集合问题易错点突破

集合问题易错点突破

集合的概念多，逻辑性强，关系复杂，联系广泛，这对同学们带来了较多的学习障碍，在学习过程中常常会不知不觉地出错，下面对集合问题中常犯错误进行剖析，帮助大家突破易错点。

一、对代表元素理解不清致错。

例1. 已知集合}R x ,16x 6x y |y {B },R x ,x 2x y |y {A 22∈++==∈-==，求B A 。 错解1：令2x ,16x 6x x 2x 22-=++=-得，所以}8{B A ,8y == 。

错解2：令16x 6x x 2x 22++=-，得2x -=，所以}8,2{B A ,8y -== 。

剖析：用描述法表示的集合}p x |x {∈中，x 表示元素的形式，p x ∈表示元素所具有的性质，集合}R x ),x (f y |)y ,x {(∈=表示函数)x (f 的图象上全体点组成的集合，而本题}R x ),x (f y |y {∈=表示函数)x (f 的值域，因此求B A 实际上是求两个函数值域的交集。

正解：由},1y |y {}1)1x (y |y {}R x ,x 2x y |y {A 22-≥=--==∈-==

}7y |y {B A },7y |y {}7)3x (y |y {}R x ,16x 6x y |y {B 22≥=≥=++==∈++== 得。

二、遗漏空集致错。

例2. 已知集合}5x 2|x {A ≤≤-=，}1m 2x 1m |x {B -≤≤+=，若B A ⊇，求实数m 的取值范围。

错解：解不等式3m 2,51m 21m 2≤≤≤-≤+≤-得。

剖析：空集Φ是特殊集合，它有很多特殊性质，如,A A ,A =ΦΦ=Φ 空集是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集。本题错解是因考虚不周遗漏了空集，故研究B A ⊇时，首先要考虑Φ=B 的情况。

正解：①若Φ=B 时，则2m ,1m 21m <->+即。

②若2m ,1m 21m ,B ≥-≤+Φ≠即则时。由⎩⎨⎧≤-+≤-51m 2,1m 2得3m 3≤≤-。所以3m 2≤≤。

由①②知m 的取值范围是]3,(-∞。

三、忽视元素的互异性致错。

例3. 已知集合y x },y |,x |,0{)}x y lg (,x y ,x {+=求的值。

错解：由0xy >，根据集合的相等，只有1x y ,0)x y lg (==。所以可得1|y |1|x |==或。 ⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==∴1y ,1x 1y 1x 或

所以2y x 2y x -=+=+或。

剖析：当1y x ==时，题中的两个集合均有两个相等的元素1，这与集合中元素的互异性相悖。其实，当}y |,x |,0{}0,1,x {,1xy ==集合时，这时容易求解了。

正解：舍去1y x ==，故2y x -=+。

四、混淆相关概念致错。

例4. 已知全集U=R ，集合222a x )1a (x |x {B },R x ,03a 4ax 4x |x {A +--=∈=+-+=

}R x ,0a 2ax 2x |x {C },R x ,02∈=-+=∈=，若A 、B 、C 中至少有一个不是空集，求实数a 的取值范围。

错解：对于集合A ，当

21a 23a ,0)3a 4(4)a 4(2≥-≤≥+--=∆或得 ①时，A 不是空集。 同理当31

a 1≤≤- ②时，B 不是空集；当0a 2a ≥-≤或 ③时，C 不是空集。求

得不等式①②③解集的交集是空集，知a 的取值范围为Φ。

剖析：题中“A 、B 、C 中至少有一个不是空集”的意义是“A 不是空集或B 不是空集

或C 不是空集”，故应求不等式①②③解集的并集，得),1[]23,(a +∞---∞∈ 。

五、忽视补集的含义致错。

例5. 已知全集R I =，集合}0x x |x {M 2<-=，集合

}1x 1|x {N ≤=，则下列关系正确的是（ ）

A. N C M I ≠⊂

B. N C M I ≠⊃

C. N C M I =

D. R N M C I =

错解：}1x 1|x {N ≤=的补集为}1x 1|x {N C I >=，故选C 。

剖析：本题错误地认为}0)x (f |x {A ≤=的补集为}0)x (f |x {A C I >=。事实上对于全集R I =，由补集的定义有R A C A I = ，但}0)x (f |x {}0)x (f |x {>≤ )x (f |x {使=有意义，R x ∈}，即为)x (f 的定义域。所以只有当)x (f 的定义域为R 时才有}0)x (f |x {A ≤=的补集为}0)x (f |x {A C I >=，否则先求A ，再求A C I 。 正解：}1x 0x |x {}0x 1x |x {}1x 1|x {N ≥<=≥-=≤=或，所以}1x 0|x {N C I <≤=，而}1x 0|x {M <<=，应选A 。

感悟与提高

1. 设集合}Z k ,412k y |y {B },Z k ,41k x |x {A ∈-==∈+==，则它们之间的关系是（ ）

A. A=B

B. A ≠⊃B

C. A ≠⊂B

D. B A ⊆

2. 已知集合x |m {A 关于=的不等式

03m x )1m (2x 22<-+-+有解}，若1x 3y -=，且A x ∈，则y 的取值范围是__________。

答案提示：1. 由集合A 得)1k 2(41y B ),1k 4(41x -=+=得由集合。B 是由奇数的41组

成，A 是由比4的整数倍大1的数的41组成的，所以A ≠⊂B ，选C 。

2. 由A 易得

2m 0)3m (4)1m (422<⇒>---。51231x 3y =-⨯<-=。