每一个角都等于179°的多边形是不存在的；③只有一条边的长大于1的三角形的面积可以等于12；④若α，β是不相等的无理数，则αβ+α﹣β是无理数．其中正确的命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【点拨】根据整数的运算，多边形的内角、三角形的面积及有理数与无理数的知识，分别判断各选项即可得出答案．【解析】解：①如果两个整数的和与积相等，那么这两个整数都等于0或2，故命题错误；②每一个角都等于179°的多边形是360边形，是存在的，故命题错误；③当三边长分别为1、1时，满足面积等于12，且只有一条边大于1，故命题正确；④只要令α＝1β＝﹣1+αβ+α﹣β为有理数，故命题错误．综上可得③正确，共1个．故选：A．【点睛】本题综合考查了有理数及无理数的运算，三角形的面积及多边形的内角与外角的知识，关键是熟练整数的四则运算，三角形的面积计算，多边形的内角和定理的理解和运用，有一点的难度．5．（南充自主招生）若a、b为非零实数，下列说法正确的是（ ）A．a2―ab+14b2是非负数B．|a+b|≥|a﹣b|C．若a＞b，则1a ＜1 bD．（a+1）x＞b的解集为x＞b a1【点拨】利用完全平方的非负性可得出A是正确的，对于B、C、D可用不等式的性质进行求解判定．【解析】解：A、a2―ab+14b2=（a―12b）2，为非负数，故本选项正确；B、若a、b同号，则|a+b|≥|a﹣b|，若a、b异号，则|a+b|≤|a﹣b|，故本选项错误；C、若a＞0，b＜0，此时1a ＞1b，故本选项错误；D、若a+1＜0，此时（a+1）x＞b的解集为：x＜ba1，故本选项错误；故选：A．【点睛】此题考查了有理数无理数的概念与运算，涉及了不等式的性质完全平方的性质，解答本题注意“赋值法”的运用，难度一般．6．（瓯海区校级自主招生）如果78＜qp＜89，p，q是正整数，则p的最小值是（ ）A．15B．17C．72D．144【点拨】根据不等式先写出q的取值范围，根据q为正整数，结合选项判断p的最小值．【解析】解：由题意得，78p＜q＜89p，如果p＝15，则此时13.325＜q＜13.33，q没有正整数值；如果p＝17，则此时14.875＜q＜15.111，q可取15；如果p＝72，则此时63＜q＜64，q没有正整数值；如果p＝144，则此时126＜q＜128，q可取127；综上可得p的最小值为17．故选：B．【点睛】此题考查了有理数无理数的概念与运算，解答本题的关键是将原不等式进行转换，因为是选择题，我们可以将选项代入判断．7．（鹿城区校级自主招生）设p是给定的奇质数，正整数k k＝ ．（结果用含p的代数式表示）【点拨】由条件可以知道k2﹣pk n，k2﹣pk﹣n2＝0，k而p2+4n2是平方数，设为m2，则（m﹣2n）（m+2n）＝p2，p是奇质数，p≥3，则m―2n=1m+2n=p2，可以得到m=p212n=p214代入就可以求出k值．n，k2﹣pk﹣n2＝0，k从而p2+4n2是平方数，设为m2，p2+4n2＝m2，则（m﹣2n）（m+2n）＝p2∵p是质数，p≥3，∴m―2n=1m+2n=p2，解得：m=p21 2n=p21 4∴k=p±m2=2p±(p21)4，∴k1k2=(p1)24（负值舍去）故答案为：(p1)24【点睛】本题考查了有理数和无理数的意义的运用，质数的性质，正整数的意义及对相关概念的理解．8．（梁子湖区校级自主招生）已知函数y=f(x)=1，则f（1）+f（2）+…+f（511）＝ 7 ．【点拨】把原函数关系中的无理式变形得到y=12，然后把分子分母都乘以―1，得到f（x）=―x＝1，2，…，511分别代入后求和可得到f（1）+f（2）+…+f（511）=+―+⋯+=―512与1的立方根，即可得到答案．【解析】解：∵y=f(x)=1=1231=∴f（1）=―f （2）=…f （511）=∴f （1）+f （2）+…+f （511）=+―+⋯+=8﹣1＝7．故答案为7．【点睛】本题考查了立方差公式：（a ﹣b ）（a 2+ab +b 2）＝a 3﹣b 3．也考查了无理式的变形能力．9．（鹿城区校级自主招生）在平面直角坐标系中，点P 的坐标是+m +n)，m 、n 都是有理数，过P 作y 轴的垂线，垂足为H ，已知△OPH 的面积为1，其中O 为坐标原点，则有序数对（m ，n ）为 （﹣1，2），（2，﹣1），（﹣2，1），（1，﹣2） （写出所有满足条件的有序数对（m ，n ））．【点拨】由△OPH ，根据三角形的面积公式可以得到：12×+m ）+n ）＝然后根据m ，n 是有理数就可以求出m ，n 的值，最后求出有序数对（m ，n ）．【解析】解：∵S △OPH 1，∴12×m ）+n∴2m +n ）+mnm +n ﹣1）+mn +2＝0m +n +1）+mn +2＝0，∵m ，n 都是有理数，∴m +n ―1=0mn +2=0或m +n +1=0mn +2=0，解得：m =―1n =2，m =2n =―1，m =―2n =1，m =1n =―2；∴有序数对（m ，n ）为：（﹣1，2），（2，﹣1），（﹣2，1），（1，﹣2）．故答案为：（﹣1，2），（2，﹣1），（﹣2，1），（1，﹣2）．【点睛】此题考查了有理数的概念，点的坐标以及三角形的面积问题．此题难度较大，解此题的关键是利用了m，n是有理数来得到关于m，n的方程．10．（瓯海区校级自主招生）如果一个数能表示成x2+2xy+2y2（x，y是整数），我们称这个数为“好数”．（1）判断29是否为“好数”？（2）写出1，2，3，…，20中的“好数”．（3）如果m，n都是“好数”，求证：mn是“好数”．【点拨】（1）根据x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2可以得到好数特征，根据“好数”定义判断29是否为“好数”．（2）根据好数的定义判断1，2，3，…，20中的“好数”．（3）设m＝x2+2xy+2y2，n＝p2+2pq+2q2，化简mn＝[（x+y）（p+q）+qy]2+[q（x+y）﹣y（p+q）]2，令u+v ＝（x+y）（p+q）+qy，v＝q（x+y）﹣y（p+q），于是可以判断出mn为“好数”．【解析】解：（1）x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2，特征：“好数”是“好数”就是两个整数的平方和，而29＝52+22，故29是“好数”，（2）1，2，3，…，20中的“好数”的有1、2、4、5、8、9，10，13，16，17，18，20，（3）m＝x2+2xy+2y2，n＝p2+2pq+2q2．则mn＝（x2+2xy+2y2）（p2+2pq+2q2）＝[（x+y）2+y2][（p+q）2+q2]＝[（x+y）（p+q）+qy]2+[q（x+y）﹣y（p+q）]2，令u+v＝（x+y）（p+q）+qy，v＝q（x+y）﹣y（p+q）．那么mn＝（u+v）2+v2＝u2+2uv+2v2，因为x，y，p，q均为整数，所以（x+y）（p+q）+qy，q（x+y）﹣y（p+q）也为整数，所以u+v，v为整数，所以u，v为整数．因此mn为“好数”．【点睛】本题主要考查有理数无理数的概念与运算，解答本题的关键是掌握“好数”的定义和完全平方式的知识，难度不大．精准预测1．定义新运算*为a*b＝a+b―a×b4，那么20*20*2005*5*5＝（ ）A．0B．25C．15625D．2005【点拨】根据新定义求出20*20＝﹣60，然后再求出﹣60*2005*5*5的值即可．【解析】解：∵a*b＝a+b―a×b 4，∴20*20＝40﹣100＝﹣60，∴﹣60*2005＝1945+30075＝32020，∴32020*5＝﹣8000，∴﹣8000*5＝﹣7995+10000＝2005．故选：D．【点睛】本题主要考查有理数无理数的概念与运算的知识点，解答本题的关键是理解新运算，此题难度一般．2．已知|x|≤3，|y|≤1，|z|≤4且|x﹣2y+z|＝9，则x2y2011z3的值是（ ）A．432B．576C．﹣432D．﹣576【点拨】由|x|≤3，|y|≤1，|z|≤4，可得﹣3≤x≤3，﹣1≤y≤1，﹣4≤z≤4，又由|x﹣2y+z|＝9，即可得①x＝3，y＝﹣1，z＝4或②x＝﹣3，y＝1，z＝﹣4，继而求得x2y2011z3的值．【解析】解：∵|x|≤3，|y|≤1，|z|≤4，∴﹣3≤x≤3，﹣1≤y≤1，﹣4≤z≤4，∵|x﹣2y+z|＝9，∴①x＝3，y＝﹣1，z＝4或②x＝﹣3，y＝1，z＝﹣4，∴x2y2011z3的值都是负的，∴x2y2011z3＝﹣9×1×64＝﹣576．故选：D．【点睛】此题属于有理数无理数的概念与运算的知识．此题难度适中，注意根据题意得到①x＝3，y＝﹣1，z＝4或②x＝﹣3，y＝1，z＝﹣4是解此题的关键．3．如果a++b b是有理数，那么（ ）A．a是整数B．a是有理数C．a是无理数D．a可能是有理数，也可能是无理数【点拨】先把等式变形为a+b1﹣ab），再根据等式一边出现无理数则a，b中必有一个数为无理数即可进行解答．【解析】解：∵a++b=∴a+b=1﹣ab）等式一边出现无理数，若a，b均为有理数，则等式恒不成立，又∵b为有理数，∴a必为无理数．故选：C．【点睛】本题考查的是有理数及无理数的概念及运算，能把原式化为a+b=1﹣ab）的形式是解答此题的关键．4．设A为n位正整数，n≥2，B为k位正整数，k≥1，则可有n﹣1种办法把B整个地插入A的相邻两位数字之间，得到n+k位正整数C．例如A＝1991，B＝35，则有三种插法：C为135991或193591或199351．如果对每一个能被B整除的A，把B任意插入A得到的C能被B整除，就称B为协调数．则1、2、3、4、5、6、7、9、10、11、12、15、66、90这14个数中，共有（ ）个是协调数．A．6B．8C．10D．11【点拨】根据协调数所满足的条件，给每一个数赋一个A值，然后插入后得出C的值，进而可判断出这个数B是否为协调数，综合起来即可得出协调数的个数．【解析】解：（1）令A＝22，此时B＝1，C＝212，C能被B整除，故正确．（2）令A＝12，B＝2，C＝122，C能被B整除，故正确；（3）令A＝12，B＝3，C＝132，C不能被B整除，故错误；（4）令A＝12，B＝4，C＝124，C能被B整除，故正确；（5）令A＝25，B＝5，C＝255，C能被B整除，故正确；（6）令A＝18，B＝6，C＝168，C不能被B整除，故错误；（7）令A＝14，B＝7，C＝174，C不能被B整除，故错误；（8）令A＝18，B＝9，C＝198，C能被B整除，故正确；（9）令A＝20，B＝10，C＝2100，C能被B整除，故正确；（10）令A＝22，B＝11，C＝2112，C能被B整除，故正确；（11）令A＝24，B＝12，C＝2124，C能被B整除，故正确；（12）令A＝30，B＝15，C＝3150，C能被B整除，故正确；（13）令A＝132，B＝66，C＝13662，C能被B整除，故正确；（14）令A＝180，B＝90，C＝18900，C能被B整除，故正确．综上可得共有11个协调数．故选：D．【点睛】本题涉及了协调数这个新概念，比较新颖，难度一般，关键是理解协调数所满足的条件，另外在进行每一个数的判断时要细心，数比较多，很容易出错．5．设a＝1996，b＝9619，c＝1996，d＝6199，则此四个数的大小关系为（ ）A．a＞b＞c＞d B．d＞a＞b＞c C．c＜d＜a＜b D．b＞c＞d＞a【点拨】由a＝1996＝36148，可判断出a和b的大小关系，将d变成2162161993，可判断出c和d的大小，进而结合选项利用排除法即可得出答案．【解析】解：a＝1996＝36148，b＝9619，∴a＞b，又∵c＝1996，d=216199 3，∴d＞c，结合选项可得只有B符合．故选：B．【点睛】本题考查了有理数无理数的概念及计算，关键是将幂指数转化为底数使底数改变，从而达到比较大小的目的，有一定的技巧，难度较大．6．在分数1567，2567，3567，…，567567中把所有的最简分数相加，和为（ ）A．284B．283C．163D．162【点拨】567＝3×3×3×3×7，从而可得只要分子中是3或7的倍数就不是最简分数，求和时去掉这些数，然后利用分组法求解即可得出答案．【解析】解：∵567＝3×3×3×3×7，∴只要分子中是3或7的倍数就不是最简分数，故简分数分子的和为：（1+2+3+...+567）﹣（3+6+9+...+567）﹣（7+14+21+...+567）+（21+42+ (567)＝（1+567）×5672―3（1+2+...+189）﹣7（1+2+...+81）+21（1+2+ (27)＝284×567﹣3（1+189）×189/2﹣7（1+81）×81/2+21（1+27）×27/2＝284×567﹣95×567﹣41×567+14×567＝162×567．所以，所有的最简分数相加，和为162．故选：D．【点睛】本题考查了有理数无理数的概念与运算，解答本题的关键是根据567的约数找出所有的最简分数，难点在于将剩余的分数利用分组法求和．7．三个互不相等的有理数，既可表示为1，a+b，a的形式，又可表示为0，ba，b，的形式，则a1992+b1993＝ 2 ．【点拨】根据三个有理数互不相等，又可以用两种方法表示，也就是这两组数分别对应相等，利用互斥原理，即可推理出a、b的值．【解析】解：由于三个互不相等的有理数，既可表示为1，a+b，a的形式，又可表示为0，ba，b的形式，也就是说这两个三数组分别对应相等，于是可以断定，a+b与a中有一个为0，ba与b中有一个为1，但若a＝0，会使ba没意义，所以a≠0，只能是a+b＝0，即a＝﹣b，又a≠0，则ba=―1，由于0，ba，b为两两不相等的有理数，在ba=―1的情况下，只能是b＝1．于是a＝﹣1．所以，a1992+b1993＝（﹣1）1992+（1）1993＝1+1＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了有理数与无理数的概念与运算，利用互斥原理，逐步进行推理得出正确结果是解题的关键．8．设S=999999)(12110)(13110)⋯(17110)，则S的整数部分为 1 ．【点拨】将原式化为乘法，再约分计算即可解答．【解析】解：S=499599999(12110)(13110)⋯(17110)=103×104×105×106×107×10899×99×99×99×99×99×110×110×110×110×110×110 103×104×105×106×107×108=10696=（109）6＝1.8816…．故答案为1．【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则及约分的方法是解答本题的关键．9．计算：(244444 (111111．【点拨】观察(244444(111111，发现规律：均包含有x4+14的形式，因而对其进行因式分解得（x2﹣x+12）（x2+x+12）．将此规律运用到原式中，通过对分子、分母约分化简，最后求出原式的值．【解析】解：x4+14=[（x2）2+x2+14]﹣x2＝（x2+12）2﹣x2＝（x2+12+x）（x2+12―x），原式=52×132×252×412×592×852×1132×1452×1812×2212 12×52×132×252×412×592×852×1132×1452×1812=221212=221．【点睛】本题考查了有理数无理数的概念与运算，发现规律：均包含有x4+14的形式，因而对其进行因式分解得（x2﹣x+12）（x2+x+12）是解题关键．10．计算：1+2+22+23+ (21999)【点拨】根据后项比前项都等于2，每项都乘以2，可得新代数式的和，根据两式相减，可得所求和的相反数，根据等式的性质，可得答案．。
人教版七年级数学上册 有理数与无理数有关的计算 专题练习
人教版七年级数学上册有理数与无理数有关的计算专题练习人教版七年级数学上册有理数与无理数有关的计算专题练一、填空题1. $(-3) - (+4) = \underline{\hspace{1cm}}$ 。
2. $-7.6 + (-1.5) = \underline{\hspace{1cm}}$ 。
3. $5 \times (-\frac{3}{4}) = \underline{\hspace{1cm}}$ 。
4. $-\frac{1}{2} \div \left(-\frac{1}{3}\right) =\underline{\hspace{1cm}}$ 。
5. $24 \div (-6) = \underline{\hspace{1cm}}$ 。
二、计算题1. $\sqrt{7} + \sqrt{18} = \underline{\hspace{1cm}}$ 。
2. $\sqrt{21 \times 3} = \underline{\hspace{1cm}}$ 。
3. $-\sqrt{6} \div \sqrt{2} = \underline{\hspace{1cm}}$ 。
4. $\sqrt[3]{8} - \sqrt[3]{125} = \underline{\hspace{1cm}}$ 。
5. $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 +\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \underline{\hspace{1cm}}$ 。
