2020高考绝对值函数最大值的最小值问题
2020年高考数学(文)母题题源解密23 不等式选讲(全国Ⅱ专版解析版)
专题23 不等式选讲【母题来源一】【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+. （1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集； （2）若()4f x ≥，求a 的取值范围. 【答案】（1）32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞.【分析】（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果； （2）利用绝对值三角不等式可得到()()21f x a ≥-，由此构造不等式求得结果. 【解析】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥； 综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭.（2）()()()()22222121211f x x a x a x ax a aa a =-+-+≥---+=-+-=-，当且仅当221a x a -≤≤时取等号，()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型. 【母题来源二】【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围． 【答案】（1）(,1)-∞；（2）[1,)+∞【解析】（1）当a =1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---．当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥．所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞． （2）因为()=0f a ，所以1a ≥．当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----． 所以，a 的取值范围是[1,)+∞．【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型． 【母题来源三】【2018年高考全国Ⅱ卷文数】设函数()5|||2|f x x a x =-+--． （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．【答案】（1）{|23}x x -≤≤；（2）(,6][2,)-∞-+∞．【解析】（1）当1a =时，24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤． （2）()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥．而|||2||2|x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立． 故()1f x ≤等价于|2|4a +≥． 由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥， 所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞．【命题意图】1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： （1）a b a b +≤+. （2） a b a c c b -≤-+-.（3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：; ; ax b c ax b c x a x b c +≤+≥-+-≥.2．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.3．主要考查逻辑推理能力、运算求解能力，考查分类讨论、数形结合思想方法，考查逻辑推理、数学运算等核心素养. 【命题规律】从近三年高考情况来看，此类知识点以解答题的形式出现，主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明、求最值问题等. 【方法总结】（一）解绝对值不等式的常用方法有：（1）公式法：对于形如|f (x )|>g (x )或|f (x )|<g (x )，利用公式|x|<a ⇔−a<x<a (a>0)和|x|>a ⇔x>a 或x<−a (a>0)直接求解不等式；（2）平方法：对于形如|f (x )|≥|g (x )|，利用不等式两边平方的技巧，去掉绝对值，需保证不等式两边同正或同负，即|f (x )|≥|g (x )|⇔f (x )2≥g 2(x )；（3）零点分段法：对于形如|f (x )|±|g (x )|≥a ，|f (x )|±|g (x )|≤a ，利用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解；（4）几何法：对于形如|x±a|±|x±b|≤c ，|x±a|±|x±b|≥c ，利用绝对值三角不等式的性质求解，即 ①定理1:如果a ，b 是实数，则|a+b|≤|a|+|b|，当且仅当ab ≥0时，等号成立.②定理2:如果a ，b ，c 是实数，那么|a−c|≤|a−b|+|b−c|，当且仅当(a−b )(b−c )≥0时，等号成立. ③推论1:||a|−|b||≤|a+b|. ④推论2:||a|−|b||≤|a−b|.（5）图象法：对于形如|f (x )|+|g (x )|≥a 可构造y=|f (x )|+|g (x )|−a 或y=|f (x )|+|g (x )|与y=a ，在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解或通过移项构造一个函数. （二）含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法：（1）分享参数法运用“max min ()(),()()f x a f x a f x a f x a ≤⇔≤≥⇔≥”可解决恒成立中的参数范围问题.求最值的思路：利用基本不等式和不等式的相关性质解决；将函数解析式用分段函数形式表示，作出函数图象，求得最值；利用性质“||||||||||||a b a b a b -≤±≤+”求最值.（2）更换主元法不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法.（3）数形结合法在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维和抽象思维各自的优势，可直接解决问题. （三）不等式的证明（1）比较法证明不等式最常用的是差值比较法，其基本步骤是：作差—变形—判断差的符号—下结论.其中“变形”是证明的关键，一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因式的积或配成几个代数式平方和的形式，当差式是二次三项式时，有时也可用判别式来判断差值的符号.个别题目也可用柯西不等式来证明.（2）基本不等式:如果a ，b>0，那么2a b+≥，当且仅当a=b 时，等号成立.用语言可以表述为:两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.（3）算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广):对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数，即12nn a a a n+++≥当且仅当a 1=a 2=…=a n 时，等号成立.1．（2020·山西省高三）已知函数()|1||2|f x x x a =++-． （1）若1a =，解不等式()4f x <；（2）对任意的实数m ，若总存在实数x ，使得224()m m f x -+=，求实数a 的取值范围．【答案】（1）35(,)22-（2）[2,1]-【分析】（1）分类讨论求解绝对值不等式，即可求得结果；（2）求得()f x 的值域以及224y m m =-+的值域，根据二次函数的值域是()f x 值域的子集，求参数的范围即可.【解析】（1）当1a =时，()4|1||2|4f x x x <⇒++-<，化为123x x <-⎧⎨>-⎩或1234x -≤≤⎧⎨<⎩或2214x x >⎧⎨-<⎩ 解得312x -<<-或12x -≤≤或522x <<， 3522x ∴-<<.即不等式()4f x <的解集为35(,)22-.（2）根据题意，得224m m -+的取值范围是()f x 值域的子集.2224(1)33m m m -+=-+≥又由于()1221f x x x a a =++-≥+，()f x ∴的值域为[|21|,)a ++∞故|21|3a +≤，21a ∴-≤≤. 即实数a 的取值范围为[2,1]-.【点睛】本题考查分类讨论求解绝对值不等式，以及由绝对值三角不等式求解绝对值函数的最小值，属综合性基础题.2．（2020·四川省泸县第二中学高三二模）已知函数()211f x x x =-++. （1）求不等式()2f x x ≤+的解集；（2）若函数()y f x =的最小值记为m ，设0a >，0b >，且有a b m +=.求1212a b +++的最小值. 【答案】（1）[]0,1（2【分析】（1）作出函数图象，数形结合即可得到答案；（2）32a b +=⇒9122a b +++=，()()112121212912a b a b a b ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭，在乘开，利用基本不等式即可. 【解析】（1）因为()3,1,12112,1,213,.2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-++=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩从图可知满足不等式()2f x x ≤+的解集为[]0,1.（2）由图可知函数()y f x =的最小值为32，即32m =. 所以32a b +=，从而9122a b +++=，从而()()112121212912a b a b a b ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()2122263391299a b a b ⎡⎡⎤+⎛⎫++=++≥+=⎢⎢⎥ ⎪++⎢⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣当且仅当()21212a b a b ++=++，即1114,22a b -==时，等号成立，∴1212a b +++ 【点睛】本题考查解绝对值不等式以基本不等式求最值的问题，是一道中档题.3．（2020·深圳市宝安中学（集团）高三月考）已知定义在R 上的函数()|1||2|f x x x =++-的最小值为a .（1）求a 的值.（2）若p ，q ，r 为正实数，且p q r a ++=，求证：2223p q r ++≥.【答案】(1)3；(2)证明见解析【分析】(1)根据绝对值的三角不等式求解即可. (2)根据三元的柯西不等式证明即可.【解析】(1)根据绝对值的三角不等式有()()12123x x x x ++-≥+--=. 当且仅当12x -≤≤ 时取等号.故3a =.(2)证明：由(1)有3p q r ++=.利用三元的柯西不等式有()()()22222222221119p q r p q r p q r ++=++++≥++=.故2223p q r ++≥【点睛】本题主要考查了绝对值的三角不等式与三元的柯西不等式运用,属于基础题. 4．（2020·江西省高三）已知函数()221f x x x =-+-. （1）求不等式()6f x <的解集；（2）若函数()f x 的最小值为m ，且实数a ，b 满足222a b m +=，求34a b +的最大值. 【答案】（1）()1,3-.（2）【分析】（1）首先将()f x 写成分段函数的形式，然后解出即可； （2）首先求出()min 1322f x f ⎛⎫==⎪⎝⎭，然后利用柯西不等式求解即可. 【解析】（1）()133,212211,2233,2x x f x x x x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=-+-=+<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩，()6f x <等价于12336x x ⎧≤⎪⎨⎪-+<⎩或12216x x ⎧<<⎪⎨⎪+<⎩或2336x x ≥⎧⎨-<⎩， 解得112x -<≤或122x <<或23x ≤<. 故不等式()6f x <的解集为()1,3-. （2）由（1）知()f x 在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()min 1322f x f ⎛⎫==⎪⎝⎭， 则223a b +=，故34a b +≤=(当且仅当a =b =)， 即34a b +的最大值为【点睛】本题考查的是含绝对值不等式的解法和利用柯西不等式求最值，考查了分类讨论的思想，属于基础题.5．（2020·山西省高三月考）已知函数()|1|2|2|)(R f x x x x =-+-∈，记()f x 得最小值为m . （1）解不等式()5f x ≤；（2）若2a b m +=，求22a b +的最小值. 【答案】（1）100,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）15. 【分析】（1）利用零点分段法，分1x <，12x ≤≤，2x >三种情况去绝对值，解不等式；（2）利用含绝对值三角不等式求得1m =，即21a b +=，方法一，利用柯西不等式2222(2)(12)()a b a b +≤++，求得22a b +的最小值，方法二，根据12a b =-，代入22a b + ，转化为关于b 的二次函数求最值.【解析】（1）53,1()3,1235,2x x f x x x x x -<⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩，原不等式可等价于5351x x -≤⎧⎨<⎩，或3512x x -≤⎧⎨≤≤⎩，或3552x x -≤⎧⎨>⎩ 解得：1003x ≤≤， 所以原不等式的解集为100,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）由（1）可知()122122f x x x x x x =-+-=-+-+-，()()122121x x x x ≥---+-=+-≥当且仅当2x =时等号成立，所以1m = 即21a b +=方法一 由柯西不等式得2222(2)(12)()a b a b +≤++2215a b ∴+≥， 当且仅当225a b ==时取等号方法二 由题意得12a b =-222222211(12)5415()555a b b b b b b +=-+=-+=-+≥当且仅当12,55a b ==时等号成立.【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法，以及含绝对值三角不等式的应用，柯西不等式求最值，意在考查转化与化归的思想，计算能力属于基础题型. 6．（2020·吉林省高三）已知函数()12f x x x =-+（1）在平面直角坐标系中作出函数()f x 的图象，并解不等式()2f x ≥； （2）若不等式()15f x x k +-≥-对任意的x ∈R 恒成立，求证：65k k+≥.【答案】（1）图象见解析，13x x ⎧≤-⎨⎩或}1x ≥；（2）证明见解析.【分析】（1）去掉绝对值号，根据一次函数的图象与性质，即可得到函数()f x 的图象，结合图象，即可求解不等式的解集；（2）不等式()15f x x k +-≥-对任意的x ∈R 恒成立，只需()min 51k f x x -≤⎡+-⎤⎣⎦，求得3k ≥，然后利用作差法，即可证得65k k+≥. 【解析】（1）由题意，函数()31,1121,0131,0x x f x x x x x x x -≥⎧⎪=-+=+<<⎨⎪-+≤⎩，在直角坐标系中作出函数()f x 的图象，如图所示：当13x =-时，可得()2f x =，当1x =时，可得()2f x =，所以根据图象可得解不等式()2f x ≥的解集为13x x ⎧≤-⎨⎩或}1x ≥.（2）由()12222222f x x x x x x +-=-+≥--=，当且仅当()()2220x x -≤，即01x ≤≤时取等号，所以()1f x x +-的最小值为2， 由不等式()15f x x k +-≥-对任意的x ∈R 恒成立， 所以只需()min 512k f x x -≤⎡+-⎤=⎣⎦，可得3k ≥，又由()()22365650k k k k k k k k---++-==≥，所以65k k +≥.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法和绝对值不等式恒成立问题，着重考查转化思想和数形结合思想的应用，属于中档试题.7．（2020·山西省高三）已知函数()12f x x x a =++-. （1）若1a =，解不等式()4f x <；（2）对任意的实数m ，若总存在实数x ，使得()224m m f x -+=，求实数a 的取值范围.【答案】（1）35,22⎛⎫-⎪⎝⎭（2）[]2,1- 【分析】（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，最后求并集得结果；（2）先根据绝对值三角不等式得()f x 值域，再根据二次函数性质得值域，最后根据两个值域关系列不等式，解得结果.【解析】（1）当1a =时，()4124f x x x <⇒++-<，化为123x x <-⎧⎨>-⎩或1234x -≤≤⎧⎨<⎩或2214x x >⎧⎨-<⎩， 解得312x -<<-或12x -≤≤或522x <<， ∴3522x -<<.即不等式()4f x <的解集为35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）根据题意，得224m m -+的取值范围是()f x 值域的子集.()2224133m m m -+=-+≥，又由于()1221f x x x a a =++-≥+，∴()f x 的值域为)21,a ⎡++∞⎣ 故213a +≤，∴21a -≤≤.即实数a 的取值范围为[]2,1-【点睛】本题考查分类讨论求解含绝对值不等式、绝对值三角不等式、方程恒有解问题，考查综合分析求解能力，属中档题.8．（2020·山西省太原五中高三月考）已知函数()1211f x x x =-+++（1）求不等式()8f x <的解集；（2）若x R ∀∈，函数()2log f x a ≥恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）8,23⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）(]0,8. 【分析】由题意可得()32141131x x f x x x x x +≥⎧⎪=+-<<⎨⎪-≤-⎩，然后分段解不等式可得答案,(2) x R ∀∈，函数()2log f x a ≥恒成立,则()2min log f x a ≥,分段求出函数()f x 的最小值，然后解出答案.【解析】由函数()321121141131x x f x x x x x x x +≥⎧⎪=-+++=+-<<⎨⎪-≤-⎩（1）当1x ≥时，()8f x <，即328x +<，得2x <，所以12x ≤<.当11x -<<时，()8f x <，即48x +<，得4x <，所以11x -<<.当1x ≤-时，()8f x <，即38x -<，得83x >-，所以813x -<≤-所以不等式()8f x <的解集为8,23⎛⎫- ⎪⎝⎭.(2) 若x R ∀∈，函数()2log f x a ≥恒成立,则()2min log f x a ≥ 由()32141131x x f x x x x x +≥⎧⎪=+-<<⎨⎪-≤-⎩，当1x ≥时，()325f x x =+≥，当11x -<<时，()43f x x =+>，当1x ≤-时，()33f x x =-≥所以()min 3f x =，则()2min 3log f x a =≥，可得08a <≤所以x R ∀∈，函数()2log f x a ≥恒成立，则实数a 的取值范围为(]0,8【点睛】本题考查解含绝对值的不等式，不等式恒成立求参数的范围，含绝对值的不等式关键是利用定义打开绝对值，属于中档题.9．（2020·全国高三）设函数()|2|f x x x =+-+，集合M 为不等式()0f x ＜的解集. （1）求集合M ；（2）当m ，n M ∈时，证明：3mn n ++.【答案】（1）{|x x <x >（2）证明见解析；【分析】（1）对x 分三类讨论去掉绝对值，解得结果再相并可得结果；（2）两边平方再作差比较可证不等式成立.