东华理工大学概率论与数理统计练习册答案_
概率论与数理统计练习册答案

概率论与数理统计练习册答案第一章概率论的基本概念一、选择题4. 答案:(C )注:C 成立的条件:A 与B 互不相容.5. 答案:(C )注:C 成立的条件:A 与B 互不相容,即AB φ=.6. 答案:(D )注:由C 得出A+B=Ω. 8. 答案:(D )注:选项B 由于11111()1()1()1()1(1())nn n n n i i i i i i i i i i P A P A P A P A P A ======-=-==-=--∑∑∏∏9.答案:(C )注:古典概型中事件A 发生的概率为()()()N A P A N =Ω. 10.答案:(A )解:用A 来表示事件“此r 个人中至少有某两个人生日相同”,考虑A的对立事件A “此r 个人的生日各不相同”利用上一题的结论可知365365!()365365r r r rC r P P A ?==,故365()1365rrP P A =-.12.答案:(B )解:“事件A 与B 同时发生时,事件C 也随之发生”,说明AB C ?,故()()P AB P C ≤;而()()()()1,P A B P A P B P AB ?=+-≤ 故()()1()()P A P B P AB P C +-≤≤.13.答案:(D )解:由(|)()1P A B P A B +=可知2()()()1()()()1()()()(1())()(1()()())1()(1())()(1())()(1()()())()(1())()()()()()()(())()()()P AB P AB P AB P A B P B P B P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P AB P B P B P A P B P B P B P AB P B -?+=+--+--+==-?-+--+=-?-+--+=2(())()()()P B P AB P A P B -?=故A 与B 独立. .16.答案:(B )解:所求的概率为()1()1()()()()()()()11111100444161638P ABC P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =-??=---+++-=---+++-= 注:0()()0()0ABC AB P ABC P AB P ABC ??≤≤=?=. 17.答案:(A )解:用A 表示事件“取到白球”,用i B 表示事件“取到第i 箱”1.2.3i =,则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)11131553353638120P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.18.答案:(C )解:用A 表示事件“取到白球”,用i B 表示事件“取到第i 类箱子” 1.2.3i =,则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)213212765636515P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.19.答案:(C )解:即求条件概率2(|)P B A .由Bayes 公式知3263222711223315()(|)5(|)()(|)()(|)()(|)7P B P A B P B A P B P A B P B P A B P B P A B ===++. 二、填空题2.;ABC ABC ABC ABC ABC 或AB BC AC3.0.3,0.5 解:若A 与B 互斥,则P (A+B )=P (A )+P (B ),于是 P (B )=P (A+B )-P (A )=0.7-0.4=0.3;若A 与B 独立,则P (AB )=P (A )P (B ),于是由P (A+B )=P (A )+P (B )-P (AB )=P (A )+P (B )-P (A )P (B ),得()()0.70.4()0.51()10.4P A B P A P B P A +--===--.4.0.7 解:由题设P (AB )=P (A )P (B|A )=0.4,于是P (AUB )=P (A )+P (B )-P (AB )=0.5+0.6-0.4=0.7.解:因为P (AUB )=P (A )+P (B )-P (AB ),又()()()P AB P AB P A +=,所以()()()0.60.30.3P AB P A B P B =-=-= .6.0.6 解:由题设P (A )=0.7,P (AB )=0.3,利用公式AB AB A +=知()()()P AB P A P AB =-=0.7-0.3=0.4,故()1()10.40.6P AB P AB =-=-=. 7.7/12 解:因为P (AB )=0,所以P (ABC )=0,于是()()1()1[()()()()()()()]13/42/67/12P ABC P A B C P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ==-=-++---+=-+= . 10.11260解:这是一个古典概型问题,将七个字母任一种可能排列作为基本事件,则全部事件数为7!,而有利的基本事件数为12121114=,故所求的概率为417!1260=. 11.3/7 解:设事件A={抽取的产品为工厂A 生产的},B={抽取的产品为工厂B 生产的},C={抽取的是次品},则P (A )=0.6,P (B )=0.4,P (C|A )=0.01,P (C|B )=0.02,故有贝叶斯公式知()()(|)0.60.013(|)()()(|)()(|)0.60.010.40.027P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ?====+?+?. 12.6/11解:设A={甲射击},B={乙射击},C={目标被击中},则P (A )=P (B )=1/2,P (C|A )=0.6,P (C|B )=0.5,故()()(|)0.50.66 (|)()()(|)()(|)0.50.60.50.511P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ?====+?+?. 四、 )(,21)|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ?===求。
华理概率论答案第一册

{
}
4. 已知 ( A + B )( A + B ) + A + B + A + B = C ,且 P (C ) = 1 ,则 P ( B ) = 2 。 3 3 5. 设随机事件 A 、 B 及其和事件的概率分别是 0.4,0.3,0.6。若 B 表示 B 的对
2
P {硬币与边线不相交} = 于是有
( a − 1)
a2
2
< 0.01
a<
10 9
。
8. n 个人随机地围绕圆桌就座, 试问其中 A 、B 两人的座位相,B两人座位相邻} = ⎨ n − 1 ⎪ n=2 ⎩ 1
。
9.
一部五卷的选集,按任意顺序放在书架上,求: (1) 各卷自左至右或者自右至左的卷号顺序恰为 1,2,3,4,5 的概率; (2) 第一卷及第五卷分别在两端的概率; (3) 第一卷及第五卷都不在两端的概率。
( A − AB ) U B = ( A − AB )B = ( AAB )B = ( A U AB ) B
= ( AB ) U ( ABB ) = ( AB ) U ∅ = AB
所以: ( A − AB ) U B = AB 。 6.设 A 、 B 为两个事件,若 AB = A I B ,问 A 和 B 有什么关系? 解: A 和 B 为对立事件。
1 13
B.
13 4 C 52
C.
134 4 C52
D.
13 4 52 × 51 × 50 × 49
三. 计算题: 1. 将长为 a 的细棒折成三段,求这三段能构成三角形的概率。 解 : 设 三 段 分 别 为
x, y , a − x − y
华理概率论习题3答案

