直角三角形的性质习题
直角三角形的性质练习题
直角三角形的性质练习题一、选择题1. 在直角三角形ABC中，角A为90°，且满足AB = 3，AC = 4，BC = 5，那么∠B的度数是：A) 30°B) 45°C) 60°D) 90°2. 直角三角形PQR中，∠P = 90°，PR = 5，RQ = 12，那么∠Q的度数是：A) 30°B) 45°C) 60°D) 90°3. 若一个直角三角形的一个锐角的度数是30°，那么另一个锐角的度数是：A) 30°B) 45°C) 60°D) 90°4. 若三角形ABC是直角三角形，其中∠A = 90°，AB = 8，AC = 15，则BC的长度为：A) 7B) 9C) 17D) 245. 直角三角形XYZ中，∠X = 90°，XY = 5，YZ = 12，则∠Y的正弦值是：A) 5/12B) 12/13C) 5/13D) 12/5二、填空题1. 直角三角形ABC中，∠C = 90°，AC = 7，BC = 24，则AB的长度为 ________。
2. 设直角三角形XYZ中，∠Y = 90°，XY = 6，则YZ的长度为________。
3. 直角三角形PQR中，PR = 5，RQ = 12，则∠P的度数为________。
4. 若直角三角形ABC中，∠B = 90°，AB = 14，则AC的长度为________。
5. 若直角三角形XYZ中，∠Y = 90°，XY = 9，则∠Z的度数为________。
三、解答题1. 已知直角三角形ABC，其中∠A = 90°，AB = 5，AC = 12，求BC的长度。
解析：根据直角三角形的性质，可使用勾股定理求解。
根据勾股定理，若AC、BC、AB分别表示直角三角形ABC的三条边的长度，则有AC² = AB² + BC²。
解直角三角形知识点及跟踪习题
解直角三角形知识点及跟踪习题 考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30° 可表示如下： ⇒BC=21AB ∠C=90°3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90°可表示如下： ⇒CD=21AB=BD=AD D 为AB 的中点 知识点二．三角函数对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、邻边与对边的比值也是惟一确定的. 因此这几个比值都是锐角∠A 的函数，记作sin A 、cos A 、tan A 、cot A ，即sin A =斜边的对边A ∠, cos A =斜边的邻边A ∠, tan A =的邻边的对边A A ∠∠, cot A = 的对边的邻边A A ∠∠分别叫做锐角∠A 的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A 的三角函数.知识点三。
锐角三角函数的特征与性质：（1）锐角三角函数的值都是正实数，并且0＜sin A ＜1，0＜cos A ＜1 （2）tan A •cot A =1（3）补充：sin tan cos AAA，cos cot sin AA A （视情况定） （4）补充：已知锐角∠A ，则22sin cos 1AA（视情况定）（5）锐角三角函数的增减性当角度在0°~90°之间变化时，①.正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） ②.余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） ③.正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） ④.余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大 知识点四、一些特殊角的三角函数值三角函数 0° 30°45°60°90° sinα 0 21 22 23 1 cos α 1 23 22 21 0 tan α 0 33 1 3不存在 cot α不存在3133 0︒15020米30米从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.（2在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计纸上都要注明斜坡的倾斜程度. 如图19.4.5，坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面坡度 （或坡比）.记作i ,即i =lh . 坡度通常写成1∶m 的形式，如i =1∶6. 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a ，有i ＝lh=tan a 显然，坡度越大，坡角a 就越大，坡面就越陡. 知识点六．1.解直角三角形：在直角三角形中，除一个直角外，还有2个角和3条边共5个元素，由已知元素求出未知元素 的过程，叫做解直角三角形。
含30°角的直角三角形的性质练习题
1 1 CEF(AAS)，∴BE＝CF，∵CF＝2CE，∴BE＝2CE，又∵BE＋CE＝8，∴ 16 16 8 CE＝ 3 ，∴BD＝ 3 ，∴AD＝3
16．已知∠DAB＝120°，AC平分∠DAB，∠B＋∠D＝180°.
(1)如图①，当∠B＝∠D时，求证：AB＋AD＝AC；
(2)如图②，当∠B≠∠D时，(1)中的结论是否仍然成立？并说明理由．
) C
A．30° B．60°
C．30°或150° D．不能确定
11．某市在旧城改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮
以美化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价 a元，则购买这 种草皮至少需要( B)
A．300a元 B．150a元 C．450a元 D．225a元
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线MN分 6． 别交BC，AB于点M，N，且BM＝3，则CM＝____
14．台风是一种自然灾害，如图，气象部门观测到距A市正北方向200千
米的B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，该台风中心正以18千
米/时的速度沿直线向C移动，且台风中心风力不变．已知每远离台风中
心20千米，风力就减弱一级，若A市所受风力不到4级，则称不受台风影
响．根据以上信息回答下列问题： (1)A市是否会受到这次台风影响？请说明理由． (2)若A市受影响，所受最大风力是几级？
解：(1)作 AD⊥BC 于点 D，在 Rt△ABD 中，∠B＝30°，AB＝200 1 千米，∴AD＝2AB＝100 千米．由题意知，受台风影响范围的半径为 20× (12－4)＝160(千米)，∵AD＝100 千米＜160 千米，∴A 市将受到台风影响 100 (2)当台风中心位于 D 处时，A 市所受风力最大，其风力为 12－ 20 ＝7(级)
1.2直角三角形——直角三角形的边角性质+练习课件+2023-—2024学年北师大版数学八年级下册
【点拨】
∵1 宣＝12矩，1 欘＝112宣，1 矩＝90°，∠A＝1 矩，
∠B＝1
欘
，
∴∠A
＝ 90°，
∠
B
＝
1
1 2
1 ×2
×90°＝
67.5°，
∴∠C＝90°－∠B＝90°－67.5＝22.5°.
3 (母题：教材P34复习题T5)若三角形三个内角的比为 1 ∶2 ∶3，则这个三角形是__直__角____三角形．
(2)若AE是△ABC的角平分线，AE，CD相交于点F，求证： ∠CFE＝∠CEF. 【证明】∵AE是△ABC的角平分线，∴∠DAF＝∠CAE. ∵∠FDA＝90°，∠ACE＝90°， ∴∠DAF＋∠AFD＝90°，∠CAE＋∠CEA＝90°. ∴∠AFD＝∠CEA. ∵∠AFD＝∠CFE， ∴∠CFE＝∠CEA，即∠CFE＝∠CEF.
解：如图②，延长 MN 至点 C′，使 NC′＝NC，连接 AC′， 则 AC′的长即为蚂蚁爬行的最短路程． 在 Rt△AMC′中，AM＝3×2＝6(cm)， MC′＝20＋2＝22(cm)． 由勾股定理，得 AC′2＝AM2＋MC′2＝62＋222＝520， 则 AC′＝2 130 cm. 答：蚂蚁需要爬行的最短路程是 2 130 cm.
∵∠C＝90°，∴∠4＋∠5＝90°. ∴∠3＋∠5＝90°，即∠FBG＝90°. 又∵DF⊥EG，DE＝DG，∴FG＝EF. 在Rt△FBG中，BG2＋BF2＝FG2，∴AE2＋BF2＝EF2.
