数理方程复习讲解

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数理方程与特殊函数数理方程复习

r
球对称性导致球面波问题
2u t 2
a2
1 r2
r
(r 2
u ) r
u t 0
(r), ut
t 0
(r)
令 v = r u , 则有
2v u 2u r 2 2 r r r 2
所以
1 r
r
(r 2
u ) r
1 r
(2r
u r
r2
2u r 2 )
2v r 2
2u t 2
a2
1 r2
r
Ex20. 上半平面 y > 0 的格林函数
11
1
G(P, M0 )
2
[ln rPM0
ln rPM1
]
P M1
O M0
(x y) ( x0 , y0 )
( x0 , – y0 )
Ex21. 证明
J1/2( x)
2 cos x
x
证:
(1)m x n2m
J n ( x) m0 2n2m m!(n m 1)
n1
L
x
L2
h
Cn
2 L
L 0
4 (L ) n
L2
sin L
d
n≥1
Ex10. 用分离变量法求解
utt u
x
0
uxx 0,
0 x 1, u 0
x1
t
0
u
t0
sin(x),
ut
t0
0
Ex11. 求解方程
uuttx0
a 2uxx g, 0, u
xL
(0 0
x
L,
t
0)
u t0 0, ut t0 0

数理方程知识点总结

数理方程知识点总结数理方程是数学理论中的重要分支，其主要研究方向是解决各种类型的方程，包括一元多项式方程、二元一次方程以及各种变形形式的方程等。

数理方程的解决方法非常多元化，通常采用代数、几何、分析等多种方法进行解决，本文将对数理方程的相关知识点进行总结。

一、一元多项式方程1、一元n次多项式方程形如$f(x) = a_0x^n + a_1x^{n-1} + ... + a_{n-1}x + a_n = 0$，其中$a_0 \neq 0$, $n$为任意正整数，求出方程的根$x_1, x_2, ...,x_n$。

求解该方程的方法有以下几种：（1）牛顿迭代法牛顿迭代法的基本思想是：将一元n次多项式方程重新构造成$x = g(x)$的形式，并求该函数在曲线上的切线截距，不断通过切线截距逼近根的值。

具体算法如下：• 任选一个随机数$x_0$作为初值；• 计算$y = f(x)$在$x = x_0$处的导数$f'(x_0)$；• 根据切线公式$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$，计算出当$y = 0$时的$x$值$x_1$，即$x_1 = x_0 - f(x_0) / f'(x_0)$；• 重复上述过程，将$x_1$作为$x_0$，计算出$x_2$；• 重复以上步骤，直到$x_n$接近被求解的根。

（2）二分法二分法的基本思想是根据函数值的符号改变区间的端点，使函数在这个区间内单调递增或递减，从而迅速缩小待求解根所在的“搜索区间”，达到求解根的目的。

算法流程如下：• 选定区间$[a, b]$值满足$f(a)f(b) < 0$，即根在$[a, b]$区间内；• 取区间中点$c = (a + b) / 2$，计算$f(c)$；• 如果$f(c) = 0$，即找到根；• 如果$f(a)f(c) < 0$，即根在区间$[a, c]$内，则将$b$更新为$c$；• 如果$f(b)f(c) < 0$，即根在区间$[c, b]$内，则将$a$更新为$c$；• 重复以上过程，不断缩小区间，直到找到根或直到区间长度足够小时停止。

