小升初数论高频考点汇总与方法总结(上)
小升初数论高频考点汇总与方法总结(一)
大海传功
整 除 问 题
•
数论知识脉络：
整
除
问
题
整
整
除 除
特 技
征 巧
因 数 三 定 律
数
论
因
倍
质பைடு நூலகம்
合
完
全
平
方
数
短 除 模 型
质 数
合数
质 数 明 星
分
解
质
因
数
带 余 除 法
余
数
问
题
同
余
问
题
剩
余
问
题
第一单元:因倍质合 【例1】(★★)
4个质数的乘积等于它们的和的11倍，求这4个质数。
【例2】（★★★） 一个两位数，数字和是质数。而且，这个两位数分别乘以3， 5，7之后，得到的数的数字和都仍为质数。满足条件的两位 数为____。
【例3】(★★★) 若两个自然数的平方和是637，最大公因数与最小公倍数的 和为49，则这两个数是多少？
【例4】 (★★★)
已知两个正整数的差是21，它们最大公因数与最小公倍数的 和为287，则这两个数的和是多少？
1
第二单元：因数应用
【例5】（★★★） a，b均为质数且不相等，若A=a3b2，则A有多少个因数？若 B=9A，则B有多少个因数？若C有6个因数，则C2有多少个因数？
【例6】 （★★★）
已知偶数A不是4的倍数，它的因数个数为12，求 4A的因数个数。
小升初数学知识点之数论
小升初数学知识点之数论数字的魅力一直以来都备受人们的关注和热爱。
数论作为数学的一个重要分支，研究整数之间的性质和关系，为我们揭示了数字的奥秘。
在小升初考试中，数论是一个重要的考点，掌握好数论的知识对学生来说至关重要。
本文将介绍小升初数学知识点之数论，帮助读者更好地理解和掌握这一领域的知识。
1. 质数和合数质数指的是只能被1和自身整除的整数，比如2、3、5等。
而合数则指的是可以被除了1和自身之外的其他整数整除的整数，比如4、6、8等。
掌握质数和合数的概念十分重要，可以帮助我们判断一个数的性质，并解决一些数的因子相关的问题。
2. 最大公约数和最小公倍数最大公约数（GCD）指的是两个或多个整数中能够整除它们的最大整数，最小公倍数（LCM）则是两个或多个整数中能够被它们整除的最小整数。
求最大公约数和最小公倍数的方法有很多，比如质因数分解法、辗转相除法等。
了解和掌握这些方法可以帮助我们解决一些关于数的倍数和约数的问题。
3. 素数分解和唯一分解定理素数分解是将一个合数分解成若干个素数的积的过程。
唯一分解定理指出，每一个大于1的正整数都可以写成质数的乘积，而且这个质因数分解的形式是唯一的。
通过素数分解，我们可以将一个较大的整数进行简化，方便我们进行计算和分析。
4. 奇偶性质每一个整数都可以分为奇数和偶数两类，其中奇数指的是不能被2整除的数，偶数则是可以被2整除的数。
奇偶性质在数论中有很多应用，比如判断一个数的因子个数、质因数分解中的奇偶关系等。
5. 同余定理同余定理是数论中一个重要的概念，它描述了整数间除以一个正整数所得的余数的性质。
同余定理可以帮助我们解决一些关于模运算的问题，比如计算大数的末几位、判断两个数是否互质等。
6. 质数的判定判断一个数是否为质数是数论中一个经典且重要的问题。
常见的质数判定方法有试除法、费马小定理等。
了解这些方法可以帮助我们高效地判断一个数是否为质数。
7. 常见的数论应用题数论的知识点在小升初数学考试中有着广泛的应用。
小升初计数高频知识点总结
小升初计数高频知识点总结一、整数的认识1. 整数是由全体正数、零、负数组成的，用来表示有向量的大小和方向，通常用Z表示。
2. 正整数、负整数和0的关系：0是自然数的补集，正整数和负整数的关系是互补的。
二、整数的加减法1. 加法：同号相加，异号相减，取绝对值大的数，符号不变。
例题：5 + (-2) = 5 - 2 = 32. 减法：加法的相反运算，先取相反数再相加。
例题：8 - (-3) = 8 + 3 = 11三、整数的乘除法1. 乘法：同号为正，异号为负。
绝对值相乘。
例题：3 × (-4) = (-3) × 4 = (-12)2. 除法：同号为正，异号为负。
被除数绝对值大于除数即为负数。
例题：(-14) ÷ 2 = 7四、整数的乘方及开方1. 乘方：同底数指数相加。
a的m次方 × a的n次方 = a的(m+n)次方。
例题：2的4次方 × 2的2次方 = 2的6次方2. 开方：开平方指的是一个数的二次方根。
√a×√b=√(a×b)。
五、约数和倍数1. 约数：a是b的约数，是指b可以被a整除，a除以b的余数为0。
2. 倍数：b是a的倍数，是指a是b的约数，a可以被b整除。
六、质数和合数1. 质数：大于1的自然数中，除了1和它本身以外没有其他的约数。
2. 合数：大于1的自然数中除了1和它本身以外，还有其他约数。
七、分数的认识1. 分数是指一个数与另一个数的比，由分子和分母组成。
2. 假分数：分子大于分母的分数。