【点方法】
欲证AE2＋BF2＝EF2，应联想到勾股定理，把AE， BF和EF转. 化. 为同一个直角三角形的三边．
【点拨】
∵直角三角形的三边a，b，c满足c>a>b，∴该直角三 角形的斜边为c，∴c2＝a2＋b2，∴c2－a2－b2＝0，∴S1＝ c2－a2－b2＋b(a＋b－c)＝ab＋b2－bc. ∵S2＝b(a＋b－c)＝ ab＋b2－bc，∴S1＝S2，故选C.
直角三角形性质练习题
直角三角形性质练习题一、选择题1. 在直角三角形中，斜边的长度总是（）A. 等于两直角边长度之和B. 大于两直角边长度之和C. 小于两直角边长度之和D. 等于两直角边长度之差2. 直角三角形的勾股定理表述为：直角三角形的斜边的平方等于（）A. 两直角边的平方和B. 两直角边的平方差C. 两直角边的和的平方D. 两直角边的差的平方3. 如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是（）A. 5B. 6C. 7D. 84. 直角三角形的内角和为（）A. 120°B. 150°C. 180°D. 360°5. 直角三角形的高是指（）A. 从直角顶点向斜边作垂线段B. 从直角顶点向对边作垂线段C. 从斜边顶点向直角边作垂线段D. 从对边顶点向斜边作垂线段二、填空题6. 直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，根据勾股定理，c²=________。
7. 若直角三角形的一条直角边为5，斜边为13，则另一条直角边的长度为________。
8. 在直角三角形中，若一个角为30°，则另一个非直角的锐角为________。
9. 直角三角形的面积公式为________。
10. 如果直角三角形的斜边长度为10，一条直角边为6，那么另一条直角边的长度为________。
三、计算题11. 已知直角三角形的两条直角边分别为6cm和8cm，求斜边的长度。
12. 一个直角三角形的斜边长度为17cm，若已知其中一条直角边为15cm，求另一条直角边的长度。
13. 一个直角三角形的高为4cm，底边为6cm，求这个三角形的面积。
14. 一个直角三角形的斜边长度为20cm，其中一条直角边为xcm，另一条直角边为(20-x)cm，求x的值。
15. 已知一个直角三角形的斜边长度为25cm，其中一条直角边的长度为15cm，求这个三角形的周长。
四、解答题16. 证明直角三角形的内角和为180°。
八下第1章直角三角形1-1直角三角形的性质与判定Ⅰ1-1-2含30°角的直角三角形的性质及其应用习题
解：过点D作DC⊥AB于点C.∵∠DAB＝15°， ∠DBC＝30°，∴∠ADB＝15°，∴DB＝AB＝100 m， ∴在Rt△DBC中，DC＝ ×100＝50(m)． 答：河宽是50 m.
8．[临湘期中]如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，D是BC上一点，过点D作DE∥AC，交AB于点E，若BD＝3，CD＝2，则AE的长为________．
D
6．[教材改编题]如图是某建筑物的屋顶架的示意图，D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE都垂直于横梁AC，DE＝2 m，∠A＝30°，则AB等于________m.
8
【点拨】∵∠A＝30°，DE⊥AC，∴DE＝ AD.又DE＝2 m，∴AD＝4 m．∵D是．[教材改编题]如图，吴敏在河岸的点A测得看对岸点D的视线与其所在河岸的直线成15°角，然后沿该直线行走100 m到达点B，此时测得看对岸点D的视线与前进方向成30°角，问河宽是多少米？
4
9．设计一张折叠型方桌如图所示，若AO＝BO＝50 cm，CO＝DO＝30 cm，将桌子放平后，要使AB离地面的高度为40 cm，则两条桌腿需要叉开的角度(∠AOB)应为( ) A．60° B．90° C．120° D．150°
C
【点拨】过点D作DE⊥AB交AB于点E.在Rt△ADE中，AD＝OA＋OD＝50＋30＝80(cm)，易知DE＝40 cm，∴DE＝ AD.∴∠BAD＝30°.∵OA＝OB，∴∠ABC＝∠BAD＝30°.∴∠AOB＝180°－2×30°＝120°.故选C.
10．[邵阳洞口期中]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于点D，DE是AB的垂直平分线，垂足为点E.若BC＝9，则DE的长是( ) A．3 B．4 C．4.5 D．5
直角三角形练习题
直角三角形练习题直角三角形是三角形中最基本的一种形式，由于其特殊性质，我们可以通过使用三角函数来解决各种与直角三角形相关的问题。
本文将提供一些直角三角形的练习题，通过解答这些问题，将更好地理解直角三角形的性质与应用。
1. 给定一个直角三角形，已知两个边长分别为5cm和12cm，求解第三边的长度。
解答：由勾股定理可得，直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
设斜边长度为c，则有5² + 12² = c²，解得c = √(5² + 12²) =√(25 + 144) = √169 = 13。
因此，第三边的长度为13cm。
2. 在一个直角三角形中，已知一条直角边的长度为8cm，斜边的长度为17cm，求解另一条直角边的长度。
解答：同样利用勾股定理，设另一直角边的长度为b，则有b² + 8²= 17²，解得b = √(17² - 8²) = √(289 - 64) = √225 = 15。
因此，另一条直角边的长度为15cm。
3. 已知一个直角三角形的一条直角边的长度为3cm，斜边的长度为7cm，求解第二条直角边的长度。
解答：同样应用勾股定理，设另一直角边的长度为a，则有a² + 3²= 7²，解得a = √(7² - 3²) = √(49 - 9) = √40 = 2√10。
因此，第二条直角边的长度为2√10 cm。
4. 在一个直角三角形中，已知一条直角边的长度为10cm，第二条直角边的长度为24cm，求解斜边的长度。
解答：应用勾股定理，设斜边的长度为c，则有10² + 24² = c²，解得c = √(10² + 24²) = √(100 + 576) = √676 = 26。
因此，斜边的长度为26cm。
八下第1章直角三角形1-1直角三角形的性质和判定Ⅰ第2课时含30°角的直角三角形的性质习题新版湘教版
腰长为12 m，则底边上的高是( B
A.4 m
B.6 m
C.10 m
D.12 m
)
(第6题)
7.(母题：教材P8习题T6)如图，在△ABC中，∠C＝90°，点
E是边AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分边AB，垂足
为点D.若EC＝3 cm，则AE的长为 6 cm
∴∠B＝30°，∴∠BAC＝ (180°－∠B)＝75°.
②如图(b)，AC＝BC，AD⊥BC交BC的延长线于点D，
AD在三角形的外部，∴∠CAB＝∠B.由题意知AD＝ BC＝
AC，∴∠ACD＝30°＝∠B＋∠CAB.
∵∠B＝∠CAB，∴∠BAC＝ ∠ACD＝15°.
③如图(c)，AC＝AB，AD⊥BC，BC边为等腰三角形底
交BC于点D，E为AB上一点，连接DE，则下列说法错误的
是( D
)
A.∠CAD＝30°
B.AD＝BD
C.BD＝2CD
D.CD＝ED
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，将△ABC
绕点C按顺时针方向旋转一定角度得到△DEC，点D恰好在
AB上.
