练习11_尺规作图- (华东师大版)(解析版)

合集下载

华东师大版数学八年级上册13.4典型例题解析：尺规作图

典型例题解析：尺规作图《尺规作图》典型例题一例已知线段a、b，画一条线段，使其等于b+．a2分析所要画的线段等于ba++．+，实质上就是bba2画法：1．画线段aAB=．2．在AB的延长线上截取b=．BC2线段AC就是所画的线段．说明1．尺规作图要保留画图痕迹，画图时画出的所有点和线不可随意擦去．2．其它作图都可以通过画基本作图来完成，写画法时，只需用一句话来概括叙述基本作图．《尺规作图》典型例题二例如下图，已知线段a和b，求作一条线段AD使它的长度等于2a－b．错解如图（1），（1）作射线AM；（2）在射线AM上截取AB=BC=a，CD=b，则线段AD即为所求．错解分析主要是作图语言不严密，当在射线上两次截取时，要写清是否顺次，而在求线段差时，要交待截取的方向．图（1）图（2）正解如图（2），（1）作射线AM；（2）在射线AM上，顺次截取AB=BC=a；（3）在线段CA上截取CD=b，则线段AD就是所求作的线段．《尺规作图》典型例题三例求作一个角等于已知角∠MON（如图1）．图（1）图（2）错解如图（2），（1）作射线11M O ；（2）在图（1），以O 为圆心作弧，交OM 于点A ，交ON 于点B ；（3）以1O 为圆心作弧，交11M O 于C ；（4）以C 为圆心作弧，交于点D ；（5）作射线D O 1．则∠D CO 1即为所求的角．错解分析作图过程中出现了不准确的作图语言，在作出一条弧时，应表达为：以某点为圆心，以其长为半径作弧．正解如图（2），（1）作射线11M O ；（2）在图（1）上，以O 为圆心，任意长为半径作弧，交OM 于点A ，交ON 于点B ；（3）以1O 为圆心，OA 的长为半径作弧，交11M O 于点C ；（4）以C 为圆心，以AB 的长为半径作弧，交前弧于点D ；（5）过点D 作射线D O 1．则∠D CO 1就是所要求作的角．《尺规作图》典型例题四例如下图，已知∠α及线段a ，求作等腰三角形，使它的底角为α，底边为a ．分析先假设等腰三角形已经作好，根据等腰三角形的性质，知两底角。

尺规作图PPT课件(华师大版)

证明：连接CM、CN
A
在△OMC和△ONC中
Ｍ
OM=ON(相同半径)
Ｃ
MC=NC(相同半径)
OC=OC(公共边)
∴ △OMC≌△ONC(SSS) Ｂ
Ｎ
Ｏ
∴ ∠AOC= ∠BOC
练习:P88页1小题
思考：你能否把这个角四等分？
已知：∠ AOB
求作：射线OC，使∠AOC= 1∠BOC
4
B
O
A
探索:利用尺规作图,作一个直角
问题1.点与直线的位置关系有哪几种？【答案】点在直线上和点在直线外。
问题2. 经过已知直线上一点如何作已知直线的垂线？
已知：直线 l 和其上一点C。
求作： l 的垂线,使它经过点C。
作法：B两点； 2.作平角ACB的平分线CM； 3.反向延长射线CM; 所以直线CM就是所求的垂线。
一.用尺规作角的平分线
例.已知：∠ AOB 求作：射线OC，使∠AOC= ∠ BOC
画法：
A
１.以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于点Ｍ，
Ｍ
交ＯＢ于点N。
Ｃ
２.分别以Ｍ，Ｎ为圆
心，大于 1/2 ＭＮ的长为
半径作弧，两弧在∠ＡＯ
Ｂ的内部交于Ｃ。
Ｂ
Ｎ
Ｏ
３.作射线ＯＣ，
射线ＯＣ即为所求。
思考:有什么理由说射线OC使∠AOC=∠BOC？
思考:利用尺规作图能否作一个45度的角？
练习:P88页2小题
例:作任意三角形三条角平分线
问：有什么发现？
归纳:
1.三角形的三条角平线线交于一点且交点在三角形内； 2.交点到三角形三边的距离相等； 3.到三角形三边距离相等的点只有1个，到三边所在直线的距离相等的点有4个。

13.4 尺规作图华东师大版数学八年级上册素养提升练(含解析)

第13章　全等三角形13.4　尺规作图基础过关全练知识点1　作一条线段等于已知线段1.(2023山东临清期中)如图,已知线段a,b.按如下步骤完成尺规作图,则AC的长是( )①作射线AM;②在射线AM上顺次截取AD,DB,使AD=DB=a;③在线段AB上截取BC=b.A.2a+bB.2a-bC.a+bD.b-a知识点2　作一个角等于已知角2.如图,尺规作∠HFG=∠ABC,作图痕迹中弧MN是( )A.以点F为圆心,以BE长为半径的弧B.以点F为圆心,以DE长为半径的弧C.以点G为圆心,以BE长为半径的弧D.以点G为圆心,以DE长为半径的弧3.(2023北京东城期末)已知∠AOB.下面是“作一个角等于已知角,即作∠A'O'B'=∠AOB”的尺规作图痕迹.该尺规作图的依据是( )A.S.A.S.B.S.S.S.C.A.A.S.D.A.S.A.4.【一题多解】【新独家原创】如图,D是△ABC的边BA延长线上一点,AB=BC,∠B=40°,结合作图痕迹,求证:AC平分∠BAE.知识点3　作已知角的平分线5.【尺规作图】【新考法】(2023吉林长春四十五中期末(线上))如图,已知AB=AC,BC=6,由尺规作图痕迹可得BD=( )A.2B.3C.4D.56.【易错题】(2023山东烟台期中)用尺规作图如图所示,首先以A为圆心,任意长为半径画弧,分别交AB,AC于点E,F;再分别以E,F为圆心,以EF长为半径画弧,两弧交于D点,最后作射线AD.下列结论不一大于12定正确的是( )A.AF=DFB.∠BAD=∠CADC.∠AFD=∠AEDD.DE=DF7.(2022吉林长春吉大附中期中)如图,在△ABC中,∠A=50°,∠B=80°,观察图中尺规作图的痕迹,则∠DCE的度数为 .知识点4　经过一已知点作已知直线的垂线8.(2023辽宁大连甘井子期中)已知钝角△ABC,用直尺和圆规作边BC 上的高.(不写作法,保留作图痕迹)知识点5　作已知线段的垂直平分线9.根据图中尺规作图的痕迹,可判断AD一定为三角形ABC的( )A.角平分线B.中线C.高线D.都有可能10.(2022四川三台期中)如图,已知钝角△ABC,依下列步骤尺规作图,并保留作图痕迹.步骤1:以C为圆心,CA长为半径画弧①;步骤2:以B为圆心,BA长为半径画弧②,交弧①于点D;步骤3:连结AD,交BC的延长线于点H.下列叙述正确的是( )A.AB=ADB.BH⊥ADC.S△ABC=BC·AHD.AC平分∠BAD11.【教材变式·P90T2】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC<BC.(1)动手操作:要求尺规作图,不写作法,但保留作图痕迹.①作出线段AB的垂直平分线MN,MN与AB交于点D,与BC交于点E;②连结AE,过点B作BF垂直于AE,垂足为F;(2)推理证明:求证:AC=BF.能力提升全练12.(2021四川广元中考,6,★☆☆)观察下列作图痕迹,线段CD为△ABC的角平分线的是( )A BC D13.(2022海南中考,10,★★☆)如图,在△ABC中,AB=AC,以点B为圆心,适当长为半径画弧,交BA于点M,交BC于点N,分别以点M、N为圆MN的长为半径画弧,两弧在∠ABC的内部相交于点P,画射心,大于12线BP,交AC于点D,若AD=BD,则∠A的度数是( )A.36°B.54°C.72°D.108°14.(2022山西平定期中,18,★☆☆)如图,已知等腰△ABC的顶角∠A=36°.(1)根据要求用尺规作图:作∠ABC的平分线交AC于点D;(不写作法,只保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下,求证:△BDC是等腰三角形.15.【新考法】(2022广西贵港中考,20,★★☆)尺规作图(保留作图痕迹,不要求写出作法).如图,已知线段m,n.求作△ABC,使∠A=90°,AB=m,BC=n.素养探究全练16.【推理能力】数学课上,探讨角平分线的作法时,李老师用直尺和圆规作角的平分线,作法如下(如图1):①在OA和OB上分别截取OD、OE,使OD=OE.DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交②分别以D、E为圆心,大于12于点C.③作射线OC,则OC就是∠AOB的平分线.小聪只带了直角三角板,他发现利用三角板也可以作角的平分线,作法如下(如图2):①利用三角板上的刻度,在OA和OB上分别截取OM、ON,使OM=ON.②分别过M、N作OM、ON的垂线,交于点P.③作射线OP,则OP为∠AOB的平分线.小颖的身边只有刻度尺,经过尝试,她发现利用刻度尺也可以作角的平分线.图1 图2根据以上情境,解决下列问题:(1)李老师用尺规作角的平分线时,用到的三角形全等的判定方法是 ;(2)小聪的作法正确吗?请说明理由;(3)请你帮小颖设计用刻度尺作角平分线的方法.(要求:作出图形,写出作图步骤,不予证明)答案全解全析基础过关全练1.B　如图,AC=AB-BC=AD+BD-BC=2a-b.故选B.2.D　3.B　由作图得DO=D'O'=CO=C'O',CD=C'D',在△DOC和△D'O'C'中,DO=D'O', CO=C'O', CD=C'D',∴△DOC≌△D'O'C'(S.S.S.),∴∠O'=∠O.故选B.4.证明　证法一:根据作图痕迹可知∠DAE=∠B.∵∠B=40°,∴∠DAE=40°.∵AB=BC,∴∠BAC=∠C,∴∠BAC=180°-∠B2=180°-40°2=70°,∴∠CAE=180°-∠BAC-∠DAE=180°-70°-40°=70°,∴∠BAC=∠CAE,∴AC平分∠BAE.证法二:根据作图痕迹可知∠DAE=∠B,∴AE∥BC,∴∠EAC=∠C,∵AB=BC,∴∠BAC=∠C,∴∠BAC=∠CAE,∴AC平分∠BAE.5.B　本题将尺规作图与等腰三角形的三线合一的性质结合起来考查.由尺规作图痕迹可知AD平分∠BAC,∵AB=AC,BC=6,∴BD=CD=3,故选B.6.A 解答此题时易因不理解基本的尺规作图步骤导致判断错误.由作图可得AF=AE,FD=DE,在△AFD 和△AED 中,AF =AE ,AD =AD ,FD =DE ,∴△AFD ≌△AED(S.S.S.),∴∠BAD=∠CAD,∠AFD=∠AED,故选项B,C,D 中的结论正确,不合题意;无法得出AF=DF,故选项A 中的结论不一定正确,符合题意.故选A.7.答案　65°解析　∵∠A=50°,∠B=80°,且∠ACD 是△ABC 的外角,∴∠ACD=∠A+∠B=50°+80°=130°,观察题图中尺规作图的痕迹,可得CE 平分∠ACD,∴∠DCE=12∠ACD=12×130°=65°.8.解析　如图,AD 即为所作.9.B 由作图可知,D 是线段BC 的中点,故AD 是△ABC 的中线,故选B.10.B 由作图可知,直线BC 是线段AD 的垂直平分线,所以BH ⊥AD,故选B.11.解析　(1)①②如图所示:(2)证明:∵直线MN 是线段AB 的垂直平分线,∴AD=BD,∠ADE=∠BDE=90°,在△ADE 和△BDE 中,AD =BD ,∠ADE =∠BDE ,ED =ED ,∴△ADE ≌△BDE(S.A.S.),∴EA=EB,∵BF ⊥AE,∴∠BFE=90°=∠C,在△ACE 和△BFE 中,∠C =∠BFE ,∠AEC =∠BEF ,AE =BE ,∴△ACE ≌△BFE(A.A.S.),∴AC=BF.能力提升全练12.C A 、D 选项中的线段CD 为△ABC 的高,B 选项中的线段CD 为△ABC 的中线,C 选项中的线段CD 为△ABC 的角平分线.故选C.13.A 由题意可得射线BP 为∠ABC 的平分线,∴∠ABD=∠CBD,∵AD=BD,∴∠A=∠ABD,∴∠A=∠ABD=∠CBD,∴∠ABC=2∠A,∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=2∠A,∴∠A+∠ABC+∠C=∠A+2∠A+2∠A=180°,解得∠A=36°.故选A.14.解析　(1)如图所示,BD即为所求.(2)证明:∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ABC=∠C=(180°-36°)÷2=72°,∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠DBC=72°÷2=36°,∴∠CDB=180°-36°-72°=72°,∴∠C=∠CDB,∴BD=BC,∴△BDC是等腰三角形.15.解析　如图所示,△ABC即为所求.注: (1)作直线l及l上一点A;(2)过点A作l的垂线AD;(3)在l上截取AB=m;(4)作BC=n交l的垂线于C.△ABC即为所作.素养探究全练16.解析　(1)S.S.S..(2)小聪的作法正确.理由如下:∵PM⊥OM,PN⊥ON,∴∠OMP=∠ONP=90°,在Rt△OMP和Rt△ONP中,OP=OP, OM=ON,∴Rt△OMP≌Rt△ONP,∴∠MOP=∠NOP,∴OP平分∠AOB.(3)步骤:①利用刻度尺在OA、OB上分别截取OG、OH,使OG=OH.②连结GH,利用刻度尺作出GH的中点Q.③作射线OQ,则OQ就是∠AOB的平分线.如图所示.。