中考数学总复习考点知识讲解课件5---一次方程(组)及其应用

❹等式的基本性质 (1)等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．即如果a＝b，那
么a±c＝__b_±__c__．
(2)等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．即如果
b
a＝b，那么ac＝__b_c__， a ＝__c__(c≠0)．
c
❺解一元一次方程时，目标是把原方程化为x＝c的形式，一般步骤为： (1)去分母； (2)去括号； (3)移项； (4)合并同类项； (5)未知数的系数化为1.
命题角度❶ 列一次方程(组) 例2 (2018·江西)中国的《九章算术》是世界现代数学的两大源泉之一，其中有一问题：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2 头，羊5头，共值金8两．问牛、羊每头各值金多少？设牛、羊每头各值金 x两、y两，依题意，可列出方程组为．
中考数学总复习考点知识讲解课件一次方程(组)及其应用
知识点一一元一次方程及其解法
❶方程：含有__未__知__数___的等式叫做方程．
❷方程的解：使方程左、右两边的值相等的__未__知__数___的值，叫做方程的解．
❸一元一次方程：只含有_一__个__个未知数(元)，未知数的次数都是__1__，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．
选择代入消元法或加减消元法的技巧
知识点三一次方程(组)的应用
❶常见问题及基本关系式
实际问题巧设未知数 (1)题设中给出A是B的倍数或A比B多(少)时，常设B，再表示A； (2)题干中给出a个甲和b个乙；m个甲和n个乙时，常设甲为x，乙为y； (3)题干中给出甲与乙的和，a个甲和b个乙，可分别设甲为x，乙为y.
例1 (2015·河北)利用加减消元法解方程组法正确的是( ) A．要消去y，可以将①×5＋②×2 B．要消去x，可以将①×3＋②×(－5) C．要消去y，可以将①×5＋②×3 D．要消去x，可以将①×(－5)＋②×2

数理方程的复习重点

第一章是物理方程相关的基本概念，知识相对散碎一些。

归结起来主要有以下几个问题：
1. 判定偏微分方程的线性性质（线性，拟线性，非线性），方程的阶数，方程的解。

2. 能够写出二阶线性偏微分方程的特征矩阵，由特征值及相关知识判断偏微分方程的几何归类（椭圆型，抛物型，狭义双曲型，广义双曲型）。

3. 掌握二元二阶线性偏微分方程化标准型的方法。

（既为重点也是难点之一）
4. 定解问题的建立。

能够对物理现象的描述，建立完整的定解问题（针对常见的一维二维波动方程，热传导方程和Laplace方程）。

本章的难点之一，同时也是贯穿整个物理方程学习之中的一个知识点。

第二章其实就是用固有函数法（分离变量法）解决有限区域上的混合问题求解。

基本要求如下：
1.领会分离变量法，叠加原理，Fourier级数展开的思想。

2.熟练应用固有函数法解齐次边界条件（齐次方程和非齐次方程）的一维波动方程和热传导方程。

3.能用用分离变量法或者固有函数法解矩形域上，圆域上，扇形域上的二维Laplace方程和possion方程。

4.了解正交多项式系，广义Fourier级数（系数）的相关知识，重点掌握Legendre 正交多项式的性质，和简单应用，譬如函数关于Legendre正交多项式的逼近。

