专题探究课四
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热点一利用判定定理证明平行、垂直关系
【例1】如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC 的中点.
(1)求证：B1C1∥平面A1DE；
(2)求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1.证明(1)因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE∥BC，
又因为三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1∥BC，
所以B1C1∥DE.
又B1C1⊄平面A1DE，DE⊂平面A1DE，
所以B1C1∥平面A1DE.
(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，
又DE⊂底面ABC，所以CC1⊥DE.
又BC⊥AC，DE∥BC，所以DE⊥AC，
又CC1，AC⊂平面ACC1A1，且CC1∩AC＝C，所以DE⊥平面ACC1A1.
又DE⊂平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面ACC1A1.
热点二利用性质定理证明平行、垂直关系
【例2】如图，四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面P AB，AP⊥AB.
(1)求证：CD⊥AP；
(2)若CD⊥PD，求证：CD∥平面P AB.
证明(1)因为AD⊥平面P AB，AP⊂平面P AB，所以AD⊥AP.
又因为AP⊥AB，AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
所以AP⊥平面ABCD.
因为CD⊂平面ABCD，所以CD⊥AP.
(2)因为CD⊥AP，CD⊥PD，且PD∩AP＝P，PD⊂平面P AD，AP⊂平面P AD，所以CD⊥平面P AD.①
因为AD⊥平面P AB，AB⊂平面P AB，所以AB⊥AD.
又因为AP⊥AB，AP∩AD＝A，AP⊂平面P AD，
AD⊂平面P AD，
所以AB⊥平面P AD.②
由①②得CD∥AB，
因为CD⊄平面P AB，AB⊂平面P AB，
所以CD∥平面P AB.
热点三立体几何中的探究性问题
【例3】在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D是BC的中点，BC＝BB1.
(1)若P是CC1上任一点，求证：AP不可能与平面BCC1B1垂直；
(2)试在棱CC1上找一点M，使MB⊥AB1.
(1)证明(反证法)假设AP⊥平面BCC1B1，
∵BC⊂平面BCC1B1，∴AP⊥BC.
又正三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥BC，AP∩CC1＝P，AP⊂平面ACC1A1，CC1⊂平面ACC1A1，
∴BC⊥平面ACC1A1.而AC⊂平面ACC1A1，
∴BC⊥AC，这与△ABC是正三角形矛盾，
故AP不可能与平面BCC1B1垂直.
(2)解M为CC1的中点.证明如下：
∵在正三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝BB1，
∴四边形BCC1B1是正方形.
∵M为CC1的中点，D是BC的中点，
∴△B1BD≌△BCM，
∴∠BB1D＝∠CBM，∠BDB1＝∠CMB.
∵∠BB1D＋∠BDB1＝π2，
∴∠CBM＋∠BDB1＝π
2，∴BM⊥B1D.
∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC.
∵平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C＝BC，AD⊂平面ABC，∴AD⊥平面BB1C1C.
∵BM⊂平面BB1C1C，∴AD⊥BM.
∵AD∩B1D＝D，AD，B1D⊂平面AB1D，
∴BM⊥平面AB1D.
∵AB1⊂平面AB1D，∴MB⊥AB1.
热点四空间几何体的表面积和体积
【例4】如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF的位置.
(1)证明：AC⊥HD′；
(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝5
4，OD′＝22，求五棱锥D′－ABCFE的体积.
(1)证明由已知得AC⊥BD，AD＝CD，又由AE＝CF得AE
AD＝
CF
CD，故AC∥EF，
由此得EF⊥HD，折后EF与HD保持垂直关系，即EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.
(2)解由EF∥AC得OH
DO＝
AE
AD＝
1
4.
由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝AB2－AO2＝4，
所以OH＝1，D′H＝DH＝3，
于是OD′2＋OH2＝(22)2＋12＝9＝D′H2，
故OD′⊥OH.
由(1)知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，
所以AC⊥平面DHD′，于是AC⊥OD′，
又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，所以OD′⊥平面ABC.
又由EF
AC＝DH
DO得EF＝
9
2.
五边形ABCFE的面积S＝1
2×6×8－
1
2×
9
2×3＝
69
4.
所以五棱锥D′－ABCFE的体积V＝1
3×
69
4×22＝
232
2.
热点五立体几何模型实际应用问题
【例5】(2017·江苏卷)如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32 cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为107 cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14 cm和62 cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12 cm.现有一根玻璃棒l，其长度为40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计).
(1)将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水