概率论与数理统计作业簿(第三册)学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________第七次作业一.填空题:1. ξ的分布列为:则=E ξ 。
2. ξ的分布列为:则=E ξ13, (1)-+=E ξ3, 2=E ξ24。
二.选择题:1. 若对任意的随机变量X ,EX 存在,则))((EX E E 等于( C ) 。
A .0 B .X C .EX D .2)(EX2. 现有10张奖券,其中8张为2元,2张为5元,某人从中随机地无放回地抽取3张,则此人所得奖金的数学期望为 ( C ) (A ) (B )12 (C ) (D )9三.计算题1. 设随机变量X 的概率密度为21101()10x x f x θθθ--⎧<<⎪=-⎨⎪⎩,,其他其中1,求 EX 。
解 21111110011111011----====--⎰⎰EX xx dx x dx x θθθθθθθθθ 2. 设随机变量ξ的概率密度函数,0(=0,0x e x p x x -⎧>⎨≤⎩) 求 2,(2),()E E E e ξξξξ-+。
解 01,x E xe dx ξ+∞-==⎰(2)22,E E ξξ==22204()()13x x E eE E ee e dx ξξξξ+∞----+=+=+⋅=⎰。
3. 一台机器由三大部件组成,在运转中各部件需要调整的概率分别为,和。
假设各部件的状态相互独立,用ξ表示同时需要调整的部件数,试求ξ的数学期望。
解 设A i ={第i 个部件需要调整}(i=1,2,3),则P(A 1)=,P(A 2)= ,P(A 3)= 。
所以123(0)()0.90.80.70.504P P A A A ξ===⨯⨯=, 123123123(1)()()()0.389,P P A A A P A A A P A A A ξ==++= 123123123(2)()()()0.092,P P A A A P A A A P A A A ξ==++=123(3)()0.006.P P A A A ξ===从而00.50410.38920.09330.0060.6E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=。
华理概率论习题5答案

华东理工大学概率论与数理统计 作业簿(第五册)学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________第十三次作业一. 填空题:1. 已知二维随机变量),(ηξ的联合概率分布为则()_______,),max (_______,)(2sin ____,______,==⎪⎭⎫ ⎝⎛+==ηξηξπηξE E E E ()_______),m ax (=ηξD 。
2. 设随机变量321,,ξξξ相互独立,1ξ~)6,0(U ,2ξ~)4,0(N ,3ξ~)3(E ,则:)32(321ξξξ+-E = ____4___,)32(321ξξξ+-D = __20_。
二. 选择题:设),N(10~ξ,)4,0(~N η,ηξς+=,下列说法正确的是( B )。
A. )5,0(~N ς B. 0=ςE C. 5=ςD D. 3=ςD05.15.025.02.136.0三. 计算题:1. 设二维随机变量),(ηξ的联合概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<+=其他020,20)(81),(y x y x y x p求)(,,ξηηξE E E 。
解:ηξE y y x x x y x y x xp E D==+==⎰⎰⎰⎰67d )(d 81d d ),(2020 34d )(d 81d d ),()(2020=+==⎰⎰⎰⎰y y x xy x y x y x xyp E Dξη 2. 二维随机变量),(ηξ服从以点(0, 1),(1, 0),(1, 1)为顶点的三角形区域上的均匀分布,试求)(ηξ+E 和)(ηξ+D 。
解:),(ηξ~2, (,),(,)0, (,),x y G p x y x y G ∈⎧=⎨∉⎩11014()2()3y E dy x y dx ξη-+=+=⎰⎰,11220111()2()6y E dy x y dx ξη-+=+=⎰⎰,2211161()()[()]6918D E E ξηξηξη+=+-+=-=3. 有10个人同乘一辆长途汽车,沿途有20个车站,每到一个车站时,如果没有人下车,则不停车。
华东理工大学概率论答案-2

华东理工大学概率论答案-2华东理工大学概率论与数理统计作业簿(第二册)学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________第四次作业一. 填空题: 1.设事件A,B 相互独立,且5.0)(,2.0)(==B P A P ,则)(B A B P ⋃= 4/92. 设A 、B 、C 两两独立,且ABC=Φ,P(A)=P(B)=P(C)<21, 169)(=⋃⋃C B A P 则P(C)= 0.253. 已知事件A,B 的概率()0.4,()0.6P A P B ==且()0.8P A B ⋃=,则(|)P A B =13,(|)P B A =12。
4. 已知()0.3,()0.5P A P B ==,(|)0.4P A B =,则()P AB = 0.2,()P A B ⋃= 0.6,(|)P B A =23。
二. 选择题:1. 设袋中有a 只黑球,b 只白球,每次从中取出一球,取后不放回,从中取两次,则第二次取出黑球的概率为( A );若已知第一次取到的球为黑球,那么第二次取到的球仍为黑球的概率为( B )A .)(b a a +B .11-+-b a aC . )1)(()1(-++-b a b a a aD .22)(b a a +2.已知()0.7,()0.6,()0.6,P A P B P B A ===则下列结论正确的为( B )。
A .AB 与互不相容; B .A B 与独立; C.A B⊃;D .()0.4P B A =.3.对于任意两事件A 和B ,则下列结论正确的是( C )A .一定不独立,,则若B A AB ∅=; B .一定独立,,则若B A AB ∅≠;C .有可能独立,,则若B A AB ∅≠;D .一定独立,,则若B A AB ∅= 4.设事件,,,A B C D 相互独立,则下列事件对中不相互独立的是( C ))(A A 与BC D ⋃; )(B AC D ⋃与BC ; )(C BC 与A D -; )(D C A -与BD .三. 计算题:1.设有2台机床加工同样的零件,第一台机床出废品的概率为0.03,第二台机床出废品的概率为0.06,加工出来的零件混放在一起,并且已知第一台机床加工的零件比第二台机床多一倍。
概率论与数理统计答案(东华大学出版)第三章第三节

第三章 连续型随机变量及分布习题3.3(p.122)1、⑴设ξ的密度函数为()⎩⎨⎧≤>=-0,00,e x x x f x λλ求3ξη=的密度函数。
解:3x y =,31y x =,032>='x y ,y 严格单调。
由0>x ,则0>y 。
当0>y 时,()()()()3231e3--⋅='=y y h y h f y f yλξηλ ()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=∴--0,00,e 3332y y y y f y ληλ⑵若ξ的密度函数为()x f ,求3ξη=的密度函数。
解:解法同上,()()32331-⋅=y y fy f η2、设随机变量ξ在[]1,0上服从均匀分布 ⑴求ξη21=的密度函数; 解:()[]⎩⎨⎧∈=其它,01,0,1x x f ξ, x y 2=,严格单调,由10≤≤x ,得20≤≤y 。
当20≤≤y 时,()()()()212111=⋅='=y h y h f y f ξη ()[]⎪⎩⎪⎨⎧∈=∴其它,02,0,211y y f η⑵求ξηe 2=的密度函数; 解:()[]⎩⎨⎧∈=其它,01,0,1x x f ξ,x y e =,y x ln =严格单调,由10≤≤x ,得e 1≤≤y 。
当e 1≤≤y 时,()()()()()()yy y y f y h y h f y f 111ln ln 2=⋅='='=ξξη ()[]⎪⎩⎪⎨⎧∈=∴其它,0e ,1,12y yy f η⑶求ξηln 23-=的密度函数。
解:()[]⎩⎨⎧∈=其它,01,0,1x x f ξ, x y ln 2-=,2eyx -=严格单调,由10≤≤x ,得0>y 。
当0>y 时,()()()()2222e 21e 211e e 3y y y y f y h y h f y f ----=⋅='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛='=ξξη()⎪⎩⎪⎨⎧>=∴-其它,00,e 2123y y f yη3、设()1,0~N ξ,求下列各随机变量函数的密度函数。
(全)概率论与数理统计答案(东华大学出版)

