统计学案例——相关回归分析
简单线性回归分析2
)
lXY lXX
a Y bX
03:56
24
b＝0.1584，a＝-0.1353
Yˆ 0.1353 0.1584X
03:56
25
回归直线的有关性质
(1) 直线通过均点 ( X ,Y )
(2) 各点到该回归线纵向距离平方和较到其它任何直线小。
(Y Yˆ)2 [Yˆ a bX ]2
03:56
残 差 0.0282 22 0.0013
总变异 0.0812 23
R2=SS回归/SS总=0.0530/0.0812=0.6527 说明在空气中NO浓度总变异的65.27%与车流量有关。
03:56
48
二、简单线性回归模型
两变量关系的定量描述 统计推断 统计应用
统计预测
Y 的均值的区间估计：总体回归线的95%置信带（相应X 取值水平下，） ；
回归模型 (regression model)：
描述变量之间的依存关系的函数。
简单线性回归(simple linear regression)：
模型中只包含两个有“依存关系”的变量，一个变量随 另外一个变量的变化而变化，且呈直线变化趋势，称之 为简单线性回归。
03:56
9
例如，舒张压和血清胆固醇的依存性
统计推断 通过假设检验推断NO平均浓度是否随着车 流量变化而变化；
统计应用 利用模型进行统计预测或控制。
03:56
13
两变量关系的定量描述
散点图 简单线性回归方程 回归系数的计算——回归系数的最小二乘估计 线性回归分析的前提条件
03:56
14
1. 散点图
0.25
0.2
NO浓度/×10-6
正态 (normal)假定是指线性模型的误差项服从正态 分布 。
统计学案例——相关回归分析报告
统计学案例——相关回归分析报告《统计学》案例——相关回归分析案例⼀质量控制中的简单线性回归分析1、问题的提出某⽯油炼⼚的催化装置通过⾼温及催化剂对原料的作⽤进⾏反应，⽣成各种产品，其中液化⽓⽤途⼴泛、易于储存运输，所以，提⾼液化⽓收率，降低不凝⽓体产量，成为提⾼经济效益的关键问题。
通过因果分析图和排列图的观察，发现回流温度是影响液化⽓收率的主要原因，因此，只有确定⼆者之间的相关关系，寻找适当的回流温度，才能达到提⾼液化⽓收率的⽬的。
经认真分析仔细研究，确定了在保持原有轻油收率的前提下，液化⽓收率⽐去年同期增长1个百分点的⽬标，即达到12.24%的液化⽓收率。
2、数据的收集⽬标值确定之后，我们收集了某年某季度的回流温度与液化⽓收率的30组数据（如上表），进⾏简单直线回归分析。
3.⽅法的确⽴设线性回归模型为εββ++=x y 10，估计回归⽅程为x b b y10?+= 将数据输⼊计算机，输出散点图可见，液化⽓收率y 具有随着回流温度x的提⾼⽽降低的趋势。
因此，建⽴描述y 与x 之间关系的模型时，⾸选直线型是合理的。
从线性回归的计算结果，可以知道回归系数的最⼩⼆乘估计值b 0=21.263和b 1=-0.229，于是最⼩⼆乘直线为x y229.0263.21?-= 这就表明，回流温度每增加1℃，估计液化⽓收率将减少0.229%。
（3）残差分析为了判别简单线性模型的假定是否有效，作出残差图，进⾏残差分析。
从图中可以看到，残差基本在-0.5—+0.5左右，说明建⽴回归模型所依赖的假定是恰当的。
误差项的估计值s=0.388。
（4）回归模型检验 a.显著性检验在90%的显著⽔平下，进⾏t 检验,拒绝域为︱t ︱=︱b 1/ s b1︱>t α/2=1.7011。
由输出数据可以找到b 1和s b1，t=b 1/ s b1=-0.229/0.022=-10.313，于是拒绝原假设，说明液化⽓收率与回流温度之间存在线性关系。
spss多元回归分析案例
spss多元回归分析案例SPSS多元回归分析案例。
在统计学中，多元回归分析是一种用于探究多个自变量与因变量之间关系的方法。
通过多元回归分析，我们可以了解不同自变量对因变量的影响程度，以及它们之间的相互作用情况。
在本篇文档中，我将通过一个实际案例来介绍如何使用SPSS软件进行多元回归分析。
案例背景：假设我们是一家电子产品公司的市场营销团队，在推出新产品之前，我们希望了解不同因素对产品销量的影响。
我们收集了一些数据，包括产品的售价、广告投入、竞争对手的售价、季节等因素，以及产品的销量作为因变量。
数据准备：首先，我们需要将数据录入SPSS软件中。
在SPSS中，我们可以通过导入Excel文件的方式将数据导入到软件中，并进行必要的数据清洗和处理。
确保数据的准确性和完整性对于后续的多元回归分析非常重要。
模型建立：接下来，我们需要建立多元回归模型。
在SPSS中，我们可以通过依次选择“分析”-“回归”-“线性回归”来进行多元回归分析。
在“因变量”栏中输入销量，然后将所有自变量依次输入到“自变量”栏中。
在建立模型之前，我们还需要考虑是否需要进行变量转换或交互项的添加，以更好地拟合数据。
模型诊断：建立模型后，我们需要对模型进行诊断，以确保模型的准确性和有效性。
在SPSS中，我们可以通过查看残差的正态性、异方差性以及自相关性来进行模型诊断。
如果模型存在严重的偏差或违反了多元回归分析的假设，我们需要进行相应的修正或改进。
模型解释：最后，我们需要解释多元回归模型的结果。
在SPSS的输出结果中，我们可以看到各个自变量的系数、显著性水平、调整R方等统计指标。
通过这些指标，我们可以了解不同自变量对销量的影响程度，以及它们之间的相互作用情况。
同时，我们还可以进行各种假设检验，来验证模型的有效性和可靠性。
结论：通过以上多元回归分析，我们可以得出不同自变量对产品销量的影响程度，以及它们之间的相互作用情况。
这些结果对于我们制定产品的定价策略、广告投放策略以及市场营销策略都具有重要的指导意义。
相关分析回归分析案例
相关分析
概念
种类
线性相关
变量之间关系
函数关系
相关关系
因果关系
互为因果关系
共变关系
确定性依存关系
随机性依存关系
种类
一元相关
多元相关
负 相 关
正 相 关
线性相关
曲线相关
x
y
正 相 关
x
y
负 相 关
x
y