(1)若AC＝4，求DE的长度；
【解】在△ABC中，∠ACB＝90°，
形状
12. [新考法 分类判断法]如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∠A＝30°，BC＝12 cm.动点P从点A出发，沿AB向点B运
动，动点Q从点B出发，沿BC向点C运动.如果动点P以2
cm/s，动点Q以1 cm/s的速度同时出发，设运动时间为t
s，解答下面的问题：
中考数学复习之直角三角形的性质、勾股定理,考点过关与基础练习题
23. 直角三角形和勾股定理➢ 知识过关1.直角三角形性质梳理： 1. 从边与角的角度来考虑①直角三角形两锐角_______，且任一直角边长小于_______．②勾股定理：直角三角形两直角边的______等于斜边的____； 勾股定理逆定理：如果三角形两边的______等于__________，那么这个三角形是_______三角形．2. 添加一些特殊的元素（中线或30°角）①直角三角形斜边上的中线等于______________；如果一个三角形____________________________，那么这个三角形是直角三角形．②30°角所对的直角边是_____________________；在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这 条直角边所对的锐角等于_____________．3. 特殊的直角三角形➢ 考点分类考点1直角三角形的性质例117．如图，在△ACD 中，BC ⊥AD 于B ，AC ＝AD ＝3，AB ＝2，则CD ＝（ ）A ．6B ．√6C ．√5D ．4ACB 45°1130°234211BCABCA BCAa 2+b 2=c2CBAC B A A BC ABC C BA2mm AB C 30°考点2勾股定理及其逆定理例2如图，在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝9，AD ⊥BC 于D ，M 为AD 上任一点，则MC 2﹣MB 2等于（ ）A ．29B ．32C ．36D ．45例3等面积法例3若直角三角形两条直角边的长分别为7和24，在这个三角形内有一点P 到各边的距离都相等，则这个距离是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1➢ 真题演练1．如图，在边长为1的正方形网格中，A 、B 、C 均在正方形格点上，则C 点到AB 的距离为（ ）A ．3√1010B ．2√105C ．5√104D ．4√1052．如图，AB ＝AC ＝13，BP ⊥CP ，BP ＝8，CP ＝6，则四边形ABPC 的面积为（ ）A ．48B ．60C ．36D ．723．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝6，若以AC 边和BC 边向外作等腰直角三角形AFC 和等腰直角三角形BEC ．若△BEC 的面积为S 1，△AFC 的面积为S 2，则S 1+S 2＝（ ）A ．36B ．18C ．9D ．44．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 在边AB 上，AD ＝AC ，AE ⊥CD ，垂足为F ，与BC 交于点E ，则BE 的长是（ ）A ．3B ．5C ．163D ．65．如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 在边长为1的正方形网格的格点上，则BC 边长的高为（ ）A ．√302B ．85√5 C ．45√5 D ．√1326．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中AE ＝5，AB ＝13，则EF 的值是（ ）A ．7B ．2√3C ．√13D ．7√27．如图，∠ABC ＝∠ADB ＝90°，DA ＝DB ，AB 与CD 交于点E ，若BC ＝2，AB ＝4，则点D 到AC 的距离是（ ）A.5√56B ．6√55C ．4√55D ．5√548．如图，将一副直角三角尺重叠摆放，使得60°角的顶点与等腰直角三角形的直角顶点重合，且DE⊥AB于点D，与BC交于点F，则∠FCE的度数为（）A．60°B．65°C．75°D．85°9．如图，AC＝AB＝BD，∠ABD＝90°，BC＝8，则△BCD的面积为（）A．8B．12C．14D．1610．如图，四边形ABCD中，连接BD，O为BD中点，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDA＝30°，∠BDC＝45°，则∠CAO＝（）A．15°B．18°C．22.5°D．30°➢课后练习1.如图，等边△ABD和等边△BCE中，A、B、C三点共线，AE和CD相交于点F，下列结论中正确的个数是（）①△ABE≌△DBC②BF平分∠AFC③AF＝DF+BF④∠AFD＝60°A．1B．2C．3D．42．如图，△ABC中，∠ACB＝60°，AG平分∠BAC交BC于点G，BD平分∠ABC交AC 于点D，AG、BD相交于点F，BE⊥AG交AG的延长线于点E，连接CE，下列结论中正确的有（）①若∠BAD＝70°，则∠EBC＝5°；②BF＝2EF；③BE＝CE；④AB＝BG+AD；⑤S△BFGS△AFD =BFAF．A．5个B．4个C．3个D．2个3．在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于E、F，给出以下四个结论：当∠EPF在△ABC内绕P旋转时（点E不与A、B重合），①AE＝CF；②EF＝AP；③△EPF是等腰直角三角形；④S四边形AEPF= 12S△ABC；⑤EF的最小值为√2；⑥BE2+CF2＝EF2．则正确结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个4．如图，O是正△ABC内一点，OA＝6，OB＝8，OC＝10，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为8；③∠AOB＝150°；④四边形AOBO′的面积是24+16√3；⑤S△AOC+S△AOB＝24+9√3 4．其中正确结论有（）个．A．5B．4C．3D．25．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ACB的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF ⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②AD＝PF+PH；③DH平分∠CDE；④S四边形ABDE=74S△ABP；⑤S△APH＝S△ADE，其中正确的结论是（）A．①②③B．②③④C．①②④⑤D．①②⑤6．如图，O为△ABC内的一点，D为AB边上的一点，OD＝OB，OA＝OC，∠AOC＝∠BOD ＝90°，连接CD．下列结论：①AB＝CD；②AB⊥CD；③∠AOD+∠OCD＝45°；④S △BOC＝S△AOD．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．①②③D．①②③④➢冲击A+如图1，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，连接CB，过C作CD⊥AB于点D，过点C 作∠BCE，使∠BCE＝∠BCD，其中CE交AB的延长线于点E．（1）求证：CE是圆O的切线；（2）如图2，点F在圆O上，且满足∠FCE＝2∠ABC，连接AF并延长交EC的延长线于点G．①求证：CF＝2CD；②若CD＝4，BD＝2，求线段FG的长．。
直角三角形的性质和判定（1）（教案练习）
