求函数最值的方法归纳

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三角函数中的最值问题(4种方法)

三角函数中的最值问题（4种方法）基本方法1、直接法：形如f (x )＝a sin x ＋b (或y ＝a cos x ＋b ),值域为[－|a |＋b ，|a |＋b ]，形如y＝asinx＋bcsinx＋c 的函数可反解出sinx，利用|sinx|≤1求解，或分离常数法.2、化一法：形如f (x )＝a sin x ＋b cos x ，f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＋c sin x cos x 的函数可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的形式，利用正弦函数的有界性求解，给定x 范围时要注意讨论ωx ＋φ的范围，注意利用单位圆或函数图象．3、换元法：形如f (x )＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a cos 2x ＋b sin x ＋c 或f (x )＝a (sin x ±cos x )＋b sin x ·cos x 的函数可通过换元转化为二次函数在某区间上的值域求解．4、几何法（数形结合）：形如dx c bx a y ++=cos sin 转化为斜率问题，或用反解法.典型例题例1已知函数f (x )=(sin x+cos x )2+cos 2x ,求f (x )在区间.解：（化一法）因为f (x )=sin 2x+cos 2x+2sin x cos x+cos 2x=1+sin 2x+cos 2x=2sin 2 +1,当x ∈0,2 ∈由正弦函数y=sin x 当2x+π4π2,即x=π8时,f (x )取最大值2+1;当2x+π45π4,即x=π2时,f (x )取最小值0.综上,f (x )在0,上的最大值为2+1,最小值为0.例2求函数y ＝2＋sin x ＋cos x 的最大值.解：（化一法）y ＝2＋2sin(x ＋π4)，当x ＝π4＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝2＋2例3求函数f (x )＝cos2x ＋6cos(π2－x )的最大值.解：（换元法）f (x )＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2(sin x －32)2＋112.令sin x ＝t ，则t ∈[－1,1]，函数y ＝－2(t －32)2＋112在[－1,1]上递增，∴当t ＝1时，y 最大＝5，即f (x )max ＝5，例4已知x 是三角形的最小内角，求函数y ＝sin x ＋cos x －sin x cos x 的最小值.解：（换元法）由0≤x ≤π3，令t ＝sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，又0<x ≤π3，∴π4<x ＋π4≤712π，得1<t ≤2；又t 2＝1＋2sin x cos x ，得sin x cos x ＝t 2－12，得y ＝t －t 2－12＝－12(t －1)2＋1，例5已知sin α＋sin β＝22，求cos α＋cos β的取值范围.解：（换元法）令cos α＋cos β＝t ，则(sin α＋sin β)2＋(cos α＋cos β)2＝t 2＋12，即2＋2cos(α－β)＝t 2＋12⇒2cos(α－β)＝t 2－32，∴－2≤t 2－32≤2⇒－12≤t 2≤72，∴－142≤t ≤142，即－142≤cos α＋cos β≤142.例6求函数y ＝1＋sin x3＋cos x的值域解法一：（几何法）1＋sin x3＋cos x可理解为点P (－cos x ，－sin x )与点C (3,1)连线的斜率，点P (－cos x ，－sin x )在单位圆上，如图所示．故t ＝1＋sin x3＋cos x满足k CA ≤t ≤k CB ，设过点C (3,1)的直线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由原点到直线的距离不大于半径1，得|1－3k |k 2＋1≤1，解得0≤k ≤34.从而值域为[0，34]．解法二：（反解法）由y ＝1＋sin x3＋cos x 得sin x －y cos x ＝3y －1，∴sin(x ＋φ)＝3y －11＋y2其中sin φ＝－y 1＋y 2，cos φ＝11＋y 2.∴|3y －11＋y2|≤1，解得0≤y ≤34.例7求函数y ＝2sin x ＋1sin x －2的值域解法一：（分离常数法）y ＝2sin x ＋1sin x －2＝2＋5sin x －2，由于－1≤sin x ≤1，所以－5≤5sin x －2≤－53，∴函数的值域为[－3，13]．解法二：（反解法）由y ＝2sin x ＋1sin x －2，解得sin x ＝2y ＋1y －2，∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤2y ＋1y －2≤1，解得－3≤y ≤13，∴函数的值域为[－3，13]．针对训练1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为____.此时x ＝____.2.函数xxy cos -3sin -4的最大值为.3.函数f (x )=sin 2x+3cos ∈的最大值是.4.函数y ＝12＋sin x ＋cos x的最大值是【解析】1.函数y ＝3－2cos(x ＋π4)的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∈Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．2.解析式表示过A (cos x ,sin x ),B (3,4)的直线的斜率,则过定点(3,4)与单位圆相切时的切线斜率为最值,所以设切线的斜率为k ,则直线方程为y-4=k (x-3),即kx-y-3k+4=+11,∴k max3.由题意可知f (x )=1-cos 2x+3cos x-34=-cos 2x+3cos x+14=-cos -+1.因为x ∈0,cos x ∈[0,1].所以当cos f (x )取得最大值1.4.∵y ＝12＋2sin (x ＋π4)，又2－2≤2＋2sin(x ＋π4)≤2＋2∴y ≤12－2＝1＋22，含参问题一、单选题1．已知函数()sin cos (0,0)62af x x x a πωωω⎛⎫=++>> ⎪⎝⎭，对任意x ∈R ，都有()f x ≤，若()f x 在[0,]π上的值域为3[2，则ω的取值范围是（）A．11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．12,33⎡⎤⎢⎣⎦C．1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()sin cos 62af x x x πωω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1cos 2a x x ωω++max ()f x =02a a >∴= ，())3f x x πω∴=+0,0x πω≤≤> ，333x πππωωπ∴≤+≤+，3()2f x ≤ 2233πππωπ∴≤+≤，1163ω∴≤≤.故选：A2．已知函数()()cos 0f x x x ωωω=+>，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，关于函数()g x ，下列说法正确的是（）A．在,42ππ⎡⎤⎢⎣⎦上是增函数B．其图像关于直线6x π=对称C．在区间,1224ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,1--D．函数()g x 是奇函数【解析】因()()cos 2sin 06f x x x x πωωωω⎛⎫=+=+> ⎪⎝⎭，当()()124f x f x -=时，12x x -最小值为4π，则()f x 的最小正周期为22T ππω==，即4ω=，所以()2sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把函数()f x 的图像沿x 轴向右平移6π个单位，得()2sin 42sin 42cos 46662f x g x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=，所以，()g x 为偶函数，故D 选项不正确；由4,k x k k Z πππ≤≤+∈，即,44k k x k Z πππ+≤≤∈，故()g x 在区间(),44k k k Z πππ+⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上为减函数，所以()g x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故A选项不正确；由4,2x k k Z ππ=+∈，即,48k x k Z ππ=+∈，所以()g x 图像关于,48k x k Z ππ=+∈对称，故B选项不正确；当,1224x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，4,36x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦，则()21g x -≤≤-，所以C 选项正确.