【解析】（1）当x <((20x x -++++<，解得x <当3x <-((20x x ++++<， 解得x <当3x -时，原不等式化为((20x x +-++<，解得x >所以{|M x x =<x >.（2）欲证|3||mn m n +>+成立，只需证22(3)||)mn m n +>+成立.因为222222(3)|)339mn m n m n m n +-+=--+.()()2233m n =--.又由m ，n M ∈，得23m >，23n >.所以22(3)|)0mn m n +-+>，即22(3)||)mn m n +>+成立.所以|3|||mn m n +>+成立.【点睛】本题考查了分类讨论法解绝对值不等式，考查了比较法证明不等式，平方后再作差是解题关键，属于中档题.10．（2020·山西省高三）已知不等式23x x -<与不等式()20,x mx n m n R -+<∈的解集相同． （1）求m n -；（2）若(),,0,1a b c ∈，且ab bc ac m n ++=-，求222a b c ++的最小值．【答案】（1）1；（2）1．【分析】（1）解不等式|23|x x -<得出20(,)x mx n m n R -+<∈的解集，从而求得m ，n ；（2）根据题意，利用基本不等式求得222a b c ++的最小值．【解析】（1）当0x ≤时，不等式解集为空集；当0x >时，2323x x x x x -<⇔-<-<，即13x <<，所以1,3是方程20x mx n -+=的两根，所以10,930.m n m n -+=⎧⎨-+=⎩解得4,3.m n =⎧⎨=⎩所以1m n -=．（2）由（1）可知1ab bc ac ++=， 因为222a b ab +≥，222b c bc +≥，222a c ac +≥， 所以222222222222a b b c a c a b c +++++=++ 1ab bc ac ≥++=（当且仅当a b c === 所以222a b c ++的最小值为1．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，基本不等式的应用，属于中档题．11．（2020·重庆高三）已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|﹣3|x +1|，设f （x ）的最大值为M .（1）求M ；（2）若正数a ，b 满足3311a b +=Mab ，证明：a 4b +ab 443≥. 【答案】（1）M ＝3（2）证明见解析；【分析】（1）由f （x ）＝|2x ﹣1|﹣3|x +1|＝|2x ﹣1|﹣|2x +2|﹣|x +1|，结合绝对值不等式的性质和绝对值的几何意义，可得所求最大值；（2）由（1）可得3311a b +=3ab ，a 4b +ab 4＝ab （a 3+b 3）13=（3311a b +）（a 3+b 3），再由基本不等式即可得证.【解析】（1）函数f （x ）＝|2x ﹣1|﹣3|x +1|＝|2x ﹣1|﹣|2x +2|﹣|x +1|≤|2x ﹣1﹣2x ﹣2|﹣|﹣1+1|＝3，当x ＝﹣1时，f （x ）取得最大值3，即M ＝3；（2）证明：正数a ，b 满足3311a b+=3ab ， 故a 4b +ab 4＝ab （a 3+b 3）13=（3311a b +）（a 3+b 3）13=（1+13333a b b a++）13≥（）43=，当且仅当a ＝b = 故a 4b +ab 443≥.【点睛】此题考查了绝对值不等式，利用基本不等式证明不等式，属于中档题.12．（2020·福建省高三）已知函数()1f x x a x =-+-.（1）当0a =时，求不等式()1f x ≤的解集A .（2）设()32f x x ≤-的解集为B ，若A B ⊆，求这数a 的值. 【答案】（1）{|01}A x x =≤≤（2）12 【分析】（1）将0a =代入，则|||1|1x x +-，再利用绝对值不等式的性质即可得解；（2）问题等价于1122x a --在[0x ∈，1]上恒成立，由此建立关于a 的不等式组，解出即可． 【解析】（1）当0a =时，()|||1|f x x x =+-，即解不等式|||1|1x x +-，由绝对值不等式知，|||1||(1)|1x x x x +---=，当且仅当(1)0x x -时取等号，因此()1f x 的解集{|01}A x x =；（2）由A B ⊆，即[0x ∈，1]，不等式3()||2f x x -恒成立， 即3||12x a xx -+--，整理得1||2x a -， 故1122x a --在[0x ∈，1]上恒成立， 则1212a x a x ⎧-⎪⎪⎨⎪+⎪⎩在[0x ∈，1]上恒成立，得1212a a ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩， 故12a =． 【点睛】本题考查含绝对值、参数的不等式有解问题与基本不等式的应用，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想等，属于中档题.13．（2020·福建省高三）已知函数()12f x x x =-+-.（1）求不等式()3f x <的解集I ； （2）当a ，b ，c I ∈时，求证：11191111114333a b b c c a ++≤+++---.【答案】（1）{}03I x x =<<；（2）见解析.【分析】（1）采用分类讨论的方法，求出各段的范围，然后取并集，可得结果.（2）根据不等式2++≥≤a b a b ，化简式子，可证明该结果. 【解析】（1）当1x ≤时，原不等式化简为323-<x ，即01x <≤；当12x <≤时，原不等式化简为13<，恒成立，即12x <≤；当2x >时，原不等式化简为233x -<，即23x <<. 综上，原不等式的解集{}03I x x =<<.（2）当a ，b ，c I ∈时，a ，b ，c ，3a -，3b -，3c -均为正数， 令111111111333=+++++---T a b b c c a则≤T ()()()33394444+-+-+-≤++=a b b c c a T . 当且仅当32===a b c 时，取等号 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法以及基本不等式的应用，熟练使用分类讨论的方法（或零点分段法），同时善于观察，识记基本不等式的使用条件：一正，二定，三相等，属中档题.14．（2020·山西省高三）已知函数()2f x x =． (1)求不等式()1f x >的解集；(2)若正数,,a b c 满足24923a b c f ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，求149a b c ++的最小值． 【答案】（1）22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）1963． 【分析】(1)化简后根据绝对值中的零点将()f x 转换为分段函数，再求解即可.(2)代入可得()1491149493a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭，再根据柯西不等式求最小值即可. 【解析】(1)化简得321x x -->①当0x ≤时，()()323f x x x x =---=+，由()1f x >即31x +>，解得2x >-，又0x ≤，所以20x -<≤；②当03x <<时，()33f x x =-，由()1f x >，即231x ->，解得23x <，又02x <<，所以203x <<； ③当3x ≥时，()3f x x =--，不满足()1f x >，此时不等式无解；综上，不等式()1f x >的解集为22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭． (2)249233a b c f ⎛⎫++=+= ⎪⎝⎭， 所以()1491149493a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭∵,,0a b c >，∴由柯西不等式：上式((22222213⎡⎤⎛⎛⎡⎤⎢⎥=++⋅++ ⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎝⎝⎣⎦((213⎡≥⨯⨯⎢⎣()2119614933=++=. 当且仅当314a b c ===时，等号成立. 所以149a b c ++的最小值为1963. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解、柯西不等式求最小值的问题，属于中档题.15．（2020·山西省太原五中高三月考）已知函数()()0, 0f x x a x b a b =-++>>．（1）当1a b ==时，解不等式()2f x x <+；（2）若()f x 的值域为[)3,+∞，证明：()224281a b b a b +++≥+． 【答案】（1）{}02x x <<；（2）详见解析．【分析】（1）在1x <-，11x -≤<，1x ≥三种情况下，分别解不等式，最后取并集即可；（2）()f x x a x b a b =-++≥+，结合()f x 的值域为[)3,+∞，可知3a b +=．因此有()()1221a b a b ++≥=⇒++≥⎪⎩()()2218411a b a b ⎧++≥⎪⎨≥⎪+⎩，从而证明出题设不等式. 【解析】（1）当1a b ==时，不等式为112x x x -++<+，当1x <-时，不等式化为2223x x x -<+⇒>-，此时不等式无解； 当11x -≤<时，不等式化为220x x <+⇒>，故01x <<；当1x ≥时，不等式化为222x x x <+⇒<，故12x ≤<．综上可知，不等式的解集为{}02x x <<． （2）()f x x a x b a b =-++≥+，当且仅当x a -与x b +异号时，()f x 取得最小值a b +，∵()f x 的值域为[)3,+∞，且0a >，0b >，故3a b +=．()122a b ++≥=（当且仅当12a b =+=时取等号）， ∴()2218a b ++≥．又∵()1a b ++≥12a b =+=时取等号），∴()41a b +≤，∴()411a b +≥， ∴()224(1)91a b a b +++≥+， ∴()224281a b b a b +++≥+． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，考查了基本不等式的应用，属于中档题. 16．（2020·山西省高三）已知函数()()220f x x a x a a =-++>.（1）求不等式()3f x a ≥的解集；（2）若()f x 的最小值为()20b b ->【答案】（1）{0x x ≤或4}3a x ≥；（2）见解析 【分析】（1）首先根据题意得到()3,3,3,x a x a f x x a a x a x a x a -+<-⎧⎪=-+-≤≤⎨⎪->⎩，再对a 分类讨论解不等式即可.（2）首先根据函数()f x 的单调性得到22a b +=，再利用柯西不等式证明即可.【解析】（1）()3,3,3,x a x a f x x a a x a x a x a -+<-⎧⎪=-+-≤≤⎨⎪->⎩，①当x a <-时，由33x a a -+≥，解得x a <-；②当a x a -≤≤时，由33x a a -+≥得0a x -≤≤；③当x a >时，由33x a a -≥得43a x ≥. 综上可得不等式()3f x a ≥的解集为{0x x ≤或4}3a x ≥. （2）由()3,3,3,x a x a f x x a a x a x a x a -+<-⎧⎪=-+-≤≤⎨⎪->⎩，可知：当x a ≤时，()f x 为减函数，当x a >时，()f x 为增函数.所以当x a =时，()f x 取到最小值2a ，所以22a b =-，即22a b +=.== 当12a =，1b=时取等号.≤【点睛】本题第一问考查绝对值不等式的解法，第二问考查不等式的证明，熟练掌握柯西不等式为解题的关键，属于中档题.17．（2020·陕西省西安中学高三）已知,,a b c R +∈，x R ∀∈，不等式|1||2|x x a b c ---≤++恒成立.（1）求证:22213a b c ++≥（2）求证【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）先根据绝对值不等式求得|1||2|x x ---的最大值，从而得到1a b c ++≥，再利用基本不等式进行证明；（2）利用基本不等式222a b ab +≥变形得222()2a b a b ++≥，两边开平方得到新的不等式，利用同理可得另外两个不等式，再进行不等式相加，即可得答案.【解析】（1）∵|1||2||12|1x x x x ---≤--+=，∴1a b c ++≥.∵222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ac +≥，∴222222222a b c ab bc ac ≥++++，∴2222222333222()1a b c a b c ab bc ac a b c ++≥+++++=++≥， ∴22213a b c ++≥. （2）∵222a b ab +≥，()2222222()a ba ab b a b +≥++=+，即222()2a b a b ++≥||()22a b a b ≥+=+.)2b c ≥+)c a ≥+.)a b c ≥++≥【点睛】本题考查绝对值不等式、应用基本不等式证明不等式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和推理论证能力.18．（2020·江苏省高三）已知x ，y ，z 均为正数，且11131112x y z ++≤+++，求证：4910x y z ++≥． 【答案】详见解析【分析】由x ，y ，z 均为正数，运用柯西不等式和不等式的性质，即可得证；【解析】因为x ，y ，z 均为正数，所以1x +，1y +，1z +均为正数，由柯西不等式得()()()214191111(123)36111x y z x y z ⎛⎫++≥++=⎪+++++++⎡⎭⎤⎣⎦+⎝， 当且仅当222(1)4(1)9(1)x y z +=+=+时，等式成立．因为11131112x y z ++≤+++， 所以2(1)4(1)9(1)36243x y z +++++≥⨯=， 所以4910x y z ++≥．【点睛】本题考查不等式的证明，注意运用柯西不等式和不等式的性质，考查推理和运算能力，属于中档题．19．（2019·四川省高三月考）已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|﹣|x +1|． （1）求不等式f （x ）≤﹣1的解集M ；（2）结合（1），若m 是集合M 中最大的元素，且a +b ＝m （a ＞0，b ＞0），求+ 【答案】（1）1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）5【分析】(1)分段去不等式中的绝对值再求解即可. (2)根据(1)可得1m =,再根据柯西不等式求解最大值即可. 【解析】（1）不等式f （x ）≤﹣1即|2x ﹣1|﹣|x +1|≤﹣1，可得11211x x x ≤-⎧⎨-++≤-⎩或1121211x x x ⎧-⎪⎨⎪---≤-⎩＜＜或122111x x x ⎧≥⎪⎨⎪---≤-⎩， 解得：无解或13≤x 12＜或12≤x ≤1， 综上可得13≤x ≤1，即所求解集为[13，1]；（2）由（1）可得a +b ＝1（a ，b ＞0），由柯西不等式可得（2≤（32+42）（a +b ），即为（2≤25，可得≤5，当且仅当a 925=，b 1625=时取得等号，则5．【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解以及柯西不等式的运用,属于中等题型. 20．（2020·广东省高三月考） 已知函数()()20,0f x x a x b a b =-++>>. （1）当1a b ==时，解不等式()2f x x ≥-；（2）若函数()f x 的值域为[)2,+∞，求2242a b b a+的最小值. 【答案】（1）{3x x ≤-或}1x ≥-；（2）2.【分析】（1）可知所求不等式为122x x x -++≥-，然后分2x -≤、21x -<<、1x ≥三种情况解该不等式，即可得出原不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式可得()min 22f x a b =+=，然后将所求代数式变形为2222442222a b a b b a b a b a ⎛⎫⎛⎫+=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用基本不等式可求得2242a b b a +的最小值. 【解析】（1）根据题意得原不等式为122x x x -++≥-.当2x -≤时，则有122x x x ---≥-，解得3x ≤-，此时3x ≤-； 当21x -<<时，则有122x x x -++≥-，解得1x ≥-，此时11x -≤<； 当1x ≥时，则有122x x x -++≥-，解得13x ≥，此时1x ≥. 综上所述，不等式()2f x x ≥-的解集为{3x x ≤-或}1x ≥-； （2）()222f x x a x b x a x b a b =-++≥---=+， 当且仅当()()20x a x b -+≤时等号成立，0a >，0b >，函数()y f x =的值域为[)2,+∞，即22a b +=.()2222224442222222a b a b a b a b b a b a b a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+++-=+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22222a b ≥=+-=，当且仅当21a b ==时取等号，因此，2242a b b a+的最小值为2.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用基本不等式求最值，涉及绝对值三角不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.21．（2020·宁夏回族自治区银川一中高三）已知()12f x x x =-+-. （1）求使得()2f x >的x 的取值集合M ；（2）求证：对任意实数a ，()0b a ≠，当R x C M ∈时，()a b a b a f x ++-≥恒成立. 【答案】（1）12x x ⎧<⎨⎩或52x ⎫>⎬⎭；（2）见解析 【分析】（1）利用|1||2|x x -+-的几何意义，表示数轴上的x 对应点到1和2对应点的距离之和，分析即得解.（2）把||||||()a b a b a f x ++-≥，转化为()||||||a b a b f x a ++-≤，利用绝对值的性质求得||||||a b a b a ++-得最小值即得解.【解析】（1）由()2f x >，即|1||2|2x x -+->.而|1||2|x x -+-表示数轴上的x 对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上满足|1||2|2x x -+-=的点的坐标为12和52， 故不等式|1||2|2x x -+->的解集为15{|}22x x <>或.（2）证明：要证||||||()a b a b a f x ++-≥，只需证()||||||a b a b f x a ++-≤，∵||||||2||a b a b a b a b a ++-≥++-=，当且仅当()()0a b a b +-≥时取等号，∴||||2||a b a b a ++-≥由（1），当R x C M ∈时，()2f x ≤∴||||()||a b a b f x a ++-≤∴原命题成立..【点睛】本题考查了绝对值不等式得解集及不等式证明，考查了学生综合分析，转化与划归，逻辑推理得能力，属于中档题.22．（2020·河南省高三三模）已知是a ，b ，c 正实数，且21a b c ++=.()1求111abc++的最小值；()2求证：22216a b c ++≥.【答案】()16+；()2证明见解析.【分析】()1根据a ，b ，c 是正实数，且21a b c ++=，可得()1111112a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭，然后利用基本不等式求出111a b c++的最小值即可；()2由柯西不等式可得()()()22222221122a b c a b c ++++≥++，再结合21a b c ++=，即可证明22216a b c ++≥成立. 【解析】()121a b c ++=，∴()11111122b a c a b ca b c a b c a b a⎛⎫++=++++=+++ ⎪⎝⎭ 246a c bc b c+++≥+当且仅当a b ==时，等号成立.又由21a b c ++=，∴a b ==，c =时，等号成立，即111a b c++的最小值为6+. ()2由柯西不等式可得()()()222222211221a b c a b c ++++≥++=即2221 6a b c ++≥当且仅当112a b c==时，等号成立.