尺规作图--华师大版

尺规作图
（复习）
宁波滨海学校
朱炜炜
知识回顾
1、按要求阅读课本（p98-103）
(1)课本中介绍了哪几种基本尺规作图？ (2)基本作图的画法怎样表述？ (3)阅读后你还有哪些需要解决的问题？
画一画:尺规作图
(要求:保留作图痕迹,不写作法,写出结论.) (下面作图的要求相同) 已知: △ABC
求作:1、作BC边的中点D；
2．(2003年· 河南省)已知：如图是两个同心圆被两条半径截得的一个扇环图，请你画出一个以O 为对称中心的扇环的对称图形(保留画图痕迹不写画法)
A 107国道 O C 320国道 D
B
3.如图:107国道OA和320国道OB在某市相交于点O, 在∠AOB的内部有工厂C和D,现要修建一个货站P, 使P到OA、OB的距离相等且PC=PD,用尺规作出货站P的位置(不写作法,保留作图痕迹,写出结论)
AB与公路OA、OB分别交于A、B两处，试在AB上建立一所学校C，要使C到OA、OB的距离相等，学校C应建立在线段AB的何处(线段OA OB )。
A
O
B
引申：1、若上题中学校C建在直线AB上,有 2 处。
2、若上图，OA、OB、AB是三条公路，现要建立的学校C，要使它到这三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 4 处。 ______
知识达标
（见稿纸）
谢谢
大家
五种基本作图 (1)作一条线段等于已知线段
(2)作一个角等于已知角
(3)作一个角的平分线
(4)作已知线段的中垂线
(,都有些急了.“鞠言盟主,呐样下去,俺们要输啊！”大殿主颇为严厉の说道.像鞠言呐样破阵,即便几个月后最终能将呐些阵法全部摧毁,那损失也是让人无法承受の.而在阵法被毁灭之前,他们呐些道皇境巅峰修

2020春八年级数学下册第19章全等三角形尺规作图习题课件华东师大版

【归纳】尺规作图中的直尺只能画线而不测量保留痕迹.
【预习思考】 1.几何中的画图和尺规作图有什么不同? 提示：画图是指画出某个图形,对画图工具不作要求；尺规作图对工具有严格的限制. 2.用直角三角尺画一个直角,是尺规作图吗? 提示：不是.
基本尺规作图【例1】(8分)如图,一张纸上有线段AB.(1)请用尺规作图,作出线段的垂直平分线(保留作图痕迹,不写作法和证明)； (2)若不用尺规作图,你还有其他的作法吗?请说明作法(不作图).
【跟踪训练】 1.下面的说法,错误的是( ) (A)线段有且只有一条中垂线 (B)线段的中垂线平分线段 (C)线段的中垂线是一条直线 (D)经过线段中点的直线是线段的中垂线【解析】选D.经过线段中点的直线如果不和线段垂直则不是线段的中垂线,所以,选项D错误.
2.所谓尺规作图中的尺规是指:_____________________. 【解析】尺规作图中的尺规是指没有刻度的直尺和圆规. 答案：没有刻度的直尺和圆规
4.尺规作图:如图所示: 结论:△ABC即为所求.
【规律总结】尺规作图四注意
第一,不能擅自增加圆规和直尺的功能；第二,不能用“目测”替代圆规；第三,不能用三角板的直角替代作垂直的过程；第四,熟练课本上介绍的基本作图步骤.
【跟踪训练】 4.利用基本作图不可作的等腰三角形是( ) (A)已知底边及底边上的高 (B)已知底边上的高及腰 (C)已知底边及顶角 (D)已知两底角【解析】选D.因为选项D没有边长,所以这样的三角形不可作.
【解析】(1)如图所示.
(2)连结PB,∵MN垂直平分AB,∴PA=PB. 又∵∠A=45°,∴∠APB=∠BPC=90°, 而 AB 2∴2A,P=BP=2,∴PC=2PA=4, 在Rt△BCP中, BC PC2 PB2 42 22 2 5.

华东师大版八年级：尺规作图

尺规作图教学目标1、学习用尺规作线段与角；2、对直线与角做简单复习。

学习内容知识梳理一．尺规作图、基本作图：在几何里，把限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作图．最基本、最常用的尺规作图，通常称基本作图．二．作一个角等于已知角：已知：∠AOB（如图）．求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'=∠AOB.作法：1．作射线O'A'.2．以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交OB于D．3．以点O'为圆心，以OC长为半径作弧，交O'A'于C'．4．以点C'为圆心，以CD长为半径作弧，交前弧于D'．5．经过点D'作射线O'B'．∠A'D'B'就是所求的角．证明:连结CD、C'D'．由作法可知：△C'O'D'≌△COD(SSS)，∴∠C'O'D'=∠COD(全等三角形的对应角相等)，即∠A'O'B'=∠AOB．Ⅲ．经过一点作已知直线的垂线．三．平分已知角：已知：∠AOB（如图）．求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC．作法：1．在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD=OE．2．分别以D 、E 为圆心，大于DE 21的长为半径作弧，在∠AOB 内，两弧交于点C ． 3．作射线OC ．OC 就是所求的射线．证明：连结CD 、CE ，由作法可知：△ODC ≌△OEC （SSS ），∴∠COD=∠COE （全等三角形的对应角相等），即 ∠AOC ＝∠BOC ．四．经过一点作已知直线的垂线：（1）经过已知直线上的一点作这条直线的垂线．已知：直线AB 和AB 上一点C （图3－44）．求作：AB 的垂线，使它经过点C ．作法：作平角ACB 的平分线CF ．直线CF 就是所求的垂线．图3-44 图3-45证明：由作法可知， ∠ACF=∠BCF=ACB 21． ∵∠ACB=180°（平角的定义） ∴∠ACF=90°，即 CF 是AB 的垂线．（2）经过已知直线外一点作这条直线的垂线．已知：直线AB 和AB 外一点C （图3-45）．求作：AB 的垂线，使它经过点C ．作法：1．任意取一点K ，使K 和C 在AB 的两旁．2．以C 为圆心，CK 长为半径作弧，交AB 于点D 和E ．3．分别以D 和E 为圆心，大于DE 21的长为半径作弧，两弧交于点F ． 4．作直线CF ．直线CF 就是所求的垂线．五．作线段的垂直平分线：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，或中垂线．已知：线段AB （如图）．求作：线段AB 的垂直平分线．作法：1．分别以点A 和B 为圆心，大于21AB 的长为半径作弧，两弧相交于点C 和D ． 2．作直线CD ．直线CD 就是线段AB 的垂直平分线．例1．如图，在△ABC 中，△C=90°，△B=30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中不正确的是（）A ．AD 是△BAC 的平分线B ．△ADC=60°C ．点D 在AB 的中垂线上 D ．S △DAC ：S △ABD =1：3 【答案】D【解析】解：根据作图方法可得AD 是△BAC 的平分线，故△正确；△△C=90°，△B=30°，△△CAB=60°，△AD 是△BAC 的平分线，△△DAC=△DAB=30°，△△ADC=60°，故△正确；△△B=30°，△DAB=30°，△AD=DB ，△点D 在AB 的中垂线上，故△正确； △△CAD=30°，△CD=21AD ，△AD=DB ，△CD=21DB ，△CD=31CB ，S △ACD =21CD•AC ，S △ACB =21CB•AC ，△S △ACD ：S △ACB =1：3，△S △DAC ：S △ABD ≠1：3，故△错误，例2．尺规作图的工具是（）A ．刻度尺、量角器B ．三角板、量角器C ．直尺、量角器D ．没有刻度的直尺、圆规【答案】D例3．如图，已知E 是平行四边形ABCD 对角线AC 上的点，连接DE ．例题讲解（1）过点B在平行四边形内部作射线BF交AC于点F，且使△CBF=△ADE（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明）（2）连接BE，DF，判断四边形BFDE的形状并证明．【解析】解：（1）如图所示：作△CBM=△ADE，其中BM交CD于F即可；（2）四边形BFDE的形状是平行四边形，理由如下：△在平行四边形ABCD中，△△DAC=△ACB，AD=BC，在△ADE和△CBF中，△△ADE△△CBF（ASA），△DE=BF，△AED=△BFC，△△DEF=180°﹣△AED，△BFE=180°﹣△BFC，△△DEF=△BFE，△DE△BF，△四边形DEBF是平行四边形．例4．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点．（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．△作△DAC的平分线AM．△连接BE并延长交AM于点F．（2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．【解析】解：（1）如下图所示；（2）AF△BC ，且AF=BC.理由如下：△AB=AC ， △△ABC=△ACB ， △△DAC=△ABC+△ACB=2△ACB ，由作图可得△DAC=2△FAC ， △△ACB=△FAC △AF△BC ， △E 为AC 中点， △AE=EC ，在△AEF 和△CEB 中，，△△AEF△△CEB （ASA ）． △AF=BC ．例5．已知△ABC,求作△DEF ，使△DEF△△ABC(尺规作图，保留作图痕迹)。

华师大版八年级上册1尺规作图课件

为半径画弧，交OA 于点E，交OB 于点F；
分别以点E 和点F 为圆心、大于
1
EF
的长为半径画
2
弧，两弧在∠ AOB 的内部交于点C；
画射线OC；
感悟新知
知4－练
同理，作∠ AOC 的平分线OM. 则∠ AOM 即为所求作的角(如图13.4-6).
感悟新知
4-1. 已知：∠ AOB(如图). 求作：∠ AOB 的补角的平分线. 解：如图，射线OD即为所求．
2
过点P 和点Q 作直线PQ，则直线PQ 就是要求作
的垂线.
感悟新知
图示
知5－讲
感悟新知
知5－讲
2. 经过已知直线外一点作已知直线的垂线
步骤
已知：直线AB 和AB 外一点P.
求作：直线PQ，且PQ ⊥ AB.
作法：以点P 为圆心、适当长为半径画弧，交直
线AB 于点M、N；
1
分别以点M 和点N 为圆心、大于径画弧，两弧交于点Q；
答案：B
感悟新知
知1－练
1-1. 在下列各项中，属于尺规作图的是( D ) A. 利用三角尺画45°角 B. 用直尺和三角尺画平行线 C. 用直尺画一工件边缘的垂线 D. 用圆规在已知直线上截取一条线段等于已知线段
感悟新知
知识点 2 作一条线段等于已知线段
知2－讲
已知：线段a. 求作：线段AB，使AB=a. 步骤作法：作射线AP；在射线AP 上截取AB=a，则线段AB 就是要求作的线段.
解：如图13.4-2，线段AB 即为所求.
知2－练
感悟新知
知2－练
作法：作射线OP；在射线OP 上顺次截取OM=MB=a；在线段OB 上顺次截取ON=NA=b，则线段AB 就是所求作的线段.

尺规作图课件华东师大版数学八年级上册

探究讨论
通过上面的作图，你还能发现什么？你会作任意一个三角形的三条中线吗？通过作图，知道直线 CD 与线段 AB 的交点就是 AB 的中点，因此我们可以用这种方法作出线段 AB 的中点，从而可以作出任意一个三角形的的三条中线。
例2 如图，A，B 是路边两个新建小区，要在公路边增设一
个公共汽车站，使两个小区到
作一条线段等于已知线段
已知：线段 MN. 求作线段 AC，使 AC＝MN.
1. 画射线 AB； 2. 用圆规量出线段 MN 的长，在射线 AB 上截取 AC＝MN. 线段 AC
就是所要画的线段.
图 24.4.2
作一个角等于已知角
B
已知：∠AOB.
求作：∠A'O'B'，
O
A
使 ∠A'O'B' = ∠AOB.
A
C
B
2.经过已知直线外一点作已知直线
的垂线. 已知直线 AB 和 AB 外一点 C，
AD
试按下列步骤用直尺和圆规准确
地经过点 C 作出直线 AB 的垂线.
C
B E F
步骤： (1)以点 C 为圆心，作弧与直线 AB 相交于点 D、点 E； (2)作∠DCE 的平分线 CF. 直线 CF 就是所要求作的垂线.
2. 已知： ∠1， ∠2.求作：
1
(1) ∠3，使得∠3 = ∠2 -∠1； B
2
解：1. 作法：
D
(1) 作射线 OA；
O
A
(2) 以 OA 为边做∠AOB =∠2；
(3) 以 O 为顶点，以射线 OA 为边，在∠AOB 内部作
∠AOD =∠1．则∠BOD 即为所求的∠3.

