数学抽象方法汇总
培养学生的数学抽象思维能力的方法
培养学生的数学抽象思维能力的方法数学是一门需要抽象思维的学科，培养学生的数学抽象思维能力对于他们的数学学习和发展至关重要。
然而，很多学生在面对抽象的数学概念和问题时感到困惑和无所适从。
那么，我们应该如何培养学生的数学抽象思维能力呢？一、构建概念图构建概念图是培养学生数学抽象思维能力的有效方法之一。
教师可以从简单到复杂，由具体到抽象的方式，引导学生逐渐建立起丰富的数学概念网络。
例如，在教学整数概念时，可以先引导学生思考正整数、负整数、零等概念，并让他们之间建立联系，形成一个完整的概念图谱。
通过概念图的构建，学生能够更好地理解数学概念之间的联系，从而培养他们的数学抽象思维能力。
二、解决实际问题解决实际问题是培养学生数学抽象思维能力的重要途径之一。
教师可以通过引入真实的生活问题或者应用场景，让学生将数学知识应用到实践中。
例如，在教学平方根的概念时，可以提出一个实际问题：“小明需要在给定的土地上种植草坪，他想知道需要多少种草皮才能覆盖整个土地。
”通过这样的问题，学生需要运用平方根的概念进行计算，从而将数学知识与实际问题相结合，培养他们的数学抽象思维能力。
三、推理和证明推理和证明是培养学生数学抽象思维能力的重要手段之一。
教师可以引导学生通过数学推理和证明，培养他们思考问题、分析问题和解决问题的能力。
例如，在教学等差数列的概念时，可以引导学生通过归纳和推理，得出等差数列的通项公式，并通过具体的例子进行验证。
通过这样的推理和证明过程，学生能够更好地理解和掌握数学知识，培养他们的数学抽象思维能力。
四、培养数学思维习惯培养学生数学思维习惯是培养他们数学抽象思维能力的重要途径之一。
教师可以通过日常的数学练习和思考题，培养学生的数学思维方式和习惯。
例如，教师可以布置一些开放性的问题，让学生思考并提供多种解决方法。
这样的习题可以激发学生的思考和创造力，培养他们的数学抽象思维能力。
总结起来，培养学生的数学抽象思维能力需要通过构建概念图、解决实际问题、推理和证明以及培养数学思维习惯等方法来实现。
初中数学学习的抽象表达技巧(含学习方法技巧、例题示范教学方法)
初中数学学习的抽象表达技巧抽象表达技巧是初中数学学习中至关重要的能力。
它不仅可以帮助学生更好地理解和解决问题，还能够提高他们的数学思维水平。
在这篇文章中，我们将深入探讨初中数学学习中的一些抽象表达技巧，并探讨如何有效地应用它们。
一、理解数学概念的本质在初中数学学习中，理解数学概念的本质是掌握抽象表达技巧的第一步。
学生需要通过观察、思考和归纳，深入了解数学概念的内涵和外延。
例如，在学习了“平行线”这一概念后，学生应该明白平行线的本质特征是两条直线在同一平面内，且不相交。
这一概念的理解不仅可以帮助学生解决与平行线相关的问题，还能够为后续学习更复杂的几何知识打下坚实的基础。
二、运用符号语言在初中数学学习中，运用符号语言是表达数学概念和关系的重要手段。
学生需要熟练掌握各种数学符号的含义和用法，例如加减乘除符号、等于号、不等号等。
通过运用符号语言，学生可以更准确、简洁地表达数学概念和运算规律。
例如，学生应该知道“a+b”表示两个数a和b的和，"a*b“表示两个数a和b的乘积。
此外，学生还应该掌握代数表达式和方程的写法，例如”ax+b=0"表示一个一次方程。
三、运用图形语言在初中数学学习中，运用图形语言可以帮助学生更直观地理解和表达数学概念。
学生需要熟练掌握各种几何图形的特征和性质，并能够运用图形语言来解决问题。
例如，学生应该知道矩形的对角线相等，三角形的内角和为180度等。
通过运用图形语言，学生可以更直观地理解和证明数学定理和公式。
例如，学生可以通过绘制图形来证明“勾股定理”。
四、运用逻辑推理在初中数学学习中，运用逻辑推理是解决数学问题的关键。
学生需要熟练掌握各种逻辑推理方法，例如归纳推理、演绎推理和类比推理等。
通过运用逻辑推理，学生可以从已知事实出发，得出新的结论和解决方案。
例如，学生可以通过归纳推理来证明“等差数列的求和公式”。
五、培养数学思维习惯在初中数学学习中，培养数学思维习惯是提高抽象表达技巧的重要途径。
数学中的抽象思维与思维方法
数学中的抽象思维与思维方法数学是一门理性思维与逻辑思维相结合的学科，它需要我们具备良好的抽象思维和运用有效的思维方法。
抽象思维是指将具体问题中的共性和本质进行提取和概括，思维方法则是指在解决问题时采取的套路和思考方式。
本文将从数学中的抽象思维和思维方法两个方面来探讨。
一.数学中的抽象思维数学的发展离不开抽象思维的运用。
抽象思维是指通过提取事物的共性与本质，将具体问题进行理性概括和抽象化的思维过程。
在数学中，抽象思维能够帮助我们理清问题的逻辑结构，找出问题的本质和规律。
1. 概念的抽象在数学中，概念是一切推理和论证的基础。
概念的形成需要我们对具体对象进行分类和归纳，将其相同的特征抽象出来，形成更高级别的概念。
例如，将不同的几何图形进行分类，我们可以抽象出“三角形”、“四边形”等几何概念，从而研究它们的共同性质。
2. 符号的运用符号在数学中起到了语言的作用，它可以帮助我们简洁、准确地表达数学概念和关系。
数学符号的引入，将复杂的问题转化为简单的符号运算，使得问题的表达更加精确和清晰。
比如，在代数中，我们用字母表示未知数，可以用简洁的代数表达式来表示复杂的数学关系。
3. 全盘抽象数学思维要求我们从一个更高的层次来看待和分析问题。
全盘抽象是指将具体问题中的各个要素进行整体思考和概括，从而发现问题之间的共性和联系。
例如，当我们研究某个数列时，要从整体上考虑数列的递推关系、极限性质等，而不仅仅局限于数列的具体项。
二. 数学中的思维方法除了抽象思维，数学中还有一些常用的思维方法，这些方法能够帮助我们更好地解决数学问题。
1. 归纳法归纳法是数学研究中常用的一种思维方法。
通过观察某一问题的若干个具体实例，总结其中的规律和特点，进而推广到一般情况。