能够用分离变量法解决圆域上的Laplace方程。

数理方程总结复习及练习要点-V1

数理方程总结复习及练习要点-V1数理方程是整个数学中最为基础、也最为重要的一个分支。

在学习数学时，数理方程是必修课程之一。

但由于涉及到复杂的计算和具有一定的抽象性质，因此很多学生可能会感到难以掌握。

下面我们一起来总结复习及练习中的要点。

一、基本概念数理方程，又称代数方程，是指含有一个或多个未知量的式子，其中未知量是我们需要求解的。

数理方程主要包括一元一次方程、一元二次方程、多元线性方程组等。

二、重要公式复习数理方程需要掌握一些重要的公式，如求根公式、配方法、消元法等。

这些公式在解题时经常会用到，掌握它们有助于我们快速准确地解题。

三、解题技巧在解数理方程时，我们需要注意一些技巧。

例如：1. 整式变形：将不易求解的方程转化为易求解的方程，如配方法。

2. 对称性：通过利用数学上的对称性，简化计算。

3. 系数对应逐项相消：将一个数学表达式与另一个表达式逐项对应相消，简化计算过程。

四、常见误区在学习数理方程时，我们需要注意一些常见误区。

例如：1. 不认真阅读题目，以及不分析题目中的数据和条件，导致解题错误。

2. 没有掌握好基本概念和公式，导致做题准确性不高。

3. 对题目中的关键词理解不透彻，导致无法准确解题。

五、练习要点练习数理方程需要注意以下要点：1. 反复练习基本公式和解题技巧，多进行心算和口算练习。

2. 练习时要重视细节，注意避免因粗心大意而犯错。

3. 建立练习记录，对带有难度的题目进行整理分类，加强对知识点的掌握。

总之，无论是在学习还是练习中，都要保持认真、耐心、细致的态度。

只有不断地努力和积累，才能准确解出所有的数理方程。

数理方程复习

1(t) 2 (t)
wx wx
(0, t ) (l , t )
1(t) 2 (t)
南京邮电大学、应用数理系
边界条件（四种）： X '' X 0
数理方程
u u
x0 xl
0
0
n
l
2
, Xn (x)
A sin
n
l
x,
n 1, 2,
ux ux
x0 xl
0
0
n
l
2
, Xn (x)
l
bk
1 l
l l
f
( x) sin
nxdx
l
南京邮电大学、应用数理系
k 0
复数形式的傅里叶变换
F () f (x)eixdx
f (x) 1 F ()eixd
2
傅里叶变换式傅里叶逆变换式
数理方程
南京邮电大学、应用数理系
分离变量(傅立叶级数)法
数理方程
基本思想：通过分离变量，把偏微分方程分解成几个常微分方程，其中的常微分方程带有附加条件而构成本征值问题。
数理方程波动方程 (双曲型偏微分方程)
数学物数学角度理方程
偏微分方程积分方程
输运方程 (抛物型偏微分方程) 恒定场方程(椭圆型偏微分方程)
微分积分方程
定解问题：边界条件和初始条件反映了具体问题的特定环境和
历史，也即个性。在数学上，边界条件和初始条件合称为定解
条件。把在给定的定解条件下求解数学物理方程称为数学物理
南京邮电大学、应用数理系
双曲型方程椭圆型方程抛物型方程
数理方程过其中每一点有两条不同的实的特征线过其中每一点不存在实的特征线过其中每一点有一条实的特征线

数理方程-总结复习及练习要点(1)

数理方程-总结复习及练习要点(1)数理方程-总结复习及练习要点数理方程是数学中的一个重要分支，它研究的是各种用数学符号表示的方程簇，并探究其解法及相关性质。

在数学竞赛和高考中，数理方程是一个高频考查的内容，因此我们需要认真学习和掌握。

下面是数理方程的总结复习及练习要点。

一、知识点总结1. 一元一次方程：形如ax+b=0的方程，可以用解方程法、代入法、图像法等方法解决；2. 一元二次方程：形如ax²+bx+c=0的方程，可以用公式法、配方法、因式分解法、图像法等方法解决；3. 一元n次方程：形如a₁xⁿ+a₂xⁿ⁻¹+…+aₙ=0的方程，可以用因式分解法、求根公式、数形结合法等方法解决；4. 二元一次方程组：形如{ax+by=c,dx+ey=f}的方程组，可以用代数法、图像法、消元法等方法解决；5. 二元二次方程组：形如{ax²+by²+cx+dy+e=0,fx²+gy²+hx+iy+j=0}的方程组，可以用消元法、配方法等方法解决；6. 不等式：大于、小于、大于等于、小于等于等不同种类的不等式，可以分别用解不等式、求解集合、证明等方法解决。

二、练习要点1. 要经常进行例题训练，熟练记忆每种方程的解法以及相关性质；2. 要学会用复杂的方程题目中的一些特殊性质，如配方法中平方项差为完全平方、二次项系数一样等等；3. 要结合实际问题练习，尤其是二元一次方程组和不等式中，实际问题更容易引入数学领域；4. 要多用图像法、数形结合法等思维方式，能够脑补形状易于掌握方程性质；5. 在大型比赛中，要将时间合理分配，不要轻易卡在一些细节上，要有策略性地解决问题。

