角动量角动量守恒定律

只考虑合外力与内力均在转 动平面内的情形。 对mi用牛顿第二定律：
二、定轴转动的转动定律
z
fi
o
( , )
Fi
Fi fi mi ai
f i
mi
Fi
Fir
法向: Fin fin mi ain
法向力作用线通过转轴，力矩为零。
切向: Fi fi mi ai
17
注意几点 1. 是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。 2. M、I、是对同一轴而言的。
3. 具有瞬时性，是力矩的瞬时效应。
4. 由M=I可以看出：转动惯量I是刚体转动惯性大 小的量度，I越大，刚体的转动惯性就越大。
5.刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。
刚体的定轴转动定律描写的是刚体的转动惯量、合 外力矩和角加速度三者之间的关系。只要已知两个量 就可以求出第三个量。其解题方法如下： 1.确定研究对象。 2.受力分析（只考虑对转动有影响的力矩）。 3.列方程求解(平动物体列牛顿定律方程，转动刚 体列转动定律方程和角量与线量关系)。
R1
dr r
l
I r dm
2 m
R2
R1Байду номын сангаас
2 l r dr
3
l
2
4 ( R2 R14 )
m 圆筒的体密度 2 ( R2 R12 )l
o
1 若R1 0, R2 R, I m R2 2 若R1 R2 R, I m R2
1 2 I m( R2 R12 ) 2

o
ri
P
v
7
由于刚体作定轴转动时，各质点对定轴的角动 量都具有相同的方向。则定轴转动刚体的角动量就 是：对组成刚体的所有质点的角动量求和。有：
L L i (riΔmivi ) ( Δmiri2 )ω
令： I
2 ( Δm r ii )
刚体绕OZ轴转动的转动惯量
L Iω
m
I IC md
14
2
刚体绕质心轴 的转动惯量最小。
例5：如图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴 的转动惯量如何计算？(棒长为L、圆半径为R）
1 2 I L1 m L L 3 1 2 2 I o mo R I L 2 I 0 m0 d 2 1 1 2 I m L L m o R 2 m o(L R)2
例1：一匀质细杆，长为 l 质量为 m ，在摩擦系数为 的水平桌面上转动，求摩擦力的力矩 M阻。
解：杆上各质元均受摩擦力作用，但各质元受的摩 擦阻力矩不同，靠近轴的质元受阻力矩小，远离轴 的质元受阻力矩大，
m 细杆的质量密度 l
质元质量
dm dx
l dm o x m dx
x
质元受阻力矩：
A
mg
m, r
o
T T
B
mg
m, r
a
2
2
(2 h r ) 9.08rad s
1
例8 如图所示，一均匀细棒，可绕通过其端点并与棒垂直的 水平轴转动。已知棒长为l，质量为m，开始时棒处于水平位 置。令棒由静止下摆，求：（1）棒在任意位置时的角加速度； （2） 角为300，900时的角速度。
I ( Δmiri2 )
I是描述刚体转动惯性大小的物理量。
刚体的转动惯量与哪些物理量有关？ ①.与刚体质量有关。 ②.与质量对轴的分布有关。 ③.与轴的位置有关。 在（SI）中，I 的单位：kgm2 量纲：ML2
9
2 .转动惯量的计算
Δmiri2 ) Ii 分立质点系 I (
质量连续分布的刚体
刚体绕OZ轴转动的角动量
a)力矩、角动量都是瞬时量，它们只能针对某 注意： 一时刻而言，它们都不是时间的累积效应。 b)力矩、角动量都是相对量，都必须指明它们 是相对于哪个轴或哪个点。 强调：对于刚体的定轴转动，我们只能用角动量来 描述，而不能用动量来描述。
8
3.转动惯量 1 .定义 刚体对固定轴的转动惯量等于各质元质量与其至 转轴的垂直距离的平方的乘积之和。
3
2
例：再以绕长为 l、质量为 m 的匀质细杆，绕细杆一 端轴转动为例，利用平行轴定理计算转动惯量 I 。
1 2 解：绕细杆质心的转动惯量为： I C ml 12 2
15
1 2 l 1 2 ml m ml 绕杆的一端转动惯量为 I 12 2 3
取刚体内任一质元i，它所受合外力为 Fi，内力为 f i 。
L/2
1 2 mL 3
x
dx
x
L
A
o
C
dm
B
Ic
L / 2
x dm
2
L/2
13
1 3 L 1 mL2 12 12
L / 2
x dx
2
x
L2
dx
L2
x
L 2 I A I C m( ) 2
上例中IC表示相对通过质心的轴的 L 2 I A I C m( ) 转动惯量， IA表示相对通过棒端 2 的轴的转动惯量。两轴平行，相距 L/2。可见： 2 1 1 2 1 2 L 2 I A＝I C＋m mL mL mL 12 4 3 2 推广上述结论，可得平行轴定理。 3 .平行轴定理 I IC 定理表述：刚体绕平行于质心 d 轴的转动惯量 I，等于绕质心 C 轴的转动惯量 IC 加上刚体质量 与两轴间的距离平方的乘积。
10
例2：半径为 R 质量为 M 的圆环，绕垂直于圆环平面 的质心轴转动，求转动惯量I。 解：分割质量元 dm圆环上各质量元到轴的距离相等，
M
I