归纳法在数学证明中起到了重要的作用，可以将具体问题抽象成一般性结论。
2. 演绎法演绎法是从已知条件出发，利用逻辑推理而得出结论的思维方法。
它是数学证明过程中的重要手段，通过运用数学公理、定理和推理规则，逐步推导出所要证明的结论。
小学数学11种抽象思维解题方法
小学数学11种抽象思维解题方法在小学数学解题方法中，运用概念、判断、推理来反映现实的思维过程，叫抽象思维，也叫逻辑思维。
下面是小编为大家收集关于小学数学11种抽象思维解题方法，欢迎借鉴参考。
抽象思维又分为：形式思维和辩证思维。
客观现实有其相对稳定的一面，我们就可以采用形式思维的方式;客观存在也有其不断发展变化的一面，我们可以采用辩证思维的方式。
形式思维是辩证思维的基础。
形式思维能力：分析、综合、比较、抽象、概括、判断、推理。
辩证思维能力：联系、发展变化、对立统一律、质量互变律、否定之否定律。
小学数学要培养学生初步的抽象思维能力，重点突出在：(1)思维品质上，应该具备思维的敏捷性、灵活性、联系性和创造性。
(2)思维方法上，应该学会有条有理，有根有据地思考。
(3)思维要求上，思路清晰，因果分明，言必有据，推理严密。
(4)思维训练上，应该要求：正确地运用概念，恰当地下判断，合乎逻辑地推理。
1、对照法如何正确地理解和运用数学概念?小学数学常用的方法就是对照法。
根据数学题意，对照概念、性质、定律、法则、公式、名词、术语的含义和实质，依靠对数学知识的理解、记忆、辨识、再现、迁移来解题的方法叫做对照法。
这个方法的思维意义就在于，训练学生对数学知识的正确理解、牢固记忆、准确辨识。
例1：三个连续自然数的和是18，则这三个自然数从小到大分别是多少?对照自然数的概念和连续自然数的性质可以知道：三个连续自然数和的平均数就是这三个连续自然数的中间那个数。
例2：判断题：能被2除尽的数一定是偶数。
这里要对照“除尽”和“偶数”这两个数学概念。
只有这两个概念全理解了，才能做出正确判断。
2、公式法运用定律、公式、规则、法则来解决问题的方法。
它体现的是由一般到特殊的演绎思维。
公式法简便、有效，也是小学生学习数学必须学会和掌握的一种方法。
但一定要让学生对公式、定律、规则、法则有一个正确而深刻的理解，并能准确运用。
例3：计算59×37+12×59+5959×37+12×59+59=59×(37+12+1)…………运用乘法分配律=59×50…………运用加法计算法则=(60-1)×50…………运用数的组成规则=60×50-1×50…………运用乘法分配律=3000-50…………运用乘法计算法则=2950…………运用减法计算法则3、比较法通过对比数学条件及问题的异同点，研究产生异同点的原因，从而发现解决问题的方法，叫比较法。
数学抽象思维能力培养途径
数学抽象思维能力培养途径数学抽象思维是指通过抽象化、逻辑推理和模型构建等方法，对数学问题进行深入思考和解决问题的能力。
培养数学抽象思维能力对于学生的数学学习和发展具有重要意义。
下面将介绍一些培养数学抽象思维能力的途径。
一、培养抽象思维的基本方法1. 概念理解训练：通过课堂学习和课后巩固训练，加深对数学概念的理解和掌握，掌握概念的本质和特征，学会从具体问题中抽象出概念，并能准确应用到具体问题中。
2. 推理与证明能力的培养：通过解题、证明过程分析和习题训练，培养学生的逻辑思维和证明能力，使学生能够准确地运用数学推理方法来解决数学问题，并能够理解和运用各种证明方法。
3. 思维模型构建：通过问题分析和思维模型构建，培养学生的问题解决能力和创新思维能力。
学生应该学会用数学模型来描述和解决实际问题，运用抽象思维来提炼和抓住问题的关键点，构建合适的数学模型进行求解。
4. 实践与应用能力培养：通过数学建模、实验和应用等实践活动，培养学生通过数学知识和方法解决实际问题的能力，提高学生对数学应用的理解和抽象思维能力。
二、重点培养的能力和方法三、培养抽象思维能力的教学策略1. 强调基本概念的理解和应用：教师应该注重对数学基本概念的讲解和应用，引导学生理解概念的本质和特征，并能够准确应用到具体问题中。
2. 引导学生进行思维逻辑的训练：教师可以通过讲解解题思路和推理过程，引导学生进行思维逻辑的训练，培养学生的逻辑思维和推理能力。
3. 提供多样化的问题：教师应该提供多样化的数学问题，既有基础性的练习题，又有启发性的探究问题，引导学生进行思考和解决问题。
4. 鼓励学生自主探究：教师应该鼓励学生进行自主学习和探究，提供适当的学习资源和环境，引导学生主动思考、解决问题，并给予及时的反馈和指导。
5. 激发学生兴趣和动机：通过举办数学竞赛、组织数学活动和讲座等方式，激发学生对数学的兴趣和热爱，提高学生主动学习和思考的动机。
数学思想之数学抽象
例“圆”是在“点”、“距离”、“轨迹” 等概念及“相等”等关系的基础上,明确“定义” 逻辑地构建出来的. （3）数学抽象程度的高度性. A.多层次抽象;B.远离现实模型.
3.数学抽象的两个具体方法
（1）强抽象
从事物具有的若干属性中,强化或者添加某些属 性的抽象称为强抽象.
lim
t0
s t
.
例2.导数概念是高度抽象的结果
二级抽象：求物体直线运动的瞬时速度、曲线的 斜率以及电流的强度等概念进行抽象.
一级亚抽象 函数 y f ( x), x [a, b]；
二级亚抽象 x x x0，y f ( x) f ( x0 ), x0 [a, b]；
三级亚抽象 函数的平均变化率，y = f ( x0 x) f ( x0 )；
x
x
四级亚抽象
导数
f ( x0 )
lim
x0
y x
lim
x0
f ( x0
x) x
f ( x0 ) .
数学抽象
数学思想方法简介
1.何谓数学抽象
何谓抽象,是指舍弃事物的个别的、非本 质的属性,抽取出本质属性的过程和方法.
数学抽象,是一种特殊抽象,是仅仅从 事物的量的属性进行抽取的抽象.