第二章 离散型随机变量及其分布律第二节 一维离散型随机变量及其分布律习题Page 551、 一个口袋里有6只球,分别标有数字-3、-3、1、1、1、2,从中任取一个球,用ξ表示所得球上的数字,求ξ的分布律。
解答:因为ξ只能取-3、1、2,且分别有2、3、1个,所以ξ的分布律为:ξ-3 1 2 {}i P x ξ=2/63/61/62、 在200个元件中有30个次品,从中任意抽取10个进行检查,用ξ表示其中的次品数,问ξ的分布律是什么?解答:由于200个元件中有30个次品,只任意抽取10个检查,因此10个元件中的次品数可能为0、1、2到10个。
当次品数ξ为k 时,即有k 个次品时,则有10-k 个正品。
所以:ξ的分布律为:103017010200{},0,1,,10k k C C P k k C ξ-===。
3、 一个盒子中有m 个白球,n m -个黑球,不放回地连续随机地从中摸球,直到取到黑球才停止。
设此时取到的白球数为ξ,求ξ的分布律。
解答:因为只要取到黑球就停止,而白球数只有m 个,因此在取到黑球之前,所取到的白球数只可能为0m 中的任意一个自然数。
设在取到黑球时取到的白球数ξ等于k ,则第1k +次取到是黑球,以i A 表示第i 次取到的是白球;_i A 表示第i 次取到的是黑球。
则ξ的分布律为:__12112111{}()()(|)(|)11,0,1,,11k k k k P k P A A A A P A P A A P A A A m m m k n m k mn n n k n kξ++===--+-=⋅⋅⋅⋅=--+-。
4、 汽车沿街道行驶,要通过3个有红绿灯的路口,信号灯出现什么信号相互独立,且红绿灯显示时间相等。
以ξ表示该车首次遇到红灯前已通过的路口数,求ξ的分布律。
解答:因为只有3个路口,因此ξ只可能取0、1、2、3,其中{3}ξ=表示没有碰到红灯。
以i A 表示第i 个路口是红灯,因红绿灯显示时间相等,所以()1/2i P A =,又因信号灯出现什么信号相互独立,所以123,,A A A 相互独立。
华理概率论答案第三册

a ≤ Eξ ≤ b,
Dξ
≤
⎛ ⎜⎝
b
− 2
a
⎞2 ⎟⎠
。
证 因为 a ≤ ξ ≤ b , 所以 a ≤ Eξ ≤ b .
又因为
a−b =a− a+b ≤ξ − a+b ≤b− a+b = b−a
2
2
2
22
⇒
ξ
− a+b 2
≤
b−a 2
, ⇒ Dξ
≤
E
⎛ ⎜⎝
ξ
−
a
+ 2
b
⎞ ⎟⎠
≤
⎛ ⎜⎝
b
− 2
∑ ∑ ∑ 解
Eξ
=
∞
k
k =0
⋅
1 2k +1
=
∞
k⋅
k =1
1 2k +1
=
1 4
∞ k =1
k
⋅
⎛ ⎜⎝
1 2
⎞k ⎟⎠
−1
,
令 x=1, 则 2
∑ ∑( ) ∑ ∞
∞
k ⋅ xk−1 =
k =1
k =1
xk
′
=
⎛ ⎝⎜
∞ k =1
xk
⎞′ ⎟⎠
=
⎛1 ⎝⎜ 1− x
−1⎞⎟⎠′
=
1 (1− x)2
∫ 解 Eξ = +∞ xe−xdx = 1; 0 E(2ξ + 3) = 2Eξ + 3 = 5 ;
∫ E(ξ + e−2ξ ) = Eξ + E(e−2ξ ) = 1+ +∞ e−2x ⋅ e−xdx = 4 ;
0
华理概率论答案第八册

x2 = 91, i
yi = 78 ,
y2 = 1376 , i
xi yi = 352 :
1) 计算销售额(y)与广费用(x)的相关系数 2) 求销售额对广告费用的直线回归方程
6
3) 若下月计划广告费支出 10 万元,试预测相应的销售额
解:1) 相关系数 R = Lxy =
n∑ xy − ∑ x∑ y
由水平 α
=
0.05
,查表得
U 1−
α
= U0.975
= 1.96 ,由于 Uˆ
< U0.975 ,
2
故接受 H0 ,即该日生产得零件直径的均值与标准值没有显著差异。
2.从一批矿砂中,抽取 5 个样品,测得它们的镍含量(单位:%)如下:
3.25 3.24 3.26
3.27 3.24
设镍含量服从正态分布,问:能否认为这批矿砂中镍含量的平均值为 3.25
计算检验统计量的值为Tˆ = X − μ0 = 112.8 −112.6 = 0.4659 , Sn−1 n 1.1358 7
由水平α = 0.05 ,查表得 t1−α (n −1) = t0.975 (6) = 2.4469 , 2
由于 Tˆ < t0.975 (6) ,故接受 H0 , 即可以认为热敏电阻测温仪间接测温无系统偏差.
5) 根据分析结果,当 X=0 时, 预测变元 Y 的点估计为 __1.25___;
6) 回归方程中变元 X 系数的置信水平为 95%的置信区间是___[0.7355, 2.5145]__
二. 选择题:
1. 若要通过抽样了解其某个服从正态分布的质量指标的方差是否在允许的范围内,宜采用 的检验是( C )
4. 假设根据样本数据求得变元 X 与 Y 的样本相关系数 R = - 0.9, 则变元 X 与 Y 可能的回归方程是 ( B ) A. Y=1+2X B. Y=1-2X C. Y= -1+2X D. Y= -0.9+0.9X (注: 根据变元负相关, 或 R 与 βˆ1的计算公式可得他们符号相同 判断)
概率统计教材(东华大学高教2017版)参考答案

《概率论与数理统计》(东华大学高教2017版)参考答案第1章1. (2) (4).2. (3).3. (1)不能,样本量过小. (2)样本量达到近200。
4.(1)不合理,总体中浅色衣服比例未知;(2)例如,总体中着深色和浅色衣服人数相同。
5. (2)(3)适当,每个个体被抽到可能性相同。
第2章4. 均值41.75,中位数32.9,标准差=21.955. 9,157. 均值27320.35, 中位数24487, 标准差6503.1, 方差42290357.1. 20000开始,每隔5000一组。
分组后计算,均值26693.55, 中位数22500。
8. 10%分位数 22307, 85%分位数 318279. 第一四分位8,中位数=10, 第三四分位17.510. 相关系数为0.94. 说明交通事故数和死亡人数呈明显的正相关11. R=--0.7638. 受教育年限与脉搏数负相关第3章1 (1) 0,1,2,3(2)000,001,010,011,100,101,110,111 (注:0正,1反)(3)2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12(4)0,1,2,……(5) {(x,y)|x^2+y^2<1}2.(1)7;(2)1,3,4,5,7;(3)3,5,7;(4)1,3,4,5;(5)4,6;(6)1,4 4. (1) 1234A A A A ;(2)41i i A =(3) 1234123412341234A A A A A A A A A A A A A A A A (4) 123412341234123412341234A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A5. 根据加法公式证明6. 根据加法公式证明7. 0.78 . 0.15,0.5,0.1,0.5 9 . 2/9 10. 89/14411. 0.5815 , 0.9819 12. 0.125 , 0.1665 ,0.75 13. 0.04614 . 庄家赢的概率0.5177,0.491415. 一等 ; 二等 ; 三等。
概率论与数理统计答案(东华大学出版)第六章

