测控仪器设计课件(第四次课)
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n m i
ˆjx j y f0 ( x) a
j 0
例2-8 某一标准电阻温度 (18 ~ 22C ) 传感器静态标定实验数据组 (Vi , ti )(i 0,1,,6) ， Biblioteka Baidui 为
温度， V 为温度传感器输出电压。
i
i
温度
0
1
18.01
2
19.02
3
20.00
4
21.00
5
arctan( r0 / R)
图2—21 小模数渐开线齿形检查仪
1—被测齿轮 2—基圆盘 3—主拖板 4—传动丝杠 5—斜尺 6—主导轨
7—手柄 8—测量拖板 9—测杆 10—测微仪 11—测量导轨 12—推力弹簧
测量拖板的位移距离为
s Ltan L r0 R r0
上式表明：测量拖板水平位移与基圆盘的转角位移之间的位移关系形成的是 一种以r0为基圆半径的标准渐开线。当被测齿形的展开长度有误差时，测微仪输
第二章 仪器精度理论
意义：精度分析和精度设计是仪器设计的重要内
涵 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 仪器精度理论中的若干基本概念 仪器误差的来源与性质 仪器误差的分析 仪器误差的综合 仪器误差的分析合成举例 仪器精度设计
三、作用线与瞬时臂法
基于机构传递位移的机理来研究源误差在机构传递位移的过程中如何传递 到输出。因此，作用线与瞬时臂法首先要研究的是机构传递位移的规律。
图2—22 源误差与作用误差示意图 2.斜尺与测量拖板运动副的作用误差 • 所引起的作用误差 斜尺倾斜角调整误差既不 能转换成瞬时臂误差，也不与作用线方向相同，只
F L2 AB L cos
•
引起的作用误差
斜尺直线
度误差与作用线方向l2－l2相同， 能用几何法将其折成作用误差。作用误差为 则其所引起的作用误差为
dl r0 ( )d
d 为转动件的瞬时微小角位移； r0 ( ) 为瞬时臂，定义为转动件的回转中心至 作用线的垂直距离； dl 为平动件沿作用线上的瞬时微小直线位移。
图2—17 推力传动与摩擦力传动
a)推力传动 b)摩擦力传动
1-摆杆 2-导套 3-导杆 4-直尺 5-摩擦盘
图2—18 齿轮齿条机构
l
分度圆
o2
图2—19 齿轮传动
例2-6 测杆与导套之间的配合间隙所引起的作用误差 测杆与导套为摩擦传动作用副，专用线为导套中心先，
由于两着之间存在间隙使测杆倾斜 h ，引起的作
用误差可按几何关系折算为
F s(1 cos ) s
2
2
总结
大体上可以按照上面所述三种情况来计算一对 运动副作用误差。通常，能转换成瞬时臂误差的源
S2 F2 R ( 2e R ) t an cos cos cos2
上例在求解各个源误差引起的测量拖板位移误差时采用的是代数和法，若采 用统计和法会更加符合实际情况。
四、数学逼近法
评定仪器实际输出与输入关系方法：测量（标定或校准）－－测出在一些
离散点上仪器输出与输入关系的对应值，应用数值逼近理论，依据仪器特性离 散标定数据，以一些特定的函数（曲线或公式）去逼近仪器特性，并以此作为 仪器实际特性，再将其与仪器理想特性比较即可求得仪器误差中的系统误差分 量。常用代数多项式或样条函数，结合最小二乘原理来逼近仪器的实际特性。 •代数多项式逼近法 数学上已经证明，闭区间上的任意确定性连续函数可以
用多项式在该区间内以所要求的任意精度来逼近。据此，仪器的输出与输入关
系能够用一个连续多项式函数来描述，拟合模型为
y f0 ( x) a0 a1x a2 x2 am xm
a j ( j 0,1,2,, m)
为待定系数， x 和 y 为仪器输入和输出，m为多项式次数。
•设仪器输出与输入关系测得值为 ( yi , xi )(i 12,, n) ，必须以残差的平方和 最小为原则确定拟合系数，设 a ˆ j ( j 0,1,2,, m) 为拟合系数的估计值，有
0 0 0
F L L0 r0 ( ) r0 ( )d r0 ( )d r0 ( )d
2．源误差的方向与作用线一致时的作用误差计算
向一致，则不必再经过折算，源误差就是作用误差。
若源误差的方向与作用线方
例2-5 渐开线齿轮传动作用误差 作用误差为
误差，有如下关系
,a Fa Fn in