三、总结数理方程是数学考试的重要考点之一，掌握好方程的基本思想和方法，能够在比赛中占据更好的优势，同时也有助于我们更好地解决实际问题。

因此，我们要时常进行练习，加强对数理方程的理解和应用，才能在数学竞赛中获得更好的成绩。

中考总复习：一次方程及方程组--知识讲解

要点诠释：
列方程应注意：（1）方程两边表示同类量；（2）方程两边单位一定要统一；（3）方程两边的数值相等.
【典型例题】类型一、一元一ห้องสมุดไป่ตู้方程及其应用
1．如果方程 3 x2n7 1 1 是关于 x 的一元一次方程，则 n 的值为( ).
5
7
A.2
B.4
C.3
D.1
【思路点拨】未知数 x 的指数是 1 即可.
移项一定要改变符号
（右边）
合并
1、整式的加减；
分别将未知项的系数相加、
4 同类
2、有理数的加法法单独的一个未知数的系数为“±1”
常数项相加
项
则
系数在方程两边同时除以未知数 5 化为的系数（或方程两边同时乘以等式性质 2
“1” 未知数系数的倒数）
不要颠倒了被除数和除数（未知数的系数作除数——分母）
取值范围，由于任何二元一次方程都可以转化为一次函数的形式，所以解二元一次方程可以转化为：当
y＝0 时，求 x 的值.从图象上看，这相当于已知纵坐标，确定横坐标的值.
考点三、一次方程（组）的应用列方程(组)解应用题的一般步骤：
1.审:分析题意，找出已知、未知之间的数量关系和相等关系； 2.设:选择恰当的未知数(直接或间接设元)，注意单位的统一和语言完整； 3.列:根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程(组)； 4.解:解所列的方程(组)； 5.验: (有三次检验 ①是否是所列方程(组)的解；②是否使代数式有意义；③是否满足实际意义)； 6.答:注意单位和语言完整.
判断一个方程组是不是二元一次方程组应从方程组的整体上看，若一个方程组内含有两个未知数，
并且未知数的次数都是 1 次，这样的方程组都叫做二元一次方程组．

数理方程第二版课后习题答案讲解学习

数理方程第二版课后习题答案第一章曲线论§1 向量函数1. 证明本节命题3、命题5中未加证明的结论。

略2. 求证常向量的微商等于零向量。

证：设，为常向量，因为所以。

证毕3. 证明证：证毕4. 利用向量函数的泰勒公式证明：如果向量在某一区间内所有的点其微商为零，则此向量在该区间上是常向量。

证：设，为定义在区间上的向量函数，因为在区间上可导当且仅当数量函数，和在区间上可导。

所以，，根据数量函数的Lagrange中值定理，有其中，，介于与之间。

从而上式为向量函数的0阶Taylor公式，其中。

如果在区间上处处有，则在区间上处处有，从而，于是。

证毕5. 证明具有固定方向的充要条件是。

证：必要性：设具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，于是。

充分性：如果，可设，令，其中为某个数量函数，为单位向量，因为，于是因为，故，从而为常向量，于是，，即具有固定方向。

证毕6. 证明平行于固定平面的充要条件是。

证：必要性：设平行于固定平面，则存在一个常向量，使得，对此式连续求导，依次可得和，从而，，和共面，因此。

充分性：设，即，其中，如果，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，任取一个与垂直的单位常向量，于是作以为法向量过原点的平面，则平行于。

如果，则与不共线，又由可知，，，和共面，于是，其中，为数量函数，令，那么，这说明与共线，从而，根据第5题的结论知，具有固定方向，则可表示为，其中为某个数量函数，为单位常向量，作以为法向量，过原点的平面，则平行于。

证毕§2曲线的概念1. 求圆柱螺线在点的切线与法平面的方程。

解：，点对应于参数，于是当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为2. 求三次曲线在点处的切线和法平面的方程。

