电路分析基础 第10章 拉氏变换及其应用
高数第10章 拉普拉斯变换PPT课件
一
拉氏逆变换的定义：若
F(s) estf(t)dt存在，则称 0
F (s) 为 f (t) 的拉氏变换，记为
L[f(t)]F(s)
此时也称 f (t) 为 F (s) 的拉氏逆变换，记为
L1[F(s)]f(t)
2.若L1[F(s)]f(t) ，则
(1) L 1[F (s) ]etf(t)
(2) L 1[esF(s) ]f(t) ( 0)
f( t) L 1 [4 s 3 ] 4 L 1 [ s] 3 L 1 [2] s 2 4 s 2 42 s 2 4
4co2st3sin2t 2
（4） 由性质及表（序号13，14），得：
f(t)L1[
s2
(s1)3 ]L1[ 2 2]
s2 s1
(s1)2 3
24
s1
3
L1[
2 ]L1[ 2 ]
y
y
1
1
0
x
0a
b
x
2. 狄拉克函数
定义：设
0
(t)
1
0
t0 0t
t
当 0 时，函数序列 的极限(t)lim(t) 称为 0
狄拉克函数或单位脉冲函数，记为 函数。
由此可见， ( t ) 是这样一个函数：
(t)
0
t 0 t 0
( t ) 的图形如图所示。
1
0
t
显然，对任何 0 ，有
s 3 A (s 2 ) B (s 1 ) 令 s1，得 A2，又令s2，得 B1。所以
F(s) 2 1 s1 s2
于是，
f( t) L 1 [ F ( s ) ] L 1 [2 ] L 1 [1] 2 e t e 2 t s 1 s 2
《拉氏变换详解》课件
积分性质
积分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$， 则 $int_{0}^{infty} f(t) dt$ 的拉普拉 斯变换为 $- frac{1}{s} F(s)$。
应用
积分性质在求解初值问题和极值问题 时非常有用，可以方便地得到原函数 的表达式。
微分性质
微分性质
若 $f(t)$ 的拉普拉斯变换为 $F(s)$，则 $f^{(n)}(t)$ 的拉普拉斯变换为 $s^{n} F(s) - s^{n-1} f(0-) - s^{n-2} f'(0-) - ldots - f^{(n-1)}(0-)$。
卷积定理
总结词
卷积定理是拉普拉斯变换的一个重要特性， 它描述了函数与其导数之间的卷积关系。
详细描述
卷积定理表明，对于任意实数t，如果函数 f(t)与其导数f'(t)的拉普拉斯变换都存在，则 它们之间的卷积结果等于零。这个定理在信 号处理、控制系统等领域有着广泛的应用， 可以帮助我们更好地理解和分析函数的性质
，再通过反变换得到 (y(t))。
控制系统的稳定性分析
总结词
通过拉普拉斯变换，可以分析控制系统的稳定性，为系 统设计和优化提供依据。
详细描述
对于线性时不变控制系统，通过拉普拉斯变换，可以将 其转化为传递函数的形式。根据传递函数的极点和零点 分布，可以判断系统的稳定性。如果所有极点都在复平 面的左半部分，则系统是稳定的。如果极点在右半部分 或等于零，则系统是不稳定的。此外，系统的动态性能 也可以通过传递函数的极点和零点分布进行分析和优化 。
03
动态行为。
2023
PART 02
拉普拉斯变换的应用
REPORTING
在微分方程中的应用
laplace变换的原理和方法
其中 a 1， a 2 ， a n 及 b 0， b1 b m 均为实数，
A ( s ) ( s s 1 )( s s 2 ) ( s s n ) s i ( i 1, , n ) 是 A ( s ) 0 的根。
1、 A ( s ) 0 无重根 F (s) C1 s s1 C2 s s2 Ci s si Cn s sn
e
( s j ) t
) dt
1
2 j s j
[
1
s j
]
s
2 2
余弦函数
通理可得： F ( s ) L [cos t ] s s
2 2
6、单位脉冲函数
0 f (t ) (t ) t 0 t 0
(t )
且有
'
一般地，有 F
(n)
( s ) L [( t ) f ( t )], Re( s ) c
n
（3）积分性质
设 L [ f ( t )] F ( s )，则有 L [ f ( t ) dt ]
0 t
1 s
F (s)
t t t
L [ dt
dt
n
f ( t ) dt ]
m
C m 1 ( s s1 )
m 1
C1 s s1
C m 1 s s m 1
Cn s sn
C m 1 , C n 的计算同单根部分，
C 1 , C m 的计算公式：
C m lim ( s s 1 )
电路元件 拉氏变换
电路元件拉氏变换拉氏变换是电路分析中常用的数学工具，用于描述电路元件在时域和频域之间的转换关系。
本文将介绍拉氏变换的基本概念、性质和应用，以及在电路分析中的具体应用案例。