2.数学抽象的特点
（1）数学抽象内容的量的特定性. 仅仅从量的方面抽取,即只着眼于事物存在的
数量关系和空间形式.有别于其他科学. （2）数学抽象方法的逻辑建构性.
一组对边 平行
两组对边 平行
对角相等
对边相等
任意四边形
梯形
平行四边形
矩形
(2)弱抽象
从事物的若干属性中减弱或去掉某些属性的 抽象称为弱抽象.
高考数学抽象函数6种快速解题方法与技巧(....
高考数学抽象函数的6大快速解题技巧1.换元法换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法.例1. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos 2x, 求f(x)解:令u=1+sinx,则sinx=u-1 (0≤u ≤2),则f(u)=-u 2+3u+1 (0≤u ≤2)故f(x)=-x 2+3x+1 (0≤u ≤2)2.方程组法运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题。
例2..232|)x (f :|,x )x 1(f 2)x (f ),)x (f ,x ()x (f y ≥=-=求证且为实数即是实数函数设 解:02)x (xf 3 x ,x1)x (f 2)x1(f ,x x 12=++=-与已知得得代换用 .232|)x (f |,024)x (9f 02≥∴≥⨯-≥∆得由例3.f(x).1),x 0(x ,x 1)x1x (f )x (f 求且已知≠≠+=-+ 解:(1)1),x 0(x x 1)x1x (f )x (f ≠≠+=-+且 ,x1x 1)x 1x 1x 1x (f )x 1x (f :x x 1-x -+=---+-得代换用 :x )1(x-11 (2) .x 1x 2)x 11(f )x 1-x f( 得中的代换再以即-=-+ (3) .x1x 2)x (f )x -11f( ,x 111)x111x 11(f )1x 1(f --=+-+=---+-即 1)x 0(x x2x 21x x )x (f :2)2()3()1(223≠≠---=-+且得由 3.待定系数法如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。
例4.已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x).解:由已知得f(x)是二次多项式，设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0)代入比较系数得过且过:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x 2-2x-1.4.赋值法有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。
初中数学课程_第六章数学抽象
初中数学课程_第六章数学抽象第六章数学抽象抽象是人类认识世界的一种科学的方法和思维活动，而数学的抽象是一种特殊的思维活动，除了具有抽象的一般共性外，数学的抽象又具有自己特殊的性质。
抽象性通常被认为是数学的一个基本特征，一切数学对象都是抽象思维的产物。
抽象是思维的基础，只有具备了一定的抽象能力，才可能从感性认识中获得事物的本质特征，从而上升到理性认识。
本章将就一般的抽象、科学的抽象和数学的抽象其含义进行说明，并阐述数学抽象的层次性、数学概念的抽象存在性、数学抽象的方法等问题，同时阐述在中小学数学教学中尤为重要的数量关系的抽象、空间形式的抽象、模型模式的抽象。
第一节数学抽象一、如何理解抽象的一般含义？抽象和具体是一对哲学范畴，是在实践过程中正确认识事物的部分与整体的处理具体和抽象的辩证关系的科学思维方法。
具体是指对客观存在着的各种事物或在认识中的整体的反映，是特定事物多方面属性、特点、联系和关系的统一。
而抽象则是指从具体事物中被抽象出来的相对独立的各个属性、特征、联系和关系。
抽象是正确反映客观事物本质，形成概念、范畴的一种思维方法。
它是在对事物的属性进行分析、综合、比较的基础上，抽取出事物的本质属性，撇开非本质属性，从而形成对某一事物的概念。
例如，“人”这个概念，就是在对千差万别的人进行分析、综合、比较的基础上，撇开了他们的非本质属性（肤色、语言、国别、性别、年龄、职业等等），抽取出他们的本质属性（都是能够进行高级思维活动、能够按照一定目的制造和使用工具的动物）而形成的，这就是抽象。
抽象和具体是人们认识过程中的两个不同的方面，也是两种不同的方法，二者即是对立又是统一的，并在一定条件下相互转化。
人类认识发展的历史证明，由感性具体进到理性抽象和再由理性抽象进到理性具体相结合的认识方法，既体现了认识过程的辩证法，又是人类认识世界的科学方法。
二、如何理解科学抽象？科学的抽象必须具备客观性、实在性和可检验性，都是客观事物所具有的某种属性、关系的反映，不是空洞的、荒谬的、神秘的虚构。
数学抽象思维的培养方法
数学抽象思维的培养方法数学是一门需要抽象思维能力的学科，其复杂性和抽象性常常让学生望而却步。
然而，学习数学并不难，如果我们能够掌握一些抽象思维的方法，那么就能够更轻松地理解和掌握数学知识。
本文将介绍数学抽象思维的培养方法。
1. 建立数学模型数学是解决实际问题的工具。
将实际问题转化为数学问题，并建立相应的数学模型，可以帮助我们更好地理解问题本质和解决方法。
例如，对于一道关于反比例函数的题目，我们可以建立两个量的比值，然后列出反比例函数的定义式，这样就可以更好地理解该函数的性质和解决该问题的方法。
2. 练习推理能力推理是数学思维的核心。
通过练习推理能力，可以培养出更好的数学抽象思维。
在课堂上学习，我们可以尝试自己推导出公式，或者通过举一反三等方法推导出其他相关知识点。
通过尝试推理，我们可以更好地理解数学知识和掌握解题方法。
3. 培养直觉数学抽象思维并不只是推理能力，它也需要直觉和想象力。
当我们遇到一个数学问题时，能够形成的第一反应通常是直觉，然后我们再通过推导验证直觉的正确性。
