【2013年中考攻略】专题2：待定系数法应用探讨
中考辅导第三讲待定系数法及方程的思想.doc
第3讲: 待定系数法及方程的思想★【概述】待定系数法指的是：为了达到解决的问题的目的，先假定、构想一个问题模式,其中存在一个或一个以上的未知字母,通常把这些未知字母称为待定系数, 综合利用问题中的条件和已知的定理、公理、法则来求出未知系数的方法，就是待定系数法。
待定系数法在初中范围里主要用途是解决“因式分解”、“方程” 和“函数”问题，成都市的中考，重点放在函数题中考察，分值一般在15分左右。
I、运用在因式分解时，通常利用__________________ 给予解决；II、运用在方程问题时，通常利用_____________________________ 给予解决；III、运用在函数问题时，分三种情况区别对待：(1)正比例、反比例函数：因为只有一个待定系数，所以利用或挖掘题目中个已知条件即可解决问题；(2)—次函数：因为y =虹+ 6中有两个待定系数々、/;,所以利用或挖掘题目中____ 个已知条件即可解决问题；(3)二次函数：因为二次函数有_种表达式，所以利用或挖掘题目中_个或个已知条件即可解决问题。
IV、中考在给出求函数解析式的条件时，一般有三种设置：①、直接给出——没有难度；②、问接给出(如交点的坐标、与坐标轴围成图形的面积等)——稍有难度；③、利用几何要素通过计算或推理给出——难度较大。
★★【典例精析与运用】待定系数法运用举例1.在整式乘法与因式分解中的运用【例1】是否存在常数A3使得V + F + v能被x2+2x + 5整除？如果存在，求出的值，否则请说明理由;【例2】(成都市理科实验班考题)如果义3+0¥2+加+ 8有两个因式％+1和x + 2 ,贝1J a + b= _____♦口标训练一:值。
2、(成都市理科实验班考题)：为何值时，多项式x 2-2xy + A ＞，2+3x-5y + 2能 分解成两个一次因式的积？★2、在方程或不等式中的运用★3.用函数思想解决几何问题【例4】如图，A 、fi 、C 是一条公路上的三个村庄，A 、B 间的路程为100千 米，A 、C 间的路程为40千米，现在A 、之间设一个车站设P 、C 之间 的路程为x 千米。
待定系数法应用探究PPT课件
∴
A+B = 1
∴
AB=-= 21
-或
A=2 B=-1
∴ x²B+=x–2 =（x-1）(x+2)
2
应用方法：比较系数法
归 纳:
在因式分解中，除正常提取公因式法、 公式法、十字相乘法外还可应用待定 系数法。本题实际运用“十字相乘法” 更容易，只是作为一种解法介绍于此。
四、在求函数解析式中的应用
初中阶段学习的函数主要有：
正比例函数： 一次函数： 二次函数： 反比例函数：
y=kx(k≠0) y=kx+b(k≠0) y=ax²+bx+c(a≠0)
二次函数： 题目不同可设不同的解析式
a：一般式：y=ax²+bx+c(a≠ 0)
b：顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)
（平移式）
c：交点式：y=a（x-x1）（x-x2）(a≠0）
解法三：设抛物线解析式为 y=a(x-0）（x-40） (a≠0)
归纳：
解法一选用一般式，过程比较复杂。
解法二选用顶点式，方法简单灵活。
解法三选用交点式，方法灵活巧妙， 过程也较简捷。
因此我们在求二次函数解析式时， 一定要恰当的选择函数表达式。
思维提炼：
二次函数解析式表达形式：
一般式 顶点式 交点式 解析式求法：
例题解析
解：设抛物线的解析式为： y=a(x+1)（x-1）(a≠0)
∵图象过点M（0,1） ∴ a(0+1）（0-1）=1 ∴ a=-1 ∴该抛物线的解析式为
y= - (x+1)(x-1) 即:y= -x2+1
练习：观察下列条件，说出求解析式的方法。
待定系数法在中学数学教学中的应用
待定系数法在中学数学教学中的应用
待定系数法是一种求解多项式方程的方法，它可以用来求解一元多项式方程、二元多项式方程和高次多项式方程。
待定系数法在中学数学教学中的应用，可以帮助学生更好地理解多项式方程的解法，培养学生的解题能力，提高学生的数学思维能力，更好地掌握多项式方程的解法。
首先，教师可以引导学生利用待定系数法来求解一元多项式方程，例如：2x^2-3x+a=0，让学生把a的值带入方程，求出方
程的解，从而让学生更好地理解多项式方程的解法。
其次，教师可以引导学生利用待定系数法来求解二元多项式方程，例如：x^2+ax+b=0，让学生把a和b的值带入方程，求出方程的解，从而让学生更好地理解多项式方程的解法。
此外，教师还可以引导学生利用待定系数法来求解高次多项式方程，例如：x^3+ax^2+bx+c=0，让学生把a、b和c的值带入
方程，求出方程的解，从而让学生更好地理解多项式方程的解法。
最后，教师可以让学生利用待定系数法来解决实际问题，让学生更好地掌握多项式方程的解法，培养学生的解题能力，提高学生的数学思维能力。
待定系数法的应用
数学知识点总结——待定系数法的运用待定系数法是初中数学非常重要的一种解题思想和方法，它的重要性不仅体现在某一类型题中，而是贯穿于整个初中阶段，各年级各题型的“杀手锏”，让原本复杂繁琐的难题巧妙进行巧妙地简化。
理解一种方法的运用，要远比做几十道题来得事半功倍。
下面我们就一起来探讨各年级中关于待定系数法的题目类型和特点。
1. 设K 法六年级：设K 法是六年级开始的一个重要工具，它可以将多个未知但相互有联系的未知量用一个和K 有关的式子表示出来。
变相地说，它起到了一个数学特别重要的“降维”作用，以一替多。
那什么时候该用设K 法呢？沈老师曾总结过：两类条件，肯定是暗示你去用设k 法的——条件含比例条件有连等式第一类是常常能判断出来的，便是条件中含有比例类型的题，让我们来看一个例题：例1： 自然数A B 、满足111182A B -=，且:7:13A B =，求A B +分析：AB 看似是两个未知数，但若通过比例式设k ，即能把两个未知数都用一个关于k 的式子表示出来，当你在对一个未知数进行求解时，代入条件往往是比较容易得出的，这就是所谓的利用设K 法“降维”。
解： 设7,13A k B k == 则有11111713182A B k k -=-=，进行通分 13761919191182k k k -== 求得12k =，故20240A B k +==如果说比例式用设k 法还算比较明显的话，那么连等式的技巧就没那么容易想到。
而越难想到的点就越能成为杀手锏：K ⎫⎬⎭设法例2： 已知,247x y z ==求： （1）::x y z（2）求x y x z ++的值 （3）若2358x y z ++=，求,,x y z 的值分析：根据沈老师的经验，初中阶段，凡是遇到连等式，90%都可以用设k 法快速求解。
解： 令247x y z k ===，则有2,4,7x k y k z k === （1）::2:4:7x y z k k k =即::2:4:7x y z =（2）24622793x y k k k x z k k k ++===++ （3）2344212958x y z k k k k ++=++==即2k =因而4,8,14x y z ===有没有发现设k 法在解决这类题时近乎可以说是“秒算”？除了六年级，七年级在实数板块，也会出现类似的“难题”！七年级：例3： 设333200620072008,a b c ==且0abc >= 求111a b c++分析：该题乍看之下并没有什么思路，而一旦陷入繁琐的计算，那么心情也会跟着一同浮躁。
待定系数法
【2013年中考攻略】专题2：待定系数法应用探讨锦元数学工作室 编辑在数学问题中，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果，这些待确定的系数(或参数)，称作待定系数。
然后根据已知条件，选用恰当的方法，来确定这些系数，这种解决问题的方法叫待定系数法。
待定系数法是数学中的基本方法之一。
它渗透于初中数学教材的各个部分，在全国各地中考中有着广泛应用。
应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法；消除待定系数法。
比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程（组），从而使问题获解。
例如：“已知x 2-3=（1-A ）·x 2＋Bx ＋C ，求A ，B ，C 的值”，解答此题，并不困难，只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比较后，就可得到A ，B ，C 的值。
这里的A ，B ，C 就是有待于确定的系数。
代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程（组），从而使问题获解。
例如：“点（2，﹣3）在正比例函数图象上，求此正比例函数”，解答此题，只需设定正比例函数为y=kx ，将（2，﹣从而求得正比例函数解析式。
这里的k 就是有待于确定的系数。
代入所求，从而使问题获解。
b 2=k a 3=，则a=3k b=2k ，，；在初中阶段和中考中应用待定系数法解题常常使用在代数式变型、分式求值、因式分解、求函数解析式、求解规律性问题、几何问题等方面。
下面通过2011年和2012年全国各地中考的实例探讨其应用。
一. 待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组），解出方程（组）即可求得答案。
典型例题：例：（2011云南玉溪3分）若2x 6x k ++是完全平方式，则k =【 】A ．9B ．－9C ．±9D ．±3 【答案】A 。
(整理版)中考数学专题复习之二：待定系数法
中考数学专题复习之二：待定系数法
对于某些数学问题，假设得知所求结果具有某种确定的形式，那么可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比拟．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称为待定系数法．