3. 真分数：分子小于分母的分数。
八、分数的加减法1. 加法：要求分母相同，分子相加，分母不变。
例题：1/4 + 1/4 = 2/42. 减法：要求分母相同，分子相减，分母不变。
例题：3/5 - 2/5 = 1/5九、分数的乘除法1. 乘法：分子乘以分子，分母乘以分母。
例题：2/3 × 3/4 = 6/122. 除法：分子乘以分母的倒数，分母乘以分子的倒数。
小升初突破之数论专题
小升初突破之数论专题小升初的数论专题对很多孩子来说特别头疼，一方面是因为平时练得比较少，另一方面数论专题要求记忆的结论性语句很多，题目难度大，整体得分率也不高，我们今天一起来整理一下升学考试中经常会见到的几类类型。
一、整除（突破要点——牢记特征是关键，常见特征背5遍，先看末尾再看和，然后分段求结果）1、末一位。
2的倍数特征：一个数的末位是0、2、4、6或8，这个数就是2的倍数。
5的倍数特征：一个数的末位是0或者5，这个数就是5的倍数。
举例：12984（末位是4），是2的倍数；349875（末位是5），是5的倍数。
2、末两位。
4的倍数特征：一个数的末两位是4的倍数，这个数就是4的倍数。
25的倍数特征：一个数的末两位是25的倍数，这个数就是4的倍数。
举例：9087624（末两位为24是4的倍数），是4的倍数。
86697575（末两位为75是25的倍数），是25的倍数。
3、末三位。
8的倍数特征：一个数的末三位是8的倍数，这个数就是8的倍数。
125的倍数特征：一个数的末三位是125的倍数，这个数就是125的倍数。
举例：198763547000（末三位为0是8的倍数），是8的倍数。
209374647125（末三位为125是125的倍数），是125的倍数。
4、数字和。
3的倍数特征：一个数，各数位上的数字和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
9的倍数特征：一个数，各数位上的数字和是9的倍数，这个数就是9的倍数。
举例：1987632（数位上的数字和为：1+9+8+7+6+3+2=36。
36是3的倍数），是3的倍数。
1987632（数位上的数字和为：1+9+8+7+6+3+2=36。
36是9的倍数），是9的倍数。
5、两位一组。
11的倍数特征：一个数，从右往左数，每两位数为一组分开，再将各组数加起来，和是11的倍数。
33的倍数特征：一个数，从右往左数，每两位数为一组分开，再将各组数加起来，和是33的倍数。
99的倍数特征：一个数，从右往左数，每两位数为一组分开，再将各组数加起来，和是99的倍数。
小升初数论考点
小升初数论考
点总结
本讲任务
最大公约与最小公倍
约数个数定律
一、短除模型
【基础铺垫】
【例1】★★(2010年西城实验小升初试题)
两个自然数的和是40，它们的最大公约数和最小公倍数的和也是40，这样的自然
数共有组。
【例2】★★★(2010年西城实验小升初试题)
不是0的自然m和n有大于1的最大公约数，且满足m3＋n＝371，
则m n＝。
二、约数个数定律
【基础铺垫】
约数个数定律：(指数＋1)再连乘。
例：72＝23×32约数个数：(3＋1)(2＋1)＝12个
【例3】★★(101中学2010年9月24日点招考试题)
某自然数有10个不同的约数，但质约数只有2和3，满足条件的自然数最大是。
【例4】★★★★(2008年仁华考题)
1001的倍数中，共有个数恰好有1001个约数。
本讲关键词
1．短除模型；
2．约数个数定律逆用。
小升初奥数总复习-小升初数论高频考点汇总与方法总结(上)
【本讲重点 】1．不识“数论”真面目，只因知识不系统——数论专题系统梳理2．数论专题综合性题目选讲模块一：数论专题系统梳理一、整除性质①如果自然数a 为M 的倍数，则ka 为M 的倍数。
(k 为正整数)②如果自然数a 、b 均为M 的倍数，则a ＋b ，a －b 均为M 的倍数。
③如果a 为M 的倍数，p 为M 的约数，则a 为p 的倍数。
④如果a 为M 的倍数，且a 为N 的倍数，则a 为[M ，N ]的倍数。
二、整除特征1．末位系列(2，5)末位(4，25)末两位(8，125)末三位2．数段和系列3、9各位数字之和——任意分段原则(无敌乱切法)33，99两位截断法——偶数位任意分段原则3．数段差系列11整除判断：奇和与偶和之差余数判断：奇和－偶和(不够减补十一，直到够减为止)7、11、13—三位截断法：从右往左，三位一隔：()⎧⎨⎩整除判断：奇段和与偶段和之差余数判断：奇段和-偶段和不够减补，直到够减则三、整除技巧：1．除数分拆：(互质分拆，要有特征)2．除数合并：(结合试除，或有特征)3．试除技巧：(末尾未知，除数较大)4．同余划删：(从前往后，剩的纯粹)5．