第六章 数理统计基本概念与抽样分布第一节 数理统计基本概念Page2031、 设总体ξ分布为下述情形(1)(,)B k p ξ;(2)ξ服从参数为λ的指数分布;(3)(,1)N ξμ,14,ξξ为取自总体4n =的样本,分别写出它们的样本空间和样本的联合分布律(或联合密度)。
解答:(1)因(,)B k p ξ,所以{}(1),0,1,l l k l k P l C p p l k ξ-==-=,故样本空间为1414{(,,)|,,0,1,,}X k k k k k ==,11441144{,,}{}{}P k k P k P k ξξξξ=====111444(1)(1)k k k k k k k k k k C p p C p p --=-⋅⋅-,14,,0,1,,k k k =;(2)因()ξπλ,所以{},0,1,!kP k e k k λλξ-===,故样本空间1414{(,,)|0,1,}X k k k k ==,11441144{,,}{}{}P k k P k P k ξξξξ=====141414,,,0,1,!!kke e k k k k λλλλ--=⋅⋅=;(3)因(,1)N ξμ,所以2()()ex p ()2x f x μ-=-()x -∞<<∞,故样本空间1414{(,,)|,,}X k k k k R =∈,2114()(,,)exp()22x f x x μπ-=-⋅⋅24())2x μ--14(,,)x x -∞<<∞。
2、 设样本观察值12,,,n x x x 中有些值是相同的,把它们按小到大排列,分别取值为(1)(2)()k x x x <<<,取(1)(2)(),,,k x x x 得频数分别为12,,k n n n ,1()ki i n n ==∑,显然有样本均值_()11k i i i x n x n ==∑,样本方差_22()11()1k i i i S n x x n ==--∑。
华理概率论答案第二册

概率论与数理统计
作业簿(第二册)
学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________
第四次作业
一. 填空题: 1.设事件 A,B 相互独立,且 P( A) = 0.2, P(B) = 0.5 ,则 P(B A ∪ B) = 4/9
3.下列函数中,可作为某一随机变量的分布函数是( A )
(A)
F ( x)
=
1 2
+
1 π
arctan
x
(C)F (x)
=1+
1 x2
(B)
F
(
x)
=
⎧⎪ ⎨
1 2
(1
−
e−
x
),
x>0
⎪⎩ 0,
x≤0
∫ ∫ (D)
F(x) =
x
f (t)dt ,其中
+∞
f (t)dt = 1
−∞
−∞
4.设概率 P( X > x1 ) ≥ β ,P( X ≤ x2 ) ≥ α ,且 x1 < x2 ,则 P( x1 < X ≤ x2 ) ( C )
D={取出一球为白球},则
P( A) = 3 , P(B) = 1 , P(C) = 2
6
6
6
P(D | A) = 1 , P(D | B) = 2 , P(D | C) = 3
3
3
6
P(D) = 3 × 1 + 1 × 2 + 2 × 3 = 4 6363 66 9
概率统计练习册-仅答案2

第一章 概率论的基本概念一、选择题 1.答案:(B ) 2. 答案:(B ) 3.答案:(C ) 4. 答案:(C ) 5. 答案:(C ) 6. 答案:(D ) 7. 答案:(C ) 8. 答案:(D ) 9.答案:(C ) 10.答案:(A ) 11.答案:(C ) 12.答案:(B ) 13.答案:(D ) 14.答案:(A ) 15.答案:(D ) 16.答案:(B ) 17.答案:(A ). 18.答案:(C ) 19.答案:(C ) 二、填空题1.{(正,正,正),(正,正,反),(正,反,反),(反,反,反),(反,正,正),(反,反,正),(反,正,反),(正,反,正)}2.;ABC ABC ABC ABC ABC U U U 或AB BC AC U U 3.0.3,0.5 4.0.7 5.0.3 6.0.6 7.7/12 8.1/4 9.1/6 10.1126011.3/7 12.6/11三、解:P (A ,B ,C 至少有一个发生)=P (A +B +C )= P (A )+ P (B )+ P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+ P (ABC )=3150488-+=四、解:由由已知条件定义有11()()(|)1143(|)()()()2()6P A B P A P B A P A B P B P B P B P B ´=揪揪井=? 由乘法公式,得1()()(|)12P A B P A P B A == 由加法公式,得1111()()()()46123P A B P A P B P A B ?+-=+-=五、解:A 1={男人},A 2={女人},B={色盲},显然A 1∪A 2=S ,A 1 A 2=φ由已知条件知12121()()(|)5%,(|)0.25%2P A P A P B A P B A ====o 由贝叶斯公式,有)()()|(11B P B A P B A P =)|()()|()()|()(221111A B P A P A B P A P A B P A P +=2120100002521100521100521=⋅+⋅⋅=六、解、记A 1,A 2分别表“从甲袋中取得白球,红球放入乙袋”再记B 表“再从乙袋中取得白球” ∵ B =A 1B +A 2B 且A 1,A 2互斥∴P (B )=P (A 1)P (B | A 1)+ P (A 2)P (B | A 2)=111n N m Nn m N M n m N M +?++++++第二章 随机变量及其分布一、选择题 1.答案:(B ) 2.答案:(B )3.答案:(D ) 4 答案:(C ) 5.答案:(A ) 6.答案:(B ) 7.答案:(D ) 8.答案:(C ) 9.答案:(B ) 10.答案:(A ) 11.答案:(B ) 12.答案:(D ) 13.答案:(A ) 14.答案:(B ) 二、填空题 1.{}X x £.2.1516c =. 3.12a =.4. a=1/6,b=5/6.5.21(1)4x -. 6.22()21(),2x f x e x m s ps--=-?< ;221(),2y f y e y p-=-?<7. }{270.9910P X -<<=. 8. 3c =.9.130.50.5? ÷ç÷ç÷ç÷ç÷桫 10. 1()()(04)4Y Y f y F y y y¢==<<. 三、解:X 可以取值3,4,5,分布律为一球为号两球为号一球为号再在中任取两球一球为号再在中任取两球22352335243511(3)(3,1,2)1013(4)(4,1,2,3)1016(5)(5,1,2,3,4)10C P X P C C P X P C C P X P C ´====´====´====也可列为下表X : 3, 4,5P :136,,101010四、 解:(1)P (X ≤2)=F X (2)= ln2, P (0<X ≤3)= F X (3)-F X (0)=1,5555(2()(2)ln ln 2ln 2224X X P X F F <<=-=-= (2)其它1,1,()'()0,x e x f x F x ìïï<<ï==íïïïïî五、解:()()()xF x P X x f t dt -=?ò当时当时当时当时2002101012120,()0001,()0212,()0(2)2122,()0(2)01x x xx x F x dt x x F x dt t dt x x F x dt t dt t dt x x F x dt t dt t dt dt -- --<==?=+=#=++-=--<=++-+=ò蝌蝌蝌蝌故分布函数为2200012()2112212x x x F x x x x x <ìïïïïïï?ïïï=íïï--#ïïïïï<ïïî六、解:∵ K 的分布密度为:其他10550()0K f K ìïï<<ï-=íïïïïî要方程有根,就是要K 满足(4K )2-4×4× (K+2)≥0。
概率论与数理统计练习册参考答案

