杆梁结构的有限元分析原理
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BEAM188 3-D Linear Finite Strain Beam BEAM188 is suitable for analyzing slender to moderately stubby/thick beam structures. This element is based on Timoshenko beam theory. Shear deformation effects are included.
对剪切变形的影响
3.1 理论
只考虑剪切变形
变形后轴线切向与变形前轴线之间的转角 β( x).
8
β( x) 相应给出沿着中线剪切角 γxz 其中 ψ (x) 为只考虑梁弯曲理论中的线性单元转角. 假设 : 截面上均匀分布剪应变
弯曲产生的位移：
9
内部力
其中假设
10
实际上τxz采用以下形式：
其中变量与z相关。 为了确定截面的不均匀剪应力分布，引入因素k修正剪应 力：
21
22
➢结构离散 取杆件与杆件交点、集中力作用点、杆件与支承
的交点为节点。相邻两节点间的杆件段是单元。节 点编号时力求单元两端点号差最小。
23
➢坐标系
有限元中的坐标系有整体坐标系和局部坐标系。 对于一个结构，整体坐标系一般只有一个；而局部 坐标系有很多个，一个单元就有一个局部坐标。并 且局部坐标系每一个单元的规定都是相同的，这样， 同类型单元刚度矩阵相同。
平面梁－梁的－各假设个横Pla截ne-b面eam在-a变ssum形pt后ion仍保持为平 面中面，法并线在仍变垂形后直仍于保持变和形中面后垂的直的轴直线法线，假只设是横截 面小绕变某形理一论轴旋转了一个角度。
One-variable beam theory 几何关系
物理关系（应力应变关系）
3
平衡方程 边界条件
y
i· z
·x
j
25
平面桁架杆单元（2D LINK1） 空间杆单元（3D LINK8） 平面刚架，BEAM3 空间梁单元(BEAM4)
26
Ansys 2-D Elastic Beam
three degrees of freedom at each node
27
BEAM3 is a uniaxial element with tension, compression, and bending capabilities
y
Y
xy
x
○
X
○○
○ ○
P
24
杆系结构单元主要有铰接杆单元和梁单元两种 类型。它们都只有2个节点i、j。
➢ 约定：单元坐标系的原点置于节点i；节点i到j的
杆轴（形心轴）方向为单元坐标系中x轴的正向。 y
轴、z轴都与x轴垂直，并符合右手螺旋法则。 ➢ 对于梁单元， y轴和z轴分别为横截面上的两个惯 性主轴。
11
其中k为与截面及泊松比µ相关的函数,可从弹性理论推导得到 假设变形场的整体势能为：
12
13
3.2 离散公式
铁木辛柯梁单元—采用两个独立变量
挠度 w
截面曲率，不考虑剪切 每个单元的节点数量 Lagrange插值函数
14
15
16
挠度与转动采用了同阶的插值表示式。
dw/dx 与ψ不同阶，因此，泛函中的第二项 中的dw/dx-ψ的积分，对于柔性梁（l/n 趋于 无穷大时）会被严重放大。
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3-D Elastic Beam six degrees of freedom at each node BEAM4 is a uniaxial element with tension, compression, torsion, and bending capabilities.
BEAM24 3-D Thin-walled Beam The element has plastic, creep, and swelling capabilities in the axial direction as well as a user-defined cross-section.
BEAM23 2-D Plastic Beam a uniaxial element with tension-compression and bending capabilities
BEAM54 2-D Elastic Tapered Unsymmetric Beam This element allows a different unsymmetrical geometry at each end and permits the end nodes to be offset from the centroidal axis of the beam
除非ψ是常数（没有弯曲变形），否则， dw/ຫໍສະໝຸດ Baidux-ψ不会为零。这种现象称为剪切闭锁。 shear-locking
17
几种方法避免产生剪切闭锁
减缩积分
数值积分采用比精确积分要求少的积分点数
假设剪切应变 替代插值函数
举例说明
18
19
Timoshenko 梁 （采用精确积分）
20
采用缩减积分
BEAM44 3-D Elastic Tapered Unsymmetric Beam This element allows a different unsymmetrical geometry at each end and permits the end nodes to be offset from the centroidal axis of the beam
有限元程序设计
——梁单元，静力问题
1
§1. 介绍. 框架结构，例如桁架、桥梁
轴力构件 axial elements 杆 受弯构件 flexural elements 梁 平面梁单元 plane beam element
2
§2梁. 经在典梁纯单弯元 曲(Be时rno的ulli平-Eu面ler)假Bea设m ：
or
or
where
k —— 曲率 M, Q —— 弯矩，剪力 I —— 惯性矩
4
最小势能原理 典型 C 1 连续问题 通常梁分析中常用2节点Hermite单元
5
其中
引入变形到最小 ΠP , 得到
6
Pj —— 集中荷载; Mj —— 弯矩力偶。 e.g. 对于均匀分布荷载
7
§3. 铁木辛柯梁理论
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BEAM188 3-D Linear Finite Strain Beam BEAM188 is suitable for analyzing slender to moderately stubby/thick beam structures. This element is based on Timoshenko beam theory. Shear deformation effects are included.