华师大版初中数学八年级上册《13.4 尺规作图》同步练习卷(含答案解析

华师大新版八年级上学期《13.4 尺规作图》同步练习卷一．选择题（共41小题）1．下面是作角等于已知角的尺规作图过程，要说明∠A′O′B′=∠AOB，需要证明△D′O′C′≌△DOC，则这两个三角形全等的依据是（）A．边边边B．边角边C．角边角D．角角边2．课本中用尺规作图作已知∠AOB的平分线OC，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的判别方法是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS3．如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=（）A．56°B．68°C．28°D．34°4．作∠AOB的平分线OC，按以下作图方法错误的是（）A．B．C．D．5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=26°．洋洋按下列步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F 为圆心，大于EF长的一半为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边于点D，则∠ADC的度数为（）A．50°B．52°C．58°D．64°6．如图，用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′，等于已知角∠AOB，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS7．用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是（）A．作一个角等于已知角B．作一条线段等于已知线段C．作已知直线的垂线D．作角的平分线8．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC的长为半径作圆弧，分别交AB，AC 于E，F两点，再分别以E，F为圆心，以大于EF长为半径作圆弧，两条弧交于点G，作射线AG交CD于点H，若∠C=120°，则∠AHD=（）A．120°B．30°C．150°D．60°9．已知△ABC，利用尺规作图，作BC边上的高AD，正确的是（）A．B．C．D．10．已知，在△ABC中，BC＞AB＞AC，根据图中的作图痕迹及作法，下列结论一定成立的是（）A．AP⊥BC B．∠APC=2∠ABC C．AP=CP D．BP=CP11．如图，点A在点O的北偏西30°的方向上，AB⊥OA．根据已知条件和图上尺规作图的痕迹判断，下列说法正确的是（）A．点O在点A的南偏东60°方向上B．点B在点A北偏东30°方向上C．点B在点O北偏东60°方向上D．点B在点O北偏东30°方向上12．如图，在△ABC中，AB=AC，以点B为圆心，BC长为半径作弧，交AC于不同于点C的另一点D，连接BD；再分别以点C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线BE交AC于点F．若∠A=40°，则∠DBF的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°13．作等腰△ABC底边BC上的高线AD，按以下作图方法正确的个数有（）个．A．1B．2C．3D．414．作∠AOB的角平分线的作图过程如下，用下面的三角形全等判定法则解释其作图原理，最为恰当的是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS15．在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（）A．图2B．图1与图2C．图1与图3D．图2与图3 16．尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：则正确的配对是（）A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣ⅢB．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣ⅠC．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣ⅠD．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ17．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC 于点E、F，再分别以E、F为圆心，大于EF的同样长为半径作圆弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M，若∠ACD=110°，则∠CMA的度数为（）A．30°B．35°C．70°D．45°18．尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（）A．B．C．D．19．如图所示，利用尺规作“与已知角相等的角”的过程中，用到的数学原理是A．SAS B．AAS C．SSS D．HL20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以原点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE交BC于点D，若BD=5，AB=15，△ABD 的面积30，则AC+CD的值是（）A．16B．14C．12D．5+4 21．如图，在余料ABCD中，AD∥BC，现进行如下操作：以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于GH 长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E．若∠A=96°，则∠EBC的度数为（）A．45°B．42°C．36°D．30°22．“经过已知角一边上的一点，作一个角等于已知角“的尺规作图过程如下：已知：如图1，∠AOB和OA上一点C．求作：一个角等于∠AOB，使它的顶点为C，一边为CA．作法：如图2，（1）在OA上取一点D（OD＜OC），以点O为圆心，OD长为半径画弧，交OB（2）以点C为圆心，OD长为半径画弧，交CA于点F，以点F为圆心，DE长为半径画弧，两弧交于点G；（3）作射线CG．则∠GCA就是所求作的角．此作图的依据中不含有（）A．三边分别相等的两个三角形全等B．全等三角形的对应角相等C．两直线平行同位角相等D．两点确定一条直线23．利用尺规作图，作△ABC边上的高AD，正确的是（）A．B．C．D．24．如图所示，小李用直尺和圆规作∠CAB的平分线AD，则得出∠CAD=∠DAB 的依据是（）A．ASA B．AAS C．SSS D．SAS25．如图，已知∠AOB，以O为圆心，以任意长为半径画弧，分别交OA、OB于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于DE长为半径画弧，两条弧交于点C，作射线OC，则△OEC≌△ODC的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS26．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC 于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．若∠ACD=110°，则∠MAB的度数为（）A．70°B．35°C．30°D．不能确定27．在△ABC中，作BC边上的高，以下作图正确的是（）A．B．C．D．28．如图，用直尺和圆规作∠A′O′B′=∠AOB，能够说明作图过程中△C′O′D′≌△COD的依据是（）A．角角边B．角边角C．边角边D．边边边29．下列画图的语句中，正确的为（）A．画直线AB=10cmB．画射线OB=10cmC．延长射线BA到C，使BA=BCD．画线段CD=2cm30．如图，点C在∠AOB的OB边上，用尺规作出了∠AOB=∠NCB，作图痕迹中，弧FG是（）A．以点C为圆心，OD为半径的弧B．以点C为圆心，DM为半径的弧C．以点E为圆心，OD为半径的弧D．以点E为圆心，DM为半径的弧31．用尺规作图法作已知角∠AOB的平分线的步骤如下：①以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OB于点D，交OA于点E；②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；③作射线OC．则射线OC为∠AOB的平分线．由上述作法可得△OCD≌△OCE的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS32．用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，以下四个作图中，作法错误的是（）A．B．C．D．33．下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA、OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点C；③画射线OC，射线OC就是∠AOB的平分线．如图，在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（）A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS34．如图，用直尺和圆规作一个角的平分线，是运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，由作图所得条件，判定三角形全等运用的方法是（）A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS35．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=50°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边于点D．则∠ADC的度数为（）A．40°B．55°C．65°D．75°36．如图所示的作图痕迹作的是（）A．线段的垂直平分线B．过一点作已知直线的垂线C．一个角的平分线D．作一个角等于已知角37．如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN=∠AOC，作图痕迹中，弧FG是（）A．以点C为圆心，OD为半径的弧B．以点C为圆心，DM为半径的弧C．以点E为圆心，OD为半径的弧D．以点E为圆心，DM为半径的弧38．如图，已知∠AOB，按照以下步骤画图：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．（2）分别以点M、N为圆心，大于MN的长半径画弧，两弧在∠AOB内部相交于点C．（3）作射线OC．则判断△OMC≌△ONC的依据是（）A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS39．用尺规作已知角的平分线的理论依据是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA40．四位同学做“读语句画图”练习．甲同学读语句“直线经过A，B，C三点，且点C在点A与点B之间”，画出图形（1）；乙同学读语句“两条线段AB，CD 相交于点P”画出图形（2）；丙同学读语句“点P在直线l上，点Q在直线l外”画出图形（3）；丁同学读语句“点M在线段AB的延长线上，点N在线段AB 的反向延长线上”画出图形（4）．其中画的不正确的是（）A．甲同学B．乙同学C．丙同学D．丁同学41．已知∠AOB，求作射线OC，使OC平分∠AOB作法的合理顺序是（）①作射线OC；②在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD=OE；③分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于C．A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①二．填空题（共8小题）42．如图，在△ABC中，∠C=90°．按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径作圆弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径作圆弧，两弧相交于点G；③作射线AG交BC边于点D．若∠CAB=50°，则∠ADC的大小为度．43．如图，∠C=90°，根据作图痕迹可知∠ADC=°．44．“直角”在初中几何学习中无处不在．课堂上李老师提出一个问题：如图1，已知∠AOB．判断∠AOB是否为直角（仅限用直尺和圆规）．小丽的方法如图2，在OA、OB上分别取点C，D，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交OB的反向延长线于点E．若OE=OD，则∠AOB=90°．李老师说小丽的作法正确，请你写出她作图的依据：．45．在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线．已知：如图1，直线l及其外一点A．求作：l的垂线，使它经过点A．小云的作法如下：（1）在直线l上任取一点B，连接AB；（2）以A为圆心，AB长为半径作弧，交直线l于点D；（3）分别以B、D为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点C；（4）作直线AC．直线AC即为所求（如图2）．小云作图的依据是．46．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；③画射线OC．射线OC即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是．47．如图，以A点为圆心，以相同的长为半径作弧，分别与射线AM，AN交于B，C两点，连接BC，再分别以B，C为圆心，以相同长（大于BC）为半径作弧，两弧相交于点D，连接AD，BD，CD．若∠MBD=40°，则∠NCD的度数为．48．下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：已知：直线a和直线外一点P．求作：直线a的垂线，使它经过P．作法：如图，（1）在直线a上取一点A，连接PA；（2）分别以点A和点P为圆心，大于AP的长为半径作弧，两弧相交于B，C两点，连接BC交PA于点D；（3）以点D为圆心，DP为半径作圆，交直线a于点E，作直线PE．所以直线PE就是所求作的垂线．请回答：该尺规作图的依据是．49．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明∠A′O′B′=∠AOB，需要证明△C′O′D′≌△COD，则这两个三角形全等的依据是（写出全等的字母简写）华师大新版八年级上学期《13.4 尺规作图》同步练习卷参考答案与试题解析一．选择题（共41小题）1．下面是作角等于已知角的尺规作图过程，要说明∠A′O′B′=∠AOB，需要证明△D′O′C′≌△DOC，则这两个三角形全等的依据是（）A．边边边B．边角边C．角边角D．角角边【分析】由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，利用SSS得到三角形全等，由全等三角形的对应角相等．【解答】解：由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，在△ODC和△O′D′C′中，，∴△COD≌△C'O'D'（SSS），∴∠D′O′C′=∠DOC（全等三角形的对应角相等）．故选：A．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．2．课本中用尺规作图作已知∠AOB的平分线OC，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的判别方法是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS【分析】根据作图得出符合全等三角形的判定定理SSS，即可得出答案．【解答】解：连接CE、CD，在△OEC和△ODC中，∵，∴△OEC≌△ODC（SSS），故选：C．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图及全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．3．如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α=（）A．56°B．68°C．28°D．34°【分析】先根据矩形的性质得出AD∥BC，故可得出∠DAC的度数，由角平分线的定义求出∠EAF的度数，再由EF是线段AC的垂直平分线得出∠AEF的度数，根据三角形内角和定理得出∠AFE的度数，进而可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=68°．∵由作法可知，AF是∠DAC的平分线，∴∠EAF=∠DAC=34°．∵由作法可知，EF是线段AC的垂直平分线，∴∠AEF=90°，∴∠AFE=90°﹣34°=56°，∴∠α=56°．故选：A．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．4．作∠AOB的平分线OC，按以下作图方法错误的是（）A．B．C．D．【分析】根据全等三角形的判定和性质一一判断即可；【解答】解：A、由作图可知：OA=OB，AC=BC，可得△AOC≌△BOC，可得结论；本选项正确，不符合题意；B、由作图可知：OA=OB，AD=BC，可以证明△AOC≌△BOC，可得结论；本选项正确，不符合题意；C、由作图可知：OA=OB，AC=BC，可得△AOC≌△BOC，可得结论；本选项正确，不符合题意；D、无法判断OC平分∠AOB，本选项符合题意，故选：D．【点评】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=26°．洋洋按下列步骤作图：①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，大于EF长的一半为半径画弧，两弧相交于点G；③作射线AG，交BC边于点D，则∠ADC的度数为（）A．50°B．52°C．58°D．64°【分析】由作图可知，AD平分∠BAC，由∠ADC=90°﹣∠DAC计算机可解决问题；【解答】解：由作图可知，AD平分∠BAC，∵∠C=90°，∠B=26°，∴∠BAC=64°，∴∠DAC=∠BAC=32°，∴∠ADC=90°﹣32°=58°，故选：C．【点评】本题考查作图﹣基本作图、直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．6．如图，用直尺和圆规作一个角∠A′O′B′，等于已知角∠AOB，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【分析】我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得．【解答】解：作图的步骤：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；④过点D′作射线O′B′．所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；在△OCD与△O′C′D′，O′C′=OC，O′D′=OD，C′D′=CD，∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），∴∠A′O′B′=∠AOB，显然运用的判定方法是SSS．故选：D．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．7．用尺规作图，已知三边作三角形，用到的基本作图是（）A．作一个角等于已知角B．作一条线段等于已知线段C．作已知直线的垂线D．作角的平分线【分析】根据作一条线段等于已知线段即可解决问题；【解答】解：已知三边作三角形，用到的基本作图是作一条线段等于已知线段，故选：B．【点评】本题考查基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考基础题．8．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC的长为半径作圆弧，分别交AB，AC 于E，F两点，再分别以E，F为圆心，以大于EF长为半径作圆弧，两条弧交于点G，作射线AG交CD于点H，若∠C=120°，则∠AHD=（）A．120°B．30°C．150°D．60°【分析】利用基本作图得AH平分∠BAC，再利用平行线的性质得∠BAC=180°﹣∠C=60°，所以∠CAH=∠BAC=30°，然后根据三角形外角性质可计算出∠AHD的度数．【解答】解：由作法得AH平分∠BAC，则∠CAH=∠BAH，∵AB∥CD，∴∠BAC=180°﹣∠C=180°﹣120°=60°，∴∠CAH=∠BAC=30°，∴∠AHD=∠CAH+∠C=30°+120°=150°．故选：C．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行线的性质．9．已知△ABC，利用尺规作图，作BC边上的高AD，正确的是（）A．B．C．D．【分析】利用高的定义和基本作图对各选项进行判断．【解答】解：作BC边上的高AD，即过点A作BC的垂线，垂足为D．故选：B．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形高的定义．10．已知，在△ABC中，BC＞AB＞AC，根据图中的作图痕迹及作法，下列结论一定成立的是（）A．AP⊥BC B．∠APC=2∠ABC C．AP=CP D．BP=CP【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出AP=BP，进而利用三角形外角的性质得出答案．【解答】解：如图所示：MN是AB的垂直平分线，则AP=BP，故∠PBA=∠BAP，∵∠APC=∠B+∠BAP，∴∠APC=2∠ABC．故选：B．【点评】此题主要考查了基本作图，正确得出AP=BP是解题关键．11．如图，点A在点O的北偏西30°的方向上，AB⊥OA．根据已知条件和图上尺规作图的痕迹判断，下列说法正确的是（）A．点O在点A的南偏东60°方向上B．点B在点A北偏东30°方向上C．点B在点O北偏东60°方向上D．点B在点O北偏东30°方向上【分析】如图想办法求出∠DOB的度数即可解决问题；【解答】解：如图由题意：∠AOD=30°，∠COD=90°，∴∠AOC=120°，由作图可知，OB平分∠AOC，∴∠AOB=∠AOC=60°，∴∠DOB=30°，∴点B在点O北偏东30°方向上，故选：D．【点评】本题考查作图﹣基本作图、方向角、角平分线的作法等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．12．如图，在△ABC中，AB=AC，以点B为圆心，BC长为半径作弧，交AC于不同于点C的另一点D，连接BD；再分别以点C、D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线BE交AC于点F．若∠A=40°，则∠DBF 的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°【分析】只要证明BD=DC，求出∠BDC的值即可解决问题；【解答】解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ACB=∠ABC=（180°﹣40°）=70°，由作图可知，BF垂直平分线段CD，∴BC=BD，∴∠BCD=∠BDC=70°，∴∠DBC=40°，∴∠DBF=∠FBC=20°，故选：A．【点评】本题考查作图﹣基本作图，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本作图，属于中考常考题型．13．作等腰△ABC底边BC上的高线AD，按以下作图方法正确的个数有（）个．A．1B．2C．3D．4【分析】关键点等腰三角形的三线合一的性质以及等腰三角形的对称性即可一一判断．【解答】解：根据等腰三角形的三线合一的性质可知：图1，图3中的作法正确；根据对称性可知，图3中，线段BF和线段CE的交点在等腰三角形△ABC的对称轴上，所以线段AD是△ABC的高，如图4中，根据对称性可知：线段FM和线段EN的交点在在等腰三角形△ABC 的对称轴上，所以线段AD是△ABC的高，综上所述，四种作图方法都是正确的，故选：D．【点评】本题考查作图﹣基本作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．14．作∠AOB的角平分线的作图过程如下，用下面的三角形全等判定法则解释其作图原理，最为恰当的是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【分析】根据作图步骤知OD=OE、CD=CE、OC=OC，据此根据三角形全等的判定可得；【解答】解：用尺规作图画∠AOB的角平分线OC，作图依据是SSS，故选：D．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．15．在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（）A．图2B．图1与图2C．图1与图3D．图2与图3【分析】利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可．【解答】解：根据基本作图可判断图1中AD为∠BAC的平分线，图2中AD为BC边上的中线，图3中AD为∠BAC的平分线．故选：C．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了勾股定理和等腰三角形的性质．16．尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：则正确的配对是（）A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣ⅢB．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣ⅠC．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣ⅠD．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ【分析】分别利用过直线外一点作这条直线的垂线作法以及线段垂直平分线的作法和过直线上一点作这条直线的垂线、角平分线的作法分别得出符合题意的答案．【解答】解：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：则正确的配对是：①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ．故选：D．【点评】此题主要考查了基本作图，正确掌握基本作图方法是解题关键．17．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC 于点E、F，再分别以E、F为圆心，大于EF的同样长为半径作圆弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M，若∠ACD=110°，则∠CMA的度数为（）A．30°B．35°C．70°D．45°【分析】直接利用平行线的性质结合角平分线的作法得出∠CAM=∠BAM=35°，即可得出答案．【解答】解：∵AB∥CD，∠ACD=110°，∴∠CAB=70°，∵以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于点E、F，再分别以E、F为圆心，大于EF的同样长为半径作圆弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M，∴AP平分∠CAB，∴∠CAM=∠BAM=35°，∵AB∥CD，∴∠CMA=∠MAB=35°．故选：B．【点评】此题主要考查了基本作图以及平行线的性质，正确得出∠CAM=∠BAM 是解题关键．18．尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据过直线外一点向直线作垂线即可．【解答】已知：直线AB和AB外一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．作法：（1）任意取一点K，使K和C在AB的两旁．（2）以C为圆心，CK的长为半径作弧，交AB于点D和E．（3）分别以D和E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F，（4）作直线CF．直线CF就是所求的垂线．故选：B．【点评】此题主要考查了过一点作直线的垂线，熟练掌握基本作图方法是解决问题的关键．19．如图所示，利用尺规作“与已知角相等的角”的过程中，用到的数学原理是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．HL【分析】基本作图实际上作了两个全等的三角形，然后利用全等三角形的性质证明对应角相等．【解答】解：利用尺规作“与已知角相等的角”的过程中，用到的数学原理是“SSS”．故选：C．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以原点A为圆心，适当的长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点E，作射线AE交BC于点D，若BD=5，AB=15，△ABD 的面积30，则AC+CD的值是（）A．16B．14C．12D．5+4【分析】作DF⊥AB于F，如图，先利用三角形面积公式计算出DF=4，再利用勾股定理计算出BF=3，则AF=12，接着证明△ADC≌△ADF得到AC=AF=12，然后计算AC+CD的值．【解答】解：作DF⊥AB于F，如图，∵△ABD的面积30，∴•15•DF=30，解得DF=4，在Rt△BDF中，BF==3，∴AF=AB﹣BF=15﹣3=12，由题中作法得到AD平分∠BAC，而DC⊥AC，DF⊥AB，∴DC=DF=4，在Rt△ADC和Rt△ADF中，∴Rt△ADC≌Rt△ADF（HL），∴AC=AF=12，∴AC+CD=12+4=16．故选：A．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了三角形面积公式和角平分线的性质．21．如图，在余料ABCD中，AD∥BC，现进行如下操作：以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于GH 长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E．若∠A=96°，则∠EBC的度数为（）A．45°B．42°C．36°D．30°【分析】先利用平行线的性质得∠ABC=180°﹣∠A=84°，再利用基本作图判断BE 平分∠ABC，然后利用角平分线的定义得到∠EBC的度数．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠A+∠ABC=180°，∴∠ABC=180°﹣96°=84°，根据作图得到BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC=∠ABC=42°．故选：B．【点评】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了平行线的性质．22．“经过已知角一边上的一点，作一个角等于已知角“的尺规作图过程如下：已知：如图1，∠AOB和OA上一点C．求作：一个角等于∠AOB，使它的顶点为C，一边为CA．作法：如图2，（1）在OA上取一点D（OD＜OC），以点O为圆心，OD长为半径画弧，交OB 于点E；（2）以点C为圆心，OD长为半径画弧，交CA于点F，以点F为圆心，DE长为半径画弧，两弧交于点G；（3）作射线CG．则∠GCA就是所求作的角．此作图的依据中不含有（）A．三边分别相等的两个三角形全等B．全等三角形的对应角相等C．两直线平行同位角相等D．两点确定一条直线【分析】根据题意知，由全等三角形的判定定理SSS可以推知△EOD≌△GCF，结合该全等三角形的性质和两点确定一条直线解题．【解答】解：由题意可得：由全等三角形的判定定理SSS可以推知△EOD≌△GCF，故A正确；结合该全等三角形的性质对应角相等，故B正确；作射线CG，利用两点确定一条直线，故D正确；故选：C．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．23．利用尺规作图，作△ABC边上的高AD，正确的是（）A．B．C．D．【分析】过点A作BC的垂线，垂足为D，则AD即为所求．【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为D，故选：B．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图．24．如图所示，小李用直尺和圆规作∠CAB的平分线AD，则得出∠CAD=∠DAB 的依据是（）A．ASA B．AAS C．SSS D．SAS【分析】利用三角形全等的判定证明．【解答】解：由题意AF=AE，FD=ED，AD=AD，∴△ADF≌△ADE（SSS），∴∠DAF=∠DAE，故选：C．【点评】本题考查作图﹣基本作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25．如图，已知∠AOB，以O为圆心，以任意长为半径画弧，分别交OA、OB于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于DE长为半径画弧，两条弧交于点C，作射线OC，则△OEC≌△ODC的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【分析】由作法可知：CD=CE，OD=OE，根据全等三角形的判定定理判断即可．【解答】解：由作法可知：CD=CE，OD=OE，。