【范例讲析】：
【例1】二次函数的图象经过A(1，0)、B(3，0)、C(2，－1)三点．
(1)求这个函数的解析式．
(2)求函数与直线y=－x+1的交点坐标．
【例2】一次函数的图象经过反比例函数x
y 8-
=的图象上的A 、B 两点，且点A 的横坐标与点B 的纵坐标都是2。
〔1〕求这个一次函数的解析式；
〔2〕假设一条抛物线经过点A 、B 及点C 〔1，7〕，求抛物线的解析式。
【闯关夺冠】
1.：反比例函数和一次函数图象的一个交点为〔－3，4〕，且一次函数的图象与x轴的交点到原点的距离为5，分别确定这两个函数的解析式。
2、如下图，抛物线的对称轴是直线x=3，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、
C的坐标分别是(8，0)、(0，4)，求这个抛物线的解析式．。
【2013年中考攻略】专题2：待定系数法应用探讨
【2013年中考攻略】专题2：待定系数法应用探讨锦元数学工作室编辑在数学问题中，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果，这些待确定的系数(或参数)，称作待定系数。
然后根据已知条件，选用恰当的方法，来确定这些系数，这种解决问题的方法叫待定系数法。
待定系数法是数学中的基本方法之一。
它渗透于初中数学教材的各个部分，在全国各地中考中有着广泛应用。
应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法；消除待定系数法。
比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程（组），从而使问题获解。
例如：“已知x2-3=（1-A）·x2＋Bx＋C，求A，B，C的值”，解答此题，并不困难，只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比较后，就可得到A，B，C的值。
这里的A，B，C就是有待于确定的系数。
代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程（组），从而使问题获解。
例如：“点（2，﹣3）在正比例函数图象上，求此正比例函数”，解答此题，只需设定正比例函数为y=kx，将（2，﹣3）代入即可得到k的值，从而求得正比例函数解析式。
这里的k就是有待于确定的系数。
消除待定系数法通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。
例如：“已知b2a3=，求a ba b-+的值”，解答此题，只需设定b2=ka3=，则a=3k b=2k，，代入a ba b-+即可求解。
这里的k就是消除的待定参数。
应用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式；（2）根据恒等式列出含有待定的系数的方程（组）；（3）解方程（组）或消去待定系数，从而使问题得到解决。
在初中阶段和中考中应用待定系数法解题常常使用在代数式变型、分式求值、因式分解、求函数解析式、求解规律性问题、几何问题等方面。
下面通过2011年和2012年全国各地中考的实例探讨其应用。
【2013年中考攻略】专题2.6.待定系数法在几何问题中的应用
六. 待定系数法在几何问题中的应用典型例题：例1：（2012江苏南京2分）如图，菱形纸片ABCD 中，∠A=600，将纸片折叠，点A 、D 分别落在A’、D’处，且A’D’经过B ，EF 为折痕，当D’F ⊥CD 时，CFFD的值为【 】A.312- B.36C.2316- D.318+ 例2：（2012江苏扬州3分）如图，将矩形ABCD 沿CE 折叠，点B 恰好落在边AD 的F 处，如果AB 2BC 3=，那么tan∠DCF 的值是 ．例3：（2012贵州铜仁10分）如图，定义：在直角三角形ABC 中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctan α，即ctan α=ACBCαα=角的角的邻边对边，根据上述角的余切定义，解下列问题：（1）ctan30°= ； （2）如图，已知tanA=43，其中∠A 为锐角，试求ctanA 的值．例4：（2012江苏镇江11分）等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点M、N （如图1）。
（1）求证：AM=AN；（2）设BP=x。
①若，BM=38，求x的值；②记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式以及S的最小值；③连接DE，分别与边AB、AC交于点G、H（如图2），当x取何值时，∠BAD=150？并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。
练习题：1.（2012江苏连云港3分）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°角的正切值是【】A．3＋1 B．2＋1 C．2.5 D．52.（2012广西河池3分）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为MN，连结CN．若△CDN的面积与△CMN的面积比为1︰4，则MNBM的值为【】A．2 B．4 C．25D．263.（2012广西柳州10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦．（1）请你按下面步骤画图（画图或作辅助线时先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑）；第一步，过点A作∠BAC的角平分线，交⊙O于点D；第二步，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E．第三步，连接BD．（2）求证：AD2=AE•AB；（3）连接EO，交AD于点F，若5AC=3AB，求EOFO的值．4.（2012黑龙江哈尔滨10分）已知：在△ABC中，∠ACB=900，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，AQ=MN．（1）如图l，求证：PC=AN；（2）如图2，点E是MN上一点，连接EP并延长交BC于点K，点D是AB上一点，连接DK，∠DKE=∠ABC，EF⊥PM于点H，交BC延长线于点F，若NP=2，P C=3，CK：CF=2：3，求DQ 的长．5.（2012四川泸州9分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是的弧AD中点，弦CE⊥AB于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD。
浅谈待定系数法在初中数学中的应用【完整版】
浅谈待定系数法在初中数学中的应用【完整版】(文档可以直接使用，也可根据实际需要修订后使用,可编辑放心下载）浅谈待定系数法在初中数学中的应用摘要待定系数法在初中数学中应用的非常广，学生在解答很多类的题型中都可以利用。
本文对待定系数法的概念进行分析，并分析待定系数法在数学中的解题步骤，最后对待定系数法在初中数学中的具体应用进行分析，并对每种类型的题目都举例分析，在详细的解答过程中分析待定系数法在初中数学中的具体应用。
关键词：待定系数法；初中数学；方程式目录摘要 (2)引言 (4)一、待定系数法的根本理论 (4)〔一〕待定系数法的定义 (4)〔二〕待定系数法的解题根本步骤 (4)二、待定系数法在初中数学解题中的应用 (5)〔一〕待定系数在因式分解中的应用 (5)〔二〕待定系数法在求函数解析式中的应用 (6)〔三〕待定系数法在数列中的应用 (9)〔四〕待定系数在解方程中的应用 (11)〔五〕待定系数在证明题中的应用 (12)〔六〕在求数列通项公式中的应用 (12)〔七〕待定系数在几何中的应用 (13)三、总结 (17)参考文献 (18)引言在初中数学解题的过程中，很多题目如果采用一种巧妙的解答方式，可以省去很多的时间，改变传统的解题方法有助于帮助学生获得高分。
待定系数法在初中数学解题中应用的非常多，很多题目都能运用此方法，从而轻松解题,待定系数法是众多数学方法中易于掌握并行之效的方法。
待定系数法是一种重要的数学方法,它是在知道问题答案形式的前提下,通过引入一些待定的系数,转化为方程组来解决的一种解题思路,从而使原有的问题转化为较简单的、易解决的问题的方法。
我们通常所指的待定系数法,其实就是待定常数法,所求解的系数为常数。
其实待定系数法还应该包含一层含义,就是所要求解的系数有可能不是一个常数,而是一个函数。
本文将在介绍狭义待定系数法的根底上,对其做一定的推广。
一、待定系数法的根本理论〔一〕待定系数法的定义待定系数法的定义是指利用的条件来确定某一个数学表达式中的待定参数的值或一个解析式，从而计算出该题答案的一种方法。
浅谈待定系数法在中学数学中的应用
