矩阵同时上三角化和同时对角化-精品文档资料(精品文档)_共3页
矩阵同时对角化
， ＝ 若Ａ Ｅ则 称 Ａ 为 酉 矩 阵 ；
理 论 的 理 解 和 认 识 ， 而 对 于 深 化 高 等 代 数 或 线 性 代 数 的学 习 及 问 题 从
则称 Ａ 矩 阵 ＱＱ Ｐ ， （田 Ｑ＝
Ａ
，
而 Ｑ （ Ｑ Ｑ Ｅ Ｅ Ｐ ＝ Ｑ＝
可 相 似对 角 化 。
Ａ
，
定 义 ２ ｛ 阵 Ａ， ∈Ｐ 若 存 在 Ｉ阶 可 逆 矩 阵 使 Ｐ：Ｐ Ｂ， 殳矩 Ｂ ， ｔ ４ ＝ 则 记 Ｔ Ｐ 则 可 逆 ， ＝Ｑ 且 称 Ａ合 同 于 Ｂ。若 Ｂ为 对 角 阵 ，即 曰 ＝ Ａ ２ 则称 Ａ
的解 决 是 有 益 的 。
（） Ａ∈ ３设 若Ａ ＝ 则 称 为 正 规 阵 。 ＡＡ ３２两 个 矩 阵 同时 对 角 化 的 矩 阵类 ． 定 理 １ 设 Ａ ， 为 ｎ阶 实 对 称 矩 阵 ， Ａ 为 正 定 矩 阵 ， Ａ． 可 且 则
同时 对 角 化 。
化 的矩 阵类 ， 一 步 研 究 了两 个 矩 阵 同时 对 角 化 的 条 件 ， 到 了一 些 结 果 。 进 得
【 关键词 】 矩阵 ； 对角化 ； 同时对角化
Ｍ ａ ｒｃ ｓ ｔ ｉ ｅ ’ｏ ｐ ｓ ｔ ｎｇ ｅ ｓｍ ｕ ｔ ｎｅ ｕ ｌ ｐ ｏ ｉｅ ａ ｌ ｉ ｌａ ｏ ｓ ｙ
证 明 ： 为 Ａ 为 ｎ阶 实 对 称 半 正 定 方 阵 ， 以存 在 ｎ阶 实 可 逆 矩 因 所
Ａ
满 足 Ａ＝ 则 存 在 Ｉ阶 正 交 矩 阵 Ｐ． Ｐ Ａ ｔ 使
矩阵交换性的应用（二）：同时对角化
矩阵交换性的应用（二）：同时对角化矩阵交换性的应用(二)1.设和都是维线性空间的线性变换，如果的个特征值互异，则的充要条件是的特征向量也是的特征向量.证明：充分性：若的特征向量也是的特征向量.那么取一组基使得：在这组基下的矩阵为对角阵，由于前提，所以在这组基下的矩阵也是对角阵，因此,所以可交换.必要性：由于的特征值互异，因此可对角化，设其在某一组基下的矩阵式是角阵,记在这组基下的矩阵为,因此有：但是由于的个特征值互异，我们将具体写出来和相乘，简单验证就会发现必须是对角阵，因此结论得证.2.设,且,且都可对角化，证明存在可逆矩阵使得同时为对角阵.证明：由于可对角化，因此存在可逆矩阵使得：而由于可对角化，因此它的所有初等因子都是一阶的，因此存在可逆阵使得,令为：所以：这时取：可逆，且：故可同时对角化！推论：设均为阶实对称阵. 证明:有阶正交阵 , 使与同时为对角矩阵的充分必要条件是 .练习1：设与是实正定矩阵,证明: 是正定矩阵的充要条件时.练习2：若都是复数域上的阶方阵，且(k为某个正整数)，则存在可逆矩阵使得,同时为对角阵.习题训练：目录●数分训练（一）解答及（二）预告●每日一题：数分训练（二）：上下极限●数分训练（三）：一道三角函数题目●数分训练（四）：数列与级数训练●数分训练（五）：定积分定义处理问题●数分训练（六）：一道中值定理的渐进形态●高代训练（一）：有限不覆盖定理●数分训练（八）：一道积分不等式●数分训练（九）：反正切函数的裂项●(十)：高代训练：迹的基本应用●（十一）：高代训练：正定矩阵习题●高代训练：矩阵交换性的应用（一）●Problem13：一道矩阵方程与特征多项式的关系。
线性代数课件4-1矩阵的对角化
对于$lambda_2 = lambda_3 = 3$，解方程 组$(B - 3I)X = 0$得特征向量$beta_2 = (0, 1,
0)^T, beta_3 = (4, 0, 1)^T$。
对于$lambda_1 = 2$，解方程组$(B - 2I)X = 0$得特征向量$beta_1 = (0, -4, 1)^T$。
通过相似变换，将线性方程组的系数矩阵转换为对角矩 阵，从而简化方程组的形式。
简化后的方程组求解
对角化后的方程组具有更简单的形式，可以直接求解各 个未知数。
提高线性方程组求解效率
减少计算量
通过对角化，可以避免对原始系数矩阵 进行复杂的运算，从而减少计算量。
VS
并行计算
对角化后的方程组可以方便地进行并行计 算，进一步提高求解效率。
02
性质
03
反身性：$A sim A$（任何矩阵都与自身相似）。
04
对称性：若$A sim B$，则$B sim A$。
05
传递性：若$A sim B$且$B sim C$，则$A sim C$。
06
相似矩阵具有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。
相似对角化条件与方法
01
条件
02
$n$阶矩阵$A$可对角化的充分必要条件是$A$有$n$个线性 无关的特征向量。