华东师大初中数学八年级上册尺规作图知识讲解精选

尺规作图知识讲解【学习目标】1．知道基本作图的常用工具，能正确、熟练的运用尺规作图的叙述语言，并会用尺规作常见的几种基本图形；2．根据三角形全等判定定理，掌握用尺规作三角形及作一个三角形与已知三角形全等；【要点梳理】要点一、基本作图1.尺规作图的定义利用没有刻度直尺和圆规作图，简称为尺规作图.要点诠释：尺规作图时使用的直尺是不能用来进行测量长度的操作，它一般用来将两个点连在一起.圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度或一个任意的长度.2.常见基本作图本套教科书设计的基本尺规作图包括： 1.作一条线段等于已知线段； 2.作一个角等于已知角； 3.作一个角的平分线； 4.作一条线段的垂直平分线； 5.过一点作已知直线的垂线.要点诠释：1.要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达；2.本节中继续学习用直尺、圆规做一条线段等于已知线段、一个角等于已知角、作一条线段的垂直平分线等.要点二、根据三角形全等用尺规作三角形根据三角形全等判定定理，应用基本尺规作图作三角形以及作一个三角形与已知三角形全等. 【典型例题】类型一、基本作图1、（2014秋?太谷县校级期末）如图，已知线段a、b，求作一条线段使它等于2a+b．【思路点拨】首先画一条射线，再在射线上分别截取a，b即可得出等于2a+b的线段．【答案与解析】解：如图所示：AB即为所求．此题主要考查了简单作图，关键是掌握作一条线段等于已知线段的作法．【总结升华】．举一反三：【变式】已知线段a、b、c，用直尺和圆规作出一条线段，使它等于a+c-b．【答案】解：先在射线上作线段AB=a，画出线段BC=c，再在AC上截取AC=b，所以线段CD=a+c-b．如图所示：2、作图题（尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹）如图，已知，∠α、∠β．求作∠AOB，使∠AOB=∠α+2∠β．【思路点拨】先作∠BOC=∠β，再以OC为一边，在∠BOC的外侧作∠COD=∠β，再以OB为一边，在∠BOD的外侧作∠AOB=∠α，∠AOD即是所求．【答案与解析】解：只要方法得当，有作图痕迹就给分，无作图痕迹不给分．【总结升华】此题主要考查作一个角等于已知角的综合应用．举一反三：【变式】请把下面的直角进行三等分．（要求用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）【答案】解：（1）以点B为一顶点作等边三角形；（2）作等边三角形点B处的角平分线．3、作图题（不写作图步骤，保留作图痕迹）．已知：如图，求作点P，使点P到A、B两点的距离相等，且P到∠MON两边的距离也相等．【思路点拨】作∠MON角平分线和线段AB的垂直平分线，交点P即是所求．【解析】解：如图，【总结升华】此题主要考查角平分线和线段的垂直平分线的作法；注意角平分线到角两边的距离相等；线段垂直平分线上到线段两个端点的距离相等．举一反三：【变式】（2014?上城区校级模拟）数学来源于生活又服务于生活，利用数学中的几何知识可以帮助我们解决许多实际问题．李明准备与朋友合伙经营一个超市，经调查发现他家附近有两个大的居民区A、B，同时又有相交的两条公路，李明想把超市建在到两居民区的距离、到两公路距离分别相等的位置上，绘制了如下的居民区和公路的位置图．聪明的你一定能用所学的数学知识帮助李明在图上确定超市的位置！请用尺规作图确定超市P的位置．（作图）不写作法，但要求保留作图痕迹．【答案】解：如图，点P就是要找的点.类型二、作三角形4、已知∠α和线段a和b，作一个三角形，使其中一个角等于∠α，且这个角的两边长分别为a 和b．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作、保留作图痕迹）已知：求作：【思路点拨】先作∠ACB=∠α，然后以点C为圆心，以a长为半径画弧，与边BC相交于点B，再以点C为圆心，以b的长为半径画弧与CA相交于点A，连接AB即可得解．【解析】解：已知：∠α，线段a，b，求作：△ABC，是∠C=∠α，BC=a，AC=b，如图所示，△ABC即为所求作的三角形．作一条线段等于已知主要利用了作一个角等于已知角，本题考查了复杂作图，】总结升华【．线段，都是基本作图，需熟练掌握．举一反三：和α，且两角的夹及线段【变式】已知∠αb，作一个三角形，使得它的两内角分别为边为b．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作和结论，保留作图痕迹，不写作法）已知：求作：结论：【答案】解：已知：∠α，线段b；C=α，BC=b．，∠ABC求作：△，使得∠B=α结论：如图，△ABC为所求．5、（2016?门头沟区一模）阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：小明解答如图所示：老师说：“小明作法正确．”请回答：（1）小明的作图依据是；（2）他所画的痕迹弧MN是以点为圆心，为半径的弧．【思路点拨】根据作一个角等于已知角的作法解答即可．【答案与解析】解：（1）小明的作图依据是SSS定理．故答案为：SSS；（2）他所画的痕迹弧MN是以点E为圆心，CD为半径的弧．故答案为：E，CD．【总结升华】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知作一个角等于已知角的作法及依据是解答此题的关键．。

2019-2020学年八年级数学下册尺规作图 (解析中考) 华东师大版.doc

2019-2020学年八年级数学下册尺规作图（解析中考）华东师大版基本作图考点扫描掌握四种简单的基本作图及应用名师精讲1．本节主要研究尺规作图的要求及学习几种基本作图法．基本的作图包括：作一个角等于已知角；平分已知角；经过一点作已知直线的垂线；作线段的垂直平分线．从理论上讲尺规作图是一种完全准确的作图，因此，要掌握好几种基本作图法及其应用，为以后学习几何作图奠定基础．2．本节的重点是掌握好几种基本作图法，难点是几何作图语言的掌握．为此要理解和掌握好常用的作图语句：（1）过点×，点×作直线××；或作直线××；或作射线××．（2）连结点×、×，或连结××．（3）延长××到×，使××=××．（4）延长××交××于点×．（5）在××上截取××=××．（6）以点×为圆心，××为半径作圆（弧）．（7）以点×为圆心，××为半径作弧交××于点×．（8）分别以点×、点×为圆心，以××、××为半径作弧，两弧相交于点×、×．通过不断练习，不断实践，才能深刻理解这些语句的含义并能准确熟练地使用．3．学习平分已知角这个基本作图方法时，要注意以下几点：（1）这个基本作图法是以边边边公理为依据的．（2）“大于DE”的道理是：如果小于DE时两弧不相交；如果等于DE时，两弧虽然有一个交点，但难以准确得到DE．（3）所作的图形是过顶点O的射线OC，其关键是确定点C的位置．（4）C点是两弧交于∠AOB内的点，另一交点没有作出，因为有了两点O、C，足以确定射线OC．4．经过一点作已知直线的垂线包括两个基本作图类型：①过已知直线上一点，作已知直线的垂线．②经过已知直线外一点作这条直线的垂线．对于第②类型的作图，如图要理解取点K的目的是要使以CK的长为半径所作的弧与直线AB有两个交点（实际上要使CK的长大于点C到直线AB的距离），所以实际作图时，只要达到这个目的，并不一定先取点K．作图举例考点扫描掌握尺规作图的基本思路和步骤．名师精讲1．几何作图题同一般画图题不同，它规定只准用直尺和圆规为工具，而且每一步作图都必须有根有据，不能随便画．比较复杂的作图题，要经过严格的分析，才能找到作图的根据和作法，解作图题一般按下述步骤进行．（1）将题给出的条件具体化．（2）具体叙述所作图形应满足的条件．（3）寻找作图方法的途径．（4）根据分析所得的作图方法作出正式图形，并依次叙述作图的过程．（5）为了验证所作的图形是否正确，必须再根据已知的定义、公理、定理等，结合作法来证明所作的图形完全满足题中所要求的条件．（6）研究这个问题是不是在什么条件下都能作出图形来．在什么情况下，有唯一解，或多解，或没有解．在一般情况下，只要求（1）、（2）、（4）三步其中第（3）步虽然不要求写出，但是作图题的关键．2．几何作图题的一般思路：（1）假设所求的图形已经作出，并且满足题中所有的条件．（2）分析图中哪些是关键点，并探讨确定关键点的方法．（3）运用基本作图法确定关键点，然后完成作图．中考典例1．（湖南长沙）已知：射线OC．求作：∠AOB，使OC平分∠AOB（不写做法，但要保留作图痕迹）．考点：角的作法评析：根据角平分线定义，及作一个角等于已知角的方法，先以OC为边作任意一角∠COA，然后再在OC的另一侧作∠BOC=∠AOC即可．。

