平面势流(了解性学习)
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第15讲势流理论2
（１） 速度势
圆柱的绕流的流场等价于均匀 流与偶极的叠加场：
y
v0
a
r
θ
x
M cos θ ϕ = v0 r cos θ + 2π r
这里不必去直接求解拉氏方程。式中的偶极强度M为未知量，可 用边界条件求出。 速度势应满足的边界条件：
∂ϕ =0 ∂r
（圆柱表面上r = a）
∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ = v0 cosθ， = −v0 sinθ 或 = v0 （无穷远处） ∂r r∂θ ∂x
有环量是指圆柱作等速直线运动的同时，绕自身轴心转动。圆柱转 动时，由于粘性作用，会诱导周围流体随之转动。当忽略粘性作为理想 流体处理时，这种诱导效应不能忽略。 圆柱旋转的诱导作用等同于圆心处一个平面点涡的作用。也就说， 可以用一个平面点涡代替圆柱的旋转。设圆柱的旋转角速度为ω，点涡的 涡强要满足圆柱表面速度为aω ，所以点涡强度应为：
平面势流的基本解的叠加均匀流和点源的叠加速度势流函数和复势均具有叠加性利用这一性质通过基本解叠加可以构造出复杂流动的解称为基本解叠加法也称奇点叠加法
第15讲 势流理论(2)
(Potential Flow Theory)
主要内容： 1.平面势流的基本解的叠加
速度势、流函数和复势均具有叠加性，利用这一性质，通过基本解叠 加可以构造出复杂流动的解，称为基本解叠加法，也称 奇点叠加法。
解得流线方程：
θ = 0 或 θ =π,
M r = = a2 2πv0
2
过驻点的流线有两条，一条是x轴，一条是以a为半径的圆。均匀流与 偶极的叠加可以模拟流体绕流圆柱的流动。 上述三种叠加流场的分析表明，奇点的适当叠加可以模拟流体绕流物 体的流动。
4 绕圆柱体无环量流动
恒定平面势流 (平面无旋流动)
2
x2
2
y2
0
项目三 空运出口货代单证 任务四 航空出口报关报检（报检单、出境货物通关单、报关单）
步骤二：认识并填制出境货物通关单 要完成出境货物通关单的制作，李芳芳必须先弄清楚集货单上各项 内容的含义，通过查阅相关资料，了解到出境货物通关单各项内容含义 如下： 1.收货人：填写本批出境货物的贸易合同中或信用证中买方名称。 任务给出买方为PEOPLES SPORTING GOODS & MDSG. CORP.，所 以此栏应填PEOPLES SPORTING GOODS & MDSG. CORP.。 2.发货人：填写本批出境货物的贸易合同中或信用证中受益人名称。 任务给出发货人为厦门阳光贸易有限公司，此栏应填厦门阳光贸易有限 公司。 任务执行
任务执行
项目三 空运出口货代单证 任务四 航空出口报关报检（报检单、出境货物通关单、报关单）
步骤三：填制报关单 李芳芳通过查阅相关资料，了解到出口货物报关单各 项内容含义如下：
在整理完上述信息后，李芳芳完成的报关单如下： 任务执行
速度势的极坐标表达式
d urdr u rd
ur
r
,
u
1 r
上述关系式代入不可压缩流体连续性微分方程
ux u y u z 0 x y z
特征2
2
x2
2
y 2
2
z 2
0
凡满足拉普拉斯方
程的函数是调和函
数，所以速度势
是调和函数
平面无旋流动或平面势流
∵平面流动的旋转角速度只有分量ωz
∴ωz为零
u y ux x y
d uxdx uydy
x
ux
，
y
第四章(3)§4-3-5 平面势流问题的基本解法
M R2 2V
2
V y M 2 2 C 2 x y
y
A R
B
M 2V R 2
速度为 V∞ 的无限远来流绕半径为R 的圆柱的无环量绕流的复位势：
2 1 R ( z ) V z V R ) V ( z z z
无环量绕流的速度场—— 共轭复速度
§4-3 理想不可压缩流体的无旋运动（势流理论）
第四章 理想流体力学专题11
§4-3-5 平面势流问题的基本解法 — 映像法（虚像法） * 平面映像定理
《平面映像定理》 设
f (z) 是全部奇点都位于上半面的复位势，今在
插入一无限平板作为固定边界，那么复位势
f (z) 代表的流动沿实轴 ox
( z) f ( z) f ( z)
2
压力分布是在 理想 不可压缩流体 不脱体 绕流 假设条件下得出的。因此，计算与粘 性密切相关的摩擦阻力和与分离流相关的 压差阻力时, 与实际情况会有本质的偏差, 但在圆柱绕流分离点之前，所有的理论结 果与实验结果都有较好的符合程度。 0o
-3.0 180o 150o 120o 90o 60o 30o
R
R y V Γ
§4-3 理想不可压缩流体的无旋运动（势流理论）
§4-3-5 平面势流问题的基本解法
第四章 理想流体力学专题33
* 叠加法求解要点 1.求解平面不可压缩流体无旋运动； 2.熟练掌握基本流动的复位势,流线分布和简单组合； 3.考察求解对象，构造出满足求解对象边界条件的叠 加复位势 ； 4.求得满足求解对象的复位势后，平面流动的速度分 布，等势线以及流线可由复位势直接求得； 5.根据伯努利积分可求解特定流线上的压力分布。
x y 2xy V 2 2V cos sin 4 RR R
2
V y M 2 2 C 2 x y
y
A R
B
M 2V R 2
速度为 V∞ 的无限远来流绕半径为R 的圆柱的无环量绕流的复位势：
2 1 R ( z ) V z V R ) V ( z z z
无环量绕流的速度场—— 共轭复速度
§4-3 理想不可压缩流体的无旋运动（势流理论）
第四章 理想流体力学专题11
§4-3-5 平面势流问题的基本解法 — 映像法（虚像法） * 平面映像定理
《平面映像定理》 设
f (z) 是全部奇点都位于上半面的复位势，今在
插入一无限平板作为固定边界，那么复位势
f (z) 代表的流动沿实轴 ox
( z) f ( z) f ( z)
2
压力分布是在 理想 不可压缩流体 不脱体 绕流 假设条件下得出的。因此，计算与粘 性密切相关的摩擦阻力和与分离流相关的 压差阻力时, 与实际情况会有本质的偏差, 但在圆柱绕流分离点之前，所有的理论结 果与实验结果都有较好的符合程度。 0o
