相似三角形的周长和面积

相似三角形的周长和面

积

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众兴中学初三数学导学案 课题 相似三角形的周长与面积【总第9课时】

学习目的:

1、相似三角形的一切对应线段的比都等于相似比。

2、理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平

方．

3、能用三角形的性质解决简单的问题．

重点、难点

1．重点：相似三角形的性质与运用．

2．难点：相似三角形性质的灵活运用，及对“相似三角形面积的比等于相似比的平方”性质的理解，特别是对它的反向应用的理解，即对“由面积比求相似比”的理解．

一.知识链接

1．问题：已知： ?ABC ∽?A’B’C’，根

据相似的定义，我们有哪些结论

（从对应边上看； 从对应角上看：）

问：两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，

我们还可以得到哪些结论

二 、探索新知

1．思考：

（1）如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系

我们知道，如果△ABC ∽△A ′B ′C ′，且△ABC 与△A ′B ′C ′

的相似比为k ，即 因此AB=k A ′B ′,BC=k B ′C ′,

CA=k C ′A ′，从而 AB BC CA kA B kB C kC A k A B B C C A A B B C C A

''''''++++==''''''''''''++++

由此我们得到： 相似三角形周长的比等于相似比.

（2）如果两个三角形相似，它们的对应边上的高线、中线，对应角的平分线之间有什么关系写出推导过程。

AB BC CA k A B B C C A ===''''''

（3）如果两个三角形相似，它们的面积之间有什么关系写出推导过程。

（4）两个相似多边形的周长和面积分别有什么关系

2 、结论——相似三角形的性质：

性质1 相似三角形周长的比等于相似比，对应高的比等于相似比。 即：如果 △ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为k ，

那么 k A C C B B A CA BC AB ='

'+''+''++． 性质2 相似三角形面积的比等于相似比的平方．

即：如果 △ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为k ，

那么 22)(k B A AB S S C B A ABC ='

'='''∆∆． 相似多边形的性质1．相似多边形周长的比等于相似比．

相似多边形的性质2．相似多边形面积的比等于相似比的平方．

三、例题讲解

例 1（补充） 已知：如图：△ABC ∽△A ′B ′C ′，它们的周长分别是 60 cm 和72 cm ，且AB ＝15 cm ，B ′C ′＝24 cm ，求BC 、AB 、A ′B ′、A ′C ′的长． 分析：根据相似三角形周长的比等于相似比可以求出BC 等边的长．

解：

例2（教材P52例6）如图在ΔABC 和ΔDEF 中，AB=2DE ，AC=2DF ，∠A=∠D ，

ΔABC 的周长是24，面积是DEF 的周长和面积。

分析：根据已知可以得到

2

1AC DF AB DE ==，又有夹角∠D=∠A ，由相似三角形的判定方法2 可以得到这两个三角形相似，且相似比为21，故△DEF 的周长和面积可求出．

解：

四、课堂练习

1．填空：

（1）如果两个相似三角形对应边的比为3∶5 ，那么它们的相似比为

________，周长的比为_____，面积的比为_____．

（2）如果两个相似三角形面积的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为________．

（3）连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于_______．

（4）两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm 和

18 cm ，若较大三角形的周长是42 cm ，面积是

12 cm 2，则较小三角形的周长为________cm ，面积

为_______cm 2．

3．如图,在正方形网格上有△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2，这

两个三角形相似吗如果相似，求出△A 1B 1C 1和△

A 2

B 2

C 2的面积比．

五、课堂小结

六 、当堂检测

2、蛋糕店制作两种圆形蛋糕，一种半径是15cm ，一种半径是30cm ，如果半径是15cm 的蛋糕够2个人吃，半径是30cm 的蛋糕够多少人吃

（假设两种蛋糕高度相同）

3、在一张复印出来的纸上,一个多边形的一条边由原图中的2cm 变成了6cm,这次复印的放缩比例是多少这个多边形的面积发生了怎样的变化

(第3题)

4、△ABC 中，DE ∥

BC ，EF ∥AB ，已知△ADE 和△EFC 的面积分别为4和9，求△ABC 的面积。

5．如图，点D 、E 分别是△ABC 边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，BD ＝2AD ，那么△ADE 的周长︰△ABC 的周长＝ ．

6．已知：如图，△ABC 中，DE ∥BC ，

（1）若32EC AE =，① 求AC AE 的值； ② 求ABC ADE S S ∆∆的值； ③ 若5S ABC =∆，求△ADE 的面积；

（2）若S S ABC =∆，

32EC AE =，过点E 作EF ∥AB 交BC 于F ，求□BFED 的面积； （3）若k EC

AE =， 5S ABC =∆，过点E 作EF ∥AB 交BC 于F ，求□BFED 的面积．

F E

D C

B A