浅谈待定系数法在中学数学中的应用某某(玉溪师范学院理学院数学与应用数学专业××级×班, 学号: ××××)指导教师: 某某摘要:待定系数法是中学数学中的一种重要方法，利用待定系数法可以解决很多数学问题.本文讲述了待定系数法的主要解题步骤以及待定系数法在中学数学中的应用.关键词:待定系数法; 中学数学; 应用待定系数法是一种求未知数的方法.首先它把一个式子用含有待定系数的形式表示出来，得到一个恒等式，然后根据多项式恒等的性质列出待定系数满足的方程，再解方程求出待定系数，或者找出系数所满足的关系式，这样的方法叫做待定系数法.[1]待定系数法是一种数学中经常用的解题方法.对于一些数学问题，如果知道题目中所要求的结果含有某种关系，这时可以用待定的系数来表示这种结果，由已知的条件列出恒等式，得到方程或者方程组，最后解出方程或方程组，就可以解出待定系数.待定系数法广泛应用于分解因式、分式的计算、求数列通向、解决解析几何等问题.一、待定系数法解题步骤（1）根据题目得到含待定系数的解析式；（2）根据多项式恒等的条件，列出含待定系数的方程；（3）解出所列出来的方程或者消去待定系数，就可以解决问题.二、待定系数法的用法一般用法是，设某一个多项式的全部或部分系数为未知数，根据两个多项式恒等以及同类项的系数相等或其他已知的条件确定这些系数，从而得到未知数的值.从更广泛的意义上说，待定系数法是将解析式的一些常数看作未知数，利用已知的条件确定这些未知数，从而解决问题的方法.求函数的表达式，把一个多项式写成几个整式的积或幂的和的形式等，都可以用这种方法.三、待定系数法的特点待定系数法是先根据数量之间的关系，设出一个含有待定系数的多项式，然后再根据多项式恒等的性质列出几个方程，这时得到一个方程组，解出方程组，就可以求出所设的待定系数的值或者是从方程组中消去设出的这些待定系数，找出原来那些已知系数之间的关系，就可以解决问题了.四、用待定系数法求解实例1、在多项式中的计算待定系数法是解数学问题的一种重要方法，用这种方法解题的一般步骤是：按照某些条件或要求，列出一个恒等式，其中含有没有确定的系数，再根据恒等式的性质列出几个只含系数的方程，解由这几个方程组成的方程组，确定每个待定系数的值，或得到其它结论，就可以解决问题.例1 假设p x x x x ++--12112234是两个完全平方式的乘积，求p 的值.思路剖析：多项式p x x x x ++--12112234为四次多项式，它是两个一次多项式的平方的乘积.且四次项次数为1，可设p x x x x ++--12112234=()()22b x a x ++，根据多项式恒等，则对应项系数相等的性质，列出含a 、b 的方程组并求解. 解：设p x x x x ++--12112234=()()22b x a x ++ 化简等式右边的式子，可得p x x x x ++--12112234=()()()22222223422422b a x ba ab x b ab a x b a x ++++++++因为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+-=++-=+p b a ba ab b ab a b a 2222221222114222 可以解得⎪⎩⎪⎨⎧==-=3623c b a⎪⎩⎪⎨⎧=-==3632c b a 所以 p =4例 2 将x x x 2919323+-表示成3-x 幂的形式.思路剖析：根据题目意思，可以设出表示成3-x 幂的最后形式，又因为原式的最高次数时是3次，所以可以设成d x c x b x a +-+-+-)3()3()3(23，利用对应项系数相等，即可求出a 、b 、c 、d 的值.解：设x x x 2919323+-=d x c x b x a +-+-+-)3()3()3(23将右端展开得：x x x 2919323+-=d c b a x c b a x b a ax +-+-+-++-+3927)627()9(23由对应项系数相等，得到方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+-=+--=+-=03927296271993d c b a c b a b a a 解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-===3483d c b a 所以 x x x 2919323+-=3)3(4)3(8)3(323----+-x x x2、分解因式判断一个多项式能不能分解成两个或两个以上因式，以及能不能够分解，它的几个一次因式是什么，这个问题是很重要的.利用待定系数法来分解因式，就是根据已知的条件把原式假设成几个因式的乘积，这几个因式中的系数可以用字母来表示，因为这些因式的乘积与原式相等，然后再列出含有待定系数的方程组，最后解出方程组就可以求出待定系数的值. 例3 分解因式：7192234++++x x x x ．思路剖析：这是一个关于x 的四次多项式，由于次数相对过高，不能使用十字相乘法．利用待定系数法设出经分解因式后的式子.在这里，我们一般设成由两个因式相乘，解出因式中未知数时，再看能否再分解.解：设7192234++++x x x x=()()d cx x b ax x ++++22=()()bd x d ac b x c a x ++++++234，等式两边对应项系数相等，列出方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=++=+71921bd bc ad d ac b c a ， 解该方程，得到⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-===7213d c b a ， 所以7192234++++x x x x ()()721322+-++=x x x x ．3、分式计算像多项式计算一样 ，分式计算时，也可以设待定系数，解方程组求出待定系数，将整个问题解决.例 4 已知()()325222+-+-x x x x ，将它写成分子是常数，分母分别为()22,2,3--+x x x ,的三个分式的和的形式.思路剖析: 根据题意，把原式写成分子是常数，分母分别为()22,2,3--+x x x 的三个分式的和的形式，只需把原式设成()2223-+-++x C x B x A ，解出A 、B 、C 的值即可.解：设()()325222+-+-x x x x =()2223-+-++x C x B x A 所以()()325222+-+-x x x x =)3()2()3()3)(2()2(22+-+++-+-x x x C x x B x A 从而)3()3)(2()2(5222+++-+-=+-x C x x B x A x x把右边的式子化简，得到()()C B A x C B A x B A 36442+-+++-++即=+-522x x ()()C B A x C B A x B A 36442+-+++-++由此得到方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=++-=+5364241C B A C B A B A解方程组，得A=54，B=51，C=1； 所以()()325222+-+-x x x x =2)2(1)2(51)3(54-+-++x x x 例 5 将12532223+-+-+x x x x x 化成一个整式和一个真分式的和的形式. 思路剖析：由于分子是三次式，分母是二次式，则所化的整式为一次式，可以设为b ax +.分式要是真分式，则分式分子的最高次数要比分母的最高次数低，可设为122+-+x x d cx . 解：设12532223+-+-+x x x x x =++b ax 122+-+x x d cx 于是 12532223+-+-+x x x x x =12)12)((22+-+++-+x x d cx x x b ax =12222223+-+++-++-x x d cx b bx bx ax ax ax =12)2()2(223+-+++-+-+x x d b x c b a x a b ax 由此得方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-=-=532122d b c b a a b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====0552d c b a 所以 12532223+-+-+x x x x x =125522+-++x x x x4、用待定系数法求数列通项式直接求数列的通项公式比较难时，可以挖掘题设之间的关系，整体变形观察相邻项之间的关系，构造一个辅助数列为等差数列或者是等比数列，从而得到解决.这时通常利用待定系数法.例6 已知数列{}n a 中，61-=a ， n n a a a 11-=+，设310=a ， 31-=n n a b ，求数列{}n b 的通项公式.思路剖析：利用待定系数法求数列的解析式，首先把某些已知条件转化成我们熟知的简单的数列的形式，比如等差数列、等比数列等，用字母表示，然后根据数列的性质，解出未知数，即可得结果． 解：n n n n a a a a 333131031-=--=-+，则，339333111+-=-=-=++n n n n n a a a a b 即391+=+n n b b则可设()x b x b b n +=++91，即x b b n n 891+=+，可得方程组⎩⎨⎧+=+=++x b b b b n n n n 893911 解得83=x 则⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++839831n n b b . 又有11-=a ，故812111-=-=a b ． 故⎭⎬⎫⎩⎨⎧+83n b 是首项为41，公比为9的等比数列，即．194183-⨯=+n n b 则83491-=-n n b ． 5、二次函数的计算待定系数法在二次函数中，主要用在求函数的解析式.一般情况下，三个系数确定一个二次函数.所以二次函数计算中，至多设三个待定系数；相应地，最多解一个三元方程组.例 7[3] 二次函数的图像过A(0，1)、B(1，3)、C(-1，1)三点，求这个二次函数的解析式并求最值.思路剖析：求二次函数的解析式，根据题目知道三点，则设函数解析式为c bx ax y ++=2，图像过A 点得到第一个方程，图像过B 、C 点又得到第二、三个方程.解：设所求二次函数为c bx ax y ++=2将A 、B 、C 三点的坐标分别代入上式，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=131c b a c b a c解方程组，可得⎪⎩⎪⎨⎧===111c b a因此，所求函数解析式为 y=12++x x由解析式知函数图像开口向上，有最小值.