最新153定积分的概念 (2)
定积分的概念 课件
a
f(x)dx等于由直线x＝a，x＝b，y＝0与
曲线y＝f(x)围成曲边梯形的面积，这是定积分的几何意义．
b
(2)计算
a
f(x)dx时，先明确积分区间[a，b]，从而确定曲
边梯形的三条直边x＝a，x＝b，y＝0，再明确被积函数f(x)，
从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求曲边梯形的面积
S而得到定积分的值：
c
f(x)dx
(其中a<c<b)．
[点睛] 性质(1)的等式左边是一个定积分，等式右边是常数与 一个定积分的乘积． 性质(2)对于有限个函数(两个以上)也成立． 性质(3)对于把区间[a，b]分成有限个(两个以上)区间也 成立．
利用定义求定积分
3
[典例] 利用定义求定积分0x2dx. [解] 令f(x)＝x2，
n
(3)求和：
i＝1Leabharlann f(ξi)·b－n a；
b
(4)取极限：a
n
f(x)＝lim n i＝1
b－a f(ξi)· n .
用定积分的性质求定积分
[典例]
(1)f(x)＝x2＋ x2，1，1≤0≤x≤x<21.，
2
则
f(x)dx＝(
0
)
2
A. (x＋1)dx 0
2
B. 2x2dx 0
1
2
C. (x＋1)dx＋ 2x2dx
(1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式，利用定 积分的线性性质进行计算，可以简化计算．
(2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数， 一般利用积分区间的连续可加性计算．
用定积分的几何意义求定积分
[典例] 根据定积分的几何意义，求下列定积分的值．
定积分知识点总结数学
定积分知识点总结数学一、定积分的定义1. 定积分的概念定积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在一个区间上的积分进行定义的一种方法。
定积分可以表示函数在一个区间上的“累积效果”，即函数在该区间上的总体积或总面积。
2. 定积分的符号表示定积分可以用符号∫ 来表示，即∫f(x)dx，其中f(x)是要积分的函数，dx表示自变量x的微元。
3. 定积分的定义设函数f(x)在区间[a, b]上连续，将区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx，取每个小区间上任意一点ξi，计算出函数在每个小区间上的面积，然后将所有小区间上的面积相加，得到一个近似值。
当n趋于无穷大时，这个近似值趋于一个确定的值，称为定积分，记作∫a到b f(x)dx。
4. 定积分的几何意义定积分的几何意义是函数f(x)在区间[a, b]上的图像和坐标轴之间的面积，当函数为正值时，定积分表示曲线下面积；当函数为负值时，定积分表示曲线上面积减去曲线下面积。
二、定积分的性质1. 定积分的存在性定积分的存在性是指对于一个函数在一个区间上的定积分是否存在，存在的充分必要条件是函数在该区间上连续。
2. 定积分的线性性定积分具有线性性质，即若f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，c和d为常数，则有∫a到b(c*f(x)+d*g(x))dx=c*∫a到b f(x)dx+d*∫a到b g(x)dx。
3. 定积分的区间可加性若函数f(x)在区间[a, b]、[b, c]上都可积，则有∫a到c f(x)dx=∫a到b f(x)dx+∫b到c f(x)dx。
4. 定积分的不变性对于函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，若将区间[a, b]内的点重新排列，定积分的结果不会受到影响。
5. 定积分的估值通过使用上下和左右长方形法、梯形法等方法，可以对定积分进行估值，获得定积分的近似值。
三、定积分的计算1. 定积分的基本计算方法定积分的基本计算方法是使用定积分的定义进行计算，即按照定义对函数在区间内每个小区间上的面积进行求和，并计算出极限值。
高等数学-定积分的概念与性质
= σ=1 ( ) .