故选：C.3．已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的取值范围是（）A．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B．3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．73,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．57,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】因为0>ω，所以当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[,]4424x ππωππω-∈--因为函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦所以52244πωπππ≤-≤，解得332ω≤≤，故选：B．4．已知函数()(2)f x x ϕ=+22ππϕ-≤≤，若()0f x >在5(0,)12π上恒成立，则3(4f π的最大值为（）B．0C．D．2-【解析】因为5(0,)12x π∈,故52(,)6x πϕϕϕ+∈+；由()0f x >，即1sin(2)2x ϕ+>-，得722266k x k πππϕπ-+<+<+，k Z ∈，故57(,)(2,2)666k k πππϕϕππ+⊆-++，k Z ∈，故2657266k k πϕπππϕπ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得2263k k πππϕπ-+≤≤+，k Z ∈；又22ππϕ-≤≤，故63ππϕ-≤≤，5．已知曲线()sin cos f x x m x ωω=+，()m R ∈相邻对称轴之间的距离为2π，且函数()f x 在0x x =处取得最大值，则下列命题正确的个数为（）①当0,126x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，m的取值范围是⎣；②将()f x 的图象向左平移04x 个单位后所对应的函数为偶函数；③函数()()y f x f x =+的最小正周期为π；④函数()()y f x f x =+在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点．故33()()42f ππϕϕ⎡⎤+++-⎢⎥⎣⎦，故3()4f π的最大值为0．故选：BA．1B．2C．3D．4【解析】函数()f x 的相邻对称轴之间的距离为2π，则周期为22T ππ=⨯=，∴22πωπ==，()sin 2cos 2f x x m x =+)x ϕ=+，其中cos ϕ=，sin ϕ=[0,2)ϕπ∈，()f x 在0x 处取最大值，则022,2x k k Z πϕπ+=+∈，0222k x πϕπ=+-，k Z ∈，①若0[,]126x ππ∈，则[2,2]63k k ππϕππ∈++，1sin 2ϕ≤≤，12解m ≤正确．②如()sin(28f x x π=+，0316x π=时函数取最大值，将()f x 的图象向左平移04x 个单位后得313()sin[2(4)sin(2)1688g x x x πππ=+⨯+=+，不是偶函数，错；③()()y f x f x =+中，()y f x =是最小正周期是π，()y f x =的最小正周期是2π，但()()y f x f x =+的最小正周期还是π，正确；④003[,44x x x ππ∈++时，()()0y f x f x =+=，因此在区间00,3x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有无数个零点，错；∴正确的命题有2个．故选：B．6．已知函数()cos 4cos 12=+-xf x x 在区间[0,]π的最小值是（）A．-2B．-4C．2D．4【解析】22()cos 4cos 12cos 14cos 12(cos 1)42222x x x x f x x =+-=-+-=+-，由[0,]x π∈知，[0,]22x π∈，cos [0,1]2x ∈，则当x π=时，函数()f x 有最小值min ()2f x =-.故选：A.7．已知()cos31cos xf x x=+,将()f x 的图象向左平移6π个单位，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的12得到()g x 的图象，下列关于函数()g x 的说法中正确的个数为（）①函数()g x 的周期为2π;②函数()g x 的值域为[]22-,;③函数()g x 的图象关于12x π=-对称;④函数()g x 的图象关于,024π⎛⎫⎪⎝⎭对称.A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】()()cos 2cos311cos cos x x xf x x x+=+=+cos 2cos sin 2sin 12cos 2cos x x x x x x -=+=.即：()2cos 2f x x =且,2x k k Z ππ≠+∈.()2cos(4)3g x x π=+且,62k x k Z ππ≠+∈.①因为函数()g x 的周期为2π，因此①正确.②因为,62k x k Z ππ≠+∈，故() 2.g x ≠-因此②错误.③令4,3x k k Z ππ+=∈，得,124k x k Z ππ=-+∈.故③正确k ππ二、填空题8．函数()2sin()sin()2sin cos 66f x x x x x ππ=-++在区间[0,2π上的值域为__________．【解析】由11(x)sinx cosx)(sinx cosx)sin 2x2222f =-++22312(sin x cos x)sin 2x 44=-+2231sin cos sin 222x x x=-+11cos 2sin 22x x =--+1x )24π=-当[0,]2x π∈时，2[,]444x ππ3π-∈-，则sin(2)[42x π-∈-，所以11(x)[,22f ∈-.故答案为：11[,22-9．若函数()()2cos 2cos 202f x x x πθθ⎛⎫=++<< ⎪⎝⎭的图象过点()0,1M ，则()f x 的值域为__________.【解析】由题意可得()02cos 2cos 02cos 211f θθ=+=+=，得cos 20θ=，02πθ<<，02θπ∴<<，22πθ∴=，则4πθ=，()22cos cos 2cos 22sin 2sin 2sin 12f x x x x x x x π⎛⎫∴=++=-=--+ ⎪⎝⎭2132sin 22x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，令[]sin 1,1t x =∈-，则213222y t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭.当12t =-时，该函数取最大值，即max 32y =，当1t =时，该函数取最小值，即min 3y =-.因此，函数()y f x =的值域为33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.10．函数32()sin 3cos ,32f x x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值域为_________．【解析】由题意，可得()3232ππf x sin x 3cos x sin x 3sin x 3,x ,,32⎡⎤=+=-+∈-⎢⎥⎣⎦，令t sinx =，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()32g t t 3t 3=-+，t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()2g't 3t 6t 3t t 2=-=-，当t 0<<时，()g't 0>，当0t 1<<时，()g't 0>，即()y g t =在⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，在[]0,1为减函数，又g ⎛=⎝⎭()g 03=，()g 11=，故函数的值域为：⎤⎥⎣⎦．11．（2019·广东高三月考（文））函数()cos 2|sin |f x x x =+的值域为______．【解析】2219()cos 2|sin |12|sin ||sin |2|sin |48f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭,所以当1sin 4x =时,()f x 取到最大值98,当sin 1x =时,()f x 取到最小值0,所以()f x 的值域为90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：90,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦。

