一元二次方程的概念及其解法
一元二次方程的解法定理
一元二次方程的解法定理一、引言在数学中，解一元二次方程是一个基础与重要的问题。
为了找到方程的解，我们需要运用一些定理和方法。
本文将介绍一元二次方程的解法定理以及具体的解法方法。
二、一元二次方程的定义一元二次方程是指形如ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是已知系数，且a≠0。
三、一元二次方程的解法定理一元二次方程的解法定理是指：对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，它的解可根据判别式Δ=b²-4ac的值来分类。
1. 当Δ>0时，方程有两个不相等的实根；2. 当Δ=0时，方程有两个相等的实根；3. 当Δ<0时，方程没有实根，但有两个共轭复数根。
四、一元二次方程的解法方法根据一元二次方程的解法定理，我们可以采取不同的解法方法来求解方程。
1. 当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。
此时，我们可以使用求根公式x=(-b±√Δ)/(2a)来求解。
其中，±代表两个不同的解。
2. 当Δ=0时，方程有两个相等的实根。
此时，我们同样可以使用求根公式x=(-b±√Δ)/(2a)来求解，并且由于Δ=0，所以解是重复的。
3. 当Δ<0时，方程没有实根，但有两个共轭复数根。
此时，我们可以使用公式x=-b/(2a)±(√-Δ/(2a))来求解，其中√-Δ表示二次方程中的虚根。
五、实例分析为了更好地理解一元二次方程的解法定理及解法方法，我们来看一个具体的实例：考虑方程2x^2 + 5x + 2 = 0，我们可以求解该方程的解。
首先，根据判别式Δ=b²-4ac，我们可以计算Δ=5²-4*2*2=1。
由于Δ>0，所以方程有两个不相等的实根。
接下来，根据求根公式x=(-b±√Δ)/(2a)，我们可以计算出两个实根：x=(-5+√1)/(2*2)=-3/2和x=(-5-√1)/(2*2)=-1。
1、一元二次方程的定义及解法
第一讲一元二次方程的定义及解法1.1 一元二次方程的定义知识网络图定义直接开平方法一元二次方程配方法解法公式法因式分解法知识概述1．一元二次方程的概念：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，都能化成形如ax2bx c 0（a 0），这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项． 3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根课堂小练1．（2018?马鞍山二模）已知 a 是方程x2﹣2x﹣1=0 的一个根，则代数式2a2﹣4a﹣1的值为（）A ． 1 B．﹣ 2 C．﹣ 2 或 1 D ．22（．2018?岐山县二模）若关于x 的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣5m+3=0 有一个根为1，则m 的值为（）A ．1 B．3 C．0 D．1 或33．（2017 秋?潮南区期末）一元二次方程（x+3）（x﹣3）=5x 的一次项系数是（）A ．﹣ 5 B．﹣9 C．0 D ．5课后练习1．（2018?荆门二模）已知 2 是关于x 的方程x2﹣（5+m）x+5m=0 的一个根，并且这个方向的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边长，则△ABC 的周长为（）A ．9 B．12 C．9 或12 D． 6 或12 或152．（2018?河北模拟）若关于x 的一元二次方程ax2﹣bx+4=0 的解是x=2，则2020+2a﹣b 的值是（）A ．2016B ．2018 C．2020 D．20223．（2017 秋?武城县期末）若关于x 的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m 2﹣3m+2=0 的常数项为0，则m 等于1.2 直接开平方法知识概述1．直接开方法解一元二次方程：（1） 直接开方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法 （2）直接开平方法的理论依据：平方根的定义课堂小练1．（2017 春?费县校级月考）解方程：（1）25x 2﹣36=0 课后练习1．（2017 秋?天宁区校级月考）解方程：（1）（x+2）2﹣16=0 1.3 配方法4． 5． A ． 0 B ．1 C ．2 2017 秋?蓬溪县期末）关于 A ．1B ．﹣ 12017 秋?常熟市期末）已知 A ． 2015 D ．1 或 2x 的一元二次方程（C ．±12元二次方程 x 2﹣ xB ．2016C ．2018 22a ﹣ 1) x 2+2ax+1 ﹣ a 2=0 有一个根是 0，则D ．0﹣ 2=0 的一个根是 m ，则 2018﹣ m 2+m 的值是（ D ． 2020（3）能用直接开平方法解一元二次方程的类型：①形如关于 x 的一元二次方程 ，可直接开平方求解可直接开平方求解，两根是2）4（2x ﹣1）2=36．2)x 2﹣2x ﹣4=0．②形如关于 x 的一元二次方程知识概述1．配方法解一元二次方程： （1）配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法 叫配方法 .（2）配方法解一元二次方程的理论依据是公式： （3）用配方法解一元二次方程的一般步骤：① 移项：将含未知数的项移到左边，不含未知数的项移到右边； ②化系数为 1：方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③ 配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④ 再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤ 若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解 课堂小练1．（ 2018?临沂）一元二次方程 y 2﹣ y ﹣ =0 配方后可化为（ ）A ．（y+ ） 2=1B ．（y ﹣ ）2=1C ．（y+ ）2=D ．（y ﹣ ）2=22．（2018?旌阳区模拟）用配方法解方程 x 2﹣ x ﹣1=0 时，应将其变形为（）2 2 2 2A ．（x ﹣ ） =B ．（x+ ） =C ．（x ﹣ ） =0D ．（ x ﹣ ） =3．（ 2018?中江县模拟）用配方法解方程： x 2﹣7x+5=0 ．课后练习上方程用配方法变形正确的是（1．（ 2018?秀洲区二模）在《九章算术》 勾股”章里有求方程 2x +34x ﹣71000=0的正根才能解析的题目，以2A ．（x+17 ） 2B ．（x+17）2=71289 2C ．（x ﹣17）2=70711 2D ．（x ﹣17）2=712892．（2017 秋?定安县期末）将一元二次方程 x 2﹣ 4x ﹣ 6=0化成（ x ﹣ a ） 2=b 的形式，则 b 等于（ ）［来A ． 4B ． 6C ． 8D ． 103．（2018?宁河县一模）解下列方程：21）x 2+10x+25=022） x 2﹣ x ﹣1=0．4．（2017?广东模拟）解方程：（x+1）（x﹣1）+2（x+3）=8．1.4 公式法知识概述1. 一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，2. 一元二次方程根的判别式①当时，原方程有两个不等的实数根②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3. 用公式法解一元二次方程的步骤①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c 的值（要注意符号）；③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根课堂小练1．（2016 秋?通江县月考）下列方程适合用求根公式法解的是（A ．（x﹣3）2=2 B．325x2﹣326x+1=0 C．x2﹣100x+2500=0 D ．2x2+3x ﹣1=0 2．（2016秋?惠安县校级期中）用求根公式法解方程x2﹣2x﹣5=0 的解是（）A ．x1 =1+ ，x2=1﹣B．x1=2+ ，x2=2﹣C．x1=1+ ，x2=1﹣ D ．x 1=2+ ，x2=2﹣[来源学§科§网Z§X§X§K]3．（2018?和平区模拟）解方程：（x﹣3）（x﹣2）﹣4=0．课后练习1．解方程2（1）3x2+5x+1=0 ．1.5 因式分解法知识概述1.用因式分解法解一元二次方程的步骤1）将方程右边化为0；2）将方程左边分解为两个一次式的积；3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式）要点诠释：22)2x2﹣7x+6=03）4x2﹣3=12x（用公式法解）24）2x2+3x=1 （用公式法解），十字相乘法等[来源 学#科# 网 Z#X#X#K]（ 1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是 0，另一边可以分解成两个一次因式的 积；（ 2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为 0，那么这两个因式中至少有一个等于 0； （ 3）用分解因 式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为 0；②方程两边不能同时除以含有 未知数的代数式 . 课堂小练1．（ 2018?泸县模拟）解方程： x （x ﹣1）=4x+6 ．2．（2017 秋?白银期末）解方程：（1）3（ x ﹣ 1） 2=x （x ﹣1）课后练习1．解方程（1） 4x 2﹣ 8x+3=0（2）x （x+6）=7 （3）2（x ﹣3）2=5（3﹣x ）22）4）3x（x﹣1）=2（x﹣5）x（x+5）=14；6）x（x﹣2）+（x﹣2）=0．1）[来源学#科# 网Z#X#X#K]。
一元二次方程概念及其解法
对于一元二次方程，最多有两个解，也 可能有一个解或无解。
解的情况取决于判别式 $Delta = b^2 - 4ac$ 的值：当 $Delta > 0$ 时，方 程有两个不相等的实数根；当 $Delta = 0$ 时，方程有两个相等的实数根 （即一个重根）；当 $Delta < 0$ 时，
方程无实数根。
其他实际问题
增长率问题
已知某量的增长率和初始值，求经过一段时间后 的总量。
储蓄问题
已知本金、利率和存款期限，求到期后的本息和。
工程问题
已知工作效率和工作时间，求工作总量或剩余工 作量。
05 一元二次方程与函数关系 探讨
一元二次函数图像性质
开口方向
当a>0时，抛物线开口 向上；当a<0时，抛物
线开口向下。
对称性
顶点
抛物线关于对称轴对称， 对称轴为x=-b/2a。
抛物线的顶点坐标为(b/2a, c-b^2/4a)，是抛 物线的最高点或最低点。
与x轴交点
当Δ=b^2-4ac≥0时，抛 物线与x轴有交点，交点 坐标为(-b±√Δ/2a, 0)。
判别式与函数图像关系
判别式Δ=b^2-4ac 的值决定了抛物线与 x轴的交点个数
frac{n}{m}$，$x_2 = frac{q}{p}$
03 特殊类型一元二次方程求 解
完全平方型
概念
示例
完全平方型一元二次方程是指可以化 为 $(x+a)^2=b$ 或 $(x-a)^2=b$ 形式的一元二次方程。
方程 $(x+3)^2=16$ 可以化为 $x+3=pm4$，解得 $x=-3pm4$， 即 $x_1=1$，$x_2=-7$。
