初中数学竞赛题中有关不等式的解题策略

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初中数学不等式解应用题的难点突破策略

初中数学不等式解应用题的难点突破策略1.题目的语言表达复杂：有些不等式解应用题的题目表达较为复杂，需要理解题目背景、变量的含义以及题目要求等。

解决这个问题的方法是，我们应该仔细阅读题目，理解题目中所给的条件和要求，将语言转化为数学符号，结合自己的数学知识进行分析和推理。

2.问题的隐含条件和演绎步骤复杂：有些不等式解应用题的难点在于问题中存在一些隐含条件或者演绎步骤较为复杂。

为了解决这个问题，我们可以采取逆向思维的策略，从题目的要求出发，逐步推导出问题的隐含条件或者演绎步骤。

在解题过程中，我们应该结合所学的数学方法和技巧，灵活运用，将问题分解为若干个简单的子问题，并逐个解决。

3.问题的解有多种可能性：有些不等式解应用题的难点在于问题的解具有多种可能性。

对于这类问题，我们可以采用反证法的思路，假设某一种可能性不成立，然后推演出矛盾的结论，从而排除该可能性。

我们还可以通过综合考虑不同情况的方法，对所有可能性进行分析和比较，找到问题的最优解。

1.熟悉数学知识：初中学生在解不等式解应用题时，首先要对基本的数学知识有一定的掌握，包括不等式的性质、概念和基本的解法等。

只有熟悉了解这些基本知识，才能更好地应用到实际问题中。

2.分析题目要求：在解应用题时，我们要先理清题目的要求，明确问题所涉及的数学概念和关系。

通过分析题目，找出其中的隐含条件，搞清楚每个变量的含义，并将问题转化为数学符号的表达，便于后续的解答。

3.灵活运用数学方法：在解不等式解应用题时，我们要根据题目中给出的条件，灵活运用不等式的性质、变形和推导等方法。

尝试用不同的方法解题，比较不同方法的效果和优缺点，从而找到最合适的解题方法。

5.多思考多实践：不等式解应用题的解题过程需要较强的逻辑思维能力和实践操作能力，初中学生要通过多思考、多联系，不断提高自己的解题能力。

在解题过程中，可以参考一些相关的习题和例题，进行思考和练习，积累经验，逐渐提高解题的技巧和能力。

七年级不等式的解题方法与技巧

七年级不等式的解题方法与技巧嘿，同学们！咱今天就来好好聊聊七年级不等式的解题方法和技巧。

这可真是个有趣又重要的部分呢！咱先来说说不等式的基本概念哈。

不等式不就像是一个会比较大小的小精灵嘛，它告诉我们两个数或者式子之间的大小关系。

比如说，x＞5，这就是说 x 要比 5 大呀。

那怎么解不等式呢？这就好比是走迷宫，得找到正确的路才行。

比如，给你个不等式 3x+5＜14，那咱第一步就得先把那个 5 给弄走，怎么弄？减呀！减了5 之后，就变成3x＜9 啦。

接下来呢，再把3 除掉，x 不就出来啦，x＜3 嘛。

这就完啦？别急呀，还有很多情况呢！要是遇到不等式两边同时乘以或除以一个负数，那可得注意啦，不等号的方向就得变一变哦。

就好像你在路上走，突然拐了个弯一样。

再说说不等式组，这就像是一群小精灵凑在一起。

解不等式组呀，就是要把每个小精灵都照顾好。

比如说，一个不等式说 x 要大于 3，另一个说 x 要小于 5，那 x 的取值范围不就是 3＜x＜5 嘛。

咱还得注意一些细节哦！比如说解完不等式后，要看看答案合不合理呀。

就像你走路，得看看走的路对不对嘛。

哎呀，不等式的解题方法和技巧真的很重要呢！它就像是一把钥匙，可以打开很多数学难题的大门。

学会了它，你在数学的世界里就能更自由自在地闯荡啦！想想看，要是你不会解不等式，那好多题目不就像拦路虎一样挡在你面前嘛。

但只要你掌握了这些方法和技巧，那些拦路虎就都变成小绵羊啦，乖乖地让你通过。

所以呀，同学们，一定要好好学不等式的解题方法和技巧哦。

多做几道题，多练练手，你就会发现，其实它并不难呀。

加油吧，小伙伴们！让我们在不等式的海洋里畅游，探索更多的数学奥秘！。

初中数学不等式解应用题的难点突破策略

初中数学不等式解应用题的难点突破策略初中数学不等式解应用题是初中数学中的一个重要知识点，也是学生们在学习数学过程中的一个难点。

不等式在实际生活中有着广泛的应用，比如在经济学、物理学等领域中都有着重要的作用，因此学生在学习数学不等式解应用题时需要掌握一定的解题技巧和方法。

下面我们就来分析一下初中数学不等式解应用题的难点以及突破策略。

难点一：实际问题转化为不等式在解决实际问题时，学生可能会遇到将问题转化为不等式的难题。

有些问题可能需要分析得出数学关系，然后将其转化为不等式进行求解。

这个难点主要是在于学生对于实际问题的抽象和转化能力不足，以及对于不等式的理解和运用能力不足。

突破策略：1.培养学生的抽象思维能力。

老师可以通过丰富的实例让学生感受实际问题与数学不等式之间的联系，逐步培养学生的抽象思维能力，从而提高学生的问题转化能力。

2. 引导学生进行实际问题与不等式的对应分析。

老师可以通过引导学生分析实际问题的条件、限制条件以及问题的要求，让学生自行将问题转化为不等式，从而提高学生的转化能力。

难点二：不等式的解法选择在解不等式应用题时，学生可能会遇到选择合适的不等式解法的难题。

不同的题目需要选择不同的解法，而学生可能会在选择不等式解法时感到困惑。

突破策略：1.系统学习不等式的解法。

学生需要系统地学习不等式的解法，包括一元一次不等式的解法、一元二次不等式的解法等，从而能够在实际问题中准确选择合适的不等式解法。

2.解题实践。

老师可以设计一些实际问题，让学生在解题过程中自行选择不等式解法，从而让学生在实践中巩固所学的不等式解法。

