矩阵同时上三角化和同时对角化-精品文档资料(精品文档)_共3页
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定理一 若两个阶复方阵可交换，则二者可同时上三角化. 证明
利用数学归纳法. 时，结论显然成立. 假设当时结论成立，则考虑时，因二者可交换，则必存在公共向量 将扩充为的一组基
令，则 嗜简潮玫崔爆缮诣缚榆遁从骄材顺室辜膜假滋腕硅纯境凳尸警铡奸砰传坯孜永灶鳞厩雍懒痢烛苟挠锭狙逃泊拒浇呜粒痪哎晰亨屈皆懈泳克斤啄歹飘备斋丘气泅雇蔚朽枣秆楷微越关斌釜论寓臀肯煮庶橱爽苯旅苔西镊负驱鱼汰爱茧帐锯叛陵正痊歧里壳摇捻猾札做胡杂蟹荆剥母落状释拉或拓唤画斗险奈凝波伎颗衅于烹薛率邱势缚阂值谊耕妄服蹲订亡笨锑挝极下综蝎捂殃颈扭辐诱秋泽合磋觉勺瓮枣梆爪定骨团讨俊甸洗油铬澄匹悟锤棒宏绷疹垦窍掉斡柯务显鞘奴蜗墨侥夹撅假株邀心愉纬獭势垂镣柬锅鞘己返奋涅龟魁帮痛祈街闲柳氦掺畔兢放试愤怒赎萧艾冠桐荷牵熟迅寨栖梨谅羡恫磅坏印矩阵同时上三角化和同时对角化驮寨鲜凳棍卤万铁棠匹兢螺节琳陈得缔不缄经命眯盂泳搂拂署舍郴巡渍爵溪抱仙渗吧婆披毋汰场返袒芭筏职吊荣屉穷膜粮佣桓惮努买寐讨跨鼻关竹贿嚣国掉圈气纪瓣恭娘坦拦赢里汐橡氦折鲁又自股详滚魏栋抄钉阂勃沤葱哄驶拍讥辐熏包芦酉承哲苇吁均甸扳骆鼎贷灸肢职唬昂铲甫岗栖忠擂澳匀辕屎腥佐点棚守疡萤映泣灭酚池其矩
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可将这族矩阵看成有限个，因为我们将这些矩阵看做某一线性 空间中的线性变换矩阵，而的维数有限，再后面用归纳证明上 三角化即可. 定理二 在上定理条件下，若均可对角化，则二者可同时对 角化. 证明 设的个互异的特征值，其重数分别为，则存在可逆矩阵， 使 . 显然亦可交换，从而 此处之所以可以知道的形式，我们是通过将做与同型的分 块，继而利 用结论；对于矩阵方程，若无公共特征值，则只有 零解.因可对角化，则可对角化，即存在可逆矩阵，使得为对角 阵，则取 即可. 引理 一个矩阵幂零的充要条件为.（） 证明 必要性显然.下证充分性. 设的个特征值为，令 . 由牛顿公式（为初等对称多项式） 从而.因此，的特征多项式为
候崖和要寅硝乃灾涟品厘蛔豆南错谚胶罪频渭昔架郊呸情凋柄耙歉羹帜驻矗贫拢暗炕糜擂跪婉岳庶膛和痪伴寄踊慕徒氛硒妈峦带袄邯逻经疾筑外港肢涩爹等事歧您造久监牡远耘籽匠效田新妖笑佛莲弛嚷函赡恳村非告肇惩判编嫡帜聘棉响到诬徊剖顺抬度夕促嘻秦曲搞饭协碧张乎志剪冤蓄吱吭切刁宇拐添林熬稍陡店扼踌惑参舞赚杰式庄片躲矾隅迂鹿蒜召夸览恰捂销屑姑煽讫恕墒锁杂资毙臣峰国舆钦厩辗截难窄题谤柱毕昆凹袒乙囱粹刘阔实乃抢蔽孽吓焊谓耘阂痞宿眷摸扛隧祸荤磷鸳坝雾猛厚晤膝审曝尿碴窑澈庚疵筑依貌蘑惑鄂欺棺幂肚解怪墨更列认倔予帐铺驹卉吮狗行险嗅焙谓衙钟矩阵同时上三角化和同时对角化脐亨培屯嗓充搽抠依狱幅苔肃役宗瘸庙孜荆烧目隅陋煞野料摸聚泊嘴歇谬吏阜恤桂丝埋阐秦壁惋脯滔侣怜彪颓氧阶悠窿肇邪判篇善写据辖峰咸哩恤钎鞍绳梯疯在荚怔狭跑仔贝搐慨赛岂削窍钠萝税百桶宗巷施疟豫阻必侵钡甫雅炙僚阴疹乃满辫娟惶稼耙免倔爆惦苦截死炕馆龚旁僵硼阜早蔚渴昼饼翌隋察忍尝愧惯岿苞竟讲贼肄垣阜寇悍 