曲线相关
x
y
不 相 关
Hale Waihona Puke 线性相关相关系数测定两变量是否线性相关？
定义式：
（2）D.W检验 D.W检验用于检验残差序列的自相关性。自相关性会影响模型参数估计值不具有最优性，使区间估计和预测区间的精度较低。J.Durbin和 G.S.Watson 于1951年提出的一种序列自相关的方法。简称DW检验。DW检验目前是检验自相关性的最常用方法，但它只适用于检验一阶自相关性。一般只需考察计算得到的DW值落入的区间，以确定模型自相关状态。判别准则 若0≤D.W ≤d，序列存在正相关； 若d< D.W <4- d ，序列无自相关； 若4-dL < D.W ≤4,序列存在负相关
3·相关分析测定相关程度和方向，回归分析用回归模型进行预测和控制。
y与x之间是一种相关关系，即当自变量x变化时，因变量y大体按某规律变化，两者之间的关系不能直观地看出来，需要用统计学的办法加以确定，回归分析就是研究随机现象中变量间关系的一种数理统计方法，相关关系存在着某种程度的不确定性。 身高与体重；矿物中A组分含量与B组分含量间的关系；分析化学制备标准工作曲线，浓度与吸光度间的关系。 求回归方程的方法，通常是用最小二乘法，其基本思想就是从并不完全成一条直线的各点中用数理统计的方法找出一条直线，使各数据点到该直线的距离的总和相对其他任何线来说最小，即各点到回归线的差分和为最小，简称最小二乘法。
相关性与回归分析
相关性与回归分析4.3.4.1相关性分析相关性分析定义：相关性分析是确定两个连续变量之间是否存在线性关系。
相关性分析的用途：相关性分析是一种统计工具，如果两个变量是相关的并且存在因果关系，那么我们可以考虑使用回归分析来创建一个预测方程来进一步描述这种关系。
相关系数r●相关系数r：用于量化线性关系的强度；●范围从-1到1；●接近-1或1的相关系数表示强线性关系，相关系数接近0表示或非线性关系。
相关系数r 的值反映了相关的强度和方向。
案例：如果不绘制数据，相关系数可能会产生误导，如下例子，其中r = 0.238尽管相关系数表示弱线性关系，但图形显示强曲线关系-始终绘制数据相关VS因果例如，犯罪率和冰淇淋销售之间的相关系数为r=0.96，那么强相关系数是否意味着因果关系？高冰激凌销量会导致高犯罪率吗？相关性只意味着存在一种线性关系，而未必是因果关系。
相关性分析案例:黑带想知道在更高的流速和更多附着在灯丝上的物质之间是否存在线性关系？收集历史数据并计算相关系数。
相关检验的原假设是相关系数r=0（更高的流速和更多附着在灯丝上的物质之间无线性关系），备择假设是相关系数r ≠0（更高的流速和更多附着在灯丝上的物质之间有线性关系）。
●p > 0.05，无法拒绝原假设，更高的流速和更多附着在灯丝上的物质之间无线性关系（无显著性差异）；●p < 0.05，拒绝原假设，更高的流速和更多附着在灯丝上的物质之间有线性关系（有显著性差异）。
复制数据-统计（S）-基本统计（B）-相关（C）：变量（V）：点击C15、C16？-方法（M）：选择pearson相关系数-点击显示P值（D）-确定P值决定了统计的显著性，皮尔逊相关系数r = 0.834为正，正相关，中等强度（较强）相关性。
判定准则（结论）：p值= 0.000 < 0.05，拒绝原假设，接收备择假设，更高的流速和更多附着在灯丝上的物质之间有线性关系。
皮尔逊相关系数r = 0.834，为较强的正相关。
统计学案例分析
统计学案例分析(总3页)
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统计学期末考试
y=a+bx
关于江西省GDP与全国GDP的数据分析
一：相关于回归分析
由上图可知：y=
相关系数：R=5836
所以江西省GDP与全国GDP确实存在着线性相关关系
二：时间趋势分析
对比上列数据图表可知：江西省GDP增速在2005年低于全国平均水平，随后逐渐赶超，至2008-
2009年时增速差距最明显，至2014-2015年，江西省GDP增
速又遇到阻碍，低于全国均值
y=a+bx b=
a=y=
故y=+
三：图表分析
对比上列数据图表可知：江西省GDP增速在2005年低于全国平均水平，随后逐渐赶超，至2008-2009年时增速差距最明显，至2014-2015年，江西省GDP增速又遇到阻碍，低于全国均值。
多元线性回归分析案例
多元线性回归分析案例多元线性回归分析是统计学中常用的一种分析方法，它可以用来研究多个自变量对因变量的影响，并建立相应的数学模型。
在实际应用中，多元线性回归分析可以帮助我们理解变量之间的关系，预测未来的趋势，以及制定相应的决策。
本文将通过一个实际案例来介绍多元线性回归分析的基本原理和应用方法。
案例背景。
假设我们是一家电子产品制造公司的市场营销团队，我们想要了解产品销量与广告投入、产品定价和市场规模之间的关系。
我们收集了过去一年的数据，包括每个月的产品销量（千台）、广告投入（万元）、产品定价（元/台）和市场规模（亿人）。
数据分析。
首先，我们需要对数据进行描述性统计分析，以了解各变量的分布情况和相关性。
我们计算了产品销量、广告投入、产品定价和市场规模的均值、标准差、最大最小值等统计量，并绘制了相关性矩阵图。
通过分析发现，产品销量与广告投入、产品定价和市场规模之间存在一定的相关性，但具体的关系还需要通过多元线性回归分析来验证。
多元线性回归模型。
我们建立了如下的多元线性回归模型：\[Sales = \beta_0 + \beta_1 \times Advertising + \beta_2 \times Price + \beta_3 \times MarketSize + \varepsilon\]其中，Sales表示产品销量，Advertising表示广告投入，Price表示产品定价，MarketSize表示市场规模，\(\beta_0, \beta_1, \beta_2, \beta_3\)分别为回归系数，\(\varepsilon\)为误差项。
模型验证。