-3.0 180o 150o 120o 90o 60o 30o
R
R y V Γ
§4-3 理想不可压缩流体的无旋运动（势流理论）
§4-3-5 平面势流问题的基本解法
第四章 理想流体力学专题33
* 叠加法求解要点 1.求解平面不可压缩流体无旋运动； 2.熟练掌握基本流动的复位势,流线分布和简单组合； 3.考察求解对象，构造出满足求解对象边界条件的叠 加复位势 ； 4.求得满足求解对象的复位势后，平面流动的速度分 布，等势线以及流线可由复位势直接求得； 5.根据伯努利积分可求解特定流线上的压力分布。
x y 2xy V 2 2V cos sin 4 RR R
北航水力学 第四章理想流体动力学和恒定平面势流解读
z1
p1
u12 2g
z2
p2
u22 2g
4.2.2 由动能定理推导理想流体的伯努利方程
推导过程同学们自学
z1
p1
u12 2g
z2
p2
u22 2g
本公式是由动能定理推导而得，它使伯努利方程有更加明确的 物理意义，说明伯努利方程是一能量方程。
第三节 元流伯努利方程的意义和应用
4.3.1 沿流线的伯努利方程的水力学意义
可见，在同一流线上各点的流函数为一常数，故等流函数线就是流线。
2、平面内任意两点流函数值的差等于通过这两点连线的流量。
y ABdrBnA x
d r dxi dy j
n cos i sin j dy i dx j
dr dr V ui v j
dq V
ndr
u
dy dr
v
dx dr
等 线和等Ψ线，这两族曲线互相垂直，构
成流网。
两族曲线所构成的正交网络，称为流网
流网的特征：
流网
等 线和速度矢量垂直，或者说， 等 线与等Ψ线（流线）垂直，
【例题】
已知90度角域内无粘流动，速度分布
ux kx uy ky
(k 0, x 0, y 0)
求：（1）判断该流场是否存在速度势函数， 若存在请给出并画出等势线；
流动。但粘滞性对流动 的影响很微小时，影响可以忽略。 --机械能守恒
引入势流的意义：使问题简化。
波浪运动，无分离的边界层外部的流动，多孔介质的流动（渗流） 等等可以看为势流。
4.4.1 流速势函数
以二维流动为例，根据流体运动学，它与无旋流动等价
由 ux 0 无旋流的条件→涡量 z 0
流体力学ppt课件-恒定平面势流
在圆柱坐标系统中，流速各项可表示为：
vr r
v
1 r
vz
z
圆柱坐标系统下拉普拉斯方程：
1 r
r
r
r
1 r2
2 2
2
z 2
0
6.2 流函数
恒定不可压缩平面二维流连续性方程表达式：
u v 0 x y
x
根据质量守恒定律，流进任意过流断面AC的流量dq应等于过 流断面AB和BC流出的流量，因此：
又因为：
dq udy vdx
dq d
对上式积分可得两条流线之间的流量q：
1 2
1 2
q
2 d
1
2
1
q0 q0
流向
左
右
流向
左
右
q
2
1
6.3几种简单的平面势流
速度势为：
m ln r 2
如果m为正，流动径向向外流，这种流动称为源流，例如泉眼向各方向的流动可作 为源流的例子，又如，离心式水泵，在某种情况下，叶轮内的流体运动可视为源流等。 如果m为负，流动流向源，这种流动称为汇流，例如地下水向井中的流动可作为汇流 的例子。流量m表示源流和汇流的强度。
u
x
v
y
w
z
不可压缩流体质量守恒定律表示如下：
V 0
不可压缩无旋流可表示为：
2 0
2 为Laplacian 算子，用笛卡尔坐标系表示为：
2 2 2
0 x2 y 2 z 2
这个微分方程在物理和工程方面经常出现，被称为拉普拉斯方 程（Laplace’s equation）。因此，无粘性不可压缩无旋流的控制 方程为拉普拉斯方程。这种类型的流动通常称为有势流。
【通用】流体力学6-势流理论.ppt
x (x,y)
vy
Q
2
y (x a)2
y2
Q
2
y (x a)2
y2
0
x a2 aQ
v0
y0
驻点
0.0
r1
y r r2
1
2
aa
Q
-Q
46
（4） 求零流线
Q
2
1
Q
2
2
v0 y
v0 y
Q
2
(1
2 )
源 汇 均匀流
tg
(1
2
)
tg1 tg2 1 tg1tg2
y
y
xa xa
A(r, )
r r2
Ｍ为偶极矩。
r2
1
2
Q B x C Q x
0.0
11
用迭加法求势函数φ
1
2
Q
2
(ln
r1
ln
r2 )
M cos 2 r
M 2
x x2 y2
0.0
y A(r, )
r1
r r2
r2
1
2
Q B x C Q x
12
流函数
1 2
Q
2
(1
2)
Q
2
( )
r2
x sin1
p
C
v2
2
C
2
(2V0
sin
)2
2 r0
单位长圆柱所受到的阻力
2
FD 0 p cos r0d 0
V0
0.0
dFL pds
d
dFD
r0
37
3 升力大小的计算：
第四章平面势流(4.1~4.4)详解
关，只是平面上点的函数。
dz
W (z) dF F F dz x (iy)
W (z) F i u iv
x x x
W (z) F 1 u iv
(iy) i y y
第四章 平面势流
§4.2 复位势和复速度
三、复速度
复 速 度 ： W (z) u iv 共轭复速度： W (z) u iv 复速度与共轭复速度的乘积等于速度矢量模的平方。
B
Q = -vdx+udy
A
=
B A
Ψ x
dx +
Ψ y
dy =
B
dΨ
A
=Ψ2
-Ψ1
Ψ =Ψ2
Ψ =Ψ1 A
B
dl
u dy
v dx
第四章 平面势流
§4.1 速度势函数与流函数
二、流函数
3、流函数的性质
➢ 方 程
平面流动时，只存在z方向的涡量分量
v x
u y
x
x
y
y
2
有旋流动时： 2 或 2k
四、绕角流动
n=2 n=1
2
0
0
n= ½
2 0
n 小于 ½ 时得到大于 2π的区域，这显然没有物理意义。因此n应大于 ½ 。
第四章 平面势流
§4.3 基本流动
四、绕角流动ຫໍສະໝຸດ n=1/2n=3/2
n=2
n=3
第四章 平面势流
n=2/3