断位技巧：(两不得罪，最小公倍)四、约数三定律约数个数定律：(指数＋1)再连乘约数和定律：(每个质因子不同次幂相加)再连乘约数积定律：自身n (n ＝约数个数÷2)五、完全平方数①特征 ⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩末位：0、1、4、5、6、9÷3余0或1余数：÷4余0或1②奇数个约数⇔完全平方数⇔偶指性六、短除模型七、质数明星：2⇔奇偶性5⇔个位八、分解质因数1．质数：快速判断2．唯一分解定律3．见积就拆——大质因子分析九、余数定律1．利用整除性质求余数2．利用余数性质求余数3．利用除数分拆求余数十、带余除式代数思想⇔数论方程⇔去余化乘，找倍试约十一、同余问题1．同余定理：如果a 与b 除以m 余数相同，则a 、b 之差为m 的倍数。
小升初数论基础知识点总结
小升初数论基础知识点总结一、质数1. 定义：质数是指只有1和本身两个因数的自然数。
2. 常见质数表：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ...3. 判断方法：一个自然数a是否是质数，可以试除从2到sqrt(a)的所有素数，如果a都不能被整除，那么a就是质数。
二、最大公约数1. 定义：两个不全为0的整数a和b的公共因数中最大的那一个就是a和b的最大公约数。
2. 求解方法：欧几里得算法是一种求最大公约数的有效方法，可以通过连续做辗转相除，得到最终的最大公约数。
三、最小公倍数1. 定义：两个不全为0的整数a和b的公共倍数中最小的那一个就是a和b的最小公倍数。
2. 求解方法：最小公倍数可以通过最大公约数求得，即两个数的乘积除以它们的最大公约数就是它们的最小公倍数。
四、整除与余数1. 定义：当a能被b整除时，a称为b的倍数，b称为a的约数。
如果a不能被b整除，那么a除以b的余数称为a对b的余数。
2. 性质：若a能被b整除，零是任何整数的公约数和公倍数。
3. 算法：整除运算可以通过乘法和减法的结合进行模拟，即a能否被b整除可以通过a-b 的连续减法得到结果。
五、除法定理和带余除法1. 定理：对于任意整数a和b，b不等于0，存在一对整数q和r，使得a = bq + r，其中q是商，r是余数。
2. 带余除法：将除数b不断增加倍数，直到超过被除数a，那么最后一次减法运算得到的余数就是带余除法的结果。
六、素数的判定与分解1. 判定方法：通过试除法可以判定一个数是不是素数，若一个数不能被2到sqrt(n)之间的素数整除，那么它就是素数。
2. 分解方法：每个正整数都可以分解成若干个素数的乘积，这就是素数分解定理，通过连续除素数得到的结果就是素数的分解。
七、互质数1. 定义：两个数的最大公约数为1时，这两个数就称为互质数。
2. 性质：互质数的乘积等于它们的最小公倍数，即互质数的最小公倍数就是它们的乘积。
小升初奥数常考知识点：数论
小升初奥数常考知识点：数论小编今天为大家带来的小升初奥数常考知识点：数论，以供大家参考练习!数论，是小学数学的难点，也是郑州小升初数学考试的重点。
小编整理了数论知识点，供同学们复习查看。
一、数的整除1、能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数。
2、能被5整除的数的特征：个位数字是0或者5.3、能被3(或者9)整除的数的特征：各个数位数字之和能被3(或者9)整除。
例如：537 因为各个数位数字之和为：5+3+7=15能被3整除，所以537可以被3整除。
4、能被4(或者25)整除的数的特征：末两位数能被4(或者25)整除。
例如：1864 因为末两位数64能被4整除，所以1864能被4整除。
5、能被8(或者125)整除的数的特征：末三位数能被8(或者125)整除。
6、能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上得数字之和与偶数位上的数字之和的差(大减小)是11的倍数。
例如：判断12345这个数能否被11整除这个数奇数位数字之和为：1+3+5=9，偶数位上的数字之和是2+4=6，因为9-6=3,3不能被11整除，所以12345不能被11整除7、能被7(11或13)整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差(用大减小)能被7(11或13)整除。
例如：判断1059282是否能被7整除把1059282分为两个数：1059和282，因为1059-282=777,777可以被7整除，所以1059282可以被7整除。
二、质数、合数、分解质因数1、特别注意：1不是质数也不是合数2、自然数中最小的质数：23、100以内的所有质数：分类来学习第一类：20以内的质数，共8个：2、3、5、7、11、13、17、19。
第二类：个位数字是3或9，十位数字相差3的质数，共6个：23、29、53、59、83、89。