因此，培养直觉是提高数学抽象思维的重要手段。
在学习数学时，我们可以通过观察数学问题的几何图形或者表格数据等方法，培养自己的直觉。
4. 运用数学语言数学语言是一门特殊的语言，它包括数学符号、公式、定义等。
当我们学习数学时，需要熟悉这种语言，并尝试用它表达自己的想法和解释问题。
通过运用数学语言，我们可以更好地理解数学知识和思维方法，以及和其他同学和老师进行沟通和交流。
5. 反思和总结学习数学是一个持久的过程。
当我们学习完一道数学题或者一个知识点时，我们应该反思和总结，思考自己的理解和掌握是否达到了预期。
通过反思和总结，我们可以不断优化自己的学习方法，提高数学抽象思维能力。
总之，数学抽象思维是学习数学的基础和关键，需要我们不断地进行培养和练习。
通过建立数学模型、练习推理能力、培养直觉、运用数学语言以及反思和总结，我们可以更好地理解和掌握数学知识，从而成为更好的数学学习者。
高中数学解题方法系列：函数问题中抽象函数的4种策略
高中数学解题方法系列：函数问题中抽象函数的4种策略抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则的函数问题。
对考查学生的创新精神、实践能力和运用数学的能力，有着十分重要的作用。
化抽象为具体,联想类比思维都有助于问题的思考和解决。
一、数形结合使抽象函数具体一般地讲，抽象函数的图象为示意图居多，有的示意图可能只能根据题意作出n 个孤立的点，但通过示意图却使抽象变形象化，有利于观察、对比、减少推理、减小计算量等好处。
例1、设奇函数()f x 的定义域为[5,5]-，若当x (]5,0∈时，()f x 是增函数且f(2)=o 求不等式x ()0f x <的解。
分析：f(x)的图像如图所示x>0时2<x 5≤x<0时-2<x 0≤例2、已知函数f （x ）对一切实数x 都有f （2+x ）=f （2-x ），如果方程f （x ）=0恰好有4个不同的实根，求这些实根之和。
分析：由f （2+x ）=f （2-x ）知直线x=2是函数图象的对称轴，又f （x ）=0有四根，现从大到小依次设为x 1、x 2、x 3、x 4，则x 1与x 4，x 2与x 3均关于x=2对称，∴x 1+x 4=x 2+x 3=2×2=4，∴x 1+x 2+x 3+x 4=8。
评注：一般地，若函数f （x ）满足f （a+x ）=f （a-x ），则直线x=a 是函数图象的对称轴，利用对称性，数形结合，可使抽象函数问题迎刃而解。
二、利用单调性定义使问题具体加上函数符号f 即为“穿”，去掉函数符号f 即为“脱”。
对于有些抽象函数，可根据函数的单调性，实现对函数符号的“穿脱”，以达到简化的目的。
例3已知f(x)是定义在（0，）上的增函数，且f(y x )=f(x)-f(y)，若f(6)=1，解不等式。
f(x+5)-f(x1)<2分析：由f(6)=1，f(yx )=f(x)-f(y)得：f(636)=f(36)-f(6)，所以f(36)=2。
小学数学学习方法如何提升孩子的数学抽象思维能力
小学数学学习方法如何提升孩子的数学抽象思维能力数学是一门极富挑战性的学科，对于小学生来说，学好数学不仅需要掌握计算技巧，更需要培养抽象思维能力。
抽象思维能力是指孩子能够将具体问题中的关系和规律抽象出来，进而解决抽象问题的能力。
本文将介绍一些提升小学生数学抽象思维能力的学习方法。
一、通过游戏培养数学抽象思维能力游戏是孩子们接触数学的一种有效途径，通过游戏能够激发他们的学习兴趣，提高抽象思维能力。
以下是几种有助于培养数学抽象思维能力的游戏：1. 数字拼图：给孩子一些数字卡片，让他们根据规定的运算规则将数字卡片拼接起来，从而培养孩子的逻辑思维和抽象推理能力。
2. 数学迷宫：创建一个数学迷宫，孩子需要按照规定的运算方法找到通往终点的路径，这有助于培养孩子在复杂问题中进行抽象思考和判断的能力。
3. 数字逻辑游戏：让孩子通过逻辑推理和抽象思维解决数学难题，如数独、华容道等。
这类游戏能够提高孩子的问题解决能力和思维灵活度。
二、通过实际问题培养数学抽象思维能力将数学与实际问题相结合，能够帮助孩子理解数学的抽象概念。
以下是一些通过实际问题培养数学抽象思维能力的方法：1. 实物模型：用具体的实物或模型来帮助孩子理解抽象的数学概念。
例如，在教授平面几何时，可以用纸片剪裁出各种形状，让孩子亲自操作，从而培养他们的空间抽象思维能力。
2. 数学应用：将数学知识应用于日常生活中的问题，让孩子发现数学的实际运用。
比如，在购物时带孩子计算价格、找零等，培养他们对数字和数量的抽象理解能力。
三、通过思维导图培养数学抽象思维能力思维导图是一种用图形方式展示思维过程的工具，对于培养孩子的数学抽象思维能力非常有效。
以下是利用思维导图提升数学抽象思维能力的方法：1. 主题思维导图：以某个数学概念为主题，根据该概念的不同方面构建关联的子主题，从而帮助孩子理清数学知识的结构和关系，培养他们的抽象思维能力。
2. 问题解决思维导图：将数学问题的关键信息和解题步骤以图形化的方式展示在思维导图中，让孩子能够从整体把握问题，通过思维导图的分支，引导孩子进行抽象问题的解决思路。
数学课堂中的抽象思维培养与问题解决方法
数学课堂中的抽象思维培养与问题解决方法数学作为一门学科，不仅仅局限于计算和公式的运用，更重要的是培养学生的抽象思维能力和问题解决能力。
在数学课堂中，教师应该通过一系列的教学方法和策略来促进学生的抽象思维发展，并帮助他们掌握解决各类问题的方法。
本文将探讨数学课堂中的抽象思维培养与问题解决方法。
一、培养抽象思维的教学方法1. 提供具体的实例和情境在数学课堂上，教师可以通过提供具体的实例和情境，将抽象的数学概念与学生实际生活联系起来。
例如，在教授几何学时，可以通过举一些常见的几何图形，如正方形、长方形等，让学生观察图形的特征，并引导他们总结出几何概念。
通过这种方式，学生可以更容易地理解和掌握抽象的数学概念。
2. 引导学生进行分析和推理在解决数学问题时，学生需要进行分析和推理，而这正是抽象思维的核心。
