数值分析课后题答案

解:

X 0 1,X 1 1,X 2 2,

f(x 。) 0,f(X 1) 3,f(X 2) 4; 1

-(X 1)(x 2) 2

1

-(x 1)(x 2) 6

1

3(x 1)(x 1)

6•设X j , j 0,1,L ,n 为互异节点，求证：

n

(1)

x ：l j (x) x k

(k 0,1,L ,n);

j 0

n

(2) (X j x)k l j (x) 0 (k 0,1,L ,n);

j 0

证明

(1)令 f (x) x k

n

若插值节点为X j ,j 0,1,L , n ，则函数f (x)的n 次插值多项式为

x k

l

j

(x)。

j 0

f (n 1}() 插值余项为 R n (x) f (x) L n (x) n 1(x) (n 1)!

又Q k n,

第二章 2•当 x 1, 1,2 时，f(x)

数值分析

0, 3,4,求f (x)的二次插值多项

式。

X

2

(X

4

一 3 2)

(X

X

/V

1 - 2(X X 1)(x X 2) (X 。 X 1)(X ° X 2) (X X 0)(X X 2)

(X 1 沧)任 X 2) (X X °)(X X 1) (X 2 X °)(X 2 X 1)

l °(x )

h(x) 则二次拉格朗日插值多项式为

2

L 2(X ) y k l k (x) k 0

f (n 1)( ) 0 FUx) 0

n

x ：l j (x) x k

(k 0,1,L ,n); j 0

n

⑵(X j x)k l j (x)

j 0 n n

(C?x j ( x)ki )l j (x)

j 0 i 0 n

n

i

k i

i

C k ( x) (

X j l j (x))

i 0

j 0

又Q 0 i n

由上题结论可知

n

x ：l j (x) x i

j 0

n

原式

C k ( x)k i x i

i 0

(x x)k

又 Q f (a) f(b) 0 L i (x) 0

插值余项为R(x)

1 f (x) J(x) - f (x)(x x °)(x x i )

7 设 f

(x) 2

C 2

a,b 且 f (a) f(b) max f (x) a x b

1(b

a) 2

max a x b f (x). 解：令X 。

a, x i b ， 以此为插值节点

x X

X X 0

L i (x) f(x 。) f (X i )

X 0 X i

X X 0

X b X a =

f(a) f(b)-

得证。

a b x a

0,求

证:

则线性插值多项式为

f(x)

2f (x)(x x))(x X i )

又Q (X X o)(X X i)

i(X 4(xi 4(b X o) (X i

2

X)

X o)2 a)2

max a X b f(x) 8(b a)2 max f (X)

7 a X b 、，

8•在4 X 4上给出f(x) e x的等距节点函数表，若用二次插值求e X的近似值，要使截断误差不超过10 6，问使用函数表的步长 h应取多少?

解：若插值节点为X1,x i和x i 8，则分段二次插值多项式的插值余项为

1

R(x) 3! f ( )(X X i i)(X X)(x X i i) 3!

8(X X i i)(X

6

R2(X) X)(X X

i)max

f (X)

设步长为h, 即x i 1 x i h,X i X i h

R2(X) 1e4 -%

6 3.3

—e4h3.

27

若截断误差不超过10 6，

R2(X) 10 6

■ 3 4.3 6

e h 10

27

h 0.0065.

9•若y n 2n,求4y n及 4 y n

・，

解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。

n

y n 2

4 4

y n (E 1) y n

4

4

y n

2n

1

4

y n (E 2

1

(E 2)4(E 1)4y n E y n

2n

P(0) P (0) 0,P(1) P(1) 0, P(2)

X 0* 1

y 。0, y 1 1 m 0 0m 1

( j 0 4

( j 0 4

(

j 0

1)j

1)j

1)j

(2 1)4y n E 4 j y n

y 4 n 24 j y n

解法一：利用埃米尔特插值可得到次数不高于 4的多项式

1

E 2)4

y n

2 4

y n

16.

f(x) x 7

x 4

3x 1,求 F 20

,21

,L ,27

及 F 20

,21

丄,28

。

解: Q f(x)

X 7 X 4 3X 1

2i ,i 0,1,L

,8 则f X o ,X i 丄

,x

n

(n)

() n!

f X o ,X i ,L ,X 7

(7)

() 7!

7!

1 7!

f X 0,X 1 丄,X

(8)

()

8!

19 . 求

次数不

高于 4

次的多项式 P （ X ）， 使它