根据公式，当212-=-=a b x 时，函数有最小值，最小值为 121212min +⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=y =43 例 8 已知：二次函数与x 轴交点的横坐标为2-和6，且图像过（3,5）；求a 、b 、c 的值思路剖析：根据题目知道二次函数与x 轴的两个交点，设函数方程时可设为顶点式()()21x x x x a y --=，又函数过A 点，就可以求出a 的值，函数解析式就可以求出来了.解：利用二次函数表达式中的乘积式，设所求函数为()()21x x x x a y --=.根据题意知21-=x ，62=x所以，所求函数为()()62-+=x x a y将（3，5）代入上式，解得31-=a 因此，所求函数为()()6231-+-=x x y 化为标准形式为434312++-=x x y 可以得到 31-=a ，34=b ，4=c . 6、解决解析几何用待定系数法求曲线方程的一般步骤是：①设出用字母表示待定系数的曲线方程；②依条件列出以待定系数字母为未知数的方程或者是方程组；③求出所有待定系数字母的值；④将所有求得的系数的值代换所设方程中的字母系数，得到所求的曲线方程.例9[2] 设椭圆中心在中心，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是10－5，求椭圆的方程.思路剖析：求椭圆方程，先设出椭圆的标准方程，再根据所给条件，确定几何数据a 、b 、c 的值，问题就全部解决了.设出椭圆的方程，等待确定a 、b 、c ，由椭圆的几何量之间的关系得到第一个方程，由已知的垂直关系联想到勾股定律建立第二个方程，再由焦点与长轴较近端点的距离转化为c a -的值后列出第三个方程. 解：设椭圆方程为12222=+by a x ，长轴a 2、短轴b 2、焦距c 2，则 a b c a a b a c 2222222105=++=-=-⎧⎨⎪⎩⎪() 解得：a b ==⎧⎨⎪⎩⎪105所以， 所求椭圆方程是：x 210＋y 25＝17、求三角函数最值用均值不等式求三角函数最值时，“各数相等”及“和（或积）为定值”是两个需要刻意凑出的条件，从什么地方入手，怎样拆项，如何凑出定值而且使等号成立，又能使解答过程简捷明快，对此问题，现在我们利用待定系数法探析.但不是所有的数学问题都可以利用待定系数法来解决，在这里举一个反例来进行说明.（反例）例10 设θ∈(0，2π]，求函数=y θsin +θ2sin 1的最小值. 思路剖析：因为θ∈(0，2π]，所以有θsin ＞0，则可以利用均值不等式()0,02>>≥+b a ab b a 来解决这一问题.解：因为θ∈(0，2π] 所以θsin ＞0 利用均值不等式，有θθθsin 12sin 1sin 2≥+=y 当1sin =θ时，可以取到等号即，函数=y θsin +θ2sin 1有最小值，且最小值为2. 以上各个例题从不同的方面展示了待定系数法在中学数学中的应用，充分体现了待定系数法的优点：灵活.可见，待定系数法的确是一种重要的解题方法，也是一种重要的教学方法和教学策略.六、结束语待定系数法是中学数学学习的一种重要方法.待定系数法实际就是将待定的未知数与已知数建立等式关系，从而列出方程或方程组，解方程或方程组即可得到待定的未知数，之后就只需根据题目给出的条件，解题即可.用待定系数法解题，思路较为清晰，操作比较方便，在很多解题过程中都可以用到，但是在解题过程中，待定系数法并不是最为简单，最为合适的方法.参考文献：[1]余元庆 . 《待定系数法》.上海教育出版社；1963.[2]虞涛 . 《高中课本中的数学基本解题方法》.华东师范大学出版社；2007.[3]田钦张慈明 . 《初中数学解题方法总汇》.北京少年儿童出版社；1988.On the application of the method of undetermined coefficients in middle school mathematicsBi QingYuxi Normal University of Mathematics and Applied Mathematics2009grade 1 class,student number:2009011137Teacher:Guan XiaoliAbstract:undetermined coefficient method is an important method of mathematics undetermined coefficient method can solve many mathematical problems.Article describes the main problem-solving steps of the method of undetermined coefficients as well as the method of undetermined coefficients in secondary school mathematics. Keywords:undetermined coefficient method;Middle School Mathematics; application。
中考专题：待定系数法应用
中考专题之：待定系数法在数学问题中，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果，这些待确定的系数(或参数)，称作待定系数。
然后根据已知条件，选用恰当的方法，来确定这些系数，这种解决问题的方法叫待定系数法。
待定系数法是数学中的基本方法之一。
它渗透于初中数学教材的各个部分，在中考中有着广泛应用。
应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法；消除待定系数法。
比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程（组），从而使问题获解。
例如：“已知x2-3=（1-A）·x2＋Bx＋C，求A，B，C的值”，解答此题，并不困难，只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比较后，就可得到A，B，C的值。
这里的A，B，C就是有待于确定的系数。
代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程（组），从而使问题获解。
例如：“点（2，﹣3）在正比例函数图象上，求此正比例函数”，解答此题，只需设定正比例函数为y=kx，将（2，﹣3）代入即可得到k 的值，从而求得正比例函数解析式。
这里的k就是有待于确定的系数。
消除待定系数法通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。
例如：“已知b2a3=，求a ba b-+的值”，解答此题，只需设定b2=ka3=，则a=3k b=2k，，代入a ba b-+即可求解。
这里的k就是消除的待定参数。
应用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式；（2）根据恒等式列出含有待定的系数的方程（组）；（3）解方程（组）或消去待定系数，从而使问题得到解决。
在初中阶段和中考中应用待定系数法解题常常使用在代数式变型、分式求值、因式分解、求函数解析式、求解规律性问题、几何问题等方面。
下面通过中考的实例探讨其应用。
一.待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组），解出方程（组）即可求得答案。
初中数学方法篇二：待定系数法 (1)
数学方法篇二：待定系数法对于某些数学问题，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可研究和引入一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果．通过变形与比较．建立起含有待定字母系数(或参数)的方程(组)，并求出相应字母系数(或参数)的值，进而使问题获解．这种方法称为待定系数法．【范例讲析】：一. 待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组），解出方程（组）即可求得答案。
例1.若2x6x k++是完全平方式，则k=【】A．9 B．－9 C．±9 D．±3二. 待定系数法在分式求值中的应用：在一类分式求值问题中，已知一比例式求另一分式的值，可设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求分式，从而使问题获解。
例2.已知b5a13=，则aba b-+的值是【】A．32B．23C．94D．49三. 待定系数法在因式分解中的应用：目前这类考题很少，但不失为一种有效的解题方法。
例3.分解因式：2x x2+-＝。