又由21a b c ++=，∴13c =，16a b ==时，等号成立.∴22216a b c ++≥成立.【点睛】本题考查利用综合法证明不等式，基本不等式和柯西不等式的运用，考查转化思想，属于中档题. 23．（2020·江西省高三三模）已知()|||1|.f x k x x =+- （Ⅰ）若2k =，解不等式()5f x ≤.（Ⅱ）若关于x 的不等式()|1||22|f x x x ≤++-的充分条件是1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，求k 的取值范围.【答案】（Ⅰ）4,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）(],2-∞. 【分析】（Ⅰ）分区间讨论，去掉绝对值号即可求解；（Ⅱ）由题意可转化为11x x k x ++-≤在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，根据绝对值不等式可求出11112x x x x x x++-++-≥=，即可求解. 【解析】（Ⅰ）若2k =，不等式()5f x ≤可化为215x x +-≤. 当0x <时，()215x x ---≤，即43x ≥-，∴403x -≤<； 当01x ≤<时，()215x x --≤，即4x ≤，∴01x ≤<； 当1x ≥时，()215x x +-≤，即2x ≤，∴12x ≤≤.故不等式的解集为4,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（Ⅱ）关于x 的不等式()122f x x x ≤+++在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，即1221k x x x x ≤+++--在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，∴11x x k x ++-≤在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，∵11112x x x x x x++-++-≥=，等号在1x +，1x -同号时等号成立，所以，所求实数k 的范围是(],2-∞.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，不等式恒成立求参数取值范围，分类讨论思想，转化思想，属于中档题.24．（2020·河北省高三）已知a ，b ，c 为正实数，且a+b+c=1.（Ⅰ）证明：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （Ⅱ）证明：32a b c b c a c a b ++≥+++. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.【分析】（Ⅰ）每个式子通分后把1用a b c ++代换后分子应用基本不等式可证结论；（Ⅱ）变形111a b c a b c a b c a b c b c a c a b b c a c a b ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，三个分式中分子a b c ++提取出来并变为()()()12b c a c a b ⎡⎤+++++⎣⎦，即原不等式左边()()()111132b c a c a b b c a c a b ⎛⎫⎡⎤=+++++++- ⎪⎣⎦+++⎝⎭，再用柯西不等式可证得结论．【解析】（Ⅰ）1111111118a b c b c a c a b a b c a b c a b c ---+++⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=⋅⋅=⋅⋅≥=⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当“a=b=c ”时取等号； （Ⅱ）111a b c a b c a b c a b c b c a c a b b c a c a b ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()111132b c a c a b b c a c a b ⎛⎫⎡⎤=+++++++- ⎪⎣⎦+++⎝⎭22113333222≥+-=⨯-=， 当且仅当“a =b =c ”时取等号.【点睛】本题考查用基本不等式和柯西不等式证明不等式成立，解题关键是要凑出基本不等式和柯西不等式的形式，然后才可得出结论，掌握基本不等式和柯西不等式是解题．25．（2020·南昌市新建一中高三）已知函数()21f x x x =---，函数()421g x x x m =---+-． （1）当()0f x >时，求实数x 的取值范围；（2）当()g x 与()f x 的图象有公共点时，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（2）[)1,+∞．【分析】（1）去绝对值，转化为分段函数，解不等式即可；（2）函数()y g x =与()y f x =的图象有公共点，则方程()()f x g x =有解，利用参变量分离法得出224m x x =-+-有解，利用绝对值三角不等式可求得m 的取值范围.【解析】（1）当()0f x >时，即21x x ->+. 当2x ≥时，则21x x ->+，此时x ∈∅； 当2x <时，则21x x ->+，解得12x <，此时12x <. 综上所述，实数x 的取值范围为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭； （2）因为函数()421g x x x m =---+-与函数()y f x =的图象有公共点， 则42121x x m x x ---+-=---有解．即224m x x =-+-有解，由绝对值三角不等式得()24242x x x x -+-≥---=，所以22m ≥，m 1≥． 所以当()y g x =与()y f x =的图象有公共点时，实数m 的取值范围为[)1,+∞．【点睛】本题考查解绝对值不等式，以及函数图象有交点的问题，考查绝对值三角不等式以及分类讨论思想的应用，属于中档题．26．（2020·四川省高三三模）已知函数()||f x x a =-. （1）当1a =时，求不等式11()x f x +>的解集； （2）设不等式|21|()x f x x -+的解集为M ，若1,12M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）(0,1)(1,)⋃+∞；（2）{1}.【分析】（1）将1a =代入，通过讨论x 的范围，去掉绝对值，解各个区间上的x 的范围，取并集即可； （2）问题转化为||1x a x -≤-+，求出x 的范围，得到关于a 的不等式组，解出即可. 【解析】（1）1a =时，111|1|(1)|1|x x x x x +>⇔+>-≠-111x x x >⎧⇔⎨+>-⎩或111x x x <⎧⎨+>-⎩，解之得：1x >或01x <<∴不等式的解集为(0,1)(1,)⋃+∞ （2）不等式的解集为M ，且1,12M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，依题意不等式21x x a x -+-≤在1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，∴210x -≥，∴|21|()21||x f x x x x a x -+≤⇔-+-≤||111x a x x x a x ⇔-≤-+⇔-≤-≤-+112a a x ≤⎧⎪∴⎨+≤⎪⎩，当1a >时，M 为∅，显然不满足1,12M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦； 当1a ≤时，1,2a M +⎛⎤=-∞ ⎥⎝⎦1,12M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，112a +∴≥即1a ≥，1a综上，a 的取值范围为{1}.【点睛】本题主要考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，属于中档题. 27．（2020·福建省高三）已知函数()212f x x x =--+，()221g x x m x =-++. （1）求不等式()2f x <的解集；（2）若存在1x ，2x ∈R ，使得()()120f x g x +=，求m 的取值范围. 【答案】（1）{}15x x -<<；（2）73,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据分类讨论的方法，讨论2x -≤，122x -<<，12x ≥三种情况，分别求解，即可得出结果；（2）根据题意，先得到A B ⋂≠∅，其中集合(){},A y y f x x ==∈R ，(){},B y y g x x ==-∈R ，根据绝对值三角不等式，分别求出A ，B ，再由集合间的关系，即可求出结果. 【解析】（1）因为()2f x <，2,2122,x x x ≤-⎧⇔⎨-+++<⎩或12,22122,x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+--<⎩或1,22122x x x ⎧≥⎪⎨⎪---<⎩2,1,x x ≤-⎧⇔⎨>⎩或12,21,x x ⎧-<<⎪⎨⎪>-⎩或1,25x x ⎧≥⎪⎨⎪<⎩ x ⇔∈∅或112x -<<或15152x x ≤<⇔-<<， 所以()2f x <的解集为{}15x x -<<.（2）因为存在1x ，2x ∈R ，使得()()12f x g x =-成立，所以A B ⋂≠∅，其中集合(){},A y y f x x ==∈R ，(){},B y y g x x ==-∈R . 因为()1212222f x x x x x =--+=--+ 11222x x x =-+--+ ()150222x x ⎛⎫≥---+=- ⎪⎝⎭，当且仅当12x =时，“=”成立， 所以52A y y ⎧⎫=≥-⎨⎬⎩⎭.因为()()2221g x x m x -=--++()222121x m x m ≤---+=-+， 当且仅当()()22210x m x -+≤时，“=”成立， 所以{}21B y y m =≤-+ 所以5212m -+≥-，即5212m +≤，即552122m -≤+≤， 解得7344m -≤≤，所以m 的取值范围为73,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，以及绝对值三角不等式求函数的最值问题，属于常考题型. 28．（2020·青海省高三）设函数()21|1|f x x x =---. （1）求不等式()3f x <的解集；（2）若方程2()f x x ax =+有两个不等实数根，求a 的取值范围.【答案】（1）(,3)-∞；（2）()()03-∞⋃+∞，，. 【分析】（1）函数()f x 写成分段函数的形式，分类讨论不等式的解集取并集即可；（2）方程2()f x x ax=+有两个不等实数根等价于2211x x x a x-+---=有两个不等实数根，利用基本不等式求出当x ＜0时23x x--+的范围，然后数形结合求出a 的取值范围. 【解析】（1）321()21|1|1x x f x x x x x -≤⎧=---=⎨>⎩，，，∵()3f x <，∴3231x x -<⎧⎨≤⎩或31x x <⎧⎨>⎩，∴1x ≤或13x <<，即3x <，∴不等式的解集为(,3)-∞；（2）方程2()f x x ax =+，即221|1|x x x ax ---=+，显然0x =不是方程的根，故2211x x x a x-+---=，令[)()()211211()23001x x x x x g x x x x x ⎧-∈+∞-+---⎪==⎨--+∈-∞⋃⎪⎩，，，，，， 当x ＜0时，22333x x x x ⎛⎫--+=-++≥ ⎪-⎝⎭，当且仅当x = 作出()g x 的图象，如图所示：∵方程2()f x x ax =+有两个不等实数根，∴由图象可知()()03a ∈-∞⋃+∞，，. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法、根据方程的根的个数求参数的取值范围、分段函数的图象与性质，属于中档题.29．（2020·贵州省高三）设函数()16f x x x a =++--.（1）当2a =时，求不等式()0f x ≤的解集；（2）若()23f x a ≥-，求a 的取值范围.【答案】（1）5722x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）4,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 【分析】（1）分类讨论x 的值，解不等式()0f x ≤即可；（2）利用绝对值三角不等式得出()min f x ，再解不等式()min 23f x a ≥-，即可得出a 的取值范围.【解析】（1）当2a =时，()|1||2|6f x x x =++--当1x <-时，()(1)(2)625f x x x x =-+---=--当12x -≤≤时，()1(2)63f x x x =+---=-当2x >时，()12627f x x x x =++--=-则()25,13,1227,2x x f x x x x --<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩()0f x ≤等价于1250x x <-⎧⎨--≤⎩或1230x -≤≤⎧⎨-≤⎩或2270x x >⎧⎨-≤⎩ 解得5722x -≤≤，则不等式()0f x ≤的解集为5722x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭. （2）要使()23f x a ≥-，只需()min 23f x a ≥-即可.又()1616f x x x a a =++--≥+-，且当()()10x x a +-≤时等号成立.∴()min 1623f x a a =+-≥-，则123a a +≥+当230a +≤，即32a ≤-时，123a a +≥+恒成立 当230a +>，即32a >-时，()22123a a +≥+，得231080a a ++≤ 故423a -≤≤-，从而3423a -<≤- 综上，4,3a ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查了分类讨论解绝对值不等式以及求绝对值不等式中参数的范围，属于中档题. 30．（2020·重庆高三）已知函数()22f x x x =+-的最小值为m .（1）求m 的值；（2）若实数a ，b 满足22a b m +=，求221112a b +++的最小值. 【答案】（1）2m =；（2）45【分析】（1）由绝对值三角不等式可得()()222f x x x x x ≥+--=+≥，即可得解；（2）由柯西不等式可得()222221112(11)12a b ab ⎛⎫++++≥+ ⎪++⎝⎭，结合222a b +=即可得解. 【解析】（1）由题意()()2222f x x x x x x x x =++-≥+--=+≥，当且仅当0x =时等号成立，故2m =；（2）由题意222a b +=， 由柯西不等式得()222221112(11124)a b a b ⎛⎫++++≥+⎪++⎭=⎝， 当且仅当232a =，212b =时，等号成立， ∴222211441235a b a b +≥=++++， 故221112a b +++的最小值为45. 【点睛】本题考查了绝对值三角不等式与柯西不等式的应用，属于中档题.31．（2020·广州市天河外国语学校高三月考）已知函数()123f x x x =--+.（1）求不等式()1f x <的解集；。
最新高考数学练习题目详解34绝对值常考题型的解法
【知识要点】一、去绝对值常用的有两种方法.方法一：公式法 0||000x x x x x x ì>ïï==íï-<ïî方法二：平方法 如：||x a = 所以22x a =.（平方时必须保证两边都是非负数） 二、||x a >||x a x a x a a x a ?<-<?<<或三、重要绝对值不等式：||||||||||||a b a b a b -≤-≤+使用这个不等式可以求绝对值函数的最值，先要确定是使用左边还是右边，如果两个绝对值中间是“-”号，就用左边，如果两个绝对值中间是“+”号，就使用右边.再确定中间的“±”号，不管是“+”还是“-”，总之要使中间是常数.四、解绝对值不等式常用的方法是零点讨论法和数形结合法.五、求绝对值()|||x b |f x x a =+±+的最值，常用重要绝对值不等式求解，或者利用数形结合求解. 【方法讲评】【例1】已知关于错误！未找到引用源。
的不等式：错误！未找到引用源。
的整数解有且仅有一个值为2． （1）求整数错误！未找到引用源。
的值；（2）在（1）的条件下，解不等式：错误！未找到引用源。
．(2)即解不等式错误！未找到引用源。
【点评】解含一个绝对值的不等式，一般利用公式法解答，解答含两个绝对值的不等式，一般利用零点讨论法.【反馈检测1】已知函数2()|1|f x x =-. （Ⅰ）解不等式()22f x x ≤+；（Ⅱ）设0a >，若关于x 的不等式()5f x ax +≤解集非空，求a 的取值范围.【例2】已知函数()12f x x x =+-。
（Ⅰ）求不等式()6f x ≤-的解集；（Ⅱ）若存在实数x 满足()2log f x a =，求实数a 的取值范围.【解析】（Ⅰ）()1,1,1231,10,1,0.x x f x x x x x x x -<-⎧⎪=+-=+-≤≤⎨⎪->⎩则不等式()6f x ≤-等价于1,16x x <-⎧⎨-≤-⎩或10,316x x -≤≤⎧⎨+≤-⎩或0,1 6.x x >⎧⎨-≤-⎩解得5x ≤-或7x ≥.故该不等式的解集是{5x x ≤-，或}7x ≥. （Ⅱ）若存在实数x 满足()2log f x a =，即关于x 的方程()2log f x a =在实数集上有解，则2log a 的取值范围是函数()f x 的值域.由（Ⅰ）可得函数()f x 的值域是(],1-∞， ∴2log 1a ≤，解得02a <≤.【点评】对于形如||||ax b cx d e +++>的不等式，一般分三种情况分类讨论.注意讨论每一种情况时，要和讨论的标准求交集，最后的结果要求并集，即“小分类求交，大综合求并”. 学科.网【反馈检测2】已知函数()|21||23|.f x x x =++- （1）求不等式6)(≤x f 的解集；（2）若关于x 的不等式()1f x a <-的解集非空，求实数a 的取值范围.【例3】已知函数()|1||3|f x x x =-++. (1)求x 的取值范围,使()f x 为常数函数.(2)若关于x 的不等式()a 0f x -≤解集不是空集,求实数a 的取值范围.(2)方法一:如图,结合(1)知函数()f x 的最小值为4,∴实数a 的取值范围为4a ≥.方法二: |1||3||x 1(x 3)|x x -++≥--+ ∴|1||3|4x x -++≥,【点评】（1）关于x 的不等式()0f x a -≤解集不是空集，即关于x 的不等式()0f x a -≤有实数解，即至少存在一个实数使得不等式成立，所以它是有解问题.即左边绝对值函数的最小值小于等于a.（2）不等式的恒成立和存在性问题有时很容易弄混淆，所以要理解清楚.()f x a £恒成立等价于max (x)f a £，()f x a £有解等价于min (x)f a £，()f x a ³恒成立等价于min (x)f a ³，()f x a ³有解等价于max (x)f a ³.【反馈检测3】已知函数()|2||23|f x x a x =-++，()|1|2g x x =-+. （1）解不等式|()|5g x <；（2）若对任意的1x R ∈，都有2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围.高中数学常考题型解法归纳及反馈检测第34讲：绝对值常考题型的解法参考答案【反馈检测1答案】（Ⅰ）{|13}x x -≤≤；（Ⅱ）[4,]+∞.【反馈检测1详细解析】（Ⅰ）()22f x x ≤+，即2|1|22x x -≤+，所以22122,1(22),x x x x ⎧-≤+⎪⎨-≥-+⎪⎩由2122x x -≤+，解得13x -≤≤；而21(22)x x -≥-+的解集为R . 所以原不等式的解集为{|13}x x -≤≤.【反馈检测2答案】（1）}21|{≤≤-x x ；（2）3a <-或5a >. 【反馈检测2详细解析】（1）原不等式等价于313222(21)(23)6(21)(23)6x x x x x x ⎧⎧>-≤≤⎪⎪⎨⎨⎪⎪++-≤+--≤⎩⎩或或12(21)(23)6x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--≤⎩ 解得322x <≤或1322x -≤≤或112x -≤<-即不等式的解集为}21|{≤≤-x x（2）4|)32()12(||32||12|=--+≥-++x x x x4|1|>-∴a 3a ∴<-或5a >.