0
R dm R
2
2 M 0
2 dm MR M
绕圆环质心轴的转动惯量为
o
R
dm
I MR
2
例2：在无质轻杆的 b 处 3b 处各系质量为 2m 和 m 的质点，可绕 o 轴转动，求：质点系的转动惯量I。 解：由转动惯量的定义
y
L O LD D x
的投影称为质点对轴OD的角动量。 z 说明： a)质点对轴的角动量的方向沿转轴的正或负方向；
b)作圆周运动的质点对过圆心且垂直 圆周的轴的角动量就是质点对圆心的 2 角动量,此时 L rmv mr ω 3.定轴转动刚体的角动量 以角速度ω作定轴转动的刚体内取一质 点mi，则其对OZ轴的角动量为： Li ri Δmivi Δmiri2ω
解 : (1) 棒在任意位置时的重力 矩 l M mg cos 2 1 3g M I ml 2 cos
N
o

d

c
3 2l 1 1 d (2) mg cos ml 2 2 3 dt 1 d d 1 2 d ml 2 ml 3 d dt 3 d
两边乘以ri ,有：
16
Fi ri fi ri mi ai ri
对所有质元的同样的式子求和，有：
F r f r m a r m r
2 i i i


i
i i i
i i
合外力矩 内力矩之和
I
用M表示∑Fit ri （合外力矩），有： M I 刚体所受的对于某一固定转动轴的 合外力矩等于刚体对此转轴的转动惯 量与刚体在此合外力矩作用下所获得 的角加速度的乘积。 刚体定轴 转动定律！
M
r
F
P