若仪器有K对运动副组成，每一对运动副作用线上的作用误差 仪器测量端运动副的作用线为第 K条作用线。全部的K对运动副的作用误差转换 Fj ( j 1,2,, K )
，
到第K条作用线上，引起第K条作用线的附加位移的总和即为仪器测量端位移总
误差 ，即
1．源误差可以转换成瞬时臂误差时的作用误差计算
设一对运动副的理论瞬时 臂是 r0 ( ) ，若运动副中存在一源误差直接表现为瞬时臂误差 r0 ( ) ，那么位移沿作用 线传递的基本公式为
dl [r0 ( ) r0 ( )]d
由瞬时臂误差
r0 ( ) 而引起的作用线上的附加位移(作用误差)为
误差多发生在转动件上；而既不能换成瞬时臂误差，
其方向又不与作用线方向一致的源误差多发生在平 动件上。 若一对运动副上有m 个源误差，每个源误差均 使其作用线上产生一个作用误差
Fk (k 1.2,, m) 那么该运动副的总作用误差为
，
F Fk
k 1
m
图2—20 测杆倾斜
（三）作用误差从一条作用线向另一条作用线的传递
n
m 1 i
n x y i ˆ0 i 1 a i 1 n n m 1 a ˆ 1 xi xi yi i 1 i 1 n a ˆm n m 2m xi xi yi i 1 i 1
K K
FK
i FK FK K , j F j
j 1 j 1
例2-7 小模数渐开线齿形检查仪误差分析
当主拖板在丝杠的带动下向上移动的距离为L 时，由于斜尺安装在主拖板上，也向上 移动了同样的距离，在钢带的带动下基圆盘逆时针旋转Φ角。此时，在弹簧的作用下， 测量拖板向右移动的距离为s，其中θ为斜尺的倾斜角度。测量之前将斜尺倾斜角度调整 为
（一）机构传递位移的基本公式
• 推力传动 传递位移时一对运动副之间的相互作用力为推力
•
摩擦力传动 传递位移时一对运动副之间的相互作用力为摩擦力
作用线 为一对运动副之间瞬时作用力的方向线
• 推力传动，其作用线是两构件接触区的公法线
•
摩擦力传动，其作用线是两构件接触区的公切线
如图2-17
位移沿作用线传递的基本公式为
出被测齿形的误差
s l s l r0
仪器的精度取决于标准渐开线运动的准确性。建立标准渐开线运动 的测量链：主拖板，斜尺基圆盘、测量拖板，测微仪，斜尺
分析测量拖板的位 移误差 •仪器中若存在基圆盘安装偏心误差 e •基圆盘半径误差 R •斜尺表面直线度误差 以及斜尺倾斜角度的调整误差
FR r0 ( )d Rd R
0 0
0 最大值为
• 作用线l1－l1上的作用误差
Fe 2e
F1 Fe FR 2e R
视基圆盘2为主动件、主拖板3为从动件，并且把基圆盘与主拖板运动副看成 是直尺与圆盘运动副，为摩擦力传动，作用线为l1－l1；视斜尺5与测量拖板8运 动副为推力传动，作用线为l2－l2 ，斜尺为主动件，测量拖板为从动件。
F F
齿轮运动副的作用线就是齿轮的啮合线，若存
在齿廓总偏差 F ，由于其方向与齿轮啮合线方向一致，当齿轮转过一个齿时，
当超过一个齿时，作用误差为 F Ewm cos F
Ewm 为齿距累 为渐开线齿形压力角，
o1
l
基圆
F
积偏差， Ewm cos 为齿距累积偏差在 齿轮啮合线上投影。 3．源误差既不能折算成瞬时臂误差，其方向又 不与作用线一致时 在这种情况下，很难用一个 通式来计算作用误差，只能根据源误差与作用误 差之间的几何关系，运用几何法，将源误差折算 到作用线上。
ˆ0 , a ˆ1 ,, a ˆm ) yi f 0 ( xi ) yi a ˆ j xij MIN (a i 1 i 1 j 0
n 2 n m
2
•求解上述优化问题可以归结为
解以下线性方程组： •是有（m＋1）个待定系数的线
性方程组，数学上已经证明在主
1.基圆盘与主拖板运动副的作用误差
•
e引起的作用误差 基圆盘安装偏心可 以转换成瞬时臂误差 则引起的作用误差为 r0 ( ) esin
Fe r0 ( )d esin d e(1 cos )
0
，
• R 引起的作用误差 基圆盘半径误差可 以转换成瞬时臂误差，则引起作用误差为
例2-4 齿轮齿条传动机构
当齿轮向齿条传递位移时，属推力传动，作用线 l l 通过接触区与齿面垂直，位移 沿作用线传递的基本公式为 dl r 0 ( )d r 0 cos d 则位移沿作用线传递的方程为
L r0 cos d r0 cos
0
但是，齿条的实际位移并不是沿作用线 l l 方向，而是沿位移线 s s 方向，作 用线与位移线之间夹角为齿形压力角。根据位移线与作用线之间的几何关系，可以 导出位移沿位移线方向传递的公式为