难点三：解不等式应用题的误区在解不等式应用题时，学生可能会出现一些典型的解题误区，比如对于不等式解法的错误理解、对不等式求解过程的模糊等。

突破策略：1.解题思路的梳理。

在解题过程中，老师可以引导学生对解题思路进行梳理，让学生清晰地掌握解题的步骤和逻辑。

2.典型错误的分析与订正。

老师可以将学生在解题中出现的典型错误进行总结，然后进行错误的分析与订正，让学生认识到自己在解题中的问题，并及时加以改正。

第六讲一次不等式(不等式组)的解法

初中数学竞赛专题讲义第六讲一次不等式(不等式组)的解法不等式和方程一样，也是代数里的一种重要模型．在概念方面，它与方程很类似，尤其重要的是不等式具有一系列基本性质，而且“数学的基本结果往往是一些不等式而不是等式”．本讲是系统学习不等式的基础．下面先介绍有关一次不等式的基本知识，然后进行例题分析．1．不等式的基本性质这里特别要强调的是在用一个不等于零的数或式子去乘(或去除)不等式时，一定要注意它与等式的类似性质上的差异，即当所乘(或除)的数或式子大于零时，不等号方向不变(性质(5))；当所乘(或除)的数或式子小于零时，不等号方向要改变(性质(6))．2．区间概念在许多情况下，可以用不等式表示数集和点集．如果设a，b为实数，且a＜b，那么(1)满足不等式a＜x＜b的数x的全体叫作一个开区间，记作(a，b)．如图1－4(a)．(2)满足不等式a≤x≤b的数x的全体叫作一个闭区间，记作[a，b]．如图1－4(b)．(3)满足不等式a＜x≤b(或a≤x＜b)的x的全体叫作一个半开半闭区间，记作(a，b](或[a，b))．如图1－4(c)，(d)．3．一次不等式的一般解法一元一次不等式像方程一样，经过移项、合并同类项、整理后，总可以写成下面的标准型：ax＞b，或ax＜b．为确定起见，下面仅讨论前一种形式．一元一次不等式ax＞b．(3)当a=0时，用区间表示为(-∞，+∞)．例1解不等式解两边同时乘以6得12(x+1)+2(x-2)≥21x-6，化简得-7x≥-14，两边同除以-7，有x≤2．所以不等式的解为x≤2，用区间表示为(-∞，2]．例2求不等式的正整数解．正整数解，所以原不等式的正整数解为x=1，2，3．例3解不等式分析与解因y2+1＞0，所以根据不等式的基本性质有例4解不等式为x+2＞7，解为x＞5．这种错误没有考虑到使原不等式有意义的条件：x≠6．解将原不等式变形为解之得所以原不等式的解为x＞5且x≠6．例5已知2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)，且y＜x+9，试比较解首先解关于x的方程得x=-10．将x=-10代入不等式得y＜-10+9，即y＜-1．例6解关于x的不等式：解显然a≠0，将原不等式变形为3x+3-2a2＞a-2ax，即(3+2a)x＞(2a+3)(a-1)．说明对含有字母系数的不等式的解，也要分情况讨论．例7已知a，b为实数，若不等式(2a-b)x+3a-4b＜0解由(2a-b)x+3a-4b＜0得(2a-b)x＜4b-3a．由②可求得将③代入①得所以b＜0．于是不等式(a-4b)x+2a-3b＞0可变形为因为b＜0，所以下面举例说明不等式组的解法．不等式组的解是不等式组中所有不等式解的公共部分．若不等式组由两个不等式组成，分别解出每一个不等式，其解总可以归纳成以下四种情况之一(不妨设α＜β)：解分别为：x＞β；x＜α；α＜x＜β；无解．如图1－5(a)，(b)，(c)，(d)所示．若不等式组由两个以上不等式组成，其解可由下面两种方法求得：(1)转化为求两两不等式解的公共部分．如求解(2)不等式组的解一般是个区间，求解的关键是确定区间的上界与下界，如求解确定上界：由x＜4，x＜8，x＜5，x＜2，从4，8，5，2这四个数中选最小的数作为上界，即x＜2．确定下界：由x＞-4，x＞-6，x＞0，x＞-3．从-4，-6，0，-3中选最大的数作为下界，即x＞0．确定好上、下界后，则原不等式组的解为：0＜x＜2．不等式组中不等式的个数越多，(2)越有优越性．例8解不等式组解原不等式组可化为解之得例9解关于x的不等式组解解①得4mx＜11，③解②得3mx＞8．④(1)当m=0时，③，④变为原不等式组无解．(2)当m＞0时，③，④变形为(3)当m＜0时，由③，④得练习六1．解下列不等式或不等式组：2．解下列关于x的不等式或不等式组：3．求同时满足不等式的整数解．关于x的不等式ax＞b的解是什么？一元一次不等式(组)的解法及其应用题姓名：＿＿＿＿班级：＿＿＿＿考号：＿＿＿＿成绩：＿＿＿＿一、整数解例1 （2011江苏苏州，6，3分）不等式组30,32x x -⎧⎪⎨<⎪⎩≥的所有整数解之和是（）A 、9B 、12C 、13D 、15考点：一元一次不等式组的整数解．分析：首先求出不等式的解集，再找出符合条件的整数，求其和即可得到答案．解答：由①得：x≥3，由②得：x ＜6，∴不等式的解集为：3≤x ＜6，∴整数解是：3，4，5，所有整数解之和：3+4+5=12．故选B ．点评：此题主要考查了一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．练习 1．（2011山东泰安，18 ，3分）不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3-x ＞04x 3+32＞- x 6 的最小整数解为( )．A.0B.1C.2D.-1 【答案】A2．（2011•南通）求不等式组364213(1)x x x x -≥-⎧⎨+>-⎩的解集，并写出它的整数解.专题：探究型。