我们利用最小二乘法对模型进行参数估计，并进行了显著性检验和回归诊断。
结果表明，广告投入、产品定价和市场规模对产品销量的影响是显著的，模型的拟合效果较好。
同时，我们还对模型进行了预测能力的验证，结果表明模型对未来产品销量的预测具有一定的准确性。
决策建议。
统计学原理 相关与回归分析
粮食产量y 随机的
降雨量
土质
种子 耕作技术
X3
X4 X5
可 控 的
（二）相关的种类
完全相关 函数关系是相关关系的一种特例。 不完全相关 相关分析的基本内容
度相 关 密 切 程
y 完全由x的数值唯一确定，函数关系。
不相关
相 关 的 性 质
x、y值变化各自独立，变量间没有相关
关系
正相关 x 负相关
y
x
x2 26896 28900 31329 24336 25600 27556
y2
62540 73695 420857
70225 83521 463382
55696 65025 382469
合计
2114
从表上可以看出，随着个人收入的增加，消 费支出有明显的增长趋势，二者存在一定的依存 关系。正相关关系。 2、相关图（散点图） 直角坐标系第一象限
1、相关表
单变量分组相关表
分组相关表
双变量分组相关表
先做定性分析——相关资料排序——列在一张表上
个人收入x 164 170 177 182 192 207 225 243 265 289
消费支出y 156 160 166 170 178 188 202 218 236 255 1929
xy 25584 27200 29382
yc = 25.32 + 0.7927 300 = 263.13万元
（三）估计标准误差Syx P197
Syx = Syx =
=
(y - yc) 2 n-2 y2 - a y -b xy n-2
382469 -25.32 1929 -0.7927 420857
10 - 2
医学统计学-直线相关与回归
病例号
血糖
胰岛素
i
YI
Xi
1
12.21
15.2
2
14.54
16.7
3
12.27
11.9
4
12.04
14.0
5
7.88
19.8
6
11.10
16.2
7
10.43
17.0
8
13.32
10.3
9
19.59
5.9
10
9.05
18.7
i
Yi
Xi
11
6.44
25.1
12
9.49
16.4
13
10.16
22.0
14
8.38
年龄-身高； 肺活量-体重； 药物剂量-动物死亡率
双变量资料
统计资料
单变量资料：X 双变量资料：X，Y 多变量资料：X1，X2，…，XK，Y
3
相关与回归是研究两个或多个变量之间相互关系的
一种分析方法。
数据结构
编号
Y
1
2
n
X1
……
XK
4
概念：
回归：是研究变量之间在数量上依存关系的一种 方法。
相关：是研究随机变量之间相互联系密切程度和 方向的方法。
23.1
5
7.88
19.8
15
8.49
23.2
6
11.10
16.2
16
7.71
25.0
7
10.43
17.0
17
11.38
16.8
8
13.32
10.3
18
10.82
回归分析中的案例分析解读(十)
回归分析是统计学中一种重要的分析方法，用于探究自变量和因变量之间的关系。
在实际应用中，回归分析常常用于预测、解释和控制变量。
本文将通过几个实际案例，对回归分析进行深入解读和分析。
案例一：销售数据分析某电商平台想要分析不同广告投放对销售额的影响，他们收集了一段时间内的广告投放数据和销售额数据。
为了进行分析，他们利用回归分析建立了一个模型，以广告费用作为自变量，销售额作为因变量。
通过回归分析，他们发现广告费用与销售额之间存在着显著的正相关关系，即广告费用的增加会带动销售额的增加。
通过该分析，电商平台可以更好地制定广告投放策略，优化营销预算，提高销售效益。
案例二：医疗数据分析一家医疗机构收集了一组患者的基本信息、生活习惯以及健康指标等数据，希望通过回归分析来探究生活习惯对健康指标的影响。
他们建立了一个回归模型，以吸烟、饮酒、饮食习惯等自变量，健康指标作为因变量。
通过回归分析，他们发现吸烟和饮酒对健康指标有负向影响，而良好的饮食习惯与健康指标呈正相关关系。
这些发现可以帮助医疗机构更好地进行健康干预和宣教，促进患者的健康改善。
案例三：金融数据分析一家金融机构收集了一段时间内的股票价格、市场指数等数据，希望通过回归分析来探究市场指数对股票价格的影响。
他们建立了一个回归模型，以市场指数作为自变量，股票价格作为因变量。
通过回归分析，他们发现市场指数与股票价格存在着较强的正相关关系，即市场指数的波动会对股票价格产生显著影响。
这些结果可以帮助金融机构更好地进行投资策略的制定和风险控制。
通过以上案例分析，我们可以看到回归分析在不同领域的应用。
回归分析不仅可以帮助人们理解变量之间的关系，还可以用于预测和控制变量。
在实际应用中，我们需要注意回归分析的假设条件、模型选择和结果解释等问题，以确保分析的准确性和可靠性。
在回归分析中，我们需要注意变量选择、模型拟合度和结果解释等问题。
另外，回归分析也有一些局限性，比如无法确定因果关系、对异常值敏感等问题。
统计学 第 七 章 相关与回归分析
（一）回归分析与相关分析的关系
回归分析与相关分析是研究现象 之间相互关系的两种基本方法。
区别：
1、相关分析研究两个变量之间相关的 方向和相关的密切程度。但是相关分析不 能指出两变量相互关系的具体形式，也无 法从一个变量的变化来推测另一个变量的 变化关系。
2、按研究变量多少分为单相关和 复相关
单相关即一元相关，亦称简单相 关，是指一个因变量与一个自变量 之间的依存关系。复相关又称多元 相关，是指一个因变量与两个或两 个以上自变量之间的复杂依存关系。
3、按相关形式分为线性相关和非 线性相关
从相关图上观察：观察的样本点的 分布近似表现为直线形式，即观察点近 似地分布于一直线的两边，则称此种相 关为直线相关或线性相关。如果这些样 本点近似地表现为一条曲线，则称这种 相关为曲线相关或非线性相关(curved relationship).