八年级下华东师大版尺规作图同步练习

尺规作图同步练习1．只用画图的方法,称为尺规作图，且规定直尺.2．尺规作图时，直尺用来画、和，圆规用来画圆和.3．根据图形填空.（1）连接两点；（2）延长线段到点，使BC=（3）在AM上截取=（4）以点O为，以M为画交OA，OB分别于C，D.4．利用基本作图不能唯一作出三角形的是（）A．已知三边B．已知两边及夹角C．已知夹角及两边D．已知两边及其中一边对角5．利用基本作图不可作的等腰三角形是（）A．已知底边及底边上的高B．已知底边上的高及腰C．已知底边及顶角D．已知两底角6．下面的说法，错误的是（）A．线段有且只有一条中垂线B．线段的中垂线平分线段C．线段的中垂线是一条直线D．经过线段中点的直线是线段的中垂线7．已知线段a，求作边长为a的等边三角形.8．任意画一个钝角，然后把它四等分.9．如图，已知ABC边BC上有一点P，过P作平行于AB的直线.10．如图，已知钝角ABC边AB上有一点P，过P作直线AB，BC的垂线.11．已知△ABC，作三条边的中垂线，然后观察，这三条中垂线是否交于一点？若交于一点，这一点到ABC三顶点的距离有何关系？12．如图所示，已知线段a，b，求作：△ABC使AB=AC=a，BC边上的中线等于b.13．已知锐角a和线段a，求作等腰三角形,使顶角等于a，腰长为a（不写作法）14．已知线段a，b（a﹥b），作等腰三角形，使腰长为，底边上的高为b（不写作法）15．如图在一次军事演习中，红方侦察员发现蓝方指挥部设在A区，到公路、铁路的距离相等，且离公路与铁路交叉处B点700m ，如果你是红方的指挥员，请你在图示的作战图上标出蓝方指挥部的位置.16．已知线段AB，如图所示，按下列要求进行尺规作图，保留作图痕迹.①过点B作BD⊥AB，使BD=12 AB；②连接AD，在AD上截取DE=DB；③在AB上截取AC=AE.17．已知△ABC，其中AB=AC.（1）作AB的垂直平分线DE，交AB于点D，交AC于点E，连接BE （尺规作图，不写作法）（2）在（1）的基础上，若AD=8，同时满足△BCE的周长为24，求BC的长. 答案：.。

尺规作图(第一课时)PPT课件(华师大版)

足下列条件的三角形ABC （1）已知两边及夹角（2）已知两角及夹边
a
·· ·b ·
a
·a ·
a
β
（3）已知三边
2、已知：直线AB及直线AB外一点C；求作：过点C作CD∥AB。
l
C
A
E
B
3、已知:线段a，c，∠α
求作:ΔABC,使BC=a,AB=c,∠ABC=∠ α
尺规作图
基本作图
❖在几何里,把限定用直尺和圆规来画
图,称为尺规作图.最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图.
❖ 其中,直尺是没有刻度的;
❖ 一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的. 以前学过的”作一条线段等于已知线段”,就是一种基本作图.
❖ 下面再介绍几种基本作图:
1、作一条线段等于已知线段
❖ 1、作射线O`A`。 ❖ 2、以点O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C，交
OB于D。 ❖ 3、以点O`为圆心，以OC长为半径作弧，交O`A`于C`。 ❖ 4、以点C`为圆心，以CD长为半径作弧，交前弧于D`。 ❖ 5、经过点D`作射线O`B`，∠A`O`B`就是所求的角。
B D
B` D`
O
已知：线段MN。求作线段AC ，使AC＝MN。
作法： 1、画射线AB； 2、用圆规量出线段MN的长，在射线AB上截取AC＝ MN。
线段AC就是所要画的线段。
2、作一个角等于已知角
❖ 已知： ∠AOB
❖ 求作： ∠A`O`B`,使 ∠A`O`B`=∠AOB
B
O
A
B D
B` D`
O
A C
O`
C`
A`
a c
α
作法:1)作一条线段BC=a 2)以B为顶点,BC为一边,作,∠DBC=∠ α

【精编】华东师大初中数学八年级上册尺规作图知识讲解.doc

尺规作图知识讲解【学习目标】1．知道基本作图的常用工具，能正确、熟练的运用尺规作图的叙述语言，并会用尺规作常见的几种基本图形；2．根据三角形全等判定定理，掌握用尺规作三角形及作一个三角形与已知三角形全等；【要点梳理】要点一、基本作图1.尺规作图的定义利用没有刻度直尺和圆规作图，简称为尺规作图.要点诠释：尺规作图时使用的直尺是不能用来进行测量长度的操作，它一般用来将两个点连在一起.圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度或一个任意的长度.2.常见基本作图本套教科书设计的基本尺规作图包括：1.作一条线段等于已知线段；2.作一个角等于已知角；3.作一个角的平分线；4.作一条线段的垂直平分线；5.过一点作已知直线的垂线.要点诠释：1.要熟练掌握直尺和圆规在作图中的正确应用，对于作图要用正确语言来进行表达；2.本节中继续学习用直尺、圆规做一条线段等于已知线段、一个角等于已知角、作一条线段的垂直平分线等.要点二、根据三角形全等用尺规作三角形根据三角形全等判定定理，应用基本尺规作图作三角形以及作一个三角形与已知三角形全等.【典型例题】类型一、基本作图1、（2014秋•太谷县校级期末）如图，已知线段a、b，求作一条线段使它等于2a+b．【思路点拨】首先画一条射线，再在射线上分别截取a，b即可得出等于2a+b的线段．【答案与解析】解：如图所示：AB即为所求．【总结升华】此题主要考查了简单作图，关键是掌握作一条线段等于已知线段的作法．举一反三：【变式】已知线段a、b、c，用直尺和圆规作出一条线段，使它等于a+c-b．【答案】解：先在射线上作线段AB=a，画出线段BC=c，再在AC上截取AC=b，所以线段CD=a+c-b．如图所示：2、作图题（尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹）如图，已知，∠α、∠β．求作∠AOB，使∠AOB=∠α+2∠β．【思路点拨】先作∠BOC=∠β，再以OC为一边，在∠BOC的外侧作∠COD=∠β，再以OB为一边，在∠BOD 的外侧作∠AOB=∠α，∠AOD即是所求．【答案与解析】解：只要方法得当，有作图痕迹就给分，无作图痕迹不给分．【总结升华】此题主要考查作一个角等于已知角的综合应用．举一反三：【变式】请把下面的直角进行三等分．（要求用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）【答案】解：（1）以点B为一顶点作等边三角形；（2）作等边三角形点B处的角平分线．3、作图题（不写作图步骤，保留作图痕迹）．已知：如图，求作点P，使点P到A、B两点的距离相等，且P到∠MON两边的距离也相等．【思路点拨】作∠MON角平分线和线段AB的垂直平分线，交点P即是所求．【解析】解：如图，【总结升华】此题主要考查角平分线和线段的垂直平分线的作法；注意角平分线到角两边的距离相等；线段垂直平分线上到线段两个端点的距离相等．举一反三：【变式】（2014•上城区校级模拟）数学来源于生活又服务于生活，利用数学中的几何知识可以帮助我们解决许多实际问题．李明准备与朋友合伙经营一个超市，经调查发现他家附近有两个大的居民区A、B，同时又有相交的两条公路，李明想把超市建在到两居民区的距离、到两公路距离分别相等的位置上，绘制了如下的居民区和公路的位置图．聪明的你一定能用所学的数学知识帮助李明在图上确定超市的位置！请用尺规作图确定超市P的位置．（作图不写作法，但要求保留作图痕迹．）【答案】解：如图，点P就是要找的点.类型二、作三角形4、已知∠α和线段a和b，作一个三角形，使其中一个角等于∠α，且这个角的两边长分别为a和b．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作、保留作图痕迹）已知：求作：【思路点拨】先作∠ACB=∠α，然后以点C为圆心，以a长为半径画弧，与边BC相交于点B，再以点C为圆心，以b的长为半径画弧与CA相交于点A，连接AB即可得解．【解析】解：已知：∠α，线段a，b，求作：△ABC，是∠C=∠α，BC=a，AC=b，如图所示，△ABC即为所求作的三角形．【总结升华】本题考查了复杂作图，主要利用了作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段，都是基本作图，需熟练掌握．举一反三：【变式】已知∠α及线段b，作一个三角形，使得它的两内角分别为α和，且两角的夹边为b．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作和结论，保留作图痕迹，不写作法）已知：求作：结论：【答案】解：已知：∠α，线段b；求作：△ABC，使得∠B=α，∠C=α，BC=b．结论：如图，△ABC为所求．5、（2016•门头沟区一模）阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：小明解答如图所示：老师说：“小明作法正确．”请回答：（1）小明的作图依据是；（2）他所画的痕迹弧MN是以点为圆心，为半径的弧．【思路点拨】根据作一个角等于已知角的作法解答即可．【答案与解析】解：（1）小明的作图依据是SSS定理．故答案为：SSS；（2）他所画的痕迹弧MN是以点E为圆心，CD为半径的弧．故答案为：E，CD．【总结升华】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知作一个角等于已知角的作法及依据是解答此题的关键．。

华东师大版数学八年级上册专题训练13.4尺规作图

13.4尺规作图一.选择题1．下列属于尺规作图的是（）A．用量角器画∠AOB的平分线OPB．利用两块三角板画15°的角C．用刻度尺测量后画线段AB=10cmD．在射线OP上截取OA=AB=BC=a答案：D解答：根据尺规作图的定义可得：在射线OP上截取OA=AB=BC=a，属于尺规作图，故选：D．分析：根据尺规作图的定义：是指用没有刻度的直尺和圆规作图可直接选出答案．2.用一把带有刻度的直角尺，①可以画出两条平行线；②可以画出一个角的平分线；③可以确定一个圆的圆心．以上三个判断中正确的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个答案：D解答：（1）任意画出一条直线，在直线的同旁作出两条垂线段，并且这两条垂线段相等．过这两条垂线段的另一端点画直线，与已知直线平行，正确；（2）可先在这个角的两边量出相等的两条线段长，过这两条线段的端点向角的内部应垂线，过角的顶点和两垂线的交点的射线就是角的平分线，正确；（3）可让直角顶点放在圆上，先得到直径，进而找到直径的中点就是圆心，正确．故选：D．分析：根据基本作图的方法，逐项分析，从而得出正确个数．3．下列关于作图的语句中正确的是（）A．画直线AB=10厘米B．画射线OB=10厘米C．已知A，B，C三点，过这三点画一条直线D．过直线AB外一点画一条直线和直线AB平行答案：D解答：A．直线没有长度，故A选项错误；B．射线没有长度，故B选项错误；C．三点有可能在一条直线上，可画出一条直线，也可能不在一条直线上，此时可画出三条直线，故选项错误；D．正确．故选：D．4．下列作图语句错误的是（）A．过直线外的一点画已知直线的平行线B．过直线上的一点画已知直线的垂线C．过∠AOB内的一点画∠AOB的平分线D．过直线外一点画此直线的两条斜线，一条垂线答案：C解答：A．过直线外的一点画已知直线的平行线，此说法正确，故本选项错误；B．过直线上的一点画已知直线的垂线，此说法正确，故本选项错误；C．过∠AOB内的一点画∠AOB 的平分线，此说法不正确，故本选项正确；D．过直线外一点画此直线的两条斜线，一条垂线，此说法正确，故本选项错误；故选C．5．按下列条件画三角形，能唯一确定三角形形状和大小的是（）A．三角形的一个内角为60°，一条边长为3cmB．三角形的两个内角为30°和70°C．三角形的两条边长分别为3cm和5cmD．三角形的三条边长分别为4cm、5cm和8cm答案：D解答：A．三角形的一个内角为60°，一条边长为3cm，既不能唯一确定三角形形状和也不能唯一确定大小，不符合题意；B．三角形的两个内角为30°和70°，能唯一确定三角形形状和但不能唯一确定大小，不符合题意；C．三角形的两条边长分别为3cm和5cm，既不能唯一确定三角形形状和也不能唯一确定大小，不符合题意；D．三角形的三条边长分别为4cm、5cm和8cm，能唯一确定三角形形状和大小，符合题意．故选D．6．下列作图语句中，不准确的是（）A．过点A、B作直线ABB．以O为圆心作弧C．在射线AM上截取AB=aD．延长线段AB到D，使DB=AB答案：B解答：A．根据直线的性质公理：两点确定一条直线，可知该选项正确；B．画弧既需要圆心，还需要半径，缺少半径长，故该选项错误；C．射线有一个端点，可以其端点截取任意线段，故选项正确；D．线段有具体的长度，可延长，正确；故选B．7．尺规作图是指（）A．用量角器和刻度尺作图B．用圆规和有刻度的直尺作图C．用圆规和无刻度的直尺作图D．用量角器和无刻度的直尺作图答案：C解答：尺规作图所用的作图工具是指不带刻度的直尺和圆规．故选：C．分析：根据尺规作图的定义：尺是不带刻度的直尺，规是圆规进而得出答案．8．下列画图语句中正确的是（）A．画射线OP=5cm B．画射线OA的反向延长线C．画出A、B两点的中点D．画出A、B两点的距离答案：B解答：A．画射线OP=5cm，错误，射线没有长度，B．画射线OA的反向延长线，正确．C．画出A、B两点的中点，错误，中点是线段的不是两点的，D．画出A、B两点的距离，错误，画出的是线段不是距离．故选：B．9．尺规作图的画图工具是（）A．刻度尺、量角器B．三角板、量角器C．直尺、量角器D．没有刻度的直尺和圆规答案：D解答：尺规作图的画图工具是没有刻度的直尺和圆规．故选D．10．下列属于尺规作图的是（）A．用刻度尺和圆规作△ABCB．用量角器画一个300的角C．用圆规画半径2cm的圆D．作一条线段等于已知线段答案：D解答：A．用刻度尺和圆规作△ABC，而尺规作图中的直尺是没有长度的，错误；B．量角器不在尺规作图的工具里，错误；C．画半径2cm的圆，需要知道长度，而尺规作图中的直尺是没有长度的，错误；D．正确．故选：D．11．下列作图语句正确的是（）A．以点O为顶点作∠AOBB．延长线段AB到C，使AC=BCC．作∠AOB，使∠AO B=∠αD．以A为圆心作弧答案：C解答：A．画角既需要顶点，还需要角度的大小，错误；B．延长线段AB到C，则AC＞BC，即AC=BC不可能，错误；C．作一个角等于已知角是常见的尺规作图，正确；D．画弧既需要圆心，还需要半径，缺少半径长，错误．故选C．12．.已知三边作三角形，用到的基本作图是（）A．作一个角等于已知角B．作已知直线的垂线C．作一条线段等于已知线段D．作一条线段等于已知线段的和答案：C解答：根据三边作三角形用到的基本作图是：作一条线段等于已知线段．故选C．13．如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（）A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行C．.两直线平行，同位角相等D．两直线平行，内错角相等答案：A解答：如图，∵∠DPF=∠BAF，∴AB∥PD（同位角相等，两直线平行）．故选：A．14．以下作图，用一对三角尺不能办到的是（）A．画一个45°的角，再把它三等分B．画一个15°的角，再把它三等分C．.画一个周角，再把它三等分D．画一个平角，再把它三等分答案：C解答：A．画一个45°角，把它三等分，每一份都是15°，一副三角板可以画出15°角，可以用一副三角板办到，故此选项不合题意；B．画一个15°角，把它三等分，每一份都是5°，一副三角板不能画出5°角，不能用一副三角板办到，故此选项不符合题意；C．画一个周角，把它三等分，每一份都是120°，一副三角板可以画出120°角，可以用一副三角板办到，故此选项不合题意；D．画一个平角，把它三等分，每一份都是60°，一副三角板可以画出60°角，可以用一副三角板办到，故此选项不合题意；故选：B．15．下列作图属于尺规作图的是（）A．画线段MN=3cmB．用量角器画出∠AOB的平分线C．用三角尺作过点A垂直于直线L的直线D．作一条线段等于已知线段答案：D解答：A．画线段MN=3cm，需要知道长度，而尺规作图中的直尺是没有长度的，错误；B．用量角器画出∠AOB的平分线，量角器不在尺规作图的工具里，错误；C．用三角尺作过点A 垂直于直线L的直线，三角尺也不在作图工具里，错误；D．正确．故选D．二.填空题16．所谓尺规作图中的尺规是指：．答案：没有刻度的直尺和圆规解答：由尺规作图的概念可知：尺规作图中的尺规指的是没有刻度的直尺和圆规．17．作图题的书写步骤是、、，而且要画出和，保留．答案：已知|求作|作法|图形|结论|作图痕迹解答：作图题的书写步骤是已知.求作.作法，而且要画出图形和结论，保留作图痕迹．故答案为：已知.求作.作法，图形，结论，作图痕迹．18．已知一条线段作等边三角形，使其边长等于已知线段，则作图的依据是．答案：SSS解答：等边三角形三边相等，依题意得使其边长等于已知线段，则按全等三角形的判定定理（SSS）可得作图．19．用尺规作一个直角三角形，使其两直角边分别等于已知线段，则作图的依据是．答案：SAS解答：用尺规做直角三角形，已知两直角边．可以先画出两条已知线段和确定一个直角，作图的依据为SAS．20．如图，使用直尺作图，看图填空：延长线段到，使BC=2AB．答案：AB| C解答：延长线段AB到C，使BC=2AB．三.解答题21．已知：线段a，画出一条线段，使它等于2a．答案：解答：首先作射线，然后截取AB=BC=a，则AC=2a，即AC就是所求的线段．分析：利用直尺和圆规作一条线段等于已知线段，即可求解．22．作图：已知线段a.b，画一条线段使它等于2a+b（要求：用尺规作图，并写出已知.求作.结论，保留作图痕迹，不写作法）答案：解答：已知：线段a.b，求作：线段AC，使线段AC=2a+b．结论：AC即为所求．23．用直尺.圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．已知：线段a，b求作：线段AB，使AB=a+b答案：解答：如图：线段AB就是所求的线段．24．作图题（利用直尺与圆规画图，不写作法，保留作图痕迹）：如图，已知线段a.b，作一条线段，使它等于a-2b．答案：解答：如图，BD就是所求的线段．25．已知三条线段a.b.c，用尺规作出△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c．（不写作法，保留作图痕迹）答案：解答：如图所示：。