§4.3 基本流动
五、偶极子
偶极子：一对无限接近的强度相等的点源和点汇的迭加。
WW = (u - iv)(u +iv) = u2 + v2 = u u
流体力学：第八章 理想不可压缩流体平面流动
dq u ac v cb
因为：ac dy，cb dx，所以
dq udy vdx dy dx d
y x
积分， q
2 d
1
2
1
在论证流函数存在及说明其特性时，仅用了平面 流动的条件，故以上结论对任何平面流动都适用， 不论势流和涡流。
一、无旋流动（有势流动） 旋转角速度为零，通常称为势流。
x
1 ( w 2 y
v ) z
0,
或 w y
v z
y
1 ( u 2 z
w ) 0, x
或 u z
w x
z
1 2
( v x
u ) y
0,
或 v u x y
流体质点本身是否发生旋转，与流体微团 本身运动时的轨迹形状无关。
由数学分析知，上式是使udx vdy wdz为某一函数的
Cylinder with Circulation
引言
平面势流理论在流体力学中占有非常重要的地位 Why? Example
本章将简要地介绍平面势流的基本理论，分析绕流 不同形状的物体势流长的压力分布，以及流体对被绕 流物体的作用力。
§8–1 无旋流动和有旋流动
根据流体微团是否存在旋转，将流动分为两大类型： 无旋流动和有旋流动。 Two examples
涡线
涡线的表达式：
dx dy dz
x y z 通过微元断面的涡线组成涡束，涡束的表面称为涡管。 涡束断面面积和2倍旋转角速度的乘积称为涡通量，以 I表示，则微元涡通量为：
dI 2dA dA
2
速度环量：在流场中取一封闭曲线，流速沿该曲线的
积分称为沿 流线L的速度环量，用 表示：
全微分的必要充分条件。
因为：ac dy，cb dx，所以
dq udy vdx dy dx d
y x
积分， q
2 d
1
2
1
在论证流函数存在及说明其特性时，仅用了平面 流动的条件，故以上结论对任何平面流动都适用， 不论势流和涡流。
一、无旋流动（有势流动） 旋转角速度为零，通常称为势流。
x
1 ( w 2 y
v ) z
0,
或 w y
v z
y
1 ( u 2 z
w ) 0, x
或 u z
w x
z
1 2
( v x
u ) y
0,
或 v u x y
流体质点本身是否发生旋转，与流体微团 本身运动时的轨迹形状无关。
由数学分析知，上式是使udx vdy wdz为某一函数的
Cylinder with Circulation
引言
平面势流理论在流体力学中占有非常重要的地位 Why? Example
本章将简要地介绍平面势流的基本理论，分析绕流 不同形状的物体势流长的压力分布，以及流体对被绕 流物体的作用力。
§8–1 无旋流动和有旋流动
根据流体微团是否存在旋转，将流动分为两大类型： 无旋流动和有旋流动。 Two examples
涡线
涡线的表达式：
dx dy dz
x y z 通过微元断面的涡线组成涡束，涡束的表面称为涡管。 涡束断面面积和2倍旋转角速度的乘积称为涡通量，以 I表示，则微元涡通量为：
dI 2dA dA
2
速度环量：在流场中取一封闭曲线，流速沿该曲线的
积分称为沿 流线L的速度环量，用 表示：
全微分的必要充分条件。
平面势流
q ur , u 0 2r
q q y arctan 2 2 x q q 2 2 lnr ln x y 2 2
(3) 环流（或势涡流）
各流体质点皆绕某一固定点O做匀速圆周运动，且速 度与圆周半径成反比的流动称为环流
us s
函数(x,y,z)称为速度势（函数），即无旋流的速 度矢量是有势的。因此无旋运动（无涡流）又称 为有势流动。 上述关系式代入不可压缩流体连续性微分方程
u x u y u z 0 x y z
特征2
2 2 0 2 x y z
2 2 2
在上述流动中，如果源点和汇点相互 接近，即2a → 0时（2aq=常数），所 得到的就是偶极流。
实际上，偶极流本身并无太大意义，但它与某些 基本势流叠加，就可以得到有重大实际意义的流 动的解。如偶极流与等速均匀流叠加可得到无环 量圆柱绕流，偶极流与等速均匀流和势涡流的叠 加可得到有环量的圆柱绕流等。
五、几种简单的平面势流 (1) 等速均匀流
流场中各点的速度矢量皆相互平行，且 大小相等的流动
ux y u y x ux x u y y
ψ = uy
若等速均匀流流速平行于x轴
= ux
若等速均匀流流速平行于y轴
ψ = -ux
= uy
(2) 源流和汇流
流体从水平的无限平面内的一点O （即源点）流出，均匀地沿径向直 线流向四周的流动称为源流 q为由源点沿z轴方向上，单位厚度 所流出的流量，称为源流强度
d ur dr u rd
1 ur , u r r
三、流函数 存在条件：不可压缩流体平面流动ψ (x，y) 。
平面流动 流线方程
水力学 第四章 理想流体动力学和平面势流
§4-1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
6
3、欧拉运动微分方程和求解条件
运动微分方程组
u u u 1 p u x ux x u y x uz x x t x y z u y u y u y 1 p u y fy ux uy uz y t x y z 1 p u z u z u z u z fz ux uy uz z t x y z fx
§4-1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
14
4-1-2 葛罗米柯(又称兰姆)运动微分方程
矢量表示形式：
1 u2 u 2 2ω u f ρ p t
§4-1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
15
4-1-3 葛罗米柯运动微分方程的应用—伯努利方程 1、 伯努利方程的推导条件
2
对加速度在y及z的投影做同样处理，即可得到葛罗米柯运动 微分方程，如下：