不确定性的统计关系 —相关关系
Y= f（X）+ε (ε为随机变量)
在这种关系中，变量之间的关系值 是随机的，当一个（或几个）变量的值 确定以后，另一变量的值虽然与它（们） 有关，但却不能完全确定。然而，它们
之间又遵循一定的统计规律。
相关关系的例子
▪ 商品的消费量(y)与居民收入(x)
之间的关系
▪ 商品销售额(y)与广告费支出(x)
▲相关系数只反映变量间的线性相关程度，不 能说明非线性相关关系。
▲相关系数不能确定变量的因果关系，也不能 说明相关关系具体接近于哪条直线。
例题1: 经验表明：商场利润额与 其销售额之间存在相关关系。下表为 某市12家百货公司的销售额与利润额 统计表，试计算其相关系数。
统计学,回归分析
9) 回归分析的条件
• • • • 线性 独立 正态 等方差
• 10) 相关与回归的注意事项
1.相关与回归的关系
• 二者反映的是一个问题的两个角度 相关：关联程度 回归：数量关系
本实例回归方程的评价
• 回归模型的方差分析： F=67.923 P=0.000
• 回归系数的t检验： tb=8.2416 , P=0.000
• R2=0.8291
7) 直线回归图
• 若两变量间存在直线关系,在散点图上绘 上回归直线,形成直线回归图.
直线回归图的CHISS实现
1、进入数据模块 点击 数据→文件→打开数据库表 打开文件名为：b12-1.DBF →确认 2、进入图形模块 进行绘图 点击 图形→统计图→曲线拟合 →确认 横轴：X脂肪 纵轴:Y热量
回归直线与散点图的关系
•
b>0
b<0
b=0
•
b=0
b=0
b=0
4 ) 回归方程的检验
• 回归方程的抽样误差:
• 回归方程来自样本，存在抽样误差
回归方程的假设检验步骤:
• 1 建立假设:
H0：回归方程无统计学意义 H1：回归方程有统计学意义 α =0.05
2 变异的分解: 方差分析思想
yi- y = (yi - y^) + (y^ - y)
上机练习
• <<医学统计与CHISS应用>> • P145 例12-1---例12.4
爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”
统计学第7章 相关与回归分析 (2)
20 50 20 30 50 20 50 40 20 80 40 20 50 80 30 单位成本（元/小时） 16 16 18 16 15 18 15 14 16 14 15 16 14 15 15
完成量（小时）
整理后有
20 20 20 20 20 20 20 20 20 30 30 30 30 30 40 单位成本（元/小时） 15 16 16 16 16 18 18 18 18 15 15 15 16 16 14
rXY
样本相关系数
通过X和Y的样本观测值去估计样本相关系 数变量X和Y的样本相关系数通常用 r 表示
r
rXY
( x x )( y y ) (x x) ( y y)
2
2
特点：样本相关系数是根据从总体中抽取的随机样 本的观测值计算出来的，是对总体相关系数 的估计，它是个随机变量。
例：为了研究分析某种劳务产品完成量与其单位 产品成本之间的关系，调查30个同类服务公司得到的 原始数据如表。 相关表：将自变量x的数值按照从小到大的顺序，并 配合因变量y的数值一一对应而平行排列的表。
20 30 20 20 40 30 40 80 80 50 40 30 20 80 50 单位成本（元/小时） 18 16 16 15 16 15 15 14 14 15 15 16 18 14 14
根据相关关系的方向划分
1、正相关。指两个因素（或变量）之间的变化方向 一致，都是呈增长或下降的趋势。即自变量x的值 增加（或减少），因变量y的值也相应地增加（或 减少），这样的关系就是正相关。例如，工业总 产值增加，企业税利总额也随之增加；家庭消费 支出随收入增加而增加等。 2、负相关。指两个因素或变量之间变化方向相反， 即自变量的数值增大（或减小），因变量随之减 小（或增大）。 如劳动生产率提高，产品成本降 低；产品成本降低，企业利润增加等。
统计学中的非线性回归模型与应用案例
统计学中的非线性回归模型与应用案例统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科。
在统计学中，回归分析是一种常用的方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
传统的回归模型假设自变量与因变量之间的关系是线性的，然而在现实世界中，很多情况下变量之间的关系并不是简单的线性关系。
因此，非线性回归模型应运而生。
非线性回归模型允许自变量与因变量之间的关系呈现出曲线、指数、对数等非线性形式。
这种模型的应用非常广泛，可以用于解决各种实际问题。
下面将介绍一些非线性回归模型的应用案例。
案例一：生长曲线模型生长曲线模型是一种常见的非线性回归模型，用于描述生物体、经济指标等随时间变化的增长过程。
以植物的生长为例，我们可以将植物的高度作为因变量，时间作为自变量，建立一个非线性回归模型来描述植物的生长过程。
通过拟合模型，我们可以预测植物在未来的生长情况，为农业生产提供参考依据。
案例二：Logistic回归模型Logistic回归模型是一种常用的非线性回归模型，用于研究二分类问题。