→0
其中()称为被积函数，()称为被积表达式，称为积分变量,
[, ]称为积分区间，称为积分下限，称为积分上限．
15
02 定积分的定义
注（1）定积分)( 是一个数值，它只与被积函数()
和积分区间[, ]有关，而与积分变量的符号无关，即
(2)近似（“以直代曲”）
在区间 [−1 , ] 上任取一点 ，以 ( ) 为高，
y
y=()
以 为底，作小矩形．小矩形的面积为
( ) ，用该结果近似代替[−1 , ]上的小
O
a
x i -1 ξ i x i
b
x
曲边梯形的面积 ，即
≈ ( ) （ = 1, 2, ⋯ , ）．
)(
=
)(
=
)( ．
（2）定积分存在，与区间的分法和每个小区间内 的取法无关.
Hale Waihona Puke （3）按照定积分的定义，记号)( 中的, 应满足关系
< ，为了研究的方便，我们补充规定：
① 当 =
② 当 >
时， = )( = )( 0；
在区间 [1,2] 内， 0 ≤ < 2 < 1 ，
则( )3 < .由性质5.5的推论1，得
2
1
>
2
1 ( )3 ．
28
极限，得 σ=1 ( ) .
→0
如果对于[, ]的任意分法及小区间[−1 , ]上点 的任意
取法，上述极限都存在，则称函数()在区间[, ]上可积，
定积分的定义
定积分的定义定积分是微积分的重要概念之一，它在数学和物理学等领域中都有广泛的应用。
定积分的定义是通过求解函数的极限来得到，它描述了一个曲线下的面积。
本文将介绍定积分的定义及其相关概念，并解释如何使用定积分求解实际问题。
定积分的定义可以通过分割区间，然后求和极限来得到。
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则称函数f(x)在[a,b]上的定积分为∫(a到b)f(x)dx其中，∫表示积分符号，被积函数f(x)是被积函数，dx表示关于自变量x的微元，a和b是积分的上下限。
积分符号∫起源于拉丁语"summa summum"，意思是“求和”。
定积分的基本思想是将区间[a,b]分割为n个小区间，然后在每个小区间中取一个点，记作ξi，将每个小区间的函数值乘以区间长度Δxi，然后求和。
当n趋于无穷大时，这些近似值的和趋于定积分的值。
数学上可以表示为：∫(a到b)f(x)dx = lim(n趋于无穷大)(Σf(ξi)Δxi)上式中，Σ表示求和，f(ξi)表示在区间[xi, xi+1]中某点ξi的函数值，Δxi表示区间[xi, xi+1]的长度。
定积分有很多重要的性质。
首先，如果函数f(x)在[a,b]上非负，则定积分的值表示曲线下的面积。
其次，如果在[a,b]上函数f(x)为负值，那么定积分的值表示曲线与x轴之间有向面积。
在实际应用中，定积分经常用于求解曲线下的面积、体积、质心以及众多概率统计问题。
比如，可以利用定积分计算圆的面积、球的体积，还可以求解质量分布、重心、平衡问题。
此外，在统计学中，定积分有着广泛的应用，例如在概率密度函数中计算概率、求解期望值等。
在计算定积分时，可以使用多种方法。
一种常见的方法是使用基本的积分法则，将被积函数进行重写、分解或代换，以方便求解。
另一种方法是使用数值积分方法，如梯形法则、辛普森法则等。
这些数值方法可用于近似求解定积分，适用于无法解析求解的情况。
定积分的概念是微积分领域中的基础知识之一。
定积分的概念、性质
三、定积分的性质
§5.1 定积分的概念与性质
一、定积分问题举例
演讲人姓名
二、定积分定义
一、定积分问题举例
曲边梯形 设函数yf(x)在区间[a, b]上非负、连续. 由直线xa、xb、y0及曲线yf (x)所围成的图形称为 曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边.