教师可以通过提出一系列数学问题，引导学生进行问题分析和推理。
例如，在教授代数学时，可以引导学生观察数学方程式的特征，并通过一些例子来让他们进行推理。
这种方法可以培养学生的逻辑思维和分析能力，促进他们的抽象思维发展。
3. 鼓励学生进行思维导图和概念图的制作思维导图和概念图是一种将抽象思维可视化的方法，可以帮助学生更好地理解和组织信息。
在数学课堂上，教师可以鼓励学生进行思维导图和概念图的制作。
通过将数学概念和知识点进行归类和整理，学生可以更清晰地理解数学的抽象概念，并将其应用于问题解决中。
二、问题解决方法的培养1. 培养问题意识问题解决是数学学习的核心，而培养学生的问题意识是解决问题的第一步。
在数学课堂上，教师可以通过提出一些具有挑战性的问题，激发学生的兴趣和求知欲。
通过培养学生的问题意识，他们可以主动思考和探索问题的解决方法。
2. 培养分析和解决问题的策略在解决数学问题时，学生需要掌握一些问题解决的策略。
教师可以引导学生学习和运用一些常见的问题解决方法，如猜想与验证、逆向思维等。
通过训练和实践，学生可以逐渐培养出解决问题的能力，并运用这些方法来解决复杂的数学问题。
数学学习的魔法五个方法帮助你轻松理解抽象概念
数学学习的魔法五个方法帮助你轻松理解抽象概念数学是一门需要抽象思维和逻辑推理能力的学科，对许多人来说，理解和掌握数学中的抽象概念是一项挑战。
然而，有许多方法可以帮助我们轻松理解这些抽象概念，使数学学习变得简单而有趣。
下面将介绍五个数学学习的魔法方法，帮助你轻松理解抽象概念。
魔法方法一：找到具体的例子人们对具体的事物更容易理解和记忆，因此，找到具体的例子来帮助学习抽象概念是非常有效的方法。
以代数中的方程为例，让我们来看一个具体的问题：小明有两个苹果，他想要知道还需要多少个苹果才能有5个。
这个问题可以用一个方程表示为2 + x = 5，其中x代表需要的苹果数量。
通过这个具体的例子，我们就能更好地理解和解决代数方程的抽象概念。
魔法方法二：使用图形和图像视觉化是理解抽象概念的一种强大工具。
通过将抽象概念转化为图形和图像，可以更直观地理解数学概念。
以几何中的平行线和垂直线为例，通过绘制图形，我们可以更清楚地看到这些线条之间的关系和性质。
通过使用图形和图像，我们可以更深入地理解和记忆数学中的抽象概念。
魔法方法三：制作记忆卡片记忆卡片是一种简单而有效的学习工具，可以帮助我们记忆和理解抽象概念。
将数学中的抽象概念写在卡片上，每天复习这些卡片，可以加深对这些概念的理解和记忆。
例如，在学习数学中的函数的概念时，可以写下函数的定义、表示方法和特点等内容在卡片上，每天反复看，就能够轻松理解和记忆这个概念。
魔法方法四：寻找实际应用将数学抽象概念与实际应用相结合，可以增强学习的兴趣和理解。
数学在自然科学、工程学和经济学等领域都有广泛的应用。
以几何中的三角函数为例，通过学习三角函数的定义和性质，我们可以应用它们来解决实际问题，如测量高楼的高度或计算天体的距离。
通过将数学抽象概念与实际应用相结合，我们可以更好地理解和应用这些概念。
魔法方法五：寻找类比和类似性将数学抽象概念与我们已经熟悉的知识和经验相联系，可以帮助我们更好地理解这些概念。
数学抽象概括方法概论
数学抽象概括方法概论田伟040109104数学思想方法作为数学教育的重要内容，已日益引起人们的注意，这恐怕与教育愈来愈重视人的能力的培养与素质提高有着密切的练学好数学有着非常好的促进作用。
中学数学所涉及的数学方法很广，主要有抽象方法，划归方法，数形结合方法，数学模型方法，数学归纳猜想方法，演绎法，分类法，类比法，特殊化方法，换元法，待定系数法，配方法等。
本文将主要对数学抽象方法进行分析和探究，加深对数学抽象方法的认识以及更好的掌握这种方法。
一：数学抽象的基本原则（1）数学抽象的基本准则：模式建构形式化原则在严格的教学研究中，无论所涉及的对象是否具有明显的直观意义，我们都只能依据相应的定义区进行(演绎)推理，而不能求助于直观。
从而，在这样的意义上，数学的抽象就是一种构造性的活动，数学研究对象正是通过这种活动逻辑得到“构造”的○1理想化理想化抽象就是通过对实际事物或一些客观现象进行比较。
理想的概念化，并确定一定的彼此关系。
理想化的抽象列子很多，比如通常从几何角度讲的圆，直线，都是理想化的，实际生活中的圆，直线，三角形与理想情况相比较都是错误的，都是近似的。
所以说数学抽象都是一个理想化的过程，比如说生活中根本找不到没有“大小的点”和“没有宽度的线”等。
○2模式化数学对象的“逻辑构建”还是一个“模式化”即“重新构造”的过程。
由于数学对象的逻辑建构是借助于纯粹的数学语言得意完成的，因此，相对于现实模型而言，通过数学抽象而形成的数学概念机概念体系就具有更为普遍的意义。
它所反映的已不只是这一特定的事物或现象的量性特征，而是一类事物在量的方面的共性特征。
也正是这样，数学的研究对象就应当被看成是一种（量化）模式。
正如White Head所指出的：“数学就是对模式的研究”。
二：数学抽象方法的孕育和应用○1代数中的孕育点通过若干个正数，负数以及零在数轴上的点到原点的距离，概括出有理数的绝对值概念：a a a>00 a=0 -1 a<0当当当有（+4）+（+3）=+7；（-4）+（-3）=-7；分别概括出两个符号相同的加减的符号与和的符号的关系，以及加数的绝对值与和的绝对值的关系，从而得到同号两数相加的和的符号规律和绝对值规律由（-4）+（-3）=+1，（-4）+（+3）=-1分别概括出符号相异的加数的符号与和的符号的关系，以及加数的绝对值与和的绝对值的关系，从而得到异号两数相加的和的符号规律和绝对值的规律。
03第三讲 认识数学对象的基本方法——抽象方法
所谓“强抽象”，也叫做“强化式抽象”，就是指 通过强化对象的特征，即增加新特征来完成抽 象建构，以形成新概念或模式的抽象过程。
如在“三角形”概念上增加“两边相等”或“一角为直角” 等新特征，就抽象建构出新的概念“等腰三角形”或 “直角三角形”。 又如，函数概念和四边形概念分别可以组成如下的 “强抽象链”：