解：，当时，，，于是切线的方程为：法平面的方程为3. 证明圆柱螺线的切线和轴成固定角。

证：令为切线与轴之间的夹角，因为切线的方向向量为，轴的方向向量为，则证毕4. 求悬链线从起计算的弧长。

华中科技大学数理方程课件——数理方程复习

HUST 数学物理方程与特殊函数
复习
4. 求解下列定解问题 x 0, y 0 u xy 1, u (0, y ) y 1, y 0 u ( x,0) 1, x0 解法一（积分变换法）记 Ly [u( x, y)] U ( x, p) ，则 d d 1 x pU ( x, p) 1 1 p U ( x, p ) U ( x, p ) 2 C dx p dx p p 1 1 由于 U (0, p) Ly [ y 1] 2 ，于是 U ( x, p) x 1 1 p p p2 p2 p 从而所求解为：
n x l
n 2 n l 2 xd sin x x sin x |0 0 l n l n
l

l
0
sin
n为偶数 0, n l 2l n 2 2 cos x |0 2 2 (1) 1 4l , n为奇数 n l n n 2 2

l 4l u e 2 2 2 n1 2n 1

2hl2 2 l n Cn u ( x,0) sin xdx 2 c(l c)n 2 l 0 l
HUST 数学物理方程与特殊函数
复习
2. 解一维热传导方程，其初始条件及边界条件为 u (0, t ) u (l , t ) u ( x,0) x, 0, 0 x x 2 u 2 u , 0 x l, t 0 a 2 x t u (l , t ) u (0, t ) 0, 0, t 0 x x 0 xl u ( x,0) x, u( x, t ) X ( x)T (t ) u (0, t ) X (0)T (t ) 0 x T X a 2TX u (l , t ) X (l )T (t ) 0 T X x 2 aT X X (0) 0, X (l ) 0

数理方程总复习复习1(第二章分离变量法)

∂u ∂ 2u = a 2 2 + f ( x, t ), 0 < x < l , t > 0, ∂t ∂x ( III ) u x =0 = u1 (t ), u x =l = u2 (t ), t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ l. u t = 0 = ϕ ( x), 特点：非齐次边界
边界条件非齐次，转换为齐次边界条件定解问题选择合适的坐标系非齐次方程，齐次边界条件
非齐次方程，齐次定解条件特征函数法
齐次方程，齐次边界条件分离变量法
第二章、分离变量(fourier级数)法
分离变量法是数学物理方程的基本解法，主要讲：
(1)有限空间的分离变量法(fourier级数法)(本章) (2)无限空间的分离变量法(fourier积分法)(第三章积分变换法) (3) Laplace方程的圆上的定解问题－－在极坐标系下的分离变量法 (4)特征函数法－－在柱坐标系和球坐标系下的分离变量法 (第五、六章)
第三步：将展开式代入方程与初始条件，比较系数得到关于 Tn (t )的常微分方程定解问题，求解确定出Tn (t )。 (Laplace变换法、常数变易法)
方法三、齐次化原理
三、第三种类型定解问题( III )
2 ∂ 2u 2 ∂ u + f ( x, t ), 0 < x < l , t > 0, 2 =a 2 ∂x ∂t ( III ) u x =0 = u1 (t ), u x =l = u2 (t ), t ≥ 0, ∂u u = ψ ( x), 0 ≤ x ≤ l. t = 0 = ϕ ( x ), ∂t t =0
∂V 1 ∂ 2V A −α x − 2 2 = 2 e , 0 < x < l , t > 0, a ∂t a ∂x V x =0 = 0, V x =l = 0, t ≥ 0, V t =0 = 0, 0 ≤ x ≤ l. ∂W 1 ∂ 2W

数理方程第讲

X(x)lX(x)0. (2.5) 6
再利用边界条件(2.2), 由于u(x,t)=X(x)T(t),
X(0)T(t)=0, X(l)T(t)=0. 但T(t)0, 如果T(t)=0, 这种解称为平凡解, 所以
X(0)=X(l)=0
(2.6)
因此, 要求方程(2.1)满足条件(2.2)的变量分离
由于方程(2.13)与边界条件(2.14)都是齐次的,
所以 u (x,t)C n e- n 2 a 2 tsinnx (2 .2 2 )
n 1
仍满足方程与边界条件. 最后考虑u(x,t)能否
n
xd x
0
10
2
5n 3
3
(1 -
cos
n
)
0, 当 n为偶数 ,
4
5n 3
3
,
当
n 为奇数
.
23
因此, 所求的解为 u(x,t)
543n 0(2n1 1)3sin(2n1 01)xcos10(2n1)t
24
解题中常用到的积分表的内容:
xsin
axd
x
1 a2
sin
ax
-
1 a
x
cosax
x
(2.11)
16
u(x,t) un(x,t) n1
n1Cn
cosnat
l
Dn
sinnl at sinnl
x
(2.11)
将初始条件(2.3)代入上式得:
u(x,t)|t0u(x,0)n1Cnsinnlx(x)
u
t t0
Dn
n1
nasinn
ll
x(x)
17
复习高等数学中周期为2l的傅立叶级数: 如果周期为2l的周期函数f(x)为奇函数, 则有