四. 待定系数法在求函数解析式中的应用：例4.无论a取什么实数，点P(a－1，2a－3)都在直线l上，Q(m，n)是直线l上的点，则(2m－n＋3)2的值等于．例5.如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．（1）求直线AB的解析式；（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标．例 6.游泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程“排水﹣﹣清洗﹣﹣灌水”中水量y（m3）与时间t（min）之间的函数关系式．（1）根据图中提供信息，求整个换水清洗过程水量y（m3）与时间t（min）的函数解析式；（2）问：排水、清洗、灌水各花多少时间？例7.如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3，(1)求抛物线所对应的函数解析式；(2)求△ABD的面积；(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．例8.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．（1）求二次函数的解析式；（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；②若⊙M的半径为455，求点M的坐标．五. 待定系数法在求解规律性问题中的应用：例9.2008年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会，今年的奥运会将在英国伦敦举行，奥运会的年份与届数如下表所示：年份1896 1900 1904 (2012)届数 1 2 3 …n表中n的值等于．例10.如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是．例11.我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33，…就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差．如2，4，6，8，10就是一个等差数列，它的公差为2．如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列．例如数列1，3，9，19，33，…，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2，6，10，14，…，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1，3，9，19，33，…是一个二阶等差数列．那么，请问二阶等差数列1，3，7，13，…的第五个数应是．六. 待定系数法在几何问题中的应用：在几何问题中，常有一些比例问题（如相似三角形对应边成比例，平行线截线段成比例，锐角三角函数等），对于这类问题应用消除待定系数法，通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。
【2013年中考攻略】中考数学_专题1_客观性试题解法探讨
【2013年中考攻略】专题1：客观性试题解法探讨客观性试题――选择题的题型构思精巧，形式灵活，知识容量大，覆盖面广，可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能，还能考查学生的思维敏捷性，是中考中广泛采用的一种题型。
在全国各地中考数学试卷中，选择题约占总分的20％—30％，因此掌握选择题的解法，快速、准确地解答好选择题是夺取高分的关键之一。
选择题由题干和选项两部分组成，题干可以是由一个问句或一个半陈述句构成，选项中有四个答案，至少有一个正确的答案，这个正确的答案可叫优支，而不正确的答案可叫干扰支或惑支。
目前在中考数学试卷中，如果没有特别说明，都是“四选一”的选择题，即单项选择题。
选择题要求解题者从若干个选项中选出正确答案，并按题目的要求，把正确答案的字母代号填入指定位置。
笔者将选择题的解法归纳为应用概念法、由因导果法、执果索因法、代入检验法、特殊元素法、筛选排除法、图象解析法、待定系数法、分类讨论法、探索规律法十种，下面通过2011年和2012年全国各地中考的实例探讨这十种方法。
一、应用概念法：应用概念法是解选择题的一种常用方法，也是一种基本方法。
根据选择题的题设条件，通过应用定义、公理、定理等概念直接得出正确的结论。
使用应用概念法解题，要求学生熟记相关定义、公理、定理等基本概念，准确应用。
二、由因导果法：由因导果法，又称综合法，直接推演法，是解选择题的一种常用方法，也是一种基本方法。
它的解题方法是根据选择题的题设条件，通过应用定义、公理、公式、定理等经过计算、推理或判断，得出正确的结论，再从四个选项中选出与已得结论一致的正确答案。
由因导果法解题自然，不受选项的影响，运用数学知识，通过综合法，直接得出正确答案。
三、执果索因法：执果索因法，又称分析法，它与由因导果法的解题思路相反。
它的解题方法是从要求解的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，根据定义、公理、定理等，把要求解的结论归结为判定一个明显成立的条件——四个选项之一。
待定系数法在初中数学解题中的思路与方法
２０２３年５月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀待定系数法在初中数学解题中的思路与方法◉福建省晋江市安海中学㊀黄华志㊀㊀摘要:待定系数法是初中数学中一种应用十分广泛且行之有效的解题方法．待定系数法的实质就是方程思想,它把待定的未知数与已知数等同看待来建立等式,即得方程(组)．本文中结合典型例题,探讨了如何在各类题型中灵活运用待定系数法解题的思路与方法．关键词:多项式除法;因式分解;解方程;恒等变形;求函数解析式㊀㊀在初中数学中,待定系数法是一种十分重要㊁应用范围广且非常实用的求未知数的解题思想和方法[１]．待定系数法运用的是 执果索因 的思维方法,其基本思路是先判断所求的结果的结构具有某种确定的形式,其中含有某些待定的系数,然后根据题设条件列出关于待定系数的等式,最后解出这些待定系数的值或者找到这些待定系数间的某种关系．待定系数法可广泛应用于多项式除法㊁因式分解㊁解方程(组)㊁恒等式的变形与证明㊁研究二次函数的性质等各类数学问题的解法之中,现将其常见的解题思路与方法技巧归类解析如下．１在多项式除法中的运用待定系数法在多项式的整除㊁求商式㊁余式等问题中运用广泛．例１㊀求(３x３－２x２＋１)ː(３x２－３x＋１)的商式和余式．解:设商式为x＋a,余式为p x＋q,则３x３－２x２＋１＝(x＋a)(３x２－３x＋１)＋p x＋q．令x＝０,则a＋q＝１．令x＝１,则(a＋１)＋p＋q＝２．令x＝－１,则７(a－１)－p＋q＝－４．可得方程组a＋q＝１,a＋p＋q＝１,７a－p＋q＝３．ìîíïïï解得a＝１３,p＝０,q＝２３．ìîíïïïïïï所以商式为x＋１３,余式为２３．思路与方法:本题被除式的最高项为３x３,除式的最高项为３x２,则商式的最高次数为１且系数也为１．故可设商式为x＋a,余式为p x＋q,可得关于x的恒等式３x３－２x２＋１＝(x＋a)(３x２－３x＋１)＋p x＋q,即对一切实数x均成立,因此对x取０,１,－１当然也应成立,从而得到关于a,p,q的方程组,这是特殊值法的运用．例２㊀已知x４＋４x３＋６p x２＋４９x＋r能被x３＋３x２＋９x＋３整除,求p,q,r的值．解:设商式为x＋m,则x４＋４x３＋６p x２＋４q x＋r＝(x＋m)(x３＋３x２＋９x＋３)＝x４＋(３＋m)x３＋(９＋３m)x２＋(３＋９m)x＋３m．比较对应项系数,得３＋m＝４,９＋３m＝６p,３＋９m＝４q,３m＝r．ìîíïïïï解方程组,得m＝１,p＝２,q＝３,r＝３．ìîíïïïï思路与方法:本题的解题思路是先要假定商式,因为x４ːx３＝x,所以可假定商式为x＋m,这里p, q,r,m都是待定系数,然后根据被除式恒等于商式乘除式的关系,就可以确定p,q,r,m的值．这种通过比较对应项系数而得到关于待定系数间的关系式的解题技巧十分重要．２在因式分解中的运用在对较复杂的二元二次多项式进行因式分解时,有时只需要将其部分因式分解成两个一次因式的乘积形式,就能够使我们在分解中确定因式的过程变得简捷明了．例３㊀已知２x２＋x y－y２－k x＋８y－１５能分解成两个一次因式之积,试求这个有理系数多项式．解法１:由十字相乘法,得２x２＋x y－y２＝(２x－y)(x＋y)．设２x２＋x y－y２－k x＋８y－１５＝(２x－y＋m) (x＋y＋n)＝２x２＋x y－y２＋(２n＋m)x＋(m－n) y＋m n．比较对应项系数,得２n＋m＝－k,m－n＝８,m n＝－１５．ìîíïïï解得m＝３,n＝－５,k＝７,ìîíïïï或m＝５,n＝－３,k＝１．ìîíïïï９７Copyright©博看网. All Rights Reserved.解法探究２０２３年５月下半月㊀㊀㊀故所求的有理系数多项式为２x ２＋x y －y ２－x ＋８y －１５,或２x ２＋x y －y ２－７x ＋８y －１５．解法２:由－y ２＋８y －１５＝(－y ＋３)(y －５),故设２x ２＋x y －y ２－k x ＋８y －１５＝(a x －y ＋３)(b x ＋y －５)＝a b x ２＋(a －b )x y －y ２＋(３b －５a )x ＋８y －１５．比较对应项系数,得a b ＝２,a －b ＝１,３b －５a ＝－k ．ìîíïïï解得a ＝２,b ＝１,k ＝７,ìîíïïï或a ＝－１,b ＝－２,k ＝１．ìîíïïï故所求的有理系数多项式为２x ２＋x y －y ２－x ＋８y －１５,或２x ２＋x y －y ２－７x ＋８y －１５．思路与方法:解法１把前三项分解成两个一次因式相乘的形式(２x －y )(x ＋y ),再把原式变形为(２x －y ＋m )(x ＋y ＋n ),即可运用比较对应项系数的方法顺利获解;解法２也是采用待定系数法,把－y ２＋８y －１５分解成两个一次因式之积的形式(－y ＋３)(y －５),再通过变形㊁对比对应项系数的方法求解．例４㊀满足等式p ２＋q ２＝７p q 的正实数p ,q ,能使关于x ,y 的多项式x y ＋p x ＋q y ＋１分解成两个一次因式的积,求p ,q 的值．解:由p ２＋q ２＝７p q (p ＞０,q ＞０),可得㊀㊀㊀㊀㊀㊀p ＋q ＝３p q ①因为多项式x y ＋p x ＋q y ＋１能分解成两个一次因式的积,所以可设x y ＋p x ＋q y ＋１＝(a x ＋b ) (c y ＋d )＝a c x y ＋a d x ＋b c y ＋b d ．比较对应项系数,得a c ＝１,b d ＝１,a d ＝p ,b c ＝q ．所以㊀㊀㊀㊀㊀㊀p q ＝a b c d ＝１．②由①②式,可得p ＝３２＋５２,q ＝３２－５２;或p ＝３２－５２,q ＝３２＋５２．思路与方法:由条件p ２＋q ２＝７p q (p ＞０,q ＞０),运用配方法可得出p ＋q 与p q 的关系;又由x y ＋p x ＋q y ＋１能分解成两个一次因式的积,利用待定系数法求出p q 的值,从而巧妙地求出p ＋q 的值,进而可得出p ,q 的值．