专题05一元二次方程的概念及解法(知识点串讲)(解析版)
专题05一元二次方程的概念及解法知识框架重难突破一、一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．备注：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．备注：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4.一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a -b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a -b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.例1．（2020·山东省初二期中）下列方程中，关于x 的一元二次方程是( ) A ．20ax bx c ++= B ．21120x x+-=C ．x (x -3)=2+x 2D x 2-【答案】D【解析】解：A 、当a ≠0，b 、c 为常数时，是一元二次方程，故此选项错误； B 、是分式方程，故此选项错误； C 、是一元一次方程，故此选项错误； D 、是关于x 的一元二次方程，故此选项正确； 故选：D ．练习1．（2020·河北联邦国际学校初二期中）方程：①2113x x-=，②22250x xy y -+=，③2710x +=，④202y =中，一元二次方程是（ ）． A ．①和② B ．②和③ C ．③和④ D ．①和③【答案】C【解析】解：①2113x x-=不是一元二次方程； ②22250x xy y -+=不是一元二次方程； ③2710x +=是一元二次方程；④202y =是一元二次方程．综上：一元二次方程是③和④ 故选C ．练习2．（2020·重庆巴蜀中学初二月考）如果(2)20mm xx ++-=是关于x 的一元二次方程，那么m 的值为________． 【答案】2【解析】解：(2)20mm xx ++-=是关于x 的一元二次方程，∴202m m +≠⎧⎨=⎩，解得：2m =． 故答案为：2．例2．（2020·哈尔滨市松雷中学校初二月考）方程2x 2﹣6x ﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A ．6、2、5 B ．2、﹣6、5 C ．2、﹣6、﹣5 D ．﹣2、6、5【答案】C【解析】试题分析：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数且a≠0）的a 、b 、c 分别是二次项系数、一次项系数、常数项．方程2x 2﹣6x ﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2、﹣6、﹣5. 故选C练习1．（2020·重庆南开中学初二月考）将一元二次方程﹣3x 2﹣2＝﹣4x 化成一般形式ax 2+bx+c ＝0（a ＞0）后，一次项和常数项分别是（ ） A ．﹣4，2 B ．﹣4x ，2 C ．4x ，﹣2 D ．3x 2，2【答案】B【解析】解：把一元二次方程-3x 2-2=-4x 化成一般形式ax 2+bx+c=0得： -3x 2+4x -2=0， ∵a ＞0， ∴3x 2-4x+2=0，∴一次项和常数项分别是：-4x ，2， 故选：B ．例3．（2019·北京人大附中初二期中）若关于x 的一元二次方程22(3)130m x x m m -+++-=有一个根为1，则实数m 的值_____________． 【答案】5-【解析】∵关于x 的一元二次方程22(3)130m x x m m -+++-=有一个根为1，∴231130m m m -+++-=， 整理得：22150m m +-=， 即()()530m m +-=， 解得：5m =-或3m =， ∵30m -≠， ∴5m =-． 故答案为：5-．练习1．（2019·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校初二期中）若关于x 的一元二次方程260ax bx ++=的一个根为2x =-，则代数式841a b -+的值为________． 【答案】－11【解析】将2x =-代入方程260ax bx ++=得：4260a b -+=， ∴84120a b -+=， ∴84111a b -+=-. 故答案为：﹣11.练习2．（2020·海门市东洲中学初二期中）已知关于x 的方程260x x p --=的一个根是1，则p =_____________； 【答案】－5【解析】解：∵关于x 的方程260x x p --=的一个根是1，∴160p --=， 解得：5p =-， 故答案为：－5．二、一元二次方程的解法1．直接开方法解一元二次方程：(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.备注：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.2．配方法解一元二次方程（1）配方法解一元二次方程(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.备注：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式 （2）配方法的应用1．用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．备注：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．3、公式法解一元二次方程（1）一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.（2）一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.（3）用公式法解一元二次方程的步骤2222()a ab b a b ±+=±用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.备注：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：.①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：.② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：.③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.4、因式分解法解一元二次方程（1）用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. （2）常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 备注：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于20 (0)ax bx c a ++=≠2224()24b b ac x a a -+=240b ac ∆=->1,2x =240b ac ∆=-=1,22b x a =-240b ac ∆=-<0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.例1．（2019·湖南省师大附中梅溪湖中学初三期末）一元二次方程240x -=的解是（ ） A ．x 1＝2，x 2＝-2 B ．x ＝-2 C ．x ＝2 D ．x 1＝2，x 2＝0【答案】A【解析】原方程移项可得：24x =， 解得：12x =，22x -=， 故选：A.练习1．（2019·上海市市西初级中学初二期中）关于x 的方程2221b x x -=-的解是________．【答案】x 1=21b +，x 2=-21b +【解析】2221b x x -=-2221b x x +=()2211bx +=2211x b =+ ∴±故x 1=21b +，x 2=-21b +故答案为：x 1=，x 2=-例2．（2019·北京人大附中初二期中）用配方法解方程2640x x ++=时，原方程变形为（ ） A ．2(3)9x += B ．2(3)14x += C ．2(3)5x += D ．2(3)6x +=【答案】C【解析】方程2640x x ++=， 变形得：264x x +=-，配方得：222666422x x ⎛⎫⎛⎫++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即2(3)5x +=， 故选：C ．练习1．（2020·哈尔滨市松雷中学校初二月考）将方程2410x x -+=化成()2x m n +=的形式是（ ） A ．()2112x -=B ．()223x -=C ．()210x -=D ．()224x -=【答案】B【解析】解：∵x 2-4x+1=0， ∴x 2-4x=-1， ∴x 2-4x+4=-1+4， ∴()223x -=． 故选B ．例3．（2020·扬州市梅岭中学初二期中）关于代数式 −x 2+4x -2 的取值，下列说法正确的是（ ） A ．有最小值-2 B ．有最大值2 C ．有最大值−6 D ．恒小于零【答案】B【解析】解：−x 2+4x -2=22(2)42(2)2x x --+-=--+∵2(2)0x --≤，∴2(2)22x --+≤，当且仅当2x =时等号成立，∴−x 2+4x -2有最大值2 故选B ．练习1．（2019·重庆西南大学附中初二期中）代数式22244619x xy y x -+++的最小值是（ ） A ．10 B ．9 C ．19 D ．11【答案】A 【解析】解：2222244619(3)(2)10x xy y x x x y -+++=++-+∵22(3)0,(2)0x x y +≥-≥∴代数式22244619x xy y x -+++的最小值是10． 故选：A ．练习2．（2020·江阴市敔山湾实验学校初一期中）“a 2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式．例如：x 2+4x +5＝x 2+4x +4+1＝（x +2）2+1，∵（x +2）2≥0，∴（x +2）2+1≥1，∴x 2+4x +5≥1．试利用“配方法”解决下列问题：（1）填空：x 2﹣4x +5＝（x ）2+ ； （2）已知x 2﹣4x +y 2+2y +5＝0，求x +y 的值； （3）比较代数式：x 2﹣1与2x ﹣3的大小． 【答案】（1）﹣2，1；（2）1；（3）x 2﹣1＞2x ﹣3 【解析】解：（1）x 2﹣4x+5＝（x ﹣2）2+1； （2）x 2﹣4x+y 2+2y+5＝0， （x ﹣2）2+（y+1）2＝0， 则x ﹣2＝0，y+1＝0， 解得x ＝2，y ＝﹣1， 则x+y ＝2﹣1＝1； （3）x 2﹣1﹣（2x ﹣3） ＝x 2﹣2x+2 ＝（x ﹣1）2+1， ∵（x ﹣1）2≥0， ∴（x ﹣1）2+1＞0， ∴x 2﹣1＞2x ﹣3．例4．（2020·温州外国语学校初二月考）x =是下列哪个一元二次方程的根（ ） A ．23210x x +-= B ．22410x x +-= C ．2x 2x 30--+= D ．23210x x --= 【答案】D 【解析】解：对于一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，方程的根为：x =．因为x =3a =，2b =-，1c =-，所以对应的一元二次方程是：23210x x --=．