对剪切变形的影响
3.1 理论
只考虑剪切变形
变形后轴线切向与变形前轴线之间的转角 β( x).
8
β( x) 相应给出沿着中线剪切角 γxz 其中 ψ (x) 为只考虑梁弯曲理论中的线性单元转角. 假设 : 截面上均匀分布剪应变
弯曲产生的位移：
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内部力
其中假设
10
实际上τxz采用以下形式：
其中变量与z相关。 为了确定截面的不均匀剪应力分布，引入因素k修正剪应 力：
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➢结构离散 取杆件与杆件交点、集中力作用点、杆件与支承
的交点为节点。相邻两节点间的杆件段是单元。节 点编号时力求单元两端点号差最小。
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➢坐标系
有限元中的坐标系有整体坐标系和局部坐标系。 对于一个结构，整体坐标系一般只有一个；而局部 坐标系有很多个，一个单元就有一个局部坐标。并 且局部坐标系每一个单元的规定都是相同的，这样， 同类型单元刚度矩阵相同。
平面梁－梁的－各假设个横Pla截ne-b面eam在-a变ssum形pt后ion仍保持为平 面中面，法并线在仍变垂形后直仍于保持变和形中面后垂的直的轴直线法线，假只设是横截 面小绕变某形理一论轴旋转了一个角度。
One-variable beam theory 几何关系
物理关系（应力应变关系）
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平衡方程 边界条件
y
i· z
·x
j
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平面桁架杆单元（2D LINK1） 空间杆单元（3D LINK8） 平面刚架，BEAM3 空间梁单元(BEAM4)
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Ansys 2-D Elastic Beam
three degrees of freedom at each node
27
BEAM3 is a uniaxial element with tension, compression, and bending capabilities
y
Y
xy
x
○
X
○○
○ ○
P
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杆系结构单元主要有铰接杆单元和梁单元两种 类型。它们都只有2个节点i、j。
➢ 约定：单元坐标系的原点置于节点i；节点i到j的
杆轴（形心轴）方向为单元坐标系中x轴的正向。 y
轴、z轴都与x轴垂直，并符合右手螺旋法则。 ➢ 对于梁单元， y轴和z轴分别为横截面上的两个惯 性主轴。
11
其中k为与截面及泊松比µ相关的函数,可从弹性理论推导得到 假设变形场的整体势能为：
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3.2 离散公式
铁木辛柯梁单元—采用两个独立变量
挠度 w
截面曲率，不考虑剪切 每个单元的节点数量 Lagrange插值函数
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挠度与转动采用了同阶的插值表示式。
dw/dx 与ψ不同阶，因此，泛函中的第二项 中的dw/dx-ψ的积分，对于柔性梁（l/n 趋于 无穷大时）会被严重放大。
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3-D Elastic Beam six degrees of freedom at each node BEAM4 is a uniaxial element with tension, compression, torsion, and bending capabilities.
BEAM24 3-D Thin-walled Beam The element has plastic, creep, and swelling capabilities in the axial direction as well as a user-defined cross-section.
BEAM23 2-D Plastic Beam a uniaxial element with tension-compression and bending capabilities
BEAM54 2-D Elastic Tapered Unsymmetric Beam This element allows a different unsymmetrical geometry at each end and permits the end nodes to be offset from the centroidal axis of the beam
除非ψ是常数（没有弯曲变形），否则， dw/ຫໍສະໝຸດ Baidux-ψ不会为零。这种现象称为剪切闭锁。 shear-locking
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几种方法避免产生剪切闭锁
减缩积分
数值积分采用比精确积分要求少的积分点数
假设剪切应变 替代插值函数
举例说明
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Timoshenko 梁 （采用精确积分）
20
采用缩减积分
BEAM44 3-D Elastic Tapered Unsymmetric Beam This element allows a different unsymmetrical geometry at each end and permits the end nodes to be offset from the centroidal axis of the beam
有限元程序设计
——梁单元，静力问题
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§1. 介绍. 框架结构，例如桁架、桥梁
轴力构件 axial elements 杆 受弯构件 flexural elements 梁 平面梁单元 plane beam element
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§2梁. 经在典梁纯单弯元 曲(Be时rno的ulli平-Eu面ler)假Bea设m ：
or
or
where
k —— 曲率 M, Q —— 弯矩，剪力 I —— 惯性矩
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最小势能原理 典型 C 1 连续问题 通常梁分析中常用2节点Hermite单元
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其中
引入变形到最小 ΠP , 得到
6
Pj —— 集中荷载; Mj —— 弯矩力偶。 e.g. 对于均匀分布荷载
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§3. 铁木辛柯梁理论