合比等比性质及习题
数学教案合比性质和等比性质例
数学教案合比性质和等比性质例章节一：合比性质介绍1.1 教学目标：了解合比性质的概念。
学会运用合比性质进行比例计算。
1.2 教学内容：合比性质的表示方法：a:b = c:d = e:f 表示a/b = c/d = e/f。
1.3 教学步骤：1. 引入合比性质的概念，引导学生理解合比性质的意义。
2. 通过示例讲解合比性质的应用，让学生学会如何运用合比性质进行比例计算。
3. 练习题：让学生独立完成一些合比性质的练习题，巩固所学知识。
章节二：等比性质介绍2.1 教学目标：了解等比性质的概念。
学会运用等比性质进行比例计算。
2.2 教学内容：等比性质定义：如果有两个比例相等，它们可以组成一个新的比例。
等比性质的表示方法：a:b = c:d 表示a/b = c/d。
2.3 教学步骤：1. 引入等比性质的概念，引导学生理解等比性质的意义。
2. 通过示例讲解等比性质的应用，让学生学会如何运用等比性质进行比例计算。
3. 练习题：让学生独立完成一些等比性质的练习题，巩固所学知识。
章节三：合比性质和等比性质的应用3.1 教学目标：学会运用合比性质和等比性质解决实际问题。
3.2 教学内容：合比性质和等比性质的应用场景：如商业、工程等领域中的比例计算问题。
3.3 教学步骤：1. 引入合比性质和等比性质的应用场景，让学生了解合比性质和等比性质在实际问题中的应用。
2. 通过示例讲解合比性质和等比性质在实际问题中的应用，让学生学会如何运用合比性质和等比性质解决实际问题。
3. 练习题：让学生独立完成一些合比性质和等比性质的应用题，巩固所学知识。
章节四：比例计算练习4.1 教学目标：巩固比例计算的知识。
4.2 教学内容：比例计算的方法和技巧。
4.3 教学步骤：1. 复习比例计算的基本概念和公式。
2. 通过示例讲解比例计算的方法和技巧，让学生学会如何进行比例计算。
3. 练习题：让学生独立完成一些比例计算的练习题，巩固所学知识。
章节五：比例应用题5.1 教学目标：学会解决实际问题中的比例应用题。
中考复习 等比、合比性质综合应用--练习(含答案详解)
等比、合比性质综合应用--经典练习（含答案详解）3y ==C ．2018D ．00<=-=-=abc cxz b z y ，则a ，b ，c 中负数的个数有（ ） B ．2个 C ．3个 D ．4个7.已知三角形的三边长分别为4cm ，5cm ，6cm ，则这三边上的高的比为（ ）A ．4：5：6B ．5：4：6C ．6：5：4D ．15：12：10t bac a c b =+=+=，那么直线t tx x f +=)(一定通过第 象限．t ba ca cb =+=+=则一次函数2)(t tx x f +=的图象必定经过的象限是 ．，则一次函数y=(2-k )x+1一定不经过（ ） C ．第三象限 D ．第四象限2+16=8n ，则关于x 的一次95===f e d c ，++++fd be c aa cb =+=D．y+z=3x为（）A．A＞B＞C B．A＜B＜C C．C＞A＞B D．A＜C＜BD．第一、四象限A．12 B．6 D．3C．（1，2）D．（1，-1）33.(1)已知a、b、c、d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，求线段d的长．(2)已知线段a、b、c，a=4cm，b=9cm，线段c是线段 a和b的比例中项．求线段c的长．(3)已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x=1时，y=4，x=2时，y=5．求：①y与x之间的函数关系式；②当x=4时，求y的值．35.已知：如图，在正方形ABCD 中，AD=1，P 、Q 分别为AD 、BC 上两点，且AP=CQ ，连接AQ 、BP 交于点E ，E F 平行BC 交PQ 于F ，AP 、BQ 分别为方程x 2-mx+n=0的两根． （1）求m 的值；（2）试用AP 、BQ 表示EF ； （3）若S △PQE =81，求n 的值．参考答案3y ==29421694241263222222222=++++=++++k k k k k k z y x zx yz xyz k c b y k b a x =-=-=,,0=-+-+-=++ka c k cb k b a zy x 故选D ．3.【解析】设k y x B A )2(+=+，则k y x B A )(-=-，联立两式解关于A 、B 的方程，可4.【解析】设甲、乙、丙单独工作分别需x 天、y 天、z 天．由①得， z x y x m +=，11++=+z x y x m ，zx y x m =++=+1111yzxy xz xz ++=yzxy xz xy ++=6.【解析】A 、相似三角形的对应边不相等，故是假命题，故本选项正确；B 、全等三角形也是相似三角形是真命题，故本选项错误；当t=0.5时，一次函数2)(t tx x f +=的图象经过一、二、三象限， 当t=-1时，一次函数2)(t tx x f +=的图象经过一、二、四象限，∴图象必定经过的象限是一、二象限．故答案为：一、二象限10.【解析】根据已知条件，得出a+b=ck ①，b+c=ak ②，c+a=bk ③，①+②+③，得 2(a+b+c )=k (a+b+c )．(1)当a+b+c≠0，则k=2；(2)当a+b+c=0，则a+b=-c ，b+c=-a ，a+c=-b ， ∴k=-1；∵y=(2-k)x+1为一次函数，所以2-k≠0，即k≠2，∴k=-1；∴y=3x+1经过一、二、三象限，一定不过第四象限．故选D∴m=5，n=3，②③ ===f e d c f e d c b 959595===，，95)(95959595=++++=++++=++++f d b f d b f d b f d b f d b e ca1-==abcabc故答案是8或-1．17.【解析】利用排除法解题，A 选项，根据合比性指可知正确；9-=yx19.【解析】由0≠xyz 可得到z y x ，，均不为0，由等比性质d c b a n d b m c a n d b n m d c b a ====±±±±±≠+++=== ，由有)0(① 当0≠++z y x 时，2)(2)()()(=++++=+++++++==+=+=+xy z z y x x y z z y x z y x k x z y y x z z y x ② 当0=++z y x 时，可推出z y x -=+，x z y -=+，y x z -=+所以1-=-=-=-==+=+=+xxy y z z k x z y y x z z y x 所以k 的值为2或-121442-=-=k k k3452=-+=-+k k k b c aD 选项，x z z z z y z x z y 3712757475==+=+==，，，D选项正确 189241332==++++-=++k k k k z y x ，所以10712====z y x k ，，，加可得，bk ak ck c a c b b a ++=+++++即，k c b a c b a )()(2++=++① 当0≠++c b a② 当0=++c b a 时，可推出c b a -=+，a c b -=+，b c a -=+，所以1-=k27.【解析】分情况讨论：直线一定经过一、二、三象限；当a+b+c=0时，即a+b=-c ，则k=-1，此时直线为y=-x-1，即直线必过二、三、四象限． 故直线必过第二、三象限．故选B ．积是4121121=⨯⨯=S 当a+b+c=0，则 b+c=-a ，1-=-=+=aa cb a k ，一次函数为y=-x-1，则函数 y=-x-1的图象与坐标轴围成的面积是211121=⨯⨯=S32.【解析】 ∵k c b a b c a a c b =+=+=+，∴ak=b+c ①；bk=a+c ②，ck=a+b ③，∴①+②+③得，2(a+b+c )=k (a+b+c )，（1）∵k≠0，∴a+b+c=0，∴a+b=-c ，∵1-=-=+=cc c b a k ，∴直线为y=-x-1； （2）当a+b+c≠0时，则k=2，∴直线为y=2x+2，∴直线y=-x-1和y=2x+2必经过点（-1，0）．故答案为：（-1，0）．33.【解析】（1）∵a 、b 、c 、d 是成比例线段，∴a:b=c:d,∵a=3，b=2，c=6，代入得：d=4，（2）∵线段c 是线段 a 和b 的比例中项，∴c 2=ab ，∵a=4，b=9，代入得：c=6，（3）∵y 1与x 成正比例，设y 1=ax ，（a≠0），∵y 2与x 成反比例，)0(2≠=b x b y )0(≠+=b x b ax y ,把x=1，y=4和x=2，y=5代入得：a=2，b=2,x x y 22+=当x=4时，217=y 34.【解析】首先根据条件k b a c c a b c b a =+=+=+，根据a+b+c=0和a+b+c≠0，可得到直线y=kx+b 中的k 值，再根据经过点（4，0）可求出b 的值，从而得到函数关系式，然后画出函数图象即可求出与两坐标轴所围成的三角形的面积，面积为4或835.【解析】（1）∵AP=QC ，AP+BQ=QC+BQ=BC=1，又∵AP 、BQ 分别为方程x 2-mx+n=0的两根， 所以有AP+BQ=m ，AP•BQ=n ，∴AP+BQ=m=1．即m=1．（2）∵EF ∥AP ，∴AQEQ AP EF =， 又∵AP ∥BQ ，∴APBQ AE EQ =，∴BQ AP BQ EQ AE EQ +=+即BQ AP BQ AQ EQ +=，∴BQ AP BQ AP EF +=即：BQAP BQ AP EF +•=． ∵AP+BQ=1，∴EF=AP•BQ ．（3）连接QD ，则EP ∥QD得：S △AQD =21，且S △AEP ：S △AQD =AP 2：AD 2=AP 2：1=AP 2， ∴S △AEP =AP 2•S △AQD =21AP 2，∴S △PQE ：S △AEP =EQ ：AE ，即81：21AP 2=EQ ：AE=BQ ：AP ，学海迷津：数学学习十大方法1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
合比等比性质及习题
比例的合比性质：如果d c b a =,那么dd c b b a ±=±； 比例的等比性质：如果d c b a ==…=n m（b +d +…+n ≠0）,那么ba n db mc a =++++++ 【基础练习2】1、把mn=pq 写成比例式写错的是()3若3=y x，求yy x +的值。
（你会的方法越多越好啊！快来试一试！） 7、若753z y x ==,则z y x z y x -++-=________.8、若65432+==+c b a ,且2a －b+3c=21.则a ∶b ∶c.= 9、若f ed c b a ===2，则=++++f d b e c a __________;=+-+-f d b e c a 22______________ 10、若z y x y z x x z y +=+=+，求zy x+的值。
平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=. 2.平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==3.平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥BC 。
【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。
【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111cab=+. 【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：111AB CD EF+=. 专题二、定理及推论与中点有关的问题d kdc b kb a ±=±dc cb a a ±=±【例3】 （2012年北师大附中期末试题）（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =， 连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AFFC FD+的值为（）A.52B.1C.32D.2【例4】 （2011年河北省中考试题）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .（1）当1A 2AE C =时，求AOAD的值；（2）当11A 34AE C =、时，求AOAD的值； （3）试猜想1A 1AE C n =+时AOAD的值，并证明你的猜想. 【例5】 （2013年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由. 【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。
八年级数学：第四册合比性质和等比性质例
初中数学新课程标准教材数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 )学校：年级：任课教师：数学教案 / 初中数学 / 八年级数学教案编订：XX文讯教育机构第四册合比性质和等比性质例教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于初中八年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。
本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。
教研课教案设计教者：龙秀明教学课题：合比性质和等比性质教学目标：1、掌握合比性质的等比性质，并会用它们进行简单的比例变形2、会将合比性质、等比性质用于比例线段。
3、提高学生类比联想、推广命题的能力。
教学重、难点：熟练地、灵活地运用合比性质与等比性质。
课前准备：小黑板、幻灯机及幻灯片。
教学过程：一、复习引入：我们在前边学习了线段的比，比例的有关概念及性质，那么请同学们回忆1、什么叫线段的比？2、什么叫成比例线段？我们还学习了比例的基本性质，那么，除此之外，比例还有一些什么性质呢？这就是本节课我们将要研究的比例的合比性质与等比性质。
（出示课题：合比性质与等比性质）那么，通过本节课的学习我们要达到一个什么样的要求呢？（出示小黑板）看学习目标1、2，（全班同学齐读）下边请同学们再回忆，我们在上一章学习的平等线等分线段定理是如何叙述的？（抽同学回答）请看幻灯（投影显示）二、（用特殊化方法）探索合比性质。
1、复习，已知：一组平行线在直线l上截得的线段AB=BC=CD=DE=EF则由平行线等分线段定理可得一个结论:即A´B´=B´C´=C´D´=D´E´=E´F´。
2、将上述结论改写成比例式，由此猜想得出结论，引导学生思考：如果设在l上截得的每一份为k，问AD=？DF=？？又设在l1上截得的一等份为m，问A´D´=？D´F´=？？观察以上分析，可得出一个什么样的结论？又观察与有什么关系？对于一般的比例式都有这一个关系吗？请猜一猜。
合比性质和等比性质合比性质课件
通过这个课程，学习者可以掌握合比 性质和等比性质的基本概念、性质和 应用。
此外，该课程还注重培养学习者的逻 辑思维和数学素养，为进一步学习其 他数学课程打下坚实的基础。
展望
随着数学理论和应用的不断发 展，合比性质和等比性质的相 关知识也将不断更新和完善。
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定义
合比性质和等比性质的定义不同，合 比性质是指两个比值的和或差与另一 个比值之间存在一定的关系，而等比 性质则是两个比值相等。
性质
应用
合比性质在数学、物理等领域有广泛 应用，如几何、代数等，而等比性质 则主要应用于比例、百分数等问题。
合比性质涉及到两个比值的和或差与 另一个比值之间的关系，而等比性质 则是两个比值相等。
应用场景
等比性质在几何学中有着广泛的应用，如相似三角形、相似多边形的判定和性质等 。
等比性质在函数和数列中也经常出现，如等差数列和等比数列的判定和性质等。
等比性质在解决实际问题中也有应用，如测量、工程设计等领域中经常需要用到等 比性质来计算比例和比例关系。
03 合比性质和等比性质的比 较和联系
比较
练习题
设计一系列与合比性质和等比性 质相关的练习题，难度适中，覆
盖面广。
练习题应包括选择题、填空题、 计算题等多种题型，以便全面考 查学生对合比性质和等比性质的
理解和掌握程度。
对于难度较大的题目，可以给出 提示或解题思路，帮助学生更好 地理解和掌握合比性质和等比性
质。
06 总结和展望
总结
合比性质和等比性质合比性质课件是 一个全面、深入的课程，涵盖了合比 性质和等比性质的相关知识。
19.1(2) 合比性质 等比性质
19.1* 合比性质 等比性质**********************************教学目标*************************************1. 知道合比性质、等比性质2. 掌握合比性质、等比性质的证明方法3. 能应用合比性质、等比性质进行计算和证明4. 渗透方程思想，分类讨论思想**********************************教学重点************************************* 合比性质、等比性质的证明与应用**********************************教学难点************************************* 合比性质、等比性质的应用**********************************板书设计************************************* 合比性质、等比性质合比性质 等比性质证明：_______________ 证明：____________________________________ __________________________________________ _____________________练习：_______________ 练习：____________________________________ __________________________________________ _____________________**********************************教学内容*************************************一、复习检测1. Rt △ABC 的斜边长为c ，斜边上中线长为m ，则m ：c=___________2. 已知：菱形ABCD 中，∠A=60°，AC 、BD 使对角线，则AC BD=_________ 3. 若a=b ，b=216，a ：x=x ：b ，那么x=______二、新课(一) 合比性质 做一做：(1)已知3a c b d ==，求a b b+和c d d +的值. (2)已知15a c b d ==，求a b b +和c d d +的值. 你还有什么发现？ 提出问题：a b b+与c d d +之间的相等是偶然的吗？你能证明吗？(学生讨论) 引导学生证明：a b b +与c d d +相等关系成立的前提是a c b d = 即：我的写成已知、求证的形式则为 已知：a cb d= 求证：a b b+=c d d + 证明：(方法一)∵a c b d =∴1a b +=1c d+利用等式基本性质(符理要学生说) ∴a b b b +=c d d d+ 即a b b+=c d d + 证明：(方法二)设a c k b d ==(见比设k) 则a=bk ，c=dk (方程思想) ∴1a b bk b k b b ++==+ 1c d d k d k d d++==+ ∴a b b+=c d d + 得出结论：如果a c b d =，那么a b b +=c d d +，这就是合比性质 练习：1.已知5x=7y ，且xy ≠0，则x ：y=______，y ：x=_______，x y y +=_______，x y y -=________，x y x y+-=_______。
比例性质及比例线段
比例性质及比例线段（初二4.16）一、知识点与方法概述：1、比例的性质：基本性质：如果a:b=c:d，那么ad=bc；如果ad=bc，那么a:b=c:d.合比性质：等比性质：如果，那么.2、（成）比例线段：比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比. 那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.设a、b、c、d为线段，如果a:b=c:d，b、c叫比例内项，a、d叫比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项；如果a:b=b:c，或b2=ac，那么b叫a、c的比例中项.3、黄金分割：如图，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点.注意：1、AC 0.618AB；2、0.618叫做黄金比；3、一条线段有两个黄金分割点.4、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的线段对应成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 推论的扩展：平行于三角形一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.（三角形一边平行线的性质）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（三角形一边平行线的判定定理）5、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况（如图1-图5）:推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.已知：在梯形ACFD 中，CF AD //，AB=BC求证：DE=EF推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.已知：在△ACF 中，CF BE //，AB=BC 求证：AE=EF6、三角形的中位线定理：三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
比例的性质及其应用
x x 3、若3 x = 2 y , 则 = _____ 4、若mx = ny , 则 = _____ y y
5、若2 x = 5 y , 则下列比例式成立的是 （
x y A) = 2 5 x y B) = 5 2
x 2 应用举例
x− y 2 6、若 = , 则 x : y = ________ x+ y 3 x −1 y −1 7、若 , 则 x : y = ________ = x y
a+b a+c b+c 5、若a + b + c ≠ 0, 设 = = = k , 则k = _______ c b a a b c 6、若 = = = k , 则k = _______ b+c a+c a+b
（其中 b + d + f ≠ 0, b + 2d + 3 f ≠ 0)
等比性质的应用举例
a c e 2 3、若 = = = , 且a + c + e = 4，则 b + d + f = ____ b d f 3 （其中 b + d + f ≠ 0)
a b c 4、已知△ ABC的三边分别为 a、b、c，且满足 = = 已知△ b c a 则△ ABC的形状是 _______
x + 2y + z 5、已知 x : y : z = 1 : 2 : 3, 则 = ______ z− x
x y z 6、已知 = = , 且2 x + y − z = 4, 则 x + y + z = ______ 2 3 5
x+z 7、若2 x = 3 y = 4 z , 则 x : y : z = ______; = ____ x− y
比例的性质
比例的性质文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]比例的性质或许你在某个地方听说过比例，可你是否了解比例呢我想没有。
来吧，跟随我们的脚步，跨入比例的大门！首先我们来了解什么是比。
什么是比比：两个数相除又叫做两个数的比比值：比的前项除以比的后项所得的商，叫比值。
比只有两个项：比的前项和后项。
比例是一个等式，表示两个比相等；有四个项：两个外项和两个内项。
知道了什么是比，接下来就是更有趣的——比例的性质一、合比性质1、合比性质的用途合比性质是数学计算中常用的性质之一，属于中的三大性质之一（包括合比性质、分比性质和合分比性质）。
主要运用于等计算。
2、合比性质的表达文字：在一个比例里，第一个比的前后项的和与它后项的比，等于第二个比的前后项的和与它的后项的比，这称为比例中的合比定理，这种性质称为合比性质。
字母：已知，且有，如果，则有。
3、推导过程4、典型例题如图，在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，EF是AD的垂直平分线且交AB于E，交BC的延长线于F，求证：DC·DF=BD·CF分析：欲证：DC·DF=BD·CF即证：DC/CF=BD/DF即证：(DC+CF)/CF=(BD+DF)/DF若连结AF，则AF=DF故即证：AF/CF=BF/AF只需证△FAB∽△FCA证明：连结AF，则AF=DF，∠FAD=∠FDA∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD∴AF=DF∴∠FDA=∠FAD又∵∠FAD=∠CAD+∠CAF，∠FDA=∠B+∠BAD∴∠B=∠CAF∴△FAB∽△FCA。
二、分比性质1、表达文字：在一个比例等式中，第一个比例的前后项之差与第一个比例的后项的比，等于第二个比例的前后项之差与第二个比例的后项的比。
字母：已知，且有，如果，则有。
2、推导过程三、合分比性质1、表述文字：在一个比例等式中，第一个比例的前后项之和与第一个比例的前后项之差的比，等于第二个比例的前后项之和与第二个比例的前后项之差的比。
比例的基本性质练习题
比例的基本性质练习题比例的基本性质是数学中一个重要的概念，它涉及到比例的等比性质和反比性质。
下面是一些关于比例基本性质的练习题：1. 判断题：- 如果a:b = c:d，那么ad = bc。
（）- 如果a:b = c:d，那么a/c = b/d。
（）2. 选择题：- 已知比例a:b = 2:3，那么下列哪个比例与a:b成反比？A. 3:2B. 4:6C. 5:7D. 6:93. 填空题：- 如果比例a:b = 4:5，那么b:a = _______。
- 如果比例a:b = 3:2，那么a:b:c = 3:2:_______。
4. 计算题：- 已知a:b = 5:3，b:c = 2:3，求a:c的比例。
5. 应用题：- 一个班级有男生和女生，男生人数与女生人数的比例是4:5。
如果班级总共有36人，求男生和女生各有多少人。
6. 解答题：- 某工厂生产两种型号的产品，A型产品与B型产品的数量比为3:2。
如果工厂计划生产A型产品180件，求B型产品应该生产多少件。
7. 证明题：- 证明如果a:b = c:d，那么a:c = b:d。
8. 转换题：- 将比例3:4:5转换为分数形式。
9. 综合题：- 一个长方形的长和宽的比例是5:3，如果长增加了10厘米，宽增加了6厘米，新的长方形的长宽比是否发生了变化？为什么？10. 探索题：- 探索在什么情况下，两个比例的乘积等于另一个比例。
这些题目覆盖了比例基本性质的不同方面，包括判断、选择、填空、计算、应用、证明、转换、综合和探索。
通过这些练习，可以帮助学生更好地理解和掌握比例的基本性质。
谈一谈合比性质的应用
Ｃ． ＜ ｂ ＜ ｃ ａ
） ．
Ｂ ｂ＜ｃ＜ａ ．
Ｄ． ＜ ｂ ＜ ａ Ｃ
分析 不容易直接比较三个数的大小 ， 比例 请 的合 比性质性质来帮忙 ， 谁大谁小也就一 目了然 了． （ ） 解 设ｐ＝ ＝ ， 由比例 ，即 Ｐ ＋１ ＝
分＇仔细观察所求值代数式的特点， 析 分式的分 数的最高的项和常数项分别相 同， 因此考虑到利用
子与分母分别含 ａ—ｂａ＋ｂ 联想到利用比例的合 ， ，
比性质 ， 就能把 问题顺 利解 决 了．
解 因为Ｔ ＝ 了 由比例 的合 比性 质得 ， ａ ２
，
比例 的合 比性 质．
解 当 黑 ：时即ｚ３ ２ 李 １ ， ＋ ＋：ｚ
分析 若按一般方法解应该先把分式方程化 为整式方程 ， 从而求得原方程的解 ， 但是
这 样会 出现 高次方 程 ， 而给解 方程 带来 困难 ， 反
Ａ Ｂ ｃ一 Ｄ 有 义 仔 细观 察等号 两边 两 个分 式 的特 点 ， 子 和分 母 次 ． ． ． １ ． 意 ０ ÷ 没 分
Ｌ舅 名
．
例 已 ｚ Ⅱ 十 ＿’ ｖ ｃ ５ 知 十 ＿＇ ｚ ６ ＋ ＿， ｖ 焘 南 且 戈 Ｘ
．
＿ ｌ 即 ，
＋
＋
掘
＋
＋
例 ６ 在 Ｒ ＡＡ Ｃ中 ， Ａ Ｂ ：９ 。设 Ａ ｔ Ｂ ／ Ｃ ＿ ０ ， Ｃ＝ｂ ，
分析 直 接证 明 比较 困难 ， 由各 分 式 的 特 点 ，
Ｂ ： Ｃ
＝ｃ求证 ： ， ｎ
＝
一
０ 十 Ｃ
ａ
十
． Ｄ — Ｃ
联想到利用比例的合比性质 ， 就能化异
数学教案合比性质和等比性质例
数学教案合比性质和等比性质例一、教学目标1. 理解合比性质和等比性质的概念。
2. 学会运用合比性质和等比性质进行比例计算。
3. 能够解决实际问题，提高解决问题的能力。
二、教学内容1. 合比性质：如果四个数a, b, c, d满足a + b = c + d，它们可以组成两个比例a:b = c:d和b:a = d:c。
2. 等比性质：如果四个数a, b, c, d满足a b = c d，它们可以组成两个等比a:b = c:d和b:a = d:c。
三、教学重点与难点1. 合比性质的理解和运用。
2. 等比性质的理解和运用。
四、教学方法1. 采用讲解法，讲解合比性质和等比性质的概念及运用方法。
2. 采用例题讲解法，通过具体例题讲解合比性质和等比性质的运用。
3. 采用练习法，让学生通过练习题巩固所学知识。
五、教学过程1. 引入：讲解比例的概念，引导学生思考比例的性质。
2. 讲解合比性质：介绍合比性质的定义，讲解合比性质的运用方法。
3. 讲解等比性质：介绍等比性质的定义，讲解等比性质的运用方法。
4. 例题讲解：选取典型例题，讲解合比性质和等比性质的运用。
5. 练习：布置练习题，让学生运用合比性质和等比性质进行计算。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调合比性质和等比性质的运用方法。
7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对合比性质和等比性质的理解程度，以及运用性质进行比例计算的能力。
2. 练习题解答：评价学生对课堂所学知识的掌握程度，以及解决问题的能力。
3. 课后作业：评价学生对所学知识的巩固程度，以及运用合比性质和等比性质解决实际问题的能力。
七、教学反思1. 教学过程中是否有效地讲解了合比性质和等比性质的概念及运用方法？2. 学生是否积极参与课堂讨论和练习，展现出对比例性质的理解和运用能力？3. 针对学生的学习情况，是否需要调整教学方法和教学内容？八、拓展与延伸1. 合比性质和等比性质在实际生活中的应用：举例说明合比性质和等比性质在解决实际问题中的应用，如商业、工程等领域。
等比性质
且2b-d+5f=18， 求2a—c+5e。 a c e 2 点拨：在处理等比问 解法一：∵ 题时将分式的基本性 b d f 3 解法二：由已知得：
3(2a c 5e) 18 2 2a c 5e 12
值为
2 ，利用这种方法思 3
路简捷。
a c e 设 =k ， 用“设k法”， b d f
则 a=kb, c=kd, e=kf
那么
kb kd kf bd f
=
k (b d f ) bd f
a = k= b
故原等式成立
小结
比例的等比性质
a c m (b d n 0) a c m a b d n b d n b
x yz 1、已知 x : y : z 3: 5 : 7，求 x yz
2、已知 求
a c e 1 b d f 2
，且 b d f 0 。 的值。
ace bd f
bc ac ab 3、已知： k , 求k的值. a b c
2 探索： 当a b c 0时，k _______
当a b c 0时，k
-1 _________
a c e 2 3、 已知 b d f 3
，
2 2 2 质和等比的性质结合 2 a b d,e f a c 5 e ,c 2 3 3 (分式的基本性质 ） 3 起来解题非常方便。 2b d 5 f 3 2 2 2 2 a c 5e 2 b d 5 f 2a c 5 e 2 3 3 3 (等比的性质） 2 bd 5f 3 2 ( 2b d 5 f ) 3 2 a c 5e 2 2 18 点拨：遇到等比问题时，常设 1 8 31 2 3 辅助未知数比值K，题中的比
初三九年级数学等比性质
第2课时 等比性质基础题知识点1 等比性质1．已知a b ＝c d ＝e f ＝4，且a ＋c ＋e ＝8，则b ＋d ＋f 等于( ) A ．4 B ．8 C ．32 D ．22．已知a2＝b3＝c4≠0，则a －bc 的值为( )A.14 B ．－14 C ．2 D.123．已知ca ＋b ＝ba ＋c ＝ab ＋c ＝k(a ＋b ＋c ≠0)，则k ＝() A ．0 B ．1 C ．2 D.124．若a 2＝b3＝c4，且a ＋b －c ＝1，则a －b ＋c 的值为() A ．3 B ．4 C ．5 D ．65．已知x 4＝y 5＝z7，则下列等式成立的是( )A.x －yx ＋y ＝19 B.x ＋y ＋zz ＝716C.x ＋y ＋zx ＋y －z ＝83 D ．y ＋z ＝3x6．若a b ＝c d ＝e f ＝13，则a －2c ＋3eb －2d ＋3f ＝________.7．已知：x ∶y ∶z ＝2∶3∶4.求：(1)x ＋2yy ；(2)3x2x ＋3y －5z .8．若x 2＝y 3＝z5，且3x ＋2y －z ＝14，求x ，y ，z 的值．知识点2 等比性质的简单应用9．(兰州中考)如果a b ＝c d ＝e f ＝k(b ＋d ＋f ≠0)，且a ＋c ＋e ＝3(b ＋d ＋f)，那么k ＝________. 10．已知在△ABC 和△A′B′C′中，AB A′B′＝BC B′C′＝AC A′C′＝23，且△A′B′C′的周长为80 cm ，求△ABC 的周长．中档题11．已知a b ＝c d，则下列式子中正确的是( ) A ．a ∶b ＝c 2∶d 2B ．a ∶d ＝c ∶bC ．a ∶b ＝(a ＋c)∶(b ＋d)D ．a ∶b ＝(a －d)∶(b －d)12．(牡丹江中考)若2a ＝3b ＝4c ，且abc ≠0，则a ＋b c －2b的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－313．若x 2＝y 7＝z 5，设A ＝y x ＋y ＋z，B ＝x ＋z y ，C ＝x ＋y －z x ，则A ，B ，C 的大小顺序为( ) A ．A>B>C B ．A<B<CC ．C>A>BD ．A<C<B14．已知a ＋b ＋c ≠0，且a ＋b c ＝b ＋c a ＝c ＋a b＝p ，则直线y ＝px ＋p 不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限15．若a ＋b c ＝b ＋c a ＝c ＋a b＝k ，则k 的值为( ) A ．2 B ．－1C ．2或－1D ．不存在16．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，且a ＋b ＋c ＝36，a 3＝b 4＝c 5，求△ABC 三边的长．17．阅读下列解题过程，然后解题： 题目：已知x a －b ＝y b －c ＝z c －a(a 、b 、c 互不相等)，求x ＋y ＋z 的值． 解：设x a －b ＝y b －c ＝z c －a＝k ，则 x ＝k(a －b)，y ＝k(b －c)，z ＝k(c －a)，∴x ＋y ＋z ＝k(a －b ＋b －c ＋c －a)＝k ×0＝0.∴x ＋y ＋z ＝0.依照上述方法解答下列问题：a ，b ，c 为非零实数，且a ＋b ＋c ≠0，当a ＋b －c c ＝a －b ＋c b ＝－a ＋b ＋c a 时，求（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）abc的值．18．我们知道：若a b ＝c d ，且b ＋d ≠0，那么a b ＝c d ＝a ＋c b ＋d. (1)若b ＋d ＝0，则a 、c 满足什么关系？(2)若b ＋c a ＝a ＋c b ＝a ＋b c＝t ，求t 2－t －2的值．综合题19．已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且(a －c)∶(a ＋b)∶(c －b)＝－2∶7∶1，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形参考答案1．D 2.B 3.D 4.A 5.D 6.13 7.设x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ，则(1)x ＋2y y ＝2k ＋6k 3k ＝83.(2)3x 2x ＋3y －5z ＝－67. 8.设x 2＝y 3＝z 5＝k ，则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝5k ，∴6k ＋6k －5k ＝14.解得k ＝2.∴x ＝4，y ＝6，z ＝10. 9.3 10.因为A′B′＋B′C′＋A′C′≠0，根据等比性质，得AB ＋BC ＋AC A′B′＋B′C′＋A′C′＝23，即C △ABC 80＝23.∴C △ABC ＝1603 cm. 11.C 12.B 13.B 14.D 15.C 16.∵a 3＝b 4＝c 5，∴a ＋b ＋c 3＋4＋5＝a ＋b ＋c 12＝3612＝3.∴a ＝9，b ＝12，c ＝15. 17.设a ＋b －c c ＝a －b ＋c b ＝－a ＋b ＋c a ＝k ，则a ＋b －c ＝kc ，① a －b ＋c ＝kb ，② －a ＋b ＋c ＝ka ，③ 由①＋②＋③，得a ＋b ＋c ＝k(a ＋b ＋c)．∵a ＋b ＋c ≠0，∴k ＝1.∴a ＋b ＝2c ，b ＋c ＝2a ，c ＋a ＝2b.∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）abc ＝2c ×2a ×2b abc ＝8. 18.(1)∵a b ＝c d ，b ＋d ＝0，∴a ＋c ＝0.(2)①当a ＋b ＋c ≠0时，b ＋c a ＝a ＋c b ＝a ＋b c ＝t ＝2（a ＋b ＋c ）a ＋b ＋c＝2，∴t 2－t －2＝22－2－2＝0.②当a ＋b ＋c ＝0时，b ＋c ＝－a ，a ＋c ＝－b ，a ＋b ＝－c ，∴b ＋c a ＝a ＋c b ＝a ＋b c＝t ＝－1.∴t 2－t －2＝(－1)2－(－1)－2＝0.综上所述，t 2－t －2的值为0. 19.C。
合比等比性质及习题
比例的等比性质:【基础练习2] 1、把mn 二pq 写成比例式写错的是（ 宀上 B.3q n m q若x + y 巾弋=3,则方+ d+? = LZT~ + z a+2 b c+5 8、若—^― = - = 一&—.且 2a-b+3c=21.则 a ： b ： c.=10、若z±£ = £±£ = £±2,求亠的值。
x y z y+z平行线分线段成比例 知识梳理h ・平行纯分线段成比例定理如下图，如果,则空=乞，兰=竺，兰:=兰 ■ AC DF AC DF DE DF2. 平行线分线段成比例定理的推论:如图，在三角形中，如果应〃BC ,则空=些=竺 AB AC BC3. 平行的判定定理：如上图,如果有兰= △£ = "£ t 那么DE||BC O AB AC BC 专题讲解专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用 比例的合比性质：如果? = £，那么b a a±b c±d 推茬:_・. a±kb c±kd ~~b d~ a±b c±d如果7 = 7b d=•••=— (〃+</+•••+/&()) ne » a + c + — -+- m '那厶乃+〃 +…+川 2.女I 」果2乂 = 5 jy 月|3么 —=3若丄=3求丄二上的值。
（你会的方法越多越好啊！快来试一试！） 7.> 2 -2 +方 贝一一乙 9 4€ - _一_一V-- 2歹一鈿X - 昌若 a + c + e b + cl+ f a — c + 2e b — d + 2f y. + 则【例4】（2011年河北省中考试题）如图，在AABC 中，D 为边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点、O.当些=丄时，求 AC 2当 兰=1丄时， AC 3 4 试猜想兰二丄 (1) (2) (3) 竺的值； AD求竺的值；AD时竺的值，并证明你的猜想.AC n +1 AD （2013年湖北恩施中考题）如图，AD 是AABC 的中线，点E 在AD 上，F AF 1 【例5】是BE 延长线与AC 的交点・（1）如果E 是AD 的中点，求证: FC 2二 軽资料推卷======【例1】如图，DE//BC,且沏= AE,若AB = 5, AC = 10,求AE 的长。
第2课时 等比性质
第2课时 等比性质基础题知识点1 等比性质1．已知a b ＝c d ＝e f＝4，且a ＋c ＋e ＝8，则b ＋d ＋f 等于( ) A ．4 B ．8 C ．32 D ．22．已知a 2＝b 3＝c 4≠0，则a －b c的值为( ) A.14 B ．－14 C ．2 D.123．已知c a ＋b ＝b a ＋c ＝a b ＋c＝k(a ＋b ＋c ≠0)，则k ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D.124．若a 2＝b 3＝c 4，且a ＋b －c ＝1，则a －b ＋c 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．65．已知x 4＝y 5＝z 7，则下列等式成立的是( ) A.x －y x ＋y ＝19B.x ＋y ＋z z ＝716C.x ＋y ＋z x ＋y －z ＝83D ．y ＋z ＝3x 6．若a b ＝c d ＝e f ＝13，则a －2c ＋3e b －2d ＋3f＝________． 7．已知：x ∶y ∶z ＝2∶3∶4.求：(1)x ＋2y y；(2)3x 2x ＋3y －5z.8．若x 2＝y 3＝z 5，且3x ＋2y －z ＝14，求x ，y ，z 的值．知识点2 等比性质的简单应用9．(兰州中考)如果a b ＝c d ＝e f＝k(b ＋d ＋f ≠0)，且a ＋c ＋e ＝3(b ＋d ＋f)，那么k ＝________． AB BC AC 2中档题11．已知a b ＝c d ，则下列式子中正确的是( )A ．a ∶b ＝c 2∶d 2B ．a ∶d ＝c ∶bC ．a ∶b ＝(a ＋c)∶(b ＋d)D ．a ∶b ＝(a －d)∶(b －d)12．(牡丹江中考)若2a ＝3b ＝4c ，且abc ≠0，则a ＋bc －2b 的值是( )A ．2B ．－2C ．3D ．－313．若x 2＝y 7＝z 5，设A ＝y x ＋y ＋z ，B ＝x ＋z y ，C ＝x ＋y －z x ，则A ，B ，C 的大小顺序为() A ．A>B>C B ．A<B<CC ．C>A>BD ．A<C<B14．已知a ＋b ＋c ≠0，且a ＋b c ＝b ＋c a ＝c ＋a b ＝p ，则直线y ＝px ＋p 不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限15．若a ＋b c ＝b ＋c a ＝c ＋a b ＝k ，则k 的值为( )A ．2B ．－1C ．2或－1D ．不存在16．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，且a ＋b ＋c ＝36，a 3＝b 4＝c 5，求△ABC 三边的长．17．已知a －b 2＝b －2c 3＝3c －a 4，求代数式5a ＋6b －7c4a －3b ＋9c 的值．18．阅读下列解题过程，然后解题：题目：已知x a －b ＝y b －c ＝z c －a (a 、b 、c 互不相等)，求x ＋y ＋z 的值． 解：设x a －b ＝y b －c ＝z c －a＝k ，则 x ＝k(a －b)，y ＝k(b －c)，z ＝k(c －a)，∴x ＋y ＋z ＝k(a －b ＋b －c ＋c －a)＝k·0＝0.∴x ＋y ＋z ＝0.依照上述方法解答下列问题：a ，b ，c 为非零实数，且a ＋b ＋c ≠0，当a ＋b －c c ＝a －b ＋c b ＝－a ＋b ＋c a 时，求（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）abc的值．19．我们知道：若a b ＝c d ，且b ＋d ≠0，那么a b ＝c d ＝a ＋c b ＋d. (1)若b ＋d ＝0，则a 、c 满足什么关系？(2)若b ＋c a ＝a ＋c b ＝a ＋b c＝t ，求t 2－t －2的值．综合题20．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且(a－c)∶(a＋b)∶(c－b)＝－2∶7∶1，则△ABC是( ) A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形参考答案第2课时 等比性质基础题1．D 2.B 3.D 4.A 5.D 6.13 7.设x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝4k ，则(1)x ＋2y y ＝2k ＋6k 3k ＝83.(2)3x 2x ＋3y －5z ＝－67. 8.设x 2＝y 3＝z 5＝k ，则x ＝2k ，y ＝3k ，z ＝5k ，∴6k ＋6k －5k ＝14，解得k ＝2.∴x ＝4，y ＝6，z ＝10. 9.3 10.因为A′B′＋B′C′＋A′C′≠0，根据等比性质，得AB ＋BC ＋AC A′B′＋B′C′＋A′C′＝23，即C △ABC 80＝23，∴C △ABC ＝1603 cm. 中档题11．C 12.B 13.B 14.D 15.C 16.∵a 3＝b 4＝c 5＝a ＋b ＋c 3＋4＋5＝a ＋b ＋c 12＝3612＝3，∴a ＝9，b ＝12，c ＝15. 17.设a －b 2＝b －2c 3＝3c －a 4＝t ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2t ，b －2c ＝3t ，3c －a ＝4t.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23t ，b ＝21t ，c ＝9t.∴5a ＋6b －7c 4a －3b ＋9c ＝5×23t ＋6×21t －7×9t 4×23t －3×21t ＋9×9t ＝8955. 18.设a ＋b －c c ＝a －b ＋c b ＝－a ＋b ＋c a＝k ，则a ＋b －c ＝kc ，① a －b ＋c ＝kb ，② －a ＋b ＋c ＝ka ，③ 由①＋②＋③，得 a ＋b ＋c ＝k(a ＋b ＋c)．∵a ＋b ＋c ≠0，∴k ＝1.∴a ＋b ＝2c ，b ＋c ＝2a ，c ＋a ＝2b.∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）abc ＝2c ×2a ×2b abc＝8. 19.(1)∵a b ＝c d ，b ＋d ＝0，∴a ＋c ＝0.(2)①当a ＋b ＋c ≠0时，b ＋c a ＝a ＋c b ＝a ＋b c ＝t ＝2（a ＋b ＋c ）a ＋b ＋c＝2，∴t 2－t －2＝22－2－2＝0.②当a ＋b ＋c ＝0时，b ＋c ＝－a ，a ＋c ＝－b ，a ＋b ＝－c ，∴b ＋c a ＝a ＋c b ＝a ＋b c＝t ＝－1.∴t 2－t －2＝0.综上所述，t 2－t －2的值为0.综合题20．C。
合分比性质
合分比性质定义在一个比例里，第一个比的前后项的和与它后项的比，等于第二个比的前后项的和与它的后项的比，这叫做比例中的合比定理。
字母表达若a/b=c/d,则(a+b)/b=(c+d)/d（b≠0、d≠0)证明a/b=c/da/b±1=c/d±1a/b±b/b=c/d±d/da±b/b=c±d/d定义在一个比例里，第一个比的前后项的差与它的后项的比，等于第二个比的前后项的差与它们的后项的比，这叫做比例中的分比定理。
字母表达若a/b=c/d,则(a-b)/b=(c-d)/d （b≠0、d≠0)证明a/b=c/da/b±1=c/d±1a/b±b/b=c/d±d/da±b/b=c±d/d定义一个比例里，第一个前后项之和与它们的差的比，等于第二个比的前后项的和与它们的差的比。
这叫做比例中的合分比定理。
字母表达若a/b=c/d,则(a+b)/(a-b)=(c+d)/(c-d),a≠b,c≠d（b≠0、d≠0) 证明设a/b=c/d=t，那么a=bt,c=dt将其代入得：(a+b)/(a-b)=(t+1)/(t-1)(c+d)/(c-d)=(t+1)/(t-1)因此(a+b)/(a-b)=(c+d)/(c-d)定义：是把一个比例的一个比的前项与另一个比的后项互调后,所得结果仍是比例.即a/b=c/d→a/c=b/d；a/b=c/d→d/b=c/a*等比定理若a:b=c:d（其中b.d≠0），则（a+c）:（b+d）=（a-c）:（b-d）=a:b=c: d可以推广到若a1：b1=a2：b2=……=an：bn（其中b1.b2……bn≠0），则（a1±a2±……±an）:（b1±b2±……±bn）=a:b=c:d （ai对应bi同时加或同时减，且b1±b2±……±bn≠0）即等比项数不受限制进一步推广，设有n个常数k1、k2、……kn，若a1:b1=a2:b2=……=an:bn（其中b1.b2……bn≠0），则（k1*a1+k2*a2+……+kn*an）:（k1*b1+k2*b2+……+kn*bn）=a:b=c: d (k1*b1+k2*b2+……+kn*bn≠0)ki<0时表示减，ki=0表示部分项不参与和差计算，即分子和分母可以只是部分对应项的加减举例说明：1:2=3:6，则（1+3）：（2+6）=1：2=3：61:2=3:6=4:8=5:10，则（1+3+4+5）：（2+6+8+10）=1：21:2=3:6=4:8=5:10，则（8*1-2*3+3*4+0*5）：（8*2-2*6+3*8+0*10）=1：2 （这里k1=8 ，k2=-2，k3=3，k4=0）。
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比例的合比性质：如果d c
b
a =
,那么d
d c b b a ±=
±； 比例的等比性质：
如果
d c b a ==…=n m
（b +d +…+n ≠0）,那么
b
a n d
b m
c a =++++++ΛΛ
4、若
753z
y x ==,则z y x z y x -++-=________.
5、若65
432+==+c b a ,且2a －b+3c=21. 则a ∶b ∶c.= 6、若
f e
d c b a ===2，则
=++++f d b e c a __________;=+-+-f d b e c a 22______________ 7、若
z y x y z x x z y +=+=+，求z
y x
+的值。
8、已知c b a ,,是△ABC 的三条边，对应高分别为c b a h h h ,,，且6:5:4::=c b a ，那么
c b a h h h ::等于（ ）
A 、4：5：6
B 、6：5：4
C 、15：12：10
D 、10：12：15
平行线分线段成比例定理及其推论
一. 平行线分线段成比例定理
如下图（1），如果1l ∥2l ∥3l ，则
BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB AC
DE DF
=
.
_______
,341=+=b
b a b a 、则已知______;,9172==+y x y y x 、则若____,3,2
13=++=++===f d b e c a f e d c b a 、则且已知d kd c b kb a ±=±d c c b a a ±=±l 3
l 2l 1F
E D C
B A A
B
C
D
E
E
D
C B A
图（1） 图（2）
二. 平行线分线段成比例定理的推论：如图（2），在三角形中，如果DE BC ∥，则
AD AE DE
AB AC BC
==
三. 平行的判定定理：如上图（2），如果有
BC
DE
AC AE AB AD =
=，那么DE ∥ BC 。
9、如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c
a
b
=+.
F
E D
C
B
A
10、如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和
BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：
111
AB CD EF
+=
. F
E
D
C
B
A
11、如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论.
F
E D
C
B
A
12、如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作
EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。
O
F
E
D C
B
A
13、（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14
AE AB =，
连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则
BC
CD
=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AF
FC FD
+ 的值为（ ） A.52 B.1 C.3
2
D.2
（3）
14、如上图（3），ABC ∆中，D 为BC 边的中点，延长AD 至E ，延长AB 交CE 的延长线于P 。
若2AD DE =，求证:3AP AB =
15、在ABC ∆中，底边BC 上的两点E 、F 把BC 三等分，BM 是AC 上的中 线，AE 、AF 分别交BM 于G 、H 两点，求证：::5:3:2BG GH HM =
16、已知：如图，△ABC 中，D 在AC 上，且AD ：DC ＝1：2，E 为BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F ，求证：BF ：FC ＝1：3。
证明：
(1)
M E
D C B A
(2)F E
D C A P E
D
C B
A M
H G F E C B A
A B
D E
F
C
17、如图，矩形ABCD 中，3AD =厘米，AB a =厘米（3a >）．动点M N ，同时从B 点出发，分别沿B A →，B C →运动，速度是1厘米／秒．过M 作直线垂直于AB ，分别交AN ，CD 于P Q ，．当点N 到达终点C 时，点M 也随之停止运动．设运动时间为t 秒． （1）若4a =厘米，1t =秒，则PM =______厘米；
（2）若5a =厘米，求时间t ，使PNB PAD △∽△，并求出它们的相似比；
（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等，求a 的取值范围；
（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形PMBN ，梯形PQDA ，梯形PQCN 的面积都相等？若存在，求a 的值；若不存在，请说明理由． 解：
N。