数列中的数学思想和方法

二、函数思想
函数思想是用联系和变化的观点考察数学对象.数列是一类特殊的函数,以函数的观点认识理解数列，是解决数列问题的有效方法.
例2、已知等差数列 中， ， ，则该数列前多少项的和最大？
寻求通项，借助数列的单调性解决
解： ，
又 ，
令 ，所以数列首项为正，公差为负，
前 项为正，从第 项开始为负，所以前 项的和最大，
点评基本量法：性质法 技巧
备用：设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．
已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列．
(1)求数列{an}的通项；
(2)令bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.
解 (1)由已知得 解得a2＝2.
设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝ ，a3＝2q，
解：设 ，数列对应的图象是过原点的
抛物线上孤立的点，又 ， ，
对称轴为 且开口向下，
当 时， 取得最大值。
四种方法的比较
设数列{an}的公差为d，
∵S10＝S20，
∴10×29＋ d＝20×29＋ d，
解得d＝－2，
∴an＝－2n＋31，
设这个数列的前n项和最大，
则需
即
∴14.5≤n≤15.5，
∵n∈N*，∴n＝15.
例 已知等差数列 的公差 是正数，且
，求其前 项和 。
解：由等差数列 知： ，从而 ，
故 是方程 的两根，又 ，解之，得： 。
再解方程组： ，
所以 。
<法一>
法二、基本量法，建立首项和公差的二元方程知三求二
点评：本题利用了 这一性质构造了二次方程巧妙的解出了 ，再利用方程求得了首项与公差的值，从而使问题得到解决，由此可知在数列解题时往往可借助方程的思想与 （或 ）找出解题的捷径。关注未知数的个数，关注独立方程的个数。
解:当n=1时, ;
当n≥2时,
.
∴当1≤n≤9时, ,当n≥10时, .从而
当1≤n≤9时, =
= ;
当n≥10时, =
=
.
∴ =
小结：数列中的分类讨论多涉及对公差d、公比q、项数n的讨论,特别是对项数n的讨论成为近几年高考的热点.
四、整体的思想
整体思想就是从整体着眼,通过问题的整体形式、整体结构或其它整体处理后，达到简捷地解题的目的.
答案
小结：解决此题如果不把它与整体思想联系起来，那么直接解决要走很多弯路也不容易直接求出它的准确答案，因此此题应用了整体思想来解决了数列问题是非常重要的.
备用：已知数列 为等差ຫໍສະໝຸດ Baidu列，前 项和为 ，前 项中
数列中的数学思想和方法
数学思想方法是数学知识的精髓,是知识转化为能力桥梁.能否有意识地正确运用数学思想方法解答数学问题，是衡量数学素质和数学能力的重要标志．数列中蕴涵了许多重要的数学思想，下面我们一起来看一看吧！
一、方程思想
方程思想就是通过设元建立方程,研究方程解决问题的方法.在解数列问题时,利用等差、等比数列的通项公式、求和公式及性质构造方程（组），是解数列问题基本方法.
例 、在等差数列 中，已知 ，
，求 的值。
解： ， ，
例4、在等比数列 中， ， ，
则 ________.
分析 根据题设条件可知 ＝q10＝ ，
而 ＝q90，故可整体代入求解．
解析 设等比数列{an}的公比为q，
则 ＝q10＝ ，
又 ＝q90＝(q10)9＝ 9，
故a99＋a100＝ 9(a9＋a10)＝ .
备用：数列 中， ，求数列 的最大项。.
小结：利用二次函数的性质解决等差数列的前n项和的最值问题，避免了复杂的运算过程.数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值围、最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的性质及研究方法指导解题．值得注意的是数列定义域是正整数集或{1,2,3，…，n}，这一特殊性对问题结果可能造成影响．
方法二 设数列{an}的公差为d，
∵S10＝S20，
∴10×29＋ d＝20×29＋ d，
解得d＝－2.
等差数列{an}的前n项和Sn＝ n2＋(a1－ )n是关于n的不含常数项的二次函数，根据其图象的对称性，由S10＝S20，知x＝ ＝15是其对称轴，
由d＝－2知二次函数的图象开口向下，
故n＝15时Sn最大．
例 、已知等差数列 的前 项的和 ，求 。
解： 当 时， ；
当 时， ；
综合 可知 。
点评：此例从分的体现了 与 的关系中隐含了分类讨论思想，其理由是 中脚码 必须为正整数。
备用：已知数列 的前 项和 ，
试求数列 的前 项和 的表达式.
分析:解题的关键是求出数列 的通项公式,并弄清数列 中各项的符号以便化去 的绝对值.故需分类探讨．
又S3＝7，可知 ＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0.
解得q1＝2，q2＝ .由题意得q＞1，∴q＝2，∴a1＝1.
故数列{an}的通项为an＝2n－1.
(2)由于bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，
由(1)得a3n＋1＝23n，∴bn＝ln 23n＝3nln 2.
又bn＋1－bn＝3ln 2，∴{bn}是等差数列，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝ ＝ ·ln 2.
故Tn＝ ln 2.
小结：方程思想是数学解题中常用的基本思想方法之一，注意到方程思想在数列间题中的应用.常可以简洁处理一些其他思想方法难以解决的数列问题。在等差数列和等比数列中，通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量：a1，an，n，q(d)，Sn，其中首项a1和公比q(公差d)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，an，n，q(d)，Sn的方程组，通过方程的思想解出需要的量．
三、分类讨论思想
复杂问题无法一次性解决,常需分类研究,化整为零,各个击破.数列中蕴含着丰富的分类讨论的问题.分类讨论是一种逻辑方法,同时又是一种重要的解题策略,在数学解题中有广泛的应用.所谓分类讨论,是在讨论对象明确的条件下,按照同一的分类标准,不重复、不遗漏、不越级的原则下进行的.它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法.
。
巧用等差数列下标的性质，关注数列的单调性
解： ，
由等差数列下标的性质可得：
，
又 ，
当 时， 取得最大值。
又 ，
令 ，所以数列首项为正，公差为负，前 项为正，从第 项开始为负，
所以前 项的和最大，且 。
思路2：从函数的代数角度来分析数列问题
解： ，
又 ，
当 时， 取得最大值 。
思路3：从函数图象入手，数形结合