2015第十四届小机灵四年级初赛试题

第十四届“小机灵杯”数学竞赛
初赛解析（四年级组）
时间：60分钟 总分：120分
（第1题~第5题，每题6分.）
1.我们规定a b a a b b =⨯-⨯★，那么3243542019++++=★★★★ . 【答案】396
【考点】定义新运算 【分析】
原式()()()()33224433554420201919=⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+
+⨯-⨯
33224433554420201919=⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯++⨯-⨯
202022=⨯-⨯ 4004=- 396=
2.将一个等边三角形的三个角分别剪去，剩余部分是一个正六边形，剩余部分的面积是原来等边三角形面积的 .(得数用分数表示)
【答案】2
3
【考点】图形分割 【分析】
如图所示，将剩余部分分割可得，剩余部分的面积是原来等边三角形面积的69，即2
3
.
3.小明去超市买牛奶.若买每盒6元的鲜奶，所带的钱正好用完；若买每盒9元的酸奶，钱也正好用完，但比鲜奶少买6盒.小明共带了 元. 【答案】108元
【考点】列方程解应用题 【分析】
设小明能买酸奶x 盒，则能买鲜奶()6x +盒； 由题意可列得方程：()669x x +=，解得12x =； 所以小明共带了912108⨯=元.
4.用一根长1米的铁丝围成长和宽都是整数厘米的长方形，共有 种不同的围法.其中长方形面积的最大值是 平方厘米. 【答案】25种，625平方厘米 【考点】长方形的周长，最值问题 【分析】
1米100=厘米，即为长方形的周长,
因此长方形的长+宽100250=÷=厘米；
不同围法有：504914824732525=+=+=+==+，共25种；
由于长与宽的和一定，当它们的差越小时，它们的乘积也就是长方形的面积越大， 因此长方形面积的最大值是2525625⨯=平方厘米.
5.用同样大小的正方形瓷砖铺正方形的地面，周围用白瓷砖，中间用黑瓷砖（如图1和图2的铺法）.当正方形地面周围铺了80块白瓷砖是，黑瓷砖需要 块.
【答案】361块 【考点】方阵问题 【分析】
铺有80块白瓷砖的正方形地面上内部的黑瓷砖每行有()804419-÷=块；
因此黑瓷砖需要1919361⨯=块.
（第6题~第10题，每题8分.）
6.在下列每个22⨯的方格中，4个数的排列存在着某种规律.根据这样的排列规律，可知 =◆ .
【答案】5=◆
【考点】找规律填数 【分析】
观察发现：在表1中：()29163⨯=⨯⨯；在表2中：()38423⨯=⨯⨯；在表3中：()68443⨯=⨯⨯；
所以在表4中，应该有()5623⨯=⨯⨯◆，求得5=◆.
图2
图1
◆6
2584
468
2
439
6
12
7.学生们手中有1、2、3三种数字卡片，每种数卡都有很多张.老师请每位学生取出两张或三张数卡排成一个两位数或三位数，如果其中至少有三名学生排出的数是完全相同的，那么这些学生至少有 人. 【答案】73人 【考点】抽屉原理 【分析】
学生可能排成的不同两位数有339⨯=个，可能排成的不同三位数有33327⨯⨯=个， 因此学生可能排成的不同的数一共有92736+=个；
如果要保证其中至少有三名学生排出的数完全相同，那么这些学生至少有236173⨯+=人.
8.已知2014+迎2015=+新2016=+年，且迎⨯新⨯年504=，那么迎⨯新+新⨯年
=.
【答案】128
【考点】分解质因数 【分析】
根据2014+迎2015=+新2016=+年可知：迎=新1+=年2+；
由32504237=⨯⨯可得，只有504987=⨯⨯满足条件，即迎9=，新8=，年7=； 迎⨯新+新⨯年98877256128=⨯+⨯=+=.
9.一个正方体的六个面上各自写着一些数，相对面上的两个数的和等于50.如果我们将右图的正方体先从左往右翻转97次，再从前往后翻转98次，这时这个正方体底面的数是，
前面的数是 ，右面的数是 .（翻转一次表示翻转一个面）
【答案】底面的数是37，前面的数是35，右面的数是11 【考点】周期问题 【分析】 根据题意，初始时左面的数是501337-=，后面的数是501535-=，底面的数是501139-=； 对于一个正方体来说如果连续朝同一个方向翻转4次就会回到初始方向；
由于97424
1÷=，984242÷=， 所以原题中的操作可以简化为先从左往右翻转1次，再从前往后翻转2次； 先从左往右翻转1次后，正方体的六个面分别为：
左面的数39，右面的数11，前面的数15，后面的数35，顶面的数37，底面的数13； 再从前往后翻转2次后，正方体的六个面分别为：
左面的数39，右面的数11，前面的数35，后面的数15，顶面的数13，底面的数37； 所以按要求操作后，这个正方体底面的数是37，前面的数是35，右面的数是11.