r
z o
F∥
M r F 大小：M F r sin
F
r
θ
F⊥
3
方向：右手螺旋定则判定 （沿转轴的正或负方向）
转动平面 转轴
说明： a)力的作用线与转轴相交或平行时力对该转轴的矩为 0； b)同一个力对不同的转轴的矩不一样；
4
c)当所给的力在转动平面内，力对转轴的矩与力对交 点O的矩等值。但不能说完全相同。 d)在定轴转动中，如果有几个外力同时作用在刚体上， 它们的作用可以与某一个力矩相当这个力矩叫做这几 个力的合力矩。合力矩与合力的矩是不同的概念，不 要混淆。 在研究力对轴的矩时，可用正负号来表示力矩的方向。 3 .力矩的计算 计算变力对某一转轴的力矩则应当采取分小段的办 法，将每一小段的力视为恒力，再按照恒力矩的计算 方法进行计算，最后求和。
12
1 I A x dm x dx L3 3 0 0
2
例4 求长度为L，质量为m的均匀细棒AB的转动惯量。 （1）对于通过棒的一端与棒垂直的轴。 （2）对于通过棒的中心与棒垂直的轴。 m 解（1）细杆为线质量分布，单位长度的质量为： l l L
2
A
o
dm
B
（2）对于通过棒的中心的轴
解： T mg ma
解得 : 2 g ( 19 r )
2
(2) 设 为组合轮转过的角度 , 则 : h r
20
10 .3rad s m g T ma T (2r ) Tr 9mr2 2 a a r a ( 2 r )
12
T T
m l 1 1 l 2 gl mgl M阻 dM阻 0 gxdx 2 2
细杆受的阻力矩
5
dM阻 dmgx
2.角动量 描述转动状态的物理量 1 .质点对点的角动量 大小：L＝rmvsin 单位：kg•m2/s
L p r m θ o
18
例6 一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定滑 轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳， 绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂 一质量为ｍ的物体而下垂。忽略轴处 摩擦，求物体ｍ由静止下落高度ｈ时 的速度和此时滑轮的角速度。
mg
解： 对M：M ＝TR＝Iβ
对m : mg T ma
1 2 I＝ MR 2 a Rβ
11
I mi ri 2mb m (3b) 11mb
2
2
2
2
2
i 1
例3： 如图所示，一质量为m、长为l的均质空心圆柱 体（即圆筒圆筒）其内、外半径分别为R1和R2。试求 对几何轴oz的转动惯量。 z
解： 在半径为r( R1 r R2 )处,取一薄圆 柱壳形状的质元 ,其长为l半径为r厚度为dr, R2 则该质元的质量为 dm dV ( 2 rdr )l
P
L r P r mv
L o r P
方向：右手螺旋定则判定 L r p
量纲：ML2T-1
6
a) 必须指明是对谁的角动 量； b)作圆周运动的质点的角动量L＝rmv; 注意： c)角动量是描述转动状态的物理量； d)质点的角动量又称为动量矩。
2.质点对轴的角动量 若质点对 O点的角动量为 L ， L 在通过O点的任一轴线OD上
第三节
角动量 角动量守恒定律
1
一、力矩 角动量 转动惯量
1.力矩
反映力的大小、方向和作用点对物体转动的影响
1 .力对固定点的矩
r 是P点相对于固定点O的位矢。
力臂d=rsin
M r F
M
o
d
r
p
θ
F
大小：M＝Frsin=Fd
方向：右手螺旋定则判定
2
力与力臂的乘积。
M r F
单位：N•m（不能写成功的单位J） 量纲：ML2T–2
2 .力对固定轴的矩 （1）力垂直于转轴 这种情况相当于质点绕 固定点O转动的情形。 （2）力与转轴不垂直 可以把力分解为平行于转轴 的分量和垂直于转轴的分量。 平行转轴的力不产生转动效果， 该力对转轴的力矩为零。
O d
m 解方程得：a g m M 2
4mgh v 2ah 2m M
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v 1 4mgh ω R R 2m M
例7 两个匀质圆盘，同轴地粘结在一起，构成一个组合轮。小 圆盘的半径为r，质量为m；大圆盘的半径r’=2r，质量m’ = 2m。 组合轮可以绕通过其中心且垂直于盘面的光滑水平固定轴o转 动，对o轴的转动惯量J=9mr2/2 。两圆盘边缘上分别绕有轻质 细绳，细绳下端各悬挂质量为m的物体A和B，这一系统从静止 开始运动,绳与盘无相对滑动且长度不变。已知r =10cm 。 求： （1）组合轮的角加速度；（2）当物体上升h=0.4m时，组合轮 的角速度。

c
mg
21
l g 分离变量积分 0 2 cos d 0 3 d 3g 3g 0 0 (3g sin ) l 30 , 2l 90 , l
I r dm
2
dm为质量元，简称质元。其计算方法如下：
质量为线分布
质量为面分布
dm dl
dm ds 质量为体分布 dm dV
其中、、分别 为质量的线密度、 面密度和体密度。
质量均匀分布且形状以规则对称的，可利用上 面的公式计算转动惯量，对于形状复杂的刚体通 常通过实验测得其转动惯量。