求函数值域最值的方法大全

一、值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 常见函数的值域：一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.二次函数()20y ax bx c a =++≠,当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭,当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦.,反比例函数()0ky k x=≠的值域为{}0y R y ∈≠. 指数函数()01xy aa a =>≠且的值域为{}0y y >.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R. 正,余弦函数的值域为[]1,1-,正,余切函数的值域为R. 二、求函数值域最值的常用方法 1.直接观察法适用类型：根据函数图象.性质能较容易得出值域最值的简单函数例1、求函数y=211x +的值域解： 22111,011x x +≥∴<≤+显然函数的值域是：(]0,1例2、求函数y=2－x 的值域;解：x ≥0∴－x ≤02－x ≤2故函数的值域是：-∞,22、配方法适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型;配方法是求二次函数值域最基本的方法之一;对于形如()20y ax bx c a =++≠或()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦类的函数的值域问题,均可用配方法求解.例3、求函数y=2x -2x+5,x ∈-1,2的值域;解：将函数配方得：y=x-12+4, x ∈-1,2,由二次函数的性质可知：当x=1时,y m in =4 当x=-1,时m ax y =8 故函数的值域是：4,8例4、求函数的值域：y =解：设()2650x x μμ=---≥,则原函数可化为：y =.又因为()2265344x x x μ=---=-++≤,所以04μ≤≤,故[]0,2,所以,y =的值域为[]0,2. 3、判别式法适用类型：分子.分母中含有二次项的函数类型,此函数经过变形后可以化为0)()()(2=++y C x y B x y A 的形式,再利用判别式加以判断;例5、求函数的值域22221x x y x x -+=++解：210x x ++>恒成立,∴函数的定义域为R.由22221x x y x x -+=++得()()22120y x y x y -+++-= ;① 当20y -=即2y =时,300,0x x R +=∴=∈； ② 当20y -≠即2y ≠时,x R ∈时,方程()()22120y x y x y -+++-=恒有实根.()()221420y y ∴=+-⨯-≥15y ∴≤≤且2y ≠.∴原函数的值域为[]1,5.例6、求函数y=x+)2(x x -的值域; 解：两边平方整理得：22x -2y+1x+y 2=01x ∈R,∴△=4y+12-8y≥0解得：1-2≤y≤1+2但此时的函数的定义域由x2-x≥0,得：0≤x≤2;由△≥0,仅保证关于x 的方程：22x -2y+1x+y 2=0在实数集R 有实根,而不能确保其实根在区间0,2上,即不能确保方程1有实根,由△≥0求出的范围可能比y 的实际范围大,故不能确定此函数的值域为21,23;可以采取如下方法进一步确定原函数的值域; 0≤x≤2,∴y=x+)2(x x -≥0,∴y min =0,y=1+2代入方程1,解得：1x =222224-+∈0,2,即当1x =222224-+时,原函数的值域为：0,1+2;注：由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除; 4、反函数法适用类型：分子.分母只含有一次项的函数即有理分式一次型,也可用于其它易反解出自变量的函数类型;例7、求函数12+=x xy 的值域; 分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出x,从而便于求出反函数;12+=x x y 反解得y y x -=2即xxy -=2知识回顾：反函数的定义域即是原函数的值域; 故函数的值域为：),2()2,(+∞-∞∈ y ; 5、函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域; 适用类型：一般用于三角函数型,即利用]1,1[cos ],1,1[sin -∈-∈x x 等;例8、求函数y=11+-x x e e 的值域;解：由原函数式可得：xe =11-+y y x e ＞0,∴11-+y y ＞0 解得：-1＜y ＜1; 故所求函数的值域为-1,1.例9、求函数y=3sin cos -x x的值域;解：由原函数式可得：ysinx-cosx=3y 可化为：12+y sinxx+β=3y即sinxx+β=132+y y∵x∈R,∴sinxx+β∈-1,1;即-1≤132+y y ≤1解得：-42≤y≤42故函数的值域为-42,42 6、函数单调性法适用类型：一般能用于求复合函数的值域或最值;原理：同增异减例10、求函数)4(log 221x x y -=的值域;分析与解：由于函数本身是由一个对数函数外层函数和二次函数内层函数复合而成,故可令：)0)((4)(2≥+-=x f x x x f 配方得：)4,0)(4)2()(2（所以∈+--=x f x x f 由复合函数的单调性同增异减知：),2[+∞-∈y ; 例11、求函数y=+-25x log31-x 2≤x≤10的值域解：令y 1=25-x ,2y =log31-x ,则y 1,2y 在2,10上都是增函数;所以y=y 1+2y 在2,10上是增函数; 当x=2时,y m in =32-+log312-=81,当x=10时,m ax y =52+log39=33;故所求函数的值域为：81,33; 例12、求函数y=1+x -1-x 的值域;解：原函数可化为：y=112-++x x令y 1=1+x ,2y =1-x ,显然y 1,2y 在1,+∞上为无上界的增函数,所以y=y 1+2y 在1,+∞上也为无上界的增函数;所以当x=1时,y=y 1+2y 有最小值2,原函数有最大值22=2;显然y ＞0,故原函数的值域为0,2; 7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型;换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用; 适用类型:无理函数、三角函数用三角代换等; 例13、求函数y=x+1-x 的值域; 解：令x-1=t,t≥0则x=2t +1 ∵y=2t +t+1=2)21(+t +43,又t≥0,由二次函数的性质可知当t=0时,y m in =1,当t→0时,y→+∞; 故函数的值域为1,+∞;例14、求函数y=x+2+2)1(1+-x 的值域解：因1-2)1(+x ≥0,即2)1(+x ≤1 故可令x+1=cosβ,β∈0,∏;∴y=cosβ+1+B 2cos 1-=sinβ+cosβ+1 =2sinβ+∏/4+1∵0≤β≤∏,0≤β+∏/4≤5∏/4 ∴-22≤sinβ+∏/4≤1 ∴0≤2sinβ+∏/4+1≤1+2; 故所求函数的值域为0,1+2;例15、求函数y=12243++-x x xx 的值域解：原函数可变形为：y=-21⨯212x x +⨯2211x x +- 可令x=tgβ,则有212xx+=sin2β,2211x x +-=cos2β∴y=-21sin2β⨯cos2β=-41sin4β 当β=k∏/2-∏/8时,m ax y =41;当β=k∏/2+∏/8时,y m in =-41而此时tgβ有意义; 故所求函数的值域为-41,41; 例16、求函数y=sinx+1cosx+1,x∈-∏/12∏/2的值域; 解：y=sinx+1cosx+1=sinxcosx+sinx+cosx+1 令sinx+cosx=t,则sinxcosx=212t -1 y=212t -1+t+1=212)1(+t 由t=sinx+cosx=2sinx+∏/4且x∈-∏/12,∏/2 可得：22≤t≤2 ∴当t=2时,m ax y =23+2,当t=22时,y=43+22故所求函数的值域为43+22,23+2; 例17、求函数y=x+4+25x -的值域解：由5-x≥0,可得∣x∣≤5 故可令x=5cosβ,β∈0,∏y=5cosβ+4+5sinβ=10sinβ+∏/4+4 ∵0≤β≤∏,∴∏/4≤β+∏/4≤5∏/4当β=∏/4时,m ax y =4+10,当β=∏时,y m in =4-5;故所求函数的值域为：4-5,4+10; 8数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目;适用类型:函数本身可和其几何意义相联系的函数类型.例18、求函数y=)2(2-x +)8(2+x 的值域;解：原函数可化简得：y=∣x -2∣+∣x+8∣上式可以看成数轴上点Px 到定点A2,B-8间的距离之和; 由上图可知：当点P 在线段AB 上时, y=∣x -2∣+∣x+8∣=∣AB∣=10当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时, y=∣x -2∣+∣x+8∣＞∣AB∣=10 故所求函数的值域为：10,+∞ 例19、求函数y=1362+-x x+542++x x的值域解：原函数可变形为：y=)20()3(22--+x +)10()2(22+++x上式可看成x 轴上的点Px,0到两定点A3,2,B-2,-1的距离之和, 由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时,y m in =∣AB∣=)12()23(22+++=43,故所求函数的值域为43,+∞; 例20、求函数y=1362+-x x-542++x x的值域解：将函数变形为：y=)20()3(22--+x -)10()2(22-++x上式可看成定点A3,2到点Px,0的距离与定点B-2,1到点Px,0的距离之差;即：y=∣AP∣-∣BP∣ 由图可知：1当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时,如点P1,则构成△ABP1,根据三角形两边之差小于第三边,有∣∣AP1∣-∣BP1∣∣＜∣AB∣=)12()23(22-++=26即：-26＜y ＜262当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时,有∣∣AP∣-∣BP∣∣=∣AB∣=26;综上所述,可知函数的值域为：-26,-26;注：由例17,18可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使A,B 两点在x 轴的两侧,而求两距离之差时,则要使两点A,B 在x 轴的同侧; 如：例17的A,B 两点坐标分别为：3,2,-2,-1,在x 轴的同侧；例18的A,B 两点坐标分别为：3,2,2,-1,在x 轴的同侧; 例21、求函数xxy cos 2sin 3--=的值域.