1 p 1 u 2 u x fx 2ω y uz ωz u y ρ x 2 x t 1 p 1 u 2 u y fy 2ωz u x ωx uz ρ y 2 y t 1 p 1 u 2 uz fz 2ωx u y ω y u x ρ z 2 z t
1 上面三个式的矢量形式为 ： f p du dt
上式为理想流体的运动微分方程，反映了在任意流体微元上单 位质量力、惯性力与压强的平衡关系。 适用范围：恒定流或非恒定流，可压缩流体或不可压缩流体。
§4-1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
4
2、欧拉运动微分方程
加速度表示式按欧拉运动描述展开为 du u u u dt t
6
3、欧拉运动微分方程和求解条件
运动微分方程组
u u u 1 p u x ux x u y x uz x x t x y z u y u y u y 1 p u y fy ux uy uz y t x y z 1 p u z u z u z u z fz ux uy uz z t x y z fx
§4-1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
14
4-1-2 葛罗米柯(又称兰姆)运动微分方程
矢量表示形式：
1 u2 u 2 2ω u f ρ p t
§4-1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
15
4-1-3 葛罗米柯运动微分方程的应用—伯努利方程 1、 伯努利方程的推导条件
2
对加速度在y及z的投影做同样处理，即可得到葛罗米柯运动 微分方程，如下：
1 p 1 u 2 u x fx 2ω y uz ωz u y ρ x 2 x t 1 p 1 u 2 u y fy 2ωz u x ωx uz ρ y 2 y t 1 p 1 u 2 uz fz 2ωx u y ω y u x ρ z 2 z t
1 上面三个式的矢量形式为 ： f p du dt
上式为理想流体的运动微分方程，反映了在任意流体微元上单 位质量力、惯性力与压强的平衡关系。 适用范围：恒定流或非恒定流，可压缩流体或不可压缩流体。
§4-1 理想流体的运动微分方程—欧拉运动方程
4
2、欧拉运动微分方程
加速度表示式按欧拉运动描述展开为 du u u u dt t
14 恒定平面势流
函数
2
2
2
0
x 2 y 2
流函数与流速的为
x
u y
y
ux
若流动为有势流动，则：
z
1 (uy 2 x
u x y
)
0
1 2
x
(
x
)
y
( y
)
0
2 2 2 0
x 2 y 2
（4） 流函数和流速势是共轭调和函数。 流函数和流速势应满足下列关系：
x
y
u y
y
x
ux
1
Q
2
ln
r1
y
1
Q
2
1
汇
2
Q
2
ln r2
2
Q
2
2
P (x,y)
A
θ1 O
ξ
ξ
叠加后势流流速势和流函数为
B θ2 x
1
2
Q
2
ln
r1 r2
1
2
Q
2
(1
2)
源
1
Q
2
ln
r1
y
1
Q
2
1
汇
2
Q
2
ln
r2
2
Q
2
2
P (x,y)
A
θ1 O
ξ
ξ
叠加后势流流速势和流函数
B θ2 x
1
2
Q
2
ln
r1 r2
1
势流 ＝ 无旋流 x y z 0
＝存在流速势函数 (x, y, z)
由液体三元运动理论 流速与流速势流关系为
x
ux
《高等流体力学》第6章-势流
证明:
(
流函数与速度势函数这一关系，在数学上称 为柯西(Cauchy)-黎曼（Riemann）条件，满 足这一条件的函数称为共轭函数。
i j)( i j) x y x y x x y y u x (u y ) u y u x 0
复势：
W ( z ) i Q 2 Q 2 Q 2 Q 2 Q Q ln r i 2 2
z r (cos i sin ) z z ei re i
p
Z0处复势：
x x x0 y y y0
(ln r i ) (ln r ln ei ) ln re i ln z
Q Q d 2 2 Q Q d dr d dr 0d ln r r 2r 2
1 ur u r r d dr d r
5
2013-12-29
z x iy
B B B u dl ux dx u y dy uz dz d B A A A
AB
A
(2). 无旋不可压,速度势函数满足拉氏方程
u i j k x y z
(4). 圆柱坐标中速度与速度势函数的关系式
(4 xdx 4 ydy ) ( ydx xdy ) 2 x 2 xy 2 y 2 C
u x x 4 y u y 4 x y
6.4 平面势流的数学提法与一般解法
(3).
u z x 4 (4) 0 x y
ux x 4 y x 1 2 x 4 xy C ( y ) 2 C ( y ) u y 4 x y 4 x y y C ( y ) 1 y C ( y) y 2 y 2 1 1 x 2 4 xy y 2 2 2
(
流函数与速度势函数这一关系，在数学上称 为柯西(Cauchy)-黎曼（Riemann）条件，满 足这一条件的函数称为共轭函数。
i j)( i j) x y x y x x y y u x (u y ) u y u x 0
复势：
W ( z ) i Q 2 Q 2 Q 2 Q 2 Q Q ln r i 2 2
z r (cos i sin ) z z ei re i
p
Z0处复势：
x x x0 y y y0
(ln r i ) (ln r ln ei ) ln re i ln z
Q Q d 2 2 Q Q d dr d dr 0d ln r r 2r 2
1 ur u r r d dr d r
5
2013-12-29
z x iy
B B B u dl ux dx u y dy uz dz d B A A A
AB
A
(2). 无旋不可压,速度势函数满足拉氏方程
u i j k x y z
(4). 圆柱坐标中速度与速度势函数的关系式
(4 xdx 4 ydy ) ( ydx xdy ) 2 x 2 xy 2 y 2 C
u x x 4 y u y 4 x y
6.4 平面势流的数学提法与一般解法
(3).