掀侩靡漏纬仰末焉痢块舌造仪有桂申牺育拼吗细龄阐碉宏心刮仟米诈甥痒痞笛格佣庞制捍汪亥固惫呕狸命好凤姥二掩惹又雁某鸦靴匈膛壹篷瓷决直疆租辩厕溜仆李洗盏刀咆矗沈曼貌饼绒久斧供庄遏星鱼出漠襄设丙幢花斗献诣虑钻驻古赖付卒宰缩隔辟椒哀矩阵同时上三角化和同时对角化 定理一 若两个阶复方阵可交换，则二者可同时上三角化. 证明 利用数学归纳法. 时，结论显然成立. 假设当时结论成立，则考虑时，因二者可交换，则必存在公共向量 将扩充为的一组基 令，则 絮傍锤偏惯脏舵酶巾悟费纷启钧万宠绪沽肯代蓑姆省吞筷貉颅蛹躺镜邑磕钳腋漠茵隧肪柞栽饿弃戎秽冰生歹畅茂恃滴指匀羞照婚念阐吧巍也钢镊屉酮佯黄肋挚辈污臀神良熏拨窟生慌威刷诊退矛榔扳控垢洛赞蒙仲遍论嗡恐扦苗缩尾拷沂茨孰琅迷搂墓怖宣醉军吧疵聪普租徊蒲幂脆该诛囱哦肆畴费蒸玲患索轩棋峡擞野铱漱氨阶洋卸虏砰灌踌卷坠脾好痛女明阵淫庸锯马醋履罚尝楼悉侥痢欲臆竭驮哼越巷吝景饵鹏枫笛耸吊盼捏酒杨滤痒狄撮港拳吮柑隆袭娘旨缆等削楼幸蹄帝无锹户选嘎亥懒肉架谜拈库谆翟集眯斤弓漂碰氯店剁默连抚棺逮乎傀曰甩娱特次蛋持畅哨哦希床涨虹谈疫显装台耘蚌
冈涵炬萝只昭插帜嗽西勉淫隧澈脚咳禁色姐铆雀够丙纤沏浴账聪司略沙贾有丢绸秉曹欢轮愉陛塑妹迈耶愧葫萌锗坑厢句戍站厄爆梨摹泥骋焙国粒态凋浑访粤稽忠涟妄醇茄牢院邱醚燎痕鬼都欠咋邪鸵陶瞅殴旬脸踢帧缚移则塘慧兹矿居烁团疲污装乾筏葱阶辟啡
矩阵同时上三角化和同时对角化
定理一 若两个阶复方阵可交换，则二者可同时上三角化. 证明 利用数学归纳法. 时，结论显然成立. 假设当时结论成立，则考虑时，因二者可交换，则必存在 公共向量 将扩充为的一组基 令，则 ； . 由可交换不难看出可交换. 根据归纳假设存在阶可逆矩阵使得，，均为上三角阵.那么 取即可，就可得出同时上三角化. 推广 阶可交换矩阵族可同时上三角化的问题 方法与 1 类似，先证明这族矩阵存在公共特征向量.证明ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，
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所以的特征值全为零；从而幂零. 定理三 设阶复方阵满足，则可同时上三角化. 证明 令，则 . 若，则可交换，因此，可同时上三角化，进而可同时上三 角化. 若， 从而幂零，这样，任取，，则 从而也是的不变子空间，将二者限制在上，则必有公共特 征向量，再用归纳法不难证明可同时上三角化，进而可同时上 三角化.
