数列中的数学思想和方法
数列归纳法知识点总结
数列归纳法知识点总结一、介绍数列归纳法是数学中的一种常见证明方法，用于证明某个命题对于所有自然数或正整数都成立。
它的基本思想是通过归纳步骤，从已知条件推导出通项公式，从而得出结论。
二、数列定义数列是按照一定规律排列的一组数的集合。
通常用a₁，a₂，a₃，...表示，其中a₁，a₂，a₃，...为数列的项。
数列按照一定的规律取值，可以是等差数列、等比数列或其他类型的数列。
三、数列归纳法的步骤1. 归纳基础步骤：首先证明命题对于初始条件成立，通常是证明当n取某个特定值时命题成立。
2. 归纳假设步骤：假设当n=k时命题成立，即假设命题对于某个自然数k成立。
3. 归纳推理步骤：利用归纳假设推导出当n=k+1时命题也成立。
4. 归纳结论步骤：由归纳推理步骤得出结论，命题对于所有的自然数n成立。
四、数列归纳法的应用1. 证明数学等式或不等式：利用数列归纳法可以证明各类数学等式或不等式，例如等差数列的通项公式、等比数列的通项公式等。
2. 证明数学性质：数列归纳法也常用于证明数学性质，例如证明2的n次方大于n，证明斐波那契数列的性质等。
五、数列归纳法的例题例题1：证明等差数列的通项公式成立。
解：首先我们验证归纳基础步骤，当n=1时，等差数列的通项公式显然成立。
假设当n=k时，等差数列的通项公式成立，即aₖ=a₁+(k-1)d，其中a₁为首项，d为公差。
那么我们来看当n=k+1时，aₖ₊₁=a₁+(k+1-1)d=a₁+kd。
根据等差数列的递推关系式，aₖ₊₁=aₖ+d。
由归纳假设可得，aₖ₊₁=a₁+(k-1)d+d=a₁+kd。
所以，当n=k+1时，等差数列的通项公式也成立。
因此，根据数列归纳法，等差数列的通项公式对于所有的自然数n 成立。
例题2：证明斐波那契数列的性质。
解：首先我们验证归纳基础步骤，当n=1时，斐波那契数列的性质显然成立。
假设当n=k时，斐波那契数列的性质成立，即Fₖ=Fₖ₋₁+Fₖ₋₂。
那么我们来看当n=k+1时，Fₖ₊₁=Fₖ+Fₖ₋₁。
高考数列题中涉及的数学思想方法归类与分析
维普资讯
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【 评析 】 涉 及 到 等 比数 列 前 项 的求 和 ， 要 讨 常 论 公 比 ｑ的各 种 情 况 ； 比较 两个 数 大 小 时 ， 在作 差 在 常 以后 因式 分 解 ， 论 各个 因式 的符 号 以达 到 求 解 目的． 讨
不 等 式
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ｎ ＜ ＿ 成 立 ．
【高中数学】高中数列知识蕴含的主要数学思想
【高中数学】高中数列知识蕴含的主要数学思想1.函数思想由于一般的项公式、第一个n项和序列的公式都是关于n的函数的，所以可以从函数的角度，利用函数的思想来解决一些序列问题，相关的问题有：序列的单调性、求基本量、最大值、，利用序列对应函数的特征和序列对应函数的性质可以解决上述问题2.方程思想在等差和等比的顺序中有五个基本量。
利用方程的思想，我们可以“知三求二”，当一些量已知时，其他量可以通过一系列方程或方程来求解。
此外，本章中常用的待定系数法实际上是方程思想的体现3.转化与化归思想本章中变换思想的应用主要体现在将非特殊序列问题转化为特殊序列问题求解上。
例如，递归序列的通项公式可以通过构造转化为特殊序列的通项公式，而非特殊序列的求和问题可以转化为特殊序列的求和问题，它是指将相等数量的项目或研究对象转化为相等数量的点，例如相等数量序列或最差数量序列的基础4.分类讨论思想本章分类讨论的思想主要体现在解决一些参数级数问题，尤其是比例级数的求和或相关问题上。
如果包括参数，我们不能忽视q=1的讨论5.数形结合思想借助于序列对应函数的图像，解决一些问题将非常直观和快速。
例如，为了解决算术序列前n项之和的最大值问题，我们可以组合二次函数的图像6.归纳思想归纳思维是指从本章中的个别事实中归纳出一般结论的数学思维，根据序列的前几项归纳出序列的一般术语公式，图的归纳数是根据图的归纳数或归纳数在图中的应用7.类比思想类比思维指的是一种数学思维，即一种对象具有某些特征，而一个相似的对象也具有这些特征。
它的推理方式是从特殊推理到特殊推理，作为两种特殊数列，等差数列和等比数列有许多相似之处。
例如，在等差数列中，if，then；在比例数列中，如果，那么通过类比可以得出许多有用的结论，并且可以发现许多有趣的性质8.整体思想在研究序列（即等距或比例序列的前k项之和）时，我们使用整体思想，即将其视为序列中的一项，依此类推，我们可以得到序列的特征首页上一页12下一页末页共2页。
例谈数列问题中的数学思想
点 评 ： 等 价 转 化 法 的 关 键 是 要 明 确 转 化 的 方 向 或 者 说 转 化
的 目标 ． 本 题 转 化 的 关 键 就 是 将 研 究 慨 ２ ３ 取 值 范 围 问 题 转 ｌ 的
２ 解 填 空 题 不 要 求 求 解 过 程 ， 而 结 论 是 判 断 是 否 正 确 的 ． 从 唯一标准 ， 因此 解 填 空 题 时要 注 意 如 下 几 个 方 面 ： （ ） 认 真审题 ， 确要求 ， 维严谨 、 密 ， 算有 据 、 １要 明 思 周 计 准
） ＋
—一 的最大值 为 ， 最
４ 等 价 转 化 法 ．
分析 ： 直接
１ ！！里
２ ＋Ｃ Ｓ Ｏ
，
） 的最大 值 、 小值显然 不可取． 最 化袱 ） ＝
￣ＪＴｇ ） 奇 偶 性 Ｊ （ 的 Ｊ
＋ ＣＯＳ 戈
．
将 所 给 的命 题 进 行 等 价 转 化 ，使 之 成 为 一 种 容 易 理 解 的 语 言 或 容 易 求 解 的模 式 ． 过 转 化 ， 问题 化 繁 为 简 、 陌 生 为 熟 通 使 化
确 ； ２ 要 尽 量 利 用 已知 的 定 理 、 质 及 已有 的结 论 ； ３ 要 重 视 （） 性 （） 对 所 求 结 果 的检 验 ．
化 成 了直 线ｙ ｍ与 曲线ｙ ｆ ｘ） 三 个 交点 的 问题 ， 数 的 问题 转 ＝ ＝（ 有 将
化 成 了形 的 问题 ， 而利 用 图 形 的性 质 解 决． 从
点 评 ： 函 数 有 关 的 填 空 题 ， 据 题 目条 件 ， 活 地 应 用 函 与 依 灵 数 图 像 解 答 问 题 ， 往 可 使 抽 象 复 杂 的 代 数 问题 变得 形 象 直 观 ， 往
数学思想在数列问题中的应用举例