概率论与数理统计练习册 参考答案第1章 概率论的基本概念 基础练习 1.11、C2、C3、D4、A B C ++5、13{|02}42x x x ≤<≤<或,{}12/1|<<x x ,Ω6、{3},{1,2,4,5,6,7,8,9,10},{1,2,6,7,8,9,10},{1,2,3,6,7,8,9,10}7、(1) Ω={正,正,正,正,正,次},A ={次,正}(2)Ω={正正,正反,反正,反反},A ={正正,反反},B={正正,正反}(3) 22{(,)|1}x y x y Ω=+≤,22{(,)|10}A x y x y x =+<<且 (4)Ω={白,白,黑,黑,黑,红,红,红,红},A={白},B={黑} 8、(1)123A A A (2) 123123123A A A A A A A A A ++ (3)123A A A ++ (4) 123123123123A A A A A A A A A A A A +++ (5) 123123A A A A A A +9、(1)不正确 (2)不正确 (3)不正确 (4)正确 (5) 正确 (6)正确(7)正确 (8)正确10、(1)原式=()()()A B AB A B AB A B A B B -==+= (2)原式=()()A A B B A B A AB BA BB A +++=+++= (3)原式=()AB AB =∅11、证明:左边=()AAB B A A B B AB B A B +=++=+=+=右边 1.21、C2、B3、B4、0.85、0.256、0.37、2226C C 8、0.081 9、2628C C10、3()()()()()()()()4P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ++=++---+=11、解:设,,A B C 分别表示“100人中数学,物理,化学不及格的人数” 则{10},{9},{8}A B C ===,{5},{4},{4},{2}AB AC BC ABC ====100()84ABC A B C =-++=12、解:设A 表示“抽取3个球中至少有2个白球”21343437()C C C P A C +=13、解:(1)设A 表示“10件全是合格品”,则109510100()C P A C = (2) 设B 表示“10件中恰有2件次品”,则8295510100()C C P B C = 14、解:(1)设A 表示“五人生日都在星期日”,51()7P A =(2)设B 表示“五人生日都不在星期日”, 556()7P B = (3)设C 表示“五人生日不都在星期日”,55516()177P C =-- 15、解:{(,)|01,01}x y x y Ω=≤≤≤≤设A 表示“两人能会到面”,则1{(,)|}3A x y x y =-≤, 所以5()9P A =1.31、0.8,0.252、0.63、0.074、23 5、0.56、注:加入条件()0.4P B =解:()()0.1P AB P A ==,()()0.4P A B P B +==()()0.9P A B P AB +==,()(|)0.25()P AB P A B P B ==7、解:设A 表示"13张牌中有5张黑桃,3张红心,3张方块,2张梅花”则5332131313131352()C C C C P A C =,8、解:设123,,A A A 分别表示“零件由甲,乙,丙厂生产”,B 表示“零件时次品” 则112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.20.050.40.040.40.030.036=⋅+⋅+⋅=9、解:设123,,A A A 分别表示“甲,乙,丙炮射中敌机”, 123,,B B B 分别表示“飞机中一门,二门,三门炮”,C 表示“飞机坠毁”。
华理概率论习题答案

华东理工大学概率论与数理统计作业簿(第一册)学院____________专业____________班级____________学号____________姓名____________任课教师____________第一次作业一.填空题:1.设{}20≤≤=x x S ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<=121x x A ,⎭⎫⎩⎨⎧<≤=2341x x B ,具体写出下列各事件:B A =1131x 422x x ⎧⎫≤≤<<⎨⎬⎩⎭或者,B A =S ,B A =B ,AB =A 。
2.设A 、B 、C 表示三个随机事件,试将下列事件用A 、B 、C 表示出来:(1)事件ABC 表示A 、B 、C 都发生;(2)事件ABC 表示A 、B 、C 都不发生;(3)事件ABC 表示A 、B 、C 不都发生;(4)事件A B C 表示A 、B 、C 中至少有一件事件发生;(5)事件AB AC BC 或AB AC BC 表示A 、B 、C 中最多有一事件发生。
二.选择题:1.设}10,,3,2,1{ =Ω,}5,3,2{=A ,}7,5,4,3{=B ,}7,4,3,1{=C ,则事件=-BC A (A )。
A.}10,9,8,6,1{B.}5,2{C.}10,9,8,6,2{D.}10,9,8,6,5,2,1{2.对飞机进行两次射击,每次射一弹,设事件=A “恰有一弹击中飞机”,事件B =“至少有一弹击中飞机”,事件C =“两弹都击中飞机”,事件=D “两弹都没击中飞机”,又设随机变量ξ为击中飞机的次数,则下列事件中(C )不表示}1{=ξ。
A.事件AB.事件C B -C.事件C B -D.事件CD -3.设A 、B 是两个事件,且∅≠A ,∅≠B ,则()()B A B A ++表示(D)。
A.必然事件B.不可能事件C.A 与B 不能同时发生D.A 与B 中恰有一个发生4.以A 表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A 表示(D)。
华东理工大学概率论答案-17,18