故选：D ．练习1．（2019·高唐县赵寨子中学初三月考）用公式法解231x x -+=时，先求出a 、b 、c 的值，则a 、b 、c 依次为（ ）A ．1-，3，1-B ．1，3-，1-C ．1-，3-，1-D ．1-，3，1 【答案】A【解析】把方程231x x -+=化为一元二次方程的一般形式为2310x x -+=，∴a =1，b =−3，c =1.但选项里没有这组值，方程两边同乘以−1，得：2310x x -+-=，此时a =−1，b =3，c =−1.故选:A.练习2．（2020·兰州市外国语学校初三二模）方程x 2+x ﹣1＝0的一个根是（ ）A ．1﹣√5B ．1−√52C ．﹣1+√5D ．√5−12 【答案】D【解析】∵a ＝1，b ＝﹣1，c ＝﹣1，∴△＝b 2﹣4ac ＝12﹣4×（﹣1）＝5，则x ＝-1±√52×1， 所以x 1＝-1+√52 ，x 2＝-1-√52 ． 故选：D ．例5．（2020·天津初三一模）方程x 2+x -12=0的两个根为（ ）A ．x 1=-2，x 2=6B ．x 1=-6，x 2=2C ．x 1=-3，x 2=4D ．x 1=-4，x 2=3【答案】D【解析】试题分析：将x 2+x ﹣12分解因式成（x+4）（x ﹣3），解x+4=0或x ﹣3=0即可得出结论． x 2+x ﹣12=（x+4）（x ﹣3）=0， 则x+4=0，或x ﹣3=0， 解得：x 1=﹣4，x 2=3．练习1．（2020·浙江省初三其他）已知三角形的两边长分别是3和4，第三边是方程x 2﹣12x+35=0的一个根，则此三角形的周长是（ ）A ．12B ．14C ．15D ．12或14 【答案】A【解析】：解方程212350,x x -+= 得125,7x x ==，即第三边的边长为5或7. ∵1<第三边的边长<7，∴第三边的边长为5.∴这个三角形的周长是3+4+5=12.故选A.练习2．（2020·浙江省初二月考）方程(1)(1)2(1)x x x -+=+的解是________．【答案】121,3x x =-=【解析】解：由(1)(1)2(1)x x x -+=+，可得(1)(1)2(1)0x x x -+-+=，所以(1)(12)0x x +--=，即(1)(3)0x x +-=，所以10x +=或30x -=，解得11x =-，23x =，故答案为：11x =-，23x =．例6．（2020·海门市东洲中学初二期中）用指定的方法解下列方程：（1）用配方法解方程：22830x x -+=；（2）用公式法解方程：5x 2+2x ﹣1＝0；（3）用因式分解法解方程：2450x x -=+【答案】（1）12x =+，22x =（2）1x =，2x =；（3）121,5x x ==-. 【解析】（1）22830x x -+=()22430x x -+=()2244830x x -+-+=()2225x -= ()2522x -=2x -=22x =±故方程的解为122x =+，222x =-； （2）5x 2+2x ﹣1=0125b x a --±===故方程的解为1x =，2x =； （3）2450x x -=+()()150x x -+=解得，121,5x x ==-故方程的解为121,5x x ==-.练习1．（2020·重庆市璧山来凤中学校初三月考）解下列方程： （1）3x 2﹣2x ﹣1=0（2）(x ﹣1)2﹣16=0【答案】（1）x =1或x =13-；（2）x =5或x =﹣3．【解析】（1）∵3x 2﹣2x ﹣1=0，∴(x ﹣1)(3x +1)=0，∴x =1或13x =﹣；（2）∵(x ﹣1)2﹣16=0，∴(x ﹣1)2=16，∴x ﹣1=±4，∴x =5或x =﹣3。
一元二次方程的概念及解法
一元二次方程一、一元二次方程的概念：（1）只含一个未知数x；（2）最高次数是2次的；（3）•整式方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．例1．将方程3x（x-1）=5(x+2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号.例2．将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．练习: 判断下列方程是否为一元二次方程？(1)3x+2=5y-3 (2) x2=4 (3) 3x2-5x=0 (4) x2-4=(x+2) 2 (5) ax2+bx+c=0例3．求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．练习:一、选择题1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）．①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-5x=0A．1个B．2个C．3个D．4个2．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）．A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数二、填空题1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为_____，一次项系数为_______，常数项为______．2．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________．三、综合提高题1、关于x的方程（2m2+m）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？2、方程（2a—4）x2—2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？3、当m为何值时,方程(m+1)x／4m／-4+27mx+5=0是关于x的一元二次方程二、一元二次方程的解：复习：方程的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．（只含有一个未知数的方程的解，又叫方程的根）例1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4．例2.若x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式2007(a+b+c)的值练习: 关于x的一元二次方程(a-1) x2+x+a 2-1=0的一个根为0,则求a的值三，一元二次方程的解法的整式方程叫做一元二次方程，一般式为：。
一元二次方程的解
一元二次方程的解一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，通常的形式为：ax² + bx + c = 0，其中 a、b、c 分别为已知常数且a ≠ 0。
解一元二次方程的过程从古至今一直是数学领域中的重要问题，本文将介绍一元二次方程的解法和相关概念。
1. 一元二次方程的解法解一元二次方程可以使用多种方法，包括公式法、配方法和因式分解法等。
下面将介绍其中两种常用的解法。
1.1 公式法公式法是解一元二次方程的基本方法，根据求根公式可以得到一元二次方程的解。
求根公式如下所示：x = (-b ±√(b² - 4ac)) / (2a)其中，√为平方根，±表示两个不同的解，分别是加号和减号形式。
对于一元二次方程 ax² + bx + c = 0，只需将 a、b、c 的值代入公式中即可求得解。
1.2 配方法当一元二次方程无法直接使用公式法解时，可采用配方法进行处理。
配方法的基本思想是通过变换将方程转化为完全平方形式，进而求得解。
首先，对一元二次方程的二次项和一次项进行配方，使其变成一个完全平方形式。
例如，对于方程 x² + 6x + 9 = 0，可以通过将一次项的系数除以 2，然后再平方，得到新的完全平方形式 (x + 3)² = 0。
接下来，利用开平方的性质求解方程。
对于上述方程，解为x = -3。
2. 一元二次方程的解的特点一元二次方程的解的特点包括判别式、重根和虚根。
2.1 判别式判别式是一个与一元二次方程的系数相关的数值，可用于判断方程的解的情况。
判别式的计算公式为Δ = b² - 4ac，其中Δ 表示判别式的值。
根据判别式的值与零的关系，可以分为以下三种情况：- 当Δ > 0 时，方程有两个不相等的实根；- 当Δ = 0 时，方程有两个相等的实根，也称为重根；- 当Δ < 0 时，方程没有实根，但有两个虚根。
一元二次方程的概念与性质
一元二次方程的概念与性质一元二次方程是数学中常见的一种类型的方程，它由一个变量的平方项、一个变量的一次项和一个常数项组成，具体形式为：ax^2 + bx + c = 0。
在这篇文章中，我们将介绍一元二次方程的概念、解的性质以及一些常见的解法。
一、一元二次方程的概念一元二次方程是指只含有一个变量的平方项、一次项和常数项的方程。
在一元二次方程中，变量通常用字母x表示，方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a≠0。
二、一元二次方程的解法要解一元二次方程，我们可以通过以下几种方法来求解。
1. 因式分解法当一元二次方程可以被因式分解为两个一次因式的乘积时，我们可以通过将方程两边置零，并运用零乘积法则来解方程。
举例说明：解方程x^2 - 5x + 6 = 0首先将方程因式分解为(x - 2)(x - 3) = 0然后根据零乘积法则可得到x - 2 = 0 或 x - 3 = 0因此，方程的解为x = 2 或 x = 32. 完全平方公式法对于形如x^2 + 2ax + a^2 = b的一元二次方程，我们可以利用完全平方公式来求解。
完全平方公式为(x + a)^2 = b，从中我们可以得到方程的两个解。
举例说明：解方程x^2 + 6x + 9 = 25根据完全平方公式可得(x + 3)^2 = 25再对方程取平方根，得到x + 3 = ±5因此，方程的解为x = -3 + 5 或 x = -3 - 5，即x = 2 或 x = -83. 直接使用求根公式法对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以使用求根公式x = (-b ±√(b^2 - 4ac)) / 2a 来求解方程。
举例说明：解方程2x^2 + 5x - 3 = 0根据求根公式可得x = (-5 ± √(5^2 - 4*2*(-3))) / (2*2)化简得x = (-5 ± √(25 + 24)) / 4进一步化简得x = (-5 ± √49) / 4因此，方程的解为x = (-5 + 7) / 4 或 x = (-5 - 7) / 4，即x = 1 或 x = -3/2三、一元二次方程的性质一元二次方程具有以下性质：1. 一元二次方程的根一元二次方程的根可以是实数根或复数根。
一元二次方程概念与解法
一元二次方程概念与解法教学目标1•了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程2•能够利用一元二次方程解决简单的实际问题。
教学重点一元二次方程的三种解法：配方法、公式法、分解因式法。
教学难点列一元二次方程解决实际问题。
知识点梳理：一元二次方程知识框图：1•一元二次方程：只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程，这样的方程叫做一元二次方程。
2. —元二次方程的一般形式：a2x+bx+c=0(a丰0)3•—元二次方程的解法直接开平方法：适用于(mx+n) 2=h (h > 0)的一元二次方程。
配方法：适用于化为一般形式的一元二次方程。
关键：方程两边都加上一次项系数一半的平方。