Jordan标准型概念及性质
Jordan标准型定义：对于n阶方阵A，如果存在一个可逆 矩阵P，使得$P^{-1}AP$为Jordan矩阵，则称A为 Jordan可约的，对应的Jordan矩阵称为A的Jordan标准 型。 性质
矩阵同时对角化_赵俊锋
λ １
λ １
λ ２ " λ ｎ
& ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’(
λ ２ " λ ｒ " ０
阵 Ｐ ， 使 Ｐ－ １ＡＰ＝
， 其中 λ ｉ（ｉ＝１，２， … ，ｎ）为 Ａ 的特征值。 推论 ｎ 阶实对称矩阵可正交合同对角化。 定理 ２ 幂等矩阵 （Ａ＝Ａ２）一定可以对角化。 定理 ３ 任一正规矩阵 Ｎ 必酉相似于对角矩阵
# ) ) ) ) ) ) ) %
,ｎ ＝ｎ，由定理 １ 知 ， 存 在
ｉ ｉ ＝ １
λ １ Ｅｎ
１
ｎ 阶正交矩阵 Ｐ ， 使 Ｐ＇ ＡＰ＝
λ ２ Ｅｎ
２
"
λ ｓ Ｅｎ
ｓ
& ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ (
， 作 Ｐ＇ ＢＰ， 下
３． 主要内容
３．１ 有关概念 ｎ 定 义 １ 设 矩 阵 Ａ，Ｂ∈Ｐｎ× ， 若 存 在 ｎ 阶 可 逆 矩 阵 Ｐ， 使 Ｐ － １ＡＰ、 Ｐ － １ＢＰ
１． 前言
在当代社会 ， 数学已经成为现代文化的重要组成部分。在高等代 在矩阵理论、 二次型及线 数或线性代数中 ， 矩阵对角化占有重要地位。 性变换等问题上矩阵对角化有广泛的应用。 它是高等代数研究的主要 内容 ， 也是理论体系最完善的一部分。单个矩阵对角化的问题已在高 等代数或线性代数教材中有了系统的讨论。 本文主要讨论两个或多个 矩阵对角化问题 ， 探 讨 一 部 分 同 时 对 角 化 的 矩 阵 类 ， 进 而 加 深 对 矩 阵 理论的理解和认识 ， 从而对于深化高等代数或线性代数的学习及问题 的解决是有益的。
证 Ｐ＇ ＢＰ 是分块对角阵 ， 将 Ｐ＇ ＢＰ 分块为
５３０
科技信息
矩阵对角化方法
矩阵对角化方法矩阵对角化方法摘要：本文给出了一种不同于传统方法的矩阵对角化方法，利用矩阵的初等变换，先求出矩阵的特征根与特征向量，接着再判断矩阵是否可对角化。
关键词：矩阵特征根特征向量对角化The Methods of the Diagonalization of the MatrixgAbstract: In this paper, the method of the diagonalization of the matrix is given, which is different from the traditional methods. According to using the elementary transformation of the matrix, first of all, The author obtains the characteristic roots and the characteristic vectors, then judge the diagonalization of the matrix.Key words: Matrix; Characteristic roots; Characteristic vectors; Diagonalization1、引言对角化后的矩阵在计算和应用等方面比一般矩阵更具优越性，而矩阵对角化方法有很多，如对于对称矩阵可以将其看成二次型所对应的矩阵，通过配方法将其化为标准形从而实现矩阵的对角化，再如通过求解特征根和特征向量方法，首先求解0||=-A E λ得特征根i λ，然后对每一个i λ，解方程组0)(=-X A E i λ得特征向量，即寻找一个可逆矩阵T ，使得Λ=-AT T 1,其中Λ为对角阵，于是可得1-Λ=T T A ，从而1-Λ=T T A n n , 在这个对角化过程中，Λ中的元素即为矩阵A 的特征根，T 中每个列向量即为矩阵A 的属于每个特征根的特征向量。
高等代数--第四章 矩阵的对角化
它的基础(jīchǔ)解系是
3
1
6
20
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k 属于 1 的全部(quánbù)特征向量就是1 1 ，
k1 0
第二十一页，共129页。
把特征值 -2 代入, 得到(dé dào)齐次方程组
5x1 x2 0, 4x1 x2 0, 4x1 8x2 0,
它的基础(jīchǔ)解系是
B P1AP
则称矩阵A 相似于矩阵B.