数学思想在数列问题中的应用举例李一诺(河北省邢台市第二中学２０１６级１８班㊀０５４０００)摘㊀要:数列常常与函数㊁方程㊁不等式等知识进行综合ꎬ它体现了函数与方程㊁等价转化㊁分类讨论等重要的数学思想方法.关键词:数列ꎻ数学思想ꎻ函数ꎻ转化ꎻ分类计论ꎻ数形结合中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)０１－０００７－０２收稿日期:２０１８－１０－１５作者简介:李一诺(２００２.８－)ꎬ女ꎬ河北省邢台人ꎬ在校学生.㊀㊀一㊁利用方程思想解题方程思想充满了数列整个章节ꎬ它是解决数列有关元素问题的基本方法ꎬ运用方程思想解题需要抓住基本量ꎬ掌握好设未知数ꎬ列方程ꎬ解方程三个环节.例１㊀等差数列ａｎ{}的前ｍ项和为３０ꎬ前２ｍ项和为１００ꎬ则它的前３ｍ项的和为(㊀㊀).Ａ.１３０㊀㊀Ｂ.１７０㊀㊀Ｃ.２１０㊀㊀Ｄ.２６０解㊀设等差数列ａｎ{}的公差为ｄꎬ前ｎ项和为Ｓｎꎬ由题意可知Ｓｍ＝３０ꎬＳ２ｍ＝１００ꎬ将Ｓｍ＝３０ꎬＳ２ｍ＝１００代入Ｓｎ＝ｎａ１＋ｎｎ－１()ｄ２得ｍａ１＋ｍｍ－１()ｄ２＝３０ꎬ２ｍａ１＋２ｍ２ｍ－１()ｄ２＝１００.ìîíïïïï解之得ｄ＝４０ｍ２ꎬａ１＝１０ｍ＋２０ｍ２ꎬʑＳ３ｍ＝３ｍａ１＋３ｍ３ｍ－１()ｄ２＝２１０.㊀㊀二㊁利用函数思想解题数列是特殊的函数ꎬ因此ꎬ求解数列问题应根据题意注意沟通数列与函数之间的内在联系ꎬ运用函数的思想方法求解往往使解题方便快捷.例２㊀在等差数列中ꎬ已知Ｓｐ＝ｑꎬＳｑ＝ｐｐʂｑ()ꎬ求Ｓｐ＋ｑ的值.解㊀由题意知:Ｓｎｎ＝ｇｎ()是一次函数ꎬʑ点ｐꎬｑｐæèçöø÷ꎬｑꎬｐｑæèçöø÷ꎬｐ＋ｑꎬＳｐ＋ｑｐ＋ｑæèçöø÷均在直线ｇｎ()＝ｄｎ２＋ａ１－ｄ２上ꎬ从而ｐｑ－ｑｐｑ－ｐ＝Ｓｐ＋ｑｐ＋ｑ－ｐｑｐ＋ｑ－ｑꎬ化简即得Ｓｐ＋ｑ＝－ｐ＋ｑ().㊀㊀三㊁利用分类讨论思想解题依据题中的条件ꎬ确定讨论对象和讨论标准ꎬ使用分类讨论思想ꎬ使解题更具有条理性ꎬ解题过程更加清晰.例３㊀求和Ｓｎ＝１＋２ｘ＋ ＋ｎｘｎ－１ｘʂ０().解㊀ȵＳｎ＝１＋２ｘ＋３ｘ２＋ ＋ｎ－１()ｘｎ－２＋ｎｘｎ－１ꎬʑｘＳｎ＝ｘ＋２ｘ２＋ ＋ｎ－１()ｘｎ－１＋ｎｘｎ.两式相减得１－ｘ()Ｓｎ＝１＋ｘ＋ｘ２＋ ＋ｘｎ－１()－ｎｘｎ.当ｘ＝１时ꎬＳｎ＝１＋２＋３＋ ＋ｎ＝１２ｎｎ＋１()ꎻ当ｘʂ１时ꎬＳｎ＝１－ｘｎ１－ｘ()２－ｎｘｎ１－ｘ.㊀㊀四㊁利用转化思想解题根据题目所给的结构特征ꎬ寻找项之间的规律ꎬ利用转化思想解题.它集中体现在求和过程中将非特殊数列转化为等差数列或等比数列.例４㊀求和Ｓｎ＝１ ２＋２ ３＋３ ４＋ ＋ｎｎ＋１().解㊀ȵｋｋ＋１()＝ｋ２＋ｋｋ＝１ꎬ２ꎬ ꎬｎ()ꎬʑＳｎ＝１２＋１()＋２２＋２()＋ ＋ｎ２＋ｎ()＝１２＋２２＋ ＋ｎ２()＋１＋２＋ ＋ｎ()７＝１６ｎｎ＋１()２ｎ＋１()＋１２ｎｎ＋１()＝１３ｎｎ＋１()ｎ＋２().㊀㊀五㊁利用数形结合思想解题恩格斯曾经这样定义数学: 数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的数学 .数形结合不仅是一种重要的解题方法ꎬ而且也是一种重要的思维方法.它形象㊁直观ꎬ有利于我们解题.例５㊀设等差数列ａｎ{}的前ｎ项和为Ｓｎꎬ已知ａ３＝１２ꎬＳ１２>０ꎬＳ１３<０ꎬ(１)求公差ｄ的取值范围ꎻ(２)指出Ｓ１ꎬＳ２ꎬＳ３ꎬ ꎬＳ１２中那一个值最大?并说明理由.㊀㊀解㊀(１)易得－２４７<ｄ<－３.(２)ȵｄ<０ꎬʑＳｎ＝ｆｎ()的图象为经过原点且开口向下的抛物线上的一群离散点.设抛物线与横轴的另一个交点为Ａｎ０ꎬ０()ꎬ由Ｓ１２>０ꎬＳ１３<０ꎬ可知１２<ｎ０<１３ꎬ对称轴ｎ＝ｎ０２ɪ６ꎬ６.５()ꎬ故当ｎ＝６时ꎬＳ６最大.㊀㊀六㊁利用构造思想解题构造法解题可以化繁为简ꎬ它主要体现在利用原数列构造新数列求通项的问题.例６㊀设正项数列ａｎ}{满足ａ１＝２ꎬａｎ＝２ａｎ－１ꎬ求ａｎ.解㊀ȵａｎ>０(ｎɪＮ)ꎬʑａｎ＝２ａｎ－１.两边取以为２底的对数ꎬｌｏｇ２ａｎ＝１＋１２ｌｏｇ２ａｎ－１.令ｂｎ＝ｌｏｇ２ａｎꎬ则有ｂｎ＝１２ｂｎ－１＋１.用迭代法得ｂｎ＝２－(１２)ｎ－１ꎬʑａｎ＝２２－(１/２)ｎ－１.㊀㊀参考文献:[１]孙丰亮ꎬ娄树庆.数学思想方法在数列教学中的运用[Ｊ].课程教育研究ꎬ２０１３(３１).[责任编辑:杨惠民]探究过度放缩后的一种 修正术江凤华１㊀江国荣２(１.江苏省无锡市辅仁高级中学高三９班㊀２１４１２３ꎻ２.江苏省无锡市市北高级中学㊀２１４０４５)摘㊀要:用放缩法证明不等式是高中数学学习中的难点之一.学习时不容易掌握ꎬ我们放缩的 步幅 大了ꎬ常常偏离目标值.有没有一种方法在发现过度放缩以后采取一点修补办法证出目标呢?本文围绕这个目标做了一点尝试ꎬ发现还是可行的.关键词:放缩法证明ꎻ逐步留项ꎻ高中难题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１９)０１－０００８－０２收稿日期:２０１８－１０－１５作者简介:江凤华(２００１－)ꎬ女ꎬ江苏省海门人ꎬ在校学生.江国荣(１９７１－)ꎬ男ꎬ江苏省海门人ꎬ教师ꎬ从事数学教学及数学教育研究.㊀㊀一㊁探究过程例１㊀证明:ðｎｉ＝１１ｉ２<５３.试证１㊀当ｎ＝１ꎬðｎｉ＝１１ｉ２＝１<５３.当ｎȡ２ꎬȵ１ｉ２<１ｉ (ｉ－１)＝１ｉ－１－１ｉꎬʑðｎｉ＝１１ｉ２＝１１２＋１２２＋１３２＋ ＋１ｎ２<１＋(１１－１２)＋(１２－１３)＋ ＋(１ｎ－１－１ｎ)＝２－１ｎ<２.８。
数列求和的八种重要方法与例题
练习10：
已知Sn=-1+3-5+7+…+(-1)n(2n-1),
1)求S20,S21 2)求Sn
=20 S20=-1+3+(-5)+7+……+（-37）+39
S21=-1+3+(-5)+7+（-9）+……+39+（-41）
=-21
总的方向： 1.转化为等差或等比数列的求和 2.转化为能消项的 思考方式：求和看通项（怎样的类型） 若无通项，则须先求出通项 方法及题型： 1.等差、等比数列用公式法 2.倒序相加法 3.错位相减法 4.裂项相消法
1 (1 3
2n )
5
n
12 3
1 (2n 5n 1) 3
热点题型3：递归数列与数学归纳法.
已知数列{an}的各项都是正数，且满足：a01，an1
(nN)
1 2
an (4
an ).
（1）证明an<an+1<2(nN) （2）求数列{an}的通项公式an
用数学归纳法证明：
类型a1+an=a2+an-1=a3+an-2=……
典例. 已知 lg(xy) 2 2.倒序相加法
S =lgxn +lg(xn-·1 y)+ ...+lg(x·1 yn-1)+lgyn,
(x > 0,y > 0) 求S .
S =lgxn +lg(xn-·1 y)+ ...+lgyn
S =lgyn +lg(yn-·1 x)+ ...+lgxn 2S =lg(xy)n +lg(xy)n + ...+lg(xy)n
数列题型及解题方法归纳总结