分析与解:看到该函数的形式,我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式1212x x y y k --=,将原函数视为定点2,3到动点)sin ,(cos x x 的斜率,又知动点)sin ,(cos x x 满足单位圆的方程,从而问题就转化为求点2,3到单位圆连线的斜率问题,作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得,从而解得:]3326,3326[+-∈y 9、不等式法适用类型：能利用几个重要不等式及推论来求得最值;如：ab b a ab b a 2,222≥+≥+其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧;例22、求函y=sinx+1/sinx+cosx+1/cosx 的值域解：原函数变形为： y=x sin2+x cos 2+1/x sin 2+1/x cos 2=1+x csc2+x sec 2=3+x tg 2+x ctg 2当且仅当tgx=ctgx,即当x=k∏±∏/4时k∈z,等号成立; 故原函数的值域为：5,+∞; 例23、求函数y=2sinxsin2x 的值域解：y=2sinxsinxcosx=4x sin2cosxx By2=16x sin4x cos 2=8x sin 2x sin 22-2x sin 2≤8x sin2+x sin 2+2-x sin 2=8x sin2+x sin 2+2-x sin 2/33=2764 当且当x sin2=2-2x sin 2,即当x sin 2=时,等号成立;由y2≤2764,可得：-938≤y≤938 故原函数的值域为：-938,938; 例24、当0>x 时,求函数248)(xx x f +=的最值,并指出)(x f 取最值时x 的值; 分析与解：因为2244448)(xx x x x x f ++=+=可利用不等式33abc c b a ≥++即：324443)(xx x x f ••≥所以12)(≥x f 当且仅当244x x =即1=x 时取”=”当1=x 时)(x f 取得最小值12;例25、双曲线12222=-b y a x 的离心率为1e ,双曲线12222=-ax b y 的离心率为2e ,则21e e +的最小值是;A 22B4C2D 2分析与解：根据双曲线的离心率公式易得：bb a a b a e e 222221+++=+,我们知道xy y x 2≥+所以abb a e e 22212+≥+当且仅当bb a a b a 2222+=+时取“=”而ab b a 222≥+故2221≥+e e 当且仅当b a =时取“=”22)(min 21=+e e 所以;10、导数法设函数()f x 在[],a b 上连续,在(),a b 上可导,则()f x 在[],a b 上的最大值和最小值为()f x 在(),a b 内的各极值与()f a ,()f b 中的最大值与最小值;要求三次及三次以上的函数的最值,以及利用其他方法很难求的函数似的最值,通常都用该方法;导数法往往就是最简便的方法,应该引起足够重视;例26、求函数()32362f x x x x =-+-,[]1,1x ∈-的最大值和最小值;解:()2'366f x x x =-+,令()'0f x =,方程无解.()2'366f x x x =-+()23130x =-+>∴函数()f x 在[]1,1x ∈-上是增函数.故当1x =-时,()()min 112f x f =-=-,当1x =时,()()max 12f x f == 例27、求函数221)(2++=x x x f 的最值. 解析:函数)(x f 是定义在一个开区间()∞+∞-，上的可导函数,令0)22(22)('2=+++-=x x x x f 得)(x f 的唯一驻点1-=x 即为最点.1-<x 时,0)('>x f ,函数递增, 1-<x 时,0)('<x f ,函数递减,故)(x f 有最大值1)1(=-f .说明本函数是二次函数的复合函数,用配方法求最值也很简便.11)1(1)(2≤++=x x f ,等号成立条件是1-=x . 注：最值寻根的导数判定若定义在一个开区间上的函数)(x f y =有导函数)()(x g x f ='存在,那么)(x f 是否有最值的问题可转化为)(x f 的导函数)(x g 是否有最根的问题来研究：1若导函数)(x g 无根,即0)(≠x g ,则)(x f 无最值；2若导函数)(x g 有唯一的根0x ,即0)('0=x f ,则)(x f 有最值)(0x f .此时,导函数)(x f '的根0x 即是函数)(x f 最根0x .3若导函数)(x g 有多个的根,则应从多个驻点中依次判定极点、最点的存在性. 11、多种方法综合运用例28、求函数y=32++x x 的值域解：令t=2+x t≥0,则x+3=2t +1 1当t ＞0时,y=12+t t=t t /11+≤21,当且仅当t=1,即x=-1时取等号所以0＜y≤21; 2当t=0时,y=0;综上所述,函数的值域为：0,21; 注：先换元,后用不等式法; 例29、求函数y=xx x x x x 424322121++++-+的值域;解：y=x x xx 42422121+++-+x x xx 42321+++=)11(222xx +-+x x 21+令x=tg2β,则)11(222xx +-=βcos 2,x x21+=21sin β, ∴y=βcos2+21sin β=-βsin 2+21sin β+1=-)41(sin 2-β+1617 ∴当sin β=41时,m ax y =1617;当sin β=-1时,y m in =-2; 此时tg2β都存在,故函数的值域为：－2,1617; 注：此题先用换元法;后用配方法,然后再运用sin β的有界性;总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法; 学生巩固练习1函数y =x 2+x1x ≤－21的值域是A －∞,－47]B －47,+∞)C 2233,+∞)D －∞,－32232函数y =x +x 21-的值域是 A －∞,1]B －∞,－1]C RD1,+∞)3一批货物随17列货车从A 市以V 千米/小时匀速直达B 市,已知两地铁路线长400千米,为了安全,两列货车间距离不得小于20V 2千米,那么这批物资全部运到B 市,最快需要_________小时不计货车的车身长4设x 1、x 2为方程4x 2－4mx +m +2=0的两个实根,当m =_________时,x 12+x 22有最小值_________ 5某企业生产一种产品时,固定成本为5000元,而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元,市场对此商品年需求量为500台,销售的收入函数为Rx =5x －21x 2万元0≤x ≤5,其中x 是产品售出的数量单位百台1把利润表示为年产量的函数； 2年产量多少时,企业所得的利润最大3年产量多少时,企业才不亏本6已知函数fx =lg a 2－1x 2+a +1x +11若fx 的定义域为－∞,+∞,求实数a 的取值范围； 2若fx 的值域为－∞,+∞,求实数a 的取值范围7某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周按120个工时计算生产空调器、彩电、冰箱共360台,且冰箱至少生产60台已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表家电名称空调器彩电冰箱工时产值千元432问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台,才能使产值最高最高产值是多少以千元为单位 8在Rt△ABC 中,∠C =90°,以斜边AB 所在直线为轴将△ABC 旋转一周生成两个圆锥,设这两个圆锥的侧面积之积为S 1,△ABC 的内切圆面积为S 2,记ABCABC +=x 1求函数fx =21S S 的解析式并求fx 的定义域 2求函数fx 的最小值参考答案1解析∵m 1=x 2在－∞,－21上是减函数,m 2=x 1在－∞,－21上是减函数,∴y =x 2+x1在x ∈－∞,－21上为减函数,∴y =x 2+x1x ≤－21的值域为－47,+∞)答案B2解析令x 21-=tt ≥0,则x =212t -∵y =212t -+t =－21t －12+1≤1∴值域为－∞,1] 答案A 3解析t =V 400+16×20V 2/V =V 400+40016V≥216=8 答案84解析由韦达定理知x 1+x 2=m ,x 1x 2=42+m , ∴x 12+x 22=x 1+x 22－2x 1x 2=m 2－22+m =m －412－1617,又x 1,x 2为实根,∴Δ≥0∴m ≤－1或m ≥2,y =m －412－1617在区间－∞,1上是减函数,在2,+∞)上是增函数,又抛物线y 开口向上且以m =41为对称轴故m =1时,y min =21答案－121 5解1利润y 是指生产数量x 的产品售出后的总收入Rx 与其总成本Cx 之差,由题意,当x ≤5时,产品能全部售出,当x >5时,只能销售500台,所以y =⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-⨯-⨯≤≤+--)1( 25.012)50(5.02175.4)5)(25.05.0()52155()50)(25.05.0(215222x x x x x x x x x x x 2在0≤x ≤5时,y =－21x 2+475x －05,当x =－ab2=475百台时,y max =1078125万元,当x >5百台时,y ＜12－025×5=1075万元,所以当生产475台时,利润最大3要使企业不亏本,即要求⎩⎨⎧≥->⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤025.012505.075.421502x x x x x 或解得5≥x ≥475－5625.21≈01百台或5＜x ＜48百台时,即企业年产量在10台到4800台之间时,企业不亏本6解1依题意a 2－1x 2+a +1x +1>0对一切x ∈R 恒成立,当a 2－1≠0时,其充要条件是⎪⎩⎪⎨⎧-<>-<>⎪⎩⎪⎨⎧<--+=∆>-13511,0)1(4)1(01222a a a a a a a 或或即, ∴a ＜－1或a >35又a =－1时,fx =0满足题意,a =1时不合题意故a ≤－1或a >为35所求 2依题意只要t =a 2－1x 2+a +1x +1能取到0,+∞上的任何值,则fx 的值域为R ,故有⎩⎨⎧≥∆>-0012a ,解得1＜a ≤35,又当a 2－1=0即a =1时,t =2x +1符合题意而a =－1时不合题意,∴1≤a ≤35为所求 7解设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x 台、y 台、z 台,由题意得x +y +z =360 ①120413121=++z y x ② x >0,y >0,z ≥60③假定每周总产值为S 千元,则S =4x +3y +2z ,在限制条件①②③之下,为求目标函数S 的最大值,由①②消去z ,得y =360－3x ④将④代入①得x +360－3x +z =360,∴z =2x ⑤ ∵z ≥60,∴x ≥30⑥再将④⑤代入S 中,得S =4x +3360－3x +2·2x ,即S =－x +1080 由条件⑥及上式知,当x =30时,产值S 最大,最大值为S =－30+1080=1050千元得x =30分别代入④和⑤得y =360－90=270,z =2×30=60∴每周应生产空调器30台,彩电270台,冰箱60台,才能使产值最大,最大产值为1050千元 8解1如图所示设BC =a ,CA =b ,AB =c ,则斜边AB 上的高h =cab, ∴S 1=πah +πbh =,)2(),(22c b a S b a cab-+=+ππ,∴fx =221)()(4c b a c b a ab S S -++= ①又⎪⎩⎪⎨⎧-==+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+)1(222222x c ab cxb ac b a x c b a 代入①消c ,得fx =1)(22-+x x x在Rt△ABC 中,有a =c sin A ,b =c cos A 0＜A ＜2π),则 x =c b a +=sin A +cos A =2sin A +4π∴1＜x ≤2 2fx =]12)1[(21)(22-+-=-+x x x x x +6,设t =x －1,则t ∈0,2－1,y =2t +t2+6在0,2－1]上是减函数,∴当x =2－1+1=2时,fx 的最小值为62+8abCBcA。