不等式的应用解题方法与技巧

不等式的应用解题方法与技巧解不等式的问题需要掌握一些基本的数学知识，以下是一些解决不等式问题的方法和技巧：
1. 熟悉基本概念：理解不等式的基本定义，知道什么是大于、小于、等于以及他们的符号表示。

此外，还要了解绝对值、平方根等基本数学概念。

2. 掌握求解步骤：一般情况下，求解一个不等式需要先移项，再化简，最后确定解集。

在移项时要注意变号，在化简时要灵活运用乘法分配律等基础知识。

3. 注意系数正负：在移项过程中，如果某个项的系数为负，那么这个项就需要改变符号。

因此，注意每个项的系数是正还是负是非常重要的。

4. 能够识别图形：有时不等式的问题会转化为几何问题，这时能够识别直角坐标系中的直线、圆、抛物线等各种图形是非常有用的。

5. 利用特殊值检验：当无法直接求出解集时，可以尝试使用特殊值来检验答案是否正确。

比如，对于形如ax + b > 0的不等式，可以尝试取x = -b/a看看是否满足不等式。

6. 不断练习：解决不等式问题需要一定的技巧和经验，多做题目可以帮助你更好地理解和熟练这些技巧。

关于不等式知识解题的策略研究

关于不等式知识解题的策略研究1. 引言1.1 背景介绍不等式是数学中重要的概念之一，它在解决各种实际问题中起着至关重要的作用。

从初中阶段开始，我们就开始接触不等式知识，但随着学习的深入，难度也不断提升。

正确的掌握不等式知识并运用到实际问题中，对培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力有着重要意义。

随着近年来数学竞赛在各个层次的普及，不等式题目也成为了竞赛中的常见考点。

深入研究不等式知识及解题策略对于提高学生在数学竞赛中的表现具有重要意义。

通过系统学习不等式的基础知识，掌握不同类型的不等式解题策略，并通过实例分析各类不等式题目，可以帮助学生更好地掌握不等式知识，提高解题效率。

本文旨在从不等式的基础概念入手，系统梳理不等式的解题策略和常见类型，进而探讨不等式知识在数学竞赛中的应用。

通过深入研究不等式知识，帮助读者更好地理解不等式的重要性及解题技巧，从而在解决实际问题和参加数学竞赛中取得更好的成绩。

1.2 研究意义研究不等式知识解题的策略具有重要的意义。

不等式是数学中的基础知识之一，掌握不等式解题策略可以帮助学生建立扎实的数学基础，提高数学学习的效率。

不等式在数学竞赛中占据着重要的地位，许多数学竞赛中的题目都涉及到不等式的应用，掌握不等式解题策略可以帮助学生在竞赛中取得更好的成绩。

不等式知识的研究也有助于拓展数学思维，培养学生的逻辑推理能力和分析问题的能力。

深入研究不等式知识解题的策略对于提升学生数学素养、促进数学教育的发展具有重要的意义。

通过对不等式知识的研究，可以更好地指导教学实践，为学生提供更加全面和系统的数学教育，推动数学教育教学的不断改进和完善。

1.3 研究方法在不等式知识解题的研究中，研究方法起着至关重要的作用。

研究方法的选择直接影响着研究成果的质量和效果。

一般来说，不等式知识解题的研究方法包括理论研究、实证研究和应用研究。

理论研究是不等式知识解题研究的基础。

通过对不等式的基本概念和性质进行深入剖析，揭示不等式解题的规律和方法。

不等式的解题方法与技巧

不等式的解题方法与技巧
1.熟悉解不等式的基本思路：（1）如果有“等号”，一般还是把变量求出来，再证明它满足不等式；（2）如果有“<”或者“>”，则一般可以将“<”或者“>”变回等号，然后分析数字的正负性，以及系数的正负性，求出变量的范围；
2.加减乘除之后，要注意符号的变化：（1）当等号两边的系数一致时，不等式依然成立；（2）当等号两边的系数不一致时，不等式的符号可能会发生变化；（3）当做乘法或者除法时，同时注意除数不能为零，因为为零会导致不等式不成立。

3.改写为一元二次不等式：（1）解大多数一元二次不等式，可以先改写为一元二次不等式，然后应用判别式判断解集；（2）只要求出一元二次不等式的解，有时也可以先改写为一元二次不等式，然后求出根；（3）对于带有分母的一元二次不等式，一般要先化简，然后再改写为一元二次不等式。

初中数学不等式的解题方法与技巧

初中数学不等式的解题方法与技巧
嘿，朋友们！今天咱就来好好聊聊初中数学不等式的解题方法与技巧，这可真是个超重要的知识点啊！
首先说说解不等式的步骤和注意事项吧。

第一步，移项，把含有未知数的项移到一边，常数项移到另一边，这就像整理房间一样，把东西各归其位。

但要注意移项要变号哦，这可不能马虎！第二步，合并同类项，让式子变得更简洁。

第三步，根据不等式的性质求出解集。

注意哦，两边同时除以负数时，不等号方向要改变，就像开车时要注意交通规则一样。

然后讲讲这个过程中的安全性和稳定性。

只要你按照步骤来，一步一个脚印，就像走在坚实的大路上，绝对不会出错。

每一步都稳稳当当的，不会出现意外情况，这种感觉是不是很棒？
再说说应用场景和优势。

不等式在生活中可太有用啦！比如你想买东西，要考虑价格是否在自己的承受范围内，这不就是个不等式问题嘛！它的优势在于能帮助我们更好地理解和处理各种数量关系，让我们的思维更加清晰，就像给我们的大脑装上了一个清晰的导航仪。