华东理工大学概率论与数理统计学 院 ____________专 业 ____________班 级 ____________ 学 号 ____________姓 名 ____________任课教师____________第十七次作业一.计算题:1. 一复杂系统,由多个相互独立作用的部件组成,在运行期间,每个部件损坏的概率都是0.1,为了使整个系统可靠地工作,必须至少有88%的部件起作用。
(1)已知系统中共有900个部件,求整个系统的可靠性(即整个系统能可靠地工作的概率)。
(2)为了使整个系统的可靠性达到0.99,整个系统至少需要由多少个部件组成?解: 设ξ是起作用的部件数 ,ξ~),(p n b ,当n 比较大时,近似有ξ~),(npq np N 。
(1)900=n ,9.0=p ,1.01=-=p q ,810=np ,81=npq 。
整个系统要能可靠地工作,至少要有 792%88900%88=⨯=⨯n 个部件起作用, 所以,这时系统能可靠地工作的概率等于}900792{≤≤ξP ≈ )81810792()81810900(-Φ--Φ)2()10(-Φ-Φ= ≈ 9772.0 . (2)设至少需要n 个部件,n np 9.0=,n npq 09.0=。
这时系统能可靠地工作的概率等于}88.0{n n P ≤≤ξ≈)09.09.088.0()09.09.0(nnn nn n -Φ--Φ=)15()3(nn -Φ-Φ ≈)15(1n -Φ-)15(nΦ= ( 因为本题中n 很大,3n 的值远远超过了4,所以可以认为 )3(nΦ≈1 ) 。
要99.0)15(≥Φn ,查表可得3263.215≥n,即2)153263.2(⨯≥n ≈1218 , 即如果整个系统可靠性要达到99.0,它至少需要由1218个部件组成。
2. 保险公司接受多种项目的保险,其中有一项是老年人寿保险,若一年中有100000人参加这项保险,每人每年需付保险费20元,在此类保险者里,每个人死亡的概率是0.002,死亡后家属立即向保险公司领得8000元。
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第一章 概率论的基本概念一、选择题 1.答案:(B ) 2. 答案:(B ) 3.答案:(C )4. 答案:(C ) 注:C 成立的条件:A 与B 互不相容.5. 答案:(C ) 注:C 成立的条件:A 与B 互不相容,即AB φ=.6. 答案:(D ) 注:由C 得出A+B=Ω.7. 答案:(C )8. 答案:(D ) 注:选项B 由于11111()1()1()1()1(1())nn n n n i i i i i i i i i i P A P A P A P A P A ======-=-==-=--∑∑∏∏9.答案:(C ) 注:古典概型中事件A 发生的概率为()()()N A P A N =Ω. 10.答案:(A )解:用A 来表示事件“此r 个人中至少有某两个人生日相同”,考虑A 的对立事件A “此r 个人的生日各不相同”利用上一题的结论可知365365!()365365r r r r C r P P A ⋅==,故365()1365r rP P A =-.11.答案:(C )12.答案:(B )解:“事件A 与B 同时发生时,事件C 也随之发生”,说明AB C ⊂,故()()P AB P C ≤;而()()()()1,P A B P A P B P AB ⋃=+-≤ 故()()1()()P A P B P AB P C +-≤≤.13.答案:(D )解:由(|)()1P A B P A B +=可知2()()()1()()()1()()()(1())()(1()()())1()(1())()(1())()(1()()())()(1())()()()()()()(())()()()P AB P AB P AB P A B P B P B P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P B P B P A P B P AB P B P B P AB P AB P B P B P A P B P B P B P AB P B -⋃+=+--+--+==-⇒-+--+=-⇒-+--+=2(())()()()P B P AB P A P B -⇒=故A 与B 独立. 14.答案:(A )解:由于事件A,B 是互不相容的,故()0P AB =,因此P(A|B)=()00()()P AB P B P B ==. 15.答案:(D )解:用A 表示事件“密码最终能被译出”,由于只要至少有一人能译出密码,则密码最终能被译出,因此事件A 包含的情况有“恰有一人译出密码”,“恰有两人译出密码”,“恰有三人译出密码”,“四人都译出密码”,情况比较复杂,所以我们可以考虑A 的对立事件A “密码最终没能被译出”,事件A 只包含一种情况,即“四人都没有译出密码”,故111112()(1)(1)(1)(1)()543633P A P A =----=⇒=.16.答案:(B ) 解:所求的概率为()1()1()()()()()()()11111100444161638P ABC P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =-⋃⋃=---+++-=---+++-= 注:0()()0()0ABC AB P ABC P AB P ABC ⊂⇒≤≤=⇒=. 17.答案:(A )解:用A 表示事件“取到白球”,用i B 表示事件“取到第i 箱” 1.2.3i =,则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)11131553353638120P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.18.答案:(C )解:用A 表示事件“取到白球”,用i B 表示事件“取到第i 类箱子” 1.2.3i =,则由全概率公式知112233()()(|)()(|)()(|)213212765636515P A P B P A B P B P A B P B P A B =++=++=.19.答案:(C )解:即求条件概率2(|)P B A .由Bayes 公式知3263222711223315()(|)5(|)()(|)()(|)()(|)7P B P A B P B A P B P A B P B P A B P B P A B ===++. 二、填空题1.{(正,正,正),(正,正,反),(正,反,反),(反,反,反),(反,正,正),(反,反,正),(反,正,反),(正,反,正)}2.;ABC ABC ABC ABC ABC 或AB BC AC 3.0.3,0.5解:若A 与B 互斥,则P (A+B )=P (A )+P (B ),于是 P (B )=P (A+B )-P (A )=0.7-0.4=0.3;若A 与B 独立,则P (AB )=P (A )P (B ),于是由P (A+B )=P (A )+P (B )-P (AB )=P (A )+P (B )-P (A )P (B ),得()()0.70.4()0.51()10.4P A B P A P B P A +--===--.4.0.7解:由题设P (AB )=P (A )P (B|A )=0.4,于是P (AUB )=P (A )+P (B )-P (AB )=0.5+0.6-0.4=0.7.5.0.3解:因为P (AUB )=P (A )+P (B )-P (AB ),又()()()P AB P AB P A +=,所以()()()0.60.30.3P AB P A B P B =-=-=. 6.0.6解:由题设P (A )=0.7,P (AB )=0.3,利用公式AB AB A +=知()()()P AB P A P AB =-=0.7-0.3=0.4,故()1()10.40.6P AB P AB =-=-=. 7.7/12解:因为P (AB )=0,所以P (ABC )=0,于是()()1()1[()()()()()()()]13/42/67/12P ABC P A B C P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ==-=-++---+=-+=. 8.1/4解:因为()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC =++---+ 由题设22()()(),()()()(),()()()()P A P B P C P AC P A P C P A P AB P A P B P A ======,2()()()(),()0P BC P B P C P A P ABC ===,因此有293()3()16P A P A =-,解得 P (A )=3/4或P (A )=1/4,又题设P (A )<1/2,故P (A )=1/4. 9.1/6解:本题属抽签情况,每次抽到次品的概率相等,均为1/6,另外,用全概率公式也可求解.10.11260解:这是一个古典概型问题,将七个字母任一种可能排列作为基本事件,则全部事件数为7!,而有利的基本事件数为12121114⨯⨯⨯⨯⨯⨯=,故所求的概率为417!1260=. 11.3/7 解:设事件A={抽取的产品为工厂A 生产的},B={抽取的产品为工厂B 生产的},C={抽取的是次品},则P (A )=0.6,P (B )=0.4,P (C|A )=0.01,P (C|B )=0.02,故有贝叶斯公式知()()(|)0.60.013(|)()()(|)()(|)0.60.010.40.027P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ⨯====+⨯+⨯. 12.6/11解:设A={甲射击},B={乙射击},C={目标被击中}, 则P (A )=P (B )=1/2,P (C|A )=0.6,P (C|B )=0.5, 故()()(|)0.50.66(|)()()(|)()(|)0.50.60.50.511P AC P A P C A P A C P C P A P C A P B P C B ⨯====+⨯+⨯. 四、 )(,21)|(,31)|(,41)(B A P B A P A B P A P ⋃===求。