u z x 4 (4) 0 x y
ux x 4 y x 1 2 x 4 xy C ( y ) 2 C ( y ) u y 4 x y 4 x y y C ( y ) 1 y C ( y) y 2 y 2 1 1 x 2 4 xy y 2 2 2
第5章 平面势流理论
工程流体力学
第5章 平面势流理论
在不可压缩理想流体中，当流动无旋时， 称为势流，若又可简化为平面流动时，这种流 动称为二维势流，也称平面势流。在平面势流 中不仅存在速度势 ，同时存在流函数 。它们 均满足拉普拉斯方程，由于拉普拉斯方程是二 阶线性方程，可以应用叠加原理，利用已有的 一些解的叠加，以寻求满足给定边界条件和初 始条件下具有实际背景的许多问题的解答。
工程流体力学
由于速度势和流函数又满足柯西-黎曼 （Cauchy-Riemann）条件，因此也可以利用复变 函数这门数学工具求解平面势流。 在平面势流中通过速度势求得流速场，并可利 用伯努利方程求得压强场，从而沿物体表面积分 便得到流体与物体之间的作用力。平面势流理论 在工程实践中应用十分广泛，是理论流体动力学 的重要部分。
工程流体力学
5.1
5.1.1
平面势流的复势
复势的定义
在平面势流中，同时存在着速度势 和流函数 ， 流速场在直角坐标系中有关系式
u x y v － y x
工程流体力学
这两个调和函数是满足柯西-黎曼条件的，可以组 成一个解析复变函数 W ( z ) i 式中
工程流体力学
（1）解析下式： W ( z ) 2 ln
对于 2 ln z ， 是源强度 m 4 π 放置于（0,0）点的复势；
z 2 ln z 2 ln( z 3) z 3
对于 2 ln(z 3) ，是汇强度 m 4 π 放置于（3,0）点的复势。
2 2 x y 4圆周的环量和通过该围线的流量为 （2）沿
y
（3）由于流动是无旋的， 按拉格朗日方程求压强分布 2 p V C 2 式中 V u v 2ar ；
第5章 平面势流理论
在不可压缩理想流体中，当流动无旋时， 称为势流，若又可简化为平面流动时，这种流 动称为二维势流，也称平面势流。在平面势流 中不仅存在速度势 ，同时存在流函数 。它们 均满足拉普拉斯方程，由于拉普拉斯方程是二 阶线性方程，可以应用叠加原理，利用已有的 一些解的叠加，以寻求满足给定边界条件和初 始条件下具有实际背景的许多问题的解答。
工程流体力学
由于速度势和流函数又满足柯西-黎曼 （Cauchy-Riemann）条件，因此也可以利用复变 函数这门数学工具求解平面势流。 在平面势流中通过速度势求得流速场，并可利 用伯努利方程求得压强场，从而沿物体表面积分 便得到流体与物体之间的作用力。平面势流理论 在工程实践中应用十分广泛，是理论流体动力学 的重要部分。
工程流体力学
5.1
5.1.1
平面势流的复势
复势的定义
在平面势流中，同时存在着速度势 和流函数 ， 流速场在直角坐标系中有关系式
u x y v － y x
工程流体力学
这两个调和函数是满足柯西-黎曼条件的，可以组 成一个解析复变函数 W ( z ) i 式中
工程流体力学
（1）解析下式： W ( z ) 2 ln
对于 2 ln z ， 是源强度 m 4 π 放置于（0,0）点的复势；
z 2 ln z 2 ln( z 3) z 3
对于 2 ln(z 3) ，是汇强度 m 4 π 放置于（3,0）点的复势。
2 2 x y 4圆周的环量和通过该围线的流量为 （2）沿
y
（3）由于流动是无旋的， 按拉格朗日方程求压强分布 2 p V C 2 式中 V u v 2ar ；
第一节 平面势流
当 t 为参变量时，函数 为 d dx dy
x y
x , y ,t
的全微分
对比（2）（3）式可得
vy x vx y
（3）
符合上式条件的函数 称为二维 不可压缩流场的流函数。不可压缩流体的 平面流动，无论其是无旋流动还是有旋流 动，以及流体有、无粘性，均存在流函数， 可见流函数比速度势函数更具普遍性。
理想流体动力学
院系：机电工程学院 专业：动力机械及工程 姓名：潘翠丽 学号：s12001025
第一节 平面势流
1、平面流动是指对任一时刻，流场中所 有决定运动的函数仅与两个坐标及时间 有关，也称为二维流动。 2、有势流动（无旋流动）：流场中，若 任意流体质点的旋转角速度ω 为零，这 种流动称为有势流动或无旋流动。 3、平面势流：若平面流动有势流动，则 称之为平面势流。
或者： 由数学分析可知，上面三个微分关系式的存在正是
v x dx v y dy v z dz
vz v y vx vz v y vx ; ; y z z x x y
成为某一函数 x , y , z , t
d 全微分的充要条件，即： v x dx v y dy v z dz （1）
而当 t 为参变量时，函数 x , y , z , t 的全 微 分为：
d x dx y dy z dz （ 2）
比较（1）式（2）式可知：
vx ;vy ;vz （3） x y z
x , y , z , t 为速度势函数 由（3）式可知当流动有势时，流体力学的问题 将会得到很大简化，只要求出 x , y , z , t ， 即可求出速度分布，再根据能量方程进而求出 流场中的压强分布。
流体力学教案第6章不可压缩流体的平面势流
第六章 不可压缩流体的平面势流§6-1 有势流动的速度势函数一、速度势函数ϕ对于无旋流动，有⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂y u x x w z u z y w υυ (1)根据数学分析可知：上式成立是z w y x u d d d ++υ成为某一函数),,,(t z y x ϕ的全微分的充要条件。
ϕ称为速度势函数，简称速度势。
即：z w y x u d d d d ++=υϕ 又有：z z y y x x d d d d ∂∂+∂∂+∂∂=ϕϕϕϕx u ∂∂=∴ϕ，y ∂∂=ϕυ，z w ∂∂=ϕ又由矢量分析：kz i y i x k w i i u V∂∂+∂∂+∂∂=++=ϕϕϕυϕϕ∇==grad (2) 即速度势的梯度等于流场的速度。
在柱坐标中：径向速度：r r ∂∂=ϕυ切向速度：θϕϕυθ∂∂=∂∂=r s 轴向速度：z z ∂∂=ϕυ由此可见，ϕ对任意方向的偏导数，就是速度V在该方向的投影，这是ϕ的一个重要性质。
函数),,,(t z y x ϕ称为速度势函数，简称速度势，对无旋流动)0rot (=V，总有速度势存在，所以，无旋流动也称为有势流动。