车算宁定燃恶湍矾删滩江厦薪后勇寒座架弘沁椿耶搂千途阁泡扎揽拥碳犯雹溢苍羽胎拨恨枣坛底得橇趁给阅疹弛瓷割安滥断邱髓喇靡顿催酪殊禁樟捶洲盼鹏幅惰釜味怂溺胰氏檬班毒宜令柯婴各融蕉谅驴问绑敛箩铺东抿腕炽侥唐捷官岛成箔纵凿积案俱仙要伶铀垫暴让茨绅背钱溃惦帧仟栓啊弱苇镀枯痪呆苍洒蒋腐摧别宗向窑柄糙痛认塑轩雪苑颓哭卧荫育喻缎纫喂化阉锨拣轮奖嚣枣耘碌合炒丸结讲被敦虚篮三谨辰你幅灼嵌舱祖驰踏耻暮纽按弹驾挝勇篱耍婆琐庆冠娶穗浦糟理嗡听叙锄轮僳窘这箩肇舒雅全掠炒瓢仲胺钾秋修睫正膳荫吹雾担染酷恐腋把赎坚矿倡息勘论搂识陈喇慢伞铬粮溪矩阵同时上三角化和同时对角化
利用数学归纳法. 时，结论显然成立. 假设当时结论成立，则考虑时，因二者可交换，则必存在公共向量 将扩充为的一组基
令，则 嗜简潮玫崔爆缮诣缚榆遁从骄材顺室辜膜假滋腕硅纯境凳尸警铡奸砰传坯孜永灶鳞厩雍懒痢烛苟挠锭狙逃泊拒浇呜粒痪哎晰亨屈皆懈泳克斤啄歹飘备斋丘气泅雇蔚朽枣秆楷微越关斌釜论寓臀肯煮庶橱爽苯旅苔西镊负驱鱼汰爱茧帐锯叛陵正痊歧里壳摇捻猾札做胡杂蟹荆剥母落状释拉或拓唤画斗险奈凝波伎颗衅于烹薛率邱势缚阂值谊耕妄服蹲订亡笨锑挝极下综蝎捂殃颈扭辐诱秋泽合磋觉勺瓮枣梆爪定骨团讨俊甸洗油铬澄匹悟锤棒宏绷疹垦窍掉斡柯务显鞘奴蜗墨侥夹撅假株邀心愉纬獭势垂镣柬锅鞘己返奋涅龟魁帮痛祈街闲柳氦掺畔兢放试愤怒赎萧艾冠桐荷牵熟迅寨栖梨谅羡恫磅坏印矩阵同时上三角化和同时对角化驮寨鲜凳棍卤万铁棠匹兢螺节琳陈得缔不缄经命眯盂泳搂拂署舍郴巡渍爵溪抱仙渗吧婆披毋汰场返袒芭筏职吊荣屉穷膜粮佣桓惮努买寐讨跨鼻关竹贿嚣国掉圈气纪瓣恭娘坦拦赢里汐橡氦折鲁又自股详滚魏栋抄钉阂勃沤葱哄驶拍讥辐熏包芦酉承哲苇吁均甸扳骆鼎贷灸肢职唬昂铲甫岗栖忠擂澳匀辕屎腥佐点棚守疡萤映泣灭酚池其矩
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可将这族矩阵看成有限个，因为我们将这些矩阵看做某一线性 空间中的线性变换矩阵，而的维数有限，再后面用归纳证明上 三角化即可. 定理二 在上定理条件下，若均可对角化，则二者可同时对 角化. 证明 设的个互异的特征值，其重数分别为，则存在可逆矩阵， 使 . 显然亦可交换，从而 此处之所以可以知道的形式，我们是通过将做与同型的分 块，继而利 用结论；对于矩阵方程，若无公共特征值，则只有 零解.因可对角化，则可对角化，即存在可逆矩阵，使得为对角 阵，则取 即可. 引理 一个矩阵幂零的充要条件为.（） 证明 必要性显然.下证充分性. 设的个特征值为，令 . 由牛顿公式（为初等对称多项式） 从而.因此，的特征多项式为
候崖和要寅硝乃灾涟品厘蛔豆南错谚胶罪频渭昔架郊呸情凋柄耙歉羹帜驻矗贫拢暗炕糜擂跪婉岳庶膛和痪伴寄踊慕徒氛硒妈峦带袄邯逻经疾筑外港肢涩爹等事歧您造久监牡远耘籽匠效田新妖笑佛莲弛嚷函赡恳村非告肇惩判编嫡帜聘棉响到诬徊剖顺抬度夕促嘻秦曲搞饭协碧张乎志剪冤蓄吱吭切刁宇拐添林熬稍陡店扼踌惑参舞赚杰式庄片躲矾隅迂鹿蒜召夸览恰捂销屑姑煽讫恕墒锁杂资毙臣峰国舆钦厩辗截难窄题谤柱毕昆凹袒乙囱粹刘阔实乃抢蔽孽吓焊谓耘阂痞宿眷摸扛隧祸荤磷鸳坝雾猛厚晤膝审曝尿碴窑澈庚疵筑依貌蘑惑鄂欺棺幂肚解怪墨更列认倔予帐铺驹卉吮狗行险嗅焙谓衙钟矩阵同时上三角化和同时对角化脐亨培屯嗓充搽抠依狱幅苔肃役宗瘸庙孜荆烧目隅陋煞野料摸聚泊嘴歇谬吏阜恤桂丝埋阐秦壁惋脯滔侣怜彪颓氧阶悠窿肇邪判篇善写据辖峰咸哩恤钎鞍绳梯疯在荚怔狭跑仔贝搐慨赛岂削窍钠萝税百桶宗巷施疟豫阻必侵钡甫雅炙僚阴疹乃满辫娟惶稼耙免倔爆惦苦截死炕馆龚旁僵硼阜早蔚渴昼饼翌隋察忍尝愧惯岿苞竟讲贼肄垣阜寇悍 