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相似矩阵的性质(xìngzhì)
反身性: 矩阵 A与自己相似
对称性: A相似于 B, 则B也相似于 A
传递性: A相似于B, B相似于C, 则A相
似于 C
若A相似于B, 则它们(tā men)的行列式相等
如果 A可逆, 且A相似于B, 则B可逆, 它们
的逆
A也1 , 相B似1 .
第四页，共129页。
§2特征值与特征向量
矩阵(jǔ zhèn)特征值、特征向量的定义 特征值、特征向量的性质 特征值、特征向量的求法 特征值、特征向量再讨论
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特征值与特征向量的定义(dìngyì)
定义 2: (dìngyì) 设 A 是 n 阶矩阵, 如果存在
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的特征向量。这样，我们也就求出了属于每个特征值 的全部(quánbù)线性无关的特征向量.
矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值， 而相应的线性方程组(3)的解也就称为A的属于这个特
征值的特征向量。
第十七页，共129页。
例2
3 1 0
A
4
1
0
4 8 2
求 A 的特征值与特征向量.
两个矩阵同时对角化
两个矩阵同时对角化的条件陈现平,王文省Ξ(聊城大学数学科学学院,山东聊城 252059)[摘 要]给出两个矩阵同时合同对角化与同时相似对角化的一些条件.[关键词]矩阵;实对称矩阵;正定矩阵;同时对角化[中图分类号]O151.21 [文献标识码]A [文章编号]1004-7077(2005)02-0011-03 在高等代数或线性代数中,矩阵对角化占有重要地位.在矩阵理论、二次型及线性变换等问题上有广泛的应用.单个矩阵对角化的问题已在高等代数或线性代数教材中有系统的讨论.然而,经常遇到两个矩阵同时相似对角化或同时合同对角化的问题.本文主要给出两个矩阵同时合同对角化与同时相似对角化的充分或充要条件.这些对于深化高等代数或线性代数的学习及问题的解决是非常有益的.1 两个矩阵同时合同对角化对于两个实对称矩阵,可有如下的同时合同对角化的条件.定理1[5] 设A ,B 为n 阶实对称方阵,且A 正定,则存在实可逆矩阵P ,使P TA P =E ,P TB P =diag (λ1,…,λn )其中λi ∈R ,i =1,…n.定理2[1] 设A ,B 为n 阶实对称半正定方阵,则存在n 阶实可逆矩阵P ,使P T A P 与P T B P 同时为对角矩阵.定理3 设A ,B 为n 阶实对称方阵,且B 可逆,B -1A 有n 个互异的特征根,则存在可逆阵P ,使P TA P 与P TB P 同时为对角矩阵.证明 设λ1,…,λn 为B -1A 的n 个互异的特征根,对应的特征向量为α1,…,αn ,即B-1A αi =λi αi ,i =1,…,n.由于α1,…,αn 线性无关,故P =(α1,…,αn )可逆,且B -1A P =Pdiag (λ1,…,λn ),即A P =B Pdiag (λ1,…,λn )上式两端左乘P T 得P TA P =P TB Pdiag (λ1,…,λn )而P T A P 为对称的,故P TB Pdiag (λ1,…,λn )=diag (λ1,…,λn )P TB P又λ1,…,λn 互异,不防设P T B P =diag (b 1,…,b n ),于是有P TA P =diag (b 1,…,b n )diag (λ1,…,λn )=diag (b 1λ1,…,b n λn )可得结论成立.