曲边梯形的面积
*
观察与思考
定积分的定义
*
二、定积分定义
例1 用定积分表示极限 解 定积分的定义
*
二、定积分定义
定积分的定义
注: 设f (x)在[0, 1]上连续, 则有
*
定积分的几何意义
这是因为 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值
*
定积分的几何意义
各部分面积的代数和 曲边梯形面积 曲边梯形面积的负值
*
例2
在曲边梯形内摆满小的矩形, 当小矩形的宽度减少时, 小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化? 怎样求曲边梯形的面积？
*
(2)近似代替:
求曲边梯形的面积
(1)分割:
ax0< x1< x2< < xn1< xn b, Dxi=xi-xi1;
小曲边梯形的面积近似为f(xi)Dxi (xi1<xi<xi);
如果在区间[a b]上 f (x)g(x) 则
如果在区间[a b]上 f (x)0 则
性质5
推论2
性质6
设M及m分别是函数f(x)在区间[a b]上的最大值及最小值 则
例4 试证:
证明 设 则在 上, 有 即 故 即
*
性质7(定积分中值定理)
如果函数f(x)在闭区间[a b]上连 续 则在积分区间[a b]上至少存在一个点x 使下式成立 这是因为, 由性质6 ——积分中值公式 由介值定理, 至少存在一点x[a, b], 使 两端乘以ba即得积分中值公式.
定积分的概念 课件
位：h)这段时间内行驶的路程 s(单位：km)是多少？ [解] (1)分割 在时间区间[0,2]上等间隔地插入 n－1 个分点，将它等
分成 n 个小区间，记第 i 个小区间为2i－n 1，2ni(i＝1,2，…， n)，其长度为 Δt＝2ni－2i－n 1＝n2.每个时间段上行驶的路程
y＝0 所围成的曲边梯形的面积时，将区间[0，t]等分成 n
个小区间，则第 i－1 个区间为
()
A.i－n 1，ni C.ti－n 1，tni
B.ni ，i＋n 1 D.ti－n 2，ti－n 1
[解析]
每个小区间长度为
t n
，故第i－1个区间的左
端点为0＋(i－2)×
t n
＝
ti－2 n
，右端点为
ti－2 n
＋
t n
＝
ti－1 n.
[答案] D
[易错防范] 1．解决本题易错误地认为区间左端为ti－n 1，从而误选 C. 2．在将区间[0,1]等分成 n 个小区间时，其第 1 个小区间的 左端点为 0，第 2 个小区间的左端点为n1，…，依次类推，第 i 个小区间的左端点为i－n 1.
小区间长 Δx＝n1为其邻边的小矩形面积，近似代替小曲边梯形面
积．第 i 个小曲边梯形面积，可以近似地表示为ΔSi≈ξ3i ·Δx＝
n＋ni－13·n1(i＝1,2,3，…，n)．
(3)求和 因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面
积的近似值，所以 n 个小矩形面积的和就是曲边梯形 ABCD 面积 S 的近似值，
n
n
即 S＝ΔSi≈
i＝1
定积分的基本概念
定积分的基本概念
一、定积分的基本概念
1.定积分的定义
定积分是指在区间[a,b]中，用函数f(x)的值在x处取的积分，其中x取值于a到b之间的某个点，f(x)的积分称为定积分。
也可以表示为
∫a, bf(x)dx=∫f(x)dx
即：将函数f(x)从x=a到x=b的定积分。
2.定积分的性质
（1）定积分是一种积分的形式，它是在定的一段区间内对某个函数f(x)求积分的形式。
（2）定积分可以表示为：∫f(x)dx=F(b)-F(a)，其中F(x)是f(x)的积分函数。
（3）定积分可以表示为：∫a, bf(x)dx=∑[f(x1)+f(x2)+…
+f(xn)]，其中x1,x2,…,xn为积分区间[a, b]的各个各点。
（4）定积分是一种表示曲线与坐标轴围成的面积的一种数学工具。
二、定积分的计算
1.定积分的数值计算
数值计算定积分，即把范围[a,b]离散成一定的小段，在每个小段上求f(x)的值，再用这些值进行总和，来求出定积分的近似值。
2.定积分的解析计算
解析计算此类定积分，即首先求出f(x)的积分方程，在范围[a,b]内，求得它的解后，再把范围[a,b]的定积分解析成积分函数F(x)的量对应的差值F(b)-F(a)。
三、定积分的应用
定积分的应用主要是用于求出曲线与坐标轴围成的面积，也可以用于求求解线性微分方程，求解有关动力学问题的时候，还有一些物理的和化学的问题，这些问题用的都是定积分的知识。
定积分的概念 课件
被积函数的曲线是圆心在原点,半径为2的半圆,
由定积分的几何意义知,此定积分为半圆的面积,
所以
2 4 x2 dx 22 2 .
