八年级数学下册 2.6 菱形典型例题素材 (新版)湘教版

《菱形》典型例题

例1 如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且a AB AB DE =⊥,，求：

（1）ABC ∠的度数；（2）对角线AC 的长；（3）菱形ABCD 的面积.

例2 已知：如图，在菱形ABCD 中，AB CE ⊥于AD CF E ⊥,于 F .

求证：.AF AE =

例3 已知：如图，菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 上的一点，︒=∠=∠60EAF D ，︒=∠18BAE ，求CEF ∠的度数.

例4 如图，已知四边形ABCD 和四边形BEDF 都是长方形，且DF AD =. 求证：GH 垂直平分CF .

例5 如图，ABCD 中，AB AD 2=，E 、F 在直线CD 上，且CF CD DE ==. 求证：AF BE ⊥.

例6 如图，在Rt △ABC 中，ο

90=∠ACB ，E 为AB 的中点，四边形BCDE 是平行四边形.

求证：AC 与DE 互相垂直平分.

参考答案

例1 分析 （1）由E 为AB 的中点，AB DE ⊥，可知DE 是AB 的垂直平分线，从而DB AD =，且AB AD =，则ABD ∆是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出.（2）而OC AO BD AC =⊥,，利用勾股定理可以求出AC .（3）由菱形的对角线互相垂直，可知.2

1BD AC S ⋅= 解 （1）连结BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴.AB AD =

E Θ是AB 的中点，且AB DE ⊥，∴.DB AD =

∴ABD ∆是等边三角形，∴DBC ∆也是等边三角形.

∴.120260︒=⨯︒=∠ABC

（2）∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 与BD 互相垂直平分， ∴.2

12121a AB BD OB === ∴a a a OB AB OA 23)21(2222=-=-=，∴.32a AO AC == （3）菱形ABCD 的面积.2

3321212a a a BD AC S =⋅⋅=⋅= 说明：本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点.

例2 分析 要证明AF AE =，可以先证明DF BE =，而根据菱形的有关性质不难证明DCF BCE ∆≅∆，从而可以证得本题的结论.

证明 ∵四边形ABCD 是菱形，∴D B CD BC ∠=∠=,，且︒=∠=∠90DFC BEC ，∴DCF BCE ∆≅∆，∴DF BE =，

AD AB =Θ，

∴DF AD BE AB -=-，

∴.AF AE =

例3 解答：连结AC .

∵四边形ABCD 为菱形，

∴︒=∠=∠60D B ，AD CD BC AB ===.

∴ABC ∆与CDA ∆为等边三角形.

∴︒=∠=∠=∠=60,BAC ACD B AC AB

∵︒=∠60EAF ，

∴CAF BAE ∠=∠

∴ACF ABE ∆≅∆

∴AF AE =

∵︒=∠60EAF ，

∴EAF ∆为等边三角形.

∴︒=∠60AEF

∵CEF AEF BAE B AEC ∠+∠=∠+∠=∠，

∴CEF ∠+︒=︒+︒601860

∴︒=∠18CEF

说明 本题综合考查菱形和等边三角形的 性质，解题关键是连AC ，证ACF ABE ∆≅∆

例4 分析 由已知条件可证明四边形BGDH 是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明GH 垂直平分CF .

证明：∵四边形ABCD 、BEDF 都是长方形

∴BF DE //，CD AB //，ο

90=∠=∠BCD DFH ，BC AD =

∴四边形BGDH 是平行四边形

∵DF AD =，∴BC DF =

在△DFH 和△BCH 中 ⎪⎩

⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠BC DF BHC DHF BCH DFH

∴△DFH ≌△BCH ∴BH DH =，HC HF =

∵四边形BGDH 是平行四边形

∴四边形BGDH 是菱形

∴GH 平分BHD ∠ ∴GH 平分FHC ∠ ∵HC HF =

∴GH 垂直平分FC .

例5 分析 要证AF BE ⊥，关键是要证明四边形ABHG 是菱形，然后利用菱形的性质证明结论.

证明 ∵四边形ABCD 是平行四边形

∴CD AB //，CD AB =，BH AG //，∴E ∠=∠1

∵ED CD =，∴ED AB =

在△ABG 和△EDG 中 ⎪⎩

⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠ED AB E 321

∴△ABG ≌△DEG ∴GD AG =

∵AB AD 2= ∴AB AG =

同理：BH AB = ∴BH AG =

∵BH AG //

∴四边形ABHG 是平行四边形

∵BH AB = ∴四边形ABHG 是菱形

∴BE AF ⊥.

例6 分析 要证明AC 与DE 互相垂直平分，只要证明四边形ADCE 是菱形.所以要连结AD

证明 ∵在Rt △ABC 中，E 为AB 的中点

∴BE CE AE ==

∵四边形BCDE 是平行四边形

∴AB CD //，BE CD = ∴AE CD //，

∴四边形ABCE 是平行四边形

∵EC AE = ∴ADCE 是菱形 ∴AC 与DE 互相垂直平分.