定理4 设A ,B 为n 阶实对称矩阵,则存在正交矩阵Q ,使Q T AQ 与Q T BQ 同为对角矩阵·11·Ξ[收稿日期]2004-12-20[作者简介]陈现平(1976-),男,山东临朐人,聊城大学数学科学学院讲师,主要从事最优化理论与算法研究.2005年4月第22卷 第2期枣庄学院学报JOURNA L OF Z AOZHUANG UNIVERSITY Apr.2005V ol.22NO.2的充要条件为AB =BA.证明 必要性.设Q T AQ =diag (λ1,…,λn ),Q TBQ =diag (μ1,…,μn ),则有Q T ABQ =diag (λ1μ1,…,λn μn )=Q TBAQ由Q 为正交矩阵有AB =BA.充分性.由A 为实对称矩阵,则存在正交矩阵P ,使得P T A P =diag (λ1E n 1,λ2E n 2,…,λs E n s)其中λ1,…,λs 互异,n 1+…+n s =n.由AB =BA 有(P TA P )(P TB P )=(P T B P )(P TA P ),故P TB P =diag (B n 1,B n 2,…,B n s)其中B n i 为n i 阶实对称方阵.而B 为实对称矩阵,可对角化.故B n i 也可对角化,即存在正交矩阵R n i 使得R Tn i B n i R n i (i =1,…,s )为对角矩阵.令Q =Pdiag (R n 1,R n 2,…,R n s)则Q 为正交矩阵,且使得Q T AQ 与Q T BQ 同为对角矩阵.2 两个矩阵同时相似对角化对于一般的两个矩阵,若A ,B 可交换且满足一定条件,则A ,B 可同时相似对角化.定理5[6] 设矩阵A ,B ∈F n ×n ,A ,B 均可相似对角化,且A 的特征值相等,则A ,B 可同时相似对角化.定理6 设A ,B ∈F n ×n ,且A 在F 中有n 个不同的特征值,AB =BA ,则存在可逆矩阵P ∈F n ×n ,使P -1A P ,P -1B P 同时为对角阵.证明 由A 在F 中有n 个不同的特征值,则存在可逆矩阵P ,使得P -1A P =diag (λ1,…,λn ).其中λ1,…,λn 为A 的n 个不同的特征值.由AB =BA 有(P -1A P )(P -1B P )=(P -1B P )(P -1A P )从而P -1B P 为对角阵,即结论成立.定理7 设A ,B ∈F n ×n ,且A ,B 均相似于对角矩阵,则存在可逆矩阵P ∈F n ×n ,使P -1A P ,P -1B P 同时为对角阵的充要条件为AB =BA.证明 与定理4类似.由矩阵相似于对角矩阵与初等因子,最小多项式的关系,有如下推论.推论1 设A ,B ∈F n ×n ,且AB =BA ,A ,B 的初等因子全为一次的,则A ,B 可同时相似于对角阵.推论2 设A ,B ∈F n ×n ,且AB =BA ,A ,B 的最小多项式无重根,则A ,B 可同时相似于对角阵.由于幂等矩阵,对合矩阵可相似对角化,故推论3 设A ,B ∈F n ×n ,且A 2=A ,B 2=B ,AB =BA ,则A ,B 可同时相似于对角阵.推论4 设A ,B ∈F n ×n ,且A 2=B 2=E ,AB =BA ,则A ,B 可同时相似于对角阵.推论5 设A ,B ∈C n ×n ,且A k =B k =E ,AB =BA ,其中k 为正整数,则A ,B 可同时相似于对角阵.推论6 设A ∈F n ×n ,且A 可对角化,A 3表示A 的伴随矩阵,则A ,A 3可同时相似于对角阵.证明 设存在可逆矩阵P ,使得P -1A P =diag (λ1,…,λn ),利用(AB )3=B 3A3有P 3A3(P -1)3=diag (λ1,…,λn )3又AA 3=A 3A ,故由定理7,结论成立.推论7 设A ∈F n ×n ,且A ±B =AB ,A ,B 相似于对角阵,则A ,B 可同时相似于对角阵.证明 只证A +B =AB 时结论成立,对A -B =AB 类似可证.由A +B =AB 有AB -A -B +E =E ,即(A -E )(B -E )=E ,故(A -E )-1=B - E.