来看看实际案例吧。

比如说，一个数加上 5 不小于 10，求这个数。

那我们就可以列出不等式x+5≥10，解出来x≥5，哇，答案一下子就出来了。

是不是感觉不等式很神奇？
初中数学不等式的解题方法与技巧真的超重要啊！掌握了它，就像拥有了一把打开数学大门的钥匙，能让我们在数学的世界里畅游无阻！大家一定要好好学呀！。

用导数解决数学竞赛中的不等式问题

—
＿丁
＝
１３（ ” 定一～
ＩＯＫＩ一ＩＡＫＩ：
（１ＯＢｌ一ｌＢＫＩ）一（ＩＡＢＩ一ＩＢＫＩ）＝
因此点Ｐ在以Ｄ为圆心、半径为 √ 鬈的定圆上．
评注本题也可利用ＯＡ上ＯＢ，设直线ＯＡ，ＯＢ
，
ｌＯＢｌ一ｌＡＢｌ＝６一４＝２０（定值）．
（２）以原点为极点、７．Ｃ轴正半轴为极轴建立极
坐标系，设Ａ（ｐ１，０），Ｃ（ｐ２，０）Ｉ一 ≤ ≤ １Ｔ），则由
第（１）小题的结论可得
解决解析几何问题．
用导数解决数学竞赛中的不等式问题
●潘贤冲（瑞安中学浙江瑞安３２５２００）
不等式是高中数学竞赛中的常见问题，同样也非常受国际数学奥林匹克的青睐．本文通过以直代曲思想、洛比达法则、泰勒展开等对一些实例进行分析和求解，介绍导数在解决这些问题中的应用．
得
・＝
ＩＢＣＩ＝ｌＣＤＩ，所以点０，Ａ，Ｃ共线．如图３，联结ＢＤ，Ａｒ０ＢＤ垂直平分线段ＡＣ，设垂足为Ｋ，于是
ｌＯＡＩ．ＩＯＣｌ＝（ＩＯＫＩ —ＩＡＫＩ）・（ＩＯＫＩ＋ＩＡＫＩ）＝
用极坐标系解题．则可事半功倍．

