作业2-轴对称问题的平衡微分方程推导
弹性力学总结
弹性力学总结第一章绪论一、弹性力学的内容：弹性力学的研究对象、内容和范围。
二、弹性力学的基本量1、外力（1）体力（2）面力2、内力——应力3、应变4、位移以上基本量要求掌握其定义、表达式、分量的符号、正负号规定、量纲。
三、弹性力学中的基本假定1、连续性2、完全弹性3、均匀性4、各向同性以上是对材料性质的假定，凡符合以上四个假定的物体，称为理想弹性体。
5、小变形假定（对物体的变形状态所作的假定）要求掌握各假定的内容和意义（在建立弹性力学基本方程时的作用）。
习题举例：1、弹性力学，是固体力学的一个分支，它的任务是研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的（），从而解决各类工程中所提出的强度、刚度和稳定问题。
A．应力、应变和位移；B．弯矩、扭矩和剪力；C．内力、挠度和变形；D．弯矩、应力和挠度。
2、在弹性力学中，作用于物体的外力分为（）。
A．体力和应力；B．应力和面力；C．体力和面力；D．应力和应变。
3、重力和惯性力为（C ）。
A ．应力；B ．面力；C ．体力；D ．应变。
4、分布在物体体积内的力称为（ C ）。
A ．应力；B ．面力；C ．体力；D ．应变。
5、物体在体内某一点所受体力的集度的表达式及体力分量的量纲为（ A ）。
A ．0lim V F f V∆→∆=∆，-2-2L MT ； B ．0lim S F f S ∆→∆=∆，-1-2L MT ； C ．0lim A F p A ∆→∆=∆，-1-2L MT ； D ．0lim V F f V ∆→∆=∆，-1-2L MT 。
6、弹性力学研究中，在作数学推导时可方便地运用连续和极限的概念，是利用了（ ）假定。
A ．完全弹性；B ．连续性；C ．均匀性；D ．各向同性。
7、（ A ）四个假设是对物体的材料性质采用的基本假设，凡是符合这四个假设的物体，就称为理想弹性体。
A ．完全弹性，连续性，均匀性和各向同性；B ．完全弹性，连续性，均匀性和小变形；C ．连续性，均匀性，各向同性和小变形；D ．完全弹性，连续性，小变形和各向同性。
《弹性力学简明》习题提示和参考答案
题提示和答案《弹性力学简明教程》习题提示和参考答案第二章习题的提示与答案2－1 是2－2 是2－3 按习题2－1分析。
2－4 按习题2－2分析。
2－5 在的条件中，将出现2、3阶微量。
当略去3阶微量后，得出的切应力互等定理完全相同。
2－6 同上题。
在平面问题中，考虑到3阶微量的精度时，所得出的平衡微分方程都相同。
其区别只是在3阶微量（即更高阶微量）上，可以略去不计。
2－7 应用的基本假定是：平衡微分方程和几何方程─连续性和小变形，物理方程─理想弹性体。
2－8 在大边界上，应分别列出两个精确的边界条件；在小边界（即次要边界）上，按照圣维南原理可列出3个积分的近似边界条件来代替。
2－9 在小边界OA边上，对于图2－15（a）、（b）问题的三个积分边界条件相同，因此，这两个问题为静力等效。
2－10 参见本章小结。
2－11 参见本章小结。
2－12 参见本章小结。
2－13 注意按应力求解时，在单连体中应力分量必须满足（1）平衡微分方程，（2）相容方程，（3）应力边界条件（假设)。
2－14 见教科书。
2－15 见教科书。
2－16 见教科书。
2－17 取它们均满足平衡微分方程，相容方程及x=0和的应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。
2－18 见教科书。
2－19 提示：求出任一点的位移分量和，及转动量，再令,便可得出。