【反馈检测3答案】（1）(2,4)-（2）1a ≥-或5a ≤-.高中数学公式及常用结论大全1. 元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.2.德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.3.包含关系A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=4.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n –2个.6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<⇔|()|22M N M Nf x +--<⇔()0()f x N M f x ->-⇔11()f x N M N >--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价0)()(21<k f k f ,或0)(1=k f 且22211k k a b k +<-<,或0)(2=k f 且22122k abk k <-<+.9.闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，若[]q p a bx ,2∈-=，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a=-=； []q p abx ,2∉-=，{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时，若[]q p a b x ,2∈-=，则{}min ()min (),()f x f p f q =，若[]q p a bx ,2∉-=，则{}max ()max (),()f x f p f q =，{}min ()min (),()f x f p f q =.10.一元二次方程的实根分布()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(，则（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n>⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或()0()0f m af n =⎧⎨>⎩或()0()0f n af m =⎧⎨>⎩； （3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩.12.真值表13.14.四种命题的相互关系15.充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件. （2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件.（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.17.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.18．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 19.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.20.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2ba x +=;两个函数)(a x f y +=与)(xb f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称. 21.若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称; 若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.22．多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性多项式函数()P x 是奇函数⇔()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数⇔()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=. (2)函数()y f x =图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=-()()f a b mx f mx ⇔+-=. 24.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. (3)函数)(x f y =和)(1x fy -=的图象关于直线y=x 对称.25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.26．互为反函数的两个函数的关系a b fb a f =⇔=-)()(1.27.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx fy +=-是])([1b x f ky -=的反函数. 28.几个常见的函数方程(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()xf x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠. (4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==. (5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+()(0)1,lim1x g x f x→==. 29.几个函数方程的周期(约定a>0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ；（2）0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ，或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x =+∈,则)(x f 的周期T=2a ；(3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ；(4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ；(6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a. 30.分数指数幂(1)m na=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.(2)1m nm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.31．根式的性质（1）na =.（2）当na =；当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.32．有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)rsr sa a aa r s Q +⋅=>∈.(2) ()(0,,)r srsa a a r s Q =>∈. (3)()(0,0,)r r rab a b a b r Q =>>∈.注： 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.34.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log m na a nb b m=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). 35．对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log aa a MM N N=-; (3)log log ()na a M n M n R =∈.36.设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42-=∆.若)(x f 的定义域为R ,则0>a ，且0<∆;若)(x f 的值域为R ,则0>a ，且0≥∆.对于0=a 的情形,需要单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广若0a >,0b >,0x >,1x a ≠,则函数log ()ax y bx = (1)当a b >时,在1(0,)a 和1(,)a +∞上log ()ax y bx =为增函数.(2)当a b <时,在1(0,)a 和1(,)a+∞上log ()ax y bx =为减函数.推论:设1n m >>，0p >，0a >，且1a ≠，则 （1）log ()log m p m n p n ++<. （2）2log log log 2a a a m nm n +<. 38. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)xy N p =+. 39.数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).40.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-. 41.等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈； 其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.42.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩；其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩. 43.分期付款(按揭贷款)每次还款(1)(1)1nn ab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ).44．常见三角不等式 (1)若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<. (2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥. 45.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=. 46.正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩47.和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ=). 48.二倍角公式sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-. 49. 三倍角公式3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππθθθθθθ=-=-+.3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππθθθθθθ=-=-+.323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθππθθθθθ-==-+-.50.三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω=. 51.正弦定理212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩2sin sin sin a b cR A B C===. 52.余弦定理2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.53.面积定理(1)111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. (2)111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)OAB S ∆=54.三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 55. 简单的三角方程的通解sin (1)arcsin (,||1)k x a x k a k Z a π=⇔=+-∈≤.s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=⇔=±∈≤. tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=⇒=+∈∈.特别地,有sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=⇔=+-∈.s cos 2()co k k Z αβαπβ=⇔=±∈. tan tan ()k k Z αβαπβ=⇒=+∈.56.最简单的三角不等式及其解集sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤⇔∈++-∈. sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈--+∈. cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z ππ>≤⇔∈-+∈. cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z πππ<≤⇔∈++-∈.tan ()(arctan ,),2x a a R x k a k k Z πππ>∈⇒∈++∈.tan ()(,arctan ),2x a a R x k k a k Z πππ<∈⇒∈-+∈.57.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ; (2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 58.向量的数量积的运算律： (1) a ·b= b ·a （交换律）; (2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 59.平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 60．向量平行的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则a b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=.61.a 与b 的数量积(或内积) a ·b =|a ||b |cos θ．a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 62.平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--. (4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +. 63.两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).64.平面两点间的距离公式,A B d =||AB AB AB =⋅=11(,)x y ，B 22(,)x y ).65.向量的平行与垂直设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则 A ||b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=.a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 66.线段的定比分公式设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+⇔12(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+）. 67.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++. 68.点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k .69.“按向量平移”的几个结论(1)点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+. (3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=. (5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则 （1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==. （2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=.（3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅.（4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=. （5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+. 71.常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>（4）柯西不等式 22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈ （5）b a b a b a +≤+≤-. 72.极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2； （2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广 已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+（1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大；当||y x -最小时,||y x +最小. （2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小；当||y x -最小时, ||xy 最大.73.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<； 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.74.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.75.无理不等式（1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩. （22()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或. （32()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩. 76.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩77.斜率公式2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.78.直线的五种方程(1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． (2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).(3)两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).(4)截距式1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、) (5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).79.两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠； ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 80.夹角公式 (1)2121tan ||1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π. 81. 