不等式的解题方法

不等式的解题方法不等式是数学中常见的问题，它涉及到比较两个或多个数值的大小。

解决不等式问题需要掌握一些基本的方法和技巧。

1.比较法：这是最直接的方法，用于比较两个数或表达式的大小。

通过直接计算或化简，可以得出它们之间的大小关系。

2.作差法：如果两个数或表达式A 和B，我们想知道A 是否大于B。

一个常用的方法是计算A 和B 的差，即A - B。

如果差是正的，则A 大于B；如果差是负的，则A 小于B；如果差是零，则A 等于B。

3.作商法：对于两个正数或表达式A 和B，我们想知道A 是否大于B。

另一种方法是计算A 和B 的商，即A / B。

如果商大于1，则A 大于B；如果商小于1，则A 小于B；如果商等于1，则A 等于B。

4.不等式的性质：对于不等式的基本性质，例如传递性、可加性、可乘性和同号得正等，需要熟练掌握。

这些性质可以帮助我们在解决不等式问题时进行简化。

5.不等式的解法：对于一元一次不等式和一元二次不等式，需要掌握基本的解法技巧。

例如，对于一元一次不等式ax + b > c，可以通过移项、合并同类项和化简来求解。

对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0，可以通过求解对应的等式来确定不等式的解集。

6.数形结合：在解决不等式问题时，结合图形可以帮助我们直观地理解问题。

例如，对于线性不等式组，可以通过在坐标系中画出直线和区域来直观地找出解集。

7.特殊值法：对于一些难以直接解决的问题，可以通过代入一些特殊的数值来检验或验证不等式的正确性。

综上所述，解决不等式问题需要掌握多种方法和技巧，根据具体问题选择合适的方法进行求解。

不等式计算题解题思路

不等式计算题的解题思路可以按照以下几个步骤进行：去绝对值：根据不等式中绝对值内的数或式子的正、零、负分情况去掉绝对值。

具体方法包括分类讨论法、零点分段讨论法、两边平方法、几何意义法等。

移项：将不等式左边的数或式子移到不等式右边，并将两边同时平方求解，避免讨论绝对值里面数的正负性。

合并同类项：将不等式化简成只有一个未知数的形式，或者将未知数转化为已知数。

求解：根据已知条件，求解不等式的解集。

验证：在求解过程中，需要保证每一步的正确性，以及结果的逻辑性。

最后还要验证结果是否符合题目要求，是否与实际相符合。

这些步骤可以视具体情况而灵活应用。

解答不等式问题的几个技巧

解题宝典不等式问题侧重于考查同学们的分析与逻辑推理能力.常见的不等式问题有：（1）比较两个代数式的大小；（2）证明某个不等式成立；（3）由含参不等式恒成立求参数的取值范围.下面结合几道例题，谈一谈解答不等式问题的几个技巧.一、作差运用作差法解答不等式问题，需将要比较的两个代数式相减，并将所得到的差与0进行比较.有时所得的差式较为复杂，此时需采用移项、分解因式、通分、约分、平方等方式，将差式简化，以快速比较出其与零的大小.例1.设a,b为实数，比较a2+b2与ab+a+b-1的大小.解：将a2+b2与ab+a+b-1相减得，a2+b2-(ab+a+b-1)=12(2a2+2b2-2ab-2a-2b+2)=12[](a-b)2+(a-1)2+(b-1)2，因为(a-b)2≥0,(a-1)2≥0,(b-1)2≥0，所以a2+b2-(ab+a+b-1)≥0，所以a2+b2≥ab+a+b-1，当且仅当a=b=1时取等号.将要比较的两式作差，并运用完全平方公式进行配方，即可运用作差法快速比较出两个代数式的大小.在解题时，要注意取等号的情形，确保取等号时的条件成立且满足题意.二、作商运用作商法解答不等式问题，需将要比较的两个代数式相除，并将所得到的商与1进行比较.在作商之前，要对两个代数式的正负进行讨论，只有在两式同号时，才能将其作商，运用作商法来比较二者的大小.若分母有可能为零，则要注意对此特殊情况进行单独讨论.例2.已知a=1816,b=1618,试比较a与b的大小关系.解：∵a=1816>0,b=1618>0，∴a b=18161618=(1816)16×1162=(98)1616=16<1，∴a<b.作商法适合于比较两个单项式的大小.在化简商式时，要选择合适的公式、运算法则，如指数幂运算法则、换底公式等进行运算，以将商式化为便于和1比较的形式.三、放缩放缩法是解答不等式问题的一种重要方法.若已知关系式与目标式之间的差异较大，则需将其中一个式子进行适当的放缩，如扩大分子、缩小分母、去掉部分项、增加常数项等，使其与另一个式子靠拢，从而解答问题.有时需找到一个合适的中间量，以利用不等式的传递性建立已知关系式和目标式之间的联系.例3.若a>b>0,c<d<0，|b|>|c|，证明：b+c(a-c)2<a+d(b-d)2.证明：因为b+c>0，0<1(a-c)2<1(b-d)2,所以b+c(a-c)2<b+c(b-d)2，因为0<b+c<a+d,1(b-d)2>0,所以b+c(b-d)2<a+d(b-d)2，所以b+c(a-c)2<b+c(b-d)2<a+d(a-c)2，即b+c(a-c)2<a+d(b-d)2.不等号前后的两个式子之间的差异较大，但是结构一致，于是分别根据已知条件和不等式的性质将不等式左右两边的式子b+c(a-c)2、a+d(b-d)2放缩，使得b+c(a-c)2<b+c(b-d)2、b+c(b-d）2<a+d(b-d)2，再根据不等式的传递性证明结论.四、利用几何法运用几何法解答不等式问题，往往要挖掘代数式的几何意义，如将代数式x2看作抛物线，将ax2+by2看作圆，将ax+by看作同一条直线.画出几何图形，通过分析图形中点、直线、曲线的位置及其关系，找到使不等式成立的点的集合，即可解题.例4.证明：x12+y12+x22+y22≥(x1-x2)2+(y1-y2)2证明：设点A(x1,y1),B(x2,y2),则AO=x12+y12,BO=x22+y22,AB=(x1-x2)2+(y1-y2)2，因为三角形中两边之和大于第三边，即|AO|+|BO| >|AB|，周元祥38解题宝典所以x 12+y 12+x 22+y 22>(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2，当A ,B ,O 三点共线时，x 12+y 12+x 22+y 22=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2，所以x 12+y 12+x 22+y 22≥(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2.我们由该根式可联想到两点间的距离公式，于是设出A 、B 两点的坐标，即可将问题转化为证明|AO |+|BO |>|AB |，根据三角形两边之和大于第三边的性质来解题.运用几何法解题，需进行数形互化，结合几何图形来分析问题.五、运用基本不等式若a ,b >0a 、b >0，则a +b ≥2ab ，当且仅当a =b 时等号成立，该式叫做基本不等式.在解答不等式问题时，可以根据不等式的结构特征进行适当的变形，如凑系数、常数代换、添项、去项等，以配凑出两式的和或积，以便能利用基本不等式证明不等式.运用基本不等式时，要确保“一正”“二定”“三相等”的条件成立.例5.已知正实数x ,y 满足2x +5y =20，若不等式10x +1y≥m 2+4m恒成立，求实数m 的取值范围.解:在2x +5y =20的左右同除以20，得x 10+y4=1，则10x +1y =æèçöø÷10x +1y æèçöø÷x 10+y 4=54+5y2x +x 10y ≥94，当且仅当x =203,y =43取等号.则m 2+4m ≤94，解得-92≤m ≤12.由于10x +1y 为分式，所以将已知关系式变形为x 10+1y=1，即可通过常数代换，将10x +1y 化为和式54+5y 2x +x10y .而5y 2x 、x 10y的积为定值，这样便可运用基本不等式求得10x +1y 的最小值，从而求得m 的取值范围.解答不等式问题的方法很多，我们需根据不等式的结构特征进行变形、代换，联系相关的公式、性质、定理等将问题转化为几何问题、最值问题、运算问题等，并选用合适的方法进行求解.（作者单位：安徽省宣城中学）二面角问题的常见命题形式有：（1）求二面角的大小或范围；（2）证明两个平面互相垂直；（3）根据二面角的大小求参数的取值范围.这类问题主要考查同学们的空间想象能力和运算能力.那么，解答这类问题有哪些方法呢？下面结合实例进行归纳总结.一、直接法直接法是指直接从题目的条件出发，通过合理的运算和严密的推理，得出正确的结果.我们知道，二面角的大小可用其平面角表示，因此求二面角的大小，关键是求其平面角的大小.在求二面角时，需先仔细审题，明确题目中点、线、面的位置关系，灵活运用三垂线定理、勾股定理、正余弦定理、夹角公式，根据二面角以及平面角的定义，作出并求出平面角，即可运用直接法快速求得问题的答案.例1.如图1，在三棱锥S -ABC 中，SA ⊥底面ABC ，AB ⊥BC ，DE 垂直且平分SC ，分别交AC ，SC 于点D ，E ，且SA =AB ，SB =BC ，求二面角E -BD -C的大小.解：∵SB =BC ，E 是SC 的中点，∴SC ⊥BE ，∵SC ⊥DE ，BE ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，∴SC ⊥平面BDE ，∵BD ⊂平面BDE ，∴SC ⊥BD ，∵SA ⊥底面ABC ，BD ⊂平面ABC ，∴SA ⊥BD ，又∵SC ⋂SA =S ，SC ⊂平面SAC ，SA ⊂平面SAC ，∴BD ⊥平面SAC ，又∵DC ⊂平面SAC ，DE ⊂平面SAC ，∴DC ⊥BD ，DE ⊥BD ，∴∠DEC 是所求二面角的平面角.∵SA ⊥底面ABC ，AB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴SA ⊥AB ，SA ⊥AC ，设SA =2，得AB =2，BC =SB =22，∵AB⊥BC ，∴AC =23，∴∠ACS =30°，又∵DE ⊥SC ，∴∠EDC =60°，林菊芳图139。