·21·枣庄学院学报2005年第2期于是E =(B -E )(A -E )=BA -B -A +E由此可得BA =A +B ,故AB =BA ,由定理7可证.对于一般的可交换的两个矩阵A ,B ,则有如下结论.定理8 设A ,B ∈F n ×n ,且A ,B 的特征值都在F 中,AB =BA ,则存在可逆矩阵T ∈F n ×n ,使得T -1A T ,T -1B T 同时为上三角阵.证明 对矩阵阶数n 用数学归纳法.当n =1时,结论显然成立.假设结论对n -1阶矩阵成立.由于AB =BA ,故A ,B 有公共的特征向量([4]),设为α1,将其扩充为F n 的一组基α1,…,αn ,令Q =(α1,…,αn )则Q 可逆,且Q -1AQ =λ1 α0 A 1,Q -1BQ =μ1 β0 B 1,由AB =BA ,可得A 1B 1=B 1A 1,由归纳假设,存在n -1阶可逆矩阵Q 1,使Q 1-1A 1Q 1,Q 1-1B 1Q 1同时为上三角矩阵,令T =Q1 00 Q 1则T -1A T ,T -1B T 同时为上三角阵.从而结论成立.参考文献[1]张锦川.实与复方阵的相合标准形和同时对角化[J ].泉州师范学院学报,2002,20(2):21-25.[2]徐利治,等.大学数学解题法诠释[M].合肥:安徽教育出版社,1999.[3]王品超.高等代数新方法(下册)[M].徐州:中国矿业大学出版社,2003.[4]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数(第二版)[M].北京:高等教育出版社,1988.[5]王文省,等.高等代数[M].济南:山东大学出版社,2004.[6]夏璇.二个矩阵同时对角化[J ].南昌航空工业学院学报(自然科学版),2003,17(3):26-32.The Conditions of Simultaneous Diagonalization of Tw o MatricesCHE N X ian -ping ,W ANG Wen -sheng(School of Mathematical Science ,Liaocheng University ,Liaocheng 252059,China )Abstract :The conditions of simultaneous diag onalization of tw o matrices are given.K ey w ords :matrix ;symmetric real matrix ;positive definite matrix ;simultaneous diag onalization·31·陈现平,王文省 两个矩阵同时对角化的条件。
第三章矩阵对角化、若当标准型讲解
证明因为 正定，故由推论2存在可逆阵 ，使得 。由定理9的证明知 为 的特征值，故 ，使得
取 ，则
而
推论4设 是 阶埃尔米特二次型， 是 阶正定埃尔米特二次型，则存在可逆线性变换 ，使得
其中 为 相对于 的广义特征值。
四、瑞利（Rayleigh）商
在讨论埃尔米特二次型的范围和矩阵特征值的摄动（即矩阵有微小改变时，对应特征值的改变）问题中，瑞利商有一定的应用，在此对瑞利商概念做简单介绍。
一、埃尔米特矩阵
定理1设 ，则
（1） 酉相似于对角线上都是 的特征值的对角阵，且 的特征值都是实数。
（2）若 ，则 与矩阵 合同（称 为 的正惯性指数， 为 的负惯性指数）。
证明（1）由本章§1定理6及推论7即得。
（2）因为 为正规阵，所以 ，使得
不妨设 ，其中 ，则
其中对角阵
，
记 ，则 ，且
由上述证明可得出埃尔米特矩阵 的正、负惯性指数即为 的正、负特征值的个数，从而 的惯性指数唯一确定，是合同变换下的不变量。
定义2设 为 阶 矩阵，称 的所有 阶子式的首1（最高次项系数为1）最大公因子为 的 阶行列式因子，记为 ，显然 ， 为常数，规定 。
例1设 行列式因子。
解 。
的1阶子式为 ，所以 。