三、解题1. 小明从海平面以下1280米的地方出发，下潜62米后停下来，后来继续下潜43米。
请问，小明现在离海平面有多远？答：小明现在离海平面以下 $\underline{\hspace{1.5cm}}$ 米。
2. 一辆汽车先向南开了300米，然后向东开了200米，再向北开了150米。
请问，汽车现在距起点还有多远？汽车的最终位置离起点的位移是多少？答：汽车现在距起点还有 $\underline{\hspace{1.5cm}}$ 米，位移是 $\underline{\hspace{1.5cm}}$ 米。
专题01有理数与无理数
专题01 有理数与无理数正数与负数1．（2022秋•溧阳市期中）四个数﹣2，0，1，3，其中负数是（ ）A．﹣2B．0C．1D．3【分析】在正数前面加负号“﹣”，叫做负数．正数是大于0的数，负数是小于0的数，据此判定出四个数﹣2，0，1，3中，负数是哪个即可．【解答】解：∵﹣2＜0，1＞0，3＞0，∴四个数﹣2，0，1，3中，负数是：﹣2．故选：A．【点评】本题主要考查了负数的定义，解题时注意：0既不是正数也不是负数，正数是大于0的数，负数是小于0的数．2．（2021秋•中站区期中）在﹣22、（﹣2）2、﹣（﹣2）、﹣|﹣2|中，负数的个数是（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】先化简原题中的各数，然后即可判断哪些数是负数，本题得以解决．【解答】解：∵﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，﹣（﹣2）＝2，﹣|﹣2|＝﹣2，∴在﹣22、（﹣2）2、﹣（﹣2）、﹣|﹣2|中，负数的个数是2个，故选：C．【点评】本题考查正数和负数，解题的关键是明确负数的定义，可以对题目中的数进行化简．3．（2022秋•镇海区校级期中）下列各数﹣1，2，﹣3，0，π中，负数的个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据负数的定义进行解答即可．【解答】解：﹣1，﹣3是负数，共有2个，故B正确．故答案为：B．【点评】本题考查了负数的定义，掌握负数的定义是关键．4．（2023春•南岗区期中）某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）：星期一二三四五六日增减+5﹣2﹣4+13﹣10+16﹣9（1）根据记录可知前四天共生产 辆；（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产 辆；（3）该厂实行计件工资制，每周生产一辆自行车给工人60元，超额完成任务超额部分每辆再奖15元，少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案；（2）根据有理数的减法，可得答案；（3）根据有理数的乘法，可得工资与奖金，根据有理数的加法，可得答案．【解答】解：（1）100×4+（5﹣2﹣4+13）＝412（辆）；（2）产量最多的一天比产量最少的一天多生产16+10＝26；故答案为：412，26；（3）根据图表信息，本周生产的车辆共计：100×7+（5﹣2﹣4+13﹣10+16﹣9）＝709．709×60+（5﹣2﹣4+13﹣10+16﹣9）×15＝42675（元）．答：该厂工人这一周的工资总额是42675元．【点评】本题考查了正数和负数，有理数的加法运算是解题关键．正、负数表示具有相反意义的量1．（2022秋•锡山区期中）如果规定收入为正，支出为负，收入3元记作3元，那么支出8元记作（ ）A．5元B．﹣11元C．11元D．﹣8元【分析】审清题意，根据“正”和“负”所表示的意义直接求解即可．【解答】解：∵收入为正，支出为负，收入3元记作3元，∴支出8元记作﹣8元，故选：D．【点评】本题主要考查了正数和负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．2．（2022秋•黔西南州期中）人体的正常体温大约为36.5℃，如果体温高于36.5℃，那么高出的部分记为正；如果体温低于36.5℃，那么低于的部分记为负．那么37.3℃应记为（ ）A．﹣0.8℃B．+0.8℃C．﹣37.3℃D．+37.3℃【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．【解答】解：由题意得：37.3℃高于36.5℃，高于部分为：37.3﹣36.5＝0.8（℃），∴37.2℃应记为+0.8℃．故选：B．【点评】本题考查正数和负数的知识，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．3．（2022秋•建湖县期中）中国古代数学著作《九章数学》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数，如果收入100元记作+100元，那么﹣75元表示（ ）A．支出﹣75元B．收入75元C．支出75元D．收入25元【分析】应用正负数表示两种具有相反意义的量进行判定即可得出答案．【解答】解：如果收入100元记作+100元，那么﹣75元表示支出75元．故选：C．【点评】本题主要考查了正数和负数，熟练掌握用正负数表示两种具有相反意义的量进行求解是解决本题的关键．4．（2020秋•河池期中）某文具店在一周的销售中，盈亏情况如下表（盈余为正，单位：元）：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日合计﹣27.8﹣70.3200138.1﹣8188458表中星期六的盈亏被墨水涂污了，请你算出星期六的盈亏数，并说明星期六是盈还是亏？盈亏是多少？【分析】设星期六为x元，根据题意可得等量关系：七天的盈亏数之和＝458，根据等量关系列出方程，再解方程即可．【解答】解一：458﹣（﹣27.8﹣70.3+200+138.1﹣8+188），＝458+27.8+70.3﹣200﹣138.1+8﹣188，＝38，因为38为正数，故星期六是盈利，盈利38元，答：星期六是盈利38元．解二：设星期六为x元，则：﹣27.8﹣70.3+200+138.1﹣8+x+188＝458，x＝458+27.8+70.3﹣200﹣138.1+8﹣188，x＝38，因为38为正数，故星期六是盈利，盈利38元，答：星期六是盈利38元．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．正确理解正负数的意义．5．（2022秋•达川区期中）某果农把自家果园的柑橘包装后放到了网上销售．原计划每天卖10箱，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某个星期的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：箱）．星期一二三四五六日+4﹣3﹣5+7﹣8+21﹣6与计划量的差值（1）根据记录的数据可知前五天共卖出多少箱？（2）本周实际销售总量达到了计划数量没有？（3）若每箱柑橘售价为80元，同时需要支出运费7元/箱，那么该果农本周总共收入多少元？【分析】（1）将前五天的销售量相加即得结论；（2）将表格中记录的数据相加得出结果，结果的符号表示达到或不足，结果的绝对值表示达到或不足的数量；（3）利用本周的总收入减去总运费即得结论．【解答】解：（1）10×5+4﹣3﹣5+7﹣8＝45 （箱），答：根据记录的数据可知前五天共卖出45箱；（2）4﹣3﹣5+7﹣8+21﹣6＝10＞0，答：本周实际销售总量达到了计划数量；（3）（10×7+10）×80﹣（10×7+10）×7＝5840（元），答：该果农本周总共收入5840元．【点评】此题考查正数和负数的问题，此题的关键是读懂题意，列式计算．用正、负数表示误差范围1．（2022秋•句容市校级）某种食品保存的温度为﹣16±2℃，以下几个温度中，适合这种食品储存的是（ ）A．﹣12℃B．﹣13℃C．﹣15℃D．﹣19℃【分析】根据正负数的意义，用﹣16+2，﹣16﹣2得到食品保存的温度的范围即可求解．【解答】解：依题意，﹣16+2＝﹣14，﹣16﹣2＝﹣18所以食品保存的温度范围为﹣18℃到﹣14℃：故选：C．【点评】本题考查了正负数的意义，有理数的加减运算，有理数的大小比较，求得食品保存的温度范围为﹣18℃到﹣14℃是解题的关键．2．（宽城区期中）某种品牌的洗面奶，外包装标明净含量为500±10g，表明了这种洗面奶的净含量x 的范围是（ ）A．490＜x＜510B．490≤x≤510C．490＜x≤510D．490≤x＜510【分析】根据洗面奶上外包装标明的净含量，确定出x的范围即可．【解答】解：根据题意得：500﹣10≤x≤500+10，即490≤x≤510，故选：B．【点评】此题考查了正数与负数，弄清题意是解本题的关键．3．（锡山区期中）某种零件，标明要求是φ20±0.02mm（φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是19.9mm，该零件 （填“合格”或“不合格”）．【分析】φ20±0.02mm，知零件直径最大是20+0.02＝20.02，最小是20﹣0.02＝19.98，合格范围在19.98和20.02之间．【解答】解：零件合格范围在19.98和20.02之间．19.9＜19.98，所以不合格．故答案为：不合格．【点评】本题考查数学在实际生活中的应用．4．（溧水县期中）一种商品的标准价格是a元，但是随着季节的变化，商品价格可浮动±10%．（1）请用文字说明：“商品价格可浮动±10%”的含义；（2）请你计算出该商品的最高价格和最低价格；（3）求当a＝120元时，该商品价格的浮动范围．【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．（1）根据题意可知可以上涨，也可能下调，据此解答即可．（2）根据给出的条件列式计算即可解答．（3）将120代入即可解答．【解答】解：“正”和“负”相对．（1）±10%表示商品的价格可以上涨10%记作+10%，也可能下调10%，记作﹣10%；（2）最高价格是a元+a元×10%＝1.1a元；最低价格是a元﹣a元×10%＝0.9a元；（3）最高价格是120元+120元×10%＝132元；最低价格是120元﹣120元×10%＝108元．该商品的价格的浮动范围是108元～132元．【点评】本题主要考查正数与负数的定义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．5．（南昌期中）质监部门抽查粮油店里的A、B两种品牌标准重量为10kg的定量包装大米，检测的实际重量结果如下：A9.959.739.259.879.80B9.889.919.899.529.90（1）国家规定合格定量包装大米的标准重量与实际重量误差是±1%，问标准重量是10kg的包装大米重量在什么范围是合格的？以上10袋大米中有多少袋是合格的？（2）若A、B两种品牌的定量包装大米分别是：5.6元/kg，6.8元/kg，该粮店全部按标准重量售出这10袋定量包装大米，将因短斤少两盈利多少元？【分析】（1）先求出允许误差的值，再根据正数和负数的定义求解即可得取值范围，然后根据范围判断合格的大米袋数；（2）先根据表格数据求出A、B品牌的大米不足的质量的总和，再根据各自的单价列式进行计算即可得解．【解答】解：（1）∵10×1%＝0.1（kg），∴大米的质量在9.9～10.1kg范围内合格，共有9.95，9.91，9.90三袋合格；（2）5袋A品牌的大米相对标准质量分别是：﹣0.05、﹣0.27、﹣0.75、﹣0.13、﹣0.2，∵﹣0.05﹣0.27﹣0.75﹣0.13﹣0.2＝﹣1.4kg，∴5袋A品牌点的大米相对标准质量总计不足1.4kg，5袋B品牌的大米相对标准质量分别是：﹣0.12、﹣0.09、﹣0.11、﹣0.48、﹣0.1，∵﹣0.12﹣0.09﹣0.11﹣0.48﹣0.1＝﹣0.9kg，∴5袋B品牌点的大米相对标准质量总计不足0.9kg∴1.4×5.6+0.9×6.8＝7.84+6.12＝13.96元．答：将因短斤少两盈利13.96元．【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．有理数1．（2022秋•魏县期中）与相等的是（ ）A．B．C．D．【分析】根据有理数的加减法则进行计算即可．【解答】解：A、﹣33，符合题意；B、32，不符合题意；C、﹣32，不符合题意；D、33，不符合题意．故选：A．【点评】本题考查的是有理数，熟知有理数的加减法则是解题的关键．2．（2023春•闵行区期中）在﹣15，5，﹣0.23，0，7.6，2，，314%．这八个有理数中非负数有（ ）A．4个B．5个C．6个D．7个【分析】根据有理数的分类得到在所给数中非负数为5，0，7.6，2，314%．【解答】解：在﹣15，5，﹣0.23，0，7.6，2，，314%．这八个数中，非负数为5，0，7.6，2，314%，有5个．故选：B．【点评】本题考查了有理数：整数与分数统称有理数．3．（2022春•肇源县期中）在下列数中：﹣|﹣3|，0.23，（﹣2）2，0，（﹣3）3，﹣（﹣20062），，，该正整数的个数为m，非负数的个数为n，则m﹣n的值为 ．【分析】根据正整数的概念知所给数中（﹣2）2，﹣（﹣20062），为正整数，得到m＝3；根据非负数的概念知所给数中0.23，（﹣2）2，0，﹣（﹣20062），为非负数，得到n＝5，代入求值即可．【解答】解：﹣|﹣3|＝﹣3，0.23，（﹣2）2＝4，0，（﹣3）3＝﹣27，﹣（﹣20062）＝20062，，，∴正整数有：（﹣2）2，﹣（﹣20062），，即m＝3，非负数有：0.23，（﹣2）2，0，﹣（﹣20062），，即n＝5，∴m﹣n＝3﹣5＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查有理数的分类，掌握有理数概念及分类是解决问题的关键．4．（2022秋•阜宁县期中）把下列各数分别填入相应的集合里：−2.5，3，0，π，2022．正有理数集合：{ …}；负分数集合：{ …}；整数集合：{ …}；自然数集合：{ …}．【分析】由有理数的有关概念，即可分类．【解答】解：−2.5，3，0，π，2022正有理数集合：{3，2022，…}；负分数集合：{−2.5，…}；整数集合：{0，2022，…}；自然数集合：{0，2022，…}．故答案为：3，2022；−2.5；0，2022；0，2022．【点评】本题考查有理数的有关概念，关键是准确掌握有理数的分类．无理数1．（2023春•海安市期中）在实数：3.14159，1.010010001…，4，π，中，无理数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数或开方开不尽的数为无理数，即可解答．【解答】解：在实数：3.14159，1.010010001…，4，π，中，无理数1.010010001…，π，共2个．故选：B．【点评】本题考查了无理数的定义，熟练掌握和运用无理数的定义是解决本题的关键．2．（2022秋•建邺区期中）在实数0，，，3.1415926，1.，1.01001000100001……（相邻两个1之间0的个数逐次增加1）中，无理数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据无理数的定义逐个判断即可．【解答】解：无理数有，1.01001000100001……（相邻两个1之间0的个数逐次增加1），共2个，故选：B．【点评】本题考查了无理数的定义，能熟记无理数的定义是解此题的关键，无限不循环小数叫无理数．3．（2022春•牧野区校级期中）写出一个满足﹣2＜x＜﹣1的无理数x： （答案不唯一） ．（写出一个即可）【分析】根据无理数的定义解答即可．【解答】解：写出一个无理数x，使得﹣2＜x＜﹣1，则x可以是：．故答案为：（答案不唯一）．【点评】本题考查了无理数，熟练掌握无理数的定义、估算无理数的大小是解题的关键．4．（2022春•东莞市校级期中）在，2π，﹣1，0.181181118…四个数中，无理数有 2 个．【分析】理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．【解答】解：，是分数，属于有理数；无理数有2π，0.181181118…，共2个．故答案为：2．【点评】本题主要考查了无理数．解题的关键是掌握无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．一．选择题1．在﹣2，+2.4，，0，﹣1.8中，是负数的个数为a，是分数的个数为b，是正整数的个数为c，则a﹣2b+c的值为（ ）A．﹣6B．﹣4C．﹣2D．0【分析】根据有理数的分类，确定a，b，c的值，将a，b，c的值代入代数式，进行计算即可．【解答】解：中，是负数，是分数，没有正整数，∴a＝4，b＝5，c＝0；∴a﹣2b+c＝4﹣2×5+0＝﹣6；故选：A．【点评】本题考查有理数的分类，代数式求值．熟练掌握有理数的分类是解题的关键．2．体育课上全班女生进行百米测验，达标成绩为18秒，第一小组8名女生的成绩如下：﹣3，0.5，0，﹣0.1，﹣1，﹣2.6，+1.6，﹣0.3．