克服中学数学方程与不等式难题的七个窍门

克服中学数学方程与不等式难题的七个窍门数学方程和不等式是中学数学中较为重要的内容，掌握解题的方法和技巧对于学生来说是至关重要的。

然而，很多学生在解题过程中会遇到各种困难和挑战。

本文将为大家介绍克服中学数学方程与不等式难题的七个窍门，希望能对广大学生有所帮助。

窍门一：理解问题在解题之前，首先要充分理解题目的意思。

仔细阅读题目，分析关键信息，确定所给数据的含义和问题的要求，这样才能够有针对性地解题。

如果对问题理解不清，很容易误解题意，导致得出错误答案。

窍门二：列方程或不等式针对不同类型的问题，我们需要根据题目的要求来列方程或不等式。

通过转化问题为代数表达式，可以将问题转化为数学问题，进而解决。

例如，一些关于长方形面积或者速度问题可以通过列方程的方法得到解答。

窍门三：化简方程或不等式方程或不等式可能会比较复杂，为了方便求解，我们需要对其进行化简。

这可以通过移项、合并同类项、提取公因数等方法来实现。

化简之后，方程或不等式的形式会更加简单，易于处理。

窍门四：选择适当的解题方法解方程与不等式有多种方法，如因式分解、配方法、代入法、图像法等。

在解题过程中，我们需要根据具体情况选择适当的方法。

需要注意的是，有些问题可能可以用多种方法解答，我们可以根据个人的理解和习惯进行选择。

窍门五：多做练习掌握数学方程与不等式的解题技巧需要反复练习。

通过做大量的练习题，能够熟悉题型，加深对解题方法的理解。

同时，通过练习，我们还能够发现一些解题的规律和技巧，提高解题的速度和准确性。

窍门六：注意特殊情况在解题过程中，有时会遇到一些特殊的情况，例如分式方程、绝对值方程或不等式等。

对于这些特殊情况，我们需要根据具体情况选择相应的解题思路和方法。

熟悉这些特殊情况的解题方法，能够帮助我们更好地解决难题。

窍门七：培养逻辑思维能力解题不仅仅是运用一些方法和技巧，更需要有良好的逻辑思维能力。

在解题过程中，我们需要分析问题、归纳规律、推理论证，这些都离不开逻辑思维的运用。

数学竞赛技巧解不等式的方法与技巧

数学竞赛技巧解不等式的方法与技巧不等式是数学竞赛中常见的题型，解不等式是考察学生对数学知识的掌握和解题能力的重要手段。

下面将介绍一些解不等式的方法与技巧，希望对广大数学竞赛爱好者有所帮助。

一、拆分、合并法在解不等式时，我们有时可以通过拆分和合并的方法将复杂的不等式化简成简单的形式。

拆分法：针对复杂的不等式，我们可以将其拆分成若干个简单的不等式，然后分别求解。

例如，对于不等式2x + 3 > 5x - 1，我们可以将其拆分成两个不等式2x + 3 > 5x - 1和2x + 3 < 5x - 1，再分别求解。

合并法：针对简单的不等式，我们可以通过合并的方法将其化简成更简单的形式。

例如，对于不等式2x + 3 > 5x - 1，我们可以将其化简为3 > 3x，再求解。

二、绝对值法对于带有绝对值的不等式，我们可以通过绝对值法求解。

首先，我们需要将绝对值中的参数拆分成两种情况，正数和负数。

然后，分别解得各自情况下的不等式，并取交集。

例如，对于不等式|2x - 1| > 3，我们可以将其拆分成两个不等式2x - 1 > 3和2x - 1 < -3，再分别求解，然后取交集得到最终解。

三、二次函数法对于一些复杂的二次不等式，利用二次函数的性质可以有效地求解。

首先，我们需要将二次函数转化为标准形式，即形如f(x) = ax² + bx + c的形式。

然后，通过绘制函数图像，分析抛物线开口的方向和与坐标轴的交点情况，得出不等式的解集。

例如，对于不等式x² + x - 2 > 0，我们可以将其转化为f(x) = x² + x - 2 > 0的形式，然后绘制函数图像，分析得出x > 1或x < -2，最终解为{x｜x > 1或x < -2}。

四、倒置法倒置法是一种常用的解不等式的技巧。

它适用于那些具有对称性的不等式。

初中数学不等式解应用题的难点突破策略

初中数学不等式解应用题的难点突破策略初中数学不等式解应用题是学生们在数学学习过程中经常遇到的难点之一。

不等式解应用题要求学生在解题过程中灵活运用数学知识和方法，能够理清问题的逻辑思路，找准解题的关键点。

为了帮助学生更好地掌握初中数学不等式解应用题的解题技巧，本文将从题目分析、解题思路和实战练习三个方面，提出相应的难点突破策略。

一、题目分析解决数学问题首先要对题目进行分析，找出题目的关键信息和解题的主要思路。

在解不等式应用题时，学生要注意以下几个方面的题目分析：1. 分清问题的类型：不等式应用题有很多种类型，如“某数的两倍加上3小于7”，“某数的平方大于25”等等。

学生要认真阅读题目，找出题目中所涉及的关键信息，根据题目的不同类型确定解题的方法。

2. 确定问题的目标：在解不等式应用题时，学生要明确问题的目标，即要求解的不等式的具体形式，例如“求不等式2x+3<7的解集合”、“求不等式x^2>25的解集合”等等。