2
2
例3:利用定积分的几何意义,求下列各式的值.
(2)
2
sinxdx;
2
y
解：在右图中，被积函数f (x) sin x
f(x)=sinx
在[ ， ]上连续，且在[ ，0]上
y
y
f(x)=x2
f(x)=x2
y
f(x)=(x-1)2-1
y
f(x)=1
0a
x -1 0 2
xa 0
b x -1 0
2x
①
②
③
④
解：（1）在图①中，被积函数f (x) x2在[0，a]
上连续，且f (x) 0,根据定积分的几何意
义，可得阴影部分的面积为 A
a 0
x2dx
y
f(x)=x2
y
2
sin xdx 0
2）.
sin xdx 2
2 sin xdx
0
0
0
3.试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。
y
y=x2
y y=f(x)
0 12 x
y=g(x)
0a
bx
练习4（2）:
计算积分 1 1 x2 dx 0
解：由定积分的几何意义知，该积分值等于
曲线y 1 x 2 , x轴，x 0及x 1所围
f(x)dx —叫做被积表达式，
x ———叫做积分变量， a ———叫做积分下限， O a
bx
b ———叫做积分上限，
[a, b] —叫做积分区间。
定积分的定义：
1-5定积分的概念PPT课件
y = f(x) y
A1
Oa
b
x
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，
得 A A1.
y = f(x) y
A1 Oa
A2
b
x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得
A A1+ A2
y = f(x) y
A1
A2
A3
A4
Oa
b
x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得
A A1+ A2+ A3+ A4
y
—— 分成很窄的小曲边梯形， 然后用矩形面积代后求和。
y f (x)
y
x
Oa b
y f (x)
—— 以直代曲 O a
bx
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积。
解把底边[0,1]分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线, 这样曲边三角形被分成n个窄条, 用矩形来近似代替,然后把 这些小矩形的面积加起来, 得到一个近似值:
的近似值。 有理由相信，分
点越来越密时，即分 割越来越细时，矩形 面积和的极限即为曲 边形的面积。
o
x
1.5.2汽车行驶的路程
v DS1 DS2
2
g
g
D
g
S3
gD
S
4
v(t )
=
- t2
+
2
DSj
gD S n
g
O
1
t
1 2 3 j n- 1
nnn n n
Ds0 ?
vD
S 1
DS2
2
1
g
g
定积分的概念和性质公式
定积分的概念和性质公式定积分是微积分的重要概念之一，用于计算曲线下面的面积或者曲线围成的面积，以及求解一些几何体的体积。
本文将介绍定积分的概念、性质以及相关的公式。
一、定积分的概念在数学中，定积分可以看作是无穷小量的累加，它的计算结果是一个数值。
定积分的概念可以通过求解函数和坐标轴之间的面积来解释。
设对于连续函数y=f(x)在区间[a,b]上，我们将它与x轴围成的平面区域分割成多个无穷小的矩形，其宽度为Δx。
我们分别计算每个矩形的面积，将这些面积相加，然后取极限得到的结果就是函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。
表示为：∫[a,b]f(x) dx = limΔx→0 Σf(x_i)Δx其中，Σ表示求和，f(x_i)表示在每个小矩形的高度，Δx表示每个小矩形的宽度。