第三章习题的提示与答案3－1 本题属于逆解法，已经给出了应力函数，可按逆解法步骤求解：（1）校核相容条件是否满足，（2）求应力，（3）推求出每一边上的面力从而得出这个应力函数所能解决的问题。
3－2 用逆解法求解。
由于本题中l>>h, x=0,l 属于次要边界（小边界），可将小边界上的面力化为主矢量和主矩表示。
3－3 见3-1例题。
3－4 本题也属于逆解法的问题。
首先校核是否满足相容方程。
再由求出应力后，并求对应的面力。
本题的应力解答如习题3-10所示。
应力对应的面力是：主要边界：所以在边界上无剪切面力作用。
弹性力学中平衡微分方程推导方法的一点小改进
以微 元 体 中心 点 为 具 体 展 开 点 ，应 用一 阶泰 勒 公 式 得 到 其 各 个 面上 的应 力分 量 ，从 而 推 导 得 到 了 弹性 力学 平面 问题 的平 衡 微 分方 程 ．解 决 了原 有 教 材 中泰 勒 公 式 展 开 点 （ 下转 ５ ６ 页）
５ ６｛ 南Ｉ
２ ０ １ ７ 年 ． 第６ 期
根 据 以上 分 析 ，虚 拟 样 机 技 术 应 用 于 课 堂 教 学 能够 较好 地
的 计 算 及 稳 态 、动 态 性 能 的 形 象 表 达 。Ｇ ａ ｓ Ｔ ｕ ｒ ｂ是 德 国Ｊ ｏ ａ ｃ ｈ ｉ ｍ
Ｋ ｕ ｒ ｚ ｋ ｅ 博士开发的燃气轮机 （ 航空发动机和地面燃气轮机 ） 总
璺 矗
Ａ Ｄ 面 上 的应 力 ：
Ｏ＇ ｘ ４ Ｏ ＂ ｘ
＋
２ ， ｘ
小 的 ，故 认 为 它 的 各面 上 所受 应
力 是均 匀 分 布 的 ，体 力 也 是 均 匀
分 布的 ” 一 。 通过 列 其在 ｘ 、ｙ 方 向
图１ 微 小的正 平 行 六面 体
力的投影方程并忽略掉高阶微量而得出平衡微分方程。
量。
图 ２改 进 后 的 微 小 的 正 平 行 六 面 体
首 先 ，推导 切 应 力互 等 定理 ，将 所有 力对 单 元体 形 心 Ｅ 取矩
列 平衡 方程 ，得 ３ ｘ ） Ｏ ｒ ｄ：
（ ２）大 多数 教 材应 用 泰 勒 公式 对 应 力 分量 展 开 时没 有 说 明
８ ８
耘
２ ０ １ ７ 年・ 第６ 期
单 性 学中平衡 微分方程 推 导
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弹性力学简明教程-第四章-平面问题的极坐标解答习题详解
第四章 平面问题的极坐标解答典型例题讲解例4-1 如图所示，矩形薄板在四边受纯剪切力作用，切应力大小为q 。
如果离板边较远处有一小圆孔， 试求孔边的最大和最小正应力。
例4-1图【解】（1）根据材料力学公式，求极值应力和量大正应力的方位角max min 2x y σσσσ+⎫=⎬⎭ 其中0,,x y x q σστ===得max min ,q q σσ==-。
最大正应力 所在截面的方位角为max 0max 0tan 104yqq τασσπα=-=-=-→--=-qqx若在该纯剪切的矩形薄板中，沿与板边成方向截取矩形ABCD ，则在其边界上便承受集度为q 的拉力和压力，如图所示。
这样就把受纯剪切作用的板看作与一对边受拉，另一对边受压的板等效。
（2）取极坐标系如图。
由2222442222cos 2(1)(13),cos 2(13),(4-18)sin 2(1)(13).ρφρφr r σq φρρr σq φρr r τq φρρ⎫=--⎪⎪⎪⎪=-+⎬⎪⎪=--+⎪⎪⎭得矩形薄板ABCD 内的应力分量为()()()2222442222cos 2(1)(13)cos 2(13)sin 2(1)(13)ρφρφa a σq φa ρρa σq φb ρa a τq φc ρρ=--=-+=--+ 其中 为小孔的半径，而孔边最大与最小正应力由式（b ），在 处得到44cos 2(13)4cos 2,φa σq φaϕ=-+=-当 ， 时，孔边最小正应力为，当时，孔边最大正应力为。