1l 到2l 的角公式 (1)2121tan 1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π.82．四种常用直线系方程(1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数． (2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直直线系方程0Bx Ay λ-+=,λ是参变量． 83.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).84. 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域设直线:0l Ax By C ++=，则0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域是：若0B ≠，当B 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的上方的区域；当B 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下.若0B =，当A 与Ax By C ++同号时，表示直线l 的右方的区域；当A 与Ax By C ++异号时，表示直线l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.85. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域 设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是： 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分； 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分.86. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ). 87. 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----=1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数．88.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.89.直线与圆的位置关系直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA C Bb Aa d +++=.90.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .91.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=．①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线． (2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;②斜率为k 的圆的切线方程为y kx =±92.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.93.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式)(21c a x e PF +=，)(22x ca e PF -=.94．椭圆的的内外部(1)点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ⇔+<.(2)点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y a b⇔+>.95. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b+=.(2)过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b +=.(3)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A aB b c +=.96.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.97.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->.(2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b⇔-<.98.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a by ±=.(2)若渐近线方程为x a by ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222b y a x .(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222by a x（0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.99. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b -=.(2)过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y ya b-=. (3)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.100. 抛物线px y 22=的焦半径公式 抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+. 过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122. 101.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y py 或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中 22y px =.102.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线： (1)顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；(2)焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-； (3)准线方程是2414ac b y a--=.103.抛物线的内外部(1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>. (2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ⇔<->. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ⇔>->. (3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ⇔>>. (4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ⇔>->. 104. 抛物线的切线方程(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.(2)过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+.(3)抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =. 105.两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <. 当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =1212||AB x x y y ==-=-A ),(),,(2211y x B y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F b kx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）.107.圆锥曲线的两类对称问题（1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. （2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是22222()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B ++++--=++.108.“四线”一方程对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02y y+代y 即得方程 0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.109．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行.110．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行.111．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直.112．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直.115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b =b ＋a ．(2)加法结合律：(a ＋b )＋c =a ＋(b ＋c )． (3)数乘分配律：λ(a ＋b )=λa ＋λb ．116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 117.共线向量定理对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a =λb ．P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB =⇔(1)OP t OA tOB =-+.||AB CD ⇔AB 、CD 共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD =且AB CD 、不共线.118.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对,x y ,使p ax by =+． 推论 空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+， 或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++.119.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1k ≠时，若O ∈平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点共面；若O ∉平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面．C A B 、、、D 四点共面⇔AD 与AB 、AC 共面⇔AD x AB y AC =+⇔(1)OD x y OA xOB yOC =--++（O ∉平面ABC ）.120.空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝x a ＋y b ＋z c ．推论 设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OP xOA yOB zOC =++.121.射影公式已知向量AB =a 和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量.作A 点在l 上的射影'A ，作B 点在l 上的射影'B ，则''||cos A B AB =〈a ，e 〉=a ·e122.向量的直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则 (1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4)a ·b ＝112233a b a b a b ++；123.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.124．空间的线线平行或垂直设111(,,)a x y z =r ，222(,,)b x y z =r，则a b r r P ⇔(0)a b b λ=≠r r r r ⇔121212x x y y z zλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩；a b ⊥r r ⇔0a b ⋅=r r⇔1212120x x y y z z ++=.125.夹角公式设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则 cos 〈a ，b 〉.推论 2222222112233123123()()()a b a b a b a a a b b b ++≤++++，此即三维柯西不等式.126. 四面体的对棱所成的角四面体ABCD 中, AC 与BD 所成的角为θ,则2222|()()|cos 2AB CD BC DA AC BDθ+-+=⋅.127．异面直线所成角cos |cos ,|a b θ=r r=||||||a b a b ⋅=⋅r rr r（其中θ（090θ<≤oo）为异面直线a b ,所成角，,a b r r分别表示异面直线a b ,的方向向量）128.直线AB 与平面所成角sin||||AB marc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量).129.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,A B 、为ABC ∆的两个内角，则2222212sin sin (sin sin )sin A B θθθ+=+.特别地,当90ACB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=.130.若ABC ∆所在平面若β与过若AB 的平面α成的角θ,另两边AC ,BC 与平面α成的角分别是1θ、2θ,''A B 、为ABO ∆的两个内角，则222'2'212tan tan (sin sin )tan A B θθθ+=+.特别地,当90AOB ∠=时,有22212sin sin sin θθθ+=.131.二面角l αβ--的平面角cos||||m n arc m n θ⋅=或cos ||||m narc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）.132.三余弦定理设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=. 133. 三射线定理若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面角的棱所成的角是θ，则有22221212sin sin sin sin 2sin sin cos ϕθθθθθϕ=+- ;1212||180()θθϕθθ-≤≤-+(当且仅当90θ=时等号成立).134.空间两点间的距离公式 若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d =||AB AB AB =⋅=135.点Q 到直线l 距离h =(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a =PA ，向量b =PQ ). 136.异面直线间的距离||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离). 137.点B 到平面α的距离||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. 138.异面直线上两点距离公式d',d EA AF =.d ='E AA F ϕ=--）.(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m =,AF n =,EF d =).139.三个向量和的平方公式2222()222a b c a b c a b b c c a ++=+++⋅+⋅+⋅2222||||cos ,2||||cos ,2||||cos ,a b c a b a b b c b c c a c a =+++⋅+⋅+⋅140. 长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、,则有2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=222123sin sin sin 2θθθ⇔++=.（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 141. 面积射影定理'cos S S θ=.(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ).142. 斜棱柱的直截面已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则①1S c l =斜棱柱侧. ②1V S l =斜棱柱.143．作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行. 144．棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比． 145.欧拉定理(欧拉公式)2V F E +-=(简单多面体的顶点数V 、棱数E 和面数F).(1)E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n 的多边形，则面数F 与棱数E 的关系12E nF =； (2)若每个顶点引出的棱数为m ，则顶点数V 与棱数E 的关系：12E mV =. 146.球的半径是R ，则 其体积343V R π=, 其表面积24S R π=．147.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.(3) 球与正四面体的组合体: 棱长为a ,. 148．柱体、锥体的体积13V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.13V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.149.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++.150.分步计数原理（乘法原理）12n N m m m =⨯⨯⨯.151.排列数公式m n A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)． 注:规定1!0=.152.排列恒等式(1）1(1)m m n n A n m A -=-+;(2)1mmn n n A A n m-=-;(3)11m m n n A nA --=; (4)11n n n n n n nA A A ++=-;(5)11m m m n n n A A mA -+=+.(6)1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-.。
函数的最大值最小值问题
在( a,b )内可导，且有唯一驻点 x0 ．如果能根据实际 问题的性质可以断定 f (x) 确有最大（小）值，而且一
定在区间内部取得，那么 f (x0 ) 必为最大（小）值．
例 一房地产公司有 50 套公寓要出租.当月租金为 1 000 元时，公寓会全部租出去.当月租金每增加 50 元 时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月 需花费100 元的维修费.试问房租定为多少可获得最 大收入？
令
f
(x)
0 ，解得
x
1 2
；而
f
1 2
0，
f
(1)
1,
f
(0)
1,
f
1 2
1 2 p1
为最小值，故
x [0,1]
，原不等式
1 2 p1
xp
(1
x) p
1
成立。
第四节 函数的最大值 最小值问题
01
02
03
04
在很多学科领域与 实际问题中，
常遇到在一定条件 下
如何用料最省、成本最 低、时间最短、效益最
高等问题，
这类问题我们称为 最优化问题.