其中“+”表示成绩大于18秒，“﹣”表示成绩小于18秒，则这个小组的达标率是（ ）A．75%B．25%C．37.5%D．62.5%【分析】根据正负数的意义可得达标的有6人，然后计算即可．【解答】解：由题意得﹣3，0.5，0，﹣0.1，﹣1，﹣2.6，+1.6，﹣0.3中，小于等于0的有6个，即达标的有6人，则这个小组的达标率是．故选：A．【点评】本题考查了正负数的意义，有理数的除法，根据正负数的意义得出达标的人数是解题的关键．3．某市质量监督局从某公司生产的婴幼儿奶粉中，随意抽取了20袋进行检查，超过标准质量的部分记为正数，不足的部分记为负数，抽查的结果如下表，则这批样品每袋的平均质量比标准质量（ ）与标准质量的偏差（单位：克）﹣10﹣50+5+10+15袋数147521 A．多15克B．多30克C．多1.5克D．多0.75克【分析】算出平均质量，如果为正数则比标准质量多，如果为负数则比标准质量少．【解答】解：[﹣10×1+（﹣5）×4+0×7+（+5）×5+10×2+15×1]÷20＝[﹣10+（﹣20）+0+25+20+15]÷20＝30÷20＝1.5（克），所以这批样品每袋的平均质量比标准质量多1.5克．故选：C．【点评】本题考查有理数的混合运算，正数与负数的实际应用，弄清楚标准质量和实际质量是本题的关键．4．浐河发源于蓝田县汤峪，是潮浐水系的最大支流，若浐河中的水位上升0.4米记为+0.4米，则﹣0.1米表示（ ）A．水位下降0.1米B．水位上升0.1米C．水位上升0.6米D．水位下降﹣0.1米【分析】根据正数和负数表示相反意义的量，水位升高记为正，可得水位下降的表示方法．【解答】解：水位升高0.4米记为+0.4米，那么﹣0.1米表示水位下降0.1米．故选：A．【点评】本题考查了正数和负数．解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．5．七年级某班的学生共有49人，军训时排列成7×7的方阵，做了一个游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点n个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令．同一名学生可以多次被点，则m次点名后，（n，m为正整数）下列说法正确的是（ ）A．当n为偶数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个B．当n为偶数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个C．当n为奇数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个D．当n为奇数时，无论m何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个【分析】假设站立记为“+1”，则蹲下为“﹣1”．原来49个“+1”，根据mn的奇偶性判断求解．【解答】解：假设站立记为“+1”，则蹲下为“﹣1”．原来49个“+1”，乘积为“+1”，若n为偶数，无论m为何数，mn为偶数，最后还是“+1”，即站立的人数为奇数个，所以蹲下的人数为偶数个，若n为奇数，m为奇数，mn为奇数，最后还是“﹣1”，即站立的人数为偶数个，所以蹲下的人数为奇数个，若n为奇数，m为偶数，mn为偶数，最后还是“+1”，即站立的人数为奇数个，所以蹲下的人数为偶数个，选项B，C，D都不符合题意，故选：A．【点评】本题考查了有理数，有理数乘法中积的符号的判断是解决本题的关键．二．填空题6．如果水位升高3m记作+3m，那么水位下降5m记作 m．【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答．【解答】解：上升为“+”，则下降为“﹣”，故水位下降5m记作：﹣5m．故答案为：﹣5．【点评】本题考查了正数和负数的知识，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．7．今年元月份姜老师到银行开户，存入6000元钱，以后的每月根据收入情况存入一笔钱，下表为姜老师从2月份到7月份的存款情况：（超出上月记为正）月份234567与上一月比较（元）﹣200+450+400﹣300﹣100﹣600根据记录，从2月份至7月份中 月份存入的钱最多．【分析】根据有理数的加法，可得每月的存款，根据有理数的大小比较，可得答案．【解答】解：二月份存款6000+（﹣200）＝5800元；三月份存款5800+450＝6250元；四月份存款6250+400＝6650元；五月份存款6650+（﹣300）＝6350元；六月份存款6350+（﹣100）＝6250元；七月份存款6250+（﹣600）＝5650；6650＞6350＞6250＞6000＞5800＞5650，四月份存款最多，故答案为：4．【点评】本题考查了正数和负数，利用有理数的加法得出每月的存款是解题关键．8．设三个互不相等的有理数，既可分别表示为1、a+b、a的形式，又可分别表示为的形式，则（b﹣a）3的值为 ．【分析】根据三个互不相等的有理数，既表示为1，a+b，a的形式，又可以表示为4，，b的形式，也就是说这两个数组的数分别对应相等，即a+b与a中有一个是4，与b中有一个是1，再分情况讨论判断出a、b的值即可代入求解．【解答】解：∵三个互不相等的有理数，既表示为1，a+b，a的形式，又可以表示为的形式，∴这两个数组的数分别对应相等．∴a+b与a中有一个是4，与b中有一个是1，若1，a＝b，则a+b＝4，则a＝b＝2，则（b﹣a）3＝（2﹣2）3＝0；若b＝1，a＝4或a+b＝4，则a＝4时，a+b＝4+1＝5，4（不合题意舍去）；a+b＝4时，a＝4﹣1＝3，3（不合题意舍去）；则（b﹣a）3＝（1﹣3）3＝﹣8．故（b﹣a）3的值为0或﹣8．故答案为：0或﹣8．【点评】本题考查的是有理数的概念，能根据题意得出“a+b与a中有一个是4，与b中有一个是1”是解答此题的关键．9．黑板上有10个互不相同的有理数，小明说：“其中有6个整数”，小红说：“其中有6个正数”，小华说：“其中正分数与负分数的个数相等”，小林说：“负数的个数不超过3个”，请你根据四位同学的描述，判断这10个有理数中共有 个负整数．【分析】根据正数、负数，以及正整数和负整数的定义可以解答本题．【解答】解：因为10个有理数中有6个正数，所以非正数共10﹣6＝4个，因为负数的个数不超过3个，所以负数的个数少于或等于3个，其中负分数（10﹣6）÷2＝4÷2＝2 个，负整数3﹣2＝1 个．故答案为：1．【点评】本题考查有理数的定义，正确区分正数，分数和以及熟记负整数的定义是解题的关键．三．解答题10．某检修小组乘一辆汽车沿东西走向的公路检修线路，约定向东走为正，某天从A地出发到收工时，行走记录如下（单位：km）：+15，﹣2，+5，﹣1，+10，﹣3，﹣2，+12，+4，﹣5，+6（1）收工时，检修小组在A地的哪一边，距A地多远？（2）若汽车每千米耗油3升，已知汽车出发时油箱里有180升汽油，问收工前是否需要中途加油？若加，应加多少升？若不加，还剩多少升汽油？【分析】（1）根据有理数的加法，可得答案；（2）根据单位耗油量乘以行车路程，可得答案．【解答】解；（1）15+（﹣2）+5+（﹣1）+（10）+（﹣3）+（﹣2）+12+4+（﹣5）+6＝39（km）．答：该小组在A地的东边，距A东面39km；（2）（15+|﹣2|+5+|﹣1|+|﹣10|+|﹣3|+|﹣2|+12+4+|﹣5|+6）×3＝65×3＝195（升）．小组从出发到收工耗油195升，∵180升＜195升，∴收工前需要中途加油，∴应加：195﹣180＝15（升），答：收工前需要中途加油，应加15升．【点评】本题考查了正数和负数，解决本题的关键是进行有理数的加法运算．11．某自行车厂一周计划生产1400辆自行车，平均每天生产200辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）：星期一二三四五六日增减+5﹣2﹣4+13﹣10+16﹣9（1）产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆？（2）该厂一周实际生产自行车多少辆？（3）该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得50元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖20元，少生产一辆扣15元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？【分析】（1）根据最大数减最小数，可得答案；（2）把该厂一周内每天生产的自行车辆数相加即可；（3）根据实际生产的量乘单价，可得工资，根据超出的部分或不足的部分乘以每辆的奖金，可得奖金，根据工资加奖金，可得答案．【解答】解：（1）16﹣（﹣10）＝26（辆）．答：产量最多的一天比产量最少的一天多生产26辆；（2）1400+（5﹣2﹣4+13﹣10+16﹣9）＝1400+9＝1409（辆）．答：该厂一周实际生产自行车1409辆；（3）∵5﹣2﹣4+13﹣10+16﹣9＝9（辆），∴1400×50+9×（20+50）＝70630（元）．答：该厂工人这一周的工资总额是70630元．【点评】本题考查了正数和负数，有理数的加减法运算是解题关键．12．阅读材料：把几个数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}，{1，4，7}，……，我们称之为集合，其中的每一个数称为该集合的元素，注意集合中的元素不能重复．如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数x是集合的一个元素时，10﹣x也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为黄金集合．例如{0，10}就是一个黄金集合．回答问题：（1）集合{1} 黄金集合，集合{﹣1，10} 黄金集合；（两空均填“是”或“不是”）（2）请你再写出一个含有两个元素的黄金集合，一个含有四个元素的黄金集合（不能与上述集合重复）；（3）写出所有黄金集合中，元素个数最少的集合．【分析】本题应根据黄金集合的定义，准确理解后才能解决问题．【解答】解：（1）根据黄金集合的定义，10﹣1＝9，而集合{1}中没有9，故集合{1}不是黄金集合，对于集合{﹣1，10}，因为10﹣10＝0，而集合{﹣1，10}中没有0，故集合{﹣1，10}不是黄金集合，（2）因为10﹣1＝9，10﹣9＝1，集合{1，9}是黄金集合，因为10﹣2＝8，10﹣4＝6，10﹣6＝4，10﹣8＝2，故{2，4，6，8}是黄金集合．（3）因为10﹣5＝5，故{5}是元素个数最少的集合．【点评】本题要求学生必须认真阅读题目，并能准确理解黄金集合的定义才能做出正确的判断．。
无理数与有理数的运算法则
无理数与有理数的运算法则
无理数是指不能表示为两个整数的比值的数，例如π和√2；有
理数是指可以表示为两个整数的比值的数，例如1/2和-3/4。
无理数与有理数的运算法则如下：
1.无理数与有理数相加减：无理数与有理数相加减的结果是无理数。
例如：π + 2 = π + 2，√2 - 3/4 = √2 - 0.75。
2.无理数与无理数相加减：无理数之间相加减的结果仍为无理数。
例如：π + √2 = π + √2，π - √2 = π - √2。
3.无理数与有理数相乘：无理数与有理数相乘的结果是无理数。
例如：π× 2 = 2π，√2 × 3/4 = (3/4)√2。
4.无理数与无理数相乘：无理数之间相乘的结果仍为无理数。
例如：π×√2 = π√2，√2 ×√3 = √6。
5.无理数与有理数相除：无理数与有理数相除的结果是无理数。
例如：π÷ 2 = π/2，√2 ÷ 3/4 = (4/3)√2。
6.无理数与无理数相除：无理数之间相除的结果可能是有理数或无理数。
例如：π÷√2 = π/√2 = √2π，√2 ÷√3 = √(2/3)。
总之，无理数与有理数的运算结果仍为无理数，无理数之间的运算结果可能是有理数或无理数。
- 1 -。
有理数无理数
有理数和无理数的本质区别在于：有理数与两个整数之比等价，而无理数则与一个无限不循环小数等价。
一、常见的有理数类型常见的有理数类型有如下几种。
1.整数：所有的整数都是有理数。
2.小数：小数分类里的有限小数、无限循环小数都是有理数。
3.分数：因为所有的分数不是与一个有限小数等价，就是与一个无限循环小数等价。
即，分数化成小数的结果不是一个有限小数，就是一个无限循环小数。
而这两种类型的小数都是有理数，所以，所有的分数都是有理数。
【注】本文中的“分数”指的是分子、分母（分母不为0）都为整数的分数。
值得注意的是，在所有根式中，如果根式开方后的结果能化为上面几种常见有理数的形式中的一种的话，那么这个根式代表的实数也是有理数。
如：因为8的立方根等于2，-64的立方根等于-4，所以8和-64的立方根都是有理数。
二、常见的无理数类型常见的无理数类型有如下几种。
1.无限不循环小数：如圆周率π、自然对数的底数e等。
2.根式中开方开不尽的数：如2的平方根、5的立方根、7的四次方根等。
【注】两个有理数的和、差、积、商（除数不为0）仍是有理数。
两个无理数的和、差、积、商可以是有理数，也可以是无理数。
（1）无理数的和、差、积、商为有理数：如e+(1-e)、e-e、“根号2”的平方、e/e等。
（2）无理数的和差积商为无理数：π+e、π-e、πxe，π/e。
三、“数学前沿”课外补充实数可以分为有理数和无理数，对任意一个实数来说，不是有理数就是无理数，二者必居其一。
有理数和无理数是对全体实数的两个分类。
虽然在实数范围内有理数和无理数都有无穷多个，两者似乎是“同样多”的。
但从高等数学里的“测度论”的角度来理解的话，无理数的测度要大于有理数的测度，所以无理数要比有理数“多一些”。
如：根据测度论，在闭区间[0,1]内，有理数的测度为0，而无理数的测度为1。
所以，在闭区间[0,1]内，无理数的个数要“远多于”有理数的个数。
有理数和无理数
有理数和无理数
有理数和无理数分别指的是：
1、有理数：
有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，是整数和分数的集合。
整数也可看做是分母为一的分数。
不是有理数的实数称为无理数，即无理数的小数部分是无限不循环的数。
2、无理数：
无理数，也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比。
若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。
常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。
有理数和无理是“数与代数”领域中的重要内容之一，在现实生活中有广泛的应用，是继续学习实数、代数式、方程、不等式、直角坐标系、函数、统计等数学内容以及相关学科知识的基础。
有理数的加法运算：
1、同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。
2、异号两数相加，若绝对值相等则互为相反数的两数和为0；若绝对值不相等，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
3、互为相反数的两数相加得0。
4、一个数同0相加仍得这个数。
5、互为相反数的两个数，可以先相加。
6、符号相同的数可以先相加。
7、分母相同的数可以先相加。
8、几个数相加能得整数的可以先相加。
2.2有理数与无理数
那么a既不是整数又不是分数，那么它肯定不是有理数了，它 是什么数呢？
这个数a有多大呢？ a肯定比1大而比2小，可以表示为1＜a＜2.那么a究竟是1点几呢？
• 请大家用计算器进行探索，首先确定十分位，十分位究 竟是几呢？如1.12=1.21，1.22=1.44，1.32=1.69， 1.42=1.96，1.52=2.25，而a2=2，故a应比1.4大且比1.5 小，可以写成1.4＜a＜1.5，所以a是1点4几，即十分位 上是4，请大家用同样的方法确定百分位、千分位上的 数字.请一位同学把自己的探索过程整理一下，用表格 的形式反映出来。计算a.xls
3.把下列各数填在相应的大括号内
• 3/5，0，π/3 ，3.14，-2/3,22/7,4/9, • －0.55，8，1.121 221 222 1…(相邻两个１ 之间依次多一个２)，0.211 1，999
六、体验收获
能说出你这节课的收获和 体验让大家与你分享吗？
试一试
• 现在我们把小数进行分类
• 小数
有限小数
——
有理数
——
无限小数
无限循环小数
有理数 有理数？
无限不循环小数
——
第一次数学危机
• 公元前五世纪，毕达哥拉斯学派认为“万物 皆是数”——任何数都可以表示为整数或整数的 比（即有理数）.他的学生希伯索斯发现一个反 例：当正方形边长为整数1时，对角线的长就无 法用有理数表示！从而引发第一次数学危机.希 伯索斯因为没有按毕达哥拉斯“保持沉默”的要 求，把这个问题公之于众，结果被投尸大海，葬 身鱼腹，造成历史上震惊数学界的无理数发现惨 案.