３在解方程中的运用在初中阶段学生还没有学过高次方程的解法,但如果发现某些一元高次方程的根存在某种关系,也可以运用待定系数法解这类方程．另外,有些特殊的高次方程也能够尝试用待定系数法求解[２]．例５㊀已知方程２x ４－５x ３－２４x ２＋５３x －２０＝０有两个根的积等于２,试解这个方程．解:设２x ４－５x ３－２４x ２＋５３x －２０＝(x ２＋a x ＋２)(２x ２＋b x －１０)＝２x ４＋(２a ＋b )x ３＋(a b －６)x ２＋(－１０a ＋２b )x －２０,比较对应项系数,得２a ＋b ＝－５,a b －６＝－２４,－１０a ＋２b ＝５３．ìîíïïï解得a ＝－９２,b ＝４．{所以原方程可化为(x ２－９２x ＋２)(２x ２＋４x －１０)＝０．解方程,得x １＝１２,x ２＝４,x ３＝－１＋６,x ４＝－１－６．思路与方法:由根与系数的关系可知,两根之积为２的一元二次方程,如果二次项的系数是１,则常数项是２,由此我们可以作出假设来求解．例６㊀解方程:x ４＋(x －４)４＝６２６．解法１:由于６２６＝６２５＋１＝５４＋１４,可以看出５与－１是方程的两根,因此可令x ４＋(x －４)４－６２６＝２(x ＋１)(x －５)(x ２＋p x ＋q )．在上式中,取x ＝０,得q ＝３７;取x ＝４,得p ＝－４．于是原方程可变为２(x ＋１)(x －５)(x ２－４x ＋３７)＝０．因为方程x ２－４x ＋３７＝０无实数根,所以原方程的根为x １＝－１,x ２＝５．解法２:因为６２６＝５４＋１４,所以原方程可化为x ４＋(x －４)４＝５４＋１４,即(x ４－５４)＋[(x －４)４－１４]＝０⇔(x ２＋２５)(x ２－２５)＋[(x －４)２＋１] [(x －４)２－１]＝０⇔(x ２＋２５)(x ＋５)(x －５)＋(x －３)(x －５)(x ２－８x ＋１７)＝０⇔(x －５)(x ３－３x ２＋３３x ＋３７)＝０⇔(x －５)[(x ３＋１)－３(x ２－１１x －１２)]＝０⇔(x －５)(x ＋１)(x ２－４x ＋３７)＝０．解得x １＝５,x ２＝－１,这就是原方程的根．思路与方法:解法１运用了待定系数法,根据６２６＝６２５＋１＝５４＋１４,推知方程有两个实根－１与５,用待定系数法将x ４＋(x －４)４－６２６分解因式;解法２主要运用了因式分解法,充分利用了关系式x ４＋(x －４)４＝５４＋１４,即(x ４－５４)＋[(x －４)４－１４]＝０,再将左边分解因式．４在代数式恒等变形中的运用用待定系数法可对某些代数式按照某种要求进行恒等变形,具体方法是先假定一个符合条件的含有待定系数的恒等式,然后根据恒等式的性质,求出待定系数的值,或消去待定系数,使问题获得解决．例７㊀证明x y (３x ＋２)(５y ＋２)可化为具有整数系数的两个多项式的平方差．证明:设x y (３x ＋２)(５y ＋２)＝A ２－B ２(A ,B 代０８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年５月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀表整式),则(３x y ＋２y )(５x y ＋２x )＝(A ＋B )(A －B )．令A ＋B ＝３x y ＋２y ,A －B ＝５x y ＋２x ．{解得A ＝４x y ＋x ＋y ,B ＝－x y ＋y －x ．所以x y (３x ＋２)(５y ＋２)＝(４x y ＋x ＋y )２－(－x y ＋y －x )２．思路与方法:题目要求将x y (３x ＋２)(５y ＋２)转变成两个整式的平方差的形式,但这两个整式我们并不知道,也不能盲目拼凑,所以不妨设这两个整式分别为A ,B ,尝试用待定系数法求解．例８㊀求证:多项式x ４－６x ３＋１３x ２－１２x ＋４是一个完全平方式．证明:设原式＝(x ２＋p x ＋q )２＝x ４＋２p x ３＋(p ２＋２q )x ２＋２p q x ＋q２．比较对应项系数,得２p ＝－６,p ２＋２q ＝１３,２p q ＝－１２,q ２＝４．ìîíïïïï解得p ＝－３,q ＝２．{所以x ４－６x ３＋１３x ２－１２x ＋４＝(x ２－３x ＋２)２．思路与方法:本题是一个四次多项式,所以它应是一个二次三项式的平方,于是我们可以假定所给的多项式恒等于(x ２＋p x ＋q )２,式中的p 和q 是待定系数．５在二次函数中的运用求二次函数的解析式类问题,一般可用待定系数法求解．这类题型中通常都含有三个待定系数,需找到题中三个独立的条件,再求出相应的待定系数．解题过程中要善于发现和挖掘隐含条件．例９㊀已知抛物线过点C (－１,－１),它的对称轴是直线x ＝－２,且在x 轴上截取长度为２２的线段,求该抛物线的解析式．解法１:由对称轴直线x ＝－２,可设抛物线解析式为y ＝a (x ＋２)２＋k ．由抛物线的特征可知,其对称轴垂直平分其在x 轴上截取的线段,因此可知该抛物线过点A (－２＋２,０),B (－２－２,０)．又抛物线过点C (－１,－１),将点A ,C 的坐标代入解析式,可得a (－１＋２)２＋k ＝－１,a (－２＋２＋２)２＋k ＝０,{即a ＋k ＝－１,２a ＋k ＝０,{解得a ＝１,k ＝－２．{所以y ＝(x ＋２)２－２．故该抛物线的解析式为y ＝x ２＋４x ＋２．解法２:设抛物线解析式为y ＝a x ２＋b x ＋c ．由解法１中分析可知抛物线过(－２＋２,０),(－２－２,０)以及(－１,－１)三点,代入可得a －b ＋c ＝－１,(－２＋２)２a ＋(－２＋２)b ＋c ＝０,(－２－２)２a ＋(－２－２)b ＋c ＝０．ìîíïïïï解得a ＝１,b ＝４,c ＝２．ìîíïïï所以,该抛物线的解析式为y ＝x ２＋４x ＋２．解法３:由解法１中分析可知抛物线与x 轴的两交点坐标为(－２＋２,０),(－２－２,０),因此可设解析式为y ＝a (x ＋２－２)(x ＋２＋２),又过点(－１,－１),代入可求得a ＝１．所以解析式为y ＝(x ＋２－２)(x ＋２＋２),即y ＝x ２＋４x ＋２．思路与方法:解法１利用二次函数的顶点式y ＝a (x ＋２)２＋k 来求解;解法２利用二次函数的一般式y ＝a x ２＋b x ＋c 来求解;解法３利用二次函数的交点式y ＝a (x －x １)(x －x ２)来求解．这三种方法都用到了待定系数法,其中最关键的是对条件 在x 轴上截取长度为２２的线段 的技巧转化．例１０㊀已知二次函数有最小值－２,且图象与x 轴两交点的距离是６,对称轴是直线x ＝－１,求其解析式．解:由题意可知,抛物线与x 轴的两个交点坐标分别为(２,０)和(－４,０),故设二次函数解析式为y ＝a (x －２)(x ＋４)．把抛物线顶点的坐标(－１,－２)代入,求得a ＝２９．所以二次函数的解析式为y ＝２９(x －２)(x ＋４),即y ＝２９x ２＋４９x －１６９．思路与方法:根据题设条件中对称轴是直线x ＝－１,图象与x 轴两交点的距离是６,可求出两交点坐标为(２,０)(－４,０),再用两点式求出解析式．通过对上述典型例题思路与方法的探究,我们充分感受到了运用待定系数法解题的广泛性㊁实用性㊁灵活性与巨大的优越性．学生平时需要多加强这方面的训练,进一步熟悉和掌握答题的方法与技巧,熟能生巧,运用自如,不断提高综合解题能力．参考文献:[１]祝朝富．待定系数法及其应用[J ]．中等数学,２００１(２):２Ｇ７．[２]于莹．用待定系数法解题[J ]．数理化学习(初中版),２００２(１２):２３Ｇ２５．Z１８Copyright ©博看网. 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待定系数法在初中解题中的应用-----邓文燕(吴康老师的作业)
在职教育硕士专业课作业成绩： . 课程名称：数学问题研究任课教师：吴康教授学院：数学科学学院专业：学科教学（数学）学生姓名：邓文燕学号： 2 0 1 3 0 4 0 1 0 7班级： 2 0 1 3 级完成时间： 2014年12月18日待定系数法在初中数学解题中的应用摘要: 待定系数法是初中数学解题中一种主要的方法，它可以使解题步骤简洁，减少不必要的繁琐，化繁为简，化难为易。
它主要应用于初中内容中的分解因式、求函数表达式、确定方程等方面。
通过待定系数法来解题，有助于对学生数学思维的培养，有利于提高学生解决问题的能力 ，发展学生的逻辑思维，养成良好的数学素养。
关键词：待定系数法；初中数学；解题；一. 待定系数法的定义 待定系数法，一种求未知数的方法。
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。
然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。
待定系数法的理论依据是多项式的恒等定理：两个x 的多项式：110n n n n a x a x a --+++……与110n n n n b x b x b --+++……，如果完全相同，也就是对应系数相等，1100,,,n n n n a b a b a b --===……，那么用任何数值代替其中的变量x ，两个多项式的值都相等，即两个多项式恒等。
反过来，如果两个多项式恒等，即用任何数值代替其中的变量x ，两个多项式的值都相等，那么两个多项式的对应系数都相等。
在两个多项式恒等时，对应系数也相等。
如果其中一个多项式有一些系数是待定的，就可以根据所得的等式，求出这些待定系数，这就是待定系数法。
二. 待定系数法的解题步骤待定系数法，根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程。
在解题过程中，我们要依据一定的步骤来求解，关键是利用好已知条件，设未知数，进而求解。
2013中考数学十大解题思路