13.4尺规作图2024-2025学年八年级数学上册同步学与练(华东师大版)[含答案]

13.4尺规作图课程标准学习目标①了解尺规作图的含义；②掌握基本尺规作图；③了解尺规作图原理；④在给定边角条件下，求作三角形．1．了解尺规作图的含义；2．掌握基本尺规作图；3．了解尺规作图原理；4．在给定边角条件下，求作三角形．ìïíïî尺规作图的定义尺规作图五种基本尺规作图在给定条件在尺规作图知识点尺规作图1．尺规作图的定义利用直尺（没有刻度）和圆规完成基本作图，称之为尺规作图．要点诠释：尺规作图时使用的直尺是不能用来进行测量长度的操作，它一般用来将两个点连在一起．圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度．它只可以拉开成之前构造过的长度或一个任意的长度．2．常见基本作图【即学即练1】（22-23七年级上·山东青岛·期末）1．用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹已知：线段,()a b a b <；求作：线段3AB a b =-．【即学即练2】（24-25七年级上·全国·课后作业）2．如图，已知1,2,12ÐÐÐ<Ð，用直尺和圆规作两个角，使其大小分别是21,12Ð-ÐÐ+Ð．（不写作法，保留作图痕迹）题型01 作一条线段等于已知线段【典例1】（24-25七年级上·全国·课后作业）3．如图，已知线段,,a b c ，用直尺和圆规作图（保留作图痕迹），并用字母表示所作线段．(1)作一条线段，使它等于2a c +；(2)作一条线段，使它等于a b -．【变式1】（24-25八年级上·陕西延安·阶段练习）4．如图，在ABC V 中，E 是AB 延长线上一点，且BE AB =，射线BD AC ∥，在BD 上求作点F ，使ABC BEF △≌△．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）【变式2】（22-23七年级下·山东济宁·期中）5．如图，已知长度为m 、n （m n >）的两条线段．(1)尺规作图：作线段AC m n =-，其中AB m BC n ==，（保留作图痕迹，不写作法）．(2)在（1）的条件下，若点D 是线段AC 的中点，当73m n ==、时，求线段BD 的长度．【变式3】（2024·广东·模拟预测）6．如图，在等边ABC V 中，AD 为BC 边上的高．(1)实践与操作：利用尺规，以CD 为边在CD 下方作等边CDE V ，延长ED 交AB 于点M ；（要求：尺规作图并保留作图痕迹、不写作法，标明字母）(2)应用与证明：在（1）的条件下，证明CE BM =．题型02 作一个角等于已知角【典例1】（23-24七年级下·山东青岛·单元测试）7．已知：AOB Ð，求作：COD Ð，使2COD AOB Ð=Ð．【变式1】（22-23八年级上·河南南阳·阶段练习）8．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出AOB AO B ¢¢¢Ð=Ð的依据是（）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS【变式2】（22-23六年级下·山东淄博·期末）9．已知：a Ð，Ðb ．求作：AOB Ð，使3AOB ÐÐb Ða =-．要求：保留画图痕迹，不写画法．画图：【变式3】（23-24七年级下·山东青岛·期中）10．作图题(1)在下面网格图中，A ，B 、M 为格点，画线段MP ^线段AB ．(2)用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹：已知，D 是ABC Ð的边AB 上一点，求作射线DE ，使DE BC ∥，交AC 于E ．题型03 作已知角的平分线【典例1】（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）11．如图，已知ABC V ，用直尺和圆规作ABC V 的角平分线CD ．【变式1】（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）12．如图，在OA ，OB 上分别截取OD ，OE ，使OD OE =，再分别以点D ，E 为圆心，以大于12DE 的长为半径作弧，两弧在AOB Ð内交于点C ，作射线OC ，OC 就是AOB Ð的角平分线．这是因为连结CD ，CE ，可得到COD COE V V ≌，所以COD COE Ð=Ð．在这个过程中，得到COD COE V V ≌的条件是（）A ．SASB ．AASC ．ASAD ．SSS【变式2】（2024·湖南常德·一模）13．如图，已知40AOB Ð=°，以点O 为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交OA ，OB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，过点P 作PQ OB P 交OA 于点Q ，则OPQ Ð的度数是度．【变式3】（23-24六年级下·全国·单元测试）14．（1）利用三角板画90,30AOB BOC Ð=°Ð=°，并使得射线OA 与射线OC 在公共边OB 的两侧．（2）用直尺和圆规画AOC Ð的角平分线OP ．（不写作法，保留作图痕迹）（3）计算BOP Ð的度数．题型04 作垂线【典例1】（2023·山东青岛·二模）15．已知：在ABC V 中，90ACB AC BC Ð=°<，．求作：ABC V 内部的一点P ，使得点P 到AB 的距离等于到BC 的距离，且点P 在AB 边的高线上．请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．【变式1】（19-20八年级上·全国·课后作业）16．已知：如图△ABC．求作：①AC边上的高BD；②△ABC的角平分线CE．【变式2】（19-20八年级上·全国·课后作业）17．如图所示，已知△ABC：①过A画出中线AD；②画出角平分线CE；③作AC边上的高BF【变式3】（17-18七年级上·山东威海·期中）18．用直尺和圆规作图（不写做法，只保留作图痕迹）：（1）在线段AB上找一点P，使点P到BC，AC所在直线的距离相等；（2）在线段AC上找一点Q，使点Q到点B，C的距离相等．题型05作已知线段的垂直平分线【典例1】19．如图，在ABC V 中，A B Ð>Ð，用尺规作图，作B Ð的角平分线，AB 的垂直平分线．（要求：保留作图痕迹，不写作法）【变式1】20．如图，在ABC V 中，12AC =，8BC =分别以点A 和点B 为圆心，以相同的长（大于12AB ）为半径作弧，两弧相交于点M 和点N ，作直线MN 交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接DE ，则BCE V 的周长为．【变式2】21．如图，在ABC V 中，作边AB 的垂直平分线DE ，与AB ，BC 分别相交于点D ，E （用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；【变式3】22．如图，在AOB Ð的内部找出一点P ，使得PM PN =，且满足点P 到OA 与OB 的距离相等．题型06 作三角形【典例1】（24-25八年级上·全国·单元测试）23．如图，已知线段a ，b 和a Ð，求作三角形ABC ，使其有一内角等于a Ð，，且此角的对边等于a ，另一边等于b ．保留作图痕迹，不写作法．【变式1】（21-22七年级上·山东泰安·阶段练习）24．利用基本作图法，不能作出唯一三角形的是（）A ．已知两边及其夹角B ．已知两角及夹边C ．已知两边及一边的对角D ．已知三边【变式2】（22-23七年级下·陕西宝鸡·期末）25．已知：线段a ，b ，c ，求作：ABC V ，使2AB c =，AC b =，BC a =．【变式3】（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）26．如图，已知ABC V ，求作A B C ¢¢¢V ，使A B C ABC ¢¢¢V V ≌．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（23-24七年级下·全国·单元测试）27．如图，作已知AOB Ð的平分线OC ，合理的顺序是（）① 作射线OC ；②在OA ，OB 上分别截取ON ，OM ，使ON OM =；③分别以N ，M 为圆心，以大于 12NM 为半径画弧，两弧在AOB Ð 内交于点C ．A ．①②③B ．②①③C ．②③①D ．③②①（2015·河北石家庄·一模）28．如图，在ABC V 中，90C Ð=°，50CAB Ð=°，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，小于AC 长为半径画弧，分别交AB 、AC 于点E 、F ；②分别以点E 、F 为圆心，大于EF 长的一半为半径画弧，两弧相交于点G ；③作射线AG ，交BC 边于点D ．则ADC Ð的度数为（）A ．40°B ．55°C ．65°D ．75°（23-24八年级上·河南许昌·期中）29．用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图痕迹如图所示，则作图的依据是（）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS （19-20七年级上·河北邢台·期中）30．如图，用直尺和圆规作HDG AOB Ð=Ð的过程中，弧①是（）A ．以点D 为圆心，以DN 长为半径画弧B ．以点D 为圆心，以EF 长为半径画弧C ．以点M 为圆心，以DN 长为半径画弧D ．以点M 为圆心，以EF 长为半径画弧（23-24七年级下·全国·单元测试）31．下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③（24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）32．如图，AB CD ∥，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB AC 、于点M N 、，再分别以点M N 、为圆心，大于12MN 长为半径画弧，两弧相交于点P ，画射线AP ，交CD 于点E ．若70°C Ð=，则AEC Ð的大小为（）A ．35°B ．55°C ．65°D ．70°（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）33．如图，点C 在AOB Ð的边OB 上，尺规作图痕迹显示的是（）A ．作线段CE 的垂直平分线B ．作AOB Ð的平分线C ．连接EN ，则CEN V 不是等腰三角形D ．作CN OA∥（2024·广东东莞·模拟预测）34．如图，在ABC V 中，7456A B Ð=°Ð=°，．尺规作图的步骤为：①以点C 为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC 于点D ，交NC 的延长线于点E ；② 分别以D ，E 为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点F ；③ 作射线CF ．则ECF Ð的度数为（）A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°（24-25九年级上·湖南株洲·开学考试）35．如图，Rt ABC △中， 90,40C B Ð=°Ð=° ，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，交AB 于点E ，交AC 于点F ，再分别以点,E F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在BAC Ð的内部相交于点P ；画射线AP 与BC 相交于点D ，则ADC Ð的大小为（）A ．60°B ．65°C ．70°D ．80°（23-24七年级上·河北石家庄·阶段练习）36．如下图，已知AOB Ð，以点O 为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交,OA OB 于点,E F ，再以点E 为圆心，以EF 长为半径画弧，交弧①于点D ，画射线OD ．若28AOB Ð=°，则BOD Ð的余角的度数为（）A ．34°B ．62°C ．56°D ．124°（24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）37．如图，35a Ð=°，观察尺规作图的痕迹，AOB Ð的度数为．（24-25七年级上·全国·课后作业）38．图中的黑色球（填“能”或“不能”）被击入右下角的袋中．（先估测，再用直尺和圆规作出反射角加以检验）（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）39．请仔细观察用直尺和圆规作一个角A O B ¢¢¢Ð等于已知角AOB Ð的示意图，请你根据图形全等的知识，说明画出A O B AOB ¢¢¢Ð=Ð的依据是．（选填SSS 、SAS 、ASA 、AAS ）（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）40．如图，在ABC V 中，60A Ð=°，根据作图痕迹推断BOC Ð的度数为．（16-17八年级·江苏盐城·期中）41．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明D O C DOC ¢¢¢Ð=Ð，需要证明D O C DOC ¢¢¢≌△△ （写出全等的简写）．（23-24八年级上·全国·单元测试）42．如图，在ABC V 中，,54AB AC B =Ð=°，依据尺规作图的痕迹，作直线CE ，交AB 于点F ，则ACF Ð 的度数为．（22-23八年级下·河南郑州·期中）43．“已知点P 在直线l 上，利用尺规作图过点P 作直线PQ l ^”的作图方法如下：①如图，以点P 为圆心，以任意长为半径作弧，交直线l 于A B ，两点；②分别以A B ，为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧交于点Q ；③作直线PQ ．则直线PQ l ^．这样作图的理由是．（23-24八年级上·吉林四平·阶段练习）44．如图，利用尺规作AOB Ð的平分线，做法如下：①在OA OB 、上分别截取OC OD 、，使OD OC =；②分别以点D 、C 为圆心，大于12DC 的长为半径画弧，两弧在AOB Ð内交于一点E ；③画射线OE ，射线OE 就是AOB Ð的平分线．在用尺规作角平分线时，用到的三角形全等的判定方法是．（24-25八年级上·湖南益阳·开学考试）45．如图，AOB a Ð= ，以O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ，画射线O A ¢¢ ，以点O ¢ 为圆心，OC 为半径画弧交O A ¢¢ 于点C ¢ ，以点C ¢ 为圆心，CD 长为半径画弧，交上一步所画弧于点E ，再以点E 为圆心，CD 长为半径画弧，交弧C E ¢ 于点F ，再以点F 为圆心，CD 长为半径画弧，交弧C E ¢ 于点G ，画射线O G ¢ ，反向延长O A ¢¢ ，得到射线O H ¢ ，画出HO G ¢Ð 的平分线O M ¢ ，则MO H ¢Ð= ．（用含a 的代数式表示）（2024·湖南·模拟预测）46．如图，在ABC V 中，①以点C 为圆心，适当长为半径作弧，分别交,AC BC 于点,M N ；②分别以点,M N 为圆心，大于12MN 长为半径作弧，两弧在ACB Ð内部交于点P ；③作射线CP 交AB 于点D ；④过点A 作AE CD ^，交BC 于点E ，交CD 于点F ．若,35AE BE B °=Ð=，则ACB Ð的度数为．（2024八年级上·贵州·专题练习）47．如图，在ABC V 中，AD 是BC 边上的高．(1)求作：B Ð的平分线交AD 于点E ，交AC 于点F ．（尺规作图，不写画法，保留作图痕迹）(2)当50ABC Ð=°时，求AEF Ð的度数．（2024八年级上·浙江·专题练习）48．如图，要在一条笔直的公路l 上建一个燃气站P ，向l 同侧的A ，B 两个城镇分别铺设管道输送燃气．燃气站P 在公路l 上何处时，管道总长度最短？请作出这条最短路线．（24-25八年级上·吉林松原·阶段练习）49．作角：已知：AOBÐ求作：A O B ¢¢¢Ð，使A O B AOB ¢¢¢Ð=Ð．作法：1、以O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ；2、画一条射线O A ¢¢，以点O ¢为圆心，长为半径画弧，交O A ¢¢于点C ¢；3、以点为圆心，长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D ¢；4、过点D ¢画射线O B ¢¢，则A O B AOB ¢¢¢Ð=Ð．这样作出的A O B ¢¢¢Ð和AOB Ð就是相等的．依据是（）．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）50．如图，已知ABC V ，请用尺规作图法求作DEF V ，使EF BC =，DE AB =，DF AC =．（不写作法，保留作图痕迹）（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）51．尺规作图（不写作法，但要保留作图痕迹）(1)如图1，作BAC Ð的角平分线AM ．