• 例3.、你还能写出一个无理数吗？
3π 0.2020020002…
专题24 有理数与无理数(拓展提高)(解析版)
专题2.4 有理数与无理数（拓展提高）一、单选题1．下列各数中，无理数是（）A．πB．0 C．19-D．3.14【答案】A【分析】根据无限不循环小数为无理数即可求解．【详解】A选项：π为无理数，故A选项正确；B选项：0为有理数，故B选项错误；C选项：19-为有理数，故C选项错误；b选项：3.14为有理数，故D选项错误．故选：A．【点睛】本题考查了无理数的概念，解题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．2．下列各数中最小非负数是（）A．-2 B．-1 C．0 D．1【答案】C【分析】根据非负数的意义和有理数的大小比较求解．【详解】解：∵-2、-1是负数，0、1是非负数，且0<1，∴题中最小非负数是0，故选C．【点睛】本题考查非负数的应用和有理数的大小比较，熟练掌握非负数的意义是解题关键．3．在下列各数：2.01001000100001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1），0，0.333，3π，0.101101101中，无理的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项． 【详解】解：无理数有：3π， 2.01001000100001…（相邻两个1之间0的个数逐次加1）共有2个． 故选：B.【点睛】本题考查了无理数的定义，掌握无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数是解题的关键．4．下列各数中，既是分数又是负数的是（ ） A ．31-. B ．4-C ．0D ．2.8【答案】A【分析】根据小于零的分数是负分数，可得答案．【详解】解：A 、-3.1既是分数又是负数，故本选项符合题意； B 、-4是负整数，故本选项不合题意；C 、0不是正数，也不是负数，故本选项不合题意；D 、2.8是正分数，故本选项不合题意； 故选：A ．【点睛】本题考查了有理数，利用小于零的分数是负分数判断是解题的关键． 5．小强在笔记上整理了以下结论，其中错误的是（ ） A ．有理数可分为正数、零、负数三类 B ．一个有理数不是整数就是分数 C ．正有理数分为正整数和正分数 D ．负整数、负分数统称为负有理数【答案】A【分析】根据有理数的分类逐一分析即可．【详解】解：A ．有理数可分为正有理数、零和负有理数，故该项结论错误； B ．整数和分数统称为有理数，所以一个有理数不是整数就是分数，故该项结论正确； C ．正有理数分为正整数和正分数，故该项结论正确； D ．负整数、负分数统称为负有理数，故该项结论正确； 故选：A ．【点睛】本题考查有理数的分类，掌握有理数的分类是解题的关键．6．下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④2π-不仅是有理数，而且是分数；⑤237是无限循环小数，所以不是有理数；⑥绝对值等于本身的数是正数；⑦正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为（ ）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个【答案】B【分析】根据有理数的定义、分类依此作出判断，即可得出答案． 【详解】解：①没有最小的整数；错误； ②有理数包括正有理数数、0和负有理数；错误； ③非负数就是正数和0；错误； ④2π-是无理数；错误；⑤237是无限循环小数，所以是有理数；错误；⑥绝对值等于本身的数有正数和0；错误；⑦正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．正确； 故选：B ．【点睛】本题考查有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．二、填空题7．在有理数3-，7，2，123，43-，0，0.01-，10.1%-中，属于非负数的有________个． 【答案】4【分析】根据大于或等于零的数是非负数，可得答案． 【详解】解：7，2，123，0，是非负数，共4个， 故答案为：4．【点睛】本题考查了非负数，大于或等于零的数是非负数． 8．有六个数：5，0，132，0.3-，14-，π-，其中分数有a 个，非负整数有b 个，有理数有c 个，则a b c +-=______．【答案】0【分析】根据分数、非负整数和有理数的定义得到a ，b ，c 的值，即可求解． 【详解】解：分数有132，0.3-，14-，∴3a =，非负整数有0，5，∴2b =， 有理数有5，0，132，0.3-，14-，∴5c =， ∴3250a b c +-=+-=， 故答案为：0．【点睛】本题考查有理数的定义，掌握分数、非负整数和有理数的定义是解题的关键． 9．若三个互不相等的有理数，既可以表示为3，a b +，b 的形式，也可以表示为0，3ab，a 的形式，则4a b -的值________． 【答案】15【分析】根据分母不等于0，可得b≠0，进而推得a+b=0，再求出3ab=-3，解得b=-3.a=3，然后代入4a b -进行计算即可．【详解】解：∵三个互不相等的有理数，既可以表示为3、a b +、b 的形式，也可以表示为0、3ab、a 的形式 ∴0b ≠， ∴a b +＝0， ∴3a3b=-， ∴b ＝3-，a ＝3， ∴4a b -＝123+＝15． 故答案为15．【点睛】题考查了代数式求值及其有理数的相关概念，根据题意推得b≠0、 a+b=0、3ab=-3是解答本题的关键．10．（1）、字母a 没有“-”号，所以a 是正数．（_______） （2）、任何一个有理数都可以在数轴上表示出来．（_______） （3）一个数的绝对值必是正数．（_______） （4）符号不同的两个数互为相反数．（_______） （5）有理数就是自然数和负数的统称．（_______）【答案】（1）错，（2）对，（3）错，（4）错，（5）错．【分析】（1）根据0既不是正数，也不是负数，可得凡是前面没有“-”号的数不一定都是正数，据此判断即可；（2）所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数可得答案；（3）根据绝对值的定义进行判断即可；（4）符号不同、且绝对值相等的两个数互为相反数；（5）根据有理数的定义、分类进行判断求解．【详解】解：（1）错误，比如：a=0，或a=-3时；（2）任何一个有理数都可以在数轴上找到对应的点，所以说法正确；（3）根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，可得绝对值是非负数≥0，故错误；（4）只有符合不同的两个数互为相反数，故原题错误；（5）有理数就是正有理数、负有理数和零的统称，故原题错误．【点睛】本题考查有理数分类、相反数，绝对值的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．11．把下列各数填在相应的大括号内：－5，34-，－12，0，0.12．．，－3.14，＋1.99，＋6，227．（1）正数集合：{ …}；（2）负数集合：{ …}；（3）分数集合：{ …}；（4）非负整数集合：{ …}．【答案】（1）0.12．．，＋1.99，＋6，227；（2）－5，34-，－12，－3.14；（3）34-，0.12．．，－3.14，＋1.99，227；（4）0，＋6【分析】利用正数，负数，非负整数，以及分数的定义判断即可．【详解】解：（1）正数集合：{ 0.12．．，＋1.99，＋6，227…}；（2）负数集合：{ －5，34－，－12，－3.14 …}；（3）分数集合：{34－，0.12．．，－3.14，＋1.99，227…}；（4）非负整数集合：{ 0，＋6 …}.【点睛】此题考查了正数，负数，非负整数，以及分数的定义，弄清各自的定义是解本题的关键．12．将下列各数填入相应的括号内： ﹣2.5，152，0，8，﹣2，2π，﹣1.121121112…… 正数集合：{ }； 负数集合：{ }； 整数集合：{ }； 无理数集合：{ }； 【答案】正数集合：{152，8，2π}；负数集合：{﹣2.5，﹣2，﹣1.121121112……}；整数集合：{0，8，﹣2}；无理数集合：{2π，﹣1.121121112……}； 【分析】直接利用正数、负数、整数、无理数的定义分别分析得出答案． 【详解】﹣2.5，152，0，8，﹣2，2π，﹣1.121121112…… 正数集合：{152，8，2π}； 负数集合：{﹣2.5，﹣2，﹣1.121121112……}； 整数集合：{0，8，﹣2}；无理数集合：{2π，﹣1.121121112……}． 故答案为：152，8，2π；﹣2.5，﹣2，﹣1.121121112……；0，8，﹣2；2π，﹣1.121121112……．【点睛】本题考查了实数的分类，正确掌握相关定义是解题的关键．13．观察下面一列数：—1，2，—3，4，—5，6，—7，…，将这列数排成下列形式.按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第9个数是______；数—201是第______行从左边数第______个数【答案】90， 15， 5．【分析】根据数的排列，每一行的最后一个数的绝对值等于行数的平方，并且奇数都是负数，偶数都是正数，求出第9行的最后一个数的绝对值，然后加上9即为第10行从左边数第9个数；求出与201最接近平方数为196，即可得解．【详解】∵第9行的最后一个数的绝对值为92=81，∴第10行从左边数第9个数的绝对值是81+9=90，∵90是偶数，∴第10行从左边数第9个数是正数，为90，∵142=196，201-196=5，∴数-201是第15行从左边数起第5个数．故答案为90，15，5．【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出每一行的最后一个数的绝对值等于行数的平方是解题的关键．14．将一列有理数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6…如图所示有序排列，4所在位置为峰1，﹣9所在位置为峰2…．（1）处在峰5位置的有理数是_____；（2）2022应排在A，B，C，D，E中_____的位置上．【答案】24 A【分析】根据图示信息找出A，B，C，D，E各个位置数据的表达式，代入即可【详解】解：（1）观察发现：峰n中，A位置的绝对值可以表示为：5n﹣3；B位置的绝对值可以表示为：5n﹣2；C位置（峰顶）的绝对值可以表示为：5n﹣1；D位置的绝对值可以表示为：5n；E位置的绝对值可以表示为：5n+1；∴处在峰5位置的有理数是5×5﹣1＝24；（2）根据规律，∵2022＝5×405﹣3，∴2022应排在A的位置．故答案为：（1）24；（2）A．【点睛】此题属于找规律题，考查提取信息和总结的能力．三、解答题15．下列各数填入它所在的数集中：18-，227，3.1416，0，2001，35，0.142-，95%，π． 正数集：{ …}； 整数集：{ …}； 自然数集：{ …}； 分数集：{ …}． 【答案】见解析【分析】根据有理数的分类即可求出答案． 【详解】解：正数集：{227，3.1416，2001，95%，π} 整数集：{-18，0，2001 } 分数集：{227，3.1416，35，-0.142，95% } 非负整数集：{0，2001}【点睛】本题考查有理数的分类，解题的关键是熟练运用有理数的分类，本题属于基础题型，注意：π不是有理数．16．将下列各数填入它所属于的集合的圈内：20，-0.08，-213，4.5，3.14，-1，+43，+5．【答案】见解析【分析】分别判断题干中的8个数字是否符合四个圆圈的内容，相应填入数字即可 【详解】负整数，即既是负数，也是整数； 正整数，即既是正数，也是整数； 负分数，即既是负数，也是分数； 正分数，即既是正数，也是分数； 故负整数集合为：－1； 正整数集合：20、+5；负分数集合为：－0.08、1 23 -正分数集合为：4.5、3.14、﹢4 3【点睛】本题考查有理数的分类，解题的关键是细心，切勿遗漏或重复填写数字17．把下列各数填入相应的大括号内（将各数用逗号分开）6，-3，2.4，34-，0，-3.14，29，＋2，－312，－1.414，－17，23．正数：{ …}非负整数：{ …}整数：{ …}负分数：{ …}【答案】6，2.4，29，+2，23；6，0，+2；6，-3，0，+2，-17；-34，-3.14，-312，-1.414．【分析】根据大于零的数是正数，可得正数集合；根据大或等于零的整数是非负整数，可的非负整数集合；根据分母为1的数是整数，可得整数集合；根据小于零的分数是负分数，可得负分数集合．【详解】正数：{6，2.4，29，+2，23…}非负整数：{6，0，+2 …}整数：{6，-3，0，+2，-17 …}负分数：{-34，-3.14，-312，-1.414 …}【点睛】本题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解本题的关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．18．把下列各数填入相应的数集中：+125、-5％、200、-3、6.8、0、－215、0.12003407、1、-43.555、77％、-334（1）非负数集合：______________________（2）负有理数集合：________________________ （3）正整数集合：______________________（4）负分数集合：___________________________【答案】（1）+125、200、6.8、0、0.12003407、1、77％；（2）-5％、-3、－215、-43.555、-334；（3）200、1；（4）-5％、－215、-43.555、-334.【分析】根据有理数的分类，可得答案【详解】解：（1）非负数集合：+125、200、6.8、0、0.12003407、1、77％；（2）负有理数集合：-5％、-3、－215、-43.555、-334；（3）正整数集合：200、1；（4）负分数集合：-5％、－215、-43.555、-334.【点睛】本题考查了有理数，熟知有理数的分类是解题关键．19．把下列各数填在相应的横线处：115 , 0.81 -3 25% -3.1 -4 , 171 , 0 , 3.142，，，，，正数集合：_____；负数集合：_____；整数集合：_____；负分数集合：_____；有理数集合：_____．【答案】见解析【分析】根据有理数的分类进行填空即可．【详解】解：正数集合：115 0.81 25% 171 , 3.142，，，，；负数集合：-3，-3.1，-4；整数集合：15，-3，-4，171，0；负分数集合：-3.1；有理数集合：1115 0.81 -3 -3.1 -4 171 , 0 3.1424，，，，，，，，．【点睛】本题考查了有理数的分类．掌握有理数的分类是解题的关键．20．任何一个有理数都能写成分数的形式(整数可以看作是分母为1的分数)．我们知道：0.12可以写成123,0.12310025=可以写成1231000，因此，有限小数是有理数．那么无限循环小数是有理数吗？下面以循环小数2.615454542.6154••=为例，进行探索： 设 2.6154x ••=，①两边同乘以100得： 100261.54x ••=，②②-①得：99261.54 2.61258.93x =-= 25893287799001100x ∴== 因此，••261.54是有理数．（1）直接用分数表示循环小数1.5•=（2）试说明3.1415••是一个有理数，即能用一个分数表示．【答案】（1）149；（2）见解析 【分析】（1）设 1.5x •=，两边乘10，仿照例题可解；（2）设 3.1415x ••=，两边乘100，仿照例题可化简求解．【详解】解：（1）设 1.5x •=，①两边乘10得：1015.5x •=，②②-①得：914x =， ∴149x =， ∴141.59•=； （2）设 3.1415x ••=，①两边同乘以100得：••100314.15x =，②②-①得：314.15 3.1499311.1105x ••••=-= 311011036799003300x ∴==，因此3.1415••是有理数【点睛】本题需理解题中的例子，将一个循环小数化为分数的方法，需要学生有很好的分析理解能力．。
练习：自然数、整数、有理数与无理数
例题 15 双重根号的化简
试化简以下双重根号：
(1) 7＋2 12。
(2) 19－8 3。
解■ (1) 设 7＋2 12＝ a＋ b，其中 a，b 为正整数
兩邊同時平方得7＋2 12＝（a＋b）＋2 ab
即aa＋b＝b1＝27，得
ba＝＝43或
a＝4 b＝3
故所求為 4＋ 3，即 2＋ 3
移项得 a2＋b2＝（a＋b)2－2ab
x
2＋
1 x2
＝
x＋1 x
2
－2
x
1 x
＝62－2＝34
例题 12 乘法公式的应用
设 x＋1＝6 ，试求下列各式之值：
x
(2)
x3＋
1。 x3
解■ (2) 由（a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
移项得 a3＋b3＝（a＋b)3－3a2b－3ab2
(2) 1 ＝
3＋1 ＝ 3＋1
3－1 （ 3－1）( 3＋1) 2
例题 13 根式的运算
试化简下列各式：
(3) 2 ＋ 2 。 5－2 5＋2
解■ (3) 2 ＋ 2 5－2 5＋2
＝ （ 2 5＋2） ＋ 2（ 5－2） （ 5－2）（ 5＋2） （ 5＋2）( 5－2)
＝ 10＋2 2＋ 10－2 2＝2 10
x－4＝6 或 x－4＝－6 解得 x＝10 或 x＝－2
上一题 下一题
主题 3 乘法公式、分式与根式的运算
例题 9 乘法公式的运算(一)
展开并化简下列各式： (1) （a＋b＋c）（a＋b－c）。
解■ (1) 利用乘法公式（a＋b）（a－b）＝a2－b2 （a＋b＋c）（a＋b－c）＝〔（a＋b）＋c〕〔（a＋b）－c〕 ＝（a＋b）2－c2 ＝a2＋2ab＋b2－c2
专题2.4 有理数与无理数-2020-2021学年七年级数学上册基础知识专项讲练