分析：矩形板ABCD 边界上各点的应力状态与板内无孔时的应力状态相同。
也可以应用叠加法，求解薄板的各种较复杂的平面应力（应变）问题。
习题全解4-1试比较极坐标和直角坐标中的平衡微分方程、几何方程和物理方程，指出哪些项是相似的，哪些项是极坐标中特有的？并说明产生这些项的原因。
【解】 （1）极坐标，直角坐标中的平衡微分方程10210f f ρρϕρϕρρϕϕρϕϕστσσρρϕρτστρρϕρ∂∂-⎧+++=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪+++=⎪∂∂⎩ 00yxx x y xy yf xy f y x τσστ∂⎧∂++=⎪∂∂⎪⎨∂⎪++=⎪∂∂⎩将极坐标中的平衡微分方程与直角坐标中的平衡微分方程相比较，第一式中，前两项与直角坐标相似；而项是由于正 面上的面积大于负 面上的面积而产生的，是由于正负 面上的正应力 在通过微分体中心的 方向有投影而引起的。
轴对称问题
轴对称应力状态分析当作用力对称分布于回转体时，其内部的应力状态称为轴对称应力状态，轴对称应力状态的特点是:(1)通过旋转体轴线的子午面在变形过程中始终不会扭曲，所以在θ面上没有剪应力，即pθτ=Zθτ=0，所以θσ就是一个主应力。
（2）各应力分量与θ坐标无光，对θ的偏导数为零。
采用圆柱坐标系时，轴对称的应力张量为：ij 0=000P ZPP ZZ θσσσσ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ττ设点a 的坐标为（P ,θZ)，应力状态为ijσ，a 1的坐标为（p p d +，d θθ+，z z d +），应力状态为ij ijd σσ+，即z z z ij ij z zzzzzz z z=zzz z d d d d d d d d d d θθθθθθθθθθσσθθσσσσθθσθσθ∂∂∂⎛⎫+++⎪∂∂∂⎪∂∂∂ ⎪++++ ⎪∂∂∂⎪∂∂∂ ⎪+++ ⎪∂∂∂⎝⎭ρρρρρρρρρρττρττρτττρτρτττρτρ 根据力的平衡条件=P ∑ρ0；=0P θ∑；=0Z P ∑，可得以下圆柱坐标系的平衡微分方程为：z zzz 0z 0z θσσσσ∂∂-⎫++=⎪⎪∂∂⎬∂∂⎪++=⎪∂∂⎭ρρρρρτρρττρρ在有些轴对称问题（例如圆柱体的均匀镦粗、挤压和拉拔等）中，由于=d d ρθεε，由增量理论可知，当某两个正应变增量的分量相等时，其对应的应力也相等，所以=ρθσσ。
那么轴对称的平衡方程可简化为：z zz z =0z =0z ρρρρσρσρρ∂∂⎫+⎪∂∂⎪⎬∂∂⎪++⎪∂∂⎭τττ轴对称的屈服应力： 1 Tresca 屈服准则Tresca 认为当最大剪应力达到某定值时材料就会发生屈服，开始塑性变形阶段，即 max cτ=，由于屈服时的定值c 与应力状态无光，故可由单周俊宇拉伸实验或薄壁管扭转实验确定。
单向均匀拉伸中230σσ==，屈服时1sσσ=，所以最大剪应力为：13113222scσσσστ-====，该剪应力也应等于纯剪屈服时的剪应力k ，所以当假定 123σσσ≥≥，塑性条件可写成31==2ks σσσ-，该公式同样可用于轴对称问题中。
Hertz理论
2 1
1 K2 E2
2 2
方程（１９）
由方程（１４）和（１７）可以求得 方程（１９）的表达式为：
K1 K 2 q ds d r