3.求函数最值问题常用的10种方法

解析 ∵a>1,∴函数f (x)=logax在区间[a,2a]上是增
函数,∴函数在区间[a,2a]上的最大值与最小值分别为 loga 2a,logaa=1. 1 1 又∵它们的差为 ,∴loga2= ,a=4.故填4. 2 2
点评解决这类问题的重要的一步就是判断函数在给定区间上的单调性.这一点处理好了, 间上的单调性.这一点处理好了,以下的问题就容易了.一般而言,对一次函数,幂函数,指数函数,对数函一般而言,对一次函数,幂函数,指数函数, 数在闭区间[m ,n]上的最值:若函数f x)在[m ,n]上单调数在闭区间[ 上的最值:若函数f ( 递增,则f x)min=f m ),f x)max=f n);若函数f x)在[m ,n] 若函数f 递增, ( ( ( ( ( 上单调递减, ( 若函数f 上单调递减,则f x)min=f n),f x)max=f m );若函数f x)在 ( ( ( ( 上不单调,但在其分成的几个子区间上是单调的, [m ,n]上不单调,但在其分成的几个子区间上是单调的, 则可以采用分段函数求最值的方法处理. 则可以采用分段函数求最值的方法处理.
利用二次函数的性质求最值, 利用二次函数的性质求最值,要特别注意自变量的取值范围, 的取值范围,同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系.如本题化为含参数的二次函数后, 关系.如本题化为含参数的二次函数后,求解最值时要细心区分:对称轴与区间的位置关系, 要细心区分:对称轴与区间的位置关系,然后再根据不同情况分类解决. 不同情况分类解决.
母恒为正,故可以应用判别式法求解.
2
2 y
五,函数单调性法先确定函数在给定区间上的单调性, 先确定函数在给定区间上的单调性,然后依据单调性求函数的最值. 性求函数的最值.这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法. 法就是函数单调性法.这种求解方法在高考中是必考的,且多在解答题中的某一问中出现. 考的,且多在解答题中的某一问中出现.

求极值的三种方法

求极值的三种方法一、直接法。

先判断函数的单调性，若函数在定义域内为单调函数，则最大值为极大值，最小值为极小值二、导数法（1）、求导数f'(x)；（2）、求方程f'(x)=0的根；（3）、检查f'(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。

举例如下图：该函数在f'(x)大于0，f'(x)小于0，在f'(x)=0时，取极大值。

同理f'(x)小于0，f'(x)大于0时，在f'(x)=0时取极小值。

扩展资料：寻求函数整个定义域上的最大值和最小值是数学优化的目标。

如果函数在闭合区间上是连续的，则通过极值定理存在整个定义域上的最大值和最小值。

此外，整个定义域上最大值（或最小值）必须是域内部的局部最大值（或最小值），或必须位于域的边界上。

因此，寻找整个定义域上最大值（或最小值）的方法是查看内部的所有局部最大值（或最小值），并且还查看边界上的点的最大值（或最小值），并且取最大值或最小的）一个。

1、求极大极小值步骤：求导数f'(x)；求方程f'(x)=0的根；检查f'(x)在方程的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正那么f(x)在这个根处取得极小值。

f'(x)无意义的点也要讨论。

即可先求出f'(x)=0的根和f'(x)无意义的点，再按定义去判别。

2、求极值点步骤：求出f'(x)=0,f"(x)≠0的x值；用极值的定义（半径无限小的邻域f(x)值比该点都小或都大的点为极值点），讨论f(x)的间断点。

上述所有点的集合即为极值点集合。

扩展资料：定义：若函数f(x)在x₀的一个邻域D有定义，且对D中除x₀的所有点，都有f(x)<f(x₀)，则称f(x₀)是函数f(x)的一个极大值。

函数最大值的求法

函数最大值的求法
---------------------------------------------------------------------- 函数最值分为函数最小值与函数最大值。

简单来说，最小值即定义域中函数值的最小值，最大值即定义域中函数值的最大值，下面是求最大值和最小值的方法。

一、求函数的最大值和最小值：
f(x)为关于x的函数，确定定义域后，应该可以求f(x)的值域，值域区间内，就是函数的最大值和最小值。

一般而言，可以把函数化简，化简成为:
f(x)=k (ax+b)2+c的形式，在x的定义域内取值。

当k>0时，k(ax+b)2≥0，f(x)有极小值c。

当k<0时，k(ax+b)2≤0，f(x)有最大值c。

二、常见的求函数最值方法有：
1、配方法:形如的函数,根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值。