第三类：个位数字是1或7，十位数字相差3的质数，共4个：31、37、61、67。
第四类：个位数字是1、3或7，十位数字相差3的质数，共5个：41、43、47、71、73。
小升初七大块之数论方法总结
七大板块之数论部分数论部分有五个大块，分别是：整除、质数合数应用、分解质因数、余数问题、常考综合题。
第一节整除【专题简析】：在数的整除中要熟记数整除的特点，在用整除的知识来解决相关试题的时候要注意首先确定末尾那个数字，在确定其他的数字。
数整除的特征【例题精讲】例1.老师买了72本相同价格的书，当时没有记住书的单价，只用铅笔记下了用的总钱数，回到学校后其中有两个数字已经模糊不清了，总钱数成了□13.7□元，你能帮忙补上□中数字吗？提示:首先将口13. 7口元化为分,这样总钱数就是口137口分。
由于每本书价格相同,所以72|口137口。
但72=8X9,所以8和9都应整除口137口。
由于8整除口137口,所以8|37口。
由此可知，当37口=376时,才有8|376。
故原数为口1376。
又由于9整除口1376,所以其数字和口+1+3+7+6必为9的倍数。
即9|(口十17)。
而口只能是1到9中的某个数,所以口只能是1。
答案:原数是11376分,即113. 76元。
例2.在算式abcde11=⨯中，不同字母代表不同的数，相同的字母代表abcde3相同的数，求abcde这个五位数是多少？分析：权位分析法，（1×100000+a×10000+b×1000+c×100+d×10+e）×3=a×100000+b×10000+c×1000+d×100+e×10+1合并相同字母得到70000a+7000b+700c+70d+7e=299999然后两边同时除以7得到10000a+1000b+100c+10d+e=42857所以这个五位数是42857.【综合练习】1.已知yx1993。
（5分）x1993是45的倍数，求所有满足条件的六位数y2.有一个整数，用它去除70、110、160等到三个余数之和是50，求此整数。
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本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==201X小升初数学知识点之数论小升初数学是学习生涯的关键阶段，为了能够使同学们在数学方面有所建树，小编特此整理了小升初数学知识点之数论，以供大家参考。
1.奇偶性问题奇奇=偶奇奇=奇奇偶=奇奇偶=偶偶偶=偶偶偶=偶2.位值原则形如：=100a+10b+c3.数的整除特征：4.整除性质①如果c|a、c|b，那么c|(ab)。
②如果bc|a，那么b|a，c|a。
③如果b|a，c|a，且(b，c)=1，那么bc|a。
④如果c|b，b|a，那么c|a。
⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。
5.带余除法一般地，如果a是整数，b是整数(b0)，那么一定有另外两个整数q和r，0r当r=0时，我们称a能被b整除。
当r0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商(亦简称为商)。
用带余数除式又可以表示为ab=qr，0r6。
唯一分解定理任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即n=p1p2。
pk7。
约数个数与约数和定理设自然数n的质因子分解式如n=p1p2。
pk那么：n的约数个数：d(n)=(a1+1)(a2+1)。
(ak+1)n的所有约数和：(1+P1+P1+p1)(1+P2+P2+p2)(1+Pk+Pk+pk)8。
同余定理①同余定义：若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用式子表示为ab(modm)②若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除。
③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。
④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。
⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。
9.完全平方数性质①平方差：A-B=(A+B)(A-B)，其中我们还得注意A+B，A-B同奇偶性。
小升初重要知识点《数论之整除和余数》专题整理