10.学校用一笔钱来买球，如果只买排球正好能买15个，如果只买篮球正好能买12个.现在用这些钱买来排球与篮球共14只，买来的排球与篮球相差 只. 【答案】6只
【考点】鸡兔同笼 【分析】
由于[]15,1260=，因此可以假设这笔钱是60，
那么一只排球的价格是60154÷=，一只篮球的价格是60125÷=；
现在用这些钱买来的14只球中篮球有()()60414544-⨯÷-=只，排球有14410-=只， 所以买来的排球与篮球相差1046-=只.
（第11题~第15题，每题10分.）
11.小明骑车，小明爸爸步行，他们分别从A 、B 两地相向而行，相遇后小明又经过了18分钟到达了B 地.已知小明骑车的速度是爸爸步行速度的4倍，小明爸爸从相遇地点步行到A 地还需要 分钟. 【答案】288分钟 【考点】行程问题 【分析】
如图所示，当小明与爸爸相遇时，由于小明的速度是爸爸的4倍且二人运动时间相同， 因此小明的路程应该是爸爸的4倍（图中的4S 与S ）；
而相遇后小明又经过18分钟前进了S 的路程才到达了B 地；
因为小明的速度是爸爸的4倍，所以爸爸步行S 的路程需要18472⨯=分钟； 又因为爸爸从相遇地点步行到A 地还需要再走4S 的路程， 所以小明爸爸从相遇地点步行到A 地还需要724288⨯=分钟.
12.如图所示，两个正方形的周长相差12厘米，面积相差69平方厘米，大、小两个正方形
平方厘米， 平方厘米.
小明爸爸
【答案】169平方厘米，100平方厘米
【考点】正方形的周长与面积，平方差公式 【分析】
设大正方形的边长是a 厘米，小正方形的边长是b 厘米，由题意得： 22
441269a b a b -=⎧⎨-=⎩
，整理得()()369a b a b a b -=⎧⎪
⎨+-=⎪⎩，即为323a b a b -=⎧⎨+=⎩； 解得13
10
a b =⎧⎨=⎩ ，所以大正方形面积是213169=平方厘米，小正方形面积是210100=平方厘米.
13.甲、乙两人用同样多的钱去买同一种糖果，甲买的是铁盒装的，乙买的是纸盒装的.两人都尽可能多地购买，结果甲比乙少买了4盒且余下6元，而乙用完了所带的钱.如果甲用元原来3倍的钱去购买铁盒装的糖果，就会比乙多买31盒，而且仍余下6元.那么铁盒装的糖果售价为每盒 元，纸盒装的糖果售价为每盒 元. 【答案】12元，10元
【考点】约数与倍数，列方程解应用题 【分析】
甲用原有的钱去买铁盒余下6元，那么用3倍的钱去买铁盒理论上应余下6318⨯=元， 然而仍余下6元，说明18612-=元刚好又可买若干个铁盒，即铁盒的单价应为12的约数； 有根据余下6元可知铁盒的单价必定大于6元，所以铁盒的单价只能是每盒12元； 设乙买了x 盒纸盒，由甲两次所用的钱数关系可列得方程: ()()3124612316x x -+=++⎡⎤⎣⎦，解得21x =；
所以两人原有的钱数为()122146210⨯-+=元，纸盒的单价是每盒2102110÷=元.
14.如下图所示，将一个由3个小正方形组成的L 形放入右边的格子中，共有 种放法.（L 形可旋转）
【答案】48种
【考点】对应法计数 【分析】
首先，右图中共有9个
，每个田字格中L 形有4种放法，分别为：
，共4936⨯=种；
其次，还有一些L 形不包含于图中的某个田字格，例如下图中的L 形1号：
观察发现这些L 形分别对应了图中方格外部的一个凹拐角，
而这样的凹拐角共有12个（如图所示）,因此不包含于图中的某个田字格的L 形也有12种； 综上所述，图中的L 形共有361248+=种放法.
15.一棵生命力极强的树苗，第一周在树干上长出2条树枝（如图1），第二周在原先长出的每条树枝上又长出2条新的树枝（如图2），第三周又在第二周新长出的每条树枝上再长出2条新枝（如图3
）这棵树苗按此规律生长，到第十周新的树枝长出来后，共有
条树枝.
【答案】2046条
【考点】等比数列求和 【分析】
第一周树上新长出12⨯条树枝，共有
2条树枝；
第二周树上新长出2
222⨯=条树枝，共有222+条树枝；
第三周树上新长出23222⨯=条树枝，共有23222++条树枝； 依次类推
第十周树上新长出102条树枝，共有23102222++++条树枝； 因为2310112222222046++++=-=，
所以第十周新的树枝长出来后共有2046条树枝.
图3
图2图1。