2019-2020学年新培优同步人教B版高中数学必修一课件：第3章 基本初等函数 3.3

(1,1)两点为对角顶点的正方形内部的情况.
④曲线类型:分直线型、抛物线型、双曲线型和拐线型等情况.
(2)幂函数的性质
①所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都通过点(1,1); ②若α>0,则幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函
数;
③若α<0,则幂函数在区间(0,+∞)上是减函数,在第一象限内,当x
剖析:(1)重要性质:①定义域为R,图象都经过(-1,1),(0,0),(1,1)三 点;②函数的图象关于y轴对称,即函数为偶函数;③函数在(-∞,0]上
为减函数,在[0,+∞)上为增函数.
(2)重要性质:①定义域、值域为R,图象都经过(-1,-1),(0,0),(1,1)三 点;②函数的图象关于原点对称,即函数为奇函数;③函数在R上单
故0<c<1,0<d<1.所以a最小,b最大.
题型一 题型二 题型三 题型四
方法三(特殊值法): 作直线x=2,由图象可知2a<2d<2c<2b,由指数函数的性质可知 a<d<c<b,故选D. 答案:D 反思幂函数y=xα的图象分布与幂指数α的关系具有如下规律:在 直线x=1右侧,按“逆时针”方向,图象所对应的幂指数依次增大,即 “指大图高”.
题型一 题型二 题型三 题型四
【例2】 幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在第一象限内的图象如图所示,
则a,b,c,d的大小关系是( )
A.b<c<d<a B.b<c<a<d C.a<b<c<d D.a<d<c<b
题型一 题型二 题型三 题型四
解析:方法一(性质法): 由幂函数的性质可知,当自变量x>1时,幂指数大的函数的函数值 较大,故有b>c>d>a. 方法二(类比法): 当x趋于正无穷时,函数y=xa图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴, 类似于典型幂函数y=x-1,故a<0. 函数y=xb在区间[0,+∞)上是增函数,图象下凸,类似于函数y=x2,故 b>1.
题型一 题型二 题型三 题型四
题型一 题型二 题型三 题型四
题型一 题型二 题型三 题型四
题型一 题型二 题型三 题型四
反思通过本题,我们必须牢记常见幂函数的主要性质和图象,并且 还说明了函数的单调性是针对某一确定区间而言的,不能随便取并 集.
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答案:⑥ ④ ③ ② ⑦ ① ⑤
题型一 题型二 题型三 题型四
题型一 题型二 题型三 题型四
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反思解以上例题的关键在于适当选取某一个函数.函数选得恰当, 解决问题就简单.
题型一 题型二 题型三 题型四
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剖析:(1)幂函数具有严格的形式,形如 y=mxα,y=(mx)α,y=xα+m,y=(x+m)α(以上m均为不等于零的常数)的函 数都不是幂函数,二次函数中只有y=x2是幂函数,其他的二次函数都 不是幂函数,尤其要区分开y=x0与y=1,要知道y=1是函数,但不是幂 函数;y=x0是幂函数.
(2)不要把幂函数与指数函数混淆,幂函数的底数为自变量,指数 为常数,而指数函数恰好相反,底数为常数,指数为自变量.
域也不同. 名师点拨判断函数是否为幂函数时要根据定义,即xα的系数为1,
指数位置的α为一个常数,且常数项为0,或者经过变形后满足条件 的均可.
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【做一做1-1】 下列函数是幂函数的是( )
解析:幂函数必须符合y=xα(α为常数)的形式. 答案:D
【做一做1-2】 若函数y=(k2-k+1)x3是幂函数,则实数k的值是(
调递增. (3)两者图象的区别和联系:无论α>1还是0<α<1,函数y=xα在
[0,+∞)上的图象都是单调递增的,但在[0,1]上前者比后者增长得慢, 在(1,+∞)上前者比后者增长得快.
题型一 题型二 题型三 题型四
答案:(1)①⑤ (2)2
题型一 题型二 题型三 题型四
题型一 题型二 题型三 题型四
从右边趋向于原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴;当x趋于+∞时, 图象在x轴上方无限地逼近x轴.
三、教材中的“思考与讨论” (1)在幂函数y=xα中,如果α是正偶数(α=2n,n为非零自然数),如 α=2,4,6,…,这一类函数具有哪些重要性质? (2)在幂函数y=xα中,如果α是正奇数(α=2n-1,n为非零自然数),如 α=1,3,5,…,这一类函数具有哪些重要性质? (3)幂函数y=xα,x∈[0,+∞),α>1与0<α<1的图象有何不同?
A.当α=0时,函数y=xα的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(0,0)和(1,1) C.若幂函数y=xα是奇函数,则y=xα是定义域上的增函数 D.幂函数的图象不可能出现在第四象限 答案:D
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4如图给出4个幂函数的图象,则图象与函数的大致对应是( )
答案:B
答案:(1)> (2)<
)
A.0
B.1
C.0或1
D.k≠0,且k≠1
解析:由幂函数的定义可知k2-k+1=1,解得k=0或k=1.
答案:C
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已知幂函数的图象特征或性质求解析式时,常用待定系数法.判断 幂函数y=xα的单调性时,通常借助其指数α的符号来分析.
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答案:B
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答案:C
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答案:二、四
一、详述幂函数的定义和定义域
3.3 幂函数
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1.幂函数的定义 一般地,我们把形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x为自变 量,α为常数. 关于定义的理解:
①幂的底数是自变量; ②幂的指数是一个常数,它可以取任意实数; ③幂值前面的系数是1,否则不是幂函数; ④幂函数的定义域是使xα有意义的所有x的集合,因α的不同,定义
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2若幂函数的图象过点(2,4),则它的单调递增区间是 ( )
A.(2,+∞)
B.[0,+∞)
C.(-∞,+∞) D.(-∞,0)
解析:设f(x)=xα,由2α=4,得α=2,
故f(x)=x2,其单调递增区间为[0,+∞).
答案:B
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3下列命题中正确的是( )
二、幂函数的图象与性质
剖析:(1)幂函数的图象 幂函数的图象与其他函数相比,在理解和记忆上都比较困难.主 要因为幂函数图象的位置和形状变化复杂,只要指数稍有不同,图 象的位置和形状就可能发生很大的变化,所以有必要对幂函数的图 象分布进行一番考查. 考查或作幂函数图象须考虑以下几个方面:
①定义域:有x∈R,x≠0,x≥0,x>0四种情况. ②奇偶性. ③单调性:侧重点在第一象限.当指数α>0时,尤其要注意以(0,0)和