专题2.4 有理数与无理数（专项练习）一、选择题1．下列说法正确的是( )A．0不是正数，不是负数，也不是整数B．正整数与负整数包括所有的整数C．–0.6是分数，负数，也是有理数D．没有最小的有理数，也没有最小的自然数2．下列说法中，不正确的是（）A．零是整数B．零没有倒数C．零是最小的数D．－1是最大的负整数3．在22, 3.5,0,,0.7,113-+--中．负分数有（）A．l个B．2个C．3个D．4个4．下列说法中正确的是（）A．不存在最小的正数，也不存在最大的正数B．如果a与b的差是正数，那么a一定是正数C．a-一定小于aD．任何有理数都有倒数5．下列说法中，正确的有（）①0既不是正数也不是负数；②绝对值等于它本身的数一定是0；③0除以任何数都得0；④任何负数都小于0A．1个B．2个C．3个D．4个6．在﹣3，12-，0，2四个数中，是负整数的是（）A．﹣3B．12-C．0D．27．在+1，27，0，−5，−0.3 这几个数中，整数共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题8．把下列各数的序号填在相应的数集内：1 , －35, +3.2, 0, －6.5, +108, －4, －6,（1）正数集合{ …} （2）整数集合{ …}（3）负分数集合{ …}（4）非负整数集合{ …}9．在有理数中，是整数而不是正数的是_______________ ，是负数而不是分数的是______ . 10．整数和分数统称为________．11．在23-，3.14，0.161616⋯，π2中，分数有______个．12．如图，这两个圈分别表示正数集合和整数集合，则它们的重叠部分表示的是_____集合.13．把下列各数填在相应的集合内：23-，6，0．3，0，－2019，12%，2-．负整数集合{}；正分数集合{}；非负数集合{}；自然数集合{}．14．有下列数：+6，-3.1，17%，0，-|-3|，23，-（+1），|-2|，-（144-），其中整数有____个．三、解答题15．把下列各数填入它所属于的集合的圈内．15，19-，–5，215，138-，0.1，–5.32，–80，123，2.333．参考答案1．C解：A，0不是正数也不是复数，0是正数，故A错误；B，正整数和负整数不包括0，故B错误；C，-0.6是分数，负数，有理数，故C正确；D，0是最小的自然数，故D错误．2．C【解析】A. 整数分为正整数、0与负整数，零是整数正确；B.0作除数无意义，因而零没有倒数正确；C. 负数小于0，零是最小的数错误；D. 观察数轴可得，−1是最大的负整数正确．故选C.3．B解：在22, 3.5,0,,0.7,113-+--中，负分数有2,0.73--，共两个，故选：B．【点睛】本题考查负分数的定义，掌握负分数的定义是解题的关键．4．A【详解】不存在最小的正数，也不存在最大的正数，故A正确；如果a与b的差是正数，那么a不一定是正数，故B错误；a-不一定小于a，故C错误；0没有倒数，故D错误；故答案选A．5．B【详解】0既不是正数，也不是负数，所以①正确；绝对值等于它本身一定是0或正数，所以②错误；0除以任何非0的数都得0，所以③错误；任何负数都小于0，所以④正确；故正确的有①④．故选B．6．A解：-3是负整数，12-为负分数，0为整数，2为正整数故选：A．7．C【详解】解：因为+1、0、-5是整数，27、−0.3是分数．所以整数共3个．故选：C．8．（1）正数集合{1，+3.2，+108 ，…}；（2）整数集合{1，0，+108，-4，-6，…}；（3）负分数集合{35-，-6.5，…}；（4）非负整数集合{1，0，+108，…}【详解】（1）正数集合{1，+3.2，+108 ，…}；（2）整数集合{1，0，+108，-4，-6 ，…}；（3）负分数集合{35-，-6.5，…}；（4）非负整数集合{1，0，+108，…}9．负整数和0 负整数【解析】试题解析：在有理数中，是整数而不是正数的是：负整数和0.是负数而不是分数的是:负整数.故答案为负整数和0. 负整数.10．有理数解：整数和分数统称为：有理数．故答案为：有理数11．3解：23-，3.14，0.161616⋯是分数，共3个故答案为：3．12．正整数解：依据题意可知重叠部分表示的是正整数.13．－2019，－2；0.3，12%；6，0.3、0，12%；6，0，见解析解：负整数集合{－2019、－2 ：……}；正分数集合{ 0.3、12%：……}；非负数集合{ 6、0.3、0、12% ：…… }；自然数集合{6、0 ：……}14．5解：+6是正整数，是整数，-3.1是负分数，不是整数，17%是正分数，不是整数，0是整数，-|-3|=-3，是负整数，是整数，23是正分数，不是整数，-（+1）=-1，是负整数，是整数，|-2|=2，是正整数，是整数，-（144）=144，是正分数，不是整数，：是整数有+6，0，-|-3|，-（+1），|-2|，共5个，故答案为：515．【详解】。
有理数与无理数
谈谈有理数与无理数实数通常分为有理数和无理数两类。
这两类数的性质，对于九年义务教育阶段的初中学生来说，知道得较少。
本文试图对初中数学中关于有理数和无理数的知识作一个梳理和拓展，以此帮助初中读者加深对实数的认识。
关于有理数，我们知道得较多，其特征有：1、由于实数实际上就是小数，因此有理数是指那些有限小数和无限循环小数；2、每个有理数都可以写成分数的形式，即nm ，其中m 和n 都是整数，且n ≠0。
利用这一特征很容易证明：任意两个有理数进行加、减、乘、除（除数不为0）四则运算所得的结果仍是有理数。
我们不加证明地给出关于有理数的一条结论： 当有理数nm 的分母n 能分解质因数为2α×5β（其中α、β为自然数）时，有理数nm 能化成有限小数；否则，化为无限循环小数。
（关于有理数与小数的互化问题，有兴趣的同学请可阅读相关书籍，不再赘述） 无理数是指那些无限不循环小数。
大家熟悉的无理数很多，2、e 、π等等都是。
与有理数相比，无理数不具备那样好的性质。
譬如，两个无理数的四则运算结果不一定是无理数，象π-π=0，22=1。
根据有理数和无理数之间的相互关系，可以得到如下两条性质，它们在处理与有理数无理数有关的问题时，起着基本的作用：1、任何有理数≠任何无理数；2、设是a 有理数，b 是无理数，则a+b ，a-b ，a ·b （a ≠0），a/b （a ≠0）都是无理数。
下面着重介绍实数无理性的判定方法。
在现行初中数学范围内所遇到的无理数主要有这样几种类型：与开方运算有关，如2，311；与对数值有关，如log 23；与三角函数值有关，如cos20°，sin1°；此外还有象e （自然对数的底）、π（圆周率）这样的特殊值。
判定实数无理性的方法很多，但都有一个共同的特点，即采用反证法的技巧。
原因有二：第一、无理数的概念通常以“不是有理数的实数称为无理数”这一否定方式给出的；第二、当反设要判定的实数α不是无理数时，由有理数和无理数的关系，α就是有理数，故α=nm （n ≠0），于是就得到一个具体的等式，这为我们导出矛盾提供了一个直观的工具。
有理数与无理数知识点以及专项训练(含答案解析)
有理数与无理数知识点以及专项训练知识点1：有理数有理数：有理数是整数和分数的统称；正整数：1、2、3、4、5···整数： 0负整数：-1、-2、-3、-4、-5····分数：正分数：12、65、83···负分数：−12、−56、−38、−215···注意分数：只要能够写成分子、分母都是整数且分子不是分母倍数的数都是分数。
有限小数、无限循环小数由于都能够写成这种形式，所以它们都是分数。
非正整数：0、-1、-2、-3、-4···非负整数：0、1、2、3、4、5···最小的正整数：1最大的负整数：-1有理数的划分：（1）按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与0的关系分类：知识点2：无理数无理数：无限不循环小数叫做无理数。
我们初中接触到的数中，不是有理数就是无理数。
无理数常见的特征：①看似循环实际不循环： 0.1010010001…（每两个1之间0的数量逐渐增加）、0.12345678910111213…（数字按照规律逐渐增加）②含π类的数：2π、12π、-10π等等③含√类：√2、√3、√5、2√2、√10等等；但是注意：√4=2、√9=3、√16=4、√25=5等等，这些属于整数。
知识点3：循环小数化分数定义：如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节．纯循环小数：从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数．例如：0．666…、0.2·等等纯循环小数化为分数的方法是：分子是一个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是9，9的个数等于一个循环节的位数．例如 0.3=39=13，0.189=189999=737．混循环小数：如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数．例如：0.1·2·、0．3456456…．混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0组成的数．0.918=918−9990=101110，0.239=239−23900=625，0.35135=35135−3599900=3510099900=1337注意： （1）任何一个“循环小数”都可以化为“分数”．（2）“混循环小数”化“分数”也可以先化为纯循环小数，然后再化为分数．【有理数和无理数】1. 下列各数是正整数的是（ ）A ．－1B ．2C ．0．5D ．√22. 下面说法中正确的是（ ）．A ．非负数一定是正数．B ．有最小的正整数，有最小的正有理数．C ．−a 一定是负数．D ．正整数和正分数统称正有理数． 3. 下列四种说法，正确的是（ ）.A. 所有的正数都是整数B. 不是正数的数一定是负数C. 正有理数包括整数和分数D. 0不是最小的有理数4. 下列说法正确的是（ ）A ．整数就是正整数和负整数B ．分数包括正分数、负分数C ．正有理数和负有理数统称有理数D ．无限小数叫做无理数5. 下列说法：①一个有理数不是整数就是分数；②有理数包括正有理数和负有理数；③分数可分为正分数和负分数；④存在最大的负整数；⑤不存在最小的正有理数．其中正确的个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 6.112是（ ）A ．整数B ．有限小数C ．无限循环小数D ．无限不循环小数7. 在实数√5、227、0、π2、√36、﹣1.414，有理数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8. 下列实数中，是无理数的为（ ）A ．﹣4B ．0.101001C ．13D ．√29. 以下各正方形的边长是无理数的是（ ）A.面积为25的正方形；B.面积为16的正方形；C.面积为8的正方形；D.面积为1.44的正方形． 10. 下列说法正确的是（ ）A ．不循环小数是无理数B ．无限不循环小数是无理数C ．无理数大于有理数D ．两个无理数的和还是无理数 11. 下列说法：①﹣2.5既是负数、分数，也是有理数；②﹣22既是负数、整数，也是自然数；③0既不是正数，也不是负数，但是整数；④0是非负数． 其中正确的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 12. 已知a 为有理数，b 为无理数，你们a +b 为___________．13. 在﹣1、0.2、−15、3、0、﹣0.3、12中，负分数有_______________________，整数有_____________________．14. 在227、3.14159、√7、﹣8、√23、0.6、0、√36、π3中是无理数的个数____________．15. 在有理数−23、﹣5、3.14中，属于分数的个数共有_________． 16. 请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.1、0.0708、 -700、 -3.88、 0、3.14159265、 −723、0.2·3·正整数集合:{ }； 负整数集合:{ }； 整数集合:{ }； 正分数集合:{ }； 负分数集合:{ }； 分数集合:{ }； 非负数集合：{ }； 非正数集合：{ }. 17. 将下列各数填入相应的括号内3π、-2、−12、3．020020002…、0、227、2、2012、-0.2·3·整数集合：{ } 分数集合：{} 负有理数集合：{ } 无理数集合：{}18. 下面两个圆圈分别表示负数集和分数集，请把下列6个数填入这两个圈中合适的位置．﹣28%、−（−37）、﹣2014、3.14、﹣（+5）、﹣0.3·【循环小数化分数】1. 把循环小数6.142化成分数是（ ） A ． 6142999B ． 6745C ． 62999D ． 6322252. 在6.4040…、3.333、9．505，三个数中，6.4040…是循环小数，把这个数化为分数可以写作________________． 3. 0.2666…化为分数是_______________．4. 把下列循环小数化分数 （1）0.6·（2）3.1·02·（3）0.21·5·（4）6.353·（5）0.7·8· （6）1. 7·8·（7）0.17·8·（8）1.17·8·5. 试验与探究我们知道13写为小数即0.3·，反之，无限循环小数0.3·写成分数即13．一般地，任何一个无限循环小数都可以写成分数形式．现在就以0.7·为例进行讨论：设0.7·= x ，由0.7·=0．7777…，可知，10x −x =7，解方程得x =79，于是得0.7·＝79．请仿照上述例题完成下列各题： （1）请你把无限循环小数0.5·写成分数，即0.5·=_____________． （2）你能化无限循环小数0.7·3·为分数吗？请仿照上述例子求之．有理数与无理数知识点以及专项训练（含有答案解析）知识点1：有理数有理数：有理数是整数和分数的统称；正整数：1、2、3、4、5···整数： 0负整数：-1、-2、-3、-4、-5····分数：正分数：12、65、83···负分数：−12、−56、−38、−215···注意分数：只要能够写成分子、分母都是整数且分子不是分母倍数的数都是分数。
有理数与无理数小学生数学拓展习题
有理数与无理数小学生数学拓展习题题一：简答题
1. 什么是有理数？举例说明。
2. 什么是无理数？举例说明。
3. 有理数和无理数有什么区别？
题二：计算题
1. 计算以下有理数的和，并写出结果的类型：1/4 + 2/3。
2. 计算以下有理数的乘积，并写出结果的类型：5/6 × 3/4。
3. 按照顺序计算以下有理数的和，并写出结果的类型：1/2 + 3/4 + 2/5 + 6/8。
4. 将以下无理数化为有理数的形式，并写出结果的类型：√9。
5. 将以下无理数化为有理数的形式，并写出结果的类型：√16/4。
题三：应用题
1. 爸爸买了一块蛋糕，分成了4块，你吃了其中的3/4块，妹妹吃了3/8块。
一共吃了多少块？
2. 小明去超市买了一瓶果汁，一共是3/5升。
小明喝了其中的1/2升。
剩下多少升？
3. 一个长方形花园的长是1/3千米，宽是2/5千米。
这个花园的面积是多少平方千米？
4. 一个正方形房间的边长是2/3米，它的面积是多少平方米？
5. 某个城市今年的平均气温是28.5℃，比去年同期高了2/5。
去年同期的平均气温是多少度？
题四：思考题
1. 能否找到一个有理数和一个无理数相加等于另一个有理数？请举例说明。
2. 有理数与无理数相乘的结果是什么类型的数？为什么？
3. 有理数与无理数相除的结果是什么类型的数？为什么？
4. 请举例说明如何判断一个数是有理数还是无理数？
5. 有理数的集合和无理数的集合之间是否存在交集？为什么？
以上是有理数与无理数的小学生数学拓展习题，希望能帮助你更好地理解和掌握这两个概念。
初二数学：上册2.2有理数与无理数一起走近无理数
一起走近无理数在前面的学习中，我们认识了负数，使数的范围扩展到有理数．现在我们又开始学习无理数，把数的范围扩展到了实数．刚开始学习无理数，认为无理数不像有理数那样直观易懂，总有一种虚幻的感觉．那么该怎样学习无理数呢？一、明确无理数的存在无理数并不是“无理”，也不是人们臆想出来的，而是实实在在的存在．如：（1）两条直角边都为1的等腰直角三角形，它的斜边为2；（2）任何一个圆，它的周长和直径之比为常数π．像2、π这样的数在我们的身边还有很多．二、弄清无理数的定义及常见无理数无理数是指无限不循环小数，这说明无理数可以化为具有两个特征的小数：一是小数的位数时无限的，二是不循环的．我们比较常见的无理数往往具备以下几种表现形式：1．某些含有π的数，如：π，π3等； 2．开方开不尽得到的数，如：3、5等；3．依某种规律构造的无限不循环小数，如0．1010010001…(两个1之间依次多一个0)．三、了解无理数的性质1．所有的无理数都可以用数轴上唯一的一个点来表示，并且右边的无理数总比左边的大；2．在有理数中的互为相反数的定义、绝对值得定义、大小比较法则及运算法则、运算律等，对于无理数仍然适用，如52-的相反数是25-，因为052<-，所以52-的绝对值是25-．四、澄清一些模糊认识1．无理数包括正无理数、0、负无理数0是一个整数，故它是有理数，因此无理数只能分为正无理数和负无理数两类．2．带根号的数就是无理数 由于像4、38-这样的数通过计算可以化为2和－2，因此它们是有理数，可见带根号的不一定是无理数．特别是π，它是无理数但并不是用根号形式表示的．3．无理数的数量比有理数少有些同学认为1、2、3、4、5这五个数，它们都是有理数，而开平方后得到的无理数只有2、3、5三个，因此得出无理数的数量要比有理数少．其实，我们对1、2、3、4、5开立方时还会产生32、33、34、35等无理数，如果再开四次方、五次方……还可以产生更多的无理数．因此无理数并不比有理数少．4．有些无理数是分数因为分数属于有理数，且无理数与有理数是两类不同的数，所以无理数不可能写成分数．当然，有些无理数可以借助分数线来表示，如32，但不能因为它具备了分数的形式就认为它是分数．七年级下学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．将一块直角三角板的直角顶点放在长方形直尺的一边上，如∠1=43°，那么∠2的度数为（）A．43°B．57°C．47°D．53°【答案】C【解析】由两直线平行，同位角相等，可求得∠3的度数，然后求得∠2的度数．【详解】解：如图，，∵∠1=43°，∴∠3=∠1=47°，∴∠2=90°-43°=47°．故选：C．【点睛】此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等定理的应用是解此题的关键．2．下面不是同类项的是（）A．-2与12 B．-2a2b与a2b C．2m与2x D．