05
06
07
在数学上，它们归 结为
求某一个函数（称为目 标函数）在某个范围内
的最大值、
最小值问题（简称 为最值问题）．
y
y
y
oa
我们来看一下下面的几 幅图：
b x COoNaTENTS b x
oa
bx
通过观察可以发现，函数在[ a,b ]上的最大值和最小值， 只可能在区间内的极值点和区间端点处取得．因此，
由一道题目谈求含绝对值的函数最值问题的解法
解题宝典等，可能收到意想不到的效果.例6.已知a ,b ∈()0,+∞且a +b =1，求证：æèöø1+1a ⋅æèöø1+1b ≥9.证明：æèöø1+1a æèöø1+1b =æèöø1+a +b a æèöø1+a +b b =æèöø2+b a æèöø2+a b =4+2a b +2b a +1=5+2æèöøa b +b a ≥5+9，当且仅当a =b 时等号成立.这里将不等式中“1a ”“1b ”的分子“1”用“a +b ”来代替，通过化简得到a b +ba，然后利用基本不等式求得æèöø1+1a æèöø1+1b 的最值，证明不等式成立.例7.已知正数x ，y 满足x +3y =5xy ，求证：3x +4y ≥5.证明：因为x ,y 为正数，可将x +3y =5xy 等式两边同时除以5xy 得：x +3y5xy=1，即15y +35x=1，则3x +4y =1∙()3x +4y =æèçöø÷15y +35x ()3x +4y =135+3x 5y +12y 5x ≥135+125=5，当且仅当3x 5y =12y 5x ，即x =1,y =12时等号成立，故3x +4y ≥5，命题得证.我们首先将已知关系式变形，构造出常数“1”，再将“1”进行代换，化简3x +4y ，利用基本不等式求得3x +4y 的最小值，进而证明不等式成立.总之，“1”在解高中数学题中发挥着重要的作用.同学们在日常学习中，要注意多积累解题经验，总结与“1”有关的代数式，在解题时将其进行代换，合理进行恒等变换，便能有效地提高解题的正确率和速度.（作者单位：江苏省东海县石榴高级中学）函数最值问题一直是高考数学试题中的热点题目，近几年浙江省数学高考试题中多次出现含绝对值的函数最值问题.此类问题不仅考查了函数的图象和性质、处理绝对值的方法，还考查了求最值的方法，属于综合性较强的一类问题.解答此类问题的关键去掉绝对值符号，将问题转化为常规函数最值问题来求解.下面，笔者结合一道例题来谈一谈求解含绝对值的函数最值问题的方法.例题：已知a ∈R ，函数f (x )=||||||x +4x-a +a 在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是______.本题中的函数含有绝对值，为了将其转化为常规函数问题，我们可以从绝对值和函数两个角度来寻找解题的思路，有以下5种方法.方法一：分段讨论法此方法是解答含绝对值问题的常用方法，首先，将定义域划分为几个区间段，然后分别求出各个区间段上函数的表达式，根据函数的图象和性质讨论函数的最值.对于本题，可先求出对勾函数y =x +4x 在[1,4]上的值域，然后对a 进行分类讨论，去掉绝对值后再求每个区间段上函数的最大值，建立关系式，便可求得a 的取值范围.解：∵x ∈[1,4]，∴x +4x∈[4,5]，①当a ≥5时，f (x )=a -x -4x +a =2a -x -4x，函数f (x )的最大值2a -4=5，解得a =92，不符合题意，舍去；②当a ≤4时，f (x )=x +4x -a +a =x +4x≤5，符合题意；③当4≤a ≤5时，f (x )max =max{|4-a |+a ,|5-a |+a }，则{|4-a |+a ≥|5-a |+a ，|4-a |+a =5，或{|4-a |+a <|5-a |+a ，|5-a |+a =5，解得a =92或a <92.综上可得，a 的范围是(-∞,92].绝对值函数本质上是一个分段函数，可根据绝对值的定义去掉绝对值符号，将问题转化为分段函数的42解题宝典最值问题.但运用该方法解题，过程比较繁琐，容易出现重复和遗漏分类的情况.方法二：利用数轴利用数轴也是解答含绝对值问题的基本方法.在解题时，需利用绝对值的几何意义，将绝对值里面的式子看作是数轴上任意点到定点的距离，从而确定取.图1解：令x +4x=t ∈[4,5]，则f (t )=||t -a +a ，t ∈[4,5]，如图1所示，当a ≤0时，f (t )=||t -a +a =t ≤5成立；当0<a ≤t 时，f (t )=||t -a +a =||a -t +||a -0=t ≤5成立；当a >t 时，f (t )=||t -a +a =a -t +a ≤5恒成立，即a ≤4.5，则a 的范围是(-∞,92].这里首先确定t 的范围，将t 看作数轴上的任意一点，结合数轴找出f (t )的最值，使其小于或等于5，便可求得a 的取值范围.方法三：利用V 型函数V 型函数是一类常见的含绝对值的函数模型.在解题时，可将含绝对值函数转化为分段函数，借助函数的图象来分析函数的最值，将代数问题几何化，运用数形结合思想来解题.axyO 图2解：当f (x )取最大值时|t -a |取最大值，为5-a ，如图2，结合V 型函数图象可得：①当a ≤92时，f (x )max =|5-a |+a =5-a +a =5，符合题意；②当a >92时，f (x )max =|4-a |+a =a -4+a =5，∴a =92（矛盾），舍去；故a 的取值范围是(-∞,92].我们将含绝对值函数转换为分段函数，结合函数的图象便能快速求得a 的取值范围，这样可以获得事半功倍的效果.方法四：分离参数法运用分离参数法解题的基本思路是通过将参数进行分离，将问题转化为不等式恒成立问题来求解，在分离参数后求出函数的值域，验证取等号的条件，便可求出参数的取值范围.解：令x +4x=t ∈[4,5]，则问题可转化为g (t )=|t -a |+a 在t ∈[4,5]上的最大值是5，则问题等价于ìíî∀t ∈[4,5],|t -a |+a ≤5， ①∃t 0∈[4,5],|t 0-a |+a =5. ② 由①得∀t ∈[4,5], a -5≤t -a ≤5-a ，即a ≤t +52恒成立，所以a ≤æèöøt +52 min =92；由②知，当t 0=5时，|t 0-a |+a =5；综上所述a ≤92.我们先分析对勾函数y =x +4x在x ∈[1,4]上的值域，然后将其看成一个整体，解一次绝对值不等式即可使问题快速获解，这样避免了繁琐的分类讨论，能有效地提高解题的速度和准确性.方法五：以值代参本方法是通过用函数值来代替参数，使问题获解的方法.以值代参既起到了消参作用，又构建了变量与函数值之间的关系.解：令x +4x=t ∈[4,5]，则f (t )=|t -a |+a ，t ∈[4,5]，则f (t )的最大值为f (t )max =max{f (4),f (5)}，即ìíîf (4)=|4-a |+a =5，f ()5=|5-a |+a ≤5，或ìíîf (4)=|4-a |+a ≤5，f ()5=|5-a |+a =5，解得{a =4.5，a ≤5，或{a ≤4.5，a ≤5，则a 的取值范围是(-∞,92].我们借助函数值的范围，建立不等式，便求得参数的范围.运用以值代参方法解题,能获得出奇制胜的效果.含绝对值的函数最值问题是一类常考的题目，也是很多同学感觉困难的题目.因此，掌握一些解题的技巧是很有必要的.在解答含绝对值的最值问题时，同学们要注意从绝对值和函数两个角度，通过处理绝对值、分析函数的图象和性质来破解难题.（作者单位：浙江省诸暨市学勉中学）43。
高中函数最大值最小值的题型
高中函数最大值最小值的题型高中数学中的函数是一个非常重要的概念，在数学各个领域都有广泛的应用，本文就以函数的最大值最小值的为讨论的重点，来考虑如何解决函数最大值最小值的题型。
首先，让我们学习一些关于函数最大值最小值的基础知识：一个函数若满足一定条件，则它将可能具有一个最大值和一个最小值，分别称为函数的极大值和极小值。
极大值函数在定义域上的值大于等于其他点的值，极小值函数在定义域上的值小于等于其他点的值。
外，还有凸性函数和凹性函数，一个函数是凸的，就是在定义域的每一个不重叠的二分点的中间点上，函数的值都大于等于每一个分点上函数的值；而凹函数则相反，在定义域的每一个不重叠的二分点的中间点上，函数的值都小于等于每一个分点上函数的值。
其次，我们来考虑如何解决函数最大值最小值的问题：一是用微积分法来解决函数最大值最小值的问题：这是求解函数最大值最小值最常用的方法，它涉及到对函数凹凸性的判断，以及对函数的一阶导数和二阶导数的计算，并利用积分的定义和性质，对函数的极值点进行分析，最后确定函数最大值最小值的位置。
二是用函数图形法来解决函数最大值最小值的问题：函数图形法，即利用函数的图形特征，来推断函数的最大值最小值问题，其主要步骤包括先在x-y坐标轴上画出函数图形，观察函数图形的特征，比如函数是凸函数还是凹函数，然后根据变化范围确定函数最大值最小值的位置。
最后，我们来看一个关于函数最大值最小值的实际应用问题：已知函数f（x）=x2+2x-3，求该函数的极大值和极小值。
解：因为该函数是一个二次函数，其二阶导数f（x）=2，大于0，说明该函数是一个凸函数，所以f（x）的极大值在定义域内的极小值中，极小值在定义域内的极大值。
令f（x）=2x+2＝0，可得x=-1，此时函数f（x）=f（-1）=-2，故函数f（x）的极小值是-2，而f（x）的极大值可以继续用积分法求出，令f（x）的定积分为F（x），则F（x）=x3/3+x2-3x，此时F （1）=1/3+1-3= -2，故f（x）的极大值为-2。
绝对值函数最值及函数值范围问题
绝对值函数最值及函数值范围问题引言绝对值函数是数学中常见的一种函数形式。
本文将讨论绝对值函数的最值以及函数值范围的问题。
绝对值函数的定义绝对值函数是一种以正数表示非负数的函数形式。
它可以用如下的数学表达式表示：$$f(x) = |x|$$其中，$x$ 表示自变量，$f(x)$ 表示函数的值。
最值问题1. 绝对值函数的最大值绝对值函数 $f(x) = |x|$ 的最大值为正无穷大。
当 $x$ 趋向于正无穷大时，$f(x)$ 也趋向于正无穷大。
绝对值函数 f(x) = |x| 的最大值为正无穷大。
2. 绝对值函数的最小值绝对值函数 $f(x) = |x|$ 的最小值为零。
当 $x$ 等于零时，$f(x)$ 的取值为零。
绝对值函数 f(x) = |x| 的最小值为零。
函数值范围问题绝对值函数的函数值范围是指函数 $f(x)$ 可能取到的所有值的集合。
1. 函数值的非负范围对于绝对值函数 $f(x) = |x|$，所有的函数值均为非负数。
即函数值范围是 $[0, +\infty)$。
函数值范围为[0, +∞)。
2. 函数值的取值范围绝对值函数的取值范围是确定的，即绝对值函数的函数值可以是任何非负实数。
绝对值函数的函数值可以是任何非负实数。
结论绝对值函数的最值和函数值范围可以通过数学性质求得。
最大值为正无穷大，最小值为零，函数值范围为非负实数。
这些性质可以帮助我们理解绝对值函数的特点和行为。
绝对值函数的最值和函数值范围可以通过数学性质求得，最大值为正无穷大，最小值为零，函数值范围为非负实数。
2020年高考理科数学《不等式选讲》题型归纳与训练及答案解析
2020年高考理科数学《不等式选讲》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 解绝对值不等式例1、设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|.(1)解不等式f (x )＞3；(2)若f (x )＞a 对x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(－∞，0)∪(3，＋∞)；（2）(－∞，1).【解析】(1)因为f (x )＝|x －1|＋|x －2|＝⎪⎩⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,11,＜,23x x x x x所以当x ＜1时，3－2x ＞3，解得x ＜0；当1≤x ≤2时，f (x )＞3无解；当x ＞2时，2x －3＞3，解得x ＞3.所以不等式f (x )＞3的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞).(2)因为f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,1＜1,,23x x x x x 所以f (x )min ＝1.因为f (x )＞a 恒成立，【易错点】如何恰当的去掉绝对值符号【思维点拨】用零点分段法解绝对值不等式的步骤：(1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.题型二 利用绝对值的几何意义或图象解不等式例2、(1)若不等式|x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－174，－1＋174. 【解析】(1)∵|x －1|＋|x ＋2|≥|(x －1)－(x －2)|＝3，∴a 2＋12a ＋2≤3，解得－1－174≤a ≤－1＋174. 即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－174，－1＋174. 【易错点】绝对值的几何意义和如何把恒成立问题转化为最值问题【思维点拨】解含参数的不等式存在性问题，只要求出存在满足条件的x 即可；不等式的恒成立问题，可转化为最值问题，即f (x )<a 恒成立⇔a >f (x )max ，f (x )>a 恒成立⇔a <f (x )min .题型三 不等式的证明与应用例3、设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：(1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ； (2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．【答案】略.【解析】[证明] (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd 得(a ＋b )2>(c ＋d )2. 因此a ＋b >c ＋d .(2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2，即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .由(1)得a ＋b >c ＋d . ②若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2>(c ＋d )2，即a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd .因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2.因此|a －b |<|c －d |. 综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．【易错点】不等式的恒等变形.【思维点拨】分析法是证明不等式的重要方法，当所证不等式不能使用比较法且与重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．【巩固训练】题型一 解绝对值不等式1.不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________【答案】{x |x ≤－3或x ≥2}.【解析】原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，（x －1）＋（x ＋2）≥5 或⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <1，－（x －1）＋（x ＋2）≥5或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－2，－（x －1）－（x ＋2）≥5， 解得x ≥2或x ≤－3.故原不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}．2.已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围【答案】（1）{x |x ≤1或x ≥4}；（2）[－3,0]．【解析】(1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4；所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．3.设函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|＋a .(1)当a ＝－5时，求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )的定义域为R ，试求a 的取值范围.【答案】（1）(－∞，－2]∪[3，＋∞)；（2）a ≥－3.【解析】(1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|和y ＝5的图象，知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞).(2)由题设知，当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|＋a ≥0，即|x ＋1|＋|x －2|≥－a ，又由(1)知|x ＋1|＋|x －2|≥3， 所以－a ≤3，即a ≥－3.题型二 利用绝对值的几何意义或图象解不等式1.已知函数.（1）图中画出的图像；()123f x x x =+--()y f x =（2）求不等式的解集．【答案】（1）见解析（2）. 【解析】⑴如图所示：（2）()()()()+∞⋃⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞->∴><<<><≤∴<>>-≥<<<<-∴<>>-<<--≤∴<>>-≤>⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥-<<---≤-=5,1,331,解集为1x f ，5x 或3x 1或31x 综上，5x 或3x 23，3x 或5x 解得14x ，23x 当23x 1或31x 131x 或1x 解得1,23x ，23x 1当1x ，3x 或5x 解得1,4x ，1x 当1,x f 23x x,423x 12,3x 1x 4,x f2.不等式|x ＋1|－|x －2|>k 的解集为R ，则实数k 的取值范围是__________．【答案】(－∞，－3)【解析】解法一：根据绝对值的几何意义，设数x ，－1,2在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，则原不等式等价于P A －PB >k 恒成立．∵AB ＝3，即|x ＋1|－|x －2|≥－3.故当k <－3时，原不等式恒成立．解法二：令y ＝|x ＋1|－|x －2|，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ≤－1，2x －1，－1<x <2，3，x ≥2，()1f x >()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U U ，，，要使|x＋1|－|x－2|>k恒成立，从图象中可以看出，只要k<－3即可．故k<－3满足题意．题型三不等式的证明与应用1.已知a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1；求证：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8(1－a)(1－b)(1－c).【答案】略.【解析】证明：因为a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，所以要证原不等式成立，即证[(a＋b＋c)＋a][(a＋b＋c)＋b][(a＋b＋c)＋c]≥8[(a＋b＋c)－a][(a＋b＋c)－b][(a＋b＋c)－c]，也就是证[(a＋b)＋(c＋a)][(a＋b)＋(b＋c)][(c＋a)＋(b＋c)]≥8(b＋c)(c＋a)(a＋b).①因为(a＋b)＋(b＋c)≥2(a＋b)(b＋c)＞0，(b＋c)＋(c＋a)≥2(b＋c)(c＋a)＞0，(c＋a)＋(a＋b)≥2(c＋a)(a＋b)＞0，三式相乘得①式成立，故原不等式得证.2.设a、b、c、d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab＞cd，则a＋b＞c＋d；(2)a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件．【答案】略.【解析】证明(1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd得(a＋b)2＞(c＋d)2.因此a＋b＞c＋d.(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2，即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.由(1)得a＋b＞c＋d.②若a＋b＞c＋d，则(a＋b)2＞(c＋d)2，即a＋b＋2ab＞c＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a －b |＜|c －d |. 综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．3.设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.证明：(1)ab ＋bc ＋ac ≤13； (2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 【答案】略.【解析】(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1.所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13. (2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c ， 故a 2b ＋b 2c ＋c 2a＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.。
2020高考—函数(解答+答案)
（ii）若0<2a+1<2，即 1 a 1 ，则当x∈(0，2a+1)∪(2，+∞)时，g'(x)<0；当x∈(2a+1，
2
2
2)时，g'(x)>0.所以g(x)在(0，2a+1)，(2，+∞)单调递减，在(2a+1，2)单调递增.由于g(0)=1，
（1）若 f x x2 2x，g x x2 2x，D (， ) ，求 h(x)的表达式；
（2）若 f (x) x2 x 1，g(x) k ln x，h(x) kx k, D (0， ) ，求 k 的取值范围； （3）若
f (x) x4 2x2，g(x) 4x2 8 ，h(x) 4 t3 t x 3t4 2t2 (0 t 2)，
（ii）若a> 1 ，则f（lna）<0． e
由于f（–2）=e–2>0，所以f（x）在（–∞，lna）存在唯一零点．
由（1）知，当x>2时，ex–x–2>0，所以当x>4且x>2ln（2a）时，
f
(x)
x
e2
x
e2
a(x
2)
eln(2a) ( x
2)
a(x
2)
2a
0
．
2
故f（x）在（lna，+∞）存在唯一零点，从而f（x）在（–∞，+∞）有两个零点．
(1，+∞)单调递减.从而当 x=1 时，h(x)取得最大值，最大值为 h(1)=−1−c.