2、判别式法:形如的分式函数,将其化成系数含有y的关于x的二次方程.由于, 0,求出y的最值，此种方法易产生增根,因而要对取得最值时对应的x值是否有解检验。

3、利用函数的单调性﹒首先明确函数的定义域和单调性，再求最值。

4、利用均值不等式，形如的函数，及，注意正,定,等的应用条件，即: a，b均为正数，是定值,a=b的等号是否成立。

5、换元法:形如的函数,令,反解出x,代入上式,得出关于t的函数,注意t的定义域范围，再求关于t的函数的最值。

求函数最值的12种方法

求函数值域的12种方法一、常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。

1.函数),0(R x k b kx y ∈≠+=的值域为R；2.二次函数),0(2R x a c bx ax y ∈≠++=当0>a 时值域是[ab ac 442-，+)∞，当0<a 时值域是(,-∞ab ac 442-]；3.反比例函数)0,0(≠≠=x k xky的值域为}0|{≠y y ；4.指数函数),1,0(R x a a a y x ∈≠>=且的值域为+R ；5.对数函数x y a log =)0,1,0(>≠>x a a 且的值域为R；6.函数)( cos ,sin R x x y x y ∈==的值域为[-1，1]；函数 ),2k (x tan Z k x y ∈+≠=ππ,cot xy =),(Z k k x ∈≠π的值域为R；7.对勾函数)0,0(≠>+=x a xa x y 的值域为),2[]2,(+∞⋃--∞a a ；8.形如)0,0(≠>-=x a xa x y 的值域为}0|{≠y y ；渐近线为y=x二、求值域的方法1.直接法(观察法)通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域例1求函数3422+-=x x y （x ∈[30,]）的最值解：∵1)1(22+-=x y ，∴当3x =时，max y 1x 9==,时，min y =1.例2求函数323y x =+-的值域。

解：由算术平方根的性质，知23x -≥0，故323y x =+-≥3.∴函数的值域为)∞+,3[.2.反函数法求值域对于形如)0(≠++=a bax dcx y 的值域，用函数和它的反函数定义域和值域关系，通过求反函数的定义域从而得到原函数的值域。

例3求函数12x y x +=+的值域。

解：显然函数12x y x +=+的反函数为:121y x y -=-,其定义域为y≠1的实数,故函数y 的值域为｛y ∣y≠1,y∈R｝。

求函数最大值最小值的方法

求函数最大值最小值的方法
求函数的最大值和最小值可以通过7种方法：1、配方法；2、判别式法；
3、利用函数的单调性；
4、利用均值不等式；
5、换元法；
6、数形结合法；
7、利用导数求函数最值。

1、配方法：形如的函数，根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值。

2、判别式法：形如的分式函数，将其化成系数含有y的关于x的二次方程。

由于，所以≥0，求出y的最值，此种方法易产生增根，因而要对取得最值时对应的x值是否有解检验。

3、利用函数的单调性：首先明确函数的定义域和单调性，再求最值。

4、利用均值不等式，形如的函数，注意正、定等的应用条件，即：a，b均为正数，是定值，a=b的等号是否成立。

5、换元法：形如的函数，令，反解出x，代入上式，得出关于t的函数，注意t的定义域范围，再求关于t的函数的最值。

还有三角换元法，参数换元法。

6、数形结合法：形如将式子左边看成一个函数，右边看成一个函数，
在同一坐标系作出它们的图象，观察其位置关系，利用解析几何知识求最值。

求利用直线的斜率公式求形如的最值。

7、利用导数求函数最值。

初中数学求最值的几种常见方法

初中数学求最值的几种常见方法
求最值是数学中常见的问题之一，下面介绍几种常见方法。

1. 数学定义法：根据数学定义，推导出最值的计算方法。

比如，对于一元二次函数 $y=ax^2+bx+c$，最值为 $y_{\min} = c -
\frac{b^2}{4a}$，即抛物线的最低点。

2. 辅助函数法：通过构造辅助函数，将原函数的最值问题转化为辅助函数的最值问题。

比如，在求一个区间 $[a,b]$ 上的函数
$f(x)$ 的最大值时，可以构造辅助函数 $g(x) = -f(x)$，然后求$[a,b]$ 上 $g(x)$ 的最小值，即可得到 $f(x)$ 的最大值。

3. 导数法：对于连续可导的函数，可以通过求导数来确定其最值点。

求得导数为零或不存在的点即为极值点，再通过二阶导数判断该点是极大值还是极小值。

需要注意的是，极值点不一定是最值点，还需要结合函数在极值点的取值情况进行判断。

4. 线性规划法：线性规划是一种优化问题，可用于求解含有多个变量的最值问题。

通过设置优化目标和约束条件，建立线性规划模型，再用线性规划算法求解最值。

这种方法在实际问题中应用广泛，比如生产计划、投资组合等领域。

以上是几种常见的求最值方法，不同的方法适用于不同的问题，需要根据具体情况选择合适的方法。

求三角函数最值的四种常用解题方法

求三角函数最值的四种常用解题方法
求三角函数最值的常用解题方法
一. 使用配方法求解三角函数的最值
例1．已知函数的最大值为1，求的值
解：
结论：将三角函数转变为二次函数也是求最值的通法之一，应该注意，整理成时，要考虑的取值及的条件，才能正确求出最值。

二. 使用化一法求解三角函数的最值
例2．求函数的值域。

剖析：降幂后发现式中出现了和，这时再化成一个角的三角函数即可求得。

—2—
解：
结论：化一法由“化一次”、“化一名”、“化一角”三部分构成，此中“化一次”使用到降幂公式、“化一名”使用到推导公式、“化一角”使用到倍角公式及三角函数的和差公式等，所以需要大家娴熟掌握有关公式并灵巧运用。

三. 使用基本不等式法求解三角函数的最值
例3. 求函数的值域
—3—
解：
解：
四. 使用换元法求解三角函数的最值
例4．求函数的最值。

剖析：解本题的门路是用逆求将函数式变形，用 y 表示与 x 有关的三角函数，利用三角函数的有界性求最值。

—4—
解：
—5—。

求函数最值的10种方法

求函数最值的10种方法1.符号法：通过观察函数的符号变化来找到最值点。

首先将函数的导数找出并求出导函数的零点，然后根据适当的区间划分关心的区域，根据导函数的正负性确定最值的位置。

2.迭代法：通过迭代的方式来逼近函数的最值点。

首先选取一个初始点，通过函数的变化规律逐步逼近最值点。

3.化简法：对函数进行化简，将其转化为更简单的形式，然后找到最值点。

通常利用函数的对称性或特殊性质进行化简，如利用函数的周期性、对称轴等。

4.一阶导数法：通过求函数的一阶导数，找到导数的零点，然后判断导数的增减性来确定最值点。

5.二阶导数法：通过求函数的二阶导数，找到导数的零点，并进行二阶导数测试，来判断极值的类型。

根据极值类型确定最值点。

6.平均值定理：根据函数的连续性和可导性，利用平均值定理找到函数变化最大或最小的点。

平均值定理指出，对于连续函数，必定存在一点使其导数等于函数的平均变化率。

7.极值定理：根据极值定理，函数在闭区间上的最大值和最小值必然出现在临界点或者函数的端点上。

8.最值的组合法：通过将函数分成多个子区间，找到每个子区间上的最大值或最小值，然后将它们组合起来，得到整个区间上的最大值或最小值。

9.边界法：通过找出定义域的边界点，并将其与函数值进行比较，找到最大值或最小值。

这种方法适用于非连续函数或无导数的函数。

10.数值计算法：当无法找到解析解时，可以利用计算机进行数值计算，通过穷举法或优化算法来找到函数的最值。

以上是求解函数最值的10种常用方法，每种方法都有其特点和适用范围。

在实际问题中，选择合适的方法可以更快地找到函数的最值。

求函数最值常用的方法及经典例题讲解

求函数最值常用的方法及经典例题讲解知识点：一、函数最大（小）值定义最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，称M 是函数()y f x =的最大值．思考：依照函数最大值的定义，结出函数()y f x =的最小值的定义．注意：①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在0x I ∈，使得0()f x M =；②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x I ∈，都有()(())f x M f x m ≤≥．)二、求函数最大（小）值常用的方法．案例分析：例1、画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征①()3f x x =-+ ②()3[1,2]f x x x =-+∈-？③2()21f x x x =++ ④2()21[2,2]f x x x x =++∈-，类型一、直接观察法对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,其值域可通过观察直接得到。