公式法：-b b2 4acx=(b2-4ac> 0)2a关键：b2-4ac>0时，方程才有解。
因式分解法：适用于方程右边是0,左边是易于分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。
4 .一元二次方程ax2+bx+c=0 (a丰0)的根的判别式是_____________________ ，当 _______ 时，它有两个不相等的实数根；当_____________ 时，它有两个相等的实数根；当 ____________ 时，？它没有实数根.5.根的判别式及应用(△ =b2-4ac)(1) 判定一元二次方程根的情况.△ >0 有两个不相等的实数根 △ =0 有两个相等的实数根 △ <0 没有实数根； △ > 0有实数根•6.根与系数的关系(韦达定理)的应用bc 韦达定理：如果一元二次方程 ax 2+bx+c=0(a 工的两根为X 1、X 2，则X 1+X 2=-,X 1 X 2=.aa(1) 已知一根求另一根及未知系数； (2) 求与方程的根有关的代数式的值 ； (3) 已知两根求作方程；(4) 已知两数的和与积，求这两个数； (5) 确定根的符号：(X i ,X 2是方程两根).0,一元二次方程的应用解应用题的关键是把握题意 是否符合实际意义• 例题讲解1： 一元二次方程基本概念(1) mf-3x+x 2=0是关于X 的一元二次方程的条件是 A m=1 B m 丰-1 C m 丰0 D m为任意实数(2) (k-1 ) x 2-kx+仁0是关于x 的一元二次方程的条件是 Js 丰1_.有两正根X ,x 2x ,x 2 00,有两负根有一正根一负根0,X 1 x 2 x 1x 20,0, X 1X 2 0有一正根一零根0,X 1 X 2 0 X 1X 2 0 有一负根一零根0, X 1 x 2 0X 1=X 2=00, X i X 2，找准等量关系，列出方程•？最后还要注意求出的未知数的值(3) _____________________________________ 已知方程mX+mx+3m-X+x+2=0,当m 时，为一元二次方程；当m ___________________________ 时，为兀一次方程1. 关于x 的方程(k — 3)X 2+ 2x — 1 = 0,当k _______ 时，是一元二次方程。
一元二次方程及其解法
第2课时 一元二次方程及其解法一·基本概念理解1 一元二次方程的定义:含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ,它的特征是：等式左边加一个关于未知数x 的二次多项式,等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a叫做二次项系数;bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。
2、一元二次方程的解法(1）、直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根,当0≥b 时，b a x ±=+,b a x ±-=，当b 〈0时,方程没有实数根.（2）、配方法:配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±,把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式（3）、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b a ac b b x公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a ，一次项的系数为b ，常数项的系数为c（4)、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式（5）、韦达定理若1x ，2x 是一元二次方程的一般形式:)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根，则a b x x -=+21，ac x x =21。
一元二次方程的概念及解法
一元二次方程的概念及解法一、二【知识要点】1． 一元二次方程的概念只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。
即一元二次方程必须满足以下三个条件：①它是整式方程；②它只含一个未知数；③方程中未知数的最高次数是2。
2． 一元二次方程的一般形式02=++c bx ax （0≠a ）是一元二次方程的一般形式，即任何一个一元二次方程都可以化成这样的形式。
2ax 称为一元二次方程的二次项，a 称为二次项系数；bx 称为一元二次方程的一次项，b称为一次项系数；c 称为常数项。
在任何一个一元二次方程中，二次项是必不可少的项。
3．用直接开平方法解一元二次方程形如()()02≥=-b b a x 的方程，可用直接开平方法，求得方程的根为：()0≥±=b b a x 。
4．一般的一元二次方程，可用配方法求解。
其步骤是：①化二次项系数为1，并把常数项移项到方程的另一侧，即把方程化为q px x -=+2的形式；②方程两边都加上22⎪⎭⎫ ⎝⎛p ，把方程化为44222q p p x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+；③当042≥-q p 时，利用开平方法求解。
5．一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的求根公式是：()042422≥--±-=ac b aac b b x【典型例题】例1 判断下列方程是不是一元二次方程： （1）12=-y x （2）1142=+x （3）01=-xy （4）322=+x x （5）()112=+-k x a （a 、k 是常数） （6）()()()()1121122-+-=++-x x x x x x （7）032=++y x x （8）01=++y x（9）213122+=+x x （10）0512=++x x例2 当k 取何值时，方程()()2223267210k k x k k x k -+++-++=（1）是关于x 的一元二次方程？ （2）是关于x 的一元一次方程？例3 直接开平方法解方程：（1）()512=-x （2）()162812=-x（3）()()22322+=-x x （4）01532=-x例4 配方法解方程：（1）0542=--x x （2）01322=-+x x（3）01842=+--x x （4）0222=-+n mx x （5） （6）例5 公式法解下列方程：(1) 01522=+-x x (2) 1842-=--x x(3) 02322=--x x (4) ()()()0112=-++-y y y y【大展身手】1．下列关于x 的方程中，属于一元二次方程的有几个（ ） ①()xx 2432+=-，②02=+b ax ，③03)21(22=-+--a x a x ④0222=-+m x x m ，⑤x x =-522，⑥()02122=+++ax x a A ．6个 B ． 5个 C ．4个 D ．3个 2．若方程()112=--x x m 是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．0≠m B ．2≠m C ．1=m D ．1≠m 3．方程052=x 的解是（ ）A ．有一个解x =0B ．有两个解x 1=x 2=0C ．有一个解51=x D ． 以上都不对 4．方程()()02>=-q q p x 的根是（ ）A ．q p x ±=B ．q p x ±-=C ．q p x ±±=D ．)(q p x ±±= 5．用配方法解方程01322=++x x ，正确的解法是（ ） A ．3223198312±-==⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x ， B ．98312-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x ，原方程无实数根。
一元二次方程的基本概念和解法
一元二次方程的基本概念和解法一元二次方程是代数学中的重要概念，由一次项、二次项和常数项构成，其一般形式为 ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
本文将介绍一元二次方程的基本概念及其解法。
一、基本概念一元二次方程是一种含有未知数的方程，其最高次项为二次项。
方程中的未知数通常用x表示，而系数a、b、c则为已知的实数。
二、求解一元二次方程的步骤要求解一元二次方程，首先需要将方程化为标准形式，即将方程中的项按幂次降序排列，然后按照下列步骤进行求解：1. 将一元二次方程化为标准形式：ax² + bx + c = 0；2. 计算判别式Δ = b² - 4ac；3. 若Δ > 0，方程有两个不相等的实数解，可以通过求根公式 x = (-b ± √Δ) / (2a)来求解；4. 若Δ = 0，方程有且仅有一个实数解，解为 x = -b / (2a)；5. 若Δ < 0，方程无实数解。
三、示例演示以一元二次方程 x² - 5x + 6 = 0 为例，演示求解过程：1. 将方程化为标准形式：x² - 5x + 6 = 0；2. 计算判别式Δ = (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1；3. 由于Δ > 0，方程有两个不相等的实数解，应用求根公式计算：x₁ = (-(-5) + √1) / (2(1)) = (5 + 1) / 2 = 3；x₂ = (-(-5) - √1) / (2(1)) = (5 - 1) / 2 = 2；因此，方程的解为 x₁ = 3，x₂ = 2。
四、一元二次方程的图像一元二次方程的图像是一个抛物线，其开口方向取决于二次项系数a的正负。
1. 若a > 0，抛物线开口向上。
以方程 y = x² - 2x + 1 为例：判别式Δ = (-2)² - 4(1)(1) = 0，方程有且仅有一个实数解 x = 1；图像经过点(1, 0)，开口向上。
函数与方程中的一元二次方程与解法
函数与方程中的一元二次方程与解法一元二次方程是数学中常见且重要的方程形式，它在函数与方程的研究中具有广泛的应用。
本文将重点探讨一元二次方程及其解法，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、一元二次方程的定义与形式一元二次方程是指具有如下形式的方程：ax² + bx + c = 0其中，a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二、一元二次方程的解法解一元二次方程可以使用以下几种方法：方法一：因式分解法当一元二次方程可以被因式分解为两个一次因式相乘时，我们可以直接根据因式的零点得到方程的解。
例如，对于方程2x² + 5x + 3 = 0，我们可以将其因式分解为(2x + 1)(x + 3) = 0。
由此可得，方程的两个解为x = -1/2和x = -3。
方法二：配方法配方法是一种常用的解一元二次方程的方法，通过变形使方程左侧成为一个平方的形式，从而得到方程的解。
具体步骤如下：1. 将方程标准形式转化为完成平方的形式。
2. 完成平方后，将方程变形为(x + p)² = q的形式。
3. 对方程进行求根运算，得到方程的解。
例如，对于方程3x² + 4x + 1 = 0，我们可以通过配方法求解：1. 将方程变形为3(x² + 4/3x) + 1 = 0。
2. 完成平方后，得到3[(x + 2/3)² - 4/9] + 1 = 0。