(2)如图1，点E 为BAC Ð边AC 上一点，在AM 上找一点F ，使F 点到点A 、E 距离相等．(3)如图2，连接BE ，用尺规求作DMN V ，使MN AB =，M A Ð=Ð，N B Ð=Ð．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）52．如图，在ABC V 中，CD 是ABC V 的角平分线，60A Ð=°，(1)若100BDC Ð=°，求ABC Ð的度数；(2)尺规作图：作：ABC Ð的角平分线BE 与CD 相交于点E ，直接写出BEC Ð的度数．(作图要求：保留作图痕迹，不用写出做法)（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）53．如图，90,,ABC AE BF AB BC Ð=°^=，(1)过点C 作射线BF 的垂线，垂足为M ，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．(2)在（1）的基础上，若8BM =，求ABMS D （24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）54．如果三角形三边长a 、b 、c 满足3a b c b ++=，那么我们就把这样的三角形叫做“均匀三角形”，如三边长分别为1、1、1或3、5、7……的三角形都是“均匀三角形”．如图，两条线段长分别为a 、()c a c <．(1)用含有a 和c 的代数式表示b ，b =______．(2)求作均匀三角形ABC ，使得最短边AB a =、最长边BC c =（不写作法，保留作图痕迹）；(3)在（2）中的三角形内部求作一点P ，使P 点到此三角形三边距离相等．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）55．利用尺规，在ABC V 的边AC 上方作CAE ACB Ð=Ð．在射线AE 上截取AD BC =连接CD ，∥（保留作图痕迹）并证明CD AB1．见解析【分析】本题考查了作图—复杂作图，熟练掌握基本作图方法是解题关键．以A 为端点画一条射线AM ，以A 为圆心，线段a 的长度为半径画圆交射线AM 于点C ，再以C 为圆心，线段a 为半径画圆交射线AM 于点D ，再以D 为圆心，线段a 为半径画圆交射线AM 于点E ，然后以E 为圆心，线段b 为半径画圆交线段AE 于点B ，则线段AB 即为所求．【详解】解：线段AB 即为所求．2．见解析【分析】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知角，解题的关键是根据角的和差关系，作出有公共边的两个角，继而得到结果．【详解】解：如图，21,12AOC DOF Ð=Ð-ÐÐ=Ð+Ð．3．(1)见解析(2)见解析【分析】本题主要考查了线段的尺规作图：（1）如图所示，先作射线AO ，再以A 为圆心，线段a 的长为半径画弧交射线AO 于B ，再以B 为圆心，线段c 的长为半径画弧交射线AO 于C ，最后以C 为圆心，线段c 的长为半径画弧交射线AO 于D ，则线段AD 即为所求；（2）如图所示，先作射线AO ，再以A 为圆心，线段a 的长为半径画弧交射线AO 于B ，再以B 为圆心，线段b 的长为半径画弧交射线AO 于E ，则线段AE 即为所求．【详解】（1）解：如图所示，先作射线AO ，再以A 为圆心，线段a 的长为半径画弧交射线AO 于B ，再以B 为圆心，线段c 的长为半径画弧交射线AO 于C ，最后以C 为圆心，线段c 的长为半径画弧交射线AO 于D ，则线段AD 即为所求；（2）解：如图所示，先作射线AO ，再以A 为圆心，线段a 的长为半径画弧交射线AO 于B ，再以B 为圆心，线段b 的长为半径画弧交射线AO 于E ，则线段AE 即为所求．4．作图见解析【分析】本题考查的是作一条线段等于已知线段，全等三角形的判定，如图，在BD 上截取BF AC =，连接EF ，再证明ABC BEF △≌△即可．【详解】解：如图，在BD 上截取BF AC =，连接EF ，则ABC BEF △≌△，理由如下：∵BD AC ∥，∴EBD BAC ÐÐ=，∵AB BE =，AC BF =，∴ABC BEF △≌△．5．(1)见解析(2)5【分析】本题考查的是作线段的差，线段中点的含义，线段的和差运算，掌握线段的和差关系是解本题的关键．（1）作射线AH ，在AH 上截取AB m =，再在线段AB 上截取BC n =，则AC m n =-，（2）先求解4AC AB BC =-=，结合D 为AC 的中点，可得122CD AC ==，再利用线段的和差关系可得答案．【详解】（1）解：如图所示线段AC 即为所求；（2）解：如图，由题意得7AB =，3BC =，4AC AB BC \=-=，D Q 为AC 的中点，122CD AC \==，5BD BC CD \=+=．6．(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了作线段，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握作线段，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．（1）如图，分别以C D 、为圆心，CD 的长为半径画弧，交点为E ，连接CE DE 、，则等边CDE V 即为所作，延长ED 交AB 于点M ，点M 即为所作；（2）证明()ASA BMD CED V V ≌，进而可证CE BM =．【详解】（1）解：如图，分别以C D 、为圆心，CD 的长为半径画弧，交点为E ，连接CE DE 、，则CD CE DE ==，等边CDE V 即为所作，延长ED 交AB 于点M ，点M 即为所作；（2）证明：∵ABC V 为等边三角形，AD 为BC 边上的高，∴60B ACB BD CD Ð=Ð=°=，，∵等边CDE V ，∴60ECD Ð=°，∴B ECD Ð=Ð，又∵MDB EDC Ð=Ð，∴()ASA BMD CED V V ≌，∴CE BM =．7．见解析【分析】此题主要考查了作一个角等于已知角的基本作图，关键是熟练掌握基本作图的方法．先利用尺规作一个等于已知角的方法作出MOC AOB Ð=Ð，然后作出MOD AOB Ð=Ð即可．【详解】如图所示，COD Ð即为所求．8．D【分析】本题考查尺规作图，全等三角形的判定，熟练掌握用直尺和圆规作一个角等于已知角的方法和步骤是解题关键．根据作一个角等于已知角的作法和步骤解答．【详解】在ODC V 和O D C ¢¢¢△中，OD O D OC O C DC D C =¢¢ìï=¢¢íï=¢¢î，()SSS ODC O D C ¢¢¢\△≌△，AOB A O B ¢¢¢\Ð=Ð，故选D ．9．见解析【分析】先作EOC b Ð=Ð，在这个角的外部分别作COD AOD b Ð=Ð=Ð，然后作BOE a Ð=Ð，则3AOB ÐÐb Ða =-．【详解】如图所示，AOB Ð即为所求．【点睛】此题考查的是基本作图，掌握利用尺规作图作一个角等于已知角是解决此题的关键．10．(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了作图基本作图，作一个角等于已知角，利用网格结构是解题的关键．（1）根据网格的特点和垂线的概念求解即可；（2）利用尺规作一个角等于已知角的方法作出即可．【详解】（1）解：如图所示，线段AP 即为所求；（2）解：如图所示，射线DE 即为所求．11．见解析【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线，以点C 为圆心，任意长度为半径画弧交AC 于M ，BC 于N ，分别以M 、N 为圆心，大于12MN 为半径画弧交于点O ，作射线CO 交AB 于D ，CD 即为所作．【详解】解：如图：ABC V 的角平分线CD 即为所作，12．D【分析】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，由作图可知，OE OD =，CE CD =，OC OC =，由SSS 证明三角形全等即可，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．【详解】解：由作图可知，OE OD =，CE CD =，在COD △和COE V ，OE OD CE CD OC OC =ìï=íï=î，∴()SSS COD COE V V ≌，∴COD COE Ð=Ð，∴得到COD COE V V ≌的条件是SSS ，故选：D ．13．20【分析】本题考查角平分线的作图和平行线的性质，属于基础题．观察可得OP 平分AOB Ð，根据角平分线的定义求出BOP Ð的度数，根据平行线的性质求OPQ Ð的度数．【详解】解：由作图可得：OP 平分AOB Ð，∴11402022BOP AOB Ð=Ð=´°=°，∵PQ OB P ，∴20OPQ BOP Ð=Ð=°，故答案为：20．14．（1）见解析（2）见解析（3）30°【分析】本题考查利用三角板作角，角平分线的作法，角度的计算．（1）画射线OB ，以三角板的一条直角边和射线OB 重合，直角顶点和O 点重合，以O 为端点过三角板的另一条直角边画射线OA ，既得AOB Ð，以三角板的30°角的边和射线OB 重台，顶点和O 点重台，在OA 的同侧以O 为端点过30°角的另一条边画射线OC ，即得BOC Ð；（2）以O 为圆心以任意长为半径画弧，分别与OA ，OC 相交于点D 、E ，以D 、E 为圆心以大于，DE 为半径画弧相交于点P ，连接OP 即可；（3）根据图可知BOP AOB AOP Ð=Ð-Ð，据此解答．【详解】解：（1）如图所示，,AOB BOC ÐÐ为所求；（2）如图所示，OP 为所求；（3）Q OP 是AOC Ð的角平分线，12AOP POC AOC \Ð=Ð=Ð，90,30AOB BOC Ð=°Ð=°Q ，\120AOC AOB BOC Ð=Ð+Ð=°，\60AOP POC Ð=Ð=°，\30BOP AOB AOP Ð=Ð-Ð=°．15．见解析【分析】本题考查作图-基本作图，作已知角的平分线及过直线外一点作已知直线的垂线，角平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．Ð的平分线BP，过点C作直线AB的垂线，与射线BP交于点P即可．作ABC【详解】解∶如下图所示∶Ð的平分线BP，过点C作直线AB的垂线，与射线BP交于点P，点P即为所求作作ABC的点．16．答案见解析【分析】①以点B为圆心，较大的长为半径画弧，交直线AC于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点的距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，过点B和这点作射线，交直线AC于点D，BD就是所求的AC边上的高；②以点C为圆心，任意长为半径画弧，交CA，CB于两点，分别以这两点为圆心，以大于这两点的距离的一半为半径画弧，两弧相交于一点，做过点C和这点的射线交AB于点E，CE即为所求的角平分线．【详解】如图所示：【点睛】考查线段高线和角平分线的画法，注意钝角三角形的高可能在三角形的外部；角平分线应在角的内部交于一点；三角形的高线和角平分线都是线段．17．答案见解析【分析】（1）首先找出BC的中点，然后画线段AD即可；（2）利用量角器量出∠BCA的度数，再除以2，算出度数，然后画出线段CE即可；（3）利用直角三角板，一个直角边与AC重合，令一条直角边过点B，画线段BF即可．【详解】如图所示：【点睛】此题主要考查了画三角形的高、中线、角平分线，关键是注意三角形的高、中线、角平分线都是线段．18．（1）答案见解析；（2）答案见解析．【详解】试题分析：（1）作∠BAC的角平分线.角平分线上的点到角两边的距离相等.(2)作线段BC的垂直平分线，垂直平分线上的点，到端点的距离相等．试题解析：解：（1）如图所示：作∠BAC的角平分线交BC于P,P即为所求；（2）如图所示：作BC的垂直平分线交AC于Q,Q即为所求．19．见解析【分析】此题重点考查尺规作图、基本作图“作已知角的平分线”、“作已知线段的垂直平分线”等知识，按尺规作图的要求正确地作出图形是解题的关键．根据作已知角的平分线及作已线段的垂直平分线的作法正确地作出相应的图形即可．【详解】解：作ABCÐ的平分线：以点B为圆心，以适当长度为半径作弧，分别交AB、CB于点E、F；连结EF，分别以点E、F为圆心，以大于12EF长为半径作弧，两弧交于ABCÐ内部一点G；作射线BG，射线BG就是所求的图形．作AB的垂直平分线：分别以点A、B为圆心，以大于12AB长为半径作弧，两弧交于点H、I；作直线HI，直线HI就是所求的图形．20．20【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得到EA EB =，则BCE V 的周长EB EC BC AC BC =++=+，再代入数值即可．【详解】解：从作法可知：DE 是AB 的垂直平分线，∴EA EB =，∴BCE V 的周长12820EB EC BC AC BC =++=+=+=，故答案为：20．21．见解析【分析】本题考查了尺规作线段的垂直平分线；根据尺规作线段的垂直平分线的步骤进行作图即可．【详解】解：边AB 的垂直平分线DE 如图所示．22．见解析【分析】本题主要考查的是角平分线和线段的垂直平分线的尺规作图，根据角平分线和线段的垂直平分线的尺规作图方法作图即可．【详解】解：连接MN ，作线段MN 的垂直平分线GH ，作AOB Ð的平分线OE 交GH 于点P ，如图所示，点P 即为所求．23．图见解析【分析】本题考查了作图-复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．先作一个角等于已知角，再截取AB b =，然后以B 点为圆心，以a 的长为半径作圆弧交A Ð的另一边于点C ，D ，连接,BC BD ，则ABC V 或ABD △即为所求作的三角形．【详解】解：（1）作A a Ð=Ð，（2）在A Ð的一条边上截取AB b =，（3）以点B 为圆心，以a 的长为半径作圆弧交A Ð的另一边于点C ，D ，（4）连接,BC BD ，则ABC V 或ABD △即为所求作的三角形，如图：24．C【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS ASA AAS SSS ，，，．三角形全等的判定定理有SAS ASA AAS SSS ，，，，根据以上内容判断即可．【详解】解：三角形全等的判定定理有SAS ASA AAS SSS ，，，，A 、根据SAS 定理可知能作出唯一三角形，故本选项不符合题意；B 、根据ASA 定理可知能作出唯一三角形，故本选项不符合题意；C 、根据已知两边及一边的对角不能作出唯一三角形，故本选项符合题意；D 、根据SSS 定理可知能作出唯一三角形，故本选项不符合题意；故选：C ．25．见详解【分析】本题主要考查了作图-复杂作图，熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图是解题的关键．作射线AP ，在射线AP 上顺次截取AD DB c ==，分别以A ，B 为圆心，以b ，a 为半径画弧，两弧交于点C ，连接AC ，BC ，则ABC V 即为所求．【详解】解：如图所示，ABC V 即为所求；26．见解析【分析】本题考查了作图-基本作图，作一条线段等于已知线段，全等三角形的判定．作射线C M ¢，以C ¢为圆心，CB 长度为半径画弧，交C M ¢于点B ¢；分别以C ¢、B ¢为圆心，CA 、BA 长度为半径画弧，两弧交于点A ¢，连接C A ¢¢，B A ¢¢，则A B C ¢¢¢V 即为所求．【详解】解：如图：A B C ¢¢¢V 即为所求．27．C【分析】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是熟练掌握作角平分线的步骤．根据作角平分线的步骤即可判断．【详解】解：作已知AOB Ð的平分线 OC ，作图步骤是：第一步：在OA ，OB 上分别截取ON ，OM ，使ON OM =；第二步：分别以N ，M 为圆心，以大于12NM 为半径画弧，两弧在AOB Ð 内交于点C ；第三步：作射线OC ；∴合理的顺序是：②③①，故选：C ．28．C【分析】本题考查了作角平分线，与角平分线有关的三角形的内角和定理，掌握基本作图是解题的关键．由作图方法可得AG 是CAB Ð的角平分线，进而根据50CAB Ð=°，求得CAD Ð，根据直角三角形的性质即可求解．【详解】解：∵AG 是CAB Ð的角平分线，50CAB Ð=°，∴25CAD CAB Ð=Ð=°，∵90C Ð=°，∴902565CDA =°-°=°∠，故选：C ．29．A【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质，根据作图方法可得()COD C OD SSS ¢¢V V ≌，由此即可求解．【详解】解：根据直尺和圆规作一个角等于已知角的作图的方法可得，OC OC =¢，CD C D =¢¢，OD OD =¢，∴()OCD OC D SSS ¢¢V V ≌，∴COD C OD Ð=Ð¢¢，∴作图的依据是SSS ，故选：A ．30．D【分析】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．根据作一个角等于已知角的步骤判断即可．【详解】解：由题意弧①是以M 为圆心，EF 为半径画弧，故选：D31．A【分析】本题主要考查尺规作图，根据尺规作图绘制一条线段的垂直平分线、一个角的平分线、一个角等于已知角的作法，逐项判断即可．【详解】①作一个角的角平分线正确，②作一个角等于已知角正确，③如图所示，作一条线段的垂直平分线，不正确，。