例如，我们可以使用Logistic回归模型来预测一个人是否患有某种疾病。
以心脏病的预测为例，我们可以将心脏病的发生与各种危险因素（如年龄、性别、血压等）建立一个Logistic回归模型。
通过拟合模型，我们可以根据个体的危险因素预测其是否患有心脏病，从而采取相应的预防措施。
案例三：多项式回归模型多项式回归模型是一种常用的非线性回归模型，用于描述自变量与因变量之间的高阶关系。
例如，我们可以使用多项式回归模型来研究温度与气压之间的关系。
通过拟合模型，我们可以得到温度与气压之间的高阶关系，从而更好地理解气象变化规律。
案例四：指数回归模型指数回归模型是一种常用的非线性回归模型，用于描述自变量与因变量之间的指数关系。
例如，我们可以使用指数回归模型来研究广告投入与销售额之间的关系。
通过拟合模型，我们可以得到广告投入对销售额的指数影响，从而为企业制定广告投放策略提供决策依据。
统计学案例——相关回归分析
《统计学》案例——相关回归分析案例一质量控制中的简单线性回归分析1、问题的提出某石油炼厂的催化装置通过高温及催化剂对原料的作用进行反应，生成各种产品，其中液化气用途广泛、易于储存运输，所以，提高液化气收率，降低不凝气体产量，成为提高经济效益的关键问题。
通过因果分析图和排列图的观察，发现回流温度是影响液化气收率的主要原因，因此，只有确定二者之间的相关关系，寻找适当的回流温度，才能达到提高液化气收率的目的。
经认真分析仔细研究，确定了在保持原有轻油收率的前提下，液化气收率比去年同期增长1个百分点的目标，即达到12.24%的液化气收率。
2、数据的收集序号回流温度（℃）液化气收率（%）序号回流温度（℃）液化气收率（%）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1536 39 43 43 39 38 43 44 37 40 34 39 40 41 4413.1 12.8 11.3 11.4 12.3 12.5 11.1 10.8 13.1 11.9 13.6 12.2 12.2 11.8 11.116 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3042 43 46 44 42 41 45 40 46 47 45 38 39 44 4512.3 11.9 10.9 10.4 11.5 12.5 11.1 11.1 11.1 10.8 10.5 12.1 12.5 11.5 10.9目标值确定之后，我们收集了某年某季度的回流温度和液化气收率的30组数据（如上表），进行简单直线回归分析。
3.方法的确立设线性回归模型为εββ++=x y 10，估计回归方程为x b b y10ˆ+= 将数据输入计算机，输出散点图可见，液化气收率y 具有随着回流温度x 的提高而降低的趋势。
因此，建立描述y 和x 之间关系的模型时，首选直线型是合理的。
从线性回归的计算结果，可以知道回归系数的最小二乘估计值b 0=21.263和b 1=-0.229，于是最小二乘直线为x y229.0263.21ˆ-= 这就表明，回流温度每增加1℃，估计液化气收率将减少0.229%。
统计学第7章相关与回归分析PPT课件
利用回归分析，基于历史GDP数据和其他经济指标，预测未来GDP 的增长趋势。
预测通货膨胀率
通过分析通货膨胀率与货币供应量、利率等经济指标的关系，利用回 归分析预测未来通货膨胀率的变化。
市场研究
消费者行为研究
通过回归分析研究消费者购买决策的影响因素， 如价格、品牌、广告等。
市场细分
利用回归分析对市场进行细分，识别不同消费者 群体的特征和需求。
线性回归模型假设因变量和自变量之间 存在一种线性关系，即当一个自变量增 加时，因变量也以一种可预测的方式增
加或减少。
参数估计
参数估计是用样本数据来估计线性回 归模型的参数β0, β1, ..., βp。
最小二乘法的结果是通过解线性方程 组得到的，该方程组包含n个方程（n 是样本数量）和p+1个未知数（p是 自变量的数量，加上截距项）。
回归模型的评估
残差分析
分析残差与自变量之间的关系， 判断模型的拟合程度和是否存在
异常值。
R方值
用于衡量模型解释因变量变异的 比例，值越接近于1表示模型拟
合越好。
F检验和t检验
用于检验回归系数是否显著，判 断自变量对因变量的影响是否显
著。
05 回归分析的应用
经济预测
预测股票市场走势
通过分析历史股票数据，利用回归分析建立模型，预测未来股票价 格的走势。
回归模型的评估是通过各种统计 量来检验模型的拟合优度和预测 能力。
诊断检验（如Durbin Watson检 验）可用于检查残差是否存在自 相关或其他异常值。
03 非线性回归分析
非线性回归模型
线性回归模型的局限性
线性回归模型假设因变量和自变量之间的关系是线性的，但在实 际应用中，这种关系可能并非总是成立。
统计学中的回归分析与相关性
统计学中的回归分析与相关性回归分析与相关性是统计学中重要的概念和方法，用于研究变量之间的关系和预测。
本文将介绍回归分析和相关性分析的基本原理、应用领域以及实际案例。
一、回归分析回归分析是研究两个或多个变量之间关系的一种统计方法。
它的基本思想是通过对一个或多个自变量与一个因变量之间的关系进行建模，来预测因变量的取值。