的2阶子式为 ，所以 。
的3阶子式为 ，所以 。
命题1设 为 阶 矩阵， 为 的 阶行列式因子，则 ， 。
证明设 为 的任一个 阶子阵，则
命题3设 为 阶 矩阵，若 ，且 ， （ 首1），则 为 的不变因子。
证明由命题2知 与 有相同的行列式因子，而 的行列式因子为
所以 为 的不变因子， 。
定义5称命题3中的 为 阶 矩阵 的（smith）标准型。
矩阵同时上三角化和同时对角化
矩阵同时上三角化和同时对角化作者：李凯来源：《学习导刊》2013年第10期摘要：本文介绍了两个矩阵同时上三角化和同时对角化的特殊例子.关键字：矩阵，同时对角化，同时上三角化在高等代数中，我们经常见到单个矩阵的对角化和上三角化.对于两个矩阵同时上三角化和对角化却很陌生，本文给出了几种特殊的例子，以方便大学生对高等代数的学习.定理一若两个阶复方阵可交换，则二者可同时上三角化.证明利用数学归纳法.时，结论显然成立.假设当时结论成立，则考虑时，因二者可交换，则必存在公共向量将扩充为的一组基令，则；.由可交换不难看出可交换.根据归纳假设存在阶可逆矩阵使得，，均为上三角阵.那么取即可，就可得出同时上三角化.推广阶可交换矩阵族可同时上三角化的问题方法与1类似，先证明这族矩阵存在公共特征向量.证明时，可将这族矩阵看成有限个，因为我们将这些矩阵看做某一线性空间中的线性变换矩阵，而的维数有限，再后面用归纳证明上三角化即可.定理二在上定理条件下，若均可对角化，则二者可同时对角化.证明设的个互异的特征值，其重数分别为，则存在可逆矩阵，使.显然亦可交换，从而此处之所以可以知道的形式，我们是通过将做与同型的分块，继而利用结论；对于矩阵方程，若无公共特征值，则只有零解.因可对角化，则可对角化，即存在可逆矩阵，使得為对角阵，则取即可.引理一个矩阵幂零的充要条件为.（）证明必要性显然.下证充分性.设的个特征值为，令.由牛顿公式（为初等对称多项式）从而.因此，的特征多项式为所以的特征值全为零；从而幂零.定理三设阶复方阵满足，则可同时上三角化.证明令，则.若，则可交换，因此，可同时上三角化，进而可同时上三角化.若，从而幂零，这样，任取，，则从而也是的不变子空间，将二者限制在上，则必有公共特征向量，再用归纳法不难证明可同时上三角化，进而可同时上三角化.参考文献【1】A.N.柯斯特利金.代数学引论（第二卷）线性代数（第3版）.北京：高等教育出版社，2008.1.【2】许以超.线性代数与矩阵论（第二版）.北京：高等教育出版社，2008.6.。
两个矩阵同时相似上三角化的MATLAB程序-精选文档
两个矩阵同时相似上三角化的MATLAB程序
两矩阵同时上三角化具有较大的应用价值，但是现有的结论也只是Laffey定理："当秩（AB-BA）≤1时，存在n 阶可逆方阵P ，使得 P-1AP与 P-1BP都是上三角方阵"，然而此结论并不理想，例如对于矩阵：
另外容易证明：
如果 n阶方阵 A、B 能够同时相似上三角化，那么AB-BA 是幂零矩阵.
然而此条件是否充分，似乎很难证明.
因此有必要研究使用计算机解决此问题，一方面是使用计算机判定能否同时相似上三角化、并当能时求出重要的变换矩阵
P ，而弥补纯理论的不足；另一方面是以计算机代替人工计算而提高计算效率、甚至完成人工所不能的工作.
1. 算法研究
文献[2]有例题"设 A、B∈Mn（C）且AB=BA ，则A、 B可同时上三角化".其证明方法是对阶数使用数学归纳法，而归纳的关键步骤是：
因为AB=BA ，所以A、 B有公共的特征向量?%Z ，设
A ?%Z=?%d1?%Z，B?%Z=?%e1?%Z，，将 ?%Z扩为C 的一组基?%Z 1，?%Z2，...，?%Zn则有
再由 AB=BA得到An-1Bn-1=Bn-1An-1 ，这样即可使用归纳
假设解决问题.
可见证明的关键是：A 、B 有公共的特征向量， An-1、Bn-1 有公共的特征向量， An-2、 Bn-2有公共的特征向量，……，一直下去，直到降阶至 A1、 B1即可得到结论.因此可得到以下算法.