解:由61)()(314121)()|()()()()|(=⇒⨯=−−−−→−=B P B P B P A B P A P B P AB P B A P 有定义由已知条件 由乘法公式,得121)|()()(==A B P A P AB P由加法公式,得311216141)()()()(=-+=-+=⋃AB P B P A P B A P第二章 随机变量及其分布一、选择题1.答案:(B )注:对于连续型随机变量X 来说,它取任一指定实数值a 的概率均为0,但事件{X=a}未必是不可能事件. 2.答案:(B )解:由于X 服从参数为λ的泊松分布,故{},0,1,2,!k e P X k k k λλ-===.又},2{}1{===X P X P 故1221!2!e e λλλλλ--=⇒=,因此0212222{2}1{2}1{0}{1}{2}2225110!1!2!P X P X P X P X P X e e e e--->=-≤=-=-=-==---=-. 3.答案:(D )解:由于X 服从]5,1[上的均匀分布,故随机变量X 的概率密度为14,[1,5]()0,[1,5]x f x x ∈⎧=⎨∉⎩.因此,若点,[1,5]a b ∈,则4}{ab b X a P -=≤≤. 2{36}{35}4P X P X <<=<<=,3{04}{14}4P X P X <<=<<=, 21{13}{13}42P X P X -<≤=<≤==.4 答案:(C )解:由于),4,(~μN X 故~(0,1);2X N μ- 由于0{0}{}(),222X P X P μμμ--≤=≤=Φ-而1(0)2Φ=,故只有当0μ=时,才有21}0{=≤X P ;2{2}{2}1{2}1{}1(1);22X P X P X P X P μμμμμμ-+-->=>+=-≤+=-≤=-Φ正态分布中的参数只要求0σ>,对μ没有要求. 5.答案:(A )解:由于~(2,)X B p ,故002222{1}1{1}1{0}1(1)1(1)2P X P X P X C p p p p p ≥=-<=-==--=--=-,而5{1}9P X ≥=,故25152933p p p p -=⇒==或(舍); 由于~(3,)Y B p ,故0033311219{1}1{Y 1}1{0}1()(1)1()33327P Y P P Y C ≥=-<=-==--=-=.6.答案:(B )解:这里()23g x x =-+,()g x 处处可导且恒有()20g x '=-<,其反函数为3()2y x h y -==-,直接套用教材64页的公式(5.2),得出Y 的密度函数为3113()()()2222Y X X y y f y f f --=--=-. 7.答案:(D )注:此题考查连续型随机变量的概率密度函数的性质.见教材51页. 8.答案:(C )解:因为)1,1(~N X ,所以2(1)21()2xt F x edt π---∞=⎰,2(1)21()2x f x e π--=. 101{0}{}(1)1(1)10.84310.1569,11{0}1{0}1{0}1(1)(1)0.8431;X P X P P X P X P X --≤=≤=Φ-=-Φ=-=≥=-<=-≤=-Φ-=Φ= 111{1}{}(0)0.5,11{1}1{1}1{1}1(0)0.5;X P X P P X P X P X --≤=≤=Φ=≥=-<=-≤=-Φ= 9.答案:(B )解:由于()()f x f x =-,所以X 的概率密度函数为偶函数,其函数图形关于y 轴对称,因此随机变量X 落在x 轴两侧关于原点对称的区间内的概率是相等的,从而马上可以得出1(0)(0)2F P X =≤=.我们可以画出函数()f x 的图形,借助图形来选出答案B.也可以直接推导如下:()()aF a f x dx --∞-=⎰,令u x =-,则有1()()()()()()().2aaa aaF a f u du f u du f x dx f x dx f x dx f x dx ∞∞∞∞-=--===-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰10.答案:(A )解:14114411312137{}()|428P X f x dx xdx x >====⎰⎰. 11.答案:(B ) 解:21121{2}1{2}1{22}1{}222X P X P X P X P ----≥=-<=--<<=-<<1[(0.5)( 1.5)]1(0.5)1(1.5)0.3753=-Φ-Φ-=-Φ+-Φ=.12.答案:(D )解:对任意的0,x >{}1{}1()1(1)x x P X x P X x F x e e λλ-->=-≤=-=--=;选项C 描述的是服从指数分布的随机变量的“无记忆性”;对于指数分布而言,要求参数0λ>.13.答案:(A )解:选项A 改为~(0,1)X N μσ-,才是正确的; {(,)}()()()()a b P X a b F b F a μμσσ--∈=-=Φ-Φ;{||}{}{}{}()()2()1,(0)P X k P k X k P k X k k X k P k k k k μσσμσσμσμσμμμσμμσσσ-≤=-≤-≤=-+≤≤+-+--+-=≤≤=Φ-Φ-=Φ->. 14.答案:(B )解:由于随机变量X 服从(1,6)上的均匀分布,所以X 的概率密度函数为15,[1,6]()0,[1,6]x f x x ∈⎧=⎨∉⎩.而方程012=++Xx x 有实根,当且仅当24022X X X ∆=-≥⇒≥≤-或,因此方程012=++Xx x 有实根的概率为 62{2}{2}0.861p P X P X -=≥+≤-==-. 二、填空题 1.X x ≤.2.解:由规范性知111115151248161616c c c c c c =+++=⇒=. 3.解:由规范性知122/311()2312/32k k a a a a ∞====⇒=-∑.4.解:因为{}{}{}()(0)P X x P X x P X x F x F x ==≤-<=--,所以只有在F (X )的不连续点(x=-1,1,2)上P{X=x}不为0,且P (X=-1)=F (-1)-F (-1-0)=a ,P{X=1}=F (1)-F (1-0)=2/3-2a ,P{X=2}=F (2)-F (2-0)=2a+b-2/3,由规范性知1=a+2/3-2a+2a+b-2/3得a+b=1,又1/2=P{X=2}=2a+b-2/3,故a=1/6,b=5/6.5.解:由于]5,1[~U X ,所以X 的概率密度为1,15()40,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它,故2122111()()(1)44x p x X x f x dx dx x ∞-∞<<===-⎰⎰. 6.22()21(),2x f x ex μσπσ--=-∞<<∞;221(),2y f y e y π-=-∞<<∞ 7.解:}{2337327222(2)( 2.5)(2)(2.5)10.99720.993810.9910X P X P ⎧----⎫-<<=<<⎨⎬⎭⎩=Φ-Φ-=Φ+Φ-=+-=. 8.解:由()()()1()1333(0)()()()22223032p X c p X c p X c p X c X c c p X c p c c <=≥⇒<=-<---⇒Φ==<=<=Φ-⇒=⇒=.9.130.50.5-⎛⎫ ⎪⎝⎭10.解:011(){}{},(04)22y Y F y P Y y P X y dx y y =<=<==<<⎰ 故1()()(04)4Y Y f y F y y y'==<<.