二、定积分的性质1.线性性质：设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上可积，k为常数，则有：∫[a,b](f(x)+g(x))dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[a,b]g(x)dx∫[a,b]k*f(x)dx = k*∫[a,b]f(x)dx2.区间可加性质：设函数f(x)在区间[a,b]和[b,c]上可积，则：∫[a,c]f(x)dx = ∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx3.估值性质：设f(x)在区间[a,b]上非负可积，c是[a,b]上的任意一点，则有：f(c)*(b-a) ≤ ∫[a,b]f(x)dx ≤ M*(b-a)其中，M为f(x)在[a,b]上的最大值。
4.小于等于零性质：设函数f(x)在区间[a,b]上非负可积并且在[a,b]上恒大于等于0，则有：∫[a,b]f(x)dx ≤ 0 当且仅当f(x)恒为零。
5.平均值定理：设函数f(x)在区间[a,b]上可积，则存在一个点c使得：∫[a,b]f(x)dx = f(c)*(b-a)三、定积分的计算公式1.基本积分法则：∫k dx = kx + C （k为常数）∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C （n≠-1）2.叠加性质：∫[a,b]f(x)dx = ∫[a,c]f(x)dx + ∫[c,b]f(x)dx3.替换法则：设F(x)在区间[a,b]上可导，f(g(x))g'(x)在区间[g(a),g(b)]上连续，则有：∫[a,b]f(g(x))g'(x)dx = ∫[g(a),g(b)]f(u)du ，其中u=g(x)4.分部积分法则：设u(x)和v(x)是具有连续导数的函数，则有：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx5.换元法则：设F(x)在区间[a,b]上可导，f(u)u'(x)在区间[u(a),u(b)]上连续，则有：∫[a,b]f(u(x))u'(x)dx = ∫[u(a),u(b)]f(u)du6.常用积分表：∫sin(x)dx = -cos(x) + C∫cos(x)dx = sin(x) + C∫1/(1+x^2)dx = arctan(x) + C∫1/√(1-x^2)dx = arcsin(x) + C∫e^x dx = e^x + C∫ln(x) dx = xln(x)-x + C总结：定积分是微积分的关键概念之一，通过对函数和坐标轴之间的面积进行累加，计算结果为一个数值。
定积分的概念 课件
按定义中包含的几个步骤来求1x3dx. 0
[解析] (1)分割[0,1]： 0＜1n＜2n＜…＜n－n 1＜nn＝1. (2)近似代替：作和 1n3·1n＋2n3·1n＋…＋nn3·1n.
n
＝
i＝1
ni 3·1n.
(因为 x3 连续，所以 ξi 可随意取而不影响极限，故我们 此处将 ξi 取为[xi，xi＋1]的右端点也无妨)
(1)y＝0，y＝ x，x＝2；(2)y＝x－2，x＝y2. [分析] 由题目可获取以下主要信息： ①y＝ x图象为抛物线的一部分； ②x＝y2 为一条抛物线； ③y＝x－2，y＝0，x＝2 均为直线． 解答本题可先准确作出函数图象，再根据图象及几何 意义进行表示．
[解析] (1)曲线所围成的区域如图(1)所示，设此面积
(3)取极限：
n
i＝1
ni 3·1n＝n14i＝n1i3＝n14n(n＋ 2 1)2
＝141＋2n＋n12，
∴1x3dx＝linm→∞ 0
141＋2n＋n12＝14.
(此处用到了求和公式 13＋23＋…＋n3＝(1＋＋…＋n)2
＝n(n2＋1)2)
因此1x3dx＝14. 0
[例4] 利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的 平面区域的面积．
为 S，则 S＝2( x－0)dx＝2 xdx
0
0
(2)曲线所围成的平面区域如图(2)所示，
S＝A1＋A2，A1 由 y＝ x，y＝－ x，x＝1 围成；
A2 由 y＝ x，y＝x－2，x＝1 和 x＝4 围成．
∴A1＝1[ x－(－ x)]dx， 0
A2＝4[ x－(x－2)]dx， 1
∴S＝12 xdx＋4( x－x＋2)dx.