一、拉氏变换的基本概念和性质1. 拉氏变换的定义拉氏变换是一种将时域函数转换为复频域函数的数学工具。
对于一个时域函数f(t)，其拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞) e^(-st) f(t) dt其中，s是复变量，表示频域的频率。
2. 拉氏变换的性质拉氏变换具有线性性质，即对于任意常数a和b，有：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)其中，F(s)和G(s)分别是f(t)和g(t)的拉氏变换。
拉氏变换还具有平移性质、尺度性质、微分性质、积分性质等。
这些性质使得我们可以通过拉氏变换来简化复杂的电路分析问题。
二、拉氏变换在电路分析中的应用1. 线性电路分析拉氏变换在线性电路的分析中起到了至关重要的作用。
通过将电路中的电压和电流信号进行拉氏变换，可以将微分方程转化为代数方程，从而简化电路分析的过程。
例如，对于一个RC电路，可以通过拉氏变换将微分方程转化为代数方程，进而求解电路的响应。
2. 信号处理拉氏变换在信号处理领域也有广泛的应用。
通过将信号进行拉氏变换，可以将时域的信号转化为频域的信号，从而分析信号的频谱特性。
例如，在音频处理中，可以通过拉氏变换将声音信号转化为频域信号，进而进行音频滤波、降噪等处理。
3. 控制系统分析拉氏变换在控制系统的分析与设计中也起到了重要的作用。
通过将控制系统的微分方程进行拉氏变换，可以得到系统的传递函数，进而分析系统的稳定性、频率响应等特性。
例如，在机器人控制系统中，可以通过拉氏变换分析系统的动态响应，从而设计合适的控制策略。
三、拉氏变换的应用案例以一个简单的RL电路为例，分析其拉氏变换在电路分析中的应用。
假设电路中的电压源为v(t)，电感为L，电阻为R。
拉普拉斯变换在电路分析中的应用S域分析法
60 K1 2. 4 ( s j 3)(s j 3) s 4 K2 K3 60 2127 ( s 4)(s j 3) s j 3 60 2 127 ( s 4)(s j 3) s j 3
i(t ) [2.4e4t 4 cos(3t 127)] (t )
Us s/R I ( s ) H ( s )U ( s ) s s 1 / RC
K1
U S C Us , K2 RC 1 R(1 RC )
16
网络函数的性质
如果N为线性时不变网络，则：
17
§12-5 线性时不变电路的叠加公式
S域下的叠加原理：
Xm(s)为施加于电路的第m个外施独立电压或电流 源激励的拉氏变换；Hem为s的函数，表明第m个 外施激励及其响应的关系，即网络函数；λ(0-)为 电路内部第n个状态变量在t=0时之值，即uc(0-)或 者iL(0-)的值，Hin为s的函数，表明第n个内部初始 状态等效电源及其响应的关系。
(3) I ( s ) K3 K1 K2 ( s 4) ( s j 3) ( s j 3)
i (t ) L1[ I ( s)] (2.4e 4t 2127e j 3t 2 127e j 3t ) (t ) (2.4e 4t 2e j (3t 127) 2e j 3t 127 ) (t ) [2.4e 4t 4 cos(3t 127)] (t )
作业
下册P222 12-7，12-12，12-18
20
动态电路的相量分析法和 s域分析法
第十二章
拉普拉斯变换在电路分析中的应用 （ S域分析法）
1
§12-1 拉普拉斯变换及其几个基本性质
一般线性电路的动态分析-拉氏变换法
适用范围讨论
线性时不变系统
拉氏变换特别适用于线性时不变系统的 分析，如RC、RL和RLC电路等。
稳定性分析
通过拉氏变换可以方便地分析系统的 稳定性，判断系统是否稳定以及稳定
的程度。
初始值问题和边值问题
拉氏变换适用于求解具有初始值或边 值条件的微分方程，如电路中的初始 条件和边界条件等。
频率响应分析
06 拉氏变换法优缺点及适用 范围讨论
优点总结
简化计算
拉氏变换能将时域微分方程转换 为复频域的代数方程，从而大大 简化了计算过程。
方便系统分析
通过拉氏变换，可以方便地分析 系统的频率响应、稳定性以及暂 态和稳态性能。
适用于线性时不变系统
拉氏变换特别适用于线性时不变 系统的分析，这类系统在工程实 际中非常常见。
拉氏变换可以用于分析系统的频率响 应特性，如幅频特性和相频特性等。
07 结论与展望
研究成果总结
提出了基于拉氏变换法的一般线性电路动态分析方法，该方法能够有效地解决线性电路在时域分析中 的困难，通过变换将时域问题转化为频域问题进行处理。
通过对实际电路进行建模和仿真，验证了所提方法的有效性和准确性，结果表明该方法具有较高的计算 精度和效率。
缺点分析
收敛性限制