故当且仅当−1−c≤0，即 c≥−1 时，f(x)≤2x+c.
绝对值求最大值和最小值的例题
绝对值求最大值和最小值的例题绝对值求最大值和最小值的例题一、概念解释在数学中，绝对值是一个非常重要的概念。
它表示一个数距离零点的距离，无论这个数是正数或者负数。
绝对值通常用来表示距离的绝对量，它的定义如下：如果 x 是一个实数，那么 x 的绝对值表示为 |x|，它的计算公式如下：当x ≥ 0 时，|x| = x；当 x < 0 时，|x| = -x。
举例来说，-5 的绝对值是 |-5| = 5；而 5 的绝对值还是 5。
在实际问题中，经常会遇到需要对绝对值求最大值和最小值的情况，特别是在优化问题中，这个方法非常有用。
二、求最大值和最小值的例题接下来，我们通过例题来演示如何利用绝对值求最大值和最小值。
例题1：已知函数 f(x) = |2x - 3|，求 f(x) 的最大值和最小值。
解析：我们知道 |2x - 3| 表示一个关于 x 的带绝对值的函数。
要求最大值和最小值，可以考虑当 |2x - 3| 取得极值时的 x 值。
由于 |2x - 3| 的图像是关于 x 轴对称的，因此我们只需要考虑 |2x - 3| 在x ≥ 0 区间的情况。
当 2x - 3 ≥ 0 时，有 |2x - 3| = 2x - 3；当 2x - 3 < 0 时，有 |2x - 3| = -(2x - 3) = 3 - 2x。
我们可以得到两个函数：f1(x) = 2x - 3，x ≥ 0；f2(x) = 3 - 2x，x ≥ 0。
接下来，我们分别对 f1(x) 和 f2(x) 求导，找到导数为 0 的点，并判断极值的情况。
f1'(x) = 2；f2'(x) = -2。
由此我们可以知道，f1(x) 在x ≥ 0 时是单调递增的，而 f2(x) 在x ≥ 0 时是单调递减的。
f(x) = |2x - 3| 在x ≥ 0 区间上的最小值出现在 x = 0 处，最大值是 x 趋向无穷时的极限值。
经过计算和分析，我们可以得出最小值为 3，最大值为正无穷。
高考数学微专题含有绝对值函数的取值范围问题
变1：已知f (x) = x3 - 3x，对任意x1，x2 ? [0, 2],| f (x1) f (x2 ) |? c恒成立,求c的取值范围.
解：因为对任意x1，x2 ? [0, 2],| f (x1) f (x2 ) |? c恒成立, 所以 | f (x1) - f (x2 ) |max ? c, 即 f ( x )max - f ( x )min Ｎc, x [0, 2] 求导可知，f (x)max =f (- 1) = 2, f (x)min =f (1) = - 2,所以f (x)max - f (x)min = 4.
例1：已知函数f (x) =| x |,求f (x)的最小值.
1 为什么？
绝对值总是非负的？
正数的绝对值是它本身， 负数的绝对值是它的相反数， 2 0的绝对值是0.
为什么？
3 绝对值的定义
是什么？
一个数在数轴上所对应的点到 原点的距离叫做这个数的绝对值.
变1：已知函数f (x) =| x - 1| +| x - 4 |,求f (x)的最小值.
3 代数上如何
严谨表达？
变3：已知函数f (x) = 3 | x - 1| +2 | x - a |,求f (x)的最小值g(a).
解：因为f (x) ? 2 | (x 1) - (x - a) | +| x - 1|? 2 | a 1| +0 = 2 | a - 1|，且f (1)=2 | a - 1|， 所以f (x)的最小值是f (1)=2 | a - 1| .
=4
-
3 e3,所以4 4
3 e3 4
?
a
0.
处理不等式 恒成立
看几何意义
可转化为函数图像的上下关系
含有绝对值函数的取值范围问题
含有绝对值函数的取值范围问题在数学高考中，函数问题一直占有较大的分量，而绝对值函数是函数中较为困难的一例题：已知函数f(x)＝x|x－4|，x∈[0，m]，其中m>0.(1)当m＝2时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)的值域为[0，4]，求实数m的取值范围．变式1已知函数f(x)＝x|x－a|在[0，2]上的值域为[0，4]，求实数a的取值范围．变式2设函数f(x)＝x|x－a|，若对于任意的x1，x2∈[2 ，＋∞)，x1≠x2，不等式f（x1）－f（x2）＞0恒成立，求实数a的取值范围．x1－x2串讲1若函数f(x)＝x 2|x －a|在区间[0，2]上是增函数，求实数a 的取值范围．串讲2若不等式|x －2a|≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________________．(2018·南京二模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ax －1， x ≤0，x 3－ax ＋|x －2|，x ＞0的图象恰好经过三个象限，则实数a 的取值范围是________________．已知函数f (x )＝e x |x 2－a |(a ≥0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调减区间；(2)若方程f (x )＝m 恰好有一正根和一负根，求实数m 的最大值．答案：(1)f (x )的单调减区间为[－1＋2，1]，[－1－2，－1]；(2)4e2.解析：(1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎨⎧e x （x 2－1），|x |＞1，e x （1－x 2），|x |≤1.当|x |＞1时，f ′(x )＝e x (x 2＋2x －1)，由f ′(x )≤0，解得－1－2≤x ≤－1＋ 2.所以f (x )的单调减区间为[－1－2，－1)，3分 当|x |≤1，f ′(x )＝－e x (x 2＋2x －1)，由f ′(x )≤0，解得x ≤－1－2或x ≥－1＋2， 所以f (x )的单调减区间为[－1＋2，1]，4分综上：f (x )的单调减区间为[－1＋2，1]，[－1－2，－1].6分 (2)当a ＝0时，f (x )＝e x ·x 2，则f ′(x )＝e x ·x 2＋2x ·e x ＝e x x (x ＋2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－2，所以f (x )有极大值f (－2)＝4e 2，极小值f (0)＝0，当a ＞0时，f (x )＝⎩⎨⎧e x （x 2－a ），|x |＞a ，e x （a －x 2），|x |≤a .同(1)讨论得f (x )在(－∞，－a ＋1－1)上单调递增，在(－a ＋1－1，－a )上单调递减， 在(－a ，a ＋1－1)上单调递增，在(a ＋1－1，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．且函数y ＝f (x )有两个极大值点，9分f (－a ＋1－1)＝2e －a ＋1－1(a ＋1＋1)＝2e －a ＋1（a ＋1＋1）e.f (a ＋1－1)＝2ea ＋1－1(a ＋1－1)＝2e a ＋1（a ＋1－1）e.11分且当x ＝a ＋1时，f (a ＋1)＝e a ＋1(a 2＋a ＋1)＞ea ＋1(a ＋1－1)＞2ea ＋1（a ＋1－1）e.所以若方程f (x )＝m 恰好有正根，则m ＞f (a ＋1－1)(否则至少有两个正根)． 又方程f (x )＝m 恰好有一负根，则m ＝f (－a ＋1－1).13分令g (x )＝e －x (x ＋1)，x ≥1，则g ′(x )＝－x e －x ＜0，所以g (x )＝e －x (x ＋1)在[1，＋∞)上单调递减，即g (x )≤g (1)＝2e.等号当且仅当x ＝1时取到.14分所以f (－a ＋1－1)≤⎝⎛⎭⎫2e 2，等号当且仅当a ＝0时取到．且此时f (a ＋1－1)＝ 2ea ＋1－1(a ＋1－1)＝0，即f (－a ＋1－1)＞f (a ＋1－1)，所以要使方程f (x )＝m 恰好有一个正根和一个负根，m 的最大值为4e2.16分例题1答案：(1)[0，4]；(2)[2，2＋22]．解析：(1)当m ＝2时，f(x)＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，当x∈[0，2]时，f(x)单调递增，所以f(x)的值域为[0，4]．(2)由函数f(x)＝x|x －4|图象可知，当x>4时，令x|x －4|＝4，即x 2－4x －4＝0，解得x ＝2＋22，若函数f(x)的值域为[0，4]，所以实数m 的取值范围是[2，2＋22]．变式联想变式1答案：a ＝0或a ＝4.解析：(1)当a<0时，f(x)＝x(x －a)，f(2)＝2(2－a)＞4，显然不满足条件；(2)当a ＝0时，f(x)＝x 2，在[0，2]上的值域为[0，4]，满足条件；(3)当a>0时，①当0<a≤2时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 24－a 22＝a 24≤1，f(x)＝|x 2－ax|，f(0)＝0，f(2)＝|4－2a|＝4－2a ＜4，不满足条件；②当2<a<4时，f(x)＝－x 2＋ax ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋a 24≤a24＜4，不满足条件；③当a ＝4时，f(x)＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4≤4，满足条件；④当a>4时，f(x)＝－x 2＋ax ，f(2)＝－4＋2a>4，不满足条件． 综上所述，a ＝0或a ＝4. 变式2答案：(－∞，2]． 解析：作出函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x ≥a ，－x 2＋ax ，x ＜a ，的图象，当a 变化时，易得a 的取值范围为(－∞，2]． 说明：变式1和2都是抓住形如y ＝x|x －a|函数的图象特征，抓住图象关键，从而解决问题．串讲激活串讲1答案：(－∞，0]∪[3，＋∞)．解析：(1)当a≤0时，f(x)＝x 3－ax 2，显然在区间[0，2]上是增函数；(2)当a ＞0时，记g(x)＝x 3－ax 2，令g′(x)＝3x 2－2ax ＝0，解得x ＝0，x ＝2a 3，g(x)在(－∞，0)上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 3上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，＋∞上单调递增，又g(0)＝g(a)＝0，所以f(x)＝|g(x)|在(－∞，0)上单调递减，在⎝⎛⎭⎪⎫0，2a 3上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．要使f(x)在区间[0，2]上是增函数，只要2a3≥2，即a≥3.综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，0]∪[3，＋∞)．串讲2答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12. 解析：作出y ＝|x －2a|和y ＝12x ＋a －1的简图，依题意知应有2a≤2－2a ，故a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12.新题在线答案：(－∞，0)∪(2，＋∞)．解析：因为f(0)＝－1，x →＋∞时，f(x)→＋∞，所以，函数f(x)过第一、三象限，①若a ＜0，显然成立；②若a≥0，只需x ＞0时，f(x)min ＜0即可，即存在x ＞0，使得f(x)＜0分离参数，得⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋|x －2|x min ＜a ，易求得⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋|x －2|x min ＝2，所以，此时a ＞2，综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．。
含绝对值函数的最值问题.docx
专题三：含绝对值函数的最值问题1.已矢II函a f(x) = x2-2\x-a\ ( a>0 ),若对任意的兀w［0,+oo),不等式/(x-l)>2/(x)恒成立，求实数d的取值范围.不等式 / (兀_ 1) n 2/(兀)化为(x —1) —2 x — \ — ci n 2兀2 _ 4 x _ G即：4 x-a -2 x-(l + «)| < x2 +2%-1 (*)对任意的xw［0,+oo)恒成立因为d〉0,所以分如下情况讨论：①当0<x<a时,不等式(*) x2+4x+l-2a>0X^Vxe［O,a］恒成立•・・g(兀)=/ +牡+1 _2G n 0在［0,町上单调递增•••只需g(兀)mb = g(0) = 1 - 2a A 00 V Q W —2②当acxSa + l 时，不等式(*)即x2 -4x + l + 66t>0对\/xw(a,d + l］恒成立由①知0 < a W ,二/?(x) = x2 -4x + l + 6d在(d,a4-1］上单调递减/.只需"(x)min =力(1 +。