1.2.1直角三角形的性质与判定练习题一、选择题1.如图，带阴影的矩形面积是（）平方厘米．A．9 B．24 C．45 D．512、已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（）．A．12B．7＋7C．12或7＋7D．以上都不对3.等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为（）A．13 B．8 C．25 D．644.如果一个直角三角形的两条直角边分别为n2﹣1，2n（n＞1），那么它的斜边长是（）A．2n B．n+1 C．n2﹣1 D．n2+15.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A．25 B．7 C．5和7 D．25或76.将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（）．A．h≤17cm B．h≥8cmC．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm7.如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．6cm2 B．8cm2 C．10cm2 D．12cm2二、填空题8.在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+AC2+BC2= ．9.如图，△ABC中，AC＝6，AB＝BC＝5，则BC边上的高AD＝______．10.如图，四边形ABCD是正方形，AE垂直于BE，且AE=3，BE=4，阴影部分的面积是．11.直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 cm．12.如图，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分线交BC于D．若BC=8，AD=5，则AC等于．三、解答题13.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和是多少？14. 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，CD=5 cm，求AB的长.15.去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2.732km的A、B两地之间修筑一条笔直公路（即图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向、B地的西偏北45°方向C处有一个半径为0.7km的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？（3≈1.732）答案：1. C分析：根据勾股定理先求出直角边的长度，再根据长方形的面积公式求出带阴影的矩形面积．解：∵=15厘米，∴带阴影的矩形面积=15×3=45平方厘米．故选C．2.C（提示：因直角三角形的斜边不明确，结合勾股定理可求得第三边的长为5或7，所以直角三角形的周长为3＋4＋5＝12或3＋4＋7＝7＋7）故选C；3. B分析：先作底边上的高，由等腰三角形的性质和勾股定理即可求出此高的长度．解：作底边上的高并设此高的长度为x，根据勾股定理得：62+x2=102，解得：x=8．故选B．4. D分析：根据勾股定理直接解答即可．解：两条直角边与斜边满足勾股定理，则斜边长是：===n2+1．故选D．5. D分析：分两种情况：①当3和4为直角边长时；②4为斜边长时；由勾股定理求出第三边长的平方即可．解：分两种情况：①当3和4为直角边长时，由勾股定理得：第三边长的平方，即斜边长的平方=32+42=25；②4为斜边长时，由勾股定理得：第三边长的平方=42﹣32=7；综上所述：第三边长的平方是25或7；故选：D ．6. D （提示：筷子在杯中的最大长度为22815+＝17cm ，最短长度为8cm ，则筷子露在杯子外面的长度为24－17≤h ≤24－8，即7cm ≤h ≤16cm ，）故选D ．7. A分析：首先根据翻折的性质得到ED=BE ，再设出未知数，分别表示出线段AE ，ED ，BE 的长度，然后在Rt △ABE 中利用勾股定理求出AE 的长度，进而求出AE 的长度，就可以利用面积公式求得△ABE 的面积了．解：∵长方形折叠，使点B 与点D 重合，∴ED=BE ，设AE=xcm ，则ED=BE=（9﹣x ）cm ，在Rt △ABE 中，AB 2+AE 2=BE 2，∴32+x 2=（9﹣x ）2，解得：x=4，∴△ABE 的面积为：3×4×=6（cm 2）．故选：A ．8.分析：由三角形ABC 为直角三角形，利用勾股定理根据斜边AB 的长，可得出AB 的平方及两直角边的平方和，然后将所求式子的后两项结合，将各自的值代入即可求出值． 解：∵△ABC 为直角三角形，AB 为斜边，∴AC 2+BC 2=AB 2，又AB=2，∴AC 2+BC 2=AB 2=4，则AB 2+BC 2+CA 2=AB 2+（BC 2+CA 2）=4+4=8．故答案为：89. 3.6（提示：设DC ＝x ，则BD ＝5－x ．在Rt △ABD 中，AD 2＝52－（5－x ）2，在Rt △ADC 中，AD 2＝62－x 2，∴52－（5－x ）2＝62－x 2，x ＝3.6．故AD ＝226.36-＝4.8）；10. 分析：在直角三角形ABE 中，由AE 与BE 的长，利用勾股定理求出AB 的长，由正方形面积减去直角三角形面积求出阴影部分面积即可．解：∵AE⊥BE，∴∠AEB=90°，在Rt△ABE中，AE=3，BE=4，根据勾股定理得：AB==5，则S阴影=S正方形﹣S△ABE=52﹣×3×4=25﹣6=19，故答案为：19．11.分析：设直角三角形的三边边长分别为2n﹣2，2n，2n+2，由勾股定理得：两直角边的平方和等于斜边的平方，据此列出关于n的方程，求出符合题意n的值，即求出了直角三角形的三边长，之后求出周长即可．解：设直角三角形的三边边长分别为2n﹣2，2n，2n+2．由勾股定理得：（2n﹣2）2+（2n）2=（2n+2）2，解得：n1=4，n2=0（不合题意舍去），即：该直角三角形的三边边长分别为6cm，8cm，10cm．所以，其周长为6+8+10=24cm．12.分析：根据线段垂直平分线的性质可求得BD的长，从而求得CD的长，再根据勾股定理即可求得AC的长．解：∵AB垂直平分线交BC于D，AD=5，∴BD=AD=5，∵BC=8，∴CD=BC﹣BD=3，∴AC==4，故答案是：4．13.分析：根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，故正方形A ，B ，C ，D 的面积之和=49cm 2．故答案为：49cm 2． 14.解：.∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BD 是∠ABC 的平分线，∴∠ABD=∠CBD=30°.∴AD=DB.又∵Rt △CBD 中，CD=5 cm ，∴BD=10 cm.∴BC=22BD CD -=22105-=53(cm).∴AB=2BC=103 cm.15. 解 如图所示，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ，由题意可得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝45°，在Rt △CDB 中，∠BCD ＝45°，∴∠CBA ＝∠BCD ，∴BD ＝CD ．在Rt △ACD 中，∠CAB ＝30°，∴AC ＝2CD ．设CD ＝DB ＝x ，∴AC ＝2x ．由勾股定理得AD ＝22CD AC -＝224x x -＝3x ．∵AD ＋DB ＝2.732，∴3x ＋x ＝2.732，∴x ≈1．即CD ≈1＞0.7，∴计划修筑的这条公路不会穿过公园．。
直角三角形性质的应用练习题(含答案)
专题6：直角三角形性质的应用【典例引领】例：如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD=CE．（1）如图1，求证：∠CAE=∠CBD；（2）如图2，F是BD的中点，求证：AE⊥CF；（3）如图3，F，G分别是BD，AE的中点，若AC=2√2，CE=1，求△CGF的面积．【强化训练】1．在正方形ABCD中，E是边CD上一点（点E不与点C、D重合），连结BE．（感知）如图①，过点A作AF⊥BE交BC于点F．易证△ABF≌△BCE．（不需要证明）（探究）如图②，取BE的中点M，过点M作FG⊥BE交BC于点F，交AD于点G．（1）求证：BE=FG．（2）连结CM，若CM=1，则FG的长为．（应用）如图③，取BE的中点M，连结CM．过点C作CG⊥BE交AD于点G，连结EG、MG．若CM=3，则四边形GMCE的面积为．2．综合与实践：如图1，将一个等腰直角三角尺ABC的顶点C放置在直线l上，∠ABC=90°，AB=BC，过点A作AD⊥l于点D，过点B作BE⊥l于点E．观察发现：（1）如图1．当A，B两点均在直线l的上方时，①猜测线段AD，CE与BE的数量关系，并说明理由；②直接写出线段DC，AD与BE的数量关系；操作证明：（2）将等腰直角三角尺ABC绕着点C逆时针旋转至图2位置时，线段DC，AD与BE又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并写出证明过程；拓广探索：（3）将等腰直角三用尺ABC绕着点C继续旋转至图3位置时，AD与BC交于点H，若CD=3，AD=9，请直接写出DH的长度．3．