拉氏变换要求函数在实数轴上绝对可积，这限制了其应用范围。对于某些不满足绝对可积条件的 函数，可能需要采用其他方法进行分析。
无法直接处理非线性问题
拉氏变换是一种线性变换方法，对于非线性问题无法直接处理，需要采用其他方法进行分析。
无法直接处理时变系统
对于时变系统，拉氏变换无法直接应用，需要采用其他方法进行分析。
一般线性电路的动态分析-拉氏变 换法
目录
拉氏变换详解ppt课件
0
a
令t / a , 则原式 f ( )e
0
sa
ad aF (as)
9
(8)卷积定理 两个原函数的卷积的拉氏变换等于两个象函 数的乘积。 t 即 L[ f (t ) f ( )d ] F ( s) Nhomakorabea ( s)
0 1 2 1 2
证明： L[ f1 (t ) f 2 ( )d ] [ f1 (t ) f 2 ( )d ]e dt
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉 氏变换之和。 (2)微分性质 若 L[ f (t )] F ( s) ，则有 L[ f (t )] sF (s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。
3
证：根据拉氏变换的定义有
L[ f (t )] f (t )e dt s f (t )e dt f (t )e
st st 0 0
st 0
sF ( s) f (0)
原函数二阶导数的拉氏变换
L[ f (t )] sL[ f (t )] f (0) s[ sF ( s) f (0)] f (0) s 2 F ( s) sf (0) f (0)
14
2. 拉式反变换——部分分式展开式的求法
M (s) b0 s b1s bm1s bm F ( s) n (m n) n 1 D(s) s a1s an1s an
m
m1
（1）情况一:F(s) 有不同极点,这时,F(s) 总能展开成如下简单的部分分式之和
f (t ) L [ F ( s)] t 1 e
拉氏变换
拉氏变换的基本性质及其应用举例
一、拉氏变换的性质
(1)线性定理：拉氏变换是线性变换，即：
(2)卷积定理：
称为、的卷积，记为
(3)乘积定理：设、的拉氏变换为、，则：的拉氏变换为：
(4)导数定理：
如果：
则：
(5)不定积分定理：
(6)象的导数定理：
(7)象的积分定理：设的象为,且积分收敛，则：
(8)相似定理：设，则：
(9)位移定理：
(10)延迟定理：设，则：
二、用拉氏变换求解常微分方程及积分方程举例
例1、求解初值问题：
解：对方程两端作拉普拉斯变换：
即：
将上式两端反演，即：
从例1中可得出运用拉普拉斯变换求解微分方程，积分方程的步骤可归纳为：
(1)对方程施行拉普拉斯变换，这变换把初始条件一同考虑。
(2)从变换后的方程中解出象函数。
(3)对求出的象函数进行反演，原函数就是原方程的解。
例2 求解交流RL电路的方程：
解：对方程两边作拉普拉斯变换
将上式两端反演得：
由卷积定理得：
所得结果第一部分代表一个稳定的(幅度不变的)振荡，第二部分则是随时间而衰减的．例3 求解
解：对该方程施行拉普拉斯变换后得：
记
将上式反演，设：
则
则由卷积定理得：
而：
例4 求解方程组：
解：对方程组施行拉氏变换得：
记：
两式相加减得：
将上方程组反演：
例5 求解积分方程
解：对方程两端施行拉氏变换
即：
进行反演：
例6 用拉普拉斯变换求积分：
解：当
进：对积分进行拉普拉斯变换
反演得：
当
时，作变换。
拉氏变换及应用
§2-3拉普拉斯变换及其应用时域的函数可以通过线性变换的方法在变换域中表示，变换域的表示有时更为简捷、方便。
例如控制理论中常用的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，就是其中的一种。
一、拉氏变换的定义已知时域函数，如果满足相应的收敛条件，可以定义其拉氏变换为(2-45)式中，称为原函数，称为象函数，变量为复变量，表示为(2-46)因为是复自变量的函数，所以是复变函数。
有时，拉氏变换还经常写为(2-47)拉氏变换有其逆运算，称为拉氏反变换，表示为(2-48)上式为复变函数积分，积分围线为由到的闭曲线。
二、常用信号的拉氏变换系统分析中常用的时域信号有脉冲信号、阶跃信号、正弦信号等。
现复习一些基本时域信号拉氏变换的求取。
(1)单位脉冲信号理想单位脉冲信号的数学表达式为(2-49)且(2-50)所以(2-51)说明：单位脉冲函数可以通过极限方法得到。
设单个方波脉冲如图2-13所示，脉冲的宽度为，脉冲的高度为，面积为1。
当保持面积不变，方波脉冲的宽度趋于无穷小时，高度趋于无穷大，单个方波脉冲演变成理想的单位脉冲函数。
在坐标图上经常将单位脉冲函数表示成单位高度的带有箭头的线段。