定积分的概念
数学：153《定积分的概念》课件新人教A版选修
定积分在现代数学中的应用
物理中的应用
定积分在解决物理问题中发挥着重要作用，如计算变速直线运动 的位移、变力做功等问题。
工程中的应用
在工程领域，定积分被广泛应用于材料力学、流体力学、电路分析 等领域。
金融和经济中的应用
在金融和经济模型中，定积分常被用于描述连续变化的量，如利率 、汇率、股票价格等。
THANKS FOR WATCHING
极限思想
定积分是通过求黎曼和的 极限来定义的，体现了极 限的思想。
定积分的几何意义
曲边梯形面积
定积分可以用来计算曲边梯形的 面积，其中曲边梯形的一边是曲
线。
近似计算
通过将曲边梯形分割成若干个小矩 形，然后求和来近似计算面积。
精确结果
随着分割的越来越细，近似值会越 来越接近真实值，极限就是精确结 果。
详细描述
微积分基本定理（也称为牛顿-莱布尼茨公式）表明，对于连续函数在一个闭区 间上的定积分，可以转化为该区间上不定积分的原函数在区间端点处的值之差 。这为计算定积分提供了一种有效的方法。
定积分的计算方法
总结词
定积分的计算方法包括直接法、换元法、分部积分法等。
详细描述
直接法是直接利用微积分基本定理计算定积分的方法，适用于被积函数和积分区间都比较简单的情况。换元法是 通过改变积分变量来简化定积分的计算，适用于被积函数和积分区间比较复杂的情况。分部积分法是通过将两个 函数的乘积进行分部积分来计算定积分的方法，适用于被积函数是两个函数的乘积的情况。
数学153《定积分的 概念》课件新人教a版 选修
目录
• 定积分的概念 • 定积分的计算 • 定积分的应用 • 定积分的物理应用 • 定积分的概念发展
01
定积分的概念
b
b
c
c
b
b
b
c
b
f (x)dx。
O
a
c
b
x
例1：利用定积分的定义,计算
的值.
1
0
x 3 dx
即
b a
a
b
ba f ( x)dx lim f (i ) n n i 1
n
a
b
lim f (x)dx f ( i)xi。
0
i 1
n
积分上限
a f ( x )dx I lim f ( i )xi 0 i 1
b
积分下限
n
被 积 函 数
性质 3 不论a，b，c的相对位置如何都有
a f (x)dx a f (x)dx c
y
b
c
b
f (x)dx。
y=f(x)
f (x)dx f (x)dx (x)dx。 a fa(x)dx a fa(x)dx(x)dxf(x)dx。 c a f c fc a f (x)dx
y yf (x)
b
a f (x)dx a f (x)dx c
O a b x
b
c
b
f (x)dx。
定积分的几何意义：
当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的 曲边梯形位于 x 轴的下方，
积分 f (x)dx 在几何上表示
a
b
y
上述曲边梯形面积的负值。
a
(1)分割
将区间[0,1]分为n等分:
y x2
分别过上述n-1个分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分 成n个小曲边梯形， 它们的面积记作：
153定积分的概念93050 35页PPT文档
b
m (b-a)af(x)dxM (b-a).
（此性质可用于估计积分值的大致范围）
2、
解：①将[0，1]n等分，
则xin 1i, xin 1i i1~n
②取ixi ni i1~n
③求和
n
f(i)xi
i1 en.n
in
n1(en1
2
en
... enn)
a
=
lim
n →0
n i =1
f (ξi )Δxi
积分下限
被
积
函
数
被积
积分
表 达 式
变 量
" " 为积分符号，函数f(x)称为被积
函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积 分变量，a称为积分下限， b称为积分上 限，区间[a,b]称为积分区间．
定积分的几何意义
（1）若 f(x)≥ 0,x∈ [a,b]，则
证明： b
n
kf(x)dx = lim
a
λ→0
kf(ξi )Δxi
i=1
n
=
k
lim
λ→ 0
i=1
f(ξi )Δxi
b
= k a f(x)d x
(3) 性质3
b
c
b
a f(x)dx=af(x)dx+c f(x)dx
(其中a<c<b)
对定积分的补充规定:
b
（1）当a=b时， a f(x)dx = 0
变速运动的路程
定积分的概念
设函数f (x)在区间[a,b]上有界．在区 间[a,b]内任意插入n-1个分点，
a = x 0< x 1< < x n -1< x n= b
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
定积分的相关名称：
———叫做积分号， y