第17讲尺规作图-2021年新八年级数学(华师大版)(解析版)

第17讲尺规作图【学习目标】1.了解尺规作图的定义，会用尺规作图（1）作一条线段等于已知线段（2）作一个角等于已知角（3）作已知角的角平分线（4）作已知线段的垂直平分线2.应用三角形全等知识，解释角平分线的原理3.会用尺规作图，培养学生动手能力，会说求作过程。

【基础知识】1.尺规作图的定义利用直尺（没有刻度）和圆规完成基本作图，称之为尺规作图.要点诠释：尺规作图时使用的直尺是不能用来进行测量长度的操作，它一般用来将两个点连在一起.圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度或一个任意的长度.2.常见基本作图常见并经常使用的基本作图有：1.作一条线段等于已知线段；2.作一个角等于已知角；3.作角的平分线；4.作线段的垂直平分线；5.作三角形.【考点剖析】考点一：作一条线段等于已知线段例1．作图：已知线段a、b，画一条线段使它等于2a﹣b．（要求：用尺规作图，并写出已知、求作、结论，保留作图痕迹，不写作法）已知：求作：结论：【思路】可先画出一条线段等于2a，然后再在这条线段上截去b，剩余线段即为所求线段．【答案】解：已知：线段a、b，求作：线段AC，使线段AC=2a﹣b．【总结】本题考查有关线段的基本作图，相加在原来线段的延长线上画出另一条线段，相减在较长的线段上截去．考点二：尺规作角例2．已知：∠AOB．利用尺规作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝2∠AOB．【思路】先作一个角等于∠AOB，在这个角的外部再作一个角等于∠AOB，那么图中最大的角就是所求的角．【答案】作法一：如图(1)所示，（1）以点O圆心，任意长为半径画弧，交OA于点A′，交OB于点C；（2）以点C 为圆心，以CA′的长为半径画弧，•交前面的弧于点B′；（3）过点B′作射线O B′，则∠A′O′B′就是所求作的角．作法二：如图（2）所示，（1）画射线O′A′；（2）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；（3）以点O′为圆心，以OC的长为半径画弧，交O′A•′于点E；（4）以点E为圆心，以CD的长为半径画弧，交前面的弧于点F，再以点F为圆心，•以CD的长为半径画弧，交前面的弧于点B′；（5）画射线O′B′，则∠A′O′B′就是所求作的角．【总结】本题考查作一个倍数角等于已知角，需注意作第二个角的时候应在第一个角的外部．•作法一在已知角的基础上作图较为简便一些．考点三：尺规作垂直平分线例3．尺规作图:经过已知直线外一点作这条直线的垂线,如图K29-2所示作图中,正确的是 ()图K29-2【答案】B【真题演练】1. 如图所示，已知∠α和∠β，利用尺规作∠AOB，使∠AOB＝2（∠α-∠β）．【答案】作法：如图所示．（1）作∠COD＝∠α；（2）以射线OD为一边，在∠COD•的外部作∠DOA，使∠DOA＝∠α；（3）以射线OC为一边，在∠COA的内部作∠COE，使∠COE＝∠β；（4）以射线OE为一边，在∠EOA内部作∠EOB，使∠EOB＝∠β，则∠AOB就是所求作的角．【总结升华】本题考查作一个差角的倍数角，本题的做法有两种：一种可以先做倍数角再做差角，如本题提供的答案；另一种也可以先做差角再做倍数角．2.如图K29-1,下面是利用尺规作∠AOB的平分线OC的作法:图K29-1(1)以O为圆心,适当长为半径画弧,分别交OA,OB于点D,E;(2)分别以D,E为圆心,大于DE的长为半径画弧,两弧在∠AOB内交于点C;(3)画射线OC,射线OC就是∠AOB的平分线.在用尺规作角平分线过程中,用到的三角形全等的判定方法是()A.ASAB.SASC.SSSD.AAS【答案】C3.如图K29-4,在△ABC中,BA=BC,∠B=80°,观察图中尺规作图的痕迹,则∠DCE的度数为 ()图K29-4A.60°B.65°C.70°D.75°【答案】B【解析】∵BA=BC,∠B=80°,∴∠A=∠ACB=(180°-80°)=50°,∴∠ACD=180°-∠ACB=130°.观察作图过程可知:CE平分∠ACD,∴∠DCE=∠ACD=65°,∴∠DCE的度数为65°,因此本题选B.4.[2020·长春]如图K29-5,在△ABC中,∠BAC=90°,AB>AC.按下列步骤作图:①分别以点B和点C为圆心,大于BC一半的长为半径作圆弧,两弧相交于点M和点N;②作直线MN,与边AB相交于点D,连接CD.下列说法不一定正确的是()图K29-5A.∠BDN=∠CDNB.∠ADC=2∠BC.∠ACD=∠DCBD.2∠B+∠ACD=90°【答案】C【解析】由作图可知,MN垂直平分线段BC,∴DB=DC,MN⊥BC,∴∠BDN=∠CDN,∠DBC=∠DCB,∴∠ADC=∠B+∠DCB=2∠B.∵∠A=90°,∴∠ADC+∠ACD=90°,∴2∠B+∠ACD=90°.故选项A,B,D正确.故选C.5.[2020·台州]如图K29-6,已知线段AB,分别以A,B为圆心,大于AB同样长为半径画弧,两弧交于点C,D,连接AC,AD,BC,BD,CD,则下列说法错误的是()图K29-6A.AB平分∠CADB.CD平分∠ACBC.AB⊥CDD.AB=CD【答案】D【解析】由作图知AC=AD=BC=BD,∴四边形ACBD是菱形,∴AB平分∠CAD,CD平分∠ACB,AB⊥CD,不能判断AB=CD,故选D.6.[2020·衢州]过直线l外一点P作直线l的平行线,下列尺规作图中错误的是()图K29-7【答案】D【解析】A选项是作出了角平分线和等腰三角形,可以得出内错角相等,从而得出两直线平行;B选项直接作出了同位角相等,所以可以得出两直线平行;C选项是过点P作出了l的垂线,然后又作出了与该垂线垂直的直线,所以也作出了直线l的平行线;D选项从作图痕迹来看,不能找到平行线的依据,因此本题选D.7.[2020·襄阳]如图K29-8,Rt△ABC中,∠ABC=90°,根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是()图K29-8A.DB=DEB.AB=AEC.∠EDC=∠BACD.∠DAC=∠C【答案】D【解析】由尺规作图可知:AD平分∠BAC,DE⊥AC于点E.∵AD平分∠BAC,DE⊥AC,DB⊥AB,∴DB=DE.于是Rt△ABD≌Rt△AED(HL),∴AB=AE.∵∠EDC+∠C=90°,∠BAC+∠C=90°,∴∠EDC=∠BAC.从图中不能得到∠DAC=∠C,故选D.8.如图K29-9是利用直尺和三角尺过已知直线l外一点P作直线l的平行线的方法,其理由是.图K29-9【答案】同位角相等,两直线平行9.[2020·扬州]如图K29-10,在△ABC中,按以下步骤作图:图K29-10①以点B为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB,BC于点D,E;②分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径作弧,两弧交于点F;③作射线BF交AC于点G.若AB=8,BC=12,△ABG的面积为18,则△CBG的面积为.【答案】27【解析】作GM⊥AB于点M,GN⊥BC于点N,如图.∵S△ABG=×GM×AB,即18=×GM×8,∴GM=.易知BG平分∠ABC,GM⊥AB,GN⊥BC,∴GN=GM=,∴S△CBG=×GN×CB=××12=27.因此本题答案为27.【过关检测】1.[2020·潍坊]如图K29-11,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=20°,PQ垂直平分AB,垂足为Q,交BC于点P.按以下步骤作图:①以点A为圆心,以适当的长为半径作弧,分别交边AC,AB于点D,E;②分别以点D,E为圆心,以大于DE的长为半径作弧,两弧相交于点F;③作射线AF.若AF与PQ的夹角为α,则α=°.图K29-11【答案】55【解析】根据直角三角形两锐角互余得∠BAC=70°,由角平分线的定义得∠BAF=35°,由线段AB的垂直平分线PQ可得△AQM是直角三角形,故可得∠AMQ=55°,最后根据对顶角相等求出α.2.如图K29-12,在▱ABCD中,AB=3,BC=5,以点B为圆心,以任意长为半径作弧,分别交BA,BC于点P,Q,再分别以P,Q为圆心,以大于PQ的长为半径作弧,两弧在∠ABC内交于点M,连接BM并延长,交AD于点E,则DE的长为.图K29-12【答案】2【解析】根据作图的方法得,BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC=5.∴∠AEB=∠CBE.∴∠ABE=∠AEB.∴AE=AB=3.∴DE=AD-AE=5-3=2.3.[2020·本溪]如图K29-13,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2BC,分别以点A和B为圆心,以大于AB的长为半径作弧,两弧相交于点M和N,作直线MN,交AC于点E,连接BE,若CE=3,则BE的长为.图K29-13【答案】5【解析】由作图可知,MN垂直平分线段AB,∴AE=EB.设AE=EB=x,∵EC=3,AC=2BC,∴BC=(x+3).在Rt△BCE中,∵BE2=BC2+EC2,∴x2=32+(x+3)2,解得x=5或x=-3(舍去),∴BE=5.4.[2019·嘉兴]如图K29-14,在6×6的方格纸中,点A,B,C都在格点上,按要求画图.(1)在图①中找一个格点D,使以点A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形;(2)在图②中仅用无刻度的直尺,把线段AB三等分(保留画图痕迹,不写画法).图K29-14【答案】解:(1)画出图形如图①所示.(2)如图②所示.5.[2020·陕西]如图K29-15,已知△ABC,AC>AB,∠C=45°,请用尺规作图法在AC边上求作一点P,使∠PBC=45°.(保留作图痕迹,不写作法)图K29-15【答案】解:方法一:作BC的垂直平分线交AC于P,点P为所求.如图①所示:方法二:作BP⊥AC,垂足为P,点P为所求.如图②所示:方法三:在BC的上方作∠PBC=∠C,交AC于P,点P为所求.如图③所示:。