由单位脉冲函数的定义可知，其面积积分的上下限是从到的。
因此在求它的拉氏变换时，拉氏变换的积分下限也必须是。
由此，特别指明拉氏变换定义式中的积分下限是,是有实际意义的。
所以，关于拉氏变换的积分下限根据应用的实际情况有，，三种情况。
为不丢掉信号中位于处可能存在的脉冲函数，积分下限应该为。
(2)单位阶跃信号单位阶跃信号的数学表示为(2-52)又经常写为(2-53)由拉氏变换的定义式，求得拉氏变换为(2-54)因为阶跃信号的导数在处有脉冲函数存在，所以单位阶跃信号的拉氏变换，其积分下限规定为。
(3)单位斜坡信号单位斜坡信号的数学表示为(2-55)图2-15单位斜坡信号另外，为了表示信号的起始时刻，有时也经常写为(2-56)为了得到单位斜坡信号的拉氏变换，利用分部积分公式得(2-57)(4)指数信号指数信号的数学表示为(2-58)拉氏变换为(2-59)(5)正弦、余弦信号正弦、余弦信号的拉氏变换可以利用指数信号的拉氏变换求得。
拉氏变换及拉氏反变换
Fsk1 k2 kn
ss1 ss2
ssn
化为部分分式，即
现在的任务就是确定ki的值， ki确定了，就可根据表2-1确定f（t）了。 ki可由下式求得
k i F s s s i s s i， i 1 ， 2 ， 3 ， ， n
从而求出f（t）。
例2-11
求
Fss2
s1 5s6
的拉氏反变换
1 2
k1
k2
得k 1 1
3 2
3 2
k1
k2 0
又k3 s3s s21s.ss0 1
得 即
例2-12
故
F ss2 s s 11 s ss 1 2 1 2 2 3 3 2 3 . 2 2 31 s1 s3 3. s1 2 2 2 3 2 3 2 s1 2 s 2 1 2 2 3 2
化为如下部分分式，
F s s k j 1 s s k 2 j s k 3 s 3 s k 4 s 4 s k n s n
现在的任务是确定ki，k1，k2按以下步骤求取：
将上式两端同时乘以(s+σ+jβ)(s+σ-jβ)，同时令s=- σ-jβ（或者同时令s=- σ+jβ ），得 k 1 s k 2 s j F s s js js j
的原函数
解： F s s 3 s s 2 1 s ss 2 s s 1 1 s k 2 1 s sk 2 1 k s 3
将等式两端同时乘以 s2s1 ，并令s 1 j 3 22
s1
s s1j
3
k1sk2
s1j 2
3 2
22
1j 2
231 2k1k2j23k1
解
1 2
求相关系数
拉氏变换在电路复频域分析中应用
拉氏变换在电路复频域分析中的应用摘要拉氏变换是求解微分方程的有力工具，应用拉氏变换的复频域分析法在电路的分析中有着重要的作用。
本文通过拉氏变换引出电路的复频域分析法，之后对一阶和二阶动态电路分别用时域分析法和复频域分析法进行分析求解，通过两种方法的比较，总结出用复频域分析法分析电路的优点和拉氏变换在其中的重要应用。
最后对拉氏变换的应用进行了推广，简要的说明在一些学科研究中的不易解决的问题可以通过拉氏变换将其简化从而得以解决。
关键词:电路复频域分析法拉氏变换一.电路的基本分析方法有时域分析法，复频域分析法等。
时域分析法时域分析法又称经典法，是一种建立微分方程，求解微分方程从而得出电路响应的方法。
由于电感和电容元件的电压、电流关系是微分关系，由此列出的电路方程是微分方程，求解结果是电路的完全响应，此时响应电压和电流都表示为时间t的函数，为时域响应。
复频域分析法复频域分析法是一种用电压电流的象函数代替对应的时间函数，并根据电路的复频域模型，应用复频域形式的基尔霍夫定律、元件方程，从而将原来的线性微分方程变为线性代数方程的方法。
复频域分析法分析电路有两种方法，变换方程法和变换电路法。
变换方程法是将描述动态电路的微分方程，经拉氏变换为复频域代数方程，在复频域求解后，反变换为时域响应；变换电路法是将时域电路直接变换为复频域电路，即复频域模型，然后根据复频域模型进行分析计算，得出响应量的复频域形式，最后反变换为时域响应。
应用拉氏变换分析电路，主要的优点有：1. 拉氏变换能将电路分析时域求解微分方程的问题转化为复频域求解代数方程问题，从而使求解得以简化。
2.可以同时解出微分方程的齐次方程的通解和非齐次方程的特解，而且初始条件自动地包含在变换式或复频域模型中，不需要确定积分常数。
从而避免了时域求解微分方程确定积分常数的繁琐计算。
3.应用拉氏变换，可以直接作出时域电路的复频域模型。
在复频域模型的基础上进行分析计算，可以实现几类电路分析方法的统一，而不必在时域列出微分方程，使分析计算大为简化。
拉普拉斯变换在电路分析中的应用
K1,K2¨¨Km的计算方法如下：
A( s) K k ( s sk ) B ( s ) s sk
则F(s)的拉氏反变换为：
L [ F ( s)] K k e
1 k 1
m
sk t
例1.