知识框架掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。
一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。
（2）由递推公式求通项。
对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。
(1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数）例1、? 已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。
求a n 。
例1、解? ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列∴a n =1+2（n-1） 即a n =2n-1例2、已知{}n a 满足112n n a a +=，而12a =，求n a = （2）递推式为a n+1=a n +f （n ）例3、已知{}n a 中112a =，12141n n a a n +=+-，求n a .解： 由已知可知)12)(12(11-+=-+n n a a n n )121121(21+--=n n令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1）★ 说明 ?只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1个等式累加而求a n 。
(3)递推式为a n+1=pa n +q （p ，q 为常数）例4、{}n a 中，11a =，对于n ＞1（n ∈N ）有132n n a a -=+，求n a .解法一： 由已知递推式得a n+1=3a n +2，a n =3a n-1+2。
两式相减：a n+1-a n =3（a n -a n-1） 因此数列{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，其首项为a 2-a 1=（3×1+2）-1=4∴a n+1-a n =4·3n-1 ∵a n+1=3a n +2? ∴3a n +2-a n =4·3n-1 即 a n =2·3n-1-1 解法二： 上法得{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，于是有：a 2-a 1=4，a 3-a 2=4·3，a 4-a 3=4·32，…，a n -a n-1=4·3n-2，把n-1个等式累加得：∴an=2·3n-1-1(4)递推式为a n+1=p a n +q n （p ，q 为常数）)(3211-+-=-n n n n b b b b 由上题的解法，得：n n b )32(23-= ∴n n nn n b a )31(2)21(32-==(5)递推式为21n n n a pa qa ++=+思路：设21n n n a pa qa ++=+,可以变形为：211()n n n n a a a a αβα+++-=-，想于是{a n+1-αa n }是公比为β的等比数列，就转化为前面的类型。
数列运算中的数学思想
唰 。 …
在数学学习过程 中， 同学们要 加强数 学思想方 法 的学
点评
此题常规解法是设 出基本 量 ａ ， ， 出方程组 ｑ列
习， 培养数学思 维能 力 。数 列是 高 中数 学 的重要 内容 ， 是 求解 ， 但计 算较 繁 ； 能利 用整体 思维 ， 可少走 弯路 ， 若 则 使 进一步学 习高等数学 的基 础 ， 每年高考 中都 占有一定 比 计算合理又迅 速。本 解法 不在 求 ０ ， 做 文章 ， 是将 在 ｑ上 而 重 。在求解 高考数列 问题时 ， 要注 意数学 思想的应用 。下 Ｓ 变形整理用 Ｓ 和 ｑ 表示 ， 使解答过程 大大简化 。 面举例说 明在数列运 算中的数 学思想方法。
一
二 、 数 思 想 函
、
整体思想
数列是一 种特 殊 的函数 。运 用 函数思 想处 理 数列 问
从 整体上考虑 问题 ， 往能 够避 免局部 运 算 的 困扰 ， 往 使 问题 得以迅速求解 。通过研 究问题 的整体形 式 、 体结 整 构， 达到快速解题 的 目的。
题， 往往能把握问题的本质 ， 使求解过程简捷 。 例 ２ 已知数列 ｛ 的通项 ％ ＝ｎ－Ｊ￣－ ｎ｝
ｓ №＋ 。 ＝
（。 ） 。— ｄ ｎ
，
＝ ｎ 萼２ ＋
故点（ ｓ） ， 在形
解析
要使
兰
：ｌ（ 一。 成 ｇｓ ）
（） １ （） ２
如） 一 ＋ （ ＜ ） 抛物线上， ， 。 ０的 ＝ 对称轴为 ｝。 ＝ 旦
若 ｐ＋ｑ为偶数 ， 当 ｎ： 则
为奇数 ， ｎ＝ 则 卫 点评
五、 方程 思 想
例 ３ 设等差数列 ｛ ） ％ 的首项 ｎ ０ 前 ｎ项和 为 ｓ ， ＞ ，
数列求和分类讨论思想总结
数列求和分类讨论思想总结数列求和问题是数学中常见的一类问题，根据不同的数列性质和求和方法，可以分为多种情况进行分类讨论。
本文将对数列求和的分类讨论思想进行总结，以便读者更好地理解和应用于实际问题中。
一、等差数列的求和分类讨论思想等差数列是指数列中相邻两项之间的差值恒定的一类数列。
对于等差数列的求和问题，可以根据求和项数、首项和末项等不同的条件进行分类讨论。
1.1 根据求和项数的分类讨论思想首先，可以根据求和项数的奇偶性进行分类讨论。
当求和项数为奇数时，可以将等差数列分为两部分，一部分包含中间项和公差，另一部分只包含首项和末项，利用求和公式进行求解。
当求和项数为偶数时，等差数列可以分为多个等差数列的和，其中每个等差数列的求和项数为奇数，运用上述方法进行求和。
1.2 根据首项和末项的分类讨论思想其次，可以根据等差数列的首项和末项的差值进行分类讨论。
如果等差数列的首项和末项之差为公差的整数倍，那么可以利用求和公式直接求解。
如果等差数列的首项和末项之差不是公差的整数倍，可以通过求和之后的等差数列的首项和末项之差进行调整，进而利用求和公式进行求解。
二、等比数列的求和分类讨论思想等比数列是指数列中相邻两项之间的比值恒定的一类数列。
对于等比数列的求和问题，可以根据公比、求和项数等不同的条件进行分类讨论。
2.1 根据公比的分类讨论思想首先，可以根据等比数列的公比的绝对值与1的关系进行分类讨论。
当公比的绝对值小于1时，等比数列的求和公式为有限项等比数列求和公式，可以直接通过公式求解。
当公比的绝对值大于等于1时，等比数列没有有限项求和公式，可以通过无穷等比数列的前n项和求解，或者通过求和项数逼近无穷等比数列的和。
2.2 根据求和项数的分类讨论思想其次，可以根据等比数列的求和项数进行分类讨论。