3. 化简得到(x + 2/3)² - 4/3 + 1/3 = 0，即(x + 2/3)² = 1/3。
4. 对方程进行求根运算，得到方程的两个解为x = -2/3 + √(1/3)和x = -2/3 - √(1/3)。
方法三：利用求根公式一元二次方程的求根公式是解一元二次方程的一种常用公式，可以直接得到一元二次方程的精确解。
求根公式如下：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)例如，对于方程x² - 5x + 6 = 0，我们可以直接利用求根公式求解：x = (5 ± √(5² - 4*1*6)) / (2*1)，化简得到方程的两个解为x = 2和x = 3。
一元二次方程的概念及解法
板块一 一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式：20(0)ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．一元二次方程的识别：要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准： ①一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式． ②一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．③一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式20ax bx c ++=()0a ≠．要特别注意对于关于x 的方程20ax bx c ++=，当0a ≠时，方程是一元二次方程；当0a =且0b ≠时，方程是一元一次方程．中考要求例题精讲一元二次方程的概念及解法☞一元二次方程的定义：关于一元二次方程的定义考查点有三个：①二次项系数不为0；②最高次数为2；③整式方程【例1】关于x 的方程22(1)260a x ax ++-=是一元二次方程，则a 的取值范围是（ ）A.1a ≠±B.0a ≠C.a 为任何实数D.不存在 【巩固】已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程，求a 的取值范围．【巩固】若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为_________．【例2】若2(3)330n m x nx ---+=是关于x 的一元二次方程，则m 、n 的取值范围是（ ）A.0m ≠、3n =B.3m ≠、4n =C.0m ≠，4n =D.3m ≠、0n ≠【巩固】m 为何值时，关于x 的方程2((3)4m m x m x m -+=是一元二次方程．【例3】若2310a b a b x x +--+=是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值．【巩固】已知方程20a b a b x x ab +---=是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值．☞一元二次方程根的考察关于一元二次方程根的考查就是需要将根代入方程得到一个等式，然后再考察恒等变换。
一元二次方程概念与解法
一元二次方程概念与解法教学目标1.了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程2.能够利用一元二次方程解决简单的实际问题。
教学重点一元二次方程的三种解法：配方法、公式法、分解因式法。
教学难点列一元二次方程解决实际问题。
知识点梳理：一元二次方程知识框图：1.一元二次方程：只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程，这样的方程叫做一元二次方程。
2.一元二次方程的一般形式:a 2x+bx+c=0(a ≠0)3.一元二次方程的解法 直接开平方法：适用于（mx+n ）2=h (h ≥0)的一元二次方程。
配方法：适用于化为一般形式的一元二次方程。
关键：方程两边都加上一次项系数一半的平方。
公式法：(b 2-4ac ≥0)关键：b 2-4ac ≥0时，方程才有解。
因式分解法：适用于方程右边是0，左边是易于分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。
4．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式是____________，当_______时，它有两个不相等的实数根；当_________时，它有两个相等的实数根；当_______时，•它没有实数根．5.根的判别式及应用(△=b 2-4ac) (1)判定一元二次方程根的情况.△>0⇔有两个不相等的实数根; △=0⇔有两个相等的实数根; △<0⇔没有实数根; △≥0⇔有实数根.6.根与系数的关系(韦达定理)的应用韦达定理:如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两根为x 1、x 2，则x 1+x 2=-b a ,x 1·x 2=c a. (1)已知一根求另一根及未知系数； (2)求与方程的根有关的代数式的值; (3)已知两根求作方程;(4)已知两数的和与积,求这两个数; (5)确定根的符号:(x 1,x 2是方程两根).有两正根⇔12120,0,0x x x x ∆≥⎧⎪+>⎨⎪>⎩有两负根⇔12120,0,0x x x x ∆≥⎧⎪+<⎨⎪>⎩有一正根一负根⇔120,x x ∆>⎧⎨<⎩有一正根一零根⇔12120,00x x x x ∆>⎧⎪+>⎨⎪=⎩有一负根一零根⇔12120,00x x x x ∆>⎧⎪+<⎨⎪=⎩x 1=x 2=0⇔12120,0x x x x ∆>⎧⎨+==⎩一元二次方程的应用解应用题的关键是把握题意,找准等量关系,列出方程.•最后还要注意求出的未知数的值,是否符合实际意义.例题讲解1：一元二次方程基本概念（1）mx 2-3x+x 2=0是关于x 的一元二次方程的条件是 （ ）A m=1B m ≠-1C m ≠0D m 为任意实数（2）（k-1）x 2-kx+1=0是关于x 的一元二次方程的条件是 k ≠1 .（3）已知方程mx 2+mx+3m-x 2+x+2=0,当m 时，为一元二次方程；当m 时，为一元一次方程. （4）填写下表. 一元二次方程 一般形式二次项数一次项系数常数项3 x 2-5=2 x （x+1）2=4 πx 2=0 x （x + ）=0答案：见下表： 一元二次方程 一般形式 二次项系数一次系数 常数项 3 x 2-5=2 x 3 x 2-2 x-5=0 3 -2 -5 （x+1）2=4 x 2+-3=0 1 2 -3 x 2=0 x 2=0 π 0 0 x （x+ ）=0x 2+ x=01练习：1.关于x 的方程(k －3)x 2＋2x －1＝0,当k 时，是一元二次方程。
一元二次方程的概念和解法
适用范围
适用于可以因式分解的一元二次方程。
注意事项
在因式分解过程中，需要注意保证等式两 边相等，避免出现计算错误。
03 一元二次方程的根的性质
根的和与积
根的和
一元二次方程的根的和等于方程的一 次项系数除以二次项系数的负值。即， 如果方程为 ax^2 + bx + c = 0，那 么根的和为 -b/a。
得到方程的解。
适用于所有一元二次方程。
在配方过程中，需要注意保 证等式两边相等，避免出现
计算错误。
公式法
总结词
利用一元二次方程的解的公式直接求解。
详细描述
一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的解的公式为 $x = frac{-b pm sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。直接代入方程的系数，即可求得方程的解。
一元二次方程的一般形式
一般形式
$ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a neq 0$。
参数说明
$a$ 是二次项系数，$b$ 是一次项系数，$c$ 是常数项。
一元二次方程的解的概念
01
02
03
解的概念
满足方程的未知数的值称 为方程的解。
解的表示方法
如果 $x = m$ 是方程的 解，则写作 $x = m$。
根的积
一元二次方程的根的积等于常数项除以 二次项系数。即，如果方程为 ax^2 + bx + c = 0，那么根的积为 c/a。
根的判别式
判别式的定义：判别式Δ = b^2 - 4ac， 用于判断一元二次方程的实数根的情况。
• 当Δ < 0时，方程没有实数根。 • 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；
一元二次方程的基本概念与常见求解方法
一元二次方程的基本概念与常见求解方法知识点睛一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，最高次数的项系数不为 0 的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式2(0)0ax bx c a ++=≠，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．（1）要判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准：一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．一元二次方程最高次数的项系数不为0．（2）任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式2(0)0ax bx c a ++=≠． 要特别注意对于关于 x 的方程2(0)0ax bx c a ++=≠．当0a ≠时，方程是一元二次方程；当00a b =≠且时，方程是一元一次方程． （3）关于x 的一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠的项与各项的系数．ax 2 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．一元二次方程的解法（1）直接开平方法：适用于解形如 (ax +b )2 = ()00a c ≠， 的一元二次方程． （2）配方法：解形如2 )00(ax bx c a ++=≠的一元二次方程，运用配方法解一元二次方程的一般步骤是：① 二次项系数化为1．② 常数项右移．③ 配方 (两边同时加上一次项系数一半的平方)．④ 化成 (x +m )2 = n 的形式．⑤ 若0n ≥，直接开平方得出方程的解。