求 F ( s)
30( s 1)(s 2) s( s 3)(s 2 9s 20)
电感元件的VCR（积分形式）
1 t iL (t ) iL (0 ) u ( ) d L 0
, t 0
1 t [iL (t )] [iL (0 ) u ( ) d ] L 0 1 t [iL (0 )] [ u ( ) d ] L 0 iL (0 ) U ( s ) I (s) s sL
S域的零状态分析
零状态分析时的初始状态为零,所以电路的s域模型 就简化了: sL R I(s) 1/sC I(s)
I(s)
+ U(s) -
+ U(s) -
+
U(s) -
U (s) Z (s) I (s) I (s) Y (s) U ( s)
Z(S)称为广义阻抗(拉普拉斯阻抗)
Y(S)称为广义导纳
积分性质用于电容元件和电感元件VCR的S域形式 电容元件的VCR（积分形式）
1 t uc (t ) uc (0 ) i ( ) d , t 0 C 0 1 t L[uc (t )] L[uc (0 ) i ( ) d ] C 0 1 t L[uc (0 )] L[ i( ) d ] C 0 u c (0 ) I ( s ) U c (s) s sC
3. S域分析法的步骤 （1）建立电路的S域模型 求给定电源的拉氏变换，求C和L的初始值， 画出电路的S域模型。 （2）通过电路的S域模型，利用电阻电路的各种方 法，定理求解电路的响应。 （3）对在S域模型中求得的响应进行拉氏反变换， 即可得到电路的时域响应。
laplace变换及其应用
f (t ) F ( )d s t
(条件 lim f (t ) 0)
t 0
注意：该性质收敛域不变。
• 8、卷积定理：
If
f1 t F1 s f 2 t F2 s
then
f1 t f 2 t F1 s F2 s
s0
• 时域的无穷点对应于复数域的原点
五、拉氏变换应用于系统分析： 输入e(t) E(s) 输出r(t) R(s)
H(s)
R( s) H ( s) E ( s) rzs (t )
-1
[R(s)]
• 介绍常用的方法： • 一、根据常用的拉氏变换表求逆变换。 • 二、部分分式展开法： • F（S）为有理分式，将其展开成变 换表中具有的形式。
拉氏变换及其逆变换均具有线性
• 2、尺度变换：
If then
f t F s 1 s f (at) F ( ) a a ( a 0)
• 3、延时定理：
If then
f t F s f (t t0 ) F ( s )e
st0
• 4、Ｓ域平移：
If then
H(s)
R( s) H ( s) E ( s) rzs (t )
-1
[R(s)]
• 系统函数（传输函数）
• 定义：
Rs N ( S ) 输出的拉氏变换 H ( s) E s D( S ) 输入的拉氏变换
• 注意： • 系统函数是独立于输入而仅由系统特性 决定的。 • 系统函数是在零状态条件下得到的。 • 线性时不变电路的系统函数是Ｓ的有一、Laplace 变换的作用：
d nf s n F(s) dt n
拉氏变换的基本性质
频移性质表明信号在时域中乘以指数函数对应于频域中的平移。
微分性质
微分定理
若$f(t)$的拉氏变换为$F(s)$，则$f'(t)$的拉氏变换为$sF(s)-f(0^-)$。
微分性质的意义
微分性质建立了信号时域微分与频域之间的关系，便于通过拉氏变换求解微分方 程的初值问题。
积分性质
积分定理
拉氏变换的基本性质
目录
• 引言 • 拉氏变换的基本性质 • 拉氏变换的收敛域 • 拉氏反变换 • 拉氏变换在电路分析中的应用 • 拉氏变换在信号处理中的应用
01 引言
拉氏变换的定义
拉氏变换是一种线性积分 变换
它将一个有实数变量t（t≥0）的函数转换为 一个复数变量s的函数。
转换公式
对于实数变量t的函数f(t)，其拉氏变换F(s)定 义为F(s)=∫[0,∞)f(t)e^(-st)dt，其中s为复数
电路分析
在电路分析中，拉氏反变换常用 于将电路的频率响应转换回时域 响应，以便分析电路的动态行为。
控制系统
在控制系统中，拉氏反变换可用于 将控制系统的传递函数转换回时域， 以便分析系统的稳定性和性能。
信号处理
在信号处理中，拉氏反变换可用于 将信号的频谱转换回时域信号，以 便进行信号的重构和分析。
05 拉氏变换在电路分析中的 应用
确定收敛域。
收敛域与函数性质的关系
函数增长性与收敛域
函数增长越快，其拉氏变换的收敛域越小；反之，函数增长越慢， 其收敛域越大。
函数奇偶性与收敛域
对于偶函数，其拉氏变换的收敛域关于实轴对称；对于奇函数，其 收敛域关于原点对称。
函数周期性与收敛域
周期性函数的拉氏变换在相应的周期内收敛，而在其他区域可能发 散。
拉氏变换及其在电路应用
拉氏变换与电路设计计算