当求和项数为无穷时，等比数列的和为无穷，无法具体求解。
当求和项数为有限时，等比数列可以分为多个部分，其中每个部分都是一个无穷等比数列，通过逐个部分的求和，可以得到等比数列的和。
高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用
高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用函数思想和方程思想是学习数列的两大精髓.“从基本量出发，知三求二.”这是方程思想的体现.而“将数列看成一种特殊的函数，等差、等比数列的通项公式和前n项和公式都是关于n的函数.”则蕴含了数列中的函数思想.借助有关函数、方程的性质来解决数列问题，常能起到化难为易的功效。
以下是小编给大家带来的方程思想在数列上的应用，仅供考生阅读。
函数与方程思想在数列中的应用(含具体案例)本文列举几例分类剖析：一、方程思想1.知三求二等差(或等比)数列{an}的通项公式，前n项和公式集中了等差(或等比)数列的五个基本元素a1、d(或q)、n、an、Sn.“知三求二”是等差(或等比)数列最基本的题型，通过解方程的方法达到解决问题的目的.例1等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10=30，a20=50，(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Sn=242，求n的值.解(1)由a10=a1+9d=30，a20=a1+19d=50，解得a1=12，因为n∈N*，所以n=11.2.转化为基本量在等差(等比)数列中，如果求得a1和d(q)，那么其它的量立即可得.例2在等比数列{an}中，已知a6―a4=24，a3a5=64，求{an}的前8项的和S8.解a6―a4=a1q3(q2―1)=24.(1)由a3a5=(a1q3)2=64，得a1q3=±8.将a1q3=―8代入(1)，得q2=―2(舍去);将a1q3=8代入(1)，得q=±2.当q=2时，a1=1，S8=255;当q=―2时，a1=―1，S8=85.3.加减消元法利用Sn求an利用Sn求an是求通项公式的一种重要方法，其实这种方法就是方程思想中加减消元法的运用.例3(2011年佛山二模)已知数列{an}、{bn}中，对任何正整数n都有：a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn=(n―1)?2n+1.若数列{bn}是首项为1、公比为2的等比数列，求数列{an}的通项公式.解将等式左边看成Sn，令Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn.依题意Sn=(n―1)?2n+1，(1)又构造Sn―1=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1=(n―2)?2n―1+1，(2)两式相减可得Sn―Sn―1=an?bn=n?2n―1(n≥2).又因为数列{bn}的通项公式为bn=2n―1，所以an=n (n≥2).当n=1，由题设式子可得a1=1，符合an=n.从而对一切n∈N*，都有an=n.所以数列{an}的通项公式是an=n.4.等差、等比的综合问题这一类的综合问题往往还是回归到数列的基本量去建立方程组.例4设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，求数列{an}的通项公式.解根据求和定义和等差中项建立关于a1，a2，a3的方程组.由已知得a1+a2+a3=7，(a1+3)+(a3+4)2=3a2.解得a2=2.设数列{an}的公比为q，由a2=2，可得a1=2q，a3=2q.又S3=7，可知2q+2+2q=7，即2q2―5q+2=0，解得q1=2，q2=12.由题意得q>1，所以q=2.可得a1=1，从而数列{an}的通项为an=2n―1.二、函数思想数列是一类定义在正整数或它的有限子集上的特殊函数.可见，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征.如一次、二次函数的性质、函数的单调性、周期性等在数列中有广泛的应用.如等差数列{an}的通项公式an=a1+(n―1)d=dn+(a1―d)，前n项和的公式Sn=na1+n(n―1)2d=d2n2+(a1―d2)n，当d≠0时，可以看作自变量n的一次和二次函数.因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了它们间的内在联系，从而有效地分解数列问题.1.运用函数解析式解数列问题在等差数列中，Sn是关于n的二次函数，故可用研究二次函数的方法进行解题.例5等差数列{an}的前n项的和为Sn，且S10=100，S100=10，求S110，并求出当n为何值时Sn有最大值.分析显然公差d≠0，所以Sn是n的二次函数且无常数项.解设Sn=an2+bn(a≠0)，则a×102+b×10=100，a×1002+b×100=10.解得a=―11100，b=11110.所以Sn=―11100n2+11110n.从而S110=―11100×1102+11110×110=―110.函数Sn=―11100n2+11110n的对称轴为n=111102×11100=55211=50211.因为n∈N*，所以n=50时Sn有最大值.2.利用函数单调性解数列问题通过构造函数，求导判断函数的单调性，从而证明数列的单调性.例6已知数列{an}中an=ln(1+n)n (n≥2)，求证an>an+1.解设f(x)=ln(1+x)x(x≥2)，则f ′(x)=x1+x―ln(1+x)x2. 因为x≥2，所以x1+x<1，ln(1+x)>1，所以f ′(x)<0.即f(x)在[2，+∞)上是单调减函数.故当n≥2时，an>an+1.例7已知数列{an}是公差为1的等差数列，bn=1+anan.(1)若a1=―52，求数列{bn}中的最大项和最小项的值;(2)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围.(1)分析最大、最小是函数的一个特征，一般可以从研究函数的单调性入手，用来研究函数最大值或最小值的方法同样适用于研究数列的最大项或最小项.解由题设易得an=n―72，所以bn=2n―52n―7.由bn=2n―52n―7=1+22n―7，可考察函数f(x)=1+22x―7的单调性.