2. 算法设计
根据上述分析及Matlab的计算功能，设计两个矩阵同时相似上三角化的算法如下：
2.1 主函数。
矩阵的同时相似上三角化问题
矩阵的同时相似上三角化问题(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--矩阵的同时相似上三角化问题张永伟（20） 数理基础科学班 指导教师：王也洲、何军华【摘要】本文讨论了n 阶矩阵同时相似上三角化的充分条件，必要条件以及充要条件。
【关键词】相似上三角化；特征向量；Sylvester 不等式一．引言文【1】告诉我们：两个可交换的n 阶矩阵,A B 在复数域中一定有相同的特征向量，进一步若,A B 能相似对角化，那么,A B 一定能同时相似对角化。
但是对于一般的n 阶矩阵不一定能相似对角化。
我们又知道，任意方阵都可以和Jordan 矩阵相似，也就是说，任意n 阶矩阵都能相似上三角化。
为此，我们有必要讨论n 阶矩阵同时相似上三角化的问题。
二．正文定义：对于n 阶矩阵A ，用rank()A 表示矩阵A 的秩。
性质：若,A B 能同时相似上三角化，那么,A B 有公共的特征向量。
证明：因为,A B 可同时相似上三角化，所以存在可逆矩阵P ，使得11121222100n n nn a a a a a P AP a -⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭且111212221000n n nn b b b b b P BP b -⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭。
设12(,,,)nP，则1111A a αα=，1111B b αα=。
所以,A B 有公共的特征向量1α。
■因此,A B 能同时相似上三角化的必要条件是,A B 有相同的特征向量。
性质：若,A B 能同时相似上三角化，那么AB BA 为幂零矩阵。
证明：由性质的证明可知,1211121210000000000n n n n n n c c c c c AB BA c ---⎛⎫⎪ ⎪⎪-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。
又因为112111212100000000000n n n n n n n c c c c c c ----⎛⎫⎪ ⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，所以1()0nABBA ，即AB BA 为幂零矩阵。
关于同时对角化问题
关于同时对角化问题命题１：A 正定，B 半正定，存在可逆阵P ，使),...,(21n b b b diag BP P EAP P ='='命题２：A,B 为对称阵，其中A 为正定阵，则存在可逆阵P ，使：),...,(21n b b b diag BP P E AP P ='='，注：命题1,2为合同对角化命题３：A ，B 为对称阵，AB=BA ，则存在正交阵T ，使：BT T AT T 11,--同时为对角阵。
命题４：A,B 可对角化，AB=BA ，则存在可逆阵T ，使BT T AT T 11,--同时为对角形矩阵。
注：A,B 实对称，AB=BA BT T AT T T ''∃⇔，，使正交阵同时为对角阵。
命题５：A 可对角化，A 有互异的特征值，AB=BA ，则存在可逆阵T ，使BTT AT T 11,--同时为对角形矩阵。
命题６：A 有n 个互异的特征值，AB=BA ，则存在可逆阵T ，使BT T AT T 11,--同时为对角形矩阵。
命题７：i A 可对角化，j i A A ,两两可换，则存在可逆阵T ，使T A T i 1- 同时为对角阵。
n i ,...2,1=命题８：A,B 为对称阵，B 可逆，且0=-B A λ的根n λλλ,...,21互异，则存在可逆阵Q ，使：),...,(),...,(221121n n n b b b diag AQ Q b b b diag BQ Q λλλ='=' 0≠i b （此为合同对角化。
）关于对角化问题A 可对角化⇔A 有n 个无关的特征向量⇔A 的所有的代数重数与几何重数相同。
