小升初数论高频考点汇总与方法总结(上)

【本讲重点】

1．不识“数论”真面目，只因知识不系统——数论专题系统梳理

2．数论专题综合性题目选讲

模块一：

数论专题系统梳理

一、整除性质

①如果自然数a为M的倍数，则ka为M的倍数。(k为正整数)

②如果自然数a、b均为M的倍数，则a＋b，a－b均为M的倍数。

③如果a为M的倍数，p为M的约数，则a为p的倍数。

④如果a为M的倍数，且a为N的倍数，则a为[M，N]的倍数。

二、整除特征

1．末位系列

(2，5)末位

(4，25)末两位

(8，125)末三位

2．数段和系列

3、9各位数字之和

——任意分段原则(无敌乱切法)

33，99两位截断法

——偶数位任意分段原则

3．数段差系列

11整除判断：奇和与偶和之差

余数判断：奇和－偶和(不够减补十一，直到够减为止)

7、11、13—三位截断法：从右往左，三位一隔：

⎧

⎨

⎩

整除判断：奇段和与偶段和之差

余数判断：奇段和-偶段和（不够减补，直到够减）

则

三、整除技巧：

1．除数分拆：(互质分拆，要有特征)

2．除数合并：(结合试除，或有特征)

3．试除技巧：(末尾未知，除数较大)

4．同余划删：(从前往后，剩的纯粹)

5．断位技巧：(两不得罪，最小公倍)

四、约数三定律

约数个数定律：(指数＋1)再连乘

约数和定律：(每个质因子不同次幂相加)再连乘

约数积定律：自身n (n ＝约数个数÷2)

五、完全平方数

①特征 ⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩

末位：0、1、4、5、6、9÷3余0或1余数：÷4余0或1 ②奇数个约数⇔完全平方数⇔偶指性

六、短除模型

七、质数明星：

2⇔奇偶性

5⇔个位

八、分解质因数

1．质数：快速判断

2．唯一分解定律

3．见积就拆——大质因子分析

九、余数定律

1．利用整除性质求余数

2．利用余数性质求余数

3．利用除数分拆求余数

十、带余除式

代数思想⇔数论方程⇔去余化乘，找倍试约

十一、同余问题

1．同余定理：如果a 与b 除以m 余数相同，则a 、b 之差为m 的倍数。

2．①−−−−

→余数性质不同余同余 ②去余化乘，找倍试约。

十二、剩余问题

三种解法⎧⎪⎨⎪⎩

去同余数，添同补和谐法逐级满足法

模块二：

数论专题综合性题目选讲

(2010年西城实验小升初试题)

2025的百位数字为0，去掉0后是225，225×9＝2025。这样的四位数称为“零巧数”，那么所有的零巧数是_____。

若两个自然数的平方和是637，最大公约数与最小公倍数的和为49，则这两个数是多少？

一个两位数，数字和是质数。而且，这个两位数分别乘以3，5，7之后，得到的数的数字和都仍为质数。满足条件的两位数为 _____。

(2009年清华附中小升初) 对四位数abcd ，若存在质数p 和正整数k ，使a ×b ×c ×d ＝p k ，且a ＋b ＋c ＋d ＝p p －5，求这样的四位数的最小值，并说明理由。

已知!a b c de =23258501738849766000，其中a ，b ，c ，d ，e 表示五个互不相同的偶数数字，且c ＞b ，求a ，b ，c ，d ，e 分别是多少?

数论专题考点分析与技巧总结

谷老师感悟

1．数论一直是升初和杯赛考查最多的专题，一般保守估计，平均每套试卷25%分值考查数论。

2．2011年小升初数论考查三重点：

约数个数定律逆用，完全平方数，短除模型。

3．“代数思想＋枚举验证”数论杀伤力最强的武器。