当x<72时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>72时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以数列{bn}的最大项为b4=3，最小项为b3=―1.(2)分析由于对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，本题实际上就是求数列{bn}中的最大项.由于bn=1+1n―1+a1，故可以考察函数f(x)=1+1x―1+a1的形态.解由题，得an=n―1+a1，所以bn=1+1n―1+a1.考察函数f(x)=1+1x―1+a1，当x<1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)<1;当x>1―a1时，f(x)为减函数，且f(x)>1.所以要使b8是最大项，当且仅当7<1―a1<8，所以a1的取值范围是―73.利用函数周期性解数列问题例8数列{an}中a1=a2=1，a3=2，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3且anan+1an+2≠1成立.试求S100=a1+a2+…+a100的值.分析从递推式不易直接求通项，观察前几项a1=1，a2=1，a3=2，a4=4，a5=1，a6=1，a7=2，a8=4，a9=1，…可猜测该数列是以4为周期的周期数列.解由已知两式相减得通过上述实例的分析与说明，我们可以发现，在数列的教学中，应重视方程函数思想的渗透，应该把函数概念、图象、性质有机地融入到数列中，通过数列与函数知识的相互交汇，使学生的知识网络得以不断优化与完善，同时也使学生的思维能力得以不断发展与提高.高中数学思想方法介绍，高中数学解题思想方法与讲解数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。
数列证明的基本方法与策略总结
数列证明的基本方法与策略总结数列证明是数学中重要的一部分，通过使用不同的方法和策略，可以帮助我们证明数列中的特定性质和关系。
本文将总结数列证明的基本方法和策略，以帮助读者更好地应对相关问题。
一、归纳法归纳法是数列证明的常用方法，其基本思想是通过证明数列在某个条件下成立，然后再证明这个条件成立于下一个条件，从而推导出数列在所有条件下成立的结论。
常见的归纳法证明数列的方法有以下几种：1.1 强归纳法强归纳法是归纳法的一种扩展形式，它在证明一个数列的性质时，不仅考虑前一个条件成立，还需要考虑前面所有的条件成立。
强归纳法一般通过以下步骤进行证明：（1）证明基本情况成立，即证明数列在第一个条件下成立；（2）假设数列在前n个条件下成立；（3）证明数列在第n+1个条件下成立。
通过以上步骤，可以推导出数列在所有条件下成立的结论，从而完成证明。
1.2 弱归纳法弱归纳法是归纳法的一种简化形式，它只考虑前一个条件成立，不需要考虑前面所有的条件。
弱归纳法一般通过以下步骤进行证明：（1）证明基本情况成立，即证明数列在第一个条件下成立；（2）假设数列在第n个条件下成立；（3）证明数列在第n+1个条件下成立。
通过以上步骤，可以得出数列在所有条件下成立的结论。
二、递推法递推法是另一种常用的证明数列的方法，它通过逐步推导数列的每一项来证明数列的性质。
递推法一般分为以下几种形式：2.1 递推关系递推关系是通过数列的前几项来确定后一项的关系，常见的递推关系包括等差数列、等比数列等。
通过找到数列之间的递推关系，我们可以推导出数列的通项公式，从而证明数列的性质。
2.2 递归定义递归定义是通过将数列的第n项表示为前几项的函数形式来确定数列的性质。
通过递归定义，我们可以逐步求得数列的每一项，从而证明数列的性质。
三、数学归纳法数学归纳法是归纳法的一种特殊形式，它适用于证明形如“对于任意正整数n”的数学命题。
数学归纳法一般通过以下步骤进行证明：（1）证明基本情况成立，即证明数列在第一个条件下成立；（2）假设数列在第k个条件下成立；（3）证明数列在第k+1个条件下成立。
数列教学中体现的几点数学思想
（ ） 于公式 的推导要 讲清 思路 和 方法 ； １ 对
（ ２）对 于 公 式 的综 合 运 用 要 注 意 结 合 具 体 例 子 加
映到 人 的意 识之 中 ， 过思 维活 动 而产 生 的结果 ． 是 经 它 对 数 学 事 实 与 数 学 理 论 的 本 质 认 识 ． 学 思 想 是 人 们 数 对 数 学 知 识 和 数 学 方 法 的 本 质 认 识 ，是 数 学 知 识 与 数 学 方 法 的 高 度 抽 象 与 概 括 ．对 数 学 规 律 的 理 性 认 识 范 畴 ， 哲学 的高度 看 ， 学思 想方 法 本质 上 是辩 证法 在 从 数 数 学 科 学 中 的 体 现 ， 思 维 方 法 与 实 践 方 法 的概 括 ． 是 属 于 哲 学 思 维 方 法 的范 畴 ． 中学 的数 学 思 想 主 要 有严 谨 完 整 的 函数 思 想 、 分 类 讨论 思 想 、 应 思 想 、 标 法思 想 、 的扩 充思 想 、 对 坐 数 恒
３ １严 谨 完 整 的 思 想 。
等 变形 思想 、 数转 换思 想 、 限思想 等． 形 极
１２数 学 思 想 、 学 观 点 、 学 方 法 之 间 的 关 系 ． 数 数
数 学 思 想 、 学 观 点 、 学方 法 三 者 密 不 可 分 ． 数 数 如 果 人 们 站 在 某 个 位 置 ，从 某 个 角 度 并 运 用 数 学 去 观 察 和 思 考 问题 ， 么 数 学 思 想 也 就 成 了 一 种 观 点 ． 对 于 那 而 数 学 方 法 来 说 ，思 想 是 其 相 应 的 方 法 的精 神 实 质 和 理 论 基 础 ， 法 则 是 实 施 有 关 思 想 的 技 术 手 段 ． 学 思 想 方 数 方 法 可 以概 括 为 三 个 方 面 ： 号 化 与 变 换 思 想 ， 合 与 符 集 对 应 思 想 及 公 理 化 与 结 构 思 想 ，三 者 构 成 数 学 思 想 方
数列与数学归纳法
数列与数学归纳法数学中的数列是指一系列按照一定规律排列的数，而数学归纳法是一种证明数学命题的方法。
数列与数学归纳法密切相关，数学归纳法常常用于证明数列的性质和定理。
一、数列的定义与性质数列是将一系列数按照一定顺序排列而成的集合。
数列可以是有限的，也可以是无限的。
数列中的每个数称为数列的项，数列的第一个项称为首项，数列的第n个项称为第n项。
在数列中，每个数与它的前一个数之差称为公差，常用字母d表示。
如果数列中任意相邻两项的差值都相等，则称该数列为等差数列。
例如，1，3，5，7，9就是一个公差为2的等差数列。
数列的求和是指将数列中的各项相加得到的结果。