f(x) ——叫做被积函数， f(x)dx —叫做被积表达式， x ———叫做积分变量， a ———叫做积分下限， O b ———叫做积分上限， [a, b] —叫做积分区间。
y f(x)
a
bx
新课讲解
积分上限
b
n
af(x )d x I l i0i m 1f(i) x i
b
c
b
af(x)d x af(x)d x cf(x)dx
y yf (x)
Oa
Ｃ bx
bf(x ) d x c 1f(x ) d x c 2f(x ) d x bf(x ) dx
a
a
c 1
c 2
新课讲解
性质 3 不论a，b，c的相对位置如何都有
b f ( x ) d x c f ( x ) d x b f ( x ) d x 。
如果当n∞时，S 的无限接近某个常数，
这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记作
b f ( x ) d x ， 即 b f ( x ) d x l n f i ( i ) x
aa
0 i 1
即 abf(x)dxlni m i n1b naf(i)
定积分的定义： 即 abf(x)dxlni m i n1b naf(i)
Slim x 0i1
f(
i)xln i m i n11 nf(
i)；
4.变速运动的路程
n
slimv( t 0i1
i)tln i m i n11 nv(
i)。
新课讲解
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲”:
分割---近似代替---求和---取极限
得到解决。
小 矩 形 面 积 和 S =i n 1f(i) xi n 1f(i)b na
153定积分的概念 (2)
湖南省长沙市一中卫星远程学校
知识复习
1.一般地，如果函数y=f(x)在某个区间I上的图像是一条连 续不断的曲线，那么我们就把它称为区间I上的连续函 数。
2.以直代曲求曲边梯形的面积的方法与步骤： （1）分割；（2）近似代替；（3）求和；（4）取极限。
3.曲边梯形的面积
n
a a a a a c c a c
Oa
c
bx
新课讲解
例1：利用定积分的定义,计算
1 x 3d x 0
的值。
此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢
湖南省长沙市一中卫星远程学校
aa c
Oa
bx
特 别 地 ， 当 a b 时 ， 有 b f ( x ) d x 0 、xa、xb 与 x 轴所围成的
曲边梯形位于 x 轴的下方，
积 分 a b f ( x ) d x 在 几 何 上 表 示 y yf (x)
上述曲边梯形面积的负值。
a
f (x)dx
a
b
新课讲解
定积分的几何意义：
当 f ( x ) 0 时 ， 积 分 b f ( x ) d 在 几 何 x 上 表 示 由 y = f ( x ) 、 a
xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y yf (x)
b f ( x ) d x c f ( x ) d x b f ( x ) d x 。
b
Sa[f(x)]dx
b
Sa[f(x)]dx
b
f
(x)dx．，
a
Oa
bx
bc b
a f ( x ) d x a S f ( x ) d x c f ( x
b f ( x ) d x c S f ( x ) d x b f ( x ) d x 。
aa c
yf (x)
探究
根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的 面积?
被
被
积
积分下限
积
积
分
函
表
变
数
达
量
式
新课讲解
说明：
(1) 定积分是一个数值，它只与被积函 数及积分区间有关，而与积分变量 的记法无关，即
b f ( x ) d x b f ( t ) d t b f ( u ) d u 。
aaa
（2）定义中区间的分法和 i 的取法是任意的.
(3)
b f(x)dx -
y
yf (x)
b
b
SS1S2af(x)dxag(x)dx
S1
b
y a
fg((xx))dx
b
S2
g(x)dx
a
O aa
bx
新课讲解
定积分的基本性质
性质1.
b
b
a kf( x )dx ka f(x)dx
性质2.
b
b
b
a[f(x)g(x)]dxa f(x)dxag(x)dx
新课讲解
性质3. 定积分关于积分区间具有可加性
aa c
y y=f(x)
b f b ( x f ) ( d x x ) d x c f c ( x f ) ( d x x b ) d f x ( x b ) f d b ( x x f ) ( d x c x ) 。 d f x ( 。 x ) d x b f ( x ) d x 。