杭州杭州 e 度论坛：2013 年中考数学专项解说 待定系数法知识梳理对于某些数学识题，若得悉所求结果拥有某种确立的形式，则可研究和引入一些尚待确立的系数 (或参数 )来表示这样的结果．经过变形与比较．成立起含有待定字母系数(或参数 )的方程 (组 ) ，并求出相应字母系数 (或参数 )的值，从而使问题获解．这类方法称之为待定系数法．使用待定系数法解题的一般步骤是： (1)确立所求问题含待定系数的分析式；(2)依据恒等条件，列出一组含待定系数的方程； (3) 解方程或消去待定系数，从而使问题获得解决． 初中数学中，待定系数法主要用途以下：典型例题一、在求函数分析式中的运用这是待定系数法的一个主要用途， 学生也是在这类运用过程中开始较深入的接触待定系数法．初中阶段主要有正比率函数、反比率函数、一次函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设 y=kx ， yk，y=kx+b 的形式 (此中 k 、b 为待定系数，且 k ≠ 0)．而二次xy= a x 2+bx+c( a 、b 、c 为待定系数 )，y= a (x － h) 函数能够依据题目所给条件的不一样，设成 2+k( a 、k 、h 为待定系数 )， y= a (x －x 1 )(x － x 2)( a 、x 1、x 2 为待定系数 )三类形式．依据题意 (能够是语句形式，也能够是图象形式 )，确立出 h 、 k 、 a 、 c 、b 、 x 1、 x 2 等候定系数．【例 1】 (05 上海 )点 A(2 ， 4)在正比率函数的图象上，求这个正比率函数的分析式． 【解】设这个正比率函数的分析式为 y=kx(k ≠ 0)，把 A(2 ，4)代入得 4=2k ， k=2， y=2x ．【例 2】 已知 y 与 x+1 成反比率，且 x=2 时， y=4，求函数的分析式．【剖析】y 与 x+1 成反比率，把x+1 看作一个整体，即可设为： yk (k ≠ 0)，而后x1把 x=2 ， y=4 代入，求出 k 的值即得函数的分析式．【解】Q y 与 x+1 成反比率，k (k ≠ 0)可设 yx1k(k ≠ 0)，得 4k，解得 k=12将 x=2 ，y=4 代入 y1x 112 2所求的函数的分析式为y．x 1【解题反省】 此题中 y 与 x+1 成反比率关系，但 y 与 x 不是反比率关系，因此当自变量为 x 时， y12 不是反比率函数．x 1【例 3】二次函数的图象经过A(1 ， 0)、 B(3 ， 0)、 C(2，－ 1)三点．(1)求这个函数的分析式．(2)求函数与直线 y= － x+1 的交点坐标．杭州杭州 e 度论坛：【解】(1) 设这个函数的分析式为y= a x 2+bx+c ．依题意得：0 a b ca 10 9a 3b c 解这个方程组得b 4 这个函数的分析式是：y=x 2－ 4x+31 4a 2b cc3y x 2 4x 3 x 1 1 x 2 2(2)x 解这个方程组得：y 1 0，1y1y 2函数与直线的交点坐标是： (1， 0)、 (2，－ 1)a 、b 、 c【解题反省】 运用待定系数法，由已知成立方程 (组 )，可求其系数的值，在把的值代入分析式时要注意符号．二、在确立方程或解方程时，某些时候使用待定系数法也可使问题获得简化．比如：已知一元二次方程的两根为x 1、 x 2，求二次项系数为1 的一元二次方程时，可设该方程为 x 2+mx+n=0 ，则有 (x － x 1)(x －x 2)=0，即 x 2－ (x 1+x 2)x+x 1x 2=0，对应同样项的系数得 m= － (x 1 2 )，n=x 1 2 ，因此所求方程为： x 2－ (x 1 2 1 2=0． +x x +x )x+x x【例 4】 已知三次方程 x 3－ 6x 2+11x －6=0 ，有一根是另一根的 2 倍，解该方程． 【解】设方程的三根分别为a 、 2 a 、b ，则有 x 3－ 6x 2+11x － 6=(x － a )(x － 2 a )(x － b)，左右分别睁开，并把同样项的系数作比较，可得：－ 3 a － b=－ 6， 2 a 2+3 a b=11，－ 2 a 2b=－ 6．解得 a =1， b=3，因此该方程的根分别为： x 1 =1， x 2=2， x 3=3 ． 三、待定系数法在分式睁开化为部分分式中的应用．分式化为部分分式时，假如用待定系数法也会产生很好的成效．【例 5】把分式11x7化为部分分式．2x 2 x【解】设11x 7 AB，而后将右侧进行通分，化成一个分式，因为左右两边分2x 2x2 x 1 x母同样，则只需分子同样，即：－ 11x+7=(A － B)x － B ．由各项系数同样得：－ 11x=A － B ，7=－ B ，解得 A=3 ， B=－ 7．因此11x 73 72x2x2x 1x四、待定系数法在因式分解中的应用【例 6】 分解因式： 2x 2－ xy － y 2+13x+8y － 7【解】因为 2x 2 －xy － y 2=(2x+y)(x － y)，因此可设 2x 2－ xy － y 213x+8y － 7=(2x+y+8)(x －y+b) ，睁开比较同样项系数，可得： a =－1， b=7 ，因此 2x 2－ xy － y 2 +13x+8y － 7=(2x+y －1)(x － y+7)． 五、待定系数法在多项式除法中的应用【例 7】当 a 、b 为什么值时， 2x 3－ a x 2+bx+1 能被 2x － 1 整除 ?【解】 设 2x 2 － a x 2+bx+l=(2x － 1)(x 2+mx － 1)，右侧睁开由 x 的同样项的系数同样可得 a 、b ， m 的方程组，解得： a =3，b=－ 3． m= － 1杭州杭州e度论坛：综合训练1．已知：一次函数的图象经过(－ 4，15)、 (6，－ 5)两点，求此一次函数的分析式．2． (08 镇江 )二次函数的图象经过点A(0 ，－ 3)， B(2 ，－ 3)， C(－1， 0)．(1)求此二次函数的关系式；(2)求此二次函数图象的极点坐标；(3)填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移________个单位，使得该图象的顶点在原点．3．以下图，已知抛物线的对称轴是直线 x=3 ，它与 x 轴交于 A 、B 两点，与 y 轴交于 C 点，点 A 、 C 的坐标分别是 (8， 0)、 (0， 4)，求这个抛物线的分析式．4． (07 枣庄 )在平面直角坐标系中，△ AOB 的地点以下图，已知∠ AOB=90 °， AO=BO ，点 A 的坐标为 (－ 3， 1)(1)求点 B 的坐标．(2)求过 A ， O， B 三点的抛物线的分析式；(3)设点 B 对于抛物线的对称轴的对称点为 B 1，求△ AB 1B 的面积．杭州杭州 e 度论坛：参照答案1．y= － 2x+72．(1) 设 y= a x 2+bx － 3，把点 (2，－ 3)，(－1，0)代入得4a 2b 3 3ab 300，a 1解方程组得．y=x 2－ 2x －3． (也可设 y= a (x － 1) 2+k) ．b2(2)y=x 2－ 2x － 3=(x － 1) 2－ 4， 函数的极点坐标为 (1，－ 4)． (3)53．解： 察看图象可知， A 、C 两点的坐标分别是 (8，0)、(0，4)，对称轴是直线 x=3 ．因为对称轴是直线x=3，因此 B 点坐标为 (－ 2， 0)．设所求二次函数为y= a (x － x 1)(x － x 2)，由已知， 这个图象经过点 (8，0)、(－2，0)，能够获得 y= a (x － 8)(x+2) ．又因为其图象过 (0， 4) 点，将点代入，得所求二次函数的关系式是y1 x23 x4 ．4 24．解： (1) 作 AC ⊥ x 轴， BD ⊥ x 轴，垂足分别为C ，D ，则∠ ACO= ∠ ODB=90 °． ∠ AOC+ ∠ OAC=90 °．又 Q ∠ AOB=90 °，∠ AOC+ ∠ BOD=90 °．∠ OAC=∠ BOD ．又 Q AO=BO ， △ ACO ≌△ ODB ．OD=AC=1 ， DB=OC=3 ． 点 B 的坐标为(1，3)．(2) 抛物线过原点，可设所求抛物线的分析式为 y= a x 2+bx ．将 A( －3， 1)， B(1 ，3)代入，解得 a5 ， b13 ．故所求抛物线的分析式为y5 x 2 13x ．66 1366(3) 抛物线的对称轴的方程是 x点 B 对于抛物线的对称轴的．10对称点为 B 118， ．在△ AB1B中，底边 B 1B=4 ． 6，高为 2． SVAB 1B4.635。
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【2013年中考攻略】专题2：待定系数法应用探讨锦元数学工作室 编辑在数学问题中，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果，这些待确定的系数(或参数)，称作待定系数。
然后根据已知条件，选用恰当的方法，来确定这些系数，这种解决问题的方法叫待定系数法。
待定系数法是数学中的基本方法之一。
它渗透于初中数学教材的各个部分，在全国各地中考中有着广泛应用。
应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法；消除待定系数法。
比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程（组），从而使问题获解。
例如：“已知x 2-3=（1-A ）·x 2＋Bx ＋C ，求A ，B ，C 的值”，解答此题，并不困难，只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比较后，就可得到A ，B ，C 的值。
这里的A ，B ，C 就是有待于确定的系数。
代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程（组），从而使问题获解。
例如：“点（2，﹣3）在正比例函数图象上，求此正比例函数”，解答此题，只需设定正比例函数为y=kx ，将（2，﹣从而求得正比例函数解析式。