对于等差数列，求和可以利用求首项与末项之和乘以项数除以2的公式来计算。
二、数学归纳法的基本思想数学归纳法是一种证明数学命题的方法，其基本思想是通过证明两个命题：1.基本命题：当n取某个确定值时，命题成立；2.归纳步骤：假设当n=k时命题成立，然后通过这个假设证明当n=k+1时命题也成立。
基于这两个命题的证明，我们可以得出结论：对于所有正整数n，命题都成立。
三、利用数学归纳法证明数列的性质数学归纳法在证明数列的性质和定理时发挥了重要作用。
下面以数列的递推公式和数列的求和公式为例，说明如何利用数学归纳法进行证明。
1.数列的递推公式数列的递推公式是指通过前一项来定义后一项的关系式。
例如，斐波那契数列的递推公式为：F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(1) = 1，F(2)= 1。
利用数学归纳法可以证明斐波那契数列满足递推公式。
首先证明基本命题：当n = 1和n = 2时，斐波那契数列的递推公式成立。
然后假设当n = k时，递推公式成立。
接下来证明当n = k + 1时，递推公式也成立。
通过这个步骤的证明，我们可以得出结论：对于所有正整数n，斐波那契数列的递推公式都成立。
2.数列的求和公式数列的求和公式是指通过数列的前n项来计算数列的和。
对于等差数列，求和公式为Sn = (a1 + an) * n / 2，其中Sn表示等差数列的和，a1为首项，an为末项，n为项数。
高中数学数列问题中的数学思想
定 义 来 求 出 ｛ 去 ｝ 的 通 项 公 式 ， 从 而 得 出 ｛ ％ ） 的 通 项 公 式 ．
五、 逆 向 思 维 例５ 如果数列 ｆ ％ ｝ 满 足如下等式口 ｔ ： ｍ（ ｍ∈ Ｎ ） ， 而且
首项 ， ２ 为公 比的等 比数列．
（ ２ ） 由（ １ ） 可 以得至 Ｕ ％ ＋ 一 ％＝ ２ ， （ ｎ ∈Ｎ ） 当ｎ ≥２ 时， 有ａ ｎ ＝ （ ａ ． － ａ ｎ ＿ １ ） ＋ （ ａ １ 一 ） ＋ …＋ （ ０ １ ） ＋ １
、
函 数 方 程 思 想
例１ 已知等 差数 列 ｛ 的前 ｎ 项 和 为． ｓ ， 且 满 足Ｓ ：
前９ 项和ｓ 等于多少 ？
解： 根据等差数列ａ ２ ＋ ａ ｓ ＝ ａ ｌ ＋ ａ ９ ， 因为５ ９ ＝
．
Hale Waihona Puke ｍ， Ｓ ｍ ＝ ｎ （ ｎ ＃ｍ， ｎ ， ｍ∈ Ｎ ） ， 求 解： 由ｆ 为 等差数 列 ， 可设Ｓ ｎ ＝ Ａｎ ＋ Ｂ ｎ ， 则可 以得 到
用①一 ②得到Ａ（ ｍ２ ＿ ｎ ｚ ） 柏（ ｍ 一 ） ＝ — ｍ，
依据题意简化得到 （ ｍ ＋ ｎ ＿ ） ＋ Ｂ ＝ 一 １ ，
所 以Ｓ ｍ ￣ ＝ Ａ （ ｍ ＋ ｎ ） ２ ＋ Ｂ （ ｍ ＋ ｎ ） ＝ 一 （ ｍ ＋ ｎ ） ．
②
四、 函数 思 想
例４ 已 知，（ ） ： （ ＜ 一 ２ ） ， 设。 ： １ ， ：
当ｎ ＝ ｌ 时， ０ 。 ＝ ｌ 满 足ａ ． ＝ ２ ２ － １ ， 因此 ， ２ 一 ｌ （ ｎ ∈Ｎ ） ．
南 中 版 中・ 擞・ ？
教 参
解 法 探 究
求数列通项公式中的数学思想
解
由 ： j 得 ： ： 数 n
一
+ n
一
，
2
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一
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所 一
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2，
以
列
{ a ：) 是 以
1
为 首 项 ，2
为 公 差 的 等 差 数 列 ，所 以
： 口
一
1+ (n 一 1)
即 、／／云a 2 2 二 二 =
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一．
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●磊* 例 3
已 知 数 列 {n 。 }的 首 项
a
一
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3 通 ， 项 n 。 与 前 n
解
由 n一
薏岩 } 蒜 { 一
a 。 1- 6
得 i 再r a — 。+ 1
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嚣-‘
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* 例6
等知 {知 已 知 数 列
(‰口 。 }m中
n
一 。
一
， n …一 一
+ n 。
5，
求 数 列 {n 。 }的通 项 公 式 ．
数列通项公式的若干求法及转化思想
数列通项公式的若干求法及转化思想数列通项公式是数列中每一项的表达式，它可以帮助我们快速计算数列中的任意一项。
在数学学科中，数列通项公式的求法有多种，并且存在着一些转化思想可以帮助我们简化求解过程。
本文将介绍数列通项公式的若干求法以及相关的转化思想。
一、数列通项公式的递推关系求法在数列中，如果每一项都与前一项有规律地递推关系，我们可以通过观察这种递推关系来求解数列的通项公式。
以斐波那契数列为例，它的递推关系是每一项等于前两项的和。
即f(n) = f(n-1) + f(n-2)，其中f(n)表示第n项的值。
通过观察递推关系，我们可以推导出斐波那契数列的通项公式为f(n) = [(1+√5)/2]^n / √5 - [(1-√5)/2]^n / √5。
二、数列通项公式的公式求法有些数列的通项公式是通过数学公式直接求出的，这种方法适用于特定的数列。
比如等差数列，它的通项公式为a(n) = a(1) + (n-1)d，其中a(n)表示第n项的值，a(1)表示首项的值，d表示公差。
等比数列的通项公式为a(n) = a(1) * r^(n-1)，其中a(n)表示第n项的值，a(1)表示首项的值，r 表示公比。
三、数列通项公式的数学工具求法在数列的求解过程中，我们还可以借助一些数学工具来求出通项公式。
1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种常用的求解数列通项公式的方法。
它基于拉格朗日插值多项式的思想，通过已知的数列项来构造多项式，再根据多项式的性质求解通项公式。
2. 生成函数法生成函数是一种将数列转化为形式幂级数的数学工具，通过求解生成函数的表达式可以得到数列的通项公式。
四、数列通项公式的转化思想在求解数列通项公式的过程中，有时我们可以通过一些转化思想简化求解过程，使得问题更易于处理。