2
现在问题转化为寻求 q 的一个表达式 以满足上式。
当两球体受到力Ｐ的作用而沿着０点的法向 相互压紧时，在接触处发生局部变形，而形 成一个小的圆形接触面（斑），其接触区半 径及变形均远远小于两球半径Ｒ１、Ｒ２。 因此Ｍ和Ｎ两点的距离为：
r z1 z2 2
2
1 1 R R 2 1
弹性变形量计算（１４）
设 w1 表示球体１面上的点Ｍ由于局部变形 所产生的沿 z1 轴方向的位移，w2 表示球２ 面上的点Ｎ由于局部变形所产生的沿 z2 轴方 向的位移，两球的中心Ｏ1Ｏ２彼此接近的距 离为。如果Ｍ和Ｎ点在接触区域内，则可以 得到： z z w w
按照Hertz假设，接触区域的压力分布是半球体 形式的，这样接触中心的压力最大，为q０，其
位置在接触中心Ｏ处。所以接触区的压力 分布q的积分可以表达为（见图４）：
q0 q ds a F F
a 2
2
r 2 sin 2
式中Ｆ是虚线半圆的面积，a 是接触圆半径。 积分表达式是把接触压力沿弦 mn 进行积分， 可以求得。 将上述方程代入到方程（１９）式，得：
方程（１）
因为 d 很小，所以可以认为式中的
d d sin 2 2
并略去高阶微量，并除以 r· dr · d · dz， 前式整理后可得：
轴对称问题
(i , j , m )
由上式可见，单元内应变 εr、εz、γrz都是常量，但φi, φj, φm与各单元中各点的位置(r, z)有关，环向应变εθ不是常量； 当结构包含对称轴(r = 0)在内时，φi , φj , φm是奇异的， 这将给数值计算带来困难。
汽车工程系
结构分析与CAE研究室
- 16 -
z j
wj uj wi ui
单元结点力向量：
wm um
i m
{ f }e
⎧ fi ⎫ ⎪ ⎪ = ⎨fj ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ f m ⎭ 6×1
r
汽车工程系
结构分析与CAE研究室
- 11 -
4.2 三结点三角形轴对称单元
4.2.2 单元位移模式 由于有三个结点，在r方向和z方向上各有三个结点条件， 因此设它的单元位移模式为
u ( r , z ) = α1 + α 2 r + α 3 z ⎫ ⎬ w(r , z ) = α 4 + α 5 r + α 6 z ⎭
该位移模式与平面问题三结点三角形单元完全相同。同样， 将结点坐标和结点位移代入上式可得到单元内部位移
⎧ ui ⎫ ⎪w ⎪ ⎪ i⎪ 0 ⎤ ⎪uj ⎪ e ⎪ ⎪ ⎨ ⎬ = [ N (r , z )]{δ } Nm ⎥ ⎪ wj ⎪ ⎦ ⎪ um ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ wm ⎪ ⎩ ⎭
-5-
4.1 基本概念
4.1.2 基本方程 ①平衡方程
∂σ r ∂τ zr σ r −σ θ + + + br = 0 ∂r ∂z r ∂σ z ∂τ rz τ rz + + + bz = 0 ∂z ∂r r ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭
Hertz理论
按照Hertz假设，接触区域的压力分布是半球体 形式的，这样接触中心的压力最大，为q０，其
位置在接触中心Ｏ处。所以接触区的压力 分布q的积分可以表达为（见图４）：
q0 q ds a F F
a 2
2
r sin
2 2
式中Ｆ是虚线半圆的面积，a 是接触圆半径。 积分表达式是把接触压力沿弦 mn 进行积分， 可以求得。 将上述方程代入到方程（１９）式，得：
Hertz弹性接触理论
1. 2. 3. 4. 5.