只有明确了问题的目标，学生才能有针对性地进行解题。

3. 找出问题的难点：不等式应用题通常会涉及一些较为复杂的问题，例如带绝对值的不等式、非线性不等式等。

学生要仔细分析题目，找出问题的难点，有针对性地进行解题准备。

二、解题思路1. 确定解题方法：不同类型的不等式应用题需要采用不同的解题方法。

例如解一元一次不等式通常使用逻辑推理、代数法等方法；解一元二次不等式通常使用判别式、化简等方法。

学生要根据题目的具体要求，选择合适的解题方法。

2. 转化为标准形式：有些不等式应用题需要将其转化为标准形式才能进行解题。

例如对于带有绝对值的不等式，学生可以根据不等式的定义将其分解为不等式组，再进行求解。

学生要灵活运用数学变形方法，将不等式转化为标准形式，便于求解。

3. 避免常见误区：在解不等式应用题时，学生要注意避免一些常见的解题误区，如代数运算错误、逻辑推理不严密等。

做题时要注意不仅要求解不等式，还要对不等式的解集进行正确的描述，避免遗漏或重复解。

不等式问题求解技巧

不等式问题求解技巧不等式是数学中常见且重要的问题类型，解决不等式可以帮助我们确定未知变量的区间范围，从而解决实际问题。

接下来，我将为您总结一些解决不等式问题的技巧和方法。

1. 理解不等式的意义：不等式是带有大于号（>）、小于号（<）、大于等于号（≥）、小于等于号（≤）的数学表达式。

不等式解表示使不等式成立的变量的取值范围。

求解不等式时，我们要找到使不等式成立的变量的取值范围。

2. 不等式的基本性质：a. 相等性质：如果两个不等式的两边相等，那么原来的不等式仍然成立。

例如，如果a > b，那么a + c > b + c。

b. 翻转性质：如果两个不等式两边同时取负号，那么不等号的方向会变化。

例如，如果a > b，那么-c > -d。

c. 乘法性质：如果两个不等式的两边同时乘以一个正数，那么不等号的方向保持不变。

例如，如果a > b，且c > 0，那么ac > bc。

d. 除法性质：如果两个不等式的两边同时除以一个正数，那么不等号的方向保持不变。

例如，如果a > b，且c > 0，那么a/c > b/c。

3. 解一元一次不等式的方法：a. 将不等式中的变量项移到一边，使不等式等于0。

例如，将不等式3x - 2 > 0转化为3x - 2 - 0 > 0。

b. 解一元一次方程3x - 2 = 0，找到x = 2/3。

c. 在数轴上标记出x = 2/3这个点。

d. 将数轴分成三段（小于2/3的部分、大于2/3的部分以及2/3本身）。

e. 在每个区间内选择一个测试点，带入不等式中，判断不等式的正误。

f. 根据测试得到的结果确定数轴上的不等式解的范围。

4. 解一元二次不等式的方法：a. 将不等式中的变量项移到一边，使不等式等于0。

例如，将不等式x^2 - 3x + 2 > 0转化为x^2 - 3x + 2 -0 > 0。

初中数学复习如何快速解决不等式与绝对值问题

初中数学复习如何快速解决不等式与绝对值问题不等式与绝对值问题是初中数学中的重要内容之一，对于学生来说，掌握快速解决这类问题的方法非常关键。

本文将介绍一些有效的复习策略和解题技巧，帮助初中生快速解决不等式与绝对值问题。

一、复习策略1.复习基础知识：在解决不等式与绝对值问题之前，我们需要掌握基本的数学概念和知识。

因此，复习基础知识是构建解题能力的重要基础。

初中学生可以通过预习教材、复习课堂笔记和解题方法等方式来巩固基础知识。

2.理解概念定义：对于不等式与绝对值的相关概念，如何理解其定义是解题的关键。

学生应该深刻理解不等式中的大小关系及其图像表示，以及绝对值的意义和特性等。

3.掌握解题步骤：在解决不等式与绝对值问题时，学生需要按照一定的步骤进行推理与求解。

初中生可以通过大量的练习来熟悉解题的步骤，加深对题型的理解和记忆。

4.总结规律方法：在解题过程中，总结规律方法可以帮助学生快速捕捉问题的特点，提高解题效率。

例如，学生可以通过观察和归纳，总结出不等式的基本性质和解法思路，并把它们应用于不同的问题中。

二、不等式问题的解决方法1. 简化问题：对于复杂的不等式问题，学生可以通过逐渐简化问题，化繁为简。

例如，可以通过进行数的替换、数的分解、绝对值的拆分等方法，将一个复杂的不等式问题转化为一系列简单的等式问题。

2. 确定不等式的类型：不同类型的不等式问题有不同的解题方法，学生需要根据题目给出的条件和要求，确定不等式的类型。

常见的不等式类型包括一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式等。

3. 运用数轴进行解题：在解决一元一次不等式时，可以利用数轴的性质进行推理和求解。

学生可以将不等式中的变量在数轴上标出，根据不等式的符号关系确定变量的取值范围，从而得到不等式的解集。

4. 利用性质和规律求解：学生还可以通过利用不等式的性质和规律，运用代数方法进行求解。

例如，可以通过移项、配方法、整理等操作，将复杂的不等式化简为简单的等式或不等式，从而得到问题的解。

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初中数学竞赛题中有关不等式的解题策略
例1关于x 的不等式组255332
x x x x a +⎧-⎪⎪⎨+⎪+⎪⎩＞＜只有5个整数解，则a 的取值范围是（） 11111111.6.6.6.62222
A a
B a
C a
D a ---≤--≤--≤≤-＜＜＜＜例2某个篮球运动员共参加了10场比赛，他在第6，第7，第8，第9场比赛中分别获得了 23,14,11和20分，他的前9场比赛的平均分比前5场比赛的平均分要高.如果他的10场比赛的平均分超过18分，问：他在第10场比赛中至少得了多少分？