1. 利用性质转化有些数列具有周期性或对称性的性质，我们可以利用这些性质来求解数列的通项公式。
比如，等差数列中差值为1的数列，可以通过平方或立方等方式进行变形，得到更简单的表达式。
数列中蕴含的数学思想
数列中蕴含的数学思想
数列中蕴含的数学思想
数列是高中数学的重要内容，它与数、式、函数、方程、不等式有着密切的联系，是每年高考的必考内容。
同时数列综合问题中蕴含着许多数学思想与方法。
在处理数列综合问题时，若能灵活运用这些数学思想与方法，则会取得事半功倍的效果。
数列中蕴含的数学思想如下：
一．函数思想
数列本身就是一个特殊的函数，而且是离散的函数，因此在解题过程中，尤其在遇到等差数列与等比数列这两类特殊的数列时，可以将它们看成一个函数，进而运用函数的性质和特点来解决问题。
数列的通项公式和前n项和公式都可以看成n的函数，也可以看成是方程或方程组，特别是等差数列的通项公式可以看成是n的一次函数，而其求和公式可以看成是常数项为零的二次函数，因此许多数列问题可以用函数方程的思想进行分析，加以解决。
二．方程思想
数列这一章涉及了多个关于首项、末项、项数、公差、公比、第n项和前n项和这些量的数学公式，而公式本身就是一个等式，因此，在求这些数学量的过程中，可将它们看成相应的已知量和未知数，通过公式建立关于求未知量的方程，可以使解题变得清晰、明了，而且简化了解题过程。
数列的通项公式与前n项和的公式紧密地联系着五个基本量，“知三。
数列中的数学思想学习方法
数列中的数学思想学习方法
在数列综合问题中蕴含着许我重要的数学思想，如归纳思想、函数思想、方程思想、递推思想、化归思想、分类讨论思想，在这些思想的指导下产生许多解决数列问题的方法，让学生充分理解和掌握这些思想和方法，对提高解决数列综合问题的能力很为重要。
一.归纳思想
通过对命题在特殊情况下的考察与探索，发现并归纳出一般性的结论，再运用数学的方法对结论进行证明，这种归纳思想形成了解决数列问题的一种重要方法；观察、归纳、猜想、证明。
例1.设是数列的前n项和，且，数列的通项公式为，将数列和的公共项按它们在原数列中的先后顺序排成一个新数列，求。
分析：由，得，直接求出它们的公共项比较困难，可列举它们开始的若干项进行观察，发现规律后再进行证明。
等差数列基本数学思想总结
等差数列基本数学思想总结等差数列是数学中一个非常基本的概念，它在数学的各个领域中都有广泛的应用。
在学习与应用等差数列的过程中，我们不仅能够锻炼我们的计算能力和逻辑思维，还能加深对数学思想的理解。
本文将对等差数列的基本数学思想进行总结。
首先，我们需要明确等差数列的定义。
等差数列是指数列中的相邻两项之间差值保持不变的数列。
换句话说，对于一个等差数列来说，从第二项开始，每一项都是前一项加上一个固定的常数。
这个常数称为公差，用d表示。
在进行等差数列的计算时，我们通常会遇到等差数列的前n项和的问题。
这时，我们可以运用等差数列的求和公式进行计算。
等差数列的求和公式是一个非常重要的数学公式，它可以将等差数列的前n项和表示成n的函数形式。
具体来说，等差数列的前n项和Sn可以表示为Sn=n(a1+an)/2，其中a1是等差数列的首项，an是等差数列的第n项。
在理解了等差数列的基本概念之后，我们可以进一步研究等差数列的性质和特点。
首先，等差数列的项数是可以无限的，也就是说，等差数列中的元素可以无限延伸下去。
其次，等差数列中的每一项只依赖于前一项和公差，与其他项无关。
这意味着，我们可以通过已知的信息推导出等差数列的其他性质。
另外，在等差数列的应用中，我们还可以利用等差数列的性质解决一些实际问题。
比如，我们可以利用等差数列的求和公式来计算一些累加的问题。
在生活中，我们经常会遇到一些递增或递减的情况，比如存款的利息、车辆的速度、水龙头的水流等。
这些情况都可以用等差数列来建模和计算。
同时，等差数列还广泛应用于几何等差数列、等差数列的递推关系等数学概念的研究中。
总结起来，等差数列作为一种基本的数学概念，具有广泛的应用价值。
学习和应用等差数列的过程中，我们不仅可以提高我们的计算能力和逻辑思维能力，还能加深对数学思想的理解。
通过深入研究等差数列的性质和应用，我们可以将其扩展到更多领域，为解决实际问题提供有力的数学工具。
因此，熟练掌握等差数列的基本数学思想对于我们的学习和未来的发展都有着重要的意义。
数列求和问题的几种基本思想
的推 导 过 程 中 ， 有
种 非 常重 要 的思 想 就 是 倒 序 相 加 思 想 ， 即
Ｓ ｌ＋ａ ： ２十… ＋ａ ｌ＋Ⅱ ．
Ｓ ＝ｎ ＋ ａ
一
①
于 ， 表式 。｛ ： ≥． 是 达为 ＝ ｎ 的 ， 詈 ． 时ａ （Ｉ ａ ａ 当 ， ＝’ ｌ ． ｏ ａ ＋ ＝ ｃ ｂ 一 ｂ
●
． ８ ４
●
．
解 题 技 巧 与 方 法
黪 鼯
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ห้องสมุดไป่ตู้
数列求和问题昀几种基本思想
◎姜 力群 （ 黑龙 江省 大庆铁 人 中学 当前 ， 本 思 想 如 同 基 础 知 识 、 本 技 能 一 样 重 要 ． 基 基 而 基 本 思 想 有 层 次 之 分 ， 有 支 撑 数 学 科 学 发 展 的 基 本 思 想 既 １３１） ６ ３ ２
一
① 一② ， （一 得 Ｓ ）＝［ １ ２＋３× ５× Ｘ ４＋ ８＋… ＋（ ｎ一 ２ １ ２ ］ × ” ） 一ｎ ２ ， ③
令 Ｓ １× ３× ５Ｘ ＝ ２＋ ４＋ ８＋… … ＋（ ｎ一１ ２ ． ２ ） （
贝 Ｓ Ｕ２ ＝４＋３Ｘ８＋５×１ ６＋…・・ ２ ・ ＋（ ｎ一３） ＋（ ｎ一 ２ ２
数 学 学 习与 研 究
２ １ ００
、
一
１２ ． ） ④ 一 ， ⑤ 得
一
⑤
Ｓ ： ２ｘ ２× ２＋ ４＋ ８＋・ ＋ ２ ・ ２ｘ 一（ ｎ一１ ２ ・ ２ ）
＝
（ ３—２ ） ｎ２
一６ ．
。
“一 Ｓ，当ｎ １ ． １。 （ ＝ 时）
这 个思 想 的本质 在于 Ｓ ａ ＋ ＝ ａ ＋… ＋ 的逆 向运用． ａ 这 个 思 想 构 成 数 列 问 题 的 主 要 思 想 之 ～． 例 １ 已知 数 列 ｛ 的前 ｎ项 和 为 Ｓ ＝ａ ＋ （ ≠０ ， ａ｝ ｂ ｃａ ） （ ≠０ ｂ ） 求 ａ ｂ ， ≠１ ． 并说 明 数列 ｛ 是 何 数 列． ａ｝ 解 当 ｎ＝１时 ， ＝Ｓ ：ａ ＋Ｃ ａ ， ｂ ； 当ｎ ≥２时 ， ＝Ｓ ０ 一Ｓ 一 ＝（ ６ ｌ Ⅱ ＋ｃ ）一（ ｂ 一 ａ ＋ｃ ）＝
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故Tn＝ ln 2.
