初二等腰三角形讲义

精锐教育学科教师辅导

学员编号： 年 级： 初二 课时数：3课时 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：

课 题 等腰三角形

教学目的 1、 熟练掌握等腰三角形的性质和判定

2、 熟练等腰三角形“三线合一”的性质

3、 会运用性质和判定解决实际问题

重点、难点

重点：等腰三角形的性质

难点：“三线合一”的应用

教学内容

基础知识巩固：

1．等腰三角形定义：

2．等腰三角形的性质：

3．等腰三角形的判定：

A

B

C

【知识点简单运用】

例1、 如图，在△ABC 中，AC AB =，D 在AC 上，且,BD BC AD ==求△ABC 各角的度数。

练习：1、如图△ABC 是等腰直角三角形（AB=AC,∠BAC=90°），AD 是底边BC 上的高，标出∠B ，∠C ，∠BAD ，∠DAC 的度数，图中有哪些相等的线段？

2、如图，在△ABC 中，AB=AD=DC ，∠BAD=26°.求∠B 和∠C 的度数。

例2：求证：如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。 （写出已知和求证，画出图形）

随堂练习：

1．如图1，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC=_____°

（1）（2）

2．如图2，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=________度．

3.等腰△ABC的底边BC=8cm，腰长AB=5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，

当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P•运动的时间应为________．

动手操作：

拿出一张类似于如图（1）的矩形纸张，按照虚线对折如图（2），按（3）中的线段剪开，得到图形（4），DE、DF分别是边AC、BC上的高线，观察DF与DE的关系，并给予证明。

（1）（2）（3）（4）（5）

如果DE 、DF 是两边上的中线或者是∠ADC ，∠BDC 的平分线，它们还相等吗？

【例题经典】

根据等腰三角形的性质寻求规律 例1．在△ABC 中，AB=AC ，∠1=12∠ABC ，∠2=12

∠ACB ，BD 与CE 相交于点O ，如图，∠BOC 的大小与∠A 的大小有什么关系？ 若∠1=

13∠ABC ，∠2=1

3∠ACB ，则∠BOC 与∠A 大小关系如何？ 若∠1=1n ∠ABC ，∠2=1

n

∠ACB ，则∠BOC 与∠A 大小关系如何？

【分析】在上述条件由特殊到一般的变化过程中， 根据等腰三角形的性质，∠1=∠2，∠ABD=∠ACE ， 即可得到∠1=12∠ABC ，∠2=12∠ACB 时，∠BOC=90°+1

2

∠A ； ∠1=

13∠ABC ，∠2=13∠ACB 时，∠BOC=120°+1

3∠A ； ∠1=1n ∠ABC ，∠2=1n ∠ACB 时，∠BOC=1n n

·180°+∠A ．

【点评】在例1图中，若AE=1n AB ，AD=1

n

AC ．类似上题方法同样可证得BD=CE ．•上述规律仍然存在．

练习：如图，在下列三角形中若AB=AC ，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是 。

A

A

A A

B B B

C C C 36°

45° 90° 108°

会用等腰三角形的判定和性质计算与证明

例2．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD•将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．

【分析】要分AB+AD=15，CD+BC=6和AB+AD=6，CD+BC=15两种情况

讨论．

练习：1、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=20•°，且AE=•AD，则∠CDE=________．

2、同学们都玩过跷跷板的游戏．如图11所示，•是一跷跷板的示意图，立柱OC 与地面垂直，OA=OB ．当跷跷板的一头A 着地时，∠OAC=25°，•则当跷跷板的另一头B 着地时，∠AOA ′等于（ ） A ．25° B ．50° C ．60° D ．130° 利用等腰三角形的性质证线段或角相等

例3．如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PA 、PB 、PC ，•以BP 为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP ，连结CQ ．

（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．

（2）若PA ：PB ：PC=3：4：5，连结PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由．

【分析】（1）把△ABP 绕点B 顺时针旋转60°即可得到△CBQ ．•利用等边三角形的性质证△ABP ≌△CBQ ，得到AP=CQ ．（2）连接PQ ，则△PBQ 是等边三角形．PQ=PB ，AP=CQ 故CQ ：PQ ：PC=PA ：PB ：PC=3：4：5，∴△PQC 是直角三角形．

【点评】利用等边三角形性质、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知识点完成此题的证明．

练习：已知：如图所示，ACB ABC ∠∠,的平分线交于F ，过F 作,//BC DE 交AB 于D ，交AC 于E ．求证：

DE EC BD =+．

A

E

F

D

例：如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，BP ⊥AD 于P ，AB=5，BP=2，AC=9。求证：∠ABP=2∠ACB 。

练习：1、如图，△ABC 中，D 、E 分别是AC 、AB 上的点，BD 与CE 交于点O ，•给出下列三个条件：①∠EBO=∠DCO ；②∠BEO=∠CDO ；③BE=CD ．

（1）上述三个条件中，哪两个条件可判定△ABC 是等腰三角形（用序号写出所有情形）； （2）选择第（1）小题中的一种情况，证明△ABC 是等腰三角形．

2、如图，AD=BC ，AC=BD ，求证△EAB 是等腰三角形。

A

P D

C

B