西安理工大学研究生数理方程课件及复习题

A 0
，即一维热传导方程
为抛物型的，类似可得弦振动方程和二维Laplace方程分别为双曲型和椭圆型的。
3.2、两个自变量的二阶微分方程的化简下面我们通过自变量的变换，对方程在区域内的某点 ( x0 , y0 ) 的近旁进行化简。
数学物理方程与特殊函数
第章典型方程和定解条件的推导
D( , ) x 假设上述变换是二次连续可微的，且 D ( x, y ) x
其中
u ( x dx, t ) u ( x, t ) u ( x, t ) 2u ( x, t ) dx dx 2 x x x x x
2 u ( x, t ) 2 u ( x, t ) T x 2 g dx t 2 dx
x l
u x
0
x l
u x (l , t ) 0
(3) 弹性支承端：在 x l 端受到弹性系数为 k 的弹簧的支承。
u T x
x l
k u x l
或
u u 0 x x l
数学物理方程与特殊函数
第章典型方程和定解条件的推导
B、热传导方程的边界条件 (1) 给定温度在边界上的值
数学物理方程与特殊函数
第章典型方程和定解条件的推导
2、边界条件——描述系统在边界上的状况
A、波动方程的边界条件
(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：
u |x0 0,
或： u (l , t ) 0
(2)自由端：x l 端既不固定，又不受位移方向力的作用。
u T x
0
第章典型方程和定解条件的推导
第一章典型方程和定解条件

【数理方程】92偏微分方程的定解问题

即
（ u n
u）S
u1
S
其中 k1 / k
因此，边界条件可以写成：
（u n
u）S
g( x,
y, z,t)
其中u 表示u沿边界上的单位外法线方向n的方向
n
导数，g( x, y, z, t)表示点（x, y, z) 上的已知函数，
k1 / k为已知正数.
例
杆的热传导问题，x =L 的一端处在一种自由
稳定的解有实用价值，否则所得的解就无使用价值。
注意
1）定解条件通常总是利用实验的方法获得的，因此所得的结果总是有一定的误差。 2）当所得的解变动很大时，这种解显然是不符合客观实际要求的。 3）如果一个定解问题存在唯一且稳定的解，则此问题称为适定的。 4）讨论定解问题的适定性往往十分困难，而我们所讨论的定解问题，它们的适定性都是经过证明了的。在以后的讨论中，我们应把着眼点放在讨论定解问题的解法上。
面流入的热量为q），杆的初始温度分布是 x(l x)，
试写出相应的定解问题。
2
答案
热传导温度的微分方程为：
u t
a2
2u x 2
这里a2 k .
c
x(l x) 初始条件： u t0 2
边界条件： u x0 0
定解问题为：
u
k x
xl
q
u t
a2
2u x 2
x(l x)
u t0
答案
弦振动的微分方程为：
2u t 2
a2
2u x 2
初始条件：
e u t0 l x
u t t0 0
边界条件：
u x0 0
u x
xl
0
定解问题为：