《整除+余数综合》知识点1：整除1.数字整除特征（1）尾系：（2,5）（4,25）（8,125）（2）差系（截断求差）：7，11,13，1001（3）和系：3和92.判断数字整除的方法（1）逐一满足法（2）因数分析法（3）试除法（4）最小公倍数例题1.在562后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除，且要求这个数值尽可能小，这个六位数是多少？2.无重复数字且能被75整除的五位数6a3b5为多少？⏟，如果此数能被91整除，那么3.已知一个多位数5ab5ab……5ab2009个5ab̅̅̅̅̅是多少？三位数5ab4.由1、3、4、5、7、8这六个数字所组成的六位数中，能被11整除的最大的数是多少？5.在六位数11□□11中两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少？知识点2：余数1.带余除法：被除数=除数×商+余数商=（被除数-余数）÷除数2.余数的三大性质：和的余=余的和差的余=余的差积的余=余的积3.同余定理如果两个数a,b除以同一个数m得到的余数相同，则a,b的差一定能被m整除4.余数的周期性例题1.1013除以一个两位数，余数是12，求所有符合条件的两位数。
2.有一列数排成一行，其中第1个数是3，第2个数是10，从第三个数开始，每个数恰好是前两个数的和，那么第1997个数被3除所得的余数是多少？3.一个大于1的数去除290,235,200时，得余数分别为a,a+2,a+5，则这个自然数是多少？4.某数除以11余8，除以13余10，除以17余12，那么这个数的最小可能是多少？5.20012003除以13的余数是多少？6. 从1-20中最多可以选取多少个数，使得取出的数中，任意三个数的和能被3整除？。
小升初数论高频考点汇总与方法总结(一)
【例2】(★★★) 一个两位数，数字和是质数。而且，这个两位数 分别乘以3，5，7之后，得到的数的数字和都仍 为质数。满足条件的两位数为____。
知识点讲解 最大公因数和最小公倍数
(★ ) 【例3】 已知两个数的最大公因数与最小公倍数的和是33， 求所有满足条件的两个数。
2
【拓展】 用1到6这6个数码可以组成720个没有重复数字的 六位数，求这些数的最大公因数。
知识点讲解 关于短除模型，
短除模型 【例4】(★★★) 若两个自然数的平方和是637，最大公约数与最小 公倍数的和为49，则这两个数是多少？
知识点讲解 求约数个数 ⑴ 分解质因数到质数形式 ⑵ 约个＝指数＋1连乘.
3
因数个数 【例5】(★★★) a，b均为质数且不相等，若A=a3b2，则a有多少个 因数？若B=9A，则B有多少个因数？若C有6个因 数，则C2有多少个因数？
1、质、合、因、倍 ⑴ 质数，特殊2、5，奇偶性，常见质数。 ⑵ 因数分拆，可能性问题。 ⑶ 最大公因数：辗转相除法 2、短除模型 ⑴ a、b互质. ⑵ A＝ax，B＝bx. 3、因数个数. ⑴ 分解质因数到指数形式；⑵ 因个＝指数＋1连乘.
【今日讲题】 例4，例5 【讲题心得】 _______________________________________________ ____________________________________. 【家长评价】 ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________.
小升初数论高级知识点总结
小升初数论高级知识点总结一、质数与因数1.1 质数质数是指除了1和自身以外，没有其他约数的正整数，如2、3、5、7、11等都是质数。
小升初学生在学习质数时需要掌握的内容包括：如何判断一个数是否为质数、寻找质数的方法、质数的性质等。
1.2 因数一个数如果可以被除了1和它本身以外的数整除，那么这个数就有因数。
小升初学生需要学习如何分解因数、因数分解的方法和应用、最大公因数和最小公倍数的相关知识。
二、最大公因数和最小公倍数2.1 最大公因数最大公因数（简称最大公约数）指的是两个或多个整数公有的最大约数。
小升初数学中需要学生掌握最大公因数的求解方法，以及最大公因数在分数化简、整数的性质和公式运用等方面的应用。
2.2 最小公倍数最小公倍数是指若干个数公有的最小的倍数。
小升初学生需要掌握最小公倍数的求解方法，以及最小公倍数在分数化简、整数的性质和公式运用等方面的应用。
三、整数的奇偶性3.1 整数的奇偶性规律小升初学生需要掌握整数的奇偶性，包括偶数的特征和性质、奇数的特征和性质、偶数和奇数的运算规律等内容。
3.2 整数的奇偶性应用学生需要了解整数奇偶性在分数化简、整数性质推导、方程式解法等方面的应用。
四、约数与倍数4.1 约数约数是指整数a能被整数b整除，那么b就是a的约数。
小升初学生需要掌握约数的判定和求解方法、约数在分数化简、整数性质推导等方面的应用。
4.2 倍数整数b是a的倍数，指的是a能被b整除。