这里的k 就是有待于确定的系数。
代入所求，从而使问题获解。
b 2=k a3=，则a=3k b=2k ，，；在初中阶段和中考中应用待定系数法解题常常使用在代数式变型、分式求值、因式分解、求函数解析式、求解规律性问题、几何问题等方面。
下面通过2011年和2012年全国各地中考的实例探讨其应用。
一. 待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组），解出方程（组）即可求得答案。
典型例题：例：（2011云南玉溪3分）若2x 6x k ++是完全平方式，则k =【 】A ．9B ．－9C ．±9D ．±3【答案】A 。
【考点】待定系数法思想的应用。
【分析】设()22x 6x k=x+A ++，则222x 6x k=x 2Ax A ++++，∴22A =6A =3k=9A =k ⎧⎧⇒⎨⎨⎩⎩。
故选A 。
练习题：1.（2012江苏南通3分）已知x 2＋16x ＋k 是完全平方式，则常数k 等于【 】 A ．64 B ．48 C ．32 D ．162.（2012贵州黔东南4分）二次三项式x 2﹣kx+9是一个完全平方式，则k 的值是 ▲ 。
3.（2011江苏连云港3分）计算 (x ＋2) 2的结果为x 2＋□x ＋4，则“□”中的数为【 】 A ．－2 B ．2 C ．－4 D ．44.1化成2(x p)q ++的形式为【 】C.2(x 2)5+-D.2(x 4)4++在一类分式求值问题中，已知一比例式a b a b-+的值是【 】 324D ．49【答案】D 。
【考点】比例的性质。
【分析】∵b 5a 13=，∴设b 5k a13==，则b=5k ， a=13k ，把a ，b 的值代入a b a b-+，得，a b 13k 5k 8k 4===a b13k 5k18k9--++。
故选D 。
练习题：1.（2012北京市5分）已知a b =023≠，求代数式5a 2b (a 2)(a+2b)(a 2b)b ⋅--－的值。
2.（2011四川巴中3分）若a 22a b3=-，则b a= ▲ 。
三. 待定系数法在因式分解中的应用：在因式分解问题中，除正常应用提取公因式法、应用公式法、十字相乘法、分组分解法等解题外还可应用待定系数法求解，特别对于三项以上多项式的分解有很大作用（如：x 3－6x 2+11x －6，223x 5xy 2y x 9y 4+-++-，目前这类考题很少，但不失为一种有效的解题方法）。
典型例题：例1：（2012湖北黄石3分）分解因式：2x x 2+-＝ ▲ 。
【答案】（x －1）（x ＋2）。
【考点】因式分解。
【分析】设()()2x x 2x A x B +-=++，∵()()()2x A x B x A B x A B ++=+++⋅，A B=1A B=2+⎧⎨⋅-⎩，解得A=1B=2-⎧⎨⎩或A=2B=1⎧⎨-⎩，∴()()2x x 2=x 1x 2+--+。
〖注：本题实际用十字相乘法解题更容易，但作为一种解法介绍于此。
〗例2：分解因式：223x 5xy 2y x 9y 4+-++- ▲ 。
【答案】()()3x y 4x 2y 1-++-。
【考点】因式分解。
【分析】∵()()223x 5xy 2y 3x y x 2y +-=-+，∴可设()()223x 5xy 2y x 9y 43x y a x 2y b +-++-=-+++。
∵()()()223x y a x 2y b 3x 5xy 2y a 3b x (2a b)y ab -+++=+-+++-+， ∴()22223x 5xy 2y x 9y 43x 5xy 2y a 3b x (2a b)y ab +-++-=+-+++-+。
比较两边系数，得a 3b=12a b=9ab=4+⎧⎪-⎨⎪-⎩①②③。
联立①，②得a=4，b =－1。
代入③式适合。
∴()()223x 5xy 2y 3x y 4x 2y 1+-=-++-。
练习题：1. （2012四川南充3分）分解因式：2x 4x 12-- = ▲ 。
2. （2012山东潍坊3分）分解因式：x 3—4x 2—12x= ▲ 。
3. （2011贵州黔东南4分）分解因式：=--822x x ▲ 。
四. 题的常用方法，就是要确定方程中x 的系数与常数，标满足方程的关系，重要内容，是求曲线方程的有效方法。
二次函数这几类函数，前面三种分别可设系数，且k ≠0)、b 、c 为待定系数)，顶点式y=a (x －h) 2+k(a 、k )( a 、x 1、x 2为待定系数)三类形式。
根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出a 、b 、c 、k 、x 1、x 2等待定系数，求出函数解析式。
典型例题：例1：（2012江苏南通3分）无论a 取什么实数，点P(a －1，2a －3)都在直线l 上，Q(m ，n)是直线l 上的点，则(2m －n ＋3)2的值等于 ▲ ． 【答案】16。
【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，求代数式的值。
【分析】∵由于a 不论为何值此点均在直线l 上，∴令a=0，则P 1（－1，－3）；再令a=1，则P 2（0，－1）。
设直线l 的解析式为y=kx+b （k≠0）， ∴ k b 3 b 1-+=-⎧⎨=-⎩ ，解得k 2 b 1=⎧⎨=-⎩ 。
∴直线l 的解析式为：y=2x －1。
∵Q （m ，n ）是直线l 上的点，∴2m －1=n ，即2m －n=1。
∴(2m－n＋3)2=（1+3）2=16。
例2：（2012山东聊城7分）如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．（1）求直线AB的解析式；（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标．【答案】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，∵直线AB过点A（1，0）、点B（0，﹣2），∴k b0b=2+=⎧⎨-⎩，解得k2b=2=⎧⎨-⎩。
∴直线AB的解析式为y=2x﹣2。
，x=2。
，将点A（1，0）、点B（0，﹣2）分别代入解S△BOC=2求出C的横坐标，再代入直线即可求出y的值，从而得到其坐标。
例3：（2012湖南岳阳8分）游泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程“排水﹣﹣清洗﹣﹣灌水”中水量y（m3）与时间t（min）之间的函数关系式．（1）根据图中提供的信息，求整个换水清洗过程水量y（m3）与时间t（min）的函数解析式；（2）问：排水、清洗、灌水各花多少时间？【答案】解：（1）排水阶段：设解析式为：y=kt+b，∵图象经过（0，1500），（25，1000），∴b=150025k+b=1000⎧⎨⎩，解得：k=20b=1500-⎧⎨⎩。
∴排水阶段解析式为：y=﹣20t+1500。
清洗阶段：y=0。
灌水阶段：设解析式为：y=at+c，∵图象经过（195，1000），（95，0），∴195a+c=100095a+c=0⎧⎨⎩，解得：a=10b=950⎧⎨-⎩。
∴灌水阶段解析式为：y=10t﹣950。
（2）∵排水阶段解析式为：y=﹣20t+1500，∴令y=0，即0=﹣20t+1500，解得：t=75。
∴排水时间为75分钟。
清洗时间为：95﹣75=20（分钟），∵根据图象可以得出游泳池蓄水量为1500 m3，∴1500=10t﹣950，解得：t=245。
故灌水所用时间为：245﹣95=150（分钟）。
【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。
【分析】（1）根据图象上点的坐标利用待定系数法分别得出排水阶段解析式，以及清洗阶段：y=0和灌水阶段解析式即可。
（2）根据（1）中所求解析式，即可得出图象与x轴交点坐标，即可得出答案。
例4：（2012湖南娄底3分）已知反比例函数的图象经过点（﹣1，2），则它的解析式是【】A．1y2x=-B．2yx=-C．2yx=D．1yx=【答案】B 。
【考点】待定系数法求反比例函数解析式，曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】设反比例函数图象设解析式为k y x=，将点（﹣1，2）代入k y x=得，k=﹣1×2=﹣2。
则函数解析式为2y x=-。
故选B 。
例5：（2012江苏连云港12分）如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点O 为坐标原点，点D 为抛物线的顶点，点E 在抛物线上，点F 在x 轴上，四边形OCEF 为矩形，且OF ＝2，EF ＝3， (1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)求△ABD 的面积；(3)将△AOC 绕点C 逆时针旋转90°，点A 对应点为点G ，问点G 是否在该抛物线上？请说明理由．【答案】解：(1)∵四边形OCEF 为矩形，OF ＝2，EF ＝3，∴点C 的坐标为(0，3)，点E 的坐标为(2，3)．把x ＝0，y ＝3；x ＝2，y ＝3分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得c=34+2b+c=3⎧⎨-⎩，解得b=2c=3⎧⎨⎩。
∴抛物线所对应的函数解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3。
(2)∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴抛物线的顶点坐标为D(1，4)。
∴△ABD 中AB 边的高为4。
令y ＝0，得－x 2＋2x ＋3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3。
∴AB ＝3－(－1)＝4。
∴△ABD 的面积＝12×4×4＝8。