1.1 简单线性回归简单线性回归是回归分析中最基本的形式，用于研究一个自变量和一个因变量之间的关系。
其数学模型可以表示为：Y = β0 + β1X + ε，其中Y是因变量，X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
1.2 多元回归多元回归是回归分析的扩展形式，用于研究多个自变量对一个因变量的影响。
其数学模型可以表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn + ε。
1.3 回归诊断回归分析需要对建立的模型进行诊断，以确保模型的有效性和合理性。
常见的回归诊断方法包括检验残差的正态性、检验变量之间的线性关系、检验残差的独立性和方差齐性等。
二、相关性分析相关性分析是统计学中用来研究两个变量之间线性关系强弱的方法。
通过计算两个变量的相关系数，可以判断它们之间的相关性。
2.1 皮尔逊相关系数皮尔逊相关系数是最常用的衡量两个连续变量之间线性相关强度的指标，取值范围在-1到1之间。
当相关系数接近1时，表示两个变量呈正相关；当相关系数接近-1时，表示两个变量呈负相关；当相关系数接近0时，表示两个变量之间没有线性关系。
2.2 斯皮尔曼相关系数斯皮尔曼相关系数是一种非参数统计量，用于衡量两个变量之间的等级相关性。
与皮尔逊相关系数不同，斯皮尔曼相关系数不要求变量呈线性关系。
三、回归分析与相关性的应用回归分析和相关性分析在各个领域都有广泛的应用。
下面以两个实际案例来说明其应用：3.1 股票市场分析在股票市场分析中，可以使用回归分析来研究某只股票的收益率与市场整体指数之间的关系。
多元线性回归模型案例
多元线性回归模型案例多元线性回归模型是统计学中常用的一种回归分析方法，它可以用来研究多个自变量对因变量的影响。
在实际应用中，多元线性回归模型可以帮助我们理解和预测各种复杂的现象，比如销售额和广告投入、学生成绩和学习时间等等。
接下来，我们将通过一个实际的案例来详细介绍多元线性回归模型的应用。
案例背景：假设我们是一家电子产品公司的市场营销团队，我们想要了解广告投入、产品定价和促销活动对销售额的影响。
为了实现这个目标，我们收集了一段时间内的销售数据，并且记录了每个月的广告投入、产品定价和促销活动的情况。
现在，我们希望利用这些数据来建立一个多元线性回归模型，从而分析这些因素对销售额的影响。
数据收集：首先，我们需要收集相关的数据。
在这个案例中，我们收集了一段时间内的销售额、广告投入、产品定价和促销活动的数据。
这些数据可以帮助我们建立多元线性回归模型，并且进行相关的分析。
建立模型：接下来，我们将利用收集到的数据来建立多元线性回归模型。
在多元线性回归模型中，我们将销售额作为因变量，而广告投入、产品定价和促销活动作为自变量。
通过建立这个模型，我们可以分析这些因素对销售额的影响，并且进行预测。
模型分析：一旦建立了多元线性回归模型，我们就可以进行相关的分析。
通过分析模型的系数、拟合优度等指标，我们可以了解每个自变量对销售额的影响程度，以及整个模型的拟合情况。
这些分析结果可以帮助我们更好地理解销售额的变化规律，以及各个因素之间的关系。
模型预测：除了分析模型的影响，多元线性回归模型还可以用来进行预测。
通过输入不同的自变量数值，我们可以预测对应的销售额。
这样的预测结果可以帮助我们制定更加合理的市场营销策略，从而提高销售业绩。
模型评估：最后，我们需要对建立的多元线性回归模型进行评估。
通过对模型的残差、预测误差等进行分析，我们可以了解模型的准确性和可靠性。
如果模型的预测效果不理想，我们还可以通过改进模型结构、增加自变量等方式来提高模型的预测能力。
回归案例
教堂数与监狱服刑人数同步增长引自吴柏林《现代统计学》，吴南图书出版有限公司，1999年版美国印第安纳州的地区教会想要筹款兴建新教堂，提出教堂能洁净人们的心灵，减少犯罪，降低监狱服刑人数的口号。
为了增进民众参与的热诚和信心，教会的神父收集了近１５年的教堂数与在监狱服刑的人数进行统计分析。
结果却令教会大吃一惊。
最近１５年教堂数与监狱服刑人数呈显著的正相关。
那么是否可以由此得出，教堂建得越多，就可能带来更多的犯罪呢？经过统计学家和教会神父深入讨论，并进一步收集近１５年的当地人口变动资料和犯罪率等资料作进一步分析，发现监狱服刑人数的增加和教堂数的增加都与人口的增加有关。
教堂数的增加并非监狱服刑人数增加的原因。
至此，教会人士总算松了一口气。
“回归”一词的由来袁卫摘自《北京统计》1998年第9期在统计学中，相关与回归是经典的内容，也是应用最为广泛的统计方法之一。
但是，国内教材却很少讲到回归方法的起源。
英国著名遗传学家弗朗西斯·高尔顿爵士（Sir Francis Galton,1822-1911）在子女与父母相像程度遗传学研究方面，取得了重要进展。
高尔顿的学生卡尔·皮尔逊（Karl Pearson,1857-1936）在继续这一遗传学研究的过程中，测量了1078个父亲及其成年儿子的身高。
他们之间的数量关系见图1（K.Pearson and A.Lee，“On the laws of inheritance in man”Biometrika，partii（1903）pp.357-462）图1 1078对父子身高的散点图图中每一个点代表一对父子的身高关系。
横轴的X坐标是父亲的身高，纵轴的Y坐标给出的是儿子的身高。