例3已知x ，y ，z 是正整数，求方程
11178x y z ++=的正整数解.
例4设a ，b 为正整数，且
2537
a b <<，求a+b 的最小值 .
变式：使得不等式981715
n n k <<+对唯一的整数k 成立的最大正整数n 为 . 例5五个整数a 、b 、c 、d 、e ，它们两两相加的和按从小到大顺序排分别是183，186，187， 190，191，192，193，194，196，x.已知e d c b a ≤≤≤≤，x ＞196.求a 、b 、c 、d 、e 及 x 的值.
例6实数a ，b ，c 满足a+b+c=1.求a 2+b 2+c 2的最小值.
例7设S=++…+，求不超过S 的最大整数[S ]．
例8
，求[S ]．
例9设3333311111=+++++12320102011
S ，则4S 的整数部分等于（） A.4 B.5 C.6 D.7
应用练习：
1．若不等式2|x-1|+3|x-3|≤a 有解，则实数a 最小值是（）
A.1
B.2
C.4
D.6
2．若不等式|x-4|+|3-x|＜m 恒不成立，实数m 的取值范围是（）
A ．m ＜2
B ．m ＜1
C ．m≤1
D ．m ＜0
3．设a ，b 是常数，不等式 10x a b +＞的解集是15x ＜，则关于x 的不等式bx-a ＞0的解集是（） A ．x ＞
15 B ．x ＜- 15 C ．x ＞-15 D ．x ＜ 15
4.已知△ABC 的三条边a,b,c 满足321a b c =+，则∠A=（） A 、锐角 B 、直角 C 、钝角 D 、非直角
5.若△ABC 的三个内角满足3∠A ＞5∠B ，3∠C ＜2∠B ，则△ABC 必是三角形.
6. x 1，x 2，……，x 100是自然数，且x 1＜x 2＜……＜x 100，若x 1+x 2+……+x 100=7001，那么， x 1+x 2+……+x 50的最大值是（）
A.2225
B.2226
C.2227
D.2228
7.如果7
889
q p ＜＜，p ，q 是正整数，则p 的最小值是（） A ．15 B ．17 C ．72 D ．144
8.计算：已知，求M 的整数部分．
（第6届睿达杯八年级复赛）
9.已知13,28,a b a b ≤+≤≤-≤若9,t a b =+则t 的取值范围是 .
10.已知21141,,=2
n n n a a a a a +==+则 ; 12320141111
,111
1s a a a a =++++++++则与s 最接近的整数为 . 11.已知关于x 的不等式组230,320a x a x +>⎧⎨-≥⎩
恰有3个整数解，则这三个整数解是 ; a 的取值范围是 .
12“姑苏城外寒山寺，夜半钟声到客船”，每逢除夕夜，寒山寺主持便敲钟108响，祈求天下太平.已知寺外的江中有两条客船，当第一次钟声响起时，两船分别以3cm/s 、9cm/s 的速度从江边分别向上游、下游行驶.若寒山寺到江边的距离忽略不计，且每隔9秒钟响一次，声音传播速度为300m/s.试求当上游的船客听到第108次钟声时，下游的船客只听到了多少次钟声？
13（08全国竞赛）条长度均为整数厘米的线段：a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7，满足a 1＜a 2
＜a 3＜a 4＜a 5＜a 6＜a 7，且这7条线段中的任意3条都不能构成三角形．若a 1=1厘米，a 7=21厘米，则a 6=（）
(A) 18厘米 (B) 13厘米 (C) 8厘米 (D) 5厘米
参考答案：
例1 C
解析：3-2a ＜x ＜20，∴14≤3-2a ＜15，得C
例2 解析：学生容易把平均分认为是整数出现错误.
解：设前5场比赛的总分为x 分，第10场比赛得分为y 分.
6895
85
84
x x x x +><=
84681810
29
y y ++>= 例3解析：利用不等式的放缩性
不妨令x y z ≥≥
从而确定z 的范围是2或3，进而把三元方程的解转化为二元.
（2,3,24）；（2，4,8）；共12个解.
例4利用不等式的放缩性.
a+b=17
变式：解法1: 981715
7889788987298144144n n k k n n n k n n n n <<+∴<<∴<<-≤≤∴= 解法2： 981715
7889
1718,89
178
118798
144
144
n n k k n k k n n k n k k n n n n <<+∴<<-+∴≤≥-∴-≥-+--≥-≤∴= 例5由题意得
a+b=183①a+c=186②c+e=196③d+e=x ④
由①-②+③得b+e=193⑤则c+d=194⑥
①-②的b-c=-3
∴b+c=187
即a=91，b=92，c=95，d=99，e=101，x=200
例6 13
解析：①利用2222222,()222a b ab a b c a b c ab bc ca +≥++=+++++ ②利用柯西不等式. ()()()2222111a b c a b c ++++≥++
例7 1999 解析：①利用特殊到一般
3117111111,112226623=+=+-=+=+- ②利用一般到特殊 ()221111111
1n n n n ++=+-++ 例8 1 解析：利用不等式的放缩性
例9 A 解析：利用不等式的放缩性
()()()()31111111211n n n n n n n n ⎡⎤<=-⎢⎥+--+⎣⎦
应用练习：
1..C 2 .C 3.C. 4.A 5.钝角 6.B 7.B 8.165
9.13≤t ≤47 10. 777256 ，2 11, 0，1,2；4332
a -≤≤
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