)= a? + 4G— 2 » 0 /. a —2 —或a n V6 — 2vV6-2<- A V6-2<tz<-2 2③当x>a + l时，不等式(*)化为即H + 2a-3巴0对V"(a+,+8)恒成立a 兰-2 - 或a 工- 22.己知函数f［x)=\x—a\y g(x)=x+2ax+\(a为正数)，且函数/(x)与g(x)的图象在y轴上的截距相等.⑴求a的值；(2)求函数⑴的最值.【解析］⑴由题意/(0) = g(0),・・・圈=1.又・.・a>0, .S I.⑵由题意几¥)+ g(x) = |x - 11 + x2 3 + 2x + 1.当兀2 1时，/(x) + g(Q = / + 3兀在［1, +oo)上单调递增，当*1时，/W + g(x)=/ +兀+ 2在-* 1)上单调递增，在(-co,3 7所以，当乳=——时，函数fix) + g(x)的最小值为一；函数无最大值. 一丄］上单调递减.2因此，函数./(X)+ £(/)在(- 00,-丄］上单调递减，在-*2 L -+ 00 上单调递增.a < 0 时?Z(a)是方程 a/ + 8x+ 3=5的较小根，故Z(a)=—8 + \/64 4- 8a — 4 + \/16 + 2a②当3 - — ^5即a W-8时丿(a)是方程a/ a+ 8咒+ 3=-5的较大根，故1(a)=—8 — v^64 ~ 32fl. — 4 — J16 ~ 8a , /z 、 -------------------------------- •综上,Z(a)=•\ 当 a V — 8-4--71^2Q ,(-8 < a <0).时丿(°)= - J"-8a =.，在亠 74 - 2a - 2(-a , - 8］上单调递增，当一 8 < a < 0时,/(«)= -4 + >/16 + 2。
例析求解含有绝对值的函数最值问题的步骤
探索探索与与研研究究一般地，要求得函数的最值，我们需将函数的极值点与函数在区间端点处的值进行比较，进而得到最值.而含有绝对值的函数最值问题较为复杂，有一定的难度，很多同学采用常规方法难以顺利求得结果.本文介绍一种解答此类问题的简单方法.有些含有绝对值的函数最值问题中的函数在定义域内至多只有一个极值点，要求此类函数的绝对值的最值，我们可以按照以下四步进行：第一步，求出过两端点的直线l 1的方程;第二步，求出与l 1平行的切线l 2的方程;第三步，求出l 1、l 2两平行直线间的最大或最小距离d ;第四步，d 2即为所求的最值.这样便将含有绝对值函数的最值问题转化为求两平行直线l 1与l 2直线之间的最大、最小距离问题.例1.已知函数f (x )=x 2+ax +b ，x ∈[1,2].若存在a ,b ∈R ,使得||f (x )≤M ,求M 的最小值.解：当x =1时,f (1)=1+a +b ;当x =2时,f (1)=4+2a +b ,设A ()1,1+a +b ,B (2,4+2a +b ),所以直线AB 的方程为y =(3+a )x +b -2，平移直线AB 使其与y =f (x )的曲线相切，设切点为(x 0,y 0),则ìíîf '(x 0)=2x 0+a =3+a ，y 0=x 02+ax 0+b ，解得ìíîïïx 0=32，y 0=94+32x 0+b ，所以切线l 的方程为y =(3+a )x +b -94.则AB 与l 间的距离为d =14(3+a )2+1≤14，所以d max =14，即M min =18.这是一个二次函数，函数在定义域[1,2]内最多只有一个极值点，要求||f (x )的最值，我们可以分别求出过两端点的直线AB 的方程，以及与AB 平行且与y =f (x )相切的切线方程，利用两平行直线之间的距离公式便可求得最值.例2.已知函数f (x )=ln(x +1)+ax +b ;x ∈[0,1]，求||f (x )的最值.解：当x =0时,f (0)=b ,当x =1时f (1)=ln 2+a +b ，设A ()0,b ,B (1,ln 2+a +b )，所以直线AB 的方程为y =(ln 2+a )x +b ，平移直线AB ,使其与函数y =f (x )的图象相切，设切点为(x 0,y 0),则ìíîïïf '(x 0)=1x 0+1+a =ln 2+a ,y 0=ln(x 0+1)+ax 0+b ,解得ìíîïïx 0=1ln 2-1，y 0=-ln(ln 2)+a ln 2-a +b ，所以切线l 的方程为y =(ln 2+a )x -1+ln 2-ln(ln 2)+b ，AB 与l 间的距离为d-1-ln 2-ln(ln 2)ln 2-ln(ln 2)-1，所以||f (x )的最大值为ln 2-ln(ln 2)-12.这是一个简单的超越函数，因为f '(x )=1x +1+a ，所以f (x )在定义域[0,1]内至多只有一个极值点，我们也就可以按照上述方法来求解，分别求出过两端点的直线AB 的方程，以及与AB 平行且与y =f (x )相切的切线方程，求得两平行线之间的距离便可求得最值.例3.已知f (x )=x +1x -ax -b ,对任意实数a ,b ，当x ∈[12,2]时，有||f (x )≤M 恒成立，求M 的最小值.分析：这是一个由对勾函数与一次函数构成的函数，因为f '(x )=1-1x 2-a =(1-a )x 2-1x 2，所以在定义域[12,2]内至多只有一个极值点.我们也可按照上述步骤来解题.解：当x =12时,f (12)=52-a 2-b ，当x =2时,f (2)=52-2a -b ，设A æèöø12,52-a 2-b ,B (2,52-2a -b )，所以直线AB 的方程为y =-ax +52-b ，平移直线AB ,使其与函数y =f (x )的图象相切，设切点为(x 0,y 0),则ìíîïïïïf '(x 0)=1-1x 02-a =-a ,y 0=x 0+1x 0-ax 0-b ,解得{x 0=1,y 0=2-a -b ,所以切线l 的方程为y =-ax +2-b ，所以AB 与l 间的距离为d =||||||2-b -52+b a 2+1=12a 2+1≤12,则M min =14.通过上述分析，我们可以发现运用该方法来解题，能有效地提升解题的效率.运用该方法解题的关键是借助函数在定义域端点处的值来构造一条直线以及一条与此直线平行且与函数曲线相切的直线，利用两平行线之间的距离公式来求得最值.（作者单位：湖北省潜江市园林高级中学）胡清林57。
高三复习-高中数学函数的最大值和最小值怎么求
高中数学函数的最大值和最小值怎么求函数的最值问题是考试中经常出现的题型，那么遇到这类问题时我们应该怎么做呢？高中函数求最值的方法1、配方法:形如的函数，根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值。
2、判别式法:形如的分式函数，将其化成系数含有y的关于x的二次方程。
由于，∴≥0，求出y的最值，此种方法易产生增根，因而要对取得最值时对应的x值是否有解检验。
3、利用函数的单调性:首先明确函数的定义域和单调性，再求最值。
4、利用均值不等式，形如的函数，及≥≤，注意正，定，等的应用条件，即:a，b均为正数，是定值，a=b的等号是否成立。
5、换元法:形如的函数，令，反解出x，代入上式，得出关于t的函数，注意t的定义域范围，再求关于t的函数的最值。
还有三角换元法，参数换元法。
6、数形结合法形：如将式子左边看成一个函数，右边看成一个函数，在同一坐标系作出它们的图象，观察其位置关系，利用解析几何知识求最值。
求利用直线的斜率公式求形如的最值。
7、利用导数求函数最值：首先要求定义域关于原点对称然后判断f(x)和f(-x)的关系：若f(x)=f(-x)，偶函数；若f(x)=-f(-x)，奇函数。
函数最值简介一般的，函数最值分为函数最小值与函数最大值。
最小值设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意实数x∈I，都有f(x)≥M，②存在x0∈I。
使得f(x0)=M，那么，我们称实数M是函数y=f(x)的最小值。
最大值设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意实数x∈I，都有f(x)≤M，②存在x0∈I。
使得f(x0)=M，那么，我们称实数M是函数y=f(x)的最大值。
高考数学复习含有绝对值函数的取值范围问题
f(x) － g(x) 恰 有 4 个 零 点 ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 (2,3] ．
解析：由题意，当 y＝f(x)－g(x)＝2[f(x)－1]＝0 时，即方程 f(x)＝1 有 4 个解． 又由函数 y＝a－|x＋1|与函数 y＝(x－a)2 的大致形状可知，
a－|x＋1|，x≤1， 直线 y＝1 与函数 f(x)＝ 的左右两支曲线都有 2 x－a ，x＞1
5．设函数 f(x)＝x|x＋2|，则不等式 f[f(x)]≤3 的解集为 (－∞， 2－1] .
解析： 设 f(x)＝t， 则 f(t)≤3， 由函数 f(x)＝x|x＋2|图象可得 t≤1， 即 f(x)≤1， 所以，x≤ 2－1，不等式 f[f(x)]≤3 的解集为(－∞， 2－1]．
a－|x＋1|，x≤1， 6．已知函数 f(x)＝ 函数 g(x)＝2－f(x)，若函数 y＝ 2 x－a ，x＞1，
9 答案：1，8.
x2－a－2x，x≥a， 解析：f(x)＝x|x－a|＋2x＝ 2 －x ＋a＋2x，x＜a，
2 a － 2 x－a－22－ ，x≥a， 4 2 f(x)＝ 2 a ＋ 2 a＋22 －x－ 2 ＋ 4 ，x＜a，
(3)若函数 f(x)只有两个单调区间，则 Δ≤0，所以，a 的取值范围是 [－2 3，2 3]． a (4)若函数 g(x)＝x －a|x|＋3 只有两个单调区间，则2≤0，所以，a
2
的取值范围是(－∞，0]．
8．已知函数 f(x)＝x|x－a|＋2x，若存在 a∈[0,4]，使得关于 x 的方程 f(x) ＝tf(a)有三个不相等的实根，求实数 t 的取值范围．
a－ 2 因为 0≤a≤4，所以， 2 ＜a，
绝对值最大值公式
绝对值最大值公式
嘿，咱们来说说绝对值最大值公式呀！其中一个很重要的就是当函数是形如 y=ax-h+k 的时候，那么当 a>0 时，绝对值里面的 x=h 时，y 就取得最小值 k 啦。
比如，就像你在爬山，山的顶点就是那个最小值 k 呀，当你到达山顶 h 这个位置的时候，哇塞，你就处在了最低的地方啦！
还有哦，如果函数是 y=-ax-h+k（a>0），那么当 x=h 时，y 可就取得最大值 k 啦！这就好像你在一片平地上找最高的地方，嘿，就在那个特定的点 h 那里，就是最大值 k 啦！比如说，跑步比赛的时候，终点线那个位置对应的成绩不就是最大值嘛！哈哈，是不是很有意思呀！
哎呀，这绝对值最大值公式就像是我们探索数学世界的一把钥匙，打开了好多奇妙的大门呢！你可一定要好好掌握呀！。
函数的最大值最小值问题
§4 函数的最大值最小值问题最值与极值的重要区别： 极值是一点0x 局部的形态； 最值是某区间整体的形态。
先讨论必要性： 0x 是()f x 在(,)a b 内的最大(小)值， ⇒0x 必是()f x 在(,)a b 的极大(小)值点， ⇒0x 是()f x 的稳定点或不可导点．稳定点()f x 在],[b a 的可能的最值点： 不可导点区间端点下面就两种常见的情形给出判别法，以最大值为例说明． 1．闭区间情形设()f x 在[],a b 连续，这时()f x 在[],a b 必有最大值．则将所有稳定点、不可导点和区间端点的函数值进行比较（如果可能的话），最大者即是最大值．2．开区间情形设()f x 在(,)a b 可导，且在(,)a b 有最大值．若在(,)a b 内有唯一的稳定点0x ，则0x 是最大值点．注意强调最值的存在性例1 一块边长为a 的正方形，在四个角上截去同样大小的正方形，做成无盖的盒，问截去多大的小方块能使盒的容积最大？解 设x 为截去的小方块的边长，则盒的容积为2()(2),(0,)2a V x x a x x=-∈。
显然，()V x 在(0,)2a可导，且'2()(2)4(2)(2)(6)V x a x x a x a x a x =---=--令'()0V x =得2a x =或6a x =。
因此在(0,)2a 中有唯一的稳定点6a 。
由实际问题本身知()V x 在(0,)2a中必有最大值，故知最大值为32()627a V a =。
即截去的小的方块边长为6a 时，盒的容积最大。
例2 求函数32()2912f x x x x =-+在[]1,3-的最大值和最小值解 32291529122()48x x x x x ⎡⎤-+=-+⎢⎥⎣⎦，因此 []32()(2912)sgn ,1,3f x x x x x x =-+∈-，'2()(61812)sgn 6(1)(2)sgn ,(1,0)(0,3)f x x x x x x x x =-+=--∈-⋃故()f x 的稳定点为1,2x x ==，不可导为0x =。