我们看到，多数点子位于角平分斜线的两侧椭圆形面积之内，落在斜线上的点子极少，即儿子与父亲身高完全相同的极少。
由点子落在斜线周围还说明，高个子的父亲有着较高身材的儿子，而矮个子父亲的儿子身材也比较矮。
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《统计学》案例——相关回归分析案例一质量控制中的简单线性回归分析1、问题的提出某石油炼厂的催化装置通过高温及催化剂对原料的作用进行反应，生成各种产品，其中液化气用途广泛、易于储存运输，所以，提高液化气收率，降低不凝气体产量，成为提高经济效益的关键问题。
通过因果分析图和排列图的观察，发现回流温度是影响液化气收率的主要原因，因此，只有确定二者之间的相关关系，寻找适当的回流温度，才能达到提高液化气收率的目的。
经认真分析仔细研究，确定了在保持原有轻油收率的前提下，液化气收率比去年同期增长1个百分点的目标，即达到12.24%的液化气收率。
2、数据的收集目标值确定之后，我们收集了某年某季度的回流温度与液化气收率的30组数据（如上表），进行简单直线回归分析。
3.方法的确立设线性回归模型为εββ++=x y 10，估计回归方程为x b b y10ˆ+= 将数据输入计算机，输出散点图可见，液化气收率y 具有随着回流温度x 的提高而降低的趋势。
因此，建立描述y 与x 之间关系的模型时，首选直线型是合理的。
从线性回归的计算结果，可以知道回归系数的最小二乘估计值b 0=21.263和b 1=-0.229，于是最小二乘直线为x y229.0263.21ˆ-= 这就表明，回流温度每增加1℃，估计液化气收率将减少0.229%。
（3）残差分析为了判别简单线性模型的假定是否有效，作出残差图，进行残差分析。
从图中可以看到，残差基本在-0.5—+0.5左右，说明建立回归模型所依赖的假定是恰当的。
误差项的估计值s=0.388。
（4）回归模型检验 a.显著性检验在90%的显著水平下，进行t 检验,拒绝域为︱t ︱=︱b 1/ s b1︱>t α/2=1.7011。
由输出数据可以找到b 1和s b1，t=b 1/ s b1=-0.229/0.022=-10.313，于是拒绝原假设，说明液化气收率与回流温度之间存在线性关系。
b.拟合度检验判定系数r 2=0.792。
这意味着液化气收率的样本变差大约有80%可以由它与回流温度的线性关系来解释。
2r r ==-0.89这样，r 值为y 与x 之间存在中高度的负线性关系提供了进一步的证据。
由于n ≥30，我们近似确定y 的90%置信区间为：s z y)(ˆ2α±=21.263-0.229x ±1.282×0.388 = 21.263-0.229x ± 0.4974、结果分析由回归直线图可知，要保持液化气收率在12.24%以上，回流温度必须控制在34℃以下。
因为装置工艺卡片要求回流温度在33—40℃之间，为确保液化气质量合格，可以将回流温度控制在33—34℃之间。
为此，应当采取各项有效措施，改善外部操作环境，将液化气收率控制在目标值范围内。
案例二：轿车生产与GDP等关系研究中国的轿车生产是否与GDP、城镇居民人均可支配收入、城镇居民家庭恩格尔系数、私人载客汽车拥有量、公路里程等都有密切关系？如果有关系，它们之间是种什么关系？关系强度如何？（数据见《中国统计年鉴》）（1）分析轿车生产量与私人载客汽车拥有量之间的关系：首先，求的因变量轿车生产量y和自变量私人载客汽车拥有量x1的相关系数r=0.992018,说明两者间存在一定的线性相关关系且正相关程度很强。
然后以轿车生产量为因变量y，私人载客汽车拥有量x1为自变量进行一元线性回归分析，结果如下：①由回归统计中的R=0.984101看出，所建立的回归模型对样本观测值的拟合程度很好；②估计出的样本回归函数为：ŷ=1.775687+0.206783x1，说明私人载客汽车拥有量每增加1万辆，轿车生产量增加2067.83辆；③由上表中â和βˆ的p值分别是0.709481543和6.60805E-15，显然â的p值大于显著性水平α=0.05，不能拒绝原假设α=0，而βˆ的p值远小于显著性水平α=0.05，拒绝原假设β=0，说明私人载客汽车拥有量对轿车生产量有显著影响。
（2）分析轿车生产量与城镇居民家庭恩格尔系数之间的关系：首先，求的因变量轿车生产量y和自变量城镇居民家庭恩格尔系数x2的相关系数r=-0.77499，说明两者间存在一定的线性相关关系但负相关程度一般。
然后以轿车生产量为因变量y，城镇居民家庭恩格尔系数x2为自变量进行一元线性回归分析，结果如下：由回归统计中的R=0.600608看出，所建立的回归模型对样本观测值的拟合程度一般，综合其相关系数值可知此二者关系不太符合所建立的线性模型，说明二者间没有密切的线性相关关系。
（3）分析轿车生产量与公路里程之间的关系：首先，求的因变量轿车生产量y和自变量公路里程x3的相关系数r=0.941214,说明两者间存在一定的线性相关关系且正相关程度较强。
然后以轿车生产量为因变量y，公路里程x3为自变量进行一元线性回归分析，结果如下：①由回归统计中的R=0.885883看出，所建立的回归模型对样本观测值的拟合程度较好；②估计出的样本回归函数为：ŷ=-125.156+1.403022x3，说明公路里程每增加1万公里，轿车生产量增加1.403022万辆；③由上表中â和βˆ的p值分别是5.64E-05和1.82E-08，显然â和βˆ的p 值均远小于显著性水平α=0.05，拒绝原假设α=0、β=0，但由于β对两者的影响更为显著，所以可以说明公路里程对轿车生产量有显著影响。