要用好拉氏变换，先了解S的物理含义和其用途。
信号分析有时域分析、频域分析两种，时域是指时间变化时，信号的幅值和相位随时间变化的关系；频域则是指频率变化时，信号的幅值和相位随时间变化的关系；而S则是连接时域与频域分析的一座桥梁。
在电路中，用到的线性元件为阻性，用R表示；用到的非线性元件，主要指感性特性和容性特性，分别用SL和1/SC表示，然后将其看成一个纯粹的电阻，只不过其阻值为SL（电感）和1/SC（电容）；
其他特性（如开关特性）则均可通过画出等效电路的方式，将一个复杂的特性分解成一系列阻性、感性、容性相结合的方式。
并将其中的感性和容性分别用SL和1/SC表示。
然后，就可以用初中学过的电阻串、并联阻抗计算的方式来进行分压、分流的计算，这当然很简单了。
计算完后，最后一定会成一个如下四种之一的函数：Vo=Vi（s） --------------------（1）
Io=Vi（s） --------------------（2）
Vo=Ii（s） --------------------（3）
Io=Ii（s） --------------------（4）
下一步，如果是做时域分析，则将S=d/dt代入上述1-4其中之一的式子中，随后做微分方程的求解，则可求出其增益对时间的变化式 G（t）；
而如果做的是频域分析，则将S=jw代入上述1-4其中之一的式子中，随后做复变函数方程的求解，则可求出其增益对时间的变化式 G（w）、和相位对时间的变化式θ（w）；
至于求出来时域和频域的特性之后，您再想把数据用于什么用途，那就不是我能关心得了的了。
例子：。
拉氏变换分析线性电路
目录
• 引言 • 拉氏变换在分析线性电路中的应用 • 拉氏变换在分析线性电路中的优势
目录
• 拉氏变换在分析线性电路中的局限性 • 拉氏变换在分析线性电路中的实例 • 结论
01
引言
拉氏变换的定义和性质
定义
拉氏变换是一种将时域函数转换为复频域函数的数学方法，通过定义一个线性 积分算子，将时域函数乘以衰减因子后对时间进行积分，得到该函数的拉氏变 换。
05
拉氏变换在分析线性电路 中的实例
一阶RC电路的响应分析
总结词
通过拉氏变换，可以方便地求解一阶 RC电路的响应，包括零状态响应和 零输入响应。
详细描述
在RC电路中，电容的电压或电流是时 间的函数，通过拉氏变换，可以将时 域函数转换为复频域函数，从而方便 地求解电路的响应。
二阶RLC电路的响应分析
总结词
利用拉氏变换，可以有效地分析二阶RLC电路的响应特性，包括固有频率和阻尼比等参 数。
详细描述
通过拉氏变换，可以将RLC电路的微分方程转换为复频域的代数方程，从而方便地求解 电路的响应。
多输入多输出线性电路的响应分析
总结词
利用拉氏变换，可以方便地分析多输入 多输出线性电路的响应特性，包括传递 函数和频率响应等。
解决初值问题的能力
拉氏变换能够将线性电路中的初值问 题转化为代数问题，通过求解代数方 程得到电路的响应。
这种方法避免了求解微分方程的复杂 计算，简化了计算过程，提高了解决 问题的效率。
求解线性微分方程的简便性
拉氏变换可以将线性微分方程转化为 代数方程，从而简化了求解过程。
通过拉氏变换，我们可以直接得到电 路的响应，而不需要通过微分方程的 求解来得到。
一般线性电路的动态分析--拉氏变换法.ppt
解：（1） 单位阶跃函数
f(t) =ε(t)
F (s) L[ f (t)] (t)estdt 0
estdt 0
1 est
s
0
1 s
（2）单位冲激函数； f(t) =δ(t)
F (s) L[ f (t)] (t)estdt 0
0
(t
)est
dt
=e-s(0)
=1
0
（3）指数函数； f(t) =eat
a为实数
F (s) L[ f (t)] eatestdt 0
1
e(sa)t
sa
0
1 sa
例：RLC串联电路，求电流i(t)=? i(t) S R
+
u(t) _
L
_ uc(t) +
L[ f (t)]
f (t)estdt F (s)
0
用符号L-1 [ ]表示对方括号里的复变函数作
拉氏反变换。 L1[F (s)] 1
c
j
F
( s)e
st
ds
2 j c j
注意：拉普拉斯正变换、反变换必须一一对应！
例：求以下函数的象函数：
（1）单位阶跃函数；（复习相关知识） （2）单位冲激函数； （复习相关知识） （3）指数函数。
(
s-p1 )3F(s)|s = p1
1 s2
s 1
=1
F (s)
1 s2 (s 1)3
K12
d ds
[(s
p1 )3
F (s)]s p1
d 1
2
拉氏变换及应用
a,b为常数
则他们的组合为
L [ a f 1 ( t ) b f 2 ( t )] a F1 ( s ) b F 2 ( s )
2、微分性质