如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E在AC上（且不与点A，C重合），在△ABC的外部作△CED，使∠CED=90°，DE=CE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系；（2）将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；（3）在图②的基础上，将△CED绕点C继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变，结合图③写出证明过程；若变化，请说明理由．4．如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD．（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP、BD分别交于点G、H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．5．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点E是直线BC上一点，连接AE，过点C作CF⊥AE于点F，连接BF．如图①，当点E在BC上时，易证AF﹣CF=√2BF（不需证明），点E在CB的延长线上，如图②：点E在BC的延长线上，如图③，线段AF，CF，BF之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．专题6：直角三角形性质的应用【典例引领】例：如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD=CE．（1）如图1，求证：∠CAE=∠CBD；（2）如图2，F是BD的中点，求证：AE⊥CF；（3）如图3，F，G分别是BD，AE的中点，若AC=2√2，CE=1，求△CGF的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）S△CFG=78．【解析】（1）直接判断出△ACE≌△BCD即可得出结论；（2）先判断出∠BCF=∠CBF，进而得出∠BCF=∠CAE，即可得出结论；（3）先求出BD=3，进而求出CF=32，同理：EG=32，再利用等面积法求出ME，进而求出GM，最后用面积公式即可得出结论．【解答】（1）在△ACE和△BCD中，{AC＝BC∠ACB＝∠ACB＝90°CE＝CD，∴△ACE≌△BCD，∴∠CAE=∠CBD；（2）如图2，在Rt△BCD中，点F是BD的中点，∴CF=BF，∴∠BCF=∠CBF，由（1）知，∠CAE=∠CBD，∴∠BCF=∠CAE，∴∠CAE+∠ACF=∠BCF+∠ACF=∠BAC=90°，∴∠AMC=90°， ∴AE ⊥CF ； （3）如图3，∵AC=2√2， ∴BC=AC=2√2， ∵CE=1， ∴CD=CE=1，在Rt △BCD 中，根据勾股定理得，BD=√CD 2+BC 2=3， ∵点F 是BD 中点， ∴CF=DF=12BD=32，同理：EG=12AE=32，连接EF ，过点F 作FH ⊥BC ， ∵∠ACB=90°，点F 是BD 的中点， ∴FH=12CD=12，∴S △CEF =12CE•FH=12×1×12=14，由（2）知，AE ⊥CF ，∴S △CEF =12CF•ME=12×32ME=34ME ，∴34ME=14， ∴ME=13，∴GM=EG-ME=32-13=76， ∴S △CFG =12CF•GM=12×32×76=78．【强化训练】1．在正方形ABCD 中，E 是边CD 上一点（点E 不与点C 、D 重合），连结BE ． （感知）如图①，过点A 作AF ⊥BE 交BC 于点F ．易证△ABF ≌△BCE ．（不需要证明） （探究）如图②，取BE 的中点M ，过点M 作FG ⊥BE 交BC 于点F ，交AD 于点G ． （1）求证：BE=FG ．（2）连结CM ，若CM=1，则FG 的长为 ．（应用）如图③，取BE的中点M，连结CM．过点C作CG⊥BE交AD于点G，连结EG、MG．若CM=3，则四边形GMCE的面积为．【答案】（1）证明见解析；（2）2，9.【解析】【分析】感知：利用同角的余角相等判断出∠BAF=∠CBE，即可得出结论；探究：（1）判断出PG=BC，同感知的方法判断出△PGF≌CBE，即可得出结论；（2）利用直角三角形的斜边的中线是斜边的一半，应用：借助感知得出结论和直角三角形斜边的中线是斜边的一半即可得出结论．【解答】感知：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠BCE=∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBE=90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴∠BAF=∠CBE，在△ABF和△BCE中，{∠BAF=∠CBEAB=BC∠ABC=∠BCE=90°，∴△ABF≌△BCE（ASA）；探究：（1）如图②，过点G作GP⊥BC于P，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠A=∠ABC=90°，∴四边形ABPG是矩形，∴PG=AB ，∴PG=BC ，同感知的方法得，∠PGF=∠CBE ， 在△PGF 和△CBE 中， {∠PQF =∠CBEPQ =BC∠PFG =∠ECB =90° ， ∴△PGF ≌△CBE （ASA ）， ∴BE=FG ；（2）由（1）知，FG=BE ， 连接CM ，∵∠BCE=90°，点M 是BE 的中点， ∴BE=2CM=2， ∴FG=2， 故答案为：2．应用：同探究（2）得，BE=2ME=2CM=6， ∴ME=3，同探究（1）得，CG=BE=6， ∵BE ⊥CG ，∴S 四边形CEGM =12CG×ME=12×6×3=9，故答案为：9．2．综合与实践：如图1，将一个等腰直角三角尺ABC 的顶点C 放置在直线l 上，∠ABC =90°，AB =BC ，过点A 作AD ⊥l 于点D ，过点B 作BE ⊥l 于点E ． 观察发现：（1）如图1．当A ，B 两点均在直线l 的上方时， ①猜测线段AD ，CE 与BE 的数量关系，并说明理由； ②直接写出线段DC ，AD 与BE 的数量关系； 操作证明：（2）将等腰直角三角尺ABC 绕着点C 逆时针旋转至图2位置时，线段DC ，AD 与BE 又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并写出证明过程； 拓广探索：（3）将等腰直角三用尺ABC 绕着点C 继续旋转至图3位置时，AD 与BC 交于点H ，若CD =3，AD =9，请直接写出DH 的长度．【答案】（1）①AD+CE=BE．理由见解析；②DC+AD=2BE；（2）CD−AD=2BE；证明见解析；（3）DH的长度为32．【分析】（1）过点B作BF⊥AD，根据已知条件结合直角三角形性质证明ΔCBE≅ΔABF，从而得到四边形DEBF为正方形，最后得出①AD+CE=BE，直接写出②DC+AD=2BE（2）过点B作BG⊥AD，先证明ΔBCE≅ΔBAG，证明四边形DEBG为正方形，根据正方形的性质求解（3）过点B作BF⊥AD，证明ΔBAF≅ΔBCE，四边形DEBF为正方形，再求解.【解答】解：（1）①AD+CE=BE．理由如下：如图，过点B作BF⊥AD，交DA的延长线于点F，∵BE⊥l，BF⊥AD，∴∠BEC=∠F=90°．又∵AD⊥l∴∠FDE=90°∴四边形DEBF为矩形．∴∠FBE=90°．又∵∠ABC=90°，∴∠ABC−∠ABE=∠FBE−∠ABE．即∠CBE=∠ABF．在ΔCBE和ΔABF中，{∠CBE=∠ABF,∠CEB=∠AFB=90°,CB=AB,∴ΔCBE≅ΔABF(AAS)．∴CE=AF，BE=BF．又∵四边形DEBF为矩形，∴四边形DEBF为正方形．∴BE=DE=FD=FB．∴AD+CE=AD+AF=FD=BE．②DC+AD=2BE．（2）如图，过点B作BG⊥AD，交AD延长线于点G，∵BE⊥l，BG⊥AD，∴∠BEC=∠G=90°．又∵AD⊥l，∴∠GDE=90°．∴四边形DEBF为矩形．∴∠GBE=90°．又∵∠ABC=90°，∴∠ABC−∠ABE=∠GBE−∠ABE，即∠CBE=∠ABG．在ΔBCE和ΔBAG中，{∠CBE=∠ABG,∠CEG=∠AGB=90°,CB=AB,∴ΔBCE≅ΔBAG(AAS)．∴CE=AG，BE=BG．又∵四边形DEBG为矩形，∴四边形DEBG为正方形．∴DE=BE=GB=DG．∵CD=CE+DE，∴CD=AG+BE=AD+DG+BE=AD+2BE．∴CD−AD=2BE．（3）如图，过点B作BF⊥AD，交DA于点F，同理可证，ΔBAF≅ΔBCE，四边形DEBF为正方形．∴CE=AF，ED=BE=DF．∵CD=CE−ED，∴CD=AF−BE=AD−DF−BE=AD−2BE．∴AD−CD=2BE．