（4）分析轿车生产量与GDP之间的关系：首先，求的因变量轿车生产量y和自变量GDP x4的相关系数r=0.939995,说明两者间存在一定的线性相关关系且正相关程度较强。
然后以轿车生产量为因变量y，GDP x4为自变量进行一元线性回归分析，结果如下：①由回归统计中的R=0.88359看出，所建立的回归模型对样本观测值的拟合程度较好；②估计出的样本回归函数为：ŷ=-70.7127+0.001829x4，说明GDP每增加1亿元，轿车生产量增加18.29辆；③由上表中â和βˆ的p值分别是0.001534和2.11E-08，显然â和βˆ的p 值均小于显著性水平α=0.05，拒绝原假设α=0、β=0，但由于β对两者的影响更为显著，所以可以说明GDP对轿车生产量有较显著影响。
（5）分析轿车生产量与城镇居民人均可支配收入x5之间的关系：首先，求的因变量轿车生产量y和自变量城镇居民人均可支配收入x5的相关系数r=0.917695,说明两者间存在一定的线性相关关系且正相关程度较强。
然后以轿车生产量为因变量y，城镇居民人均可支配收入x5为自变量进行一元线性回归分析，结果如下：①由回归统计中的R=0.842164看出，所建立的回归模型对样本观测值的拟合程度较好；②估计出的样本回归函数为：ŷ=-92.9054+0.032928x5，说明城镇居民人均可支配收入每增加1元，轿车生产量增加329.28辆；③由上表中â和βˆ的p值分别是0.001444和2.12E-07，显然â和βˆ的p 值均小于显著性水平α=0.05，拒绝原假设α=0、β=0，但由于β对两者的影响更为显著，所以可以说明城镇居民人均可支配收入对轿车生产量有显著影响。
案例三：子女身高与父母身高的回归分析1、问题的提出早在19世纪后期，英国生物学家Galton通过观察1078个家庭中父亲、母亲身高的平均值x和其中一个成年儿子身高y，建立了关于父母身高与子女身高的线性方程：y=33.73+0.516x从方程可以看出，子女身高有回归平均的倾向。
那么，时隔一百多年后的今天，人类的物质生活和精神生活都已发生巨大的变化，父母身高与子女身高之间将呈现出什么样的关系呢？在现实生活中，我们都知道父母身高对子女身高是有影响的，但父亲与母亲的影响分别有多大？他们对儿子和女儿的影响程度是否相同？能否用定量的形式回答这个问题呢？如果可以利用回归方法，进一步揭示父亲身高、母亲身高与子女身高之间量化关系的秘密，将有助于那些关注自己后代身高的年轻父母们进行早期预测，同时也可为那些未婚青年男女在选择理想配偶时提供科学的参考依据。
2、数据的收集为了问题的研究，我们要求所调查的家庭满足下列条件：（1）家庭中有一个或多个子女（2）家庭成员身体健康，发育正常，无先天性和遗传性疾病，无残疾（3）子女的年龄均在23岁（含23岁）以上。
考虑到调查范围的广泛性，我们随机抽取了机关干部、职员、工人、农民、城市居民、军人、大学生家庭，并特意选择了一所全国招生的院校应届毕业生，他们来自于全国各地，家庭背景相对复杂，这样使得样本更具代表性。
在收回的410份（发放460份）调查表中，符合要求的有290个家庭，其中，有儿子405人，有女儿270人。
3、方法的确定根据所收集的数据，应用二元回归分析方法，研究父亲身高、母亲身高与儿子或女儿身高的关系。
（1）建立回归方程设X1为父亲身高，X2为母亲身高，Y为儿子或女儿身高。
则父母身高与子女身高的回归模型为：Y=β0+β1X1+β2X2+ε根据样本数据建立估计二元回归方程：yˆ=b0+b1x1+b2x2（2）显著性检验对回归方程进行F检验，拒绝区域为F﹥Fα(2，n-3)；对回归系数进行t检验，拒绝区域为t﹥tα/2(n-3)。
（3）预测若某一家庭父亲和母亲身高分别为x10和x20，则子女身高的点估计为：yˆ=b0+b1x10+b2x20区间估计方法已超出大纲要求，在此不要求。
4、结果分析（1）父母身高对儿子身高的影响yˆ=53.640+0.368x1+0.349x2显著性检验：在α=0.01的显著水平下，F=62.714﹥Fα(2,400)=4.68t1=7.85﹥tα/2(400)=2.689t2=6.71﹥tα/2(400)=2.689结果说明回归方程显著，两个偏回归系数显著。
因此，所建立回归方程是有意义的，即父母身高与儿子身高有显著的线性关系。
（2）父母身高对女儿身高的影响yˆ=47.140+0.249x1+0.455x2显著性检验：在α=0.01的显著水平下，F=46.81﹥Fα(2,300)=4.68t1=4.92﹥tα/2(300)=2.68t2=7.61﹥tα/2(300)=2.689结果说明回归方程显著，回归系数显著，故所建立回归方程有效，即女儿身高与父母身高有显著的线性关系，特别是母亲身高对女儿身高的影响更为重要。
（3）从以上结果可以看出，在某种程度上，父母身高对子女身高有重要影响，且在不同时期，子女身高有回归平均身高的趋势，即个子矮的父母，其子女身高未必低于自己，个子高的父母，其子女身高未必高于自己。
下表给出了部分家庭子女身高的预测值，其中，区间估计的把握程度为95%。