高二数学竞赛试题及答案

高二年级学科知识竞赛数学试卷

第I 卷（选择题）

一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．命题:p 方程

11

52

2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则使命题p 成立的充分不必要条件是 A ．53<m C ．51<

2|20A x x x =+-<，12

|log 1B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩

⎭

，则A

B =（ ）

A ．1(0,)2

B ．(0,1)

C ．1(2,)2-

D ．1(,1)2

3.若数列{}n a 满足()21115,22

n n

n n a a a a n N a +++==+∈，则其前10项和为（ ）

A ．200 B.150 C.100 D.50

4．已知双曲线()222210,0x y a b a b

-=>>的离心率为62，左顶点到一条渐近线的距离为26

3，则该双

曲线的标准方程为（ ）

A ．22184x y -=

B ．221168x y -=

C ．2211612x y -=

D ．22

1128

x y -= 5．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） ①若,m ααβ⊥⊥，则//m β； ②若,//,m n ααββ⊥⊂，则m n ⊥； ③若,,//m n m n αβ⊂⊂，则//αβ； ④若,,n n m αββ⊥⊥⊥，则m α⊥. A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 6.设0,01x y a b >><<<，则下列恒成立的是（ ）

A.a

b

x y > B.a

b

x y < C.x y a b > D.x y

a b <

7．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，02

π

ϕ<<）的部分图像如图所示，则函数()f x 的

解析式为（ ） A ．()2sin(2)3f x x π=

+ B ．()2sin(2)6

f x x π

=+

C ．()2sin(2)3f x x π

=+

D ．()2sin(2)6

f x x π

=+ 8．正方体1111ABCD A B C D -中，M 是1DD 的中点，O 为底

面ABCD 的中心，P 为棱11A B 上的任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角为（ ） A. 45o

B. 60o

C. 90o

D.与点P 的位置有关

9．一只蚂蚁从正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点1C 位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（ ）

A.①②

B.①③

C.③④

D.②④ 10．函数ln cos 2

2y x x π

π⎛⎫=-

<< ⎪⎝⎭的图象是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

11.设点12,F F 分别为椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的左右焦点，l 为右准线，

若在椭圆上存在点M ，使1MF ，2MF ，点M 到l 的距离d 成等比数列，则椭圆的离心率e 的取值范围是（ ）

A.)

21,1 B.21,1⎤⎦

C.(

21⎤⎦

D.20,

2⎛

⎝⎦

12． 已知全集},|),{(R y x y x U ∈=，集合}20,1sin )4(cos |),{(πθθθ≤≤=-+=y x y x A ，集合

A 的补集A C U 所对应区域的对称中心为M ，点P 是线段)0,0(8>>=+y x y x 上的动点，点Q 是x 轴

上的动点，则MPQ ∆周长的最小值为（ ）

A ．24

B ．104

C ．14

D ．248+

第II 卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝2，|AC →|＝3.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →

，则λ= . 14．正数y x ,满足22=+y x ，则

xy

y

x 8+的最小值为 . 15.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项之和，()9418,309,336n n S a n S -==>=，则n = .

16．对于函数()[]()()sin ,0,212,2,2

x x f x f x x π⎧∈⎪

=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个命题：

①任取[)12,0,x x ∈+∞，都有()()122f x f x -≤恒成立； ②()()(

)*

22f x kf x k k N

=+∈，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立；

③函数()()ln 1y f x x =--有3个零点； ④对任意0x >，不等式()2

f x x

≤

恒成立. 则其中所有真命题的序号是 .

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. （10分）已知0a >，设命题p ：函数()2212f x x ax a =-+-在区间[]0,1上与x 轴有两个不同的交点；命题q ：()g x x a ax =--有最小值.若()p q ⌝∧是真命题，求实数a 的取值范围.

18．（12分）如图所示，已知二面角α-MN -β的大小为60°，菱形ABCD 在面β内，A ，B 两点在棱MN 上，∠BAD ＝60°，E 是AB 的中点，DO ⊥面α，垂足为O .

(1)证明：AB ⊥平面ODE ；

(2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值． 19．（12分）如图所示，在ABC ∆中, 点D 为BC 边上一点，且

1,BD E

=为

AC

的中

点,3272,cos ,23

AE B ADB π

=

=∠=. （1）求AD 的长；

（2）求ADE ∆的面积.

20．（12分）设函数()f x 是定义域为[]1,1-的奇函数；当

[]1,0x ∈-时，()23f x x =-．

（1）当[]0,1x ∈时，求()f x ；

（2）对任意的[][]1,1,1,1a x ∈-∈-，不等式()2

2cos

sin 1f x a θθ≤-+都成立，求θ的取值范围．

21、（12分）已知椭圆的两个焦点为()()121,0,1,0F F -，且椭圆与直线3y x =-相切. ⑴求椭圆的方程；

⑵过1F 作互相垂直的直线12,l l ，与椭圆分别交于,P Q 及,M N ，求四边形PQMN 面积的最大值和最小值. 22．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n A ，对任意*n N ∈满足

11

12

n n A A n n +-=+，且11a =，数列{}n b 满