-y2x2与12x2y2【答案】C【解析】根据同类项的定义逐项分析即可，同类项的定义是所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项.【详解】A、B、D符合同类项的定义，是同类项；C中所含字母不同，不是同类项.故选C.【点睛】本题考查了利用同类项的定义，熟练掌握同类项的定义是解答本题的关键. 同类项定义中的两个“相同”：①所含字母相同；②相同字母的指数相同，是易混点．注意几个常数项也是同类项，同类项定义中的两个“无关”：①与字母的顺序无关，②与系数无关．3．某中学开展“眼光体育一小时”活动，根据学校实际情况，如图决定开设“A：踢毽子，B：篮球，C：跳绳，D：乒乓球”四项运动项目（每位同学必须选择一项），为了解学生最喜欢哪一项运动项目，随机抽取了一部分学生进行调查，丙将调查结果绘制成如图的统计图，则参加调查的学生中最喜欢跳绳运动项目的学生数为（）A．240 B．120 C．80 D．40【答案】D【解析】试题分析：调查的总人数是：80÷40%=200（人），则参加调查的学生中最喜欢跳绳运动项目的学生数是：200﹣80﹣30﹣50=40（人）．故选D．考点：1．条形统计图；2．扇形统计图．4．一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（）A．x＞1 B．x≥1C．x＞3 D．x≥3【答案】C【解析】试题解析：一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是x＞1．故选C．考点：在数轴上表示不等式的解集．5．下列调查中，比较适合用全面调查（普查）方式的是（）A．了解某班同学立定跳远的情况B．了解某种品牌奶粉中含三聚氰胺的百分比C．了解一批炮弹的杀伤半径D．了解全国青少年喜欢的电视节目【答案】A【解析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，根据定义判断即可得到答案.【详解】A、了解某班同学立定跳远的情况，适合全面调查；B、了解某种品牌奶粉中含三聚氰胺的百分比，具有破坏性，适合抽样调查；C、了解一批炮弹的杀伤半径，具有破坏性，适合抽样调查；D、了解全国青少年喜欢的电视节目，任务量过大，适合抽样调查；故选择：A.【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．6．在一手机界面中出现了下列图形，其中不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据轴对称图形的概念求解．【详解】A、是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、不是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．7．下列调查中，适合用全面调查方式的是（）A．调查“神舟十一号”飞船重要零部件的产品质量B．调查某电视剧的收视率C．调查一批炮弹的杀伤力D．调查一片森林的树木有多少棵【答案】A【解析】全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，据此逐个选项分析判断．【详解】A. 调查“神舟十一号”飞船重要零部件的产品质量，由于是“重要零部件”，适合全面调查；B. 调查某电视剧的收视率，适合抽样调查；C. 调查一批炮弹的杀伤力，适合抽样调查；D. 调查一片森林的树木有多少棵，适合抽样调查．故选：A．【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查，要根据所要考察的对象的特征灵活选用．一般来说对于具有破坏性的调查，无法进行普查，普查的意义或价值不大应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．8．下列语句中，是命题的是（）A．两点确定一条直线吗？B．在线段AB上任取一点C．作∠A的平分线AM D．两个锐角的和大于直角【答案】D【解析】选项A,B,C不能写成如果……那么……的形式.选项D，如果两个角是锐角，那么它们的和大于直角.所以选D.9．将图1中五边形ABCDE纸片的点A以BE为折线向下翻折，点A恰好落在CD上，如图2所示：再分AB AE为折线，将,C D两点向上翻折，使得A、B、C、D、E五点均在同一平面上，别以图2中的,∠的度数为（）如图3所示.若图1中122∠=，则图3中CADA︒A．58︒B．61︒C．62︒D．64︒【答案】D【解析】根据平角的定义和定理和折叠的性质来解答即可．【详解】解：由图2知，∠BAC＋∠EAD＝180°−122°＝58°，所以图3中∠CAD＝122°−58°＝64°．故选：D．【点睛】本题考查了折叠的性质，结合图形解答，需要学生具备一定的读图能力和空间想象能力．10．下列选项中，不是依据三角形全等知识解决问题的是（）A．同一时刻，同一地点两栋等高建筑物影子一样长B．工人师傅用角尺平分任意角C ．利用尺规作图，作一个角等于已知角D ．用放大镜观察蚂蚁的触角【答案】D【解析】分别利用作一个角等于已知角，以及工人师傅用角尺平分任意角，和同一时刻，同一地点两栋等高建筑物影子一样长都是利用全等三角形的知识解决问题，进而分析得出答案．【详解】解：A 、利同一时刻，同一地点两栋等高建筑物影子一样长，依据三角形全等知识解决问题，故此选项不合题意；B 、工人师傅用角尺平分任意角，是利用SSS 得出，依据三角形全等知识解决问题，故此选项不合题意；C 、利用尺规作图，作一个角等于已知角，是利用SSS 得出，依据三角形全等知识解决问题，故此选项不合题意；D 、用放大镜观察蚂蚁的触角，是利用相似，不是依据三角形全等知识解决问题，故此选项正确． 故选D ．【点睛】此题主要考查了相似图形，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．二、填空题题11．如果0,7x y xy +==-，则22x y xy +=______.【答案】0【解析】22x y xy +=xy(x+y)=-70⨯=0.故答案为0.12．在数轴上，如果点A 、点B 所对应的数分别为3-、2，那么A 、B 两点的距离AB =_______．【答案】5【解析】利用A ，B 对应的数，进而求出两点之间的距离．【详解】A ，B 两点之间的距离为2-（-3）=2+3=1．故答案为：1．【点睛】此题主要考查了实数与数轴，得出异号两点之间距离求法是解题关键．13．一棵树高h （m ）与生长时间n （年）之间有一定关系，请你根据下表中数据，写出h （m ）与n （年）之间的关系式：_____．【答案】h ＝0.3n+1【解析】本题主要考查了用待定系数法求一次函数的解析式，可先设出通式，然后将已知的条件代入式子中求出未知数的值，进而求出函数的解析式．【详解】设该函数的解析式为h ＝kn+b ，将n ＝1，h ＝1.6以及n ＝4，h ＝3.1代入后可得2 2.64 3.2k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得0.32k b =⎧⎨=⎩， ∴h ＝0.3n+1，验证：将n ＝6，h ＝3.8代入所求的函数式中，符合解析式；将n ＝8，h ＝4.4代入所求的函数式中，符合解析式；因此h （m ）与n （年）之间的关系式为h ＝0.3n+1．故答案为：h ＝0.3n+1．【点睛】本题主要考查用待定系数法求一次函数关系式的方法．用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．14．已知2x =是不等式(5)(32)0x ax a --+≤的解，且1x =不是这个不等式的解，则实数a 的取值范围是________．【答案】12a <≤【解析】∵2x =是不等式(5)(32)0x ax a --+≤的解，∴(25)(232)0a a --+≤，解得2a ≤，∵1x =不是这个不等式的解，∴(15)(32)0a a --+>，解得1a >，所以a 的取值范围是12a <≤，故答案为：12a <≤.15．如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在互相平行的两条直线其中一条上，若∠1=35°，则∠2的度数为 度【答案】25°【解析】试题分析：根据平行线的性质定理可得：∠1+∠2=60°，根据题意求出∠2的度数.考点：平行线的性质16．已知33+的整数部分为m ，33的小数部分为n ，则m n +的值为__． 【答案】63333+33m 、n 的值，代入求出即可． 【详解】解：132<<，4335∴<<，231-<<-，1332∴<<， 33+的整数部分为m ，33n ，m 4∴=，n 33123==-，m n 42363∴+=+= 故答案为：63-【点睛】本题考查了估算无理数的大小的应用，能求出m 、n 的值是解此题的关键．17．若a ﹣3有平方根，则实数a 的取值范围是_____．【答案】a≥1．【解析】根据平方根的定义列出不等式计算即可.【详解】根据题意，得30.a -≥解得： 3.a ≥故答案为 3.a ≥【点睛】考查平方根的定义，正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根.三、解答题18．在ABC ∆中，BD 是ABC ∠的角平分线，DE BC ∥，交AB 于点E ，60A ︒∠=，95BDC ︒∠=，求BDE ∆各内角的度数.【答案】35︒,35︒,110︒【解析】先根据三角形外角性质计算出∠ABD 的度数，再根据角平分线的定义得到∠CBD=∠ABD ，然后利用平行线的性质由DE ∥BC 得∠EDB=∠CBD ，最后根据三角形内角和定理计算∠BED 的度数． 【详解】解：∵60A ︒∠=，95BDC ︒∠=，1BDC A ∠=∠+∠∴1956035BDC A ︒︒︒∠=∠-∠=-=，∵BD 平分ABC ∠，∴2135︒∠=∠=，又∵ED BC ∥，∴3235︒∠=∠=，∴180131803535110BED ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=，∴BDE ∆各内角的度数分别是35︒,35︒,110︒.【点睛】本题考查了平行线性质、三角形内角和定理及外角性质，熟知相关性质是解题的关键.19．如图，点D 为射线CB 上一点，且不与点B 、C 重合，DE ∥AB 交直线AC 于点E ，DF ∥AC 交直线AB 于点F.画出符合题意的图形，猜想∠EDF 与∠BAC 的数量关系，并说明理由.【答案】当点D 在线段CB 上时，∠EDF=∠BAC ；当点D 在线段CB 的延长线上时，∠EDF+∠BAC=180°，证明见解析. 【解析】①当点在线段CB 上时，因为DE ∥AB ，两直线平行，同位角相等，所以∠BAC=∠1；因为DF ∥AC ，两直线平行，内错角相等，所以∠EDF=∠1．等量代换，即可证明∠EDF=∠BAC ；②当点D 在线段CB 的延长线上时，因为DF ∥AC ，两直线平行，内错角相等且同旁内角和为180°，所以∠BAC=∠AFD ，∠EDF+∠AFD=180°．等量代换，即可证明∠EDF+∠BAC=180°．【详解】证明:(1)如图1,2所示：①当点D 在线段CB 上时，如图1，∠EDF=∠A,证明：∵DE ∥AB(已知)，∴∠1=∠BAC(两直线平行，同位角相等).∵DF ∥AC(已知)，∴∠EDF=∠1(两直线平行，内错角相等).∴∠EDF=∠BAC(等量代换).②当点D 在线段CB 的延长线上时，如图②，∠EDF+∠BAC=180°， 证明:∵DE ∥AB(已知)，∴∠EDF+∠F=180°(两直线平行，同旁内角互补). ∵DF ∥AC(已知)，∴∠F=∠BAC(两直线平行，内错角相等).∴∠EDF+∠BAC=180°(等量代换). 点睛：本题考查了平行线的判定与性质，利用分类讨论得出结果是解答本题的关键.20．已知x ﹣1x 5x 2+21x 的值． 【答案】1. 【解析】把x ﹣1x 5x 2+21x 的值． 【详解】∵x ﹣1x 5 ∴(x ﹣1x )2＝5， ∴x 2+21x ﹣2＝5， ∴x 2+21x ＝1．【点睛】此题考查代数式求值，注意所给算式的特点，灵活选用适当的方法解决问题．21．如图，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE．(1)如果AC＝6cm，BC＝8cm，试求△ACD的周长；(2)如果∠CAD：∠BAD＝1：2，求∠B的度数．【答案】（1）14cm；（2）36°.【解析】（1）折叠时，对称轴为折痕DE，DE垂直平分线段AB，由垂直平分线的性质得DA=DB，再把△ACD的周长进行线段的转化即可；（2）设∠CAD=x，则∠BAD=2x，根据（1）DA=DB，可证∠B=∠BAD=2x，在Rt△ABC中，利用互余关系求x，再求∠B．【详解】（1）由折叠的性质可知，DE垂直平分线段AB，根据垂直平分线的性质可得：DA=DB，所以，DA+DC+AC=DB+DC+AC=BC+AC=14cm；（2）设∠CAD=x，则∠BAD=2x，∵DA=DB，∴∠B=∠BAD=2x，在Rt△ABC中，∠B+∠BAC=90°，即：2x+2x+x=90°，x=18°，∠B=2x=36°．【点睛】考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．22．前几天，在青岛召开了举世目的“上合”会议，会议之前需要印刷批宣传彩页．经招标，A印务公司中标，该印务公司给出了三种方案供主办方选择：方案一：每份彩页收印刷费1元．方案二：收制版费1000元，外加每份彩页收印刷费0.5元．方案三：印数在1000份以内时，每份彩页收印刷费1.2元，超过1000份时，超过部分按每份0.7元收费．（1）分别写出各方案的收费y （元）与印刷彩页的份数x （份）之间的关系式．（2）若预计要印刷5000份的宣传彩页，请你帮主办方选择一种合算的方案．【答案】（1）方案一：y=x ；方案二：y=1000+0.5x ；方案三：当0≤x ≤1000时，y=1.2x ，当x ＞1000时，y=0.7x+500（2）方案二更节省费用，理由见解析【解析】（1）根据题意即可分别表示出各方案的收费y （元）与印刷彩页的份数x （份）之间的关系式； （2）将x ＝5000分别代入（1）中的关系式，然后比较大小，即可解答本题．【详解】（1）由题意可得，方案一：y=x ；方案二：y=1000+0.5x ；方案三：当0≤x ≤1000时，y=1.2x ，当x ＞1000时，y=1.2×1000+0.7（x-1000）=0.7x+500 （2）当x ＝5000时，方案一：y=5000；方案二：y=1000+0.5×5000=3500； 方案三： y=0.7×5000+500=4000 ∵5000＞4000＞3500，∴当印刷宣传彩页5000本时，应该方案二更节省费用．【点睛】本题是一道方案选择问题、考查列代数式、代数式求值，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式，求出相应的式子的值，求出最优方案．23．如图，已知A (0,)a ，B (,0)b ，且满足460a b -++=（1）求A 、B 两点的坐标；（2）点C (m,n)在线段AB 上，m 、n 满足n-m=5，点D 在y 轴负半轴上，连CD 交x 轴的负半轴于点M ，且S △MBC =S △MOD ，求点D 的坐标；（3）平移直线AB ，交x 轴正半轴于E ，交y 轴于F ，P 为直线EF 上第三象限内的点，过P 作PG ⊥x 轴于G ，若S △PAB =20，且GE=12，求点P 的坐标．【答案】（1）A(0，2)，B(-4，0)；（2）D(0，-2)；（3）P(-3，-3)．【解析】(1)根据非负数的性质求得a 、b 的值即可；(2)由S △BCM =S △DOM 知S △ABO =S △ACD =1．连CO ，作CE ⊥y 轴，CF ⊥x 轴，则S △ABO =S △ACO +S △BCO ，据此列出方程组求得C （-3，2）而S △ACD =12×CE×AD=1，易得OD=2，故D （0，-2）； (3)由S △PAB =S △EAB =5求得OE=2．由S △ABF =S △PBA =5求得OF=83．结合S △PGE =S 梯GPFO +S △OEF 求得PG=3．所以P （-3，-3）． 【详解】解：(1)∵|a-2|≥060b +≥，460a b -++=∴4060a b -=+=，．∴a=2，b=-4．∴A （0，2），B （-4，0）；(2)如图，由S △BCM =S △DOM∴S △ABO =S △ACD ，∵S △ABO =12×AO×BO=1． 连CO ，作CE ⊥y 轴于E ，CF ⊥x 轴于FS △ABO =S △ACO +S △BCO即12×4×n+12×2×（-m ）=1 ∴53212n m n m -=⎧⎨-=⎩， ∴32m n =-⎧⎨=⎩∴C （-3，2）而S △ACD =12×CE×AD=12×3×（2+OD ）=1 ∴OD=2，∴D （0，-2）；(3)如图，∵S △PAB =S △EAB =5，∴12AO×BE=5，即2×（4+OE ）=5， ∴OE=2．∴E （2，0）．∵GE=1，∴GO=3．∴G （-3，0）．∵S △ABF =S △PBA =5，∴S △ABF =12×BO×AF=12×4×（2+OF ）=5． ∴OF=83． ∴F （0，-83）． ∵S △PGE =S 梯GPFO +S △OEF∴12×1×PG=12×（83+PG ）×3+12×2×83 ∴PG=3∴P （-3，-3）．【点睛】考查了坐标与图形性质，非负数的性质以及算术平方根，解题的关键是利用三角形的面积公式求得相关线段的长度．24．如图，在ABC 中，BD AC ⊥于点D ，E 为BC 上一点，过E 点作EF AC ⊥，垂足为F ，过点D作//DH BC 交AB 于点H ．()1请你补全图形(不要求尺规作图)；()2求证：BDH CEF ∠=∠．【答案】 (1)见解析 (2)见解析【解析】（1）按要求作图；（2）先由DH //BC ，BDH DBC ∠∠=得，BD //EF 再证，CEF DBC ∠∠=得，BDH CEF ∠∠=所以．【详解】解：()1如图所示，EF ，DH 即为所求；(2)证明： //DH BC ，BDH DBC ∴∠=∠，BD AC ⊥，EF AC ⊥，//BD EF ∴，CEF DBC ∴∠=∠，BDH CEF ∴∠=∠．【点睛】本题考核知识点：平行线的判定和性质.解题关键点：熟记平行线的判定和性质.25．小华与爸爸用一个如图所示的五等分、可以自由转动的转盘来玩游戏；将转盘随机转一次，指针指向的数字如果是奇数．爸爸获胜，如果是偶数，则小华获胜（指针指到线上则重转）（1）转完转盘后指针指向数字2的概率是多少？