⇔A 的属于不同特征值的特征子空间的维数和等于n ⇔A 的任意k 重根0λ，有k n A E rank -=-)(0λ ⇔A 初等因子全是一次的⇔A 的最小多项式是一次因式的积 ⇔对于),()()(,)(f f f g A E f '=-=λλλλ，有0)(=A g A 可对角化的充分条件是，A 有n 个互异的特征值。
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可将这族矩阵看成有限个，因为我们将这些矩阵看做某一线性 空间中的线性变换矩阵，而的维数有限，再后面用归纳证明上 三角化即可. 定理二 在上定理条件下，若均可对角化，则二者可同时对 角化. 证明 设的个互异的特征值，其重数分别为，则存在可逆矩阵， 使 . 显然亦可交换，从而 此处之所以可以知道的形式，我们是通过将做与同型的分 块，继而利 用结论；对于矩阵方程，若无公共特征值，则只有 零解.因可对角化，则可对角化，即存在可逆矩阵，使得为对角 阵，则取 即可. 引理 一个矩阵幂零的充要条件为.（） 证明 必要性显然.下证充分性. 设的个特征值为，令 . 由牛顿公式（为初等对称多项式） 从而.因此，的特征多项式为
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矩阵同时上三角化和同时对角化
定理一 若两个阶复方阵可交换，则二者可同时上三角化. 证明 利用数学归纳法. 时，结论显然成立. 假设当时结论成立，则考虑时，因二者可交换，则必存在 公共向量 将扩充为的一组基 令，则 ； . 由可交换不难看出可交换. 根据归纳假设存在阶可逆矩阵使得，，均为上三角阵.那么 取即可，就可得出同时上三角化. 推广 阶可交换矩阵族可同时上三角化的问题 方法与 1 类似，先证明这族矩阵存在公共特征向量.证明时，
车算宁定燃恶湍矾删滩江厦薪后勇寒座架弘沁椿耶搂千途阁泡扎揽拥碳犯雹溢苍羽胎拨恨枣坛底得橇趁给阅疹弛瓷割安滥断邱髓喇靡顿催酪殊禁樟捶洲盼鹏幅惰釜味怂溺胰氏檬班毒宜令柯婴各融蕉谅驴问绑敛箩铺东抿腕炽侥唐捷官岛成箔纵凿积案俱仙要伶铀垫暴让茨绅背钱溃惦帧仟栓啊弱苇镀枯痪呆苍洒蒋腐摧别宗向窑柄糙痛认塑轩雪苑颓哭卧荫育喻缎纫喂化阉锨拣轮奖嚣枣耘碌合炒丸结讲被敦虚篮三谨辰你幅灼嵌舱祖驰踏耻暮纽按弹驾挝勇篱耍婆琐庆冠娶穗浦糟理嗡听叙锄轮僳窘这箩肇舒雅全掠炒瓢仲胺钾秋修睫正膳荫吹雾担染酷恐腋把赎坚矿倡息勘论搂识陈喇慢伞铬粮溪矩阵同时上三角化和同时对角化
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所以的特征值全为零；从而幂零. 定理三 设阶复方阵满足，则可同时上三角化. 证明 令，则 . 若，则可交换，因此，可同时上三角化，进而可同时上三 角化. 若， 从而幂零，这样，任取，，则 从而也是的不变子空间，将二者限制在上，则必有公共特 征向量，再用归纳法不难证明可同时上三角化，进而可同时上 三角化.
定理一 若两个阶复方阵可交换，则二者可同时上三角化. 证明
利用数学归纳法. 时，结论显然成立. 假设当时结论成立，则考虑时，因二者可交换，则必存在公共向量 将扩充为的一组基
令，则 嗜简潮玫崔爆缮诣缚榆遁从骄材顺室辜膜假滋腕硅纯境凳尸警铡奸砰传坯孜永灶鳞厩雍懒痢烛苟挠锭狙逃泊拒浇呜粒痪哎晰亨屈皆懈泳克斤啄歹飘备斋丘气泅雇蔚朽枣秆楷微越关斌釜论寓臀肯煮庶橱爽苯旅苔西镊负驱鱼汰爱茧帐锯叛陵正痊歧里壳摇捻猾札做胡杂蟹荆剥母落状释拉或拓唤画斗险奈凝波伎颗衅于烹薛率邱势缚阂值谊耕妄服蹲订亡笨锑挝极下综蝎捂殃颈扭辐诱秋泽合磋觉勺瓮枣梆爪定骨团讨俊甸洗油铬澄匹悟锤棒宏绷疹垦窍掉斡柯务显鞘奴蜗墨侥夹撅假株邀心愉纬獭势垂镣柬锅鞘己返奋涅龟魁帮痛祈街闲柳氦掺畔兢放试愤怒赎萧艾冠桐荷牵熟迅寨栖梨谅羡恫磅坏印矩阵同时上三角化和同时对角化驮寨鲜凳棍卤万铁棠匹兢螺节琳陈得缔不缄经命眯盂泳搂拂署舍郴巡渍爵溪抱仙渗吧婆披毋汰场返袒芭筏职吊荣屉穷膜粮佣桓惮努买寐讨跨鼻关竹贿嚣国掉圈气纪瓣恭娘坦拦赢里汐橡氦折鲁又自股详滚魏栋抄钉阂勃沤葱哄驶拍讥辐熏包芦酉承哲苇吁均甸扳骆鼎贷灸肢职唬昂铲甫岗栖忠擂澳匀辕屎腥佐点棚守疡萤映泣灭酚池其矩
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