例 1、求函数1,[1,2]y xx=∈的值域A、单调递减，无最小值B、单调递减，有最小值B、单调递增，无最大值 D、单调递增，有最大值—小试牛刀：1、求函数21yx=-在区间[2，6] 上的最大值和最小值．2|类型二、反函数法(原函数的值域是它的反函数的定义域)例：求函数3456x y x +=+值域。

'实战训练场：1) 求函数213-+=x x y 的值域；2) 函数.11的值域是x x y +-=类型三、倒数法有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况^()5522++=x x x f 例1、求函数y =的值域。

例2、求函数的值域。

类型四、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一(二次函数）（02≠++=a c bx ax y ]44(0);44[022a b ac ，，a ，a b ac ，a --∞<∞+->值域是时值域是时)。

初中数学求最大值最小值的方法

初中数学求最大值最小值的方法
初中数学中，求最大值最小值的方法主要有以下几种：
1. 导数法：对于连续可导的函数，可以通过求导数，找到函数的极值点，进而确定函数的最大值最小值。

2. 完全平方公式法：对于二次函数，可以通过将其写成完全平方形式，即 $y=a(x-b)^2+c$，然后利用平方的非负性，确定函数的最大值最小值。

3. 配方法：对于二次函数，可以通过配方法将其写成标准形式$y=ax^2+bx+c$，然后利用顶点公式，确定函数的最大值最小值。

4. 消元法：对于含有多个变量的函数，可以通过消元将其转化为含有一个变量的函数，然后利用前面的方法求解。

以上方法只是求最大值最小值的常用方法之一，具体的应用还需要根据不同的题目情况进行选择。

- 1 -。

高一数学求最值的方法

高一数学求最值的方法
高一数学中，求最值是一个经常出现的问题。

最值是指在一定的条件下，找出函数或者数据集合中最大或最小的数值。

下面介绍几种求最值的方法。

1. 求导法：对于一个函数，求导后令导数为0，就可以得到函数的极值点。

极大值和极小值的判别可以通过二阶导数的符号来确定。

但是需要注意的是，有些函数的极值点并不一定存在，或者存在但不在定义域内，这时需要另寻他法。

2. 完全平方公式法：当需要求出一元二次函数的最值时，可以使用完全平方公式。

将一元二次函数表示成 $(ax+b)^2+c$ 的形式，其中$ax+b$ 是一个完全平方式，将其代入原函数，就可以得到一个关于$c$ 的一元二次函数。

此时再用求导法即可。

3. 辅助线法：在图形上求最值时，可以引入一些辅助线，将原来的问题转化为一些容易解决的几何问题。

例如，在一个矩形中求最大面积，可以引入一条对角线，将矩形分成两个三角形，然后根据面积公式求解。

4. 等式约束法：当需要求解多个变量的函数的最值时，可以使用等
式约束法。

将多个变量的函数表示成一个有等式限制的函数，然后再用求导法求解。

例如，在条件 $x+y=1$ 的前提下，求
$f(x,y)=x^2+y^2$ 的最小值，可以将其表示成
$f(x)=x^2+(1-x)^2$ 的形式，然后求得极小值点。

以上是一些常见的求最值的方法，需要根据具体问题选择合适的方法。

在实际应用中，还需要灵活运用数学知识，将问题转化为容易处理的形式，从而求解出最优解。

求极值与最值的方法

求极值与最值的方法求极值和最值是数学中常见的问题。

当我们面临一个函数或一组数据时，我们希望能够找到它们的最大或最小值，这对于解决各种实际问题非常重要。

在本文中，我们将讨论一些常见的方法来求解极值和最值问题。

一、函数的极值求解方法：1.导数法：对于可导的函数，导数可以告诉我们函数在特定点的变化趋势。

函数在极值点的导数为零，所以我们可以通过求解导数为零的方程来找到极值点。

对于一元函数，我们只需求得导数，并求解方程f'(x)=0即可。

对于多元函数，我们需要求偏导数，并解方程组∂f/∂x=0和∂f/∂y=0等。

2.二阶导数法：通过求得函数的二阶导数，我们可以判断函数在其中一点的曲率和凸凹性质。

如果函数在其中一点的二阶导数大于零，则函数在该点上是凸函数，即函数取得极小值。

反之，如果二阶导数小于零，则函数在该点上是凹函数，即函数取得极大值。

二、数据的最值求解方法：1.遍历法：对于一组有限的数据，我们可以通过遍历整个数据集来找到最大或最小值。

这种方法适用于数据量较小的情况，但若数据量很大时，计算量会非常庞大。

2.排序法：我们可以对数据进行排序，然后找出最大或最小的元素。

对于较大的数据集，排序的时间复杂度可能很高，但一旦排好序，最值就可以很快被找出。

3.分治法：对于一个大规模的数据集，可以将其分成若干部分，然后递归地求解各个部分的最值，最后再从这些最值中选取最大或最小的元素。

这种方法适用于大规模数据集，可以大大降低计算复杂度。

4.动态规划法：对于具有重叠子问题特征的问题，我们可以使用动态规划的方法来求解最值。

通过定义状态、状态转移方程和初始条件等，我们可以使用动态规划算法逐步递推得到最值。

虽然这些方法在解决极值和最值问题时都有自己的优势和适用范围，但在具体问题中选择何种方法求解，需要根据问题的性质和数据的特点来确定。

对于函数的极值问题，导数法和二阶导数法是最常用的求解方法；对于数据的最值问题，遍历法和排序法适用于小数据量，而分治法和动态规划法适用于大数据量。

求函数最值常用的方法及典范例题讲解

的最值
-3-
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

求函数最值的方法总结

求函数最值的方法总结一般的，函数最值分为函数最小值与函数最大值。

简单来说，最小值即定义域中函数值的最小值，最大值即定义域中函数值的最大值。

下面就是小编整理的求函数最值的方法总结，一起来看一下吧。

函数的最值问题既是历年高考重点考查的内容之一，也是中学数学的主要内容。

函数最值问题的概念性、综合性和灵活性较强，考题的知识涉及面较广，对于学生的分析和逻辑推理能力要求较高。

通过对函数最值问题的相关研究，结合自身的感触和学习的心得，总结归纳出了求解函数最值的几种常用的方法，并讨论了学习函数最值求解中应该注意的问题，这将有利于提高学生的数学建模能力和解题能力。