第三章 多维随机变量及其分布一、选择题1.答案:(A )解:要使12()()()F x aF x bF x =-是某个随机变量的分布函数,该函数必须满足分布函数的性质,在这里利用()1F ∞=这一性质可以得到12()()1aF bF a b ∞-∞=-=,只有选型A 满足条件.2.答案:(A )解:由12{0}1X X ==P 可知1212{0}1{0}0X X P X X ≠=-==P ,故1212121212121212{1,1}{1,1}{1,1}{1,1}0{1,1}{1,1}{1,1}{1,1}0P X X P X X P X X P X X P X X P X X P X X P X X =-=-+=-=+==-+===⇒=-=-==-====-====又由联合分布律与边缘分布律之间的关系可知:1121212121{1}{1,1}{1,0}{1,1}41{1,0}4P X P X X P X X P X X P X X ==-==-=-+=-=+=-=⇒=-==1121212121{1}{1,1}{1,0}{1,1}41{1,0}4P X P X X P X X P X X P X X =====-+==+==⇒===21212121212121{0}{1,0}{0,0}{1,0}21{0,0}{1,0}{1,0}02P X P X X P X X P X X P X X P X X P X X ====-=+==+==⇒===-=-=-===故12121212{}{1,1}{1,1}{0,0}0P X X P X X P X X P X X ===-=-+==+===. 3.答案:(D )解:联合分布可以唯一确定边缘分布 ,但边缘分布不能唯一确定联合分布,但如果已知随机变量X 与Y 是相互独立的,则由X 与Y 的边缘分布可以唯一确定X 与Y 的联合分布. 4.答案:(A )解:由问题的实际意义可知,随机事件{}X i =与{}Y j =相互独立,故1166111{,}{}{},,1,2,636P X i Y j P X i P Y j i j C C ========;661111{}{,}{}{,}6366k k X Y X k Y k P X Y P X k Y k ======⇒=====⨯=∑∑; 15{}1{}166P X Y P X Y ≠=-==-=;{}{}{}X Y X Y X Y ≤=<⋃=,而事件{}X Y <又可以分解为15个两两不相容的事件之和,即{}{,1}{,2}{,6},1,2,3,4,5X Y X k Y k X k Y k X k Y k <===+⋃==+⋃⋃===故151517{}{}{}{}3636612P X Y P X Y P X Y P X Y <=⇒≤=<⋃==+=. 5.答案:(B ) 解:当221212(,)(,,,,)X Y N μμσσρ时,),(~211σμN X ,222~(,)Y N μσ,且X 和Y 相互独立的充要条件是0=ρ;单由关于S 和关于T 的边缘分布,一般来说是不能确定随机变量S 和T 的联合分布的.6.答案:(C )解:(方法1)首先证明一个结论,若2~(,)T N μσ,则2~(,)S T N μσ=--.证明过程如下(这里采用分布函数法来求S T =-的概率密度函数,也可以直接套用教材64页的定理结论(5.2)式):由于(){}{}{}1{}1{}1(),S T F s P S s P T s P T s P T s P T s F s =≤=-≤=≥-=-<-=-≤-=--故2222()(())2211()()(1)(),22s s S T T f s f s f s e e μμσσπσπσ------=--⨯-=-==这表明T -也服从正态分布,且2~(,)S T N μσ=--.所以这里222~(,)Y N μσ--.再利用结论:若1X 与2X 相互独立,且2~(,),1,2i i i X N i μσ=,则22121212~(,)X X N μμσσ+++.便可得出221212~(,)X Y N μμσσ+++;221212~(,)X Y N μμσσ--+; 2212122()~(2,4)X Y X Y Y N μμσσ-=---+; 2212122()~(2,4)X Y X X Y N μμσσ-=+--+.(方法2)我们还可以证明:有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布,且若2~(,),1,2,,i i i X N i n μσ=,则22111~(,)n n ni i i i i i i i i Y k X N k k μσ====∑∑∑故221212~(,)X Y N μμσσ+++;221212~(,)X Y N μμσσ--+;)4,2(~2222121σσμμ+--N Y X ;2212122~(2,4)X Y N μμσσ--+.7.答案:(A )解:由于~(3,1)X N -,~(2,1)Y N ,所以13(3)~(0,1)1X Z X N +==+,22(2)(0,1)1Y Z Y N -==-,故23222(2)(0,(2)1)(0,4)Z Z Y N N =-=---⨯=,而13Z Z Z =+,所以~(0,5)Z N . 8.答案:(D )解:由联合概率密度函数的规范性知44400041(,)sin()[cos cos()]4[sin sin()]21214f x y dxdy C dx x y dy C x x dxC x x C ππππππ∞∞-∞-∞==+=-+=-+=-⇒=+⎰⎰⎰⎰⎰. 9.答案:(A ) 解:1{1}(,)x y P X Y f x y dxdy +≥+≥=⎰⎰121232010154165()()363272x dx x xy dy x x x dx -=+=++=⎰⎰⎰.10.答案:(B)解:由联合概率密度函数的规范性知(23)230001(,)(2)(3) 6.66x y x y A Af x y dxdy A dx edy e d x e d y A ∞∞+∞+∞+∞+∞-+---∞-∞===--=⇒=⎰⎰⎰⎰⎰⎰12.答案:(C )解:用D 表示以(0,0),(0,2),(2,1)为顶点所形成的三角形区域,用G 表示矩形域[02,01]x y ≤≤≤≤,则所求的概率为21242202033{(,)}(,)()0.622216DD G x x x P X Y D f x y dxdy xy dxdy dx xy dy dx ∈====-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.13.答案:(B )解:利用结论:有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布,且若2~(,),1,2,,i i iX N i n μσ=,则22111~(,).n n ni i i i i i i i i Y k X N k k μσ====∑∑∑因此2221211111()~(,())(,)nn n i i X X X N N nn nn σμσμ==+++=∑∑;22212~(,)(0,2)X X N N μμσσσ--+=.令123Z X =+,由教材64页定理结论中的(5.2)式可知,Z 的概率密度函数为22223()[(23)]22(2)2111().222(2)z z Z f z e e μμσσπσπσ---+--==,故2123~(23,4)X N μσ++.二、填空题1.F (b,c )-F(a,c);F(a,b);F(+∞,a)-F(+∞,0);F(+∞,b)-F(a,b).2.1/6αβ+=.3.解:22111[ln ||]2e e D S dx x x ===⎰,故1/2,(,)(,)0,(,)x y D f x y x y D∈⎧=⎨∉⎩. 4.0.5.解:P (X=Y )=P (X=-1, Y=-1)+ P (X=1, Y=1)= P (X=-1)P (Y=-1)+ P (X=1)P (Y=1)=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2;P (X+Y=0)= P (X=-1, Y=1)+ P (X=1, Y=-1)= P (X=-1)(Y=1)+ P (X=1)P (Y=-1)=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2;P (XY=1)=P (X=-1, Y=-1)+ P (X=1, Y=1)= P (X=-1)P (Y=-1)+ P (X=1)P (Y=1)=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2.三、设随机变量(X ,Y )概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<<<--=其它,042,20),6(),(y x y x k y x f(1)确定常数k 。