依据作用误差沿作用线之间传递的，有
,1F1 F2 F2 i2
L ( 2e R ) sin cos
•作用误差转换为测量拖板的位移误差 测量拖板的位移方向s与作用线 l2－l2的方向 不一致，夹角为 ，根据作用线与位移线之间的关系，测量拖板的位移误差为
在机构传递位移的同时，各对运动副上的作用误差也随之一同传递，最终
成为影响机构位移精度的总误差。首先必须研究一对运动副作用线上的位移 是如何传递到另一条作用线上去的机制。 •作用线之间传动比 作用线之间瞬时直线位移之比。设仪器中任意两对运动
副作用线上的瞬时直线位移分别为 dla 与 dln ，作用线之间传动比可写为
ds
dl cos
ds dl r cos 0 d r0d cos cos
0 0
则位移沿位移线传递的方程为
S ds r0d r0
（二）运动副的作用误差
作用误差 一对运动副上的一个源误差所引起的作用线上的附加位移；把一对
运动副上所有源误差引起的作用线上的附加位移的总和称为该运动副的作用误差。 运动副的作用误差是在运动副的作用线方向上度量的，表征源误差对该运动副位 移准确性的影响。
•作用线l2－l2的作用误差为
F
F2 F F
L cos
3.求作用线l2－l2上的总作用误差 • 作用线l2－l2与l1－l1之间直线传动比
,1 i2
dl2 dl1 sin sin dl1 dl1
•作用线l2－l2上的总作用误差
,a in
dln r0 n ( n )d n dla r0 a ( a )d a
若第a条作用线有作用误差为 Fa ，它是该运动副上所有源误差所引起的 作用线上的位移增量的总和。当将第a条作用线上作用误差转换到第n条作用
线上时，使第n条作用线上产生附加的位移增量，成为第n条作用线上的作用
矩阵的秩为满秩时，方程组有唯 一解。一旦计算出最小二乘估计 值a ˆ j ( j 0,1,2,, m) ，用 表征仪器的实际输出与输入关系 公式（特性）。
m
n n x i i 1 n m xi i 1
x x
i 1 i 1 n
n
i
2 i
x
i 1
ˆjx j y f0 ( x) a
j 0
例2-8 某一标准电阻温度 (18 ~ 22C ) 传感器静态标定实验数据组 (Vi , ti )(i 0,1,,6) ， Biblioteka Baidui 为
温度， V 为温度传感器输出电压。
i
i
温度
0
1
18.01
2
19.02
3
20.00
4
21.00
5
arctan( r0 / R)
图2—21 小模数渐开线齿形检查仪
1—被测齿轮 2—基圆盘 3—主拖板 4—传动丝杠 5—斜尺 6—主导轨
7—手柄 8—测量拖板 9—测杆 10—测微仪 11—测量导轨 12—推力弹簧
测量拖板的位移距离为
s Ltan L r0 R r0
上式表明：测量拖板水平位移与基圆盘的转角位移之间的位移关系形成的是 一种以r0为基圆半径的标准渐开线。当被测齿形的展开长度有误差时，测微仪输
第二章 仪器精度理论
意义：精度分析和精度设计是仪器设计的重要内
涵 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 仪器精度理论中的若干基本概念 仪器误差的来源与性质 仪器误差的分析 仪器误差的综合 仪器误差的分析合成举例 仪器精度设计
三、作用线与瞬时臂法
基于机构传递位移的机理来研究源误差在机构传递位移的过程中如何传递 到输出。因此，作用线与瞬时臂法首先要研究的是机构传递位移的规律。
图2—22 源误差与作用误差示意图 2.斜尺与测量拖板运动副的作用误差 • 所引起的作用误差 斜尺倾斜角调整误差既不 能转换成瞬时臂误差，也不与作用线方向相同，只
F L2 AB L cos
•
引起的作用误差
斜尺直线
度误差与作用线方向l2－l2相同， 能用几何法将其折成作用误差。作用误差为 则其所引起的作用误差为
dl r0 ( )d
d 为转动件的瞬时微小角位移； r0 ( ) 为瞬时臂，定义为转动件的回转中心至 作用线的垂直距离； dl 为平动件沿作用线上的瞬时微小直线位移。
图2—17 推力传动与摩擦力传动
a)推力传动 b)摩擦力传动
1-摆杆 2-导套 3-导杆 4-直尺 5-摩擦盘
图2—18 齿轮齿条机构
l
分度圆
o2
图2—19 齿轮传动
例2-6 测杆与导套之间的配合间隙所引起的作用误差 测杆与导套为摩擦传动作用副，专用线为导套中心先，
