格林函数1

T=0K 的费米子体系的格林函数
虽然真实的系统从来也没有达到过零温, 但有很多量对温度并不特别敏感, 特别是低温下. 比如费米子体系, 在远低于费米温度时, 把系统处理为T=0K 是很好的近似.我们常常把系统描述为它的基态加上它的元激发. T=0K 的格林函数就是计算体系的基态和元激发的. 这样的计算适合电子气体和氦3液体.
从T=0K 的格林函数中可以得到准粒子的有效质量, 寿命, 以及准粒子之间的散射解面(朗道费米液体理论中相互作用函数).
量子统计中的格林函数方法是从粒子物理中处理量子电动力学中费曼—戴逊图形展开方法移植到凝聚态的多体问题中来的. 这个方法是研究有相互作用的多粒子体系的一个基本的强大的工具.;ˆˆˆ0i H H H
+=我们知道, 系统的哈密顿量统常可写为
如果相互作用部分比较小, 我们可以对它进行微扰展开. 费曼—戴逊图形展开方
法就是一种微扰展开的方法. 它在很多问题上取得了很大的成功. 但并非所有问题都能解决. 比如在低能时, 量子色动力学用费曼—戴逊图形展开方法就不行. 再比如, 高温超导中的低掺杂情况, 也不能用微扰论来解决. 不过它是一个理解多体问题的基本框架.
t t t a t a >>ΨΨ<
+
↑↑',|)()'(|0
0k k T=0K 的格林函数要研究的是形如下式的量
这里是系统的基态. 基态动量为零. 上式中表示在时刻在基态上加上一个动量为粒子. 这个态的动量为. 一般地, 它不是系统的本征态.上式是表示时刻, 系统仍然处于这个态的几率. 这个式子是在海森堡绘景中的.
0Ψt >Ψ+
↑0|)(t a k k k 't 由于并不是系统的本征态, 原则上它可以用系统的总动量为的本
征态来展开, 这些本征态的数量是非常巨大的, 而且能量是不同的. 这一点可以用经典粒子系统的类比来理解, 总动量为的组合方式有无限多种, 不同的组合方式动能和势能是不同的. 那么, 这个态可以展开为
>Ψ+
↑0|)(t a k k k ∑>
Ψ>=Ψ+
↑i
i i c t a k k ||)(0
>Ψi k |这里
是总动量为的系统的本征态. 到时刻, 这个态演化为
k 't )'(0||)'(t t iE i
i i i e
c t a −−+
↑∑>Ψ>=Ψk k ∑−+
↑↑>=ΨΨ<i
t t iE i i i e
c c t a t a )'(*00|)()'(|k k 't 时刻, 系统仍然处于这个态的几率
准粒子及其寿命
>Ψ+
↑0|)(t a k
);
(E c c i →由于这些本征态的数量巨大, 能量可以处理为连续化的, 也就是有
∫∑
∞
∞
−−−→dE
e
E D E c e
c c t t iE i
t t iE i i i )
'(2)'(*)(|)(|如果展开系数分布很宽, 比如
const
E D E c =)(|)(|2
我们马上得到
)
'(2)
'(t t dE e
t t iE −=∫∞
∞−−πδ这是说马上系统就不处于开始的态上了.
>Ψ+
↑0
|)(t a k 如果展开系数分布很窄, 比如)
'()(|)(|2
E E E D E c −=δ我们马上得到
)
'(')
'()'(t t iE t t iE e
dE e
E E −∞
∞
−−=−∫δ这是说系统以后永远呆在开始的态上了.
>Ψ+
↑0
|)(t a k 如果展开系数分布为1
22
2
]
)'([)(|)(|−−+Δ=E E E D E c 则有
)
')('()
'(122
2])'([t t i E i t t iE e
i dE e
E E −Δ+∞
∞−−−=−+Δ
∫π也就是说, 这个几率随时间衰减, 寿命为. Δ=/1τ
以上讨论其实是把海森堡的不确定性关系具体化了.洛仑兹分布
这里的讨论其实很具一般性,
适用于所有寿命有限的粒子.
能量分布有宽度,寿命就有限.
在时, 粒子之间无相互作用, ,
以后随着时间的消逝相互作用缓慢地增长, 在时, 增加到实际大小, 这时系统达到真正的基态
−∞→t >Φ>=−∞→Ψ0|)(|t I 0=t >Φ−∞>=−∞Ψ−∞>=Ψ00|),0(ˆ)(|),0(ˆ|U U
I H
此后, 当
时, 再让相互作用缓慢地趋于零,,
∞→t
>Φ>≡Φ−∞∞>=Ψ∞000|ˆ|),(ˆ|)0,(ˆS U
U H 这样就有
iL H e U
−>Φ∞>=Ψ00|)0,(ˆ|>Φ>=Φ−00||ˆiL e S
系统又回到无相互作用的基态, 至多差一个相位因子
绝热假设。