弹性力学基础理论
空间轴对称问题的基本微分方程
空间轴对称问题
弹性接触问题(Hertz弹性接触理论) 一般接触问题
弹性力学的应力与应变关系
在弹性力学中假设物体是均匀、连续、 和各向同性的，应力和应变的关系只决 定于物体的物理性质，所以弹性力学与 塑性力学的主要区别主要是应力和应变 的关系定性。
Hertz假设接触表面的压应力分布为半椭 圆体。 （３）、静力平衡方程：根据接触表面压 应力分布规律求得表面接触压力所组成 的合力应等于外加载荷。 将上述三方面的方程表达式联合求 解，即可求得各种接触问题的公式。
现推导两个球体弹性接触时的公式。 设两圆球体的半径分别为Ｒ１、Ｒ２ 。开 始时在公切平面上的０点相互接触，如 图３所示。
方向的应变，则有：
x = [x - （y +z ）]/E
同理可以得到 y轴和 z轴方向的应变。
剪应变与剪应力的关系
同样的方法可以得出剪应变与剪应力的 关系表达式：
xy =
xy
/G
式中G为剪切弹性模量。
一.平衡微分方程(共39张PPT)
x cos2 sin2 2 sin cos
y sin2 cos2 2 sin cos
xy ( )sin cos (cos2 sin2 ) 参看图(b)假设 x , y , x为y 已知,
正应力（正应变）分量仅是半径ρ的函数，与φ无关，并且切应力（切
应变）为零，称为轴对称应力（应变）。
1.应力函数 （半逆解法） 仅是径向坐标的函数:
（）
2. 相容方程(fāngchéng) 简化为:
2
d
d
2
1
d
d
0
d2
( d 2
1
d d2
d )( d 2
1
d )
d
0
展开
4
d4
d 4
2 3
d3
d 3
PA
d
线段PB，变形后为P'B'，B'点
ρ方向上的位移为零。
PB正应变为
(v
v
d)
v
PB PB PB
d
v
PB方向线1， PB方向线2. PB的
转角POP'：（向角外转为负）
v
第三页，共三十九页。
二.几何(jǐ 方程 hé)
u
总和上述两个方向(fāngxiàng)的应变，得
到：
u
1
v
物理 方 三.
jiǎo zuò biāo)的关系：
x
x cos , y sin
得到(dé dào) x cos , y sin ,
x
y
x
y
2
sin
,
弹性力学：09 空间问题的解答
4. 位移势函数的引用 (对应于无旋位移场)
为简单起见，不计体力
(
G)
x
G2u
Fx
0
(
G)
y
G2v
Fy
0
1 2u 0 1 2 x
1 2v 0 1 2 y
(
G)
z
G2w
Fz
0
1 2w 0 1 2 z
现假设位移是有势的，即：位移在某一方向
的分量可以用位移势函数ψ（x,y,z)在该方向的
问题描述： 设有半空间体，其比重为p，在水平边界面上
受均布压力q的作用，试用位移法求位移分量和应力分量。
并假设在z = h 处w =0。
q
1. 由于任意铅直平面都是对称面，假设
u 0,v 0, w w(z) (1)
x
R
y
z
e u v w d w e 0, e 0, e d2 w (2) z x y z d z x y z d z2
通过与平面问题 及极坐标中同样的分 析，可见，由径向位 移引起的形变分量为：
由于对称，各点
环向位移为零，由径
向位移产生的应变为
u
,
u
,
z
u z
1. 轴对称问题和球对称问题的基本方程
由轴向位移w产生的 应变为
z
w z
,
z
w
迭加得到几何方程
u
,
u
z
w, z
z
u z
w
1. 轴对称问题和球对称问题的基本方程
在球对称问题中，应力、应变、位移等分 量都只是径向坐标ρ的函数。
球对称问题
1. 轴对称问题和球对称问题的基本方程
《弹性力学教学课件》2-2平衡微分方程
平衡微分方程描述了物体内部各点在受力平衡状态下的应力分布 规律。
反映变形与力的关系
通过平衡微分方程，可以反映物体内部的变形与力的关系，以及变 形与位移的关系。