文章主要通过举例说明的方式来阐述求解函数最值的几种常用解法，希望对培养学生数学学习能力，提高学生的解题能力有所帮助。

函数f（x）在区间I上的最大值和最小值问题，本质上是一个最优化的问题。

求解函数最大值与最小值的实际问题，包括三方面的工作：一是根据实际问题建立目标函数，通常总是选取待求的最优量为因变量：二是按上述的求解方法求出目标函数在相应区间上的最大值或最小值；三是对所求得的解进行相应实际背景的几何意义的解释。

同时一方面要深刻理解题意，提高阅读能力，要加强对常见的数学模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面要不断拓宽知识面，提高间接的生活阅历，如了解一些诸如物价、行程、产值、利润、环保等实际问题，也涉及角度、面积、体积、造价等最优化问题，培养实际问题数学化的意识和能力。

最值问题综合性强，几乎涉及高中数学各个分支，要学好各个数学分支知识，透彻地理解题意，能综合运用各种数学技能，熟练地掌握常用的解题方法，才能收到较好的效果。

（1）代数法。

代数法包括判别式法（主要是应用方程的思想来解决函数最值问题）配方法（解决二次函数可转化为求二次函数的最值问题）不等式法（基本不等式是求最值问题的重要工具，灵活运用不等式，能有效地解决一些给定约束条件的函数最值问题）④换元法（利用题设条件，用换元的方法消去函数中的一部分变量，将问题化归为一元函数的最值，以促成问题顺利解决，常用的换元法有代数换元法和三角换元法）。

求函数最值的12种方法

求函数最值的12种方法在数学中，函数的最值是指函数在定义域上的极大值和极小值。

求函数的最值有很多不同的方法，下面将介绍12种常用的方法。

希望能够帮助你对函数的最值求解有更深入的理解。

方法一：函数图像法这是最直观的方法之一，通过绘制函数的图像，可以清楚地观察到函数的最值点所在的位置。

最大值对应函数的极大值点，最小值对应函数的极小值点。

方法二：导数法求函数的最值，常常使用导数法。

首先求函数的导数，然后将导数为零的点与定义域的边界进行比较，即可得到函数的最值点。

方法三：导数的符号法求函数的最值，还可以通过分析导数的符号来求解。

当导数恒大于零时，函数是递增的，函数的最大值出现在定义域的上界；当导数恒小于零时，函数是递减的，函数的最小值出现在定义域的下界。

方法四：高次函数的极值点对于高次函数来说，还可以通过求导数的高阶导数来找到极值点。

当高阶导数为零时，该点可能是极值点；当高阶导数不为零时，可通过判断导数的符号来确定它是极大值还是极小值。

方法五：函数的平均值定理利用函数的平均值定理可以得到函数最值的一个粗略的估计。

平均值定理指出，如果函数连续且可微分，那么在两个点之间存在一个点，使这三个点的斜率与两点之间切线的斜率相同。

这个点可能是函数的极值点。

方法六：拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法可以求解带有约束条件的函数最值问题。

通过引入拉格朗日乘子，将带有约束条件的函数最值问题转化为无约束条件的函数最值问题。

然后可以利用导数法等方法来求解。

方法七：边界法对于函数的有界定义域，可以通过比较边界处函数值的大小来求解最值问题。

找到定义域的上界和下界，并将其代入函数，比较函数值的大小即可得到最值。

方法八：几何法对于一些特殊的函数图像，可以利用函数的几何性质来求解最值。

如对于抛物线函数，其最值点处对应抛物线的顶点。

方法九：二次函数的最值对于二次函数，可以通过求取顶点坐标来得到函数的最值。

二次函数的顶点坐标即为函数的最值点。

方法十：三角函数的最值对于一些三角函数，可以利用函数图像的周期性来求解最值问题。

求函数最值的方法总结

求函数最值的方法总结1.图像分析法：将函数的图像绘制出来，通过观察图像的形状和变化趋势来确定函数的最值。

例如，对于单调递增的函数，最大值就是定义域的最右端点，最小值就是定义域的最左端点。

2.导数法：求函数的导数，通过导数的零点和变号的位置来确定函数的最值。

导数的零点对应函数的极值点，而导数的变号对应函数的区间最值。

使用导数法需要对函数的导数性质有一定的了解，例如导数的单调性和函数的凹凸性。

3.积分法：对于一些特殊的函数，可以使用积分法来求函数的最值。

积分法的思路是将函数的最值问题转化为求解区间上的面积问题。

例如，对于一个带有约束条件的函数，可以通过求解约束条件下的面积来确定函数的最值。

4.极值判别法：对于一个在闭区间上连续的函数，可以通过判别函数的驻点和端点来确定函数的最值。

首先求解函数在定义域内的驻点（即导数为零的点），然后求解函数在区间的端点上的值，最后比较这些点的函数值来确定最值。

5.约束条件法：对于一个函数在一个区域上的最值问题，可以引入一个或多个约束条件来求解。

这种方法常用于优化问题中，其中一个约束条件是函数的取值在一个约束集内。

6.数学归纳法：对于一些特殊的函数序列，可以使用数学归纳法来证明函数的最值。

数学归纳法的思路是先证明当n为一些初始值时函数的最值成立，然后再证明当n+1时函数的最值也成立。

7.动态规划法：对于一些复杂的问题，可以使用动态规划法来求解函数的最值。

动态规划法是将问题分解为多个子问题，然后通过求解子问题的最值来求解原问题的最值。

8.枚举法：对于一些简单的函数，可以通过枚举函数的值来确定最值。

枚举法的思路是列举函数在定义域上的所有可能取值，然后比较这些值来确定最值。

9.近似法：对于一些复杂的函数，可以使用近似法来求解函数的最值。

近似法的思路是将函数结合数值计算方法来进行近似求解。

常见的近似方法有牛顿迭代法和二分法等。

总之，求函数最值是一个重要的数学问题，有多种方法可以求解。

求函数最值的10种方法

求函数最值的10种方法函数的最值是指函数在定义域内，取得的最大值和最小值。

确定函数的最值对于问题的解决非常重要，因此有很多方法可以找到函数的最值。

下面我将介绍十种常见的方法来求解函数的最值。

1. 图像法（Grpahical Method）：这是最常见的方法之一，通过绘制函数的图像来确定函数的最值。

找到函数的最高点和最低点，并确定定义域的范围以确定最值。

2. 导数法（Derivative Method）：使用导数的概念，通过求解函数的导数来确定函数的最值。

找到导数为零的点，并判断其是否为极值点，进而确定函数的最值。

注意，导数为零的点并不一定是函数的最值点，还需要判断其是极大值还是极小值。

3. 欧拉公式法（Euler’s Formula Method）：对于一些特殊的函数形式，如指数函数和三角函数，可以使用欧拉公式来求解函数的最值。

欧拉公式的核心思想是将函数用指数函数和三角函数的形式来表示，然后利用指数函数和三角函数的性质来确定最值。

4. 一阶必要条件法（First-order Necessary Condition Method）：根据一阶必要条件，如果函数在特定点是极值点，那么该点的导数必须为零。

通过求解函数的导数，找到导数为零的点，并判断是否为函数的最值点。

5. 二阶必要条件法（Second-order Necessary Condition Method）：根据二阶必要条件，如果函数在特定点是极值点，那么该点的导数必须为零，且二阶导数必须存在且不为零。

通过求解函数的导数和二阶导数，找到导数为零的点，然后判断其二阶导数的符号来确定函数的最值。

6. 拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier Method）：用于求解带有约束条件的优化问题，可以将函数与约束条件一起构建为一个拉格朗日函数，然后通过求解拉格朗日函数的最值来确定函数的最值。

7. 线性规划法（Linear Programming Method）：适用于求解线性约束下的函数最值问题。