从方法上讲，数学抽象是借助定义和推理进行 的逻辑建构，是一种构造性的活动。
现代数学严Байду номын сангаас区分“原始概念”和“派生概念”。 “原始概念”是借助于相应的公理“隐蔽地”得到定义 的。 “派生概念”则是借助于已有的概念明显地得到 定义的。 数学抽象的这种构造性特点就决定了数学抽象具有 层次性的特征。
如点、线、面可借助几何公理体系抽象得到，而“三 角形”的概念则是由点、线、面的概念抽象定义采用 逻辑定义方法而得。 在严格的数学研究中，无论所涉及的对象是否具有 明显的直观意义，我们都只能依照相应的推理规则 去进行推理，而不能求助于直观，从而，在严格的 数学研究中我们就是以抽象思维的产物作为直接的 研究对象的。
所谓“性质抽象”，就是考察被研究对象某一方面的性质或属性， 而抽取符合我们认识的量性方面的性质或属性的抽象。性质抽 象一般包括分离和概括两个步骤。性质抽象是形成概念的重要 途径。 所谓“关系抽象”，是指根据认识目的，从研究对象中抽取或建 构若干构成要素之间的数量关系或空间位置关系，而舍弃其物 理现实意义或其它无关特征的抽象。它一般也分两步：第一步， 分析影响问题的因素、确定问题的范围；第二步，对于问题直 接或间接相关的因素之间的相互制约关系进行专门的研究，以 抽取、确定其中的关系。关系抽象在处理问题的过程中是经常 用到的。
4. 在从事具体问题的研究时，我们就不应过份地强调问题的特 殊方面，诸如特定的物理意义、特定的数值等，而应尽可能地 从更为一般的角度去进行研究。 由数学的历史我们知道，
高中数学数学七大基本思想方法汇总
高中数学数学七大基本思想方法汇总数学是一门精密的科学，它具有严谨的逻辑性和精确的推导能力。
而数学的思想方法也是数学发展的重要基础，它们指导着我们在数学学习和研究中的思考和解决问题的方式。
下面我将对数学七大基本思想方法进行汇总。
第一，抽象与具象思维。
抽象是从具体事物中提取出其特有的、普遍的性质和规律的思维活动，它是数学研究的基本方法。
通过抽象思维，我们能够抓住问题的核心，简化问题，提炼出问题的本质。
具象思维则是从一般规律中归纳特殊情况的思维方法，通过具象思维，我们能够将抽象的数学概念和方法具体化，进而更好地理解和应用。
第二，演绎与归纳思维。
演绎是根据已有的前提和规则，从已知的事实中推导出新的结论的思维方法。
通过演绎思维，我们能够通过逻辑推理，将已知的数学定理和命题应用到新的问题中，进而推出新的结论。
归纳则是通过观察特殊情况，总结规律，进而得出一般性结论的思维方法。
通过归纳思维，我们能够从具体的实例中总结出一般的规律，从而推广到更一般的情况。
第三，直观与符号思维。
直观思维是通过直接观察和感知，理解和表达数学问题的思维方式。
它以图形、图像和物理模型等形式进行思考，能够直观地理解和解决问题。
符号思维则是通过符号、公式、等式等数学符号进行思考和表达的方式。
它能够把问题转化为符号形式，进行精确地推导和计算。
第四，分析与综合思维。
分析思维是将一个复杂的问题分解成若干个较简单的部分，分别进行研究和分析的思维方法。
通过分析思维，我们能够深入理解问题的内部结构和关系，帮助我们理清问题的脉络和解决途径。
综合思维则是将各个部分的分析结果综合起来，得出整体性的结论或解决方案的思维方式。
通过综合思维，我们能够将分析的结果进行整合，得到更全面和完整的理解和解决方案。
第五，直觉与严谨思维。
直觉思维是通过内在的直觉和洞察力，快速而准确地找到问题的关键和解决办法的思维方式。
直觉的好坏往往与对问题的熟悉程度和专业知识的储备有关。
严谨思维则是以逻辑思维为基础，要求严谨的论证和推导过程的思维方法。
培养小学生数学抽象思维的有效方法
培养小学生数学抽象思维的有效方法数学是一门逻辑性和抽象性都很强的学科，对于小学生来说，培养他们的数学抽象思维能力至关重要。
数学抽象思维是指从具体的事物中抽取本质属性，形成数学概念、原理和方法的思维过程。
具备良好的数学抽象思维能力，能够帮助小学生更好地理解数学知识，提高解决问题的能力，为今后的学习和生活打下坚实的基础。
那么，如何培养小学生的数学抽象思维呢？一、利用直观教学，建立抽象思维的基础小学生的思维特点是以形象思维为主，逐渐向抽象思维过渡。
因此，在教学中，我们可以充分利用直观教学手段，如实物、模型、图片、多媒体等，让学生通过观察、操作、感知等活动，积累丰富的感性经验，为抽象思维的建立奠定基础。
例如，在教学“认识图形”时，教师可以准备各种形状的实物，如长方体的文具盒、正方体的魔方、圆柱体的水杯、球体的篮球等，让学生看一看、摸一摸、说一说，直观地感受这些图形的特征。
然后，再通过多媒体展示这些图形的抽象图形，让学生观察比较，从而抽象出图形的本质特征，建立起图形的概念。
又如，在教学“乘法的初步认识”时，教师可以通过展示相同数量的物体排列成几行几列的情境，如每行 5 个苹果，排成 3 行，让学生数一数一共有多少个苹果。
然后，引导学生用加法算式表示：5 ＋ 5 ＋ 5＝ 15。
接着，教师再提出：如果有 10 行这样的苹果，用加法算式表示会很麻烦，有没有更简便的方法呢？从而引出乘法算式 5 × 3 ＝ 15。
通过这样的直观教学，让学生在具体的情境中感受到乘法的意义，为抽象出乘法的概念做好铺垫。
二、引导学生观察比较，培养抽象概括能力观察是思维的“窗口”，通过观察可以获得丰富的感性材料。
在教学中，教师要引导学生认真观察，善于发现事物的本质特征和规律，并进行比较、分析、综合、概括，从而培养学生的抽象概括能力。
例如，在教学“三角形的分类”时，教师可以出示不同形状的三角形，让学生观察它们的角和边有什么特点。
初中数学方程解答抽象能力总结
初中数学方程解答抽象能力总结数学方程是数学中常见的一种问题形式，解答数学方程需要运用一定的抽象能力。
在初中数学学习中，掌握方程解答的抽象能力是非常重要的。
本文将总结初中数学方程解答的抽象能力以及如何提高这一能力。
一、理解问题解答数学方程的关键是准确理解问题。
在解答方程时，需要将问题抽象成x的运算表达式，并找出等号两边的关系。
这就要求我们对问题进行分析和归纳，从问题中提取出与方程相关的信息。