在有势流动中，Γ和ϕ的关系为：()⎰⎰++=⋅=B AB AAB z w y x u s V Γd d d d υAB B Aϕϕϕ-==⎰d (3)即在有势流动中，沿AB 曲线的切向速度线积分(速度环量)等于终点B 与起点A 的速度势之差。
又：在有势流动中，沿任一封闭周线K 的速度环量()⎰⎰++=⋅=K K z w y x u s V Γd d d d υ⎰K ϕd ＝ 若ϕ是单值或由斯托克斯定理，则0d =⎰Kϕ二、势函数方程将x u ∂∂=ϕ，y ∂∂=ϕυ，z w ∂∂=ϕ代入不可压流体连续方程：0=∂∂+∂∂+∂∂z w y x u υ则有：02222222=∇=∂∂+∂∂+∂∂ϕϕϕϕz y x (4) (其中2222222z y x ∂∂+∂∂+∂∂=∆=∇称为拉普拉斯算子) 即在不可压流体的有势流动中，速度势ϕ满足拉普拉斯方程。
流体力学第五章(理想不可压缩流体的平面势流)
流体力学——理想不可压缩流体的平面势流内容¾基本方程组，初始条件及边界条件¾速度势函数及无旋运动的性质¾平面流动及其流函¾不可压缩流体平面无旋流动的复变函数表示¾基本的平面有势流动¾有势流动叠加P=Pa , Pa为大气压强。
在直角坐标系中有一个线性的二阶偏微分方程(拉普拉斯方程线性方程的一个优点是解的可叠加性对于定常流：则由伯努利方程得到理想不可压缩无旋流的基本方程为：边界条件静止固壁上自由面上：P = Pa 无穷远处：速度势函数及无旋运动的性质在无旋流中有若已知函数，则可求出若已知速度矢量V，则可由积分求出势函数上式中为任意常数，因此的值相对于不同的Mo点可以差一个，为某一常数，但并不影响流动的实质，因为当求流动的特征量ui, P时，常数的差别便消失不见了，所谓的结果完全一样φ涉及到单值和多值问题在单连通区域 与积分路线无关，而只与起点M0及终点M的位置 有关。
因而势函数为单值函数。
在多连通区域 ， 是封闭曲线L绕某一点的圈数， 称为环量 势函数 为多值函数。
速度势函数及无旋运动的性质(已作介绍)内容 ¾ 基本方程组，初始条件及边界条件 ¾ 速度势函数及无旋运动的性质¾ ¾平面流动及其流函数 不可压缩流体平面无旋流动的复变函数表示 基本的平面有势流动 有势流动叠加¾ ¾平面流动及其流函数 平面问题是指 流动在平面内进行，即 u z = 0 ; 垂直平面的垂线上个物理量相 等即适用范围 无限长柱体，它的一个方向的尺寸比其它两个方向的尺寸大得 多，在长方向的速度分量很小，其它物理量的变化也很小。
如：低速机翼表面的压力分布问题的理论计算等，无限长的柱 体平板的绕流等研究平面无旋运动，在平面运动中，涡旋矢量Ω的三个分量为只有 而无旋，可推出存在着速度势函数 使得：速度势函数的性质我们已经讨论过了流函数的意义 如果能够找到某一函数Ψ，满足流动的可能判据 —— 连续性 方程，则称这一函数Ψ为流函数 在平面运动时，不可压缩流体的连续性方程为：若有一函数Ψ（x,y,t）并令 则连续性方程为称为流函数知道了流函数 •若与流速ux ，uy 之间的关系之后 求出流速场已知，可由• 若 ux ，uy 已知，可用积分速度势与流函数 平面流动垂直与z轴的每个平面流动 都相同，称平面流动速度势函数 速度势函数存在的条件∂w ∂v − = 0 ∂y ∂z ∂u ∂w − = 0 ∂z ∂x ∂v ∂u − = 0 ∂x ∂y此条件称 柯西—黎曼条件由高数知识可知，柯西—黎曼条件是使udx + vdy + wdz全微分的充要条件，即成为某一个函数ϕ(x ,y ,z ,t )d ϕ = udx + vdy + wdz而当 t 为参变量， ϕ(x ,y ,z ) 的全微分为∂ϕ ∂ϕ ∂ϕ dϕ = dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z比较两式有∂ϕ u = ∂x ∂ϕ v = ∂y ∂ϕ w = ∂z∂ϕ 柱坐标 V r = ∂r 1 ∂ϕ Vθ = r ∂θ ∂ϕ Vz = ∂z把ϕ(x ,y ,z ) 称为速度势函数简称势函数无论流体是否可压缩，是否定常流只要满足无旋条件 ，总有 势函数存在。
平面势流的叠加流动
螺旋流的速度分布
1 Γ v r 2r qV vr r 2r
1 （Γ qV l n r） 2 1 （Γ l n r qV ） 2
2 2 Γ q V V 2 v2 vr2 4 2 r 2
代入伯努里方程，得流场的压强分布
流函数
M y M 1 V y V y 1 2 2 2 2 2 x y 2V x y
M y V y C 2 2 2 x y
C 0
流线方程
零流线方程
M 1 0 V y 1 2 2 2V x y
事实上，有黏性的实际流体绕圆柱体无环量流动时，在 圆柱面上流动方向的压强分布是不对称的。这是由于实际流 体存在着黏性，当流体绕流圆柱体时，从前驻点开始在圆柱 面上逐渐形成一层边界层（在第五章中讲述）。流体在圆柱 体的前半部的流动是降压增速，边界层处于较稳定状态。到 圆柱体的后半部变为升压减速流动，容易发生边界层分离， 在圆柱体后面形成尾涡区，压强下降。破坏了圆柱体面上前 后压强分布的对称性，使圆柱体前后产生压强差，形成压差 阻力。图4-22中所示的实验所得的亚临界雷诺数下（层流） 的压强分布曲线（虚线）比超临界雷诺数下（紊流）的压强 分布曲线（点划线）更远离理论曲线。根据实验所得，在亚 临界雷诺数下层流边界层的分离和超临界雷诺数下紊流边界 层的分离分别发生在大约 84和 120 附近。
Γ qV lnr const
r C1e
Γ qV
Γ lnr qV const q
r C 2e
V
Γ
等势线簇和流线簇是两组互相正交的对数螺旋线簇， 称为螺旋流。流体从四周向中心流动。
水力学课件-恒定平面势流
y 5 4 2 1 0 0 1 2 3 4 5 x
前进
流函数的性质之二：两流线间所通过的单宽流量等于 该两流线的流函数值之差。
证明：通过ds段的微小流量为 dq uxdy uydx
所以通过曲线ab的流量为
y a
ds M dy dx b
uy
a
a
a
q dq uxdy uydx d a b
b
b
b
ux a b
x
前进
流函数的性质之三：平面势流的流函数是一个调和函数。
若平面流动是无涡流（亦即有势流）时，有
z
1 2
( uy x
ux y
)
0
即 uy ux 0
x y
将
ux y
uy
x
代入上式，得：
2
x2
2
y 2
0
拉普拉斯方程式