预测物态变化
在一定条件下，平衡微分方程可以用于预测物体的稳定状态和失稳 条件，以及可能的物态变化。
03
平衡微分方程的应用
效应，如应变硬化或软化。
非线性屈服准则
02
与非线性平衡微分方程相结合，用于描述材料在达到屈服点后
的行为。
非线性边界条件
03
在某些情况下，需要考虑非线性边界条件，耦合的平衡微分方程
01
热-弹性平衡微分方程
将温度场与弹性场耦合，描述了热膨胀和热应力等现象。
02
流体-弹性耦合平衡微分方程
平衡微分方程的数学表达
80%
数学表达式
根据推导结果，平衡微分方程通 常表示为关于位移、应力和应变 等变量的偏微分方程。
100%
形式多样
根据具体问题，平衡微分方程可 以有不同的形式，如平面问题、 轴对称问题等。
80%
求解方法
平衡微分方程的求解方法包括解 析法和数值法，如有限元法、有 限差分法等。
平衡微分方程的物理意义
弹性力学主要研究物体的应力、应变和位移等物理 量，以及它们之间的相互关系和变化规律。
平衡微分方程在弹性力学中的重要性
平衡微分方程是解决弹性力学 问题的基础，通过求解该方程 可以获得物体的应力分布、应 变和位移等物理量。
平衡微分方程是弹性力学的基 本方程之一，它描述了弹性物 体在力的作用下保持平衡状态 的条件。
数值法求解平衡微分方程
数值法
通过离散化方法将连续的 平衡微分方程转化为离散 的数值形式，通过迭代或 直接求解得到近似解。
弹性力学第四章 (5)轴对称问题
4 B f ( ) E 4 B 积分后： u f ( )d f1 ( ) （c） E 再将（b）,（c）代入第三式，整理：
u
df1 ( ) df ( ) f1 ( ) f ( )d d d
df1 ( ) f1 ( ) F （ d） d 由于 ， ρ，的任意性，
df1 ( ) f1 ( ) F 0 d
df1 ( ) f1 ( ) D d
（d）
求解： (d)为线性微分方程，可用分离变量法:
df1 ( ) d f1 ( ) D 通解为:来自f1 ( ) F D
（f）
ln d te dt
t
分步积分
te e (ln 1)
t t
u
1 E
A ( 1 ) B [( 1 3 ) 2 ( 1 ) ln ] 2 ( 1 ) C 2
3 . 几何方程：
/ G 0
0 00 恒等式
（注意：一般情况下位移与 φ 有关）
u u 1 u u u u 0
1 1 A ( ) (1 ) 2 B[(3 ) 2(1 ) ln ] E E
2(1 ) ln ] 2(1 )C
2(1 )C
令 e
t
则 由几何方程得：
ln t d et dt
4 B u H I sin K cos E
式中： 1 . A , B , C , H , I , K 都是任意常数 2 . H , I , K 和 2-4 节中的 , u0 , v0 一样代表 刚体的位移 ( 由位移边界来确定 ) E , *对于平面应变问题 E , 2 1 1
空间轴对称问题的基本微分方程
空间轴对称问题的基本微分方程在描述轴对称问题各分量时，用圆柱坐标r 、θ、z 比用直角坐标x 、y 、z 方便得多，如以z 轴为对称轴，如图1所示则所有应力分量、应变分量和位移分量都将只是r 和z 的函数，不随θ而变。
如图，取微小六面体。
注意到应力分量是（r ，z ）将各面上的应力分量写出。
单位体积内的体积力在r 、z 方向的分量分别表示为r f 、z f 。