（3）公式法：设一元二次方程为2 )00(ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：2124b ac x x ∆=-，， 是方程的两根，则：1. ∆ > 0 ⇔ 方程 2)00(ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根 x = 2. ∆ = 0 ⇔ 方程 2 )00(ax bx c a ++=≠有两个相等的实数根 122b x x a==-； 3. ∆ < 0 ⇔ 方程2 )00(ax bx c a ++=≠ 没有实数根．运用公式法解一元二次方程的一般步骤是：① 把方程化为一般形式．② 确定 a 、b 、c 的值．③ 计算24b ac -的值．④ 若 240b ac -≥，则代入公式求方程的根．⑤ 若240b ac -<，则方程无实数根．（4）因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．因式分解法的一般步骤：① 将方程化为一元二次方程的一般形式；② 把方程的左边分解为两个一次因式的积；③ 令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④ 解出这两个一元一次方程得到原方程的解． 一元二次方程解法的灵活运用直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法．在具体解题时，应当根据题目的特点选择适当的解法．（1）直接开平方法：用于缺少一次项以及形如 ax 2 = b 或 (x +a )2 = b (0)b ≥ 或 (ax +b )2 =(cx +d )2 的方程，能利用平方根的意义得到方程的解．（2）配方法：配方法是解一元二次方程的基本方法，而公式是由配方法演绎得到的．把一元二次方程的一般形式 ax 2 +bx +c = 0(a 、b 、c 为常数，0a ≠) 转化为它的简单形式 Ax 2 = B ，这种转化方法就是配方，之后再用直接开平方法就可得到方程的解．（3）公式法：适用于任何形式的一元二次方程，但必须先将方程化为一般形式，并计算 24b ac -的值．（4）因式分解法：适用于右边为 0(或可化为 0)，而左边易分解为两个一次因式积的方程，缺常数项或含有字母系数的方程用因式分解法较为简便，它是一种最常用的方法．【例 1】（1） 若 x 2a +b -3x a-b +1 = 0 是关于 x 的一元二次方程，求 a 、b 的值．（2） 若 n (n ≠0) 是关于 x 的方程 x 2 +mx +2n = 0 的根，则 m +n 的值为 ( )A. 1B. 2C. -1D. -2（3） 已知 43x =，则2421x x x ++的值是 .（4） 当 111552n n x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，(.n x = （ n 为自然数）【例 2】（1） 用直接开平方法解方程：2269(5) 2x x x -+=-． （2） 用配方法解方程：22310x x ++=．（3） 用分解因式法解方程：2()2136x x -=-． （4） 用公式法解方程：161432)2(2x x x x ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭例 3】（1） 解关于 x 的方程： 21 213()()0m x m x m -+-+-=． （2） 解关于 x 的方程22656223200x xy y x y --++-=． 【例 4】（1）如果方程 22()2020x px q x qx p p q -+=-+=≠和 有公共根，则该公共根为 ．（2）若方程2222100ax ax x ax a +-=--=和有公共根，求a 的值例 5】（1） 解方程：22132(10)|2|x x ---+=．（2） 解方程：221|4|x x +-=．练习2 高次方程和无理方程知识点睛1.特殊高次方程的解法:一般的高次方程没有统一的求解方法. 对于一些特殊的高次方程, 可通过降次, 转化为一元二次方程或一元一次方程求解，转化的方法有因式分解法（因式定理）、换元法、变换主元法等.2. 特殊分式方程的解法:求解分式方程总的原则是通过去分母或换元, 使其转化为整式方程, 然后再求解. 在这个过程中离不开分式的恒等变形, 如通分、约分及降低分子的次数等等, 这就有可能使方程产生增根（或遗根）.3. 特殊无理方程的解法:解无理方程的基本思路是把根式转化为有理方程求解. 转化过程中常用的方法有: 乘方、配方、因式分解、等价变换、换元、增元、对偶、利用比例性质等. 如果变形过程是非等价变形（如方程两边平方）, 可能产生增根, 因此应注意验根.精讲精练【例 6】（1） 解方程：43225122560x x x x --++=．（2）解关于 x 的方程 ()()322212 0x t x tx t t +--+-=．（3）解方程 321010x x ++++=【例 7】（1）解方程：(8x + 7)2 (4x + 3)(x + 1)= 29 ；（2）解方程： x x x x x x +-=------2221120102910451069． （3）解方程：222234112283912x x x x x x x x ++-+=+-+．【例 8】（1）解方程：()()222323322x x x x x =+-++--． （2）解方程：22252x x x ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭． （3）方程()()3232232?47615180x x x x x x x x -+---++-+=全部实根是 ．【例 9】（12=．（2）解方程 266 0x x --+=．【例 10】（1）已知 2x =，求．（2）无理方程 221518x x -=-的解是 。
一元二次方程的概念及解法
一元二次方程的概念及解法要点一、一元二次方程的概念1．一元二次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式()ax bx c a 2++=0≠0，a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项．3.要点归纳（1）要判断一个方程是一元二次方程，必须符合以下三个标准：①一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式． ②一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数． ③一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是2．（2）任何一个关于x 的一元二次方程经过整理都可以化为一般式ax bx c 2++=0 (a ≠0)．要特别注意对于关于x 的方程ax bx c 2++=0．当a ≠0时，方程是一元二次方程；当a =0且b ≠0时，方程是一元一次方程．（3）关于x 的一元二次方程式()ax bx c a 2++=0≠0的项与各项的系数．ax 2为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项．【例1】下面关于x 的方程中：①ax bx c 2++=0；②()()x x 223−9−+1=1；③x x21++5=0；④x x 23−2+5−6=0；⑤||x x 2−3−3=0；⑥x kx 2++3=0（k 为常数）是一元二次方程_________． 【解析】（1）②⑥．【变式1】判断下列各式哪些是一元二次方程． ①；②；③；④； ⑤ ；⑥ ；⑦ ．【答案】②③⑥.【解析】①不是方程；④不是整式方程；⑤ 含有2个未知数，不是一元方程；⑦ 化简后没有二次项，不是2次方程. ②③⑥符合一元二次方程的定义．【例2】关于x 的方程2x 2−(a +1)x =x (x −1)−1的一次项系数是-1，则a .【答案】原方程化简为x 2-ax+1=0,则-a=-1,a=1.21x x ++2960x x −=2102y =215402x x −+=2230x xy y +−=232y =2(1)(1)x x x +−=21x x ++215402x x −+=2230x xy y +−=2(1)(1)x x x +−=【变式2-1】若一元二次方程()()m x m x m 222−2+3+15+−4=0的常数项为零，则m 的值为_________．由题意可知，m 2−4=0，m −2≠0，故m =−2【变式2-2】若a b a b x x 2+−−3+1=0是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值．分以下几种情况考虑： ①a b 2+=2，a b −=2，此时a 4=3，b 2=−3；②a b 2+=2，a b −=1，此时a =1，b =0； ③a b 2+=1，a b −=2，此时a =1，b =−1；【例3】（1）已知关于x 的一元二次方程()m x x m 22−1+2+−1=0有一个根是x =0，则m 的值为_______．（1）由于为一元二次方程，∴m −1≠0，而x =0代回方程得到：m 2−1=0．综上可知m =−1．（2）x=1是x 2−ax +7=0的根，则a= .【答案】当x=1时，1-a+7=0,解得a=8.（3）已知关于x 的一元二次方程 有一个根是0，求m 的值. 由题意得【变式3-1】如果关于x 的一元二次方程x 2+px+q ＝0的两根分别为x 1＝2，x 2＝1，那么p ，q 的值分别是( ) A ．-3，2 B ．3，-2 C ．2，-3 D ．2，3 【答案】A ；【解析】∵ x ＝2是方程x 2+px+q ＝0的根，∴ 22+2p+q ＝0，即2p+q ＝-4 ①同理，12+p+q ＝0，即p+q ＝-1 ②联立①，②得 解之得：【变式3-2】已知a 是一元二次方程x x 2−2−1=0的根，求下列各式的值：①a a 1−；②a a221+；③a a a 22−3−3++52． （2）①由a a 2−2−1=0知，a ≠0，故a a 1−2−=0，即a a1−=2；②a a a a 22211⎛⎫+=−+2=6 ⎪⎝⎭；③由于a a 2=2+1，代入所求得，原式a a a 2+1−3=2+1−3++5=52． 22(1)210m x x m −++−=24,1,p q p q +=−⎧⎨+=−⎩3,2.p q =−⎧⎨=⎩【例4】关于x 的方程2()0a x m b ++=的解是12x =−，21x =，（a ，m ，b 均为常数，0a ≠），则方程2(2)0a x m b +++=的解是__________．（3）14x =−，21x =−．【变式4-1】关于x 的方程a （x+m ）2+n=0（a ，m ，n 均为常数，m≠0）的解是x 1=﹣2，x 2=3，则方程a （x+m ﹣5）2+n=0的解是（ ）A ．x 1=﹣2，x 2=3B ．x 1=﹣7，x 2=﹣2C ．x 1=3，x 2=﹣2D ．x 1=3，x 2=8 【答案】D ；【思路点拨】把后面一个方程中的x ﹣5看作整体，相当于前面一个方程中的x 求解.【解析】∵关于x 的方程a （x+m ）2+n=0的解是x 1=﹣2，x 2=3，（m ，n ，p 均为常数，m≠0）， ∴方程a （x+m ﹣5）2+n=0变形为a[（x ﹣5）+m]2+n=0，即此方程中x ﹣5=﹣2或x ﹣5=3， 解得x=3或x=8．故选D ．要点二、一元二次方程的解法1． 直接开平方法：适用于解形如()(),≥ax b c a c 2+=≠00的一元二次方程． 2． 配方法：解形如()ax bx c a 2++=0≠0的一元二次方程，运用配方法解一元二次方程的一般步骤是： ① 将二次项系数化为1． ② 将常数项右移．③配方（两边同时加上一次项系数一半的平方）． ④化成()x m n 2+=的形式．⑤若≥n 0，直接开平方得出方程的解．【例5】解方程：（1）()x x x 22−6+9=5−2 （2）()()x x 224−2−3−1=0【解析】（1）()()x x 22−3=5−2，()x x −3=±5−2，x 1=2，x 28=3．（2）()()x x 224−2=3−1，()()x x 2−2=±3−1，x 1=−3，x 2=1【变式5】解方程： (1) 3x+2）2=4（x ﹣1）2；(2)（x-2）2=25.【答案】解：(1) 3x+2=±2（x ﹣1），∴3x+2=2x ﹣2或3x+2=﹣2x+2， ∴x 1=﹣4；x 2=0．(2) (x-2)=±5 ∴x-2=5或x-2=-5 ∴x 1=7,x 2=-3.