y
dy
z
dz
uxdx
u y dy
uz dz
对于平面势流，则有二维流速势函数 (x, y)
ux x
uy y
d ( x,
y)
x
dx
y
dy
uxdx
u y dy
积分 (x, y)
等势线——由势函数值相等的点连接起来的曲线
令 (x, y) C ，或 d 0
且其全微分可记为
d
x
dx
y
dy
uydx uxdy
前进
流函数的性质之二：两流线间所通过的单宽流量等于 该两流线的流函数值之差。
证明：通过ds段的微小流量为 dq uxdy uydx
所以通过曲线ab的流量为
y a
ds M dy dx b
uy
a
a
a
q dq uxdy uydx d a b
b
b
b
ux a b
x
前进
流函数的性质之三：平面势流的流函数是一个调和函数。
若平面流动是无涡流（亦即有势流）时，有
z
1 2
( uy x
ux y
)
0
即 uy ux 0
x y
将
ux y
uy
x
代入上式，得：
2
x2
2
y 2
0
拉普拉斯方程式
y
dy
z
dz
uxdx
u y dy
uz dz
对于平面势流，则有二维流速势函数 (x, y)
ux x
uy y
d ( x,
y)
x
dx
y
dy
uxdx
u y dy
积分 (x, y)
等势线——由势函数值相等的点连接起来的曲线
令 (x, y) C ，或 d 0
且其全微分可记为
d
x
dx
y
dy
uydx uxdy
第16讲势流理论3
1 A2 1 xA2 1 yA2 ) = (x + 2 ) +i (y − 2 ξ + iη = ( x + iy + ) 2 2 2 x + iy 2 x +y 2 x +y
解得坐标变换关系：
xA 2 1 1 ξ = (x + 2 ) = r cosθ (1 + 2 2 2 x +y yA 2 1 1 η = (y − 2 ) = r sin θ (1 − 2 2 2 x +y
ξ = x + b1 ⎫ ⎬ η = y + b2 ⎭
可见，平移变换将坐标分量分别平移了一个距离，图形形状不变：
y
2
R 1 4
z
η
2
ζ
R 1
b1
3
o
x
3
o
b2
4
ξ
（2） 旋转变换
旋转变换函数为：ζ
= ze iμ
ζ = ξ + i η = ρ e iα
z = x + iy = r e iθ
其中μ 为实常数。将复变数写成三角函数（极坐标）形式：
cp
上
= −2α
a −ξ a +ξ
cp
下
= 2α
a −ξ a +ξ
可见，平板上、下表面压力大小相等、方向相反；下表面压力为正， 指向平板向上，上表面压力为负，背离平板向上。
（5） 平板的升力
平板所受的合力向上，合力在来流方向上的分力是阻力，垂直于来流 方向的分力就是升力。根据有环量圆柱绕流的升力表达式，可得平板的升 力大小为： 定义升力系数：
Ω (ζ ) = Φ (ξ ,η ) + iΨ (ξ ,η )
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ux , uy y x
d u x dy u y dx
d dx dy x y
流函数的极坐标表达式
d ur rd u dr
1 ur , u r r
特征1
ωz为零
平面无旋流的流函数也满足拉普拉斯方程
四、流网及其特征
流网（Flow Net）：不可压缩流体平面无旋流动中， 流线簇与等势线簇构成的正交网格。 1、流网的特征
特征1 等势线与等流函数线处处正交
证明：
等势线簇：(x,y)=C
ห้องสมุดไป่ตู้
d u x dx u y dy 0
等流线簇：(x,y)=C
ux dy m2 dx uy
d ur dr u rd
1 ur , u r r
三、流函数 存在条件：不可压缩流体平面流动ψ (x，y) 。
平面流动 流线方程
dx dy ux u y
u x u y 0 x y
u x dy u y dx 0
u y u x x y
凡满足拉普拉斯方 程的函数是调和函 数，所以速度势是 调和函数
平面无旋流动或平面势流 ∵平面流动的旋转角速度只有分量ωz
∴ωz为零
u y
u x x y
d uxdx uy dy
2 2 2 0 2 x y
ux ， u y x y
速度势的极坐标表达式
us s
函数(x,y,z)称为速度势（函数），即无旋流的速 度矢量是有势的。因此无旋运动（无涡流）又称 为有势流动。 上述关系式代入不可压缩流体连续性微分方程
u x u y u z 0 x y z
特征2
2 2 0 2 x y z
2 2 2
五、几种简单的平面势流 (1) 等速均匀流
流场中各点的速度矢量皆相互平行，且 大小相等的流动
ux y u y x ux x u y y
ψ = uy
若等速均匀流流速平行于x轴
= ux
若等速均匀流流速平行于y轴
ψ = -ux
= uy
(2) 源流和汇流
流体从水平的无限平面内的一点O （即源点）流出，均匀地沿径向直 线流向四周的流动称为源流 q为由源点沿z轴方向上，单位厚度 所流出的流量，称为源流强度
d u y dx u x dy 0
ux m1m2 ( )( ) 1 ux uy uy
dy u y m1 dx u x
特征2 等势线簇的势函数值沿流线方向增加，而流 线簇的流函数值则沿流线方向逆时针旋转90 ˚后所指 的方向增加。——儒科夫斯基法则。 特征3 流网中每一网格的相邻边长维持一定的比例
二、无旋流动的速度势（函数）
1 u z u y x 0 2 y z 1 u x u z y 0 2 z x 1 u y u x z 0 2 x y 或 或 或 u z u y y z u x u z z x u y u x x y
如图
环流强度 Г ，是不随圆周半径而变的 常数，具有方向性。Г＞0时，为逆时 针旋转；Г ＜0时，为顺时针旋转。
Γ u r 0 , u 2r
Γ ln r 2 2 环流是圆周运动，但却不是有旋运动。
(4) 直角内的流动 设无旋运动的速度势为 若设 = a (x2 - y2 ) 则有 ψ = 2axy
此流动的流线是双曲线族。当ψ＞0 时，x、y的符号相同，流线在I、III 象限内；ψ＜0时，x、y的符号相反， 流线在II、IV象限内。当ψ = 0时， x=0或y=0，说明流线是坐标轴，称为 零流线。原点处速度为零，称为驻点。 若把零流线x、y轴的正值部分用固体壁面来代替，就得到 直角内的流动；若把x轴用固体壁面代替，则表示垂直流 向固体壁面的流动。
s n