（2）这个游戏公平吗？请你说明理由．【答案】（1）15；（2）不公平，理由见解析【解析】（1）列举出所有可能出现的结果，进而求出指针指向数字2的概率；（2）分别求出爸爸获胜和小华获胜的概率，通过比较得出结论．【详解】解：（1）将转盘随机转一次，指针指向的数字所有可能的结果有1，2，3，4，5，共五种，且每种出现的可能性相等，因此指向数字2的概率为：P＝15，答：转完转盘后指针指向数字2的概率是15；（2）不公平，理由：爸爸获胜的概率为：P＝35，小华获胜的概率为：P＝25，∵32 55 ，∴不公平．【点睛】本题考查随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果是解决问题的前提．七年级下学期期末数学试卷一、选择题（每题只有一个答案正确）1．下列计算正确的是（ ）A ．（-a 3）2=a 5B ．a 2÷a 2=0C ．a 2•a 3=a 5D ．（-a 2b ）3=a 6b 3【答案】C【解析】根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘除法计算法则计算得到各式结果，即可做出判断．【详解】解：A 、原式=6a ，不符合题意；B 、原式=1，不符合题意；C 、原式=5a ，符合题意；D 、原式=63a b -，不符合题意．故选：C ．【点睛】此题考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．如图所示，直线a 、b 被直线c 所截，下列条件不能使//a b 的是（ ）A ．25∠=∠B ．17∠=∠C ．37∠=∠D ．18180∠+∠=︒【答案】A 【解析】结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定方法判断．【详解】解：A 、24∠∠=，4∠与5∠是同旁内角，同旁内角相等不能说明//a b ；故A 符合题意； B 、57∠=∠，1∠与5∠是同位角，同位角相等能说明//a b ；故B 不符合题意；C 、37∠=∠，同位角相等能说明//a b ，故C 不符合题意；D 、1∠=5∠，8∠与5∠是邻补角，则18180∠+∠=︒能说明//a b ；故D 不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角． 3．若实数a ，b ，c 在数轴上对应点的位置如图所示，则下列不等式成立的是（ ）A ．ac ＞bcB ．ab ＞cbC ．a+c ＞b+cD ．a+b ＞c+b 【答案】B【解析】根据数轴判断出a 、b 、c 的正负情况，然后根据不等式的性质解答．【详解】解：由图可知，a ＜b ＜0，c ＞0，A 、ac ＜bc ，故本选项错误；B 、ab ＞cb ，故本选项正确；C 、a+c ＜b+c ，故本选项错误；D 、a+b ＜c+b ，故本选项错误．故选B ．4．已知实数x 、y 、z 同时满足x+y ＝5及z 2＝xy+y ﹣9，则x+3y+5z 的值为（ ）A ．22B ．15C ．12D ．11 【答案】D【解析】由已知得出5x y =-，代入第二个式子后整理得出()223=0z y -+，推出030z y =-=，，求出x ，y ，z 的值，最后将x ，y ，z 的值代入计算，即可求出35x y z ++的值．【详解】解：∵x+y ＝5，∴5x y =-，把5x y =-代入29z xy y =+-得： ()259z y y y -+-=，∴()223=0z y -+，∴030z y =-=，，∴3532y x ==-=，， 352335011x y z ++=+⨯+⨯=，故选：D ．【点睛】本题主要考查了因式分解的方法及代数式求值的方法，综合性较强，有一定难度．5．已知线段AB的A点坐标是（3，2），B点坐标是（-2，-5），将线段AB平移后得到点A的对应点A′的坐标是（5，-1），则点B的对应点B′的坐标为（）．A．（0，-6）B．（3，-8）C．（1，-4）D．（0，-8）【答案】D【解析】根据点A的对应点A′的坐标是（5，-1）可知平移规律，即可解答.【详解】∵点A（3，2）的对应点A′的坐标是（5，-1）∴平移规律是横坐标加2，纵坐标减3，∴点B（-2，-5）的对应点B′的坐标（0，-8）故选D【点睛】本题考查了平面直角坐标系内点的平移问题，难度较低，找出平移规律是解题关键.6．如图，△ABC是一把直角三角尺，∠ACB＝90°，∠B＝30°．把三角尺的直角顶点放在一把直尺的一边上，AC与直尺的另一边交于点D，AB与直尺的两条边分别交于点E，F．若∠AFD＝58°，则∠BCE的度数为（）A．20°B．28°C．32°D．88°【答案】B【解析】由平行线的性质得出∠AEC＝∠AFD＝58°，再由三角形的外角性质即可得出∠BCE的度数．【详解】解：∵CE∥DF，∴∠AEC＝∠AFD＝58°，∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∴∠BCE＝∠AEC﹣∠B＝58°﹣30°＝28°；故选：B．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．7．在3.14，2273这四个数中，无理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】无限不循环小数是无理数.据此分析即可.【详解】在3.14，227，﹣3，π这四个数中，无理数是：﹣3，π这两个数. 故选：B【点睛】本题考核知识点：无理数.解题关键点：理解无理数的意义.8．如图①，从边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形（如图②），则上述操作所能验证的公式是（ ）A ．22()()a b a b a b +-=-B ．222()2a b a ab b -=-+C ．222()2a b a ab b +=++D ．2()a ab a a b +=+【答案】A 【解析】由大正方形的面积-小正方形的面积=矩形的面积，进而可以证明平方差公式． 【详解】由大正方形的面积-小正方形的面积=矩形的面积得()()22a b a b a b -=+-故答案为：A ．【点睛】本题考查了平方差公式的证明，根据题意列出方程得出平方差公式是解题的关键．9．如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC 绕点A 旋转，使得点B ，A ，C′在同一直线上，则三角板ABC 旋转的度数是（ ）A ．60°B ．90°C ．120°D ．150°【答案】D 【解析】试题分析：根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．旋转角是∠CAC′=180°﹣30°=150°．故选D ．考点：旋转的性质．10．手机上使用14nm 芯片，1nm ＝0.0000001cm ，则14nm 用科学记数法表示为（ ）A ．1.4×10﹣6cmB ．1.4×10﹣7cmC ．14×10﹣6cmD ．14×10﹣7cm【答案】A【解析】绝对值小于1的数可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】14nm=14×0.0000001cm =1.4×10﹣6cm ， 故选：A ．【点睛】本题考查了负整数指数科学记数法,对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成10n a -⨯ 的形式，其中110a ≤<，n 是正整数，n 等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）.二、填空题题11．某剧院的观众席的座位为扇形，且按下列方式设置：写出座位数y 与排数x 之间的关系式___________________________【答案】y=3x+1【解析】分析：首先设函数解析式为y=kx+b ，然后找两组值代入解析式求出k 和b 的值，从而得出答案． 详解：设函数解析式为y=kx+b ，将x=1，y=50；x=2，y=53代入可得： 50253k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：347k b =⎧⎨=⎩， ∴函数解析式为y=3x+1． 点睛：本题主要考查的是利用待定系数法求函数解析式，属于基础题型．设出函数解析式是解决这个问题的关键．12．高斯函数[x]，也称为取整函数，即[x]表示不超过x 的最大整数．例如：[1.3]=1，[-1.5]=-1．若[x-1]=3，则x 的取值范围是__________ ．【答案】45x ≤<【解析】由[x-1]=3得314x ，解之即可．【详解】若 [x-1]=3，则314x ，解得：45x ≤<．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，根据取整函数的定义得出关于x 的不等式组是解题的关键． 13．如图直线l ∥m,将含有45°角的三角板的直角顶点放在直线m 上,若∠1=16°,则∠2的度数为_____．【答案】29°【解析】过点A 作直线b ∥l,再由直线m ∥可知m ∥l ∥b,得出∠3=∠1,∠2=∠4,由此可得出结论【详解】过点A 作直线b ∥l,如图所示∵直线m ∥1∴m ∥l ∥b,∴.∠3=∠1,∠2=∠4.∵∠1=16°∴∠3=16°∴∠4=45°-16°=29° ∴∠2=∠4=29°故答案为:29°【点睛】此题考查平行线的性质，做辅助线是解题关键14．如图，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠CDA ＝90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为16，则BE 等于 _________【答案】1【解析】过B点作BF⊥CD，与DC的延长线交于F点，运用割补法把原四边形转化为正方形，即可求出BE的长．【详解】解：如图，过B点作BF⊥CD，与DC的延长线交于F点，∵∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD，∴四边形EDFB是矩形，∠EBF=90°，∴∠ABE=∠CBF，在△BCF和△BAE中，∵∠F=∠BEA,∠CBF=∠ABE,AB=BC,∴△BCF≌△BAE（ASA），∴BE=BF，∴四边形EDFB是正方形，∴S四边形ABCD=S正方形BEDF=16，∴16．故答案为：1．【点睛】此题考查三角形全等的判定与性质，正方形的判定与性质，运用割补法把原四边形转化为正方形，其面积保持不变，所求BE就是正方形的边长了；也可以看作将三角形ABE绕B点逆时针旋转90°后的图形．15．点M（2，﹣3）到x轴的距离是_____．【答案】3【解析】根据点到x 轴的距离等于纵坐标的绝对值解答. 【详解】33-=，∴点()2,3M -到x 轴的距离是3.故答案为：3.【点睛】本题考查了点的坐标，熟记点到x 轴的距离等于纵坐标的绝对值是解题的关键.16．请你写出一个比4大且比6小的无理数，这个无理数是_______．1π+【解析】分析：根据无理数的三种形式写出即可，无理数通常有以下三种形式，①开方开不尽的数， ，等；②圆周率π；③构造的无限不循环小数，如2.01001000100001⋅⋅⋅（0的个数一次多一个）. 详解：设这个无理数是x ，则4<x<6，∴16<x 2<36,…，∵π是无理数，且π≈3.14，∴这个无理数还可以是：π+1，π+2等.1π+.点睛：本题考查了实数的大小比较，熟练掌握无理数的定义及无理数的三种形式是解答本题的关键. 17．因式分解：2y 2﹣18＝_____．【答案】2（y+3）（y ﹣3）．【解析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．【详解】原式＝2（y 2﹣9）＝2（y+3）（y ﹣3），故答案为：2（y+3）（y ﹣3）【点睛】此题考查提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．三、解答题18．△ABC 在网格中的位置如图所示，请根据下列要求作图：（1）过点C 作AB 的平行线；。
浙江中考数学备考专题有理数、无理数与实数含答案5套
2024年浙江中考数学备考专题有理数、无理数与实数5套含答案一、选择题（每题3分，共30分）1．-3，4，0，√2这四个数中，无理数是（）A．-3B．4C．0D．√2 2．下列运算结果正确的是（）A．√10÷√5=√5B．√9=±3C．(−√2)2=2D．√2+√3=√53．下列说法正确的是（）A．4的平方根是2B．8的立方根是±2C．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是-1，0或1D．如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是1或04．下列说法中：①立方根等于本身的是﹣1，0，1；②平方根等于本身的数是0，1；③两个无理数的和一定是无理数；④实数与数轴上的点是一一对应的；⑤π−3是负分数；其中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．如图，实数-√2+1在数轴上的对应点可能是（）A．A点B．B点C．C点D．D点6．若|x−y|−|x−z|=|y−z|，则实数x、y、z之间的大小关系可能为（）A．x>y>z B．z>y>x C．y>x>z D．x>z> y7．数轴上依次排列的四个点，它们表示的数分别为a，b，c，d，若|a-c|=6，|a-d|=10，|b-d|=5，则|b-c|的值为（）．A．6B．5C．4D．1 8．一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在()A ．2与3之间B ．3与4之间C ．4与5之间D ．5与6之间9．如图，已知实数a 在数轴上的对应点位置如图所示，则化简√(a −2)2的结果是（ ）A ．a ﹣2B ．﹣a ﹣2C ．1D ．2﹣a10．按顺序排列的若干个数：x 1，x 2，x 3，……，x n （n 是正整数），从第二个数x 2开始，每一个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数，即：x 2=11−x 1，x 3=11−x 2……，下列选项正确是（ ）①若x 2=5，则x 7=45；②若x 1=2，则x 1+x 2+x 3+⋯+x 2023=1013；③若(x 1+1)(x 2+1)x 6=−1，则x 1=√2 A ．①和③ B ．②和③ C ．①和②D ．①②③都正确二、填空题（每题3分，共18分）11．比较大小：7-4√3 0． (填“<”“>”或“=”)12．已知一个立方体的体积是27cm 3，那么这个立方体的棱长是 cm . 13．若y =√x −2+√2−x −3，则x +y 的立方根是 .14．若a 与b 互为相反数，m 与n 互为倒数，k 的算术平方根为√2，则2022a +2021b +mnb +k 2的值为 ．15．对于任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[√3]=1．现对72进行如下操作：72第一次→[√72]=8第二次→[√8]=2第三次→[√2]=1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ．16．电流通过导线时会产生热量，电流I （单位：A ）、导线电阻R （单位：Ω）、通电时间t （单位：s ）与产生的热量Q （单位：J ）满足关系式Q =I 2Rt ．已知导线的电阻为10Ω，通电2s 时间导线产生90J 的热量，则电流I 为 A ．三、计算题（共6分）17．计算：（1）(√18−√12)×√3；（2）(√3+1)2−(1−√5)(√5+1).四、作图题（共9分）18．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：（1）在图1中画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图2中画一个直角三角形，使它的三边长都是无理数；（3）在图3中画一个等腰三角形，使它的三边长都是无理数（和图2画的三角形不全等）.五、解答题（共4题，共32分）19．把下列各数分别填在相应的括号内．﹣12，0，0.16，312，√3，﹣23√5，π3，√16，﹣√22，﹣3.14有理数：{ }；无理数：{ }；负实数：{ }；正分数：{ }．20．（1）先化简，再求值．已知a=1，b=−2，求多项式3ab−15b2+5a2−6ba+15a2−2b2的值．（2）在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大顺序进行排列，用“<”连接．−1.5，−22，−（−4），0，−|−3|，√921．如图，数轴上点A，B分别表示数a，b，且a，b互为相反数，2a+9是27的立方根.（1）求a，b的值及线段AB的长.（2）点P在射线BA上，它在数轴上对应的数为x.①请用含x 的代数式表示线段BP 的长. ②当x 取何值时，BP =2AP ？22．解答下列各题：（1）计算：√(−10)2−(√15)2+√64．（2）已知点A(2，1)，B(−4，a)在反比例函数y =kx(k ≠0)的图象上，试求a 的值． 六、实践探究题（共3题，共25分）23．数学活动课上，张老师说：“√2是无理数，无理数就是无限不循环小数，同学们，你能把√2的小数部分全部写出来吗？”大家议论纷纷，晶晶同学说：“要把它的小数部分全部写出来是非常难的，但我们可以用（√2-1）表示它的小数部分．”张老师说：“晶晶同学的说法是正确的，因为√2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．”请你解答：（1）√5的整数部分是 ，小数部分是 ．（2）已知8+√3=x +y ，其中x 是一个整数，且0＜y ＜1，请求出3x +(y −√3)2020的值．24．对于任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4.1]=4.（1）则[11.8]= ；[−11.9]= ；（2）现对119进行如下操作：119→第一次[√119]=10→第二次[√10]=3→第三次[√3]=1，这样对119只需进行3次操作后变为1.①对15进行1次操作后变为 ▲ ，对200进行3次操作后变为 ▲ ；②对实数m 恰进行2次操作后变成1，则m 最小可以取到 ▲ ； ③若正整数m 进，3次操作后变为1，求m 的最大值.25．