根据单元体在r和z 方向的平衡方程，略去高阶微量，同时除以rdrd dz θ，因为d θ很小，近似认为()sin 22d d θθ≈，加以整理后得到r 方向和z 方向的平衡微分方程为： 图1柱坐标下微小六面体r r z 0r 0zr r rz rz z f z rf z r r θστσσσττ∂∂-⎫+++=⎪⎪∂∂⎬∂∂⎪+++=⎪∂∂⎭公式（1） 进一步推导空间轴对称问题的几何变形方程：设u 、w 分别代表r 及z 轴方向的位移分量，由极坐标内位移与应变的关系以及直角坐标的关系式，很容易得到r u r ∂∂=ε，r u =θε，z w z ∂∂=ε，0==z r θθγγ，rw z u rz ∂∂+∂∂=γ 公式（2） 最后，根据广义胡克定律，可得出物理方程：1[()]1[()]1[()]2(1)r r z r z z z r rz rz rz EEEG E θθθθεσμσσεσμσσεσμσστμγτ⎫=-+⎪⎪⎪=-+⎪⎬⎪=-+⎪⎪+==⎪⎭公式（3） 或 ()()2112112()()2112112()()2112112()2(1)2(1)r r r z z z rz rz rz E E u e e e G r E E u e e e G r E E w e e e G z E E u w G z rθθθμμσελεμμμμμμσελεμμμμμμσελεμμμμτγγμμ∂⎫=+=+=+⎪+-+-∂⎪⎪=+=+=+⎪+-+-⎪⎬∂⎪=+=+=+⎪+-+-∂⎪∂∂⎪==+=⎪++∂∂⎭ 公式（4） 式中，r z u u w e r r z θεεε∂∂==++∂∂++为体积应变。
平衡微分方程推导过程
平衡微分方程推导过程平衡微分方程，听上去是不是很复杂？但其实它就像一杯混合了各种果汁的饮料，调和得好喝，调和得不好就苦涩难咽。
咱们今天就来聊聊这个神奇的东西，让它不再那么神秘，轻松搞定。
微分方程可不是外星人的语言，而是我们描述变化的工具。
想想吧，生活中处处都有变化，时间在走，温度在升，心情在起伏。
微分方程就像一个记录这些变化的日记，帮我们把这些故事讲出来。
平衡微分方程则是这个故事中的主人公，特别关注系统在特定条件下如何达到一种稳定的状态。
就像是你在阳台上浇花，水多了，花儿会淹死；水少了，花儿又会干死。
适量的水才能让花儿茁壮成长，这就是平衡的美妙之处。
在数学的世界里，平衡微分方程通常以一种简洁的形式出现。
想象一下，咱们有一个方程，里面有变量和常数，像调料一样。
我们通常会看到类似这样的一种形式：dy/dt = f(y)，其中dy/dt表示随时间变化的东西，f(y)则是我们要研究的变化率。
很简单吧？就像煮汤，先把水煮开，再加点盐，最后加点青菜。
这个f(y)就是咱们汤里的调味料，关键在于它如何影响整个汤的味道。
好啦，接下来就让我们来玩一个小游戏。
想象一下你有一个气球，你不停地往里吹气。
最开始，气球鼓起来的速度很快，过了一段时间，气球的膨胀速度会慢下来，直到最终达到一个平衡点。
这个过程就可以用平衡微分方程来描述。
乍一看好像是个无聊的过程，但其实每一秒都有故事发生。
气球的表面张力、空气的压强、你的嘴巴的力量，都是这个故事里的角色。
把这些因素放到微分方程里，最终得到的就是平衡方程。
一旦我们写下了这些微分方程，接下来就是解它。
别紧张，解微分方程就像解谜一样，慢慢来，细心点。
我们会找到一个叫做平衡点的地方，没错，就是那些让系统保持稳定的点。
可以想象成是一座山的山顶，只有到达那个点，才能看到美丽的风景。
平衡点通常是让dy/dt等于零的地方，也就是那种你不需要再费劲去加水的状态。
解决微分方程时，我们可能需要使用一些技巧，比如分离变量法，或者是代数方法，听上去是不是很高深？其实这些方法就像是厨房里的工具，有刀有勺，总有一种适合你。
平衡微分方程的积分形式
二 平衡微分方程的积分形式分别对流体平衡微分方程乘dz dy dx ,,相加，则有)(Zdz Ydy Xdx dz zp dy y p dx x p ++=∂∂+∂∂+∂∂ρ 取全微分 )(Z d z Y d y X d x dp ++=ρ根据数学原理，=ρconst 时，)(Zdz Ydy Xdx ++必须为某标量函数的全微分。
设标量函数为W ，则有)(dz zWdy y W dx x W dW dp ∂∂+∂∂+∂∂==ρρ Z zWY y W X x W =∂∂=∂∂=∂∂,, 由上式可知，),,(z y x W 是描述质量力的标量函数，称为力势函数。