在理解问题时，我们需要注意问题的条件和限制。
例如，如果问题要求解决正整数解，那么我们就需要将负整数和零排除在外。
根据问题中给出的信息，我们可以给方程添加适当的条件，并通过方程解答来满足这些条件。
理解问题还需要将问题转化成数学语言。
数学语言是准确的、抽象的，可以用来描述数学问题。
通过将问题转化成数学语言，我们可以更加清晰地把握问题的本质，准确提取出与方程相关的信息。
二、建立方程建立方程是解答数学方程的关键步骤。
通过理解问题并提取出相应的数学信息，我们可以将问题转化成方程。
建立方程的关键是找到未知数和已知数之间的关系。
在初中数学中，常见的数学关系包括等比关系、等差关系、比例关系等。
通过分析问题，我们可以找到未知数与已知数之间的数学关系，并将其转化成方程。
三、解答方程解答方程是解决数学方程的最终目标。
在初中数学中，常见的解答方程方法包括代入法、化简法、同除法、分离变量法等。
代入法是一种常用且简单的解答方程方法。
通过将已知数代入方程，我们可以得到方程中的未知数，并求出其解。
化简法是一种常用的解答复杂方程的方法。
通过合并同类项、取消等效加减法，我们可以将复杂的方程化简为简单的形式，从而更容易求解。
同除法是解答含有分数的方程的重要方法。
通过同除法，我们可以将分数方程转化成整数方程，并得到未知数的值。
分离变量法是解答含有变量相乘或变量相除的方程的关键方法。
通过将方程两边分离变量，并通过求积、求商等运算得到解。
四、培养抽象能力培养抽象能力是提高数学方程解答能力的关键。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
7 7只杯放在桌子上，三只杯口朝上，四只杯口朝下，现要求每次同时翻转其中四只使杯口朝向相反，问能否经过有限次翻转后，使所有杯子杯口均朝下？ 任意拿出黑白两种颜色的棋子共四颗，排成一个圆圈。然后在两颗颜色相同的棋子中间放一颗黑色棋子，在两颗颜色不同的棋子中间放一颗白色棋子，放完后撤掉原来所放的棋子。再重复以上的过程。问这样重复下去各棋子的颜色会发生怎样的变化呢？ 五、数学模型方法 1.数学模型的意义 所谓数学模型，就是根据研究目的，将所研究的客观事物的过程和现象的主要特征、主要关系、采用形式化的数学语言，概括地或近似地表达出来的一种数学结构。 广义的理解——凡是以相应的客观原型作为背景加以一级抽象或多级抽象的概念、理论、公式等等 狭义的理解——反映特定问题或特定具体事物系统的数学关系结构（应用数学） 2.数学模型的类别 1． 确定性数学模型 七桥问题 2． 随机性数学模型
11 其中含污物m0千克，漂洗用的清水A千克，把A千克水分成n次使用，每次用量依次为a1,a2,……,an（千克），经过n次漂洗，衣服上还有多少污物？怎样合理使用A千克水，才能把衣服洗得最干净（残留污物最少）？ 减肥问题——假设人体每天摄入的能量是一定的，记为A，每1千克体重每天因活动所消耗的能量记为B， 1千克体重每天消耗的能量记为C，脂肪的能量转换系数记D=4.2×107焦耳/千克，人体的体重仅仅看成是时间t的函数w（t）。 （2）中学数学教学 实际问题——数学模型 双向的过程 1．交纳个人所得税的数学模型： 工资、薪金所得个人所得税应纳税额=应纳税所得额×适用税率-速算扣除数 注：①表中所列含税级距、
9 1 0 U 50 100 1 0 25 50 U B（u） 再如，B= “年轻”也是U的一个子集，只是不同的年龄段隶属于这一集合的程度不一样，查德给出它的隶属函数： 把55岁，60岁，65岁代入 分别得：0.5，0.8，0.9，这说明55岁，60岁，65岁的人属于“年老”范畴的程度分别为：0.5，0.8，0.9，而70岁则达0.97了。 3.建立数学模型的步骤与途径 10025))525(1(2501)(12uuuuB)(uA
10 步骤： 1．观察 2．分析与处理 3．进行数学抽象 4．检验与修改 要求： 1．具有进行逻辑推导的可行性 2．具有回到原型的真实性 3．具有数学抽象的纯粹性 4．具有一定的简洁性 途径： 1．直接建立 2．对象模拟 3．数据处理 4．程序设计 4.数学模型方法应用 （1）竞赛 椅子平稳问题：4条腿长度相同的椅子放在不平的地面上一定可以4条腿同时着地。 洗衣服问题——设衣服经洗涤充分拧干后，残存水量w千克，
12 不含税级距，均为按照税法规定减除有关费用后的所得额。②含税级距适用于由纳税人负担税款的工资、薪金所得；不含税级距适用于由他人（单位）代付税款的工资、薪金所得。 2．几何级数112nn求和的数学模型 3．如果b＞a＞0,那么mbmaba，其中m＞0，m为实数。 4．在一个正三角形的每个顶点上各有一只蚂蚁，每只蚂蚁开始沿三角形各边朝其它顶点做直线运动，假设目标顶点是随机选择的且每只蚂蚁行进速度相同，为了研究蚂蚁在一次运动过程中互不相撞的概率，请你设计一种便于动手操作的等效实验进行模拟。 5．求关于x1，x2，……，xn的方程x1+x2+……+xn=100的非负整数解的个数。 求方程x1+x2+……+xn=100的正整数解的个数。
8 蒲丰投针实验： 取一张白纸，在上面画上许多条间距为d的平行线， 取一根长度为)(dll的针，随机地向画有平行直线的纸上抛掷。计算针与直线相交的概率。 3． 模糊性数学模型 模糊是相对于精确而言的。现实事物的物质和状态实际上并非绝对的“非此即彼”,往往是相互联系和渗透的,没有绝对分明和固定不变的界限。例如“年轻”与“年老”、“健康”与“不健康”之间的界限都是模糊的。事物的模糊性是由多种因素决定的,从而构成一个模糊集合,可以用数学语言把这种模糊集合表达为数学模型。即模糊模型,然后进行推导、演算和分析,得出结论。 考虑年龄集U=[0,100]，A=“年老”，A也是一个年龄集，美国控制论专家查德给出了“年老”集函数刻画： 10050))550(1(5000)(12uuuuA