由于两着之间存在间隙使测杆倾斜 h ，引起的作
用误差可按几何关系折算为
F s(1 cos ) s
2
2
总结
大体上可以按照上面所述三种情况来计算一对 运动副作用误差。通常，能转换成瞬时臂误差的源
S2 F2 R ( 2e R ) t an cos cos cos2
上例在求解各个源误差引起的测量拖板位移误差时采用的是代数和法，若采 用统计和法会更加符合实际情况。
四、数学逼近法
评定仪器实际输出与输入关系方法：测量（标定或校准）－－测出在一些
离散点上仪器输出与输入关系的对应值，应用数值逼近理论，依据仪器特性离 散标定数据，以一些特定的函数（曲线或公式）去逼近仪器特性，并以此作为 仪器实际特性，再将其与仪器理想特性比较即可求得仪器误差中的系统误差分 量。常用代数多项式或样条函数，结合最小二乘原理来逼近仪器的实际特性。 •代数多项式逼近法 数学上已经证明，闭区间上的任意确定性连续函数可以
用多项式在该区间内以所要求的任意精度来逼近。据此，仪器的输出与输入关
系能够用一个连续多项式函数来描述，拟合模型为
y f0 ( x) a0 a1x a2 x2 am xm
a j ( j 0,1,2,, m)
为待定系数， x 和 y 为仪器输入和输出，m为多项式次数。
•设仪器输出与输入关系测得值为 ( yi , xi )(i 12,, n) ，必须以残差的平方和 最小为原则确定拟合系数，设 a ˆ j ( j 0,1,2,, m) 为拟合系数的估计值，有
0 0 0
F L L0 r0 ( ) r0 ( )d r0 ( )d r0 ( )d
2．源误差的方向与作用线一致时的作用误差计算
向一致，则不必再经过折算，源误差就是作用误差。
若源误差的方向与作用线方
例2-5 渐开线齿轮传动作用误差 作用误差为
误差，有如下关系
,a Fa Fn in
若仪器有K对运动副组成，每一对运动副作用线上的作用误差 仪器测量端运动副的作用线为第 K条作用线。全部的K对运动副的作用误差转换 Fj ( j 1,2,, K )
，
到第K条作用线上，引起第K条作用线的附加位移的总和即为仪器测量端位移总
误差 ，即
1．源误差可以转换成瞬时臂误差时的作用误差计算
设一对运动副的理论瞬时 臂是 r0 ( ) ，若运动副中存在一源误差直接表现为瞬时臂误差 r0 ( ) ，那么位移沿作用 线传递的基本公式为
dl [r0 ( ) r0 ( )]d
由瞬时臂误差
r0 ( ) 而引起的作用线上的附加位移(作用误差)为
误差多发生在转动件上；而既不能换成瞬时臂误差，
其方向又不与作用线方向一致的源误差多发生在平 动件上。 若一对运动副上有m 个源误差，每个源误差均 使其作用线上产生一个作用误差
Fk (k 1.2,, m) 那么该运动副的总作用误差为
，
F Fk
k 1
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图2—20 测杆倾斜
（三）作用误差从一条作用线向另一条作用线的传递
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i FK FK K , j F j
j 1 j 1
例2-7 小模数渐开线齿形检查仪误差分析
当主拖板在丝杠的带动下向上移动的距离为L 时，由于斜尺安装在主拖板上，也向上 移动了同样的距离，在钢带的带动下基圆盘逆时针旋转Φ角。此时，在弹簧的作用下， 测量拖板向右移动的距离为s，其中θ为斜尺的倾斜角度。测量之前将斜尺倾斜角度调整 为
（一）机构传递位移的基本公式
• 推力传动 传递位移时一对运动副之间的相互作用力为推力
•
摩擦力传动 传递位移时一对运动副之间的相互作用力为摩擦力
作用线 为一对运动副之间瞬时作用力的方向线
• 推力传动，其作用线是两构件接触区的公法线
•
摩擦力传动，其作用线是两构件接触区的公切线
如图2-17
位移沿作用线传递的基本公式为
出被测齿形的误差
s l s l r0
仪器的精度取决于标准渐开线运动的准确性。建立标准渐开线运动 的测量链：主拖板，斜尺基圆盘、测量拖板，测微仪，斜尺
分析测量拖板的位 移误差 •仪器中若存在基圆盘安装偏心误差 e •基圆盘半径误差 R •斜尺表面直线度误差 以及斜尺倾斜角度的调整误差
FR r0 ( )d Rd R
0 0
0 最大值为
• 作用线l1－l1上的作用误差
Fe 2e