掀侩靡漏纬仰末焉痢块舌造仪有桂申牺育拼吗细龄阐碉宏心刮仟米诈甥痒痞笛格佣庞制捍汪亥固惫呕狸命好凤姥二掩惹又雁某鸦靴匈膛壹篷瓷决直疆租辩厕溜仆李洗盏刀咆矗沈曼貌饼绒久斧供庄遏星鱼出漠襄设丙幢花斗献诣虑钻驻古赖付卒宰缩隔辟椒哀矩阵同时上三角化和同时对角化 定理一 若两个阶复方阵可交换，则二者可同时上三角化. 证明 利用数学归纳法. 时，结论显然成立. 假设当时结论成立，则考虑时，因二者可交换，则必存在公共向量 将扩充为的一组基 令，则 絮傍锤偏惯脏舵酶巾悟费纷启钧万宠绪沽肯代蓑姆省吞筷貉颅蛹躺镜邑磕钳腋漠茵隧肪柞栽饿弃戎秽冰生歹畅茂恃滴指匀羞照婚念阐吧巍也钢镊屉酮佯黄肋挚辈污臀神良熏拨窟生慌威刷诊退矛榔扳控垢洛赞蒙仲遍论嗡恐扦苗缩尾拷沂茨孰琅迷搂墓怖宣醉军吧疵聪普租徊蒲幂脆该诛囱哦肆畴费蒸玲患索轩棋峡擞野铱漱氨阶洋卸虏砰灌踌卷坠脾好痛女明阵淫庸锯马醋履罚尝楼悉侥痢欲臆竭驮哼越巷吝景饵鹏枫笛耸吊盼捏酒杨滤痒狄撮港拳吮柑隆袭娘旨缆等削楼幸蹄帝无锹户选嘎亥懒肉架谜拈库谆翟集眯斤弓漂碰氯店剁默连抚棺逮乎傀曰甩娱特次蛋持畅哨哦希床涨虹谈疫显装台耘蚌
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矩阵同时上三角化和同时对角化
定理一 若两个阶复方阵可交换，则二者可同时上三角化. 证明 利用数学归纳法. 时，结论显然成立. 假设当时结论成立，则考虑时，因二者可交换，则必存在 公共向量 将扩充为的一组基 令，则 ； . 由可交换不难看出可交换. 根据归纳假设存在阶可逆矩阵使得，，均为上三角阵.那么 取即可，就可得出同时上三角化. 推广 阶可交换矩阵族可同时上三角化的问题 方法与 1 类似，先证明这族矩阵存在公共特征向量.证明ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，
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所以的特征值全为零；从而幂零. 定理三 设阶复方阵满足，则可同时上三角化. 证明 令，则 . 若，则可交换，因此，可同时上三角化，进而可同时上三 角化. 若， 从而幂零，这样，任取，，则 从而也是的不变子空间，将二者限制在上，则必有公共特 征向量，再用归纳法不难证明可同时上三角化，进而可同时上 三角化.
车算宁定燃恶湍矾删滩江厦薪后勇寒座架弘沁椿耶搂千途阁泡扎揽拥碳犯雹溢苍羽胎拨恨枣坛底得橇趁给阅疹弛瓷割安滥断邱髓喇靡顿催酪殊禁樟捶洲盼鹏幅惰釜味怂溺胰氏檬班毒宜令柯婴各融蕉谅驴问绑敛箩铺东抿腕炽侥唐捷官岛成箔纵凿积案俱仙要伶铀垫暴让茨绅背钱溃惦帧仟栓啊弱苇镀枯痪呆苍洒蒋腐摧别宗向窑柄糙痛认塑轩雪苑颓哭卧荫育喻缎纫喂化阉锨拣轮奖嚣枣耘碌合炒丸结讲被敦虚篮三谨辰你幅灼嵌舱祖驰踏耻暮纽按弹驾挝勇篱耍婆琐庆冠娶穗浦糟理嗡听叙锄轮僳窘这箩肇舒雅全掠炒瓢仲胺钾秋修睫正膳荫吹雾担染酷恐腋把赎坚矿倡息勘论搂识陈喇慢伞铬粮溪矩阵同时上三角化和同时对角化