数理方程重点总结PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课

对于c 点周围足够小旳 0 ，弦段 c , c
冲量
I
t2
Fd t
t1
上旳动量变化，即为冲量，于是有
冲量：力旳时间作用效应。
2 u( x , 0) k , (c x c )
动量定理
I mv2 mv1
t
质量
速度
受冲击时旳
动量定理：动量旳变化=冲量旳作用。
初位移
T a2T 0 （时间变量的微分方程）
X X 0 （空间变量的微分方程）
二、空间变量常微与边界条件捆绑，构成本征值问题。（解本征值问题）
X X 0
(1)
u x
u
0,
x0
x
0
xl
(2)
(1) 式的通解为
X ( x) Acos x B sin x
(3)
对上式求导，得
2u u
t
2 2xt
xt x
解把方程写成
(t u 2u) 2xt x t
对 x 积分，得
t u 2u x2t F (t) t
或
u 2u x2 F (t)
t t
t
上式还可以写成
(t 2u) x2t 2 t F(t) t
再对 t 积分，得
t 2u 1 x2t 3 t F (t )d t H ( x) 1 x2t 3 G(t ) H ( x)
由开初时，在 x c 处受到冲量 k 旳作用知
对于c 点周围足够小旳 0 ，弦段 c , c
x
上旳动量变化，即为冲量，于是有
第2 题
u (x ,t)
k
为了导出初始条件，考虑：由初始位移为 0，知
c
c
x
0

数学物理方程总复习

⎤ ⎥⎦
−
ρ
gdx
≈
ρ
∂ 2u ( x, ∂t 2
t)
dx
T
⎡ ⎢⎣
∂u(x + dx,t) ∂x
−
∂u( x, t ) ∂x
⎤ ⎥⎦
−
ρ
gdx
≈
ρ
∂ 2u( x, t ) ∂t 2
dx
∂u ( x,t )
由于x产生dx的变化而引起的用微分近似代替，即
∂x
的改变量，可
∂u(x + dx,t) ∂x
现在考虑弧段MM’在t时刻的受力情况
由于假定弦是柔软的，所以在任一点张力的方向总是沿着弦在该点的切线方向。
t时刻位移NM记作u u(x,t)
弧段 Mq M ' 两端
所受的张力记作T,T’
根据牛顿第二定律 F = ma
在x轴方向弧段 Mq M ' 受力的总和为
T 'cos a '− T cos a = 0
行的外力，且假定在时刻t弦上x点处的外力密度为F(x,t)，
显然
T 'cos a '− T cos a = 0
Fds
−
T
sin
a
+
T
'
sin
a
'−
ρ
gds
≈
ρ
ds
∂2u ∂t 2
弦的强迫振动方程
∂2u ∂t 2
=
a2
∂2u ∂x2
+
f
( x, t )
弦的强迫振动方程
∂2u ∂t 2
=
a2
∂2u ∂x2
dx

数理方程第一章-3讲解

a2
(
2u x2
2u y2
2u z2
)
u t
a2 k c
—— 三维热传导方程
本课程内容，只涉及线性边界条件，且仅包括以下三类。
深圳大学电子科学与技术学院
第一类边界条件：物理条件直接规定了 u 在边界上的值，如
u S
f1
第二类边界条件：物理条件并不直接规定了 u 在边界上的值，而是规定了u 的法向微商在边界上的值，如
深圳大学电子科学与技术学院
知识补充：
弹性模量是指当有力施加于物体或物质时，其弹性变形（非永久变形）趋势的数学描述。物体的弹性模量定义为弹性变形区的应力－应变曲线的斜率。杨氏模量指的是受拉伸和压缩时的弹性模量。
杨氏模量(Young‘s modulus)是描述固体材料抵抗形变能力的物理量。一条长度为L、截面积为S的金属丝在力F作用下伸长L。F/S叫应力，其物理意义是金属丝单位截面积所受到的力； L/L叫应变，其物理意义是金属丝单位长度所对应的伸长量。
dx
x
不考虑垂直杆方向的形变，根据Hooke定律，应力与应变成正
比，即 P E u x
代入
P x
2u t 2
2u t2
a2
2u x2
0 xl , t0
其中
a2 E
深圳大学电子科学与技术学院
例6：一根均匀杆，原长为l，一端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长e而静止。突然松手，任其纵向振动。写出定解问题。
（3）对于稳恒场，上述边界条件的两端均不含时间 t ; （4）边界条件的推导，步骤与泛定方程的推导大致相同，但微元只能在边界上选取。
x
x
S 2u d x
t2
Sdx dm（微元质量）