小升初学生需要掌握倍数的判定和求解方法、倍数在分数化简、整数性质推导等方面的应用。
五、同余定理同余定理是数论中一个重要的概念，它描述了同一性质的整数在某个数的作用下的相等情况。
小升初学生需要了解同余定理的表达和应用，同时能够运用同余定理解决一些整数的性质问题。
六、费马小定理费马小定理是数论中的一个重要定理，它描述了质数性质中的一个重要规律。
小升初学生需要了解费马小定理的具体表达和应用，同时能够用费马小定理解决一些整数问题。
数论综合(小升初)
小升初数论综合知识概要一、奇数与偶数：1、判断一个多位数奇数还是偶数，只要看这个数的个位，个位是奇数，这个数就是奇数，个位是偶数，这个数就是偶数。
2、加减法结果的奇偶性判断方法:只看算式中奇数的个数，个数是奇数，结果就是奇数；个数是偶数，结果就是偶数。
（奇数个奇数的和或差还是奇数）3、乘法结果的奇偶性判断方法:只看有没有偶数，有偶数，结果就是偶数；无偶数，结果就是奇数。
（有偶则偶，无偶为奇）4、数列与奇偶数个数结合时，利用周期问题的知识解决。
二、因数与倍数：（一）最大公约数与最小公倍数如果一个自然数a 能被自然数b （不为零）整除，则称a 是b 的倍数，b 是a 的约数。
1、 几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。
公约数中最大的一个公约数，称为这几个自然数的最大公约数。
一般用符号()a b ,表示a 、b 的最大公约数。
公约数只有1的两个数，这两个数互质。
2、 几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数。
公倍数中最小的一个大于零的公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。
一般用符号[]a b ,表示a 、b 的最小公倍数。
3、最大公约数和最小公倍数之间的关系设a 、b 为两个正整数，则()a b ,和[]a b ,有如下关系(,)[,][,]=(,)ab ab a b a b a b a b =⨯或 4、求最大公约数和最小公倍数常用的方法：（1）分解质因数法；（2）短除法；（3）辗转相除法。
（二）最大公约数与最小公倍数的常用性质两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。
如果m 为A 、B 的最大公约数，且A ma =，B mb =，那么a b 、互质，所以A 、B 的最小公倍数为mab ，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：①A B ma mb m mab ⨯=⨯=⨯，这两个数的积等于两个数的最大公约数与最小公倍数之积；②两个数的和等于最大公约数乘这两个数独有因数的和③两个数的差等于最大公约数乘这两个数独有因数的差；④两个数的最小公倍数除以最大公约数等于两个数独有因数的乘积；⑤两个数的最小公倍数等于两个数的最大公约数乘两个数的独有因数。
小升初数论高频考点汇总与方法总结(上)
小升初数论高频考点汇总与方法总结(上) 小升初数论高频考点汇总与方法总结（上）本讲重点：1.数论专题系统梳理2.数论专题综合性题目选讲模块一：数论专题系统梳理一、整除性质1.如果自然数a为M的倍数，则ka为M的倍数。
(k为正整数)2.如果自然数a、b均为M的倍数，则a+b、a-b均为M的倍数。
3.如果a为M的倍数，p为M的约数，则a为p的倍数。
4.如果a为M的倍数，且a为N的倍数，则a为[M，N]的倍数。
二、整除特征1.末位系列：(2，5)末位，(4，25)末两位，(8，125)末三位。
2.数段和系列：3、9各位数字之和。
3.任意分段原则(无敌乱切法)：33，99两位截断法，偶数位任意分段原则。
4.数段差系列：11整除判断-奇和与偶和之差，余数判断-奇和-偶和(不够减补十一，直到够减为止)。
5.7、11、13-三位截断法：从右往左，三位一隔，整除判断-奇段和与偶段和之差，余数判断-奇段和-偶段和（不够减则补，直到够减）。
三、整除技巧：1.除数分拆：(互质分拆，要有特征)2.除数合并：(结合试除，或有特征)3.试除技巧：(末尾未知，除数较大)4.同余划删：(从前往后，剩的纯粹)5.断位技巧：(两不得罪，最小公倍)四、约数三定律1.约数个数定律：(指数+1)再连乘。
2.约数和定律：(每个质因子不同次幂相加)再连乘。
3.约数积定律：自身n(n=约数个数÷2)。
五、完全平方数1.末位。
1、4、5、6、9.2.特征：÷3余或1余数，÷4余或1余数。
3.奇数个约数=完全平方数=偶指性。
六、短除模型七、质数明星：2=奇偶性，5=个位。
八、分解质因数1.质数：快速判断。
2.唯一分解定律。
3.见积就拆-大质因子分析。
九、余数定律1.利用整除性质求余数。
2.利用余数性质求余数。