小结：方程思想是数学解题中常用的基本思想方法之一，注意到方程思想在数列间题中的应用.常可以简洁处理一些其他思想方法难以解决的数列问题。在等差数列和等比数列中，通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量：a1，an，n，q(d)，Sn，其中首项a1和公比q(公差d)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，an，n，q(d)，Sn的方程组，通过方程的思想解出需要的量．
解:当n=1时, ;
当n≥2时,
.
∴当1≤n≤9时, ,当n≥10时, .从而
当1≤n≤9时, =
= ;
当n≥10时, =
=
.
∴ =
小结：数列中的分类讨论多涉及对公差d、公比q、项数n的讨论,特别是对项数n的讨论成为近几年高考的热点.
四、整体的思想
整体思想就是从整体着眼,通过问题的整体形式、整体结构或其它整体处理后，达到简捷地解题的目的.
备用：数列 中， ，求数列 的最大项。.
小结：利用二次函数的性质解决等差数列的前n项和的最值问题，避免了复杂的运算过程.数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值围、最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的性质及研究方法指导解题．值得注意的是数列定义域是正整数集或{1,2,3，…，n}，这一特殊性对问题结果可能造成影响．
方法二 设数列{an}的公差为d，
∵S10＝S20，
∴10×29＋ d＝20×29＋ d，
解得d＝－2.
等差数列{an}的前n项和Sn＝ n2＋(a1－ )n是关于n的不含常数项的二次函数，根据其图象的对称性，由S10＝S20，知x＝ ＝15是其对称轴，
由d＝－2知二次函数的图象开口向下，
故n＝15时Sn最大．
例 、在等差数列 中，已知 ，
，求 的值。
解： ， ，
例4、在等比数列 中， ， ，
则 ________.
分析 根据题设条件可知 ＝q10＝ ，
而 ＝q90，故可整体代入求解．
解析 设等比数列{an}的公比为q，
则 ＝q10＝ ，
又 ＝q90＝(q10)9＝ 9，
故a99＋a100＝ 9(a9＋a10)＝ .
例 已知等差数列 的公差 是正数，且
，求其前 项和 。
解：由等差数列 知： ，从而 ，
故 是方程 的两根，又 ，解之，得： 。
再解方程组： ，
所以 。
<法一>
法二、基本量法，建立首项和公差的二元方程知三求二
点评：本题利用了 这一性质构造了二次方程巧妙的解出了 ，再利用方程求得了首项与公差的值，从而使问题得到解决，由此可知在数列解题时往往可借助方程的思想与 （或 ）找出解题的捷径。关注未知数的个数，关注独立方程的个数。
点评基本量法：性质法 技巧
备用：设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．
已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列．
(1)求数列{an}的通项；
(2)令bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.
解 (1)由已知得 解得a2＝2.
设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝ ，a3＝2q，
解：设 ，数列对应的图象是过原点的
抛物线上孤立的点，又 ， ，
对称轴为 且开口向下，
当 时， 取得最大值。
四种方法的比较
设数列{an}的公差为d，
∵S10＝S20，
∴10×29＋ d＝20×29＋ d，
解得d＝－2，
∴an＝－2n＋31，
设这个数列的前n项和最大，
则需
即
∴14.5≤n≤15.5，
∵n∈N*，∴n＝15.
二、函数思想
函数思想是用联系和变化的观点考察数学对象.数列是一类特殊的函数,以函数的观点认识理解数列，是解决数列问题的有效方法.
例2、已知等差数列 中， ， ，则该数列前多少项的和最大？
寻求通项，借助数列的单调性解决
解： ，
又 ，
令 ，所以数列首项为正，公差为负，
前 项为正，从第 项开始为负，所以前 项的和最大，
答案
小结：解决此题如果不把它与整体思想联系起来，那么直接解决要走很多弯路也不容易直接求出它的准确答案，因此此题应用了整体思想来解决了数列问题是非常重要的.
备用：已知数列 为等差数列，前 项和为 ，前 项中
又S3＝7，可知 ＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0.
解得q1＝2，q2＝ .由题意得q＞1，∴q＝2，∴a1＝1.
故数列{an}的通项为an＝2n－1.
(2)由于bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，
由(1)得a3n＋1＝23nபைடு நூலகம்∴bn＝ln 23n＝3nln 2.
又bn＋1－bn＝3ln 2，∴{bn}是等差数列，
。
巧用等差数列下标的性质，关注数列的单调性
解： ，
由等差数列下标的性质可得：
，
又 ，
当 时， 取得最大值。
又 ，
令 ，所以数列首项为正，公差为负，前 项为正，从第 项开始为负，
所以前 项的和最大，且 。
思路2：从函数的代数角度来分析数列问题
解： ，
又 ，
当 时， 取得最大值 。
思路3：从函数图象入手，数形结合
数列中的数学思想和方法
数学思想方法是数学知识的精髓,是知识转化为能力桥梁.能否有意识地正确运用数学思想方法解答数学问题，是衡量数学素质和数学能力的重要标志．数列中蕴涵了许多重要的数学思想，下面我们一起来看一看吧！
一、方程思想
方程思想就是通过设元建立方程,研究方程解决问题的方法.在解数列问题时,利用等差、等比数列的通项公式、求和公式及性质构造方程（组），是解数列问题基本方法.
例 、已知等差数列 的前 项的和 ，求 。
解： 当 时， ；
当 时， ；
综合 可知 。
点评：此例从分的体现了 与 的关系中隐含了分类讨论思想，其理由是 中脚码 必须为正整数。
备用：已知数列 的前 项和 ，
试求数列 的前 项和 的表达式.
分析:解题的关键是求出数列 的通项公式,并弄清数列 中各项的符号以便化去 的绝对值.故需分类探讨．
三、分类讨论思想
复杂问题无法一次性解决,常需分类研究,化整为零,各个击破.数列中蕴含着丰富的分类讨论的问题.分类讨论是一种逻辑方法,同时又是一种重要的解题策略,在数学解题中有广泛的应用.所谓分类讨论,是在讨论对象明确的条件下,按照同一的分类标准,不重复、不遗漏、不越级的原则下进行的.它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法.