∵CD=3，AD=9，∴BE=ED=3，CE=CD+ED=6．∵DH∥EB，∴DHEB =CDCE．∴DH3=36．∴DH=32．3．如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E在AC上（且不与点A，C重合），在△ABC的外部作△CED，使∠CED=90°，DE=CE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系；（2）将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；（3）在图②的基础上，将△CED绕点C继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变，结合图③写出证明过程；若变化，请说明理由．【答案】(1)AF=√2AE；（2）AF=√2AE，证明详见解析；（3）结论不变，AF=√2AE，理由详见解析.【分析】（1）如图①中，结论：AF=√2AE，只要证明△AEF是等腰直角三角形即可．（2）如图②中，结论：AF=√2AE，连接EF，DF交BC于K，先证明△EKF≌△EDA再证明△AEF是等腰直角三角形即可．（3）如图③中，结论不变，AF=√2AE，连接EF，延长FD交AC于K，先证明△EDF≌△ECA，再证明△AEF 是等腰直角三角形即可．【解答】（1）如图①中，结论：AF=√2AE．理由：∵四边形ABFD是平行四边形，∴AB=DF，∵AB=AC，∴AC=DF，∵DE=EC，∴AE=EF，∵∠DEC=∠AEF=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF=√2AE．（2）如图②中，结论：AF=√2AE．理由：连接EF，DF交BC于K．∵四边形ABFD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠DKE=∠ABC=45°，∴EKF=180°﹣∠DKE=135°，∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°，∴∠EKF=∠ADE，∵∠DKC=∠C，∴DK=DC，∵DF=AB=AC，∴KF=AD，在△EKF和△EDA中，{EK=DK∠EKF=∠ADEKF=AD，∴△EKF≌△EDA，∴EF=EA，∠KEF=∠AED，∴∠FEA=∠BED=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF=√2AE．（3）如图③中，结论不变，AF=√2AE．理由：连接EF，延长FD交AC于K．∵∠EDF=180°﹣∠KDC﹣∠EDC=135°﹣∠KDC，∠ACE=（90°﹣∠KDC）+∠DCE=135°﹣∠KDC，∴∠EDF=∠ACE，∵DF=AB，AB=AC，∴DF=AC在△EDF和△ECA中，{DF=AC∠EDF=∠ACEDE=CE，∴△EDF≌△ECA，∴EF=EA，∠FED=∠AEC，∴∠FEA=∠DEC=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，4．如图①，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD．（1）猜想PM与PN的数量关系及位置关系，请直接写出结论；（2）现将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，AE与MP、BD分别交于点G、H．请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若图②中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如图③，写出PM与PN的数量关系，并加以证明．【答案】（1）PM=PN，PM⊥PN，理由见解析；（2）理由见解析；（3）PM=kPN；理由见解析【分析】（1）由等腰直角三角形的性质易证△ACE≌△BCD，由此可得AE=BD，再根据三角形中位线定理即可得到PM=PN，由平行线的性质可得PM⊥PN；（2）（1）中的结论仍旧成立，由（1）中的证明思路即可证明；（3）PM=kPN，由已知条件可证明△BCD∽△ACE，所以可得BD=kAE，因为点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，所以PM=BD，PN=AE，进而可证明PM=kPN．【解答】（1）PM=PN，PM⊥PN，理由如下：∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，∴PM=BD，PN=AE，∴PM=PM，∵∠NPD=∠EAC，∠MPN=∠BDC，∠EAC+∠BDC=90°，∴∠MPA+∠NPC=90°，∴∠MPN=90°，即PM⊥PN；（2）∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．∴∠ACE=∠BCD．∴△ACE≌△BCD．∴AE=BD，∠CAE=∠CBD．又∵∠AOC=∠BOE，∠CAE=∠CBD，∴∠BHO=∠ACO=90°．∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，∴PM=BD，PM∥BD；PN=AE，PN∥AE．∴PM=PN．∴∠MGE+∠BHA=180°．∴∠MGE=90°．∴∠MPN=90°．∴PM⊥PN．（3）PM=kPN∵△ACB和△ECD是直角三角形，∴∠ACB=∠ECD=90°．∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．∴∠ACE=∠BCD．∵BC=kAC，CD=kCE，∴=k．∴△BCD∽△ACE．∴BD=kAE．∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，∴PM=BD，PN=AE．∴PM=kPN．5．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，点E是直线BC上一点，连接AE，过点C作CF⊥AE于点F，连接BF．如图①，当点E在BC上时，易证AF﹣CF=√2BF（不需证明），点E在CB的延长线上，如图②：点E在BC的延长线上，如图③，线段AF，CF，BF之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．【答案】证明AF=CF+√2BF．如图②中，结论：CF﹣AF=√2BF．理由见解析；②如图③中，结论：CF+AF=√2BF．理由见解析.【分析】如图①中，作BH⊥BF交AF于H．只要证明△BAH≌△BCF，即可解决问题.①如图②中，结论：CF－AF＝√2BF．作BH⊥BF交AF于H．只要证明△BAH≌△BCF，即可解決问題.②如图③中，结论：CF＋AF＝√2BF，只要证明△BAH≌△BCF，即可解決问题.【解答】证明：如图①中，作BH⊥BF交AF于H．∵∠ABC=∠FBH，∴∠FBC=∠ABH，∵∠EFC=∠EBA=90°，∠CEF=∠AEB，∴∠ECF=∠EAB，在△BAH和△BCF中，，∴△BAH≌△BCF，∴AH=CF，BH=BF，∵∠FBH=90°，∴△BFH是等腰直角三角形，∴FH=BF，∵FH=AF﹣AH=AF﹣CF，∴AF﹣CF=BF，∴AF=CF+BF．①如图②中，结论：CF﹣AF=BF．理由：作BH⊥BF交AF于H．∵∠ABC=∠FBH，∴∠FBC=∠ABH，∵∠AFC=∠ABC=90°，∴∠CEF+∠FCB=90°，∠AEB+∠BAH=90°∴∠ECF=∠EAB，在△BAH和△BCF中，，∴△BAH≌△BCF，∴AH=CF，BH=BF，∵∠FBH=90°，∴△BFH是等腰直角三角形，∴FH=BF，∵FH=AH﹣AF=CF﹣AF，∴CF﹣AF=BF．②如图③中，结论：CF+AF=BF．理由：作BH⊥BF交AF于H．∵∠ABC=∠FBH，∴∠FBC=∠ABH，∵∠AFC=∠ABC=90°，∴∠BCF+∠BAF=180°，∵∠BAF+∠BAH=180°∴∠BCF=∠BAH，在△BAH和△BCF中，，∴△BAH≌△BCF，∴AH=CF，BH=BF，∵∠FBH=90°，∴△BFH是等腰直角三角形，∴FH=BF，∵FH=AH+AF=CF+AF，∴CF+AF=BF．。
三角形的性质习题
三角形的性质一、选择题1．一个三角形的三个内角中（）A 、至少有一个钝角B 、至少有一个直角C 、至多有一个锐角 D、至少有两个锐角2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A、 3，4，8B、 5，6，11C、 1，2，3D、 5，6，103．关于三角形的边的叙述正确的是（）A、三边互不相等B、至少有两边相等C、任意两边之和一定大于第三边D、最多有两边相等4．图中有三角形的个数为（）A、 4个B、 6个C、 8个D、 10个5. 如图在△ABC中，∠ACB=900，CD是边AB上的高。