3.利用除数分拆求余数。
十、带余除式代数思想=数论方程=去余化乘，找倍试约。
十一、同余问题1.同余定理：如果a与b除以m余数相同，则a、b之差为m的倍数。
[第61讲]小升初数论高频考点汇总与方法总结(上)
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【本讲重点】1．不识“数论”真面目，只因知识不系统——数论专题系统梳理2．数论专题综合性题目选讲模块一：数论专题系统梳理一、整除性质①如果自然数a为M的倍数，则ka为M的倍数。
(k为正整数)②如果自然数a、b均为M的倍数，则a＋b，a－b均为M的倍数。
③如果a为M的倍数，p为M的约数，则a为p的倍数。
④如果a为M的倍数，且a为N的倍数，则a为[M，N]的倍数。
二、整除特征1．末位系列(2，5)末位(4，25)末两位(8，125)末三位2．数段和系列3、9各位数字之和——任意分段原则(无敌乱切法)33，99两位截断法——偶数位任意分段原则3．数段差系列11整除判断：奇和与偶和之差余数判断：奇和－偶和(不够减补十一，直到够减为止)7、11、13—三位截断法：从右往左，三位一隔：⎧⎨⎩整除判断：奇段和与偶段和之差余数判断：奇段和-偶段和（不够减补，直到够减）则 三、整除技巧：1．除数分拆：(互质分拆，要有特征)2．除数合并：(结合试除，或有特征)3．试除技巧：(末尾未知，除数较大)4．同余划删：(从前往后，剩的纯粹)5．断位技巧：(两不得罪，最小公倍)四、约数三定律约数个数定律：(指数＋1)再连乘约数和定律：(每个质因子不同次幂相加)再连乘约数积定律：自身n (n ＝约数个数÷2)五、完全平方数①特征 ⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩末位：0、1、4、5、6、9÷3余0或1余数：÷4余0或1 ②奇数个约数⇔完全平方数⇔偶指性六、短除模型七、质数明星：2⇔奇偶性5⇔个位八、分解质因数1．质数：快速判断2．唯一分解定律3．见积就拆——大质因子分析九、余数定律1．利用整除性质求余数2．利用余数性质求余数3．利用除数分拆求余数十、带余除式代数思想⇔数论方程⇔去余化乘，找倍试约十一、同余问题1．同余定理：如果a 与b 除以m 余数相同，则a 、b 之差为m 的倍数。
2．①−−−−→余数性质不同余同余②去余化乘，找倍试约。
小升初数论知识点总结
小升初数论知识点总结一、正整数和负整数1、正整数：大于0的整数，用正号表示。
2、负整数：小于0的整数，用负号表示。
二、整数的大小比较1、绝对值的大小比较：绝对值越大，数值越大。
2、同号比较：绝对值相等时，正数大于负数。
3、异号比较：正数大于负数。
4、零的比较：0大于任何负数，小于任何正数。
三、整数的加减运算1、同号：绝对值相加，符号不变。
2、异号：绝对值相减，符号取绝对值较大的数。
3、加法的逆运算：减法。
4、减法的逆运算：加法。
5、加减法的规律：交换律、结合律。
四、整数的乘法1、同号乘积为正，异号乘积为负。
2、乘法的逆运算：除法。
五、整数的除法1、除数不为零。
2、同号相除商为正，异号相除商为负。
3、商的符号由绝对值相除后得出。
六、公约数和最大公约数1、约数：整数a能被b整除，则b为a的约数。
2、公约数：两个数公有的约数。
3、最大公约数：公约数中最大的那个。
七、互质数和最小公倍数1、互质数：最大公约数为1的两个数。
2、最小公倍数：是两个数的公倍数中最小的那个。
八、素数和合数1、素数：只有1和自身作为约数的正整数。
2、合数：除了1和自身还有其他约数的正整数。
九、质因数分解1、任何一个大于1的自然数都能唯一地被素数分解。
2、将一个自然数素数乘积的形式叫做它的质因数分解式。
十、余数和整除性质1、整除：a能被b整除，a/b为整数。
2、余数：a除以b余c，c为余数。
3、整除性质：a能被b整除，b能被c整除，则a能被c整除。
十一、同余式1、同余式：a ≡ b (mod m)，表示a与b相差m的倍数。
以上就是小升初数学数论的知识点总结。
希望对你有所帮助。
宁波小升初数论知识点总结
宁波小升初数论知识点总结(1)质数：一个自然数，假如只有1和它本身两个约数，这个数叫做质数(也称素数)。
例如：1的约数有：1;2的约数有：1，2;3的约数有：1，3;4的约数有：1，2，4;6的约数有：1，2，3，6;7的约数有：1，7;12的约数有：1，2，3，4，6，12;……从上面各数的约数个数中可以看到：一个自然数的约数个数有三种状况：①只有一个约数的，如1。
因此，1不是质数，也不是合数。
②只有两个约数的(1和它本身)，如2，3，7……③有两个以上约数的，如4，6，12……属于第②种状况的，叫做质数。
属于第③种状况的，即：除了1和本身以外，还有别的约数，这样的数叫做合数。