6 形的概念。可见，初等几何中平行四边形的概念在各种四边形的概念中占有中特别重要的地位：它既是对任意四边形、梯形等强抽象的结果，又是另外一些概念如矩形，菱形、正方形等强抽象的出发点。同时，它还是梯形、四边形等弱抽象的出发点。 辩证地运用弱抽象与强抽象的交互作用。 4．存在性抽象 先用假设的方法肯定抽象出来的数学概念存在性，并由此发展出一定的数学理论，然后在理论和实践中加以验证，从而确认新的数学理论的合理性。 四、抽象方法在解题中的应用 1．将问题图形化 （1947年匈牙利数学奥林匹克试题）世界上任何六个人中，一定有3个人或者互相认识或者互相都不认识. 我们不直接证明这个命题，看与之等价的下述命题 （1953年美国普特南数学竞赛题）空间六点，任三点不共线，任四点不共面，成对地连接它们得十五条线段，用红色或蓝色染这些线段（一条线段只染一种颜色）。求证：无论怎样染,总存在同色三角形。 2． 将问题数字化
5 3．强抽象和弱抽象 弱抽象也可以叫做“概念扩张性抽象”,这是指由原型中选取某一特征或侧面加以抽象,从而形成比原型更为普遍、更为一般的概念或理论,并使前者成为后者的特例.这种抽象过程仅仅是把与所研究问题有关的本质属性保留下来,而原来的结构被削弱或不复存在,故称之为弱抽象.例如从各种不同的物件的计数中抽象出自然数的概念后,原物件的性质与结构都不复存在,只剩下数的概念. 弱抽象的结果，对于概念型抽象，外延扩大，内涵缩小；对于命题型抽象，则命题更普遍，范围更广。 如函数概念的发展：早期函数概念（代数函数）——18世纪函数概念（解析函数）——19世纪函数（变量函数——近代函数概念（映射函数） 22))((bababa，开始是具体的数，单个的字母或单项式，进一步任何形式的数或式 一般地，最先被人们认识的一些较具体、较直观的事物对象，如果其内容结构非常丰富，这时就可以采用弱抽象方法，引入新概念。 一般地说，如果人们认识的事物对象其内容结构形式非常贫乏，或不够丰富，这时可采用强抽象方法引入新概念。当然，还可以根据与弱抽象思维方式完全相反的特点，用来分析数学概念的层次结构，理解数学知识间的相互关系。例如，在四边形中，增加“两组对边分别平行”这个条件，通过强抽象可得平行四边形的概念；从平行四边形的概念去掉“两组对边分别平行”的限制，有弱抽象便可得到四边
2 三、数学抽象的作用 1．有利于使认识深入到事物的本质 什么是椭圆? ——椭圆是鸡蛋的那种外形或者有点像橄榄的那种形状； ——椭圆是平面上到两定点距离之和为一定值的点的轨迹，或者椭圆是当240bac时，满足方程220axbxycydxeyf的点(x，y)的集合。 2． 有利于认识一般 下面是两类不同的方程： 2212350,704xxxx 20axbxc 3．有利于认识无限 什么是自然数? 1，2，3， 4，5，6，等等。 意大利数学家皮亚诺这样定义自然数集： 自然数是指满足以下性质的集合N中的元素： (1)1是N的一个元，它不是N中任何元的后继者，若a的后继者用a+表示，则对于N中任何a，a+≠1； (2)对于N中任意元a，存在而且仅存在一个后继者a+；
1 第6章 数学抽象方法 一、数学抽象方法 数学抽象方法是抽象方法在数学中的具体运用。它是从考虑的问题出发，通过对各种经验事实的观察、分析、综合和比较，在人们的思维中撇开事物现象的、外部的、偶然的东西，抽出事物本质的、内在的、必然的东西，从空间形式和数量关系上揭示客观对象的本质和规律，或者在已有数学知识的基础上，抽出其某一种属性作为新的数学对象，以此达到认识事物本质和规律的目的的一种数学研究方法。 二、数学抽象的特点 抽象性并非数学所独有，但数学的抽象性有它自身的特点。 1． 数学抽象的特殊内容。 数学研究的对象只是现实世界的空间形式和数量关系而舍弃其他一些具体内容。 2． 数学抽象的特殊高度。 和一般的自然科学相比，数学抽象的又一特点在于它所达到的高度，数学的抽象程度远远超过了自然科学中的一般抽象。 首先，数学抽象往往是在其他学科抽象基础上的再抽象。 其次，数学抽象具有逐级抽象的特点。 3．数学抽象的特殊方法。 数学抽象就是一种建构的活动，数学的研究对象是通过逻辑建构活动来得到构造的，是借助于定义和推理进行的。
4 （3）传递性 若 aRb， bRc，则 aRc，其中c∈S， 则称 R为 S上的一个等价关系。由此可以看出得到 S的一个划分，使得 S被表成若干个“等价类” iA的并。等价的元素位于同一等价类，不等价的元素位于不同的等价类之中。然后将同一等价类中的元素“同一化”，即将等价的元素在抽象意义下看作同一个东西，这样，一个等价类形象上凝聚了一个新的抽象元素。由所有这些元素就构成了一个新集合。 实数的相等关系；三角形的全等；三角形的相似；直线的平行（垂直不是，不满足（3））；整数的同余关系（以用手段之一，在数学研究中有着广泛的应用，数学中很多重要概念的出现都是由此而导致的，这种方法在解题中往往亦可发挥其效力。 由14个相同的方格组成的图形，你能使之剪成7个由相邻两 个方格组成的长方形吗？ 类似问题：中国象棋棋盘上的马从棋盘上任一点出发，经若干次跳跃，再回到原处，证明：中间一定跳了偶数步。 从任意选定的n个自然数中，总可以找到k个数（1kn），且每个数最多取一次，使其和可被n整除。
3 (3)对于N中任何a，b，若a+=b+，则a=b； (4)(归纳公理)N的一个子集合M，若具有以下性质：1∈M；当a∈M时，有a+∈M，则M∈N。 4．有利于应用的广泛性 四、数学抽象的基本形式 1．理想化抽象 在纯粹理想的状态下，对事物进行简单化与完善化的加工处理，撇开事物的具体内容，排除次要的、偶然的因素，聚合事物的一般的本质的属性，抽象出相应数学内容的方法。例如，几何中点、线、面等基本概念的引进，就是进行理想化抽象的结果。 理想化抽象的结果在数学中表现出各种不同的结构形式，既有图形又有解析表达式；既有具体的数学，又有一般的抽象符号系统等。 数字化或图形化是理想抽象的主要方法： 2．等价抽象 等价抽象是借助于等价关系给出已知集合的一个划分，然后将其中等价的元素“同一化”而得到一个新集合的一种方法。其具体含义是，如果集合 S中的一个二元关系 R满足下述三条： （1）自反性 对任意的a∈S， a和 a有关系 R，即 aRa； （2）对称性 若 aRb，则 bRa，其中b∈S；