【例6】用配方法解方程：（1）x x 2−4−1=0（2）x x 22−8−3=0（3）x x 24−6−4=0【解析】（1）x x 2−4−1=0，()x 2−2=5，x =2±，x 1=2x 2=2；（2）x x 22−8−3=0，()x 22−2=11，x =2，x 1=2x 2=2； （3）x x 24−6−4=0，x 2325⎛⎫−= ⎪416⎝⎭，x 1=2，x 11=−2．【变式6】用配方法解方程：（1）2x 2﹣4x ﹣3=0； （2）3x 2﹣12x ﹣3=0. 【思路点拨】方程(1) (2)的的次项系数不是1，必须先化成1，才能配方，这是关键的一步．配方时，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，目的是把方程化为的形式，然后用直接开平方法求解． 【答案与解析】解：（1）∵2x 2﹣4x ﹣3=0，∴，∴，∴x ﹣1=±，∴．（2）3x 2﹣12x ﹣3=0，3x 2﹣12x=3， x 2﹣4x=1， x 2﹣4x+4=1+4，2()(0)mx n P P +=≥（x ﹣2）2=5， x ﹣2=， x 1=2+，x 2=2﹣；（3）2x 2+3=5x （4） 【答案】（3）. （4）①当时，此方程有实数解，；②当时，此方程无实数解.3.公式法：将()ax bx c a 2++=0≠0进行配方可以得到：b b ac x a a 222−4⎛⎫+= ⎪24⎝⎭． 当≥b ac 2−40时，两个根为,x 12=b ac 2−4=0时，两根相等为bx x a12−==2；当b ac 2−4<0时，没有实数根．可以用△表示b ac 2−4，△称为根的判别式．20x px q ++=2235x x +=2253x x −=−25322x x −=−2225535()()2424x x −+=−+251()416x −=5144x −=±123,12x x ==20x px q ++=222()()22p px px q ++=−+224()24p p qx −+=240p q −≥12x x ==240p q −＜运用公式法解一元二次方程的一般步骤是： ①把方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值； ③计算b ac 2−4的值；④若≥b ac 2−40，则代入公式求方程的根； ⑤若b ac 2−4<0，则方程无实数根． 【例7】解方程：（1）()x x 2−5=2+1（2）()x x x x 1⎛⎫6+1+4−3=22+ ⎪2⎝⎭【解析】（1）()x x x x 22−5=2+1⇒−2−7=0，()2=2−4⨯1⨯−7=32△，∴原方程的解为：x 1=1+，x 2=1−（2）()x x x x x x 21⎛⎫6+1+4−3=22+⇒6+−4=0 ⎪2⎝⎭，()△2=1−4⨯6⨯−4=97故,x 12，∴原方程的解为：x 1=，x 2=． 【教师备课提示】这道题主要是想让孩子们练习用公式法去解一元二次方程，牢记解一元二次方程的公式．4.因式分解法：适用于方程一边是零，另一边是一个易于分解的多项式．因式分解法的一般步骤：② 将方程化为一元二次方程的一般形式；③ 把方程的左边分解为两个一次因式的积，方程右边是零； ③令每一个因式分别为零，得到两个一元一次方程； ④解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的解．【例8】解方程：（1）22320x x −−= （2）2(21)36x x −=−（3）26x −=−【解析】（1）22320x x −−=，(21)(2)0x x +−=，112x =−，22x =；（2）2(21)36x x −=−，2(21)3(12)x x −=−，2(21)(1)0x x −+=，112x =，21x =−．（3）1x =，2x =． 【教师备课提示】这道题主要是想让孩子们练习用因式分解的方法去解一元二次方程． 【变式8】解方程：（1）﹣3x 2+22x ﹣12=12．（2）3x 2﹣x ﹣4=0【思路点拨】先把方程变形，然后利用因式分解法解方程，注意对于二次项系数的分解． 【答案与解析】解：（1）原式变形得：3x 2﹣22x+24=0，（3x ﹣4）（x ﹣6）=0， 3x ﹣4=0或x ﹣6=0， ∴ x 1=，x 2=6． （2）3x 2﹣x ﹣4=0，分解因式得：（3x ﹣4）（x+1）=0， ∴（3x ﹣4）=0或（x+1）=0 ∴ x 1=，x 2=﹣1；【例9】选择合适的方法求解下列方程：（1）x x 2547−25−572=0（2）x 23=1【解析】（1）方程系数较大，公式法过于麻烦，考虑用因式分解，由于572−547=25，故可以简单分解为：()()x x 547−572+1=0，解为x 1=−1，x 2572=547．（2）公式法解决：()△2=−4⨯3⨯−1=18>0，所以由公式法知x =解为x 1，x 2【课后作业】1．（北京市第十三中学2010-2011九年级数学期中）如果关于x 的方程()a x x 2−1+5−6=0是一元二次方程，则（ ） A ．a >1 B ．a =1 C ．a <1 D ．a ≠12．如果关于x 的方程()m m x x 2−7−3−+3=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为______．3．关于x 的一元二次方程x ax a 2++=0的一个根是x =3，则a =________．4．若实数a ，b ，c 满足a b c 4−2+=0，则关于x 的一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0一定有一个根_________．5．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x x 2−12+35=0的根，则该三角形的周长为（ ） A ．14 B ．12 C ．12或14 D ．以上都不对【解析】1．D ；2．−3；3．9−4；4．x =−2；5．B6．已知a 是方程x x 2+−1=0的根，求a a a 32−−3+1的值．【解析】由题意a a 2+−1=0，∴a a 2=−+1，∴原式()()a a a a a a 22=−+1−−3+1=−2++1=−1．7．解方程：（1）()x 22−4−6=03（2）x x 22−8−198=0 （3）()()x x −5−7=1【解析】（1）1x 1=，x 2=7；（2）x 1=2，x 2=2；（3）()()x x x x 2−5−7=1⇒−12+34=0，△2=12−4⨯1⨯34=8，故,x 1212±==628．解关于x 的方程：（1）x mx m n 222−2+−=0（2）x a ax a 22+3=4−2+1（3）()()a b c x ax a b c 2−++2++−=0【解析】（1）原式可以因式分解为：()()x m n x m n −−−+=0，解为x m n 1=+，x m n 2=−．（2）x a 1=3−1，x a 2=+1．（3）二次项系数中含有字母，所以要加以讨论， ①若a b c −+=0，则原方程成为()ax a b c 2++−=0若a =0，则c b −=0，原方程为x 0+0=0，x 可为一切实数． 若a ≠0，则a b c ax a a−−+−2===−122． ②若a b c −+≠0，则原方程成为[]()()()x a b c x a b c +1−+++−=0，得x 1=−1，c a bx a b c2−−=−+．9．解方程：()()x x x x 2222+−22+=3．【解析】设x x m 22+=，则原方程化为m m 2−2−3=0，即()()m m −3+1=0，代回可得：()()x x x x 222+−32++1=0，即x x 22+−3=0或x x 22++1=0．x x 22+−3=0，可化为()()x x 2+3−1=0，解得x 1=1，x 23=−2；x x 22++1=0，用公式法解决，△2=1−4⨯2⨯1=−7<0，故此方程无实数根．综上方程解为：x 1=1，x 23=−2．。
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一元二次方程的概念及解法和讲义知识点一：一元二次方程的概念 (1)定义：只含有一个未知数．．．．．．．．，并且未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的整式方程．．．．就是一元二次方程。
(2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax(3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，则这个方程就为一元二次方程．（4）将方程化为一般形式：02=++c bx ax 时，应满足（a ≠0）例1：下列方程①x 2+1=0；②2y(3y-5)=6y 2+4；③ax 2+bx+c=0 ；④0351=--x x，其中是一元二次方程的有 。
变式:方程：①13122=-x x ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y 中一元二次程的是 。
例2：一元二次方程12)3)(31(2+=-+x x x 化为一般形式为： ，二次项系数为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。
变式1：一元二次方程3（x —2）2＝5x －1的一般形式是 ，二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。
变式2：有一个一元二次方程，未知数为y ，二次项的系数为－1，一次项的系数为3，常数项为－6，请你写出它的一般形式______________。
例3：在关于x 的方程(m-5)x m-7+(m+3)x-3=0中:当m=_____时，它是一元二次方程；当m=_____时，它是一元一次方程。
变式1：已知关于x 的方程(m+1)x 2－mx+1=0，它是（ ） A ．一元二次方程 B ．一元一次方程 C ．一元一次方程或一元二次方程 D ．以上答案都不对 变式2：当m 时，关于x 的方程5)3(72=---x x m m是一元二次方程知识点二：一元二次方程的解（1）概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。
（2）应用：利用根的概念求代数式的值； 【典型例题】1. 已知2x =是一元二次方程220x mx ++=的一个解，则m 的值是（ ） A ．3-B ．3C ．0D ．0或32. 已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
3. 若x=a 是方程x 2-x-2015=0的根，则代数式2a 2-2a-2015值为 。
4. 关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
5. 已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足0=+-c b a ，则此方程必有一根为 。
【举一反三】1. 已知关于x 的方程260x kx --=的一个根为3x =，则实数k 的值为（ ）5. 若x=1是关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 一个根,求代数式2007(a+b+c)的值知识点三：解一元二次方程一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.一：直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如2()x m n +=的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，x m +是n 的平方根，当0n ≥时，x m +=x m =-±，当n<0时，方程没有实数根。