L[ d f (t ) dt L[ d f (t ) dt
n 2 2 2 ] s F ( s ) 2 f (0 ) f (0 )
] sF ( s ) f (0 )
s1 t
i m 1
n
cie
si t
拉氏变换表如书中。 例
d y (t ) dt
2 2
2
d y (t ) dt
2 y (t ) (t )
y (0) y (0) 0
方程两端拉氏变换
带入初状态有
Y (s) s c1 1 2 j
1
2
2s 2 c2
m 1
c1 ( s s1 )
c m 1 s s m 1
cn s sn
系数如下
c m lim ( s s1 ) F ( s )
m s s1
c m 1 lim
[ ( s s1 ) ds
j m m
d [( s s1 ) F ( s )]
m
s s1
拉氏变换及应用
1、定义 如 f ( t ) e dt 其中 s j 为复变量存在 称为f(t)的拉普拉斯变换（简称拉氏变换） 记作F(s)= f ( t ) e dt 其中 s j F(s)=L[f(t)]称F(s)为f(t)的象函数，f(t) 为F(s)的原函数。 2、积分限问题 正常函数的积分下限为0但对于一些特殊函数的
拉普拉斯变换在电路中的应用
拉普拉斯变换在电路中的应用10071051朱海云 应用拉普拉斯变换求解线性电路的方法称为运算法。
运算法的思想是：首先找出电压、电流的像函数表示式，而后找出R、L、C 单个元件的电压电流关系的像函数表示式，以及基尔霍夫定律的像函数表示式，得到用像函数和运算阻抗表示的运算电路图，列出复频域的代数方程，最后求解出电路变量的象函数形式，通过拉普拉斯反变换，得到所求电路变量的时域形式。
显然运算法与相量法的基本思想类似，因此，用相量法分析计算正弦稳态电路的那些方法和定理在形式上均可用于运算法。
1.电路定律的运算形式 基尔霍夫定律的时域表示： 把时间函数变换为对应的象函数： 得基尔霍夫定律的运算形式：2.电路元件的运算形式 根据元件电压、电流的时域关系，可以推导出各元件电压电流关系的运算形式。
图1（a）1)电阻R的运算形式 图1(a)所示电阻元件的电压电流关系为：u =Ri ，两边取拉普拉斯变换，得电阻元件VCR 的运算形式： 或 根据上式得电阻R 的运算电路如图（b ）所示。
图1（b ）图2（a）图2（b）2)电感L 的运算形式 图2(a)所示电感元件的电压电流关系为 两边取拉普拉斯变换并根据拉氏变换的微分性质，得电感元件VCR 的运算形式： 或 根据上式得电感L 的运算电路如图(b)和图(c)所示。
图中表示附加电压源的电压，表示附加电流源的电流。
式中图2（c ）分别称为电感的运算阻抗和运算导纳。
图3（a）图3（b）3)电容C 的运算形式 图3(a)所示电容元件的电压电流关系为： 两边取拉普拉斯变换并根据拉氏变换的微分性质，得电容元件VCR 的运算形式： 或 根据上式得电容C 的运算电路如图(b)和图(c)所示。
图中表示附加电流源的电流，表示附加电压源的电压。
式中分别为电容的运算阻抗和运算导纳。
图3（c）4)耦合电感的运算形式 图4（a ）所示耦合电感的电压电流关系为： 图4（a ） 两边取拉普拉斯变换，得耦合电感VCR的运算形式： 根据上式得耦合电感的运算电路如图(b)所示。
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达式直接求出
11
11
s (1 esT / 2 ) s (1 es )
f (t) (t) (t 1) (t 2) (t 3)
(1)k (t k)
k0
F(s) L
f (t)
( 1) k e ks
k0
1 s
1 s
1 1 es
等比（ es）级数
6. 拉氏逆变换 (Inversion of Laplace Transform)
2. 反变换
f (t ) 1
2 j
j
F
(
s
)e
st
ds
j
简写为：f (t)
L1[F (s)]
对应关系：f (t) F(s)
3.常用函数的拉氏变换
L[eat (t )] 1
sa L[ (t)] 1
s
L[ (t)] = 1
sin(t) (t) s2 2
cos(t) (t)
s
s2 2
uLd
为
电
感
中
电流的初 Nhomakorabea值
UL (s)
u( 1 L
)
(
0
)
Ls
Ls
UL (s) iL (0 )
Ls
s
时域平移性质 设：L[ f (t)] F (S)
L[ f (t t0 ) (t t0 )] est0 F ( S ) est0为延迟因子
f(t)(t)
f(t-t0)(t-t0)
f(t)(t-t0)
F1 ( S )
例 设周期函数T=2S，求其象函数F(s)。
f(t)
解 方法一 ：第一个周期可描述为
1 01 方法二
...