阅读材料：若点M ，N 在数轴上分别表示实数m ，n ，那么M ，N 之间的距离可表示为|m −n|.例如|3−1|，即表示3，1在数轴上对应的两点之间的距离；同样：|5+3|=|5−(−3)|表示5，−3在数轴上对应的两点之间的距离.根据以上信息，完成下列题目： （1）已知A ，B ，C 为数轴上三点，点A 对应的数为√2，点C 对应的数为1. ①若点B 对应的数为−2，则B ，C 两点之间的距离为 ；②若点A 到点B 的距离与点A 到点C 的距离相等，则点B 对应的数是 . （2）对于|x −3|+|x +4|这个代数式.①它的最小值为；②若|x−3|+|x+4|+|y−1|+|y+2|=10，则x+y的最大值为.答案解析部分1．【答案】D2．【答案】C3．【答案】C4．【答案】C5．【答案】B6．【答案】D7．【答案】D8．【答案】B9．【答案】D10．【答案】C11．【答案】>12．【答案】313．【答案】-114．【答案】215．【答案】25516．【答案】3√2217．【答案】（1）解：原式=√54−√36=3√6−6（2）3+2√3+1−1+5=8+2√3 18．【答案】（1）解：如图1所示，Rt△ABC即为所求；（2）解：如图所示，Rt△DEF即为所求；（3）解：如图所示，OPQ 即为所求.19．【答案】解：有理数：﹣12，0，0.16，312，√16，﹣3.14；无理数：√3，﹣23√5，π3，﹣√22；负实数：﹣12，﹣23√5，﹣√22，-3.14；正分数：0.16，312．20．【答案】（1）解：3ab −15b 2+5a 2−6ba +15a 2−2b 2=−3ab −17b 2+20a 2，当a =1，b =−2时，原式=−3×1×（−2）−17×（−2）2+20×12=6−68+20=−42．（2）解：如图所示：，−22<−|−3|<−1.5<0<√9<−（−4）21．【答案】（1）解：∵2a +9是27的立方根，∴2a +9=√273=3， 则a =−3.∵a ，b 互为相反数，∴b=−a=3.∴AB=3−(−3)=6（2）解：①∵点P在射线BA上，它在数轴上对应的数为x.∴线段BP=3−x②当点P在点A右侧时，∵BP=2AP，∴3−x=2(x+3)，解得x=−1.当点P在点A左侧时，∵BP=2AP，∴3−x=2(−3−x)，解得x=−9.综上，当x=−1或−9时，BP=2AP.22．【答案】（1）解：原式=10−15+8=3（2）解：∵点A(2，1)，B(−4，a)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，∴k=1×2=−4⋅a，∴a=−1 2．23．【答案】（1）2；√5-2（2）解：∵1<√3<2，∴9<8+√3<10，∵8+√3=x+y，其中x是一个整数，且0＜y＜1，∴x＝9，y＝8+√3−9=√3−1∴3x+(y−√3)2020=3×9+(√3−1−√3)2020＝27+1＝28．24．【答案】（1）11；-12（2）解：①3；1②4；③∵[x]=1，∴1≤x<2，∴1≤√m<2，∴1≤m<4，∴1≤√m<16，∴1≤m<256.∵3次操作，故m≥16.∴16≤m<256.∵m是整数.∴m的最大值为255.25．【答案】（1）3；2√2−1（2）7；42024年浙江中考数学备考专题有理数、无理数与实数5套含答案一、选择题1．2022的倒数是（）A．2022B．-2022C．12022D．−1 20222．手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强(午位：dBm)，则下列信号最强的是（）A．-50B．-60C．-70D．-80 3．计算结果等于2的是（）A．|−2|B．−|2|C．2−1D．(−2)0 4．(−2)2+22=（）A．0B．2C．4D．8 5．如图，比数轴上点A表示的数大3的数是（）A．-1B．0C．1D．2 6．据中国宁波网消息：2023年一季度宁波全市实现地区生产总值380180000000元，同比增长4.5%．数380180000000用科学记数法表示为（）A．0.38018×1012B．3.8018×1011C．3.8018×1010D．38.018×10107．已知数轴上的点A，B分别表示数a，b，其中−1<a<0，0<b<1．若a×b=c，数c在数轴上用点C表示，则点A，B，C在数轴上的位置可能是（）A．B．C．D．8．已知M=20222，N=2021×2023，则M与N的大小关系是（）A．M>N B．M<N C．M=N D．不能确定9．已知方程组{a−2b=63a−b=m中，a，b互为相反数，则m的值是（）A．4B．﹣4C．0D．8 10．在某次演讲比赛中，五位评委要给选手圆圆打分，得到互不相等的五个分数。
有理数无理数
有理数与无理数一、专题简析理解两个数学概念，在学习数学概念的同时了解一些数学史知识，深化概念的认识，能依据概念进行分析判断，根据概念自觉发现结论并解决一些问题。
二、阅读与探究数学上，有理数是指一大类数，这个名称经过以讹传讹，已经积非成是了，较恰当的称呼为“可比数”，凡是能精确表示为一个整数a 和一个正整数b 的比的数都是有理数，例如3/8，17/9，0也是有理数，整数也可以看作是分母为1的分数。
0.4, 0.1111…，0.313131… 是有理数，因为0.4=2/5, 0.1111…=1/9，0.313131…=31/99,小数部分是有限的或是无限循环的数都是有理数，分数都是有理数，分数本身就是一种比的记法。
有限小数都可以看作是分母是整十、整百、整千、整万……的分数；无限循环小数都可以等值于一对整数的比，而且可以找到唯一的一对互质的整数。
读后归纳：整数、分数、有限小数、无限循环小数都是有理数。
对应的，还有一类数叫无理数，凡是不能精确表示为一个整数a 和一个正整数b 的比的数都是无理数（其实应该称作“不可比数”更恰当）， 无理数的典型特征是小数部分是无限不循环的。
依据材料解决问题1、分别将下列数写成两个互质的整数比（写出分数形式）13, 5， 0.25， 3.14， 0.024， 0.33333…… ，2.11111……， 0.245245245245245…… ，∙∙325.0归纳：变式： 0.033333…… ，∙∙532.0 如果表示？ 2、715是无理数吗？将它化成小数形式3、这些数！！！！！，，！！4131211101!21!11!011101+++++++都是有理数吗？4、①当n=10, 100, 1000时，！！！！！n 131211101+++++其和是有理数吗？②当n 趋向于无穷大时，！！！！！n 131211101+++++ 其和还是有理数吗？5、无理数“三剑客”——)71828.2( e ）（），（， 4142135623.121415926535.3∏当n 趋向无限时，1/(0!)+1/(1!)+1/(2!)+1/(3!)+1/(4!)+1/(5!)+…… =∑1/(n!) = e, n ∈N （记住：∑是连加符号，N 用来表示自然数集合）② 圆周率（Pi 读作p ài ）是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数（约等于3.141592654）。
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XX教育学科教师辅导讲义组长签字：~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~二、课前自主学习检查上次作业，让学生讲解错题，知识反馈。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~三、知识梳理+经典例题课题1.有理数的加减乘除混合运算(30min.)考点一：有理数的加法 1．有理数的加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数。
2．有理数加法的运算律：（1）加法交换律：a b b a +=+；（2）加法结合律：)()(c b a c b a ++=++。
点拨：灵活运用运算律的几条规则：①“相反数结合法”―互为相反数的两个数先相加；②“同号结合法” ―符号相同的两个数相加；③“同分母结合法”―分母相同的数先相加；④“凑整法”―几个数相加得到整数，先相加；⑤“同形结合法”―整数与整数，小数与小数相加。
考点二：有理数的减法1．有理数减法的意义：有理数减法的意义与小学学过的减法意义相同。
已知两个数的和与其中一个加数，求另一个数的运算叫做减法。
减法是加法的逆运算。
2．有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。
考点三：有理数的乘法 1．有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘。
任何数与零相乘都得零。
（2）几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。
（4）已知a 的相反数是123，b 的相反数是-212，求代数式32a b a b +-的值．例2.计算：（1）41233(4)(5)(7)9234---+--+(2) )53(143)3161(611-÷⨯-⨯（3）（－36）×［+（）］（4）（－2）×（）×（）×.(5) (－521－251)÷332.（6）125.0]324)65()21()83[(75.3-+---+--例3.计算(1) ×(－)×(－) (2)(－)×(－)×0×(3)(51－31)×(51+31)÷51×(－31) （4）()3135127822322⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-+⨯-+÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（5）（-1117）×15+（+517）×15+（-13713）÷5+（+11313）÷592-125-183-721-212-9754625107132471634课题二实数（40min.）一．实数的分类例4（1）(新疆中考)下列各数中，属于无理数的是( )A. 3 B．－2 C．0 D.1 3（2)(常德中考改编)下列各数：13，π，38，0，3，其中无理数的个数是( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个(3)有六个数：0.142 7，(－0.5)3，3.141 6，227，－2π，0.102 002 000 2……，若无理数的个数为x，整数的个数为y，非负数的个数为z，求x＋y＋z的值．二.平方根的概念和性质例5(1)(通辽中考)4的算术平方根是( )A．－2 B．±2 C. 2 D．2(2)若a2＝4，b2＝9，且ab＜0，则a－b的值为( )A．－2 B．±5 C．5 D．－5(3)－27的立方根与81的平方根之和是________．(4)若|a－2|＋b－3＋(c－4)2＝0，则a－b＋c＝________.三、估算无理数的大小例6(1)(杭州模拟)如图，数轴上有A、B、C、D四点，根据图中各点的位置，判断哪一点表示的数与4－26最接近？( )A．A B．B C．C D．D(2)下列无理数中，在－2与1之间的是( )A．－ 5 B．－ 3 C. 3 D. 5 (3)设a＝19－1，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是( )A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 四、实数的概念和意义例7(1）(福州中考)a的相反数是( )A．|a| B.1aC．－a D. a（2) (广安中考)实数a在数轴上的位置如图所示，则|a－1|＝________．(3)如图，数轴上A、B两点对应的实数分别是1和3，若点A关于B点的对称为点C，则点C所对应的实数为( )A．23－1 B．1＋ 3 C．2＋ 3 D．23＋1(4)计算：||3－π＝________．五、二次根式有意义的条件例8(1）(随州中考)若代数式1x－1＋x有意义，则实数x的取值范围是( )A．x≠1 B．x≥0 C．x≠0 D．x≥0且x≠1【方法归纳】二次根式有意义的条件是被开方数为非负数，有时需要注意二次根式是否位于分母．(2)若3－m为二次根式，则m的取值范围是( )A．m≤3 B．m＜3 C．m≥3 D．m＞3(3)式子x2－x有意义的x的取值范围是________．六、二次根式的运算例9.(1)计算：(－3)0－8＋|1－2|＋3(2－3)．(2)计算412＋313－8的结果是( )A.3＋ 2B. 3C.33D.3－ 2 (3）(泰安中考)化简：3(2－3)－24－|6－3|例10.(1) (2). (3).(4) （5）6×6-5; （6）323;6⨯ （7）()()1616-+； （8）23273+. （9）；（10） 5322-⨯ （11）12－ 31 （12）6)334(⨯-（13）(6－215)×3－612；课题三、二元一次方程组的解法（25min.)5312-⨯236⨯)75)(57(+-2)62(+3231-+-二元一次方程组的解法加减法代入法消元一、知识概要1.代入法：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另外一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫代入消元法，简称代入法；2.加减法：两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。
例11（1） 若方程组⎩⎨⎧-=+=+3223432m y x y x 的解满足51=+y x ，则m = .（2）如果方程组3,5x ax by =⎧⎨+=⎩的解与方程组4,2y bx ay =⎧⎨+=⎩的解相同,则a 、b 的值是( ) A. 12a b =-⎧⎨=⎩ B. 12a b =⎧⎨=⎩ C. 12a b =⎧⎨=-⎩ D. 12a b =-⎧⎨=-⎩（3）函数y ＝ax 与函数y ＝23x ＋b 的图象如图所示，则关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧ax －y ＝03y －2x ＝3b 的解是________．（4）如果一次函数图象经过A 、B 两点(如图)，则该一次函数的表达式为y ＝________．（5）已知代数式－3xm －1y 3与52x n y m ＋n是同类项，那么m 、n 的值分别是( )A.⎩⎨⎧m ＝2n ＝－1B.⎩⎨⎧m ＝－2n ＝－1C.⎩⎨⎧m ＝2n ＝1D.⎩⎨⎧m ＝－2n ＝1例12．若关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧2x －y ＝m ，x ＋my ＝n 的解是⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1，则||m －n 的值为( )A ．1B ．3C ．5D ．2 例13.计算来25302510x y x y +=⎧⎨-=-⎩~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~三、随堂练(15min.)一、选择题1.81的算术平方根是( )A ．9B ．±9C ．±3D ．3 2．如图，数轴上A 、B 两点分别对应实数a 、b ，则下列结论正确的是( )A ．a ＋b>0B ．ab>0C ．a －b>0 D.||a －||b >0 3．下列各式计算正确的是( ) A.3a ·a ＝3a B.a ·1a＝a ·1a＝1 C.8a 9＝4a 3D.m （m －3）＝m ·m －3⎩⎨⎧=-=-0531635y x y x ⎩⎨⎧=+=-10235y x y x ⎩⎨⎧=-=-24352y x y x ⎩⎨⎧=-=+2343553y x y x ⎩⎨⎧=-=+574973y x y x4．若20n 表示整数，则满足条件的最小正整数n 为( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 5．已知x ＝2＋1，则代数式x ＋1x －1的值为( )A.2＋1B.2＋2 C ．3 D.2－16．如图所示，数轴上表示2和5的对应点分别为C 和B ，若点C 是AB 的中点，则点A 表示的数是( )A ．－ 5B ．2－ 5C ．4－ 5 D.5－2 7．已知a 、b 为两个连续整数，且a ＜7＜b ，则a ＋b 的值为( )A ．1B ．5C ．6D ．无法确定 8．已知m 为正整数，且2＜m ＜3，则满足此条件的所有m 值的和为( ) A ．24 B ．25 C ．26 D ．27 二、填空题9．若x －3在实数范围内有意义，则x 的取值范围是________．10．新定义一种运算“@”，其运算法则为：x@y ＝xy ＋4，则(2@6)@8＝________. 11．已知一个正数的两个平方根分别为2m －6和3＋m ，则(－m)2 016的值为________． 12．若||x －5＋(y ＋15)2＋z －1＝0，则3xyz ＝________．三、解答题13． 计算下列各题： (1)1925； (2)3－21027；(3)81＋3－27＋16900； (4)－3－191125×2536.~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~四、归纳总结1.通过本堂课的学习我收获了什么？在知识点标题上画“√”2.我还有哪些没有解决的困惑？在知识点标题上画“×”课后作业(40min.)1.．已知3x a ＋b y a －b 与2x a ＋1y 是同类项，那么（ ） A ．a ＝4,b ＝2 B ．a ＝2,b ＝1 C ．a ＝3,b ＝2 D ．a ＝0,b ＝－12．若0173)5(2=--+-+y x y x ，则x 、y 的值分别为（ ）A ．7，7B ．8，－3C ．8，3D ．以上结论都不对3. 下列运算正确的是（ ）A ．（5-）2=-5B ．（-5）2=-5C ．-2(5)-=5D ．2(5)-=5 4. 要使有意义，则x 应满足（ ） A ．≤x ≤3 B ．x ≤3且x ≠ C ．＜x ＜3 D ．＜x ≤3 5. 若则 ．6. 计算：=+-3)23(2 .7. 若为实数，且，则的值为 ． 1213-+-x x 21212121()22340a b c -+-+-=，=+-c b a x y ，220x y ++-=2009x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭。