合比等比性质及习题

比例的合比性质：如果d c

b

a =

,那么d

d c b b a ±=

±； 比例的等比性质：

如果

d c b a ==…=n m

（b +d +…+n ≠0）,那么

b

a n d

b m

c a =++++++ΛΛ

4、若

753z

y x ==,则z y x z y x -++-=________.

5、若65

432+==+c b a ,且2a －b+3c=21. 则a ∶b ∶c.= 6、若

f e

d c b a ===2，则

=++++f d b e c a __________;=+-+-f d b e c a 22______________ 7、若

z y x y z x x z y +=+=+，求z

y x

+的值。 8、已知c b a ,,是△ABC 的三条边，对应高分别为c b a h h h ,,，且6:5:4::=c b a ，那么

c b a h h h ::等于（ ）

A 、4：5：6

B 、6：5：4

C 、15：12：10

D 、10：12：15

平行线分线段成比例定理及其推论

一. 平行线分线段成比例定理

如下图（1），如果1l ∥2l ∥3l ，则

BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB AC

DE DF

=

.

_______

,341=+=b

b a b a 、则已知______;,9172==+y x y y x 、则若____,3,2

13=++=++===f d b e c a f e d c b a 、则且已知d kd c b kb a ±=±d c c b a a ±=±l 3

l 2l 1F

E D C

B A A

B

C

D

E

E

D

C B A

图（1） 图（2）

二. 平行线分线段成比例定理的推论：如图（2），在三角形中，如果DE BC ∥，则

AD AE DE

AB AC BC

==

三. 平行的判定定理：如上图（2），如果有

BC

DE

AC AE AB AD =

=，那么DE ∥ BC 。 9、如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c

a

b

=+.

F

E D

C

B

A

10、如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和

BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：

111

AB CD EF

+=

. F

E

D

C

B

A

11、如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论.

F

E D

C

B

A

12、如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作

EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。

O

F

E

D C

B

A

13、（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14

AE AB =，

连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则

BC

CD

=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AF

FC FD

+ 的值为（ ） A.52 B.1 C.3

2

D.2

（3）

14、如上图（3），ABC ∆中，D 为BC 边的中点，延长AD 至E ，延长AB 交CE 的延长线于P 。若2AD DE =，求证:3AP AB =

15、在ABC ∆中，底边BC 上的两点E 、F 把BC 三等分，BM 是AC 上的中 线，AE 、AF 分别交BM 于G 、H 两点，求证：::5:3:2BG GH HM =

16、已知：如图，△ABC 中，D 在AC 上，且AD ：DC ＝1：2，E 为BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，求证：BF ：FC ＝1：3。

证明：

(1)

M E

D C B A

(2)F E

D C A P E

D

C B

A M

H G F E C B A

A B

D E

F

C

17、如图，矩形ABCD 中，3AD =厘米，AB a =厘米（3a >）．动点M N ，同时从B 点出发，分别沿B A →，B C →运动，速度是1厘米／秒．过M 作直线垂直于AB ，分别交AN ，CD 于P Q ，．当点N 到达终点C 时，点M 也随之停止运动．设运动时间为t 秒． （1）若4a =厘米，1t =秒，则PM =______厘米；

（2）若5a =厘米，求时间t ，使PNB PAD △∽△，并求出它们的相似比；

（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，求a 的取值范围；

（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN ，梯形PQDA ，梯形PQCN 的面积都相等？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由． 解：

N