t(s) 2
则
：利用其表
f1(t) (t) (t
L[ f1(t )] F1(s)
：L[
f
(t
)]
1
1 e sT
1)
1 s
(1 s
1 es s
1 esT / 2 ) s
t
f
(
)
d
F(s) s
f (1) (0 ) s
式中 :
f (1) (0 )
0 f ( )d
是积分的初始值 。
例
已知设电U感L (的s)电 流L 与uL电，压求时电域感方电程流为的iL变换L1式。t uLd，
解：
式 中 ：iL (0 )
1 L
u( 1) L
(0
)
IL (s)
L
1 L
t
长除
以下均假设满足 m < n。
F(S)
am S m am1S m1 a0 bn S n bn1S n1 b0
N(S) D( S )
首先令F(s)的分母为零 即：D(s) = 0
求出 n个根 pi (i =1,2, …, n)； 当s等于任何一个根时，F(s)等于无穷大；
T
T
f(t) A
A tε(t) A (t T T )ε(t T )
T
T
T
A tε(t) A (t T )ε(t T ) Aε(t T )
T
T
F(s) L
f (t)
A T
1 s2
A T
1 s2
eTS
A 1 eTS s
S域平移性质
设：L[ f (t )] F (S ) L[et f (t )] F (S )
N(s) s D(s) 2s 2
k1
N( D(
p1 ) p1 )
|
p1
1
j
s 2s 2
| s p1 1 j
1 2
j
k2
N( D(
p2 ) p2 )
| p2
1
j
s 2s 2 |s p1 1 j
1 2
解 由时域方程
iC
C
duC dt
iC IC(s), uC UC(s)
IC (s) C[sUC (s) uC (0 )]
时域积分性质
设：L[ f (t)] F (S )
L[ t f ( )d ] 1 F(S)
0
S
例 L[t (t)] L[ t (t)dt] 1 1
0
SS
L
第10章 拉氏变换及其应用 Laplace Transform & Applications
1. 正变换
F(s) f (t)estdt 0
简写为：F(s) L[ f (t)]
F(s)称为象函数，用大写字母表示, 如I(s)，U(s)。
f(t )称为原函数，用小写字母表示，如 i(t ), u(t )。
F(S)
N(S) D( S )
am S m bn S n
am1S m1 a0 bn1S n1 b0
当m < n时 ，F(s)为真分式；直接进行分解。
当m≥n时，F(s)为假分式，先用多项式长除法 将F(s)分解为多项式与真分式之和的形式。
例
设
F(s)
s2 s2
2 s
2s 1 s2 s
例 求eat tε(t )的象函数。
解
tε(t )
1 s2
eat tε(t )
(s
1 a)2
5. 周期函数的拉氏变换
若周期函数f (t) = f (t+T )满足收敛条件， 则拉氏变换存在：
设f1(t)为f (t)的第一个周的函数
且 L[ f1(t)] F1(S)
则：L[ f (t)]
1 1 eST
t t0
t
t
t0
例
f(t)
1
f (t) (t) (t T)
例
Tt
F (S) 1 1 eTS SS
已知单个三角波形f (t)如图所示，求f (t)的象函数F(s)。
f (t) A t[ (t) (t T )]
T
? F ( S )
A( T
1 S2
e TS S2
)
f (t ) A tε(t) A tε(t T )
方法二 应用洛比达法则
N(S)
ki
lim
s pi
D(S )
所以：
k1
4S 2S
5 5
S 2
3
N ( pi ) D( pi )
k2
4S 2S
5 5
S 3
7
例
F(s)
解 方法一
s2
s 2s
，求原函数f (t)。 2
p1,2 1 j 复根
s2 2s 2 (s 1 j)( s 1 j) 0
tn (t)
n! s n1
4. 基本性质及应用
时域微分性质
设L[ f (t)] F(s)
L[df (t)] sF (s) dt
f (0
)
例 L[cos t (t)] L[ 1 d (sin t (t))] dt
1
s
s2
2
0
s2
s
2
例 已知电容中的电流和两端的电压参考方
向相关联，求电容电流的拉氏变换。
所以称这些根为F(s)的极点。
根据极点的不同特点，F(s)的分解方法也不同。
1) F(s)的极点仅为单根
例: F(S)
4S 5 S2 5S
6
(S
4S 5 2)(S
3)
-K31 S2
K7 2 S3
p1 2, p2 3
K1
4S 5 S3
S 2
3
K2
4S 5 S2
S 3
7
得：f (t ) （ 3e2t 7e3t） (t )