(2)质因数：一般地说，一个数的因数是质数，就叫做这个数的质因数。
例如：18=2×3×3这里的`2、3、3都是18的因数，而2和3本身又都是质数，于是我们就把2、3、3叫做18的质因数。
这里需要留意的是：18也可以写成3与6的乘积，即：18=3×6，无疑3和6都是18的因数，但3本身是质数，可以称做18的质因数，而6是合数，那么不能称做18的质因数。
(3)互质数：两个或几个自然数，当它们的最大公约数是1的时候，这两个或几个数，就叫做互质数(也叫互素数)。
例如：5和7，4和11，8和9，7、11和15，12、20和35……。
上述这几组数，它们的最大公约数都是1，因此，它们都是互质数。
在以上两个互质数中，如7、11和15这三个数，7和11是互质数，11和15是互质数，7和15也是互质数。
这类状况，我们就叫做这三个数“两两互质”。
但12、20和35这组数中，虽然它们也是互质数，但不是两两互质，由于12和35是互质数，至于12和20、20和35都不是互质数。
需要留意的是：不管两个数互质或者两个的数以上互质，这些数本身却不肯定是质数，如5和7是互质数，它们本身都是质数;4和11是互质数，其中4并不是质数;8和9是互质数，但8和9本身都不是质数。
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【本讲重点】
1．不识“数论”真面目，只因知识不系统——数论专题系统梳理
2．数论专题综合性题目选讲
模块一：
数论专题系统梳理
一、整除性质
①如果自然数a为M的倍数，则ka为M的倍数。
(k为正整数)
②如果自然数a、b均为M的倍数，则a＋b，a－b均为M的倍数。
③如果a为M的倍数，p为M的约数，则a为p的倍数。
④如果a为M的倍数，且a为N的倍数，则a为[M，N]的倍数。
二、整除特征
1．末位系列
(2，5)末位
(4，25)末两位
(8，125)末三位
2．数段和系列
3、9各位数字之和
——任意分段原则(无敌乱切法)
33，99两位截断法
——偶数位任意分段原则
3．数段差系列
11整除判断：奇和与偶和之差
余数判断：奇和－偶和(不够减补十一，直到够减为止)
7、11、13—三位截断法：从右往左，三位一隔：
⎧
⎨
⎩
整除判断：奇段和与偶段和之差
余数判断：奇段和-偶段和（不够减补，直到够减）
则
三、整除技巧：
1．除数分拆：(互质分拆，要有特征)
2．除数合并：(结合试除，或有特征)
3．试除技巧：(末尾未知，除数较大)
4．同余划删：(从前往后，剩的纯粹)
5．断位技巧：(两不得罪，最小公倍)
四、约数三定律
约数个数定律：(指数＋1)再连乘
约数和定律：(每个质因子不同次幂相加)再连乘
约数积定律：自身n (n ＝约数个数÷2)
五、完全平方数
①特征 ⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩
末位：0、1、4、5、6、9÷3余0或1余数：÷4余0或1 ②奇数个约数⇔完全平方数⇔偶指性
六、短除模型
七、质数明星：
2⇔奇偶性
5⇔个位
八、分解质因数
1．质数：快速判断
2．唯一分解定律
3．见积就拆——大质因子分析
九、余数定律
1．利用整除性质求余数
2．利用余数性质求余数
3．利用除数分拆求余数
十、带余除式
代数思想⇔数论方程⇔去余化乘，找倍试约
十一、同余问题
1．同余定理：如果a 与b 除以m 余数相同，则a 、b 之差为m 的倍数。
2．①−−−−
→余数性质不同余同余 ②去余化乘，找倍试约。
十二、剩余问题
三种解法⎧⎪⎨⎪⎩
去同余数，添同补和谐法逐级满足法
模块二：
数论专题综合性题目选讲
(2010年西城实验小升初试题)
2025的百位数字为0，去掉0后是225，225×9＝2025。
这样的四位数称为“零巧数”，那么所有的零巧数是_____。
若两个自然数的平方和是637，最大公约数与最小公倍数的和为49，则这两个数是多少？
一个两位数，数字和是质数。
而且，这个两位数分别乘以3，5，7之后，得到的数的数字和都仍为质数。
满足条件的两位数为 _____。
(2009年清华附中小升初) 对四位数abcd ，若存在质数p 和正整数k ，使a ×b ×c ×d ＝p k ，且a ＋b ＋c ＋d ＝p p －5，求这样的四位数的最小值，并说明理由。
已知!a b c de =23258501738849766000，其中a ，b ，c ，d ，e 表示五个互不相同的偶数数字，且c ＞b ，求a ，b ，c ，d ，e 分别是多少?
数论专题考点分析与技巧总结
谷老师感悟
1．数论一直是升初和杯赛考查最多的专题，一般保守估计，平均每套试卷25%分值考查数论。
2．2011年小升初数论考查三重点：
约数个数定律逆用，完全平方数，短除模型。
3．“代数思想＋枚举验证”数论杀伤力最强的武器。