若取δ = δψ，则δs=δn，此时流网网格为曲 边正方形
2、 流网的绘制
1）固体边界本身就是流线之一，等势线与边界正交。 2）自由液面必是流线。 3）根据流动的大致方向，按照事先选定的网格比例绘 制出流线簇和等势线簇。 3、 流网的应用 广泛用于理想不可压缩流体平面无旋流动中的速度 场、压强场求解
u y u x x y
2 2 2 0 2 x y
平面势流中，速度势函数和流函数均为调和函数 特征2 流函数的等值线是流线
d u x dy u y dx 0
( x, y ) const
特征3 任意两条流线间的流函数差值(ψ1 –ψ2 )，等 于通过两条流线间的单宽流量q。
q ur , u 0 2r
q q q u r dr u rd dr lnr ln x 2 y 2 2r 2 2
q q q y u r rd u dr rd arctan 2r 2 2 x
流体从四周沿径向均匀流入一点（汇点）的流动称为汇流 流入汇点的单位厚度流量称为 汇流强度-q。
上式是使表达式uxdx+uydy+uzdz能成为某一函数(x,y,z) 的全微分的必要和充分条件
ux dx u y dy uz dz d dx dy dz x y z
特征1
ux ， u y ， uz x y z
q ur , u 0 2r
q q y arctan 2 2 x q q 2 2 lnr ln x y 2 2
(3) 环流（或势涡流）
各流体质点皆绕某一固定点O做匀速圆周运动，且速 度与圆周半径成反比的流动称为环流
d u x dy u y dx
d dx dy x y
流函数的极坐标表达式
d ur rd u dr
1 ur , u r r
特征1
ωz为零
平面无旋流的流函数也满足拉普拉斯方程
四、流网及其特征
流网（Flow Net）：不可压缩流体平面无旋流动中， 流线簇与等势线簇构成的正交网格。 1、流网的特征
特征1 等势线与等流函数线处处正交
证明：
等势线簇：(x,y)=C
ห้องสมุดไป่ตู้
d u x dx u y dy 0
等流线簇：(x,y)=C
ux dy m2 dx uy
d ur dr u rd
1 ur , u r r
三、流函数 存在条件：不可压缩流体平面流动ψ (x，y) 。
平面流动 流线方程
dx dy ux u y
u x u y 0 x y
u x dy u y dx 0
u y u x x y
凡满足拉普拉斯方 程的函数是调和函 数，所以速度势是 调和函数
平面无旋流动或平面势流 ∵平面流动的旋转角速度只有分量ωz
∴ωz为零
u y
u x x y
d uxdx uy dy
2 2 2 0 2 x y
ux ， u y x y
速度势的极坐标表达式
us s
函数(x,y,z)称为速度势（函数），即无旋流的速 度矢量是有势的。因此无旋运动（无涡流）又称 为有势流动。 上述关系式代入不可压缩流体连续性微分方程
u x u y u z 0 x y z
特征2
2 2 0 2 x y z
2 2 2
五、几种简单的平面势流 (1) 等速均匀流
流场中各点的速度矢量皆相互平行，且 大小相等的流动
ux y u y x ux x u y y
ψ = uy
若等速均匀流流速平行于x轴
= ux
若等速均匀流流速平行于y轴
ψ = -ux
= uy
(2) 源流和汇流
流体从水平的无限平面内的一点O （即源点）流出，均匀地沿径向直 线流向四周的流动称为源流 q为由源点沿z轴方向上，单位厚度 所流出的流量，称为源流强度
d u y dx u x dy 0
ux m1m2 ( )( ) 1 ux uy uy
dy u y m1 dx u x
特征2 等势线簇的势函数值沿流线方向增加，而流 线簇的流函数值则沿流线方向逆时针旋转90 ˚后所指 的方向增加。——儒科夫斯基法则。 特征3 流网中每一网格的相邻边长维持一定的比例
二、无旋流动的速度势（函数）
1 u z u y x 0 2 y z 1 u x u z y 0 2 z x 1 u y u x z 0 2 x y 或 或 或 u z u y y z u x u z z x u y u x x y
如图
环流强度 Г ，是不随圆周半径而变的 常数，具有方向性。Г＞0时，为逆时 针旋转；Г ＜0时，为顺时针旋转。
Γ u r 0 , u 2r
Γ ln r 2 2 环流是圆周运动，但却不是有旋运动。
(4) 直角内的流动 设无旋运动的速度势为 若设 = a (x2 - y2 ) 则有 ψ = 2axy
此流动的流线是双曲线族。当ψ＞0 时，x、y的符号相同，流线在I、III 象限内；ψ＜0时，x、y的符号相反， 流线在II、IV象限内。当ψ = 0时， x=0或y=0，说明流线是坐标轴，称为 零流线。原点处速度为零，称为驻点。 若把零流线x、y轴的正值部分用固体壁面来代替，就得到 直角内的流动；若把x轴用固体壁面代替，则表示垂直流 向固体壁面的流动。
s n
若取δ = δψ，则δs=δn，此时流网网格为曲 边正方形
2、 流网的绘制
1）固体边界本身就是流线之一，等势线与边界正交。 2）自由液面必是流线。 3）根据流动的大致方向，按照事先选定的网格比例绘 制出流线簇和等势线簇。 3、 流网的应用 广泛用于理想不可压缩流体平面无旋流动中的速度 场、压强场求解
u y u x x y
2 2 2 0 2 x y
平面势流中，速度势函数和流函数均为调和函数 特征2 流函数的等值线是流线
d u x dy u y dx 0
( x, y ) const
特征3 任意两条流线间的流函数差值(ψ1 –ψ2 )，等 于通过两条流线间的单宽流量q。
q ur , u 0 2r
q q q u r dr u rd dr lnr ln x 2 y 2 2r 2 2
q q q y u r rd u dr rd arctan 2r 2 2 x
流体从四周沿径向均匀流入一点（汇点）的流动称为汇流 流入汇点的单位厚度流量称为 汇流强度-q。
上式是使表达式uxdx+uydy+uzdz能成为某一函数(x,y,z) 的全微分的必要和充分条件
ux dx u y dy uz dz d dx dy dz x y z
特征1
ux ， u y ， uz x y z
q ur , u 0 2r
q q y arctan 2 2 x q q 2 2 lnr ln x y 2 2
(3) 环流（或势涡流）
各流体质点皆绕某一固定点O做匀速圆周运动，且速 度与圆周半径成反比的流动称为环流