F1 Fe FR 2e R
视基圆盘2为主动件、主拖板3为从动件，并且把基圆盘与主拖板运动副看成 是直尺与圆盘运动副，为摩擦力传动，作用线为l1－l1；视斜尺5与测量拖板8运 动副为推力传动，作用线为l2－l2 ，斜尺为主动件，测量拖板为从动件。
F F
齿轮运动副的作用线就是齿轮的啮合线，若存
在齿廓总偏差 F ，由于其方向与齿轮啮合线方向一致，当齿轮转过一个齿时，
当超过一个齿时，作用误差为 F Ewm cos F
Ewm 为齿距累 为渐开线齿形压力角，
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l
基圆
F
积偏差， Ewm cos 为齿距累积偏差在 齿轮啮合线上投影。 3．源误差既不能折算成瞬时臂误差，其方向又 不与作用线一致时 在这种情况下，很难用一个 通式来计算作用误差，只能根据源误差与作用误 差之间的几何关系，运用几何法，将源误差折算 到作用线上。
ˆ0 , a ˆ1 ,, a ˆm ) yi f 0 ( xi ) yi a ˆ j xij MIN (a i 1 i 1 j 0
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2
•求解上述优化问题可以归结为
解以下线性方程组： •是有（m＋1）个待定系数的线
性方程组，数学上已经证明在主
1.基圆盘与主拖板运动副的作用误差
•
e引起的作用误差 基圆盘安装偏心可 以转换成瞬时臂误差 则引起的作用误差为 r0 ( ) esin
Fe r0 ( )d esin d e(1 cos )
0
，
• R 引起的作用误差 基圆盘半径误差可 以转换成瞬时臂误差，则引起作用误差为
例2-4 齿轮齿条传动机构
当齿轮向齿条传递位移时，属推力传动，作用线 l l 通过接触区与齿面垂直，位移 沿作用线传递的基本公式为 dl r 0 ( )d r 0 cos d 则位移沿作用线传递的方程为
L r0 cos d r0 cos
0
但是，齿条的实际位移并不是沿作用线 l l 方向，而是沿位移线 s s 方向，作 用线与位移线之间夹角为齿形压力角。根据位移线与作用线之间的几何关系，可以 导出位移沿位移线方向传递的公式为
依据作用误差沿作用线之间传递的，有
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L ( 2e R ) sin cos
•作用误差转换为测量拖板的位移误差 测量拖板的位移方向s与作用线 l2－l2的方向 不一致，夹角为 ，根据作用线与位移线之间的关系，测量拖板的位移误差为
在机构传递位移的同时，各对运动副上的作用误差也随之一同传递，最终
成为影响机构位移精度的总误差。首先必须研究一对运动副作用线上的位移 是如何传递到另一条作用线上去的机制。 •作用线之间传动比 作用线之间瞬时直线位移之比。设仪器中任意两对运动
副作用线上的瞬时直线位移分别为 dla 与 dln ，作用线之间传动比可写为
ds
dl cos
ds dl r cos 0 d r0d cos cos
0 0
则位移沿位移线传递的方程为
S ds r0d r0
（二）运动副的作用误差
作用误差 一对运动副上的一个源误差所引起的作用线上的附加位移；把一对
运动副上所有源误差引起的作用线上的附加位移的总和称为该运动副的作用误差。 运动副的作用误差是在运动副的作用线方向上度量的，表征源误差对该运动副位 移准确性的影响。
•作用线l2－l2的作用误差为
F
F2 F F
L cos
3.求作用线l2－l2上的总作用误差 • 作用线l2－l2与l1－l1之间直线传动比
,1 i2
dl2 dl1 sin sin dl1 dl1
•作用线l2－l2上的总作用误差
,a in
dln r0 n ( n )d n dla r0 a ( a )d a
若第a条作用线有作用误差为 Fa ，它是该运动副上所有源误差所引起的 作用线上的位移增量的总和。当将第a条作用线上作用误差转换到第n条作用
线上时，使第n条作用线上产生附加的位移增量，成为第n条作用线上的作用
矩阵的秩为满秩时，方程组有唯 一解。一旦计算出最小二乘估计 值a ˆ j ( j 0,1,2,, m) ，用 表征仪器的实际输出与输入关系 公式（特性）。
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