由势函数决定的力称为有势力。
重力作用的空间称为重力场,为有势场。
积分式（2.2-10），则有c W p +=ρ (*)若某点（000,,z y x ）势函数为0W 时压强为0p ，则00W p c ρ-=，则)(00W W p p -+=ρ三 流体静力学基本方程a 、自由液面上的正向坐标系b 、自由液面上的反向坐标系c 、自由液面下0z 处的正向坐标系图 2-5 静止液体在不同坐标系的势能① *式即是流体静力学的基本方程，在图2-5（a ）中，取0===z y x ，00=W ，a p p =0；单位质量的液体势能gz W -=（z 与g 反向），则有gz p p a ρ-=注意到h z =-，则有h p gh p p a a γρ+=+=② 在图2-5(b)中，在0===z y x 点，00=W ，a p p =0，在坐标ｚ单位质量势能为gz W =，则有h p gz p p a a γρ+=-+=)0(③ 在图2-5(c)中，边界条件为：0===z y x ，势函数00=W ，gz W -=（z 与g 反向）；则有z p W p p γρ-=+=00另一边界条件为a p p z z y x ====,,00，势函数0gz W -=,由式(2.2-16)可得0000z p gz p p a γρ-=-=则有 h z z z z p p a γγγγ=-=+-=-)(00，即h p p a γ+=通过如上分析可知：c W p +=ρ是一般表达式，更一般的表达式：=+γpz const =+=+γγ2211p z p z const证明如下：参看图2-6图 2-6 流体中两点压差11h p p a γ+= 22h p p a γ+=由上两式则有)()(122121z z h h h p p -=∆=-=-γγγ移项则有⇒⇒+=+2211z p z p γγ γγ2211p z p z +=+由于1z 和2z 的任意性，故有⇒⇒=+=+const p z p z γγ2211 const pz =+γ几何含义：在静止流体中单位重量的流体的压力能γ/p 和位置势能z 可以互相转化，总和不变。
平衡微分方程
复习：弹性力学的内容和方法
弹性力学研究理想弹性体的变形与力之间的关系
• 如何描述弹性体的受力 • 与杆件不同，一般弹性体结构复杂， 各处受力不同，各个方向受力不同 • 如何描述弹性体的变形，同样随位置、 方向变而变化 • 位移可直接观测，但位移与变形不同
弹性力学的几个基本概念
弹性力学研究理想弹性体的变形与力之间的关系
弹性体受到外力作用之后，内部产生应力。 如果从物体中任意切出一小块，其在内力和体积力 的共同作用下，应该处于平衡状态。
弹性力学的平衡微分方程
弹性体受到外力作用之后，内部产生应力。 如果从物体中任意切出一小块，其在内力和体积力 的共同作用下，应该处于平衡状态。
弹性力学的平衡微分方程
弹性体受到外力作用之后，内部产生应力。 如果从物体中任意切出一小块，其在内力和体积力 的共同作用下，应该处于平衡状态。
z 0 z 0
注意，每一个截面都是对称平面
物理方程：广义虎克（胡克）定律
力与变形成正比：刚度
正应力与正应变成正比：杨氏模量 E
侧向变形，泊松效应 μ
虎 克 定 律 平面应变 平面应力
弹性力学的平衡微分方程
新课
弹性体受到外力作用之后，内部产生应力。 如果从物体中任意切出一小块，其在内力和体积力 的共同作用下，应该处于平衡状态。
PA 的伸长量UA
UB
PB 的伸长量VB
u v , y 弹性体的变形: 正应变 x x y
UA VA VB
PA 的伸长量UA
UBPB 的伸长量VB Nhomakorabea弹性体的变形: 剪应变
v u x y
v u x y
UA
VA VB
PA 的转动量VA