那么图中与∠A相等的角是（）A、∠BB、∠ACDC、∠BCDD、∠BDC6．下列图形中具有稳定性有（）A、 2个B、 3个C、 4个D、 5个7．一个多边形的内角和等于它的外角和，这个多边形是（）A 、三角形 B、四边形 C、五边形 D、六边形8．一个多边形内角和是10800，则这个多边形的边数为（）A、 6B、 7C、 8D、 9二、填空题9．一个三角形有条边，个内角，个顶点，个外角10．如图，图中有个三角形，把它们用符号分别表示为 _11．长为11，8，6，4的四根木条，选其中三根组成三角形有种选法，它们分别是12．如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，则根据图形填空：⑴BE= =；⑵∠BAD= =⑶∠AFB= =900；13．在△ABC中，若∠A=800，∠C=200，则∠B=0，若∠A=800，∠B=∠C，则∠C=0 14．已知△ABC的三个内角的度数之比∠A：∠B：∠C=1：3：5，则∠B=0，∠C=015．如图，在△ABC中，∠BAC=600，∠B=450，AD是△ABC的一条角平分线，则∠DAC=0，∠ADB=016．十边形的外角和是0；如果十边形的各个内角都相等，那么它的一个内角是017．如图，∠1=∠2=300，∠3=∠4，∠A=800，则，三、解下列各题18．求出下列图中的值：19．一个多边形的外角和是内角和的，求这个多边形的边数20．在△ABC中，∠A=∠C=∠ABC， BD是角平分线，求∠A及∠BDC的度数21.如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，∠A=1000，求的值。
八上数学每日一练：直角三角形的性质练习题及答案_2020年解答题版
八上数学每日一练：直角三角形的性质练习题及答案_2020年解答题版答案解析答案解析答案解析答案解析2020年八上数学：图形的性质_三角形_直角三角形的性质练习题1.(2019双台子.八上期末) 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，BE 交AD 于点F ，交AC 于点E ，若BE平分∠ABC ，试判断△AEF 的形状，并说明理由.考点： 角的平分线;直角三角形的性质;等腰三角形的判定;2.(2019榆树.八上期末) 如图所示，一辆卡车装满货物后，高4m ， 宽3m ， 这辆卡车能通过横截面积如图（上方为半圆）的隧道吗？为什么？考点： 直角三角形的性质;勾股定理;3.(2018长春.八上期末) 已知直角三角形的斜边为2，周长为 ，求这个直角三角形的面积.考点： 直角三角形的性质;勾股定理;4.(2018长春.八上期末) 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝8，BC ＝6，点D 为AC 边上的动点，点D 从点C 出发，沿边CA 向点A运动，当运动到点A 时停止，若设点D 运动的时间为t 秒．点D 运动的速度为每秒1个单位长度．（1） 当t ＝2时，CD ＝ ， AD ＝ ；（2） 求当t 为何值时，△CBD 是直角三角形，说明理由；（3） 求当t 为何值时，△CBD 是以BD 或CD 为底的等腰三角形？并说明理由．考点： 直角三角形的性质;等腰三角形的判定与性质;勾股定理;5.(2018云南.八上期末)如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边AB 为边作等边，连接DC ，以DC 当边作等边、 E 在C 、D 的同侧，若 ，求BE 的长．考点：直角三角形的性质;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;答案解析2020年八上数学：图形的性质_三角形_直角三角形的性质练习题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：。
八年级数学上册含30°角直角三角形性质习题新版新人教版
16．已知∠DAB＝120°，AC平分∠DAB，∠B＋∠D＝180°. (1)如图①，当∠B＝∠D时，求证：AB＋AD＝AC； (2)如图②，当∠B≠∠D时，(1)中的结论D＝180°，∠B＝∠D，得∠B＝∠D＝90°，由已知 得∠CAB＝∠CAD＝60°，∴∠ACB＝∠ACD＝30°，∴AB＝12AC，AD ＝12AC，∴AB＋AD＝AC (2)仍然成立．理由：过 C 作 CE⊥AB 延长线于 E，作 CF⊥AD 于 F.由角 平分线的性质知 CE＝CF，可证∠CBE＝∠D，由 AAS 可证△CBE≌△ CDF，∴BE＝DF.由(1)可知 AE＋AF＝AC，∴AB＋BE＋AD－DF＝A所示叠放在一起，若AB＝12 cm，则阴影部分 的面积是_1_8__cm2.
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，量关系．并说明理由．
解：BC＝3AD.理由：易证∠B＝∠BAD＝∠C＝30°， ∴AD＝BD，CD＝2AD，C 于 D，在 Rt△ABD 中，∠B＝30°，AB＝200，∴ AD＝12AB＝100 千米．由题意知，受台风影响范围的半径为 20×(12－ 4)＝160(千米)，∵AD＝100 千米＜160 千米，∴A 市将受到台风影响 (2)当台风中心位于 D 处时，A 市所受风力最大，其风力为 害，如图，气象部门观测到距A市正北方向200千 米的B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，该台风中心正以18千米 /时的速度沿直线向C移动，且台风中心风力不变．已知每远离台风中心 20千米，风力就减弱一级，若A市所受风力不到4级，则称不受台风影 响．根据以上信息回答下列问题： (1)A市是否会受到这次台风影响？说明理由． (2)若A市受∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点P是BC 边上的动点，则AP长不可能是( D ) A．3.5 B．4.2 C．5.8 D．7
直角三角形的性质和判定（教案练习）
1.2.2直角三角形的性质与判定练习题一、选择题1.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以到达该建筑物的最大高度是( )A.12米B.13米C.14米D.15米2.如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米.则小明到达的终止点与原出发点的距离是( )A.90米B.100米C.120米D.150米3.在长、宽、高分别为12 cm、4 cm、3 cm的木箱中，放一根木棒，能放进去的木棒的最大长度为( )A.5 cmB.12 cmC.13 cmD.153 cm4.如图，一个高1.5米，宽3.6米的大门，需要在相对的顶点间用一条木板加固，则这条木板的长度是( )A.3.8米B.3.9米C.4米D.4.4米5.如图，是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A．5≤a≤12 B．5≤a≤13 C．12≤a≤13 D．12≤a≤156.为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（）A．0.7米B．0.8米C．0.9米D．1.0米7.一根旗杆在离地面12米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部5米处．旗杆折断之前有米．A．23米B．15米C．25米D．22米8.如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，则水是（）尺．A．3.5 B．4 C．4.5 D．5二、填空题9.如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200 m，结果他在水中实际游了520 m，该河流的宽度为__________m.10.如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm，若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为________cm.11.如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长则不超过米。
八下第1章直角三角形1-2直角三角形的性质和判定Ⅱ第3课时勾股定理的几何应用习题新版湘教版
∴(m＋n)2－(m2＋n2)＝10－ .