用直接开平方法解一元二次方程的理论根据是平方根的定义，达到降次转化之目的。
（1）形如)0(2≥=p p x 的方程的解是x=p=0时，==x x 210（2）形如()()02≥=+p p n mx 的方程的解为 形如()02=+-n ma x 的方程可先化成()2nx a m-=-的形式，再用直接开平方法解。
【例题讲解】1、方程（x-2）2=9的解是（ ）A ．x 1=5，x 2=-1B ．x 1=-5，x 2=1C ．x 1=11，x 2=-7D ．x 1=-11，x 2=72、若方程x 2=m 的解是有理数，则实数m 不能取下列四个数中的（ ）A ．1B ．4C ．14D ．123、对于形如p x=2的一元二次方程，能直接开平方的条件是___________________。
4、方程0162=-x 的根是________________________。
5、用直接开平方法解下列方程： （1）81162=x （2）24322=m( 3)02592=-x （4）()0364122=--x【同步训练】1、用直接开平方法解方程（x-3）2=8，得方程的根为（ ）A ．B ．x 1x 2C ．．x 1，x 22、方程12（x-3）2=0的根是（ ）A ．x=3B ．x=0C ．x 1=x 2=3D ．x 1=3，x 2=-33、方程()900622=+x 的根是________________________。
4、方程()16922=-t 的根是_____________________。
5、用直接开平方法解下列方程： （1）()072=-x （2）()1282112=+y（3）09)13(42=--x （4）9161642=++x x二：配方法配方法：将形如20(0)ax bx c a ++=≠的一类方程，化为2()mx n p +=形式求解的方法叫做配方法。
一般步骤： （1）把常数项移到方程右边；（2）方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数一半的平方；（4）原方程变形为2()x m n +=的形式；5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． 【例题讲解】1、用配方法解关于x 的一元二次方程x 2-2x-3=0，配方后的方程可以是（ ）A ．（x-1）2=4B ．（x+1）2=4C ．（x-1）2=16D ．（x+1）2=16 2、若一元二次方程式x 2-2x-3599=0的两根为a 、b ，且a ＞b ，则2a-b 之值为何？（ ）A ．-57B ．63C ．179D ．181 3、用适当的数填空：①、x 2+6x+ =（x+ ）2 ②、x 2－5x+ =（x － ）2；③、x 2+ x+ =（x+ ）2 ④、x 2－9x+ =（x － ）24、将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________．5、已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．6、将x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2=b 的形式为___ ____，•所以方程的根为_________．7、若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是 8、用配方法解下列方程：（1）015122=-+x x （2）982=+x x （3）2532=-x x（4）044412=--x x （5）0342=--x x （6）x x 7422=-9、用配方法求解下列问题（1）求2x 2-7x+2的最小值 ； （2）求-3x 2+5x+1的最大值。
【举一反三】1．把方程x+3=4x 配方，得（ ） A ．（x-2）2=7 B ．（x+2）2=21 C ．（x-2）2=1 D ．（x+2）2=2 2．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ）A ．2．-2．．3. 用配方法解下列一元二次方程（1）9642=-x x （2）0542=--x x（3）01322=-+x x （4）07232=-+x x三：公式法（1）公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
由配方法得2222b c b x a a a ⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，化简：22224b c b x a a a ⎛⎫+=-+⇒ ⎪⎝⎭22224244b ac b x a a a ⎛⎫+=-+⇒ ⎪⎝⎭ 222424b b ac x a a -⎛⎫+=⇒ ⎪⎝⎭2b x a +=⇒2b x a =-±⇒x =一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x1x =，2x = 公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里a 为一次项系数，b为二次项系数，c 为常数项。
【典型例题】例1：一般地，对于一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0），当b 2-4ac ≥0时，它的根是_____，当b-4ac<0时，方程_________． 例2：用公式法解方程x 2=-8x-15，其中b 2-4ac=_______，x 1=_____，x 2=________．例3：一元二次方程x 2-2x-m=0可以用公式法解，则m=（ ）． A ．0 B ．1 C ．-1 D ．±1例4：不解方程，判断所给方程：①x 2+3x+7=0；②x 2+4=0；③x 2+x-1=0中，有实数根的方程有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 例5：方程（x+1）（x-3）=5的解是（ ）A ．x 1=1，x 2=-3B ．x 1=4，x 2=-2C ．x 1=-1，x 2=3D ．x 1=-4，x 2=2A.（1）23520x x --+=； （2）22330x x ++=； （3）2210x x -+=；【举一反三】1. 用公式法解方程x 2=-8x-15，其中b 2-4ac=_______，x 1=_____，x 2=________．2. 用公式法解方程4y 2=12y+3，得到（ ）A ．y=32-±．y=32±．y=32± D ．y=32-± 3. 不解方程，判断所给方程：①x 2+3x+7=0；②x 2+4=0；③x 2+x-1=0中，有实数根的方程有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4. 用公式法解方程(1)x 2+15x=-3x; (2)x 2+x-6=0; (3)3x 2-6x-2=0; (4)4x 2-6x=0四：因式分解法因式分解法的步骤是：（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次因式的乘积：（3）令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.例题讲解：(1)x2＋12x＝0； (2)4x2－1＝0；（3）0+++xx；(2=42)2练习巩固：(2)x2－4x－21＝0； (3)(x－1)(x＋3)＝12； (3)3x2＋2x－1＝0；(4)10x2－x－3＝0；(5)(x－1)2－4(x－1)－21＝0．练习巩固用适当方法解下列方程(1)x2－4x＋3＝0； (2)(x－2)2＝256；（3）x2－3x＋1＝0；(4)x2－2x－3＝0；（5） (2t＋3)2＝3(2t＋3)； (6)(3－y)2＋y2＝9；(7)7－2x 2=－15 （8）030222=--x x (9)2x 2－8x ＝7(10)5x 2－(52＋1)x ＋10＝0； (11)(x ＋5)2－2(x ＋5)－8＝0．知识点四：判定根的情况（韦达定理）根的判别式及应用（Δ=240b ac -≥）判定一元二次方程根的情况： Δ＞0，方程有两个不相等的实数根； Δ＝0，方程有两个相等的实数根； Δ＜0，方程没有实数根.确定字母的值或取值范围：应用根的判别式，其前提为二次项系数不为0.韦达定理：实系数一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）存在实数解x 1，x 2，那么x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=ca.这是在初中时韦达定理的定义，但在高中时应用就更为广阔.由代数基本定理可推得：任何一元n 次方程在复数集中必有根，因此，该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积形式，两端比较系数即得韦达定理，所以韦达定理在复数范围内同样适用.一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）在有解的情况下，两个解为x 1，x 2x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=c a.例 1、 已知关于x 的一元二次方程x 2-2x +k =0（1）方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围； （2）在（1）中当k 取最大整数时，求所得方程的实数根.2、已知关于x 的方程kx 2-2=0有两个不相等的实数根．．．．．．．．．，求k 的取值范围.例 2已知x 1，x 2是方程2x 2+14x －16=0的两实数根，求2112x x x x +的值.练习：1.已知x 1,x 2是方程3x 2+2x -1=0的两个实数根，求2212x x +的值.2.设α，β是一元二次方程x 2+3x -7=0的两个实数根，求α2+4α+β的值.综合练习1、如果关于x的方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1·x2=q．请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程x2+mx+n=0（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知a，b满足a2-15a-5=0，b2-15b-5=0，求a bb a的值；（3）已知a，b，c均为实数，且a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．2、若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，则有x1+x2=ba-，x1x2=ca.这是一元二次方程根与系数的关系，我们可以利用它来解题.例如,已知x1，x2是方程x2+6x-3=0的两根，求x12+x22的值.解法如下：∵x1+x2=-6，x1x2=-3，∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=（-6）2-2×（-3）=42.若x1，x2是方程x2+2x-2007=0的两个根，试求下列各式的值：(1) x12+x22；(2)1211x x+； (3)( x1-5)( x2-5)； (4)12||x x-．。