整理得2mn＝ ，即mn＝ .
易知题图②中的阴影部分为直角三角形，其两直角边
的长分别为 ＋ ＝ m， ＋ ＝ n，
∴题图②阴影部分的面积为 × m× n＝mn＝ .
利用勾股定理探求最小值
9. [新考法 类比]如图，C为线段BD上一动点，分别过点B，
90°，有一个锐角为60°，AB＝6，若点P在直线AB上(不与
点A，B重合)，且∠PCB＝30°，则AP的长为
，9或3
.
【点拨】
题中60°的锐角可能是∠CAB，也可能是∠CBA；
∠PCB＝30°可以分为点P在线段AB上和点P在线段AB的延长
线上两种情况.
8. [2022·丽水 新考法·条件变式法]如图，分别以a，b，m，n
∴ (m＋n)(m＋n)＝5.
∴(m＋n)2＝10.
∵am－bn＝2，an＋bm＝4，
∴将两式分别平方并整理可得a2m2－2abmn＋b2n2＝4
①，a2n2＋2abmn＋b2m2＝16②.
①＋②整理得(a2＋b2)(m2＋n2)＝20.
2
2
2
2
∵a ＋b ＝3，∴m ＋n ＝ .
2
∵(m＋n) ＝10.
1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)
第3课时 勾股定理的集合应用
名师点金
在数轴上作出表示 的点的步骤
第一步：利用勾股定理画出长为 的线段；
第二步：在数轴上以原点为圆心，以长为 的线段长为半径
画弧与数轴的正方向相交，交点即为所求的点.
直角三角形的性质习题
直⾓三⾓形的性质习题)(1) 直⾓三⾓形的性质（⼀）1．在直⾓三⾓形ABC中，∠ACB=90度，CD是AB边上中线，若CD=5cm,则AB=_____三⾓形ABC的⾯积=____________ 2.在直⾓三⾓形ABC中，∠ACB=90度，CD是AB边上中线，图中有__________等腰三⾓形.3．如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E分别是BC、AC的中点，AB=6，求DE的长。
{4.已知：四边形ABCD中，∠ABC= ∠ADC=90度，E、F分别是AC、BD的中点。
(求证：EF⊥BD—1、如图，在△ABC中，∠B= 2∠C，点D在 BC 边上，且AD ⊥AC.求证：CD=2AB…E:（2）直⾓三⾓形性质（⼆）1、在直⾓三⾓形ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=10，则AB=________.2、顶⾓为30度的等腰三⾓形，若腰长为2，则腰上的⾼__________，三⾓形⾯积是________3、等腰三⾓形顶⾓为120°，底边上的⾼为3，则腰长为_________4、三⾓形ABC 中，AB=AC=6，∠B=30°，则BC 边上的⾼AD=_______________5、 Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=15°，AB 的垂直平分线交AC 于D,AB 于E,求证AD=2BC. ^]6、已知：△ABC 中,AB=AC ，∠B=30°，AD ⊥AB ，求证：2DC=BD《7.如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A=60 °，EF 是AB 的垂直平分线，判断CE 与BE 之间的关系—D ACBADE C（（3）直⾓三⾓形的性质(三)1.在直⾓三⾓形中，有⼀个锐⾓为52度，那么另⼀个锐⾓度数为；2、在直⾓三⾓形中，斜边及其中线之和为6，那么该三⾓形的斜边长为________．3、在△ABC中，∠ACB=90 °，CE是AB边上的中线，那么与CE相等的线段有_________，与∠A相等的⾓有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________．!4、已知：∠ABC=∠ADC=90 度，E是AC中点。
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19.8 (1) 直角三角形的性质（一）
1．在直角三角形ABC中，∠ACB=90度，CD是AB边上中线，若CD=5cm,则AB=_____ 三角形ABC的面积=____________
2.在直角三角形ABC中，∠ACB=90度，CD是AB边上中线，图中有__________等
腰三角形.
3．如图，在△ABC中，∠B=∠C，D、E分别是BC、AC的中点，AB=6，求DE的长。
4.
已知：四边形ABCD中，∠ABC= ∠ADC=90度，
E、F分别是AC、BD的中点。
求证：EF⊥BD
1、如图，在△ABC中，∠B= 2∠C，点D在BC 边上，
且AD ⊥AC.
求证：CD=2AB
19.8（2）直角三角形性质（二）
E
1、 在直角三角形ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=10，则AB=________.
2、 顶角为30度的等腰三角形，若腰长为2，则腰上的高__________，三角形面积是
________
3、 等腰三角形顶角为120°，底边上的高为3，则腰长为_________
4、 三角形ABC 中，AB=AC=6，∠B=30°，则BC 边上的高AD=_______________
5、 Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=15°，AB 的垂直平分线交AC 于D,AB 于E,
求证AD=2BC.
6、 已知：△ABC 中,AB=AC ，∠B=30°，AD ⊥AB ，
求证：2DC=BD
7.如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A=60 °，EF 是AB 的垂直平分线，判断CE 与BE 之间的关系
19.8（3）直角三角形的性质(三)
D
A
C
B
A
E
F
C
B
A
1.在直角三角形中，有一个锐角为52度，那么另一个锐角度数为 ；
2、在直角三角形中，斜边及其中线之和为6，那么该三角形的斜边长为________．
3、在△ABC 中， ∠ACB=90 °，CE 是AB 边上的中线，那么与CE 相等的线段有_________，与∠A 相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________．
4、已知：∠ABC=∠ADC=90 度，E 是AC 中点。
求证：（1）ED=EB （2）图中有哪些等腰三角形？
5、如图，AB 、CD 交与点O,且BD=BO ，CA=CO ，E 、F 、M 分别是OD 、OA 、BC 的中点。
求证：ME=MF.
6、在等边三角形ABC 中，点D 、EF 分别在AB 、AC 边上，AD=CE ，CD 与BE 交与F, DG ⊥BE 。
求证：（1）BE=CD;(2)DF=2GF
M
F
E D C B A
G E
F
D
C
B
A。