理论力学-平面力系
理论力学 第三章 平面力系
FBl cos M 0
得
M 20 k N m FB 4.62 kN l cos 5 m cos 30
FA FB 4.62kN
故
目录
第三章 平面力系\力的平移定理
3.3 力的平移定理
作用于刚体上的力，可平行移动到刚体内任一指定点，但必须 在该力与指定点所决定的平面内同时附加一力偶，此附加力偶的矩 等于原力对指定点之矩。 平面一般力系向一点简化的理论基础是力的平移定理。
设平面汇交力系F1、F2、…、Fn中各力在x、y轴上的投影分 别为Xi、Yi，合力FR在x、y轴上的投影分别为XR、YR，利用公式
F Fx Fy Xi Yj
分别计算式FR=F1+F2+…+Fn=ΣF 等号的左边和右边，可得 FR = XR i+YR j 以及 F1+F2+…+Fn=(X1i+Y1j)+（X2i+Y2j）+…+（Xni+Ynj） =（X1+X2+…+Xn）i+（Y1+Y2+…+Yn）j 比较后得到 X R X1 X 2 X n X YR Y1 Y2 Yn Y 目录
返回
第三章 平面力系
如图(a)所示水坝，通常取单位长度坝段进行受力分析，并将坝 段所受的力简化为作用于坝段中央平面内的一个平面力系［图(b)］。
返回
第三章 平面力系
第三章 平面力系
3.1 平面汇交力系的合成与平衡 3.2 平面力偶系的合成与平衡 3.3 力的平移定理 3.4 平面一般力系向一点简化 3.5 平面一般力系的平衡方程及其应用
第三章 平面力系\平面力偶系的合成与平衡
理论力学平面力系的简化和平衡
原力偶系的合力偶矩
n
M Mi i 1
只受平面力偶系作用的刚体平衡充要条件：
n
M Mi 0 i 1
对BC物块对B点取矩，以逆时针为正列方程应为：
M 2 M B (FC ) M FCY a FCx b M FC (b a) cos45 0
[例] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径 的孔,每个钻头的力偶矩为 m1m2 m3 m4 15Nm 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
两轴不平行即 条件：x 轴不 AB
可，矩心任意
连线
mA (Fi ) 0 mB (Fi ) 0 mC (Fi ) 0
③三矩式 条件：A,B,C不在
同一直线上
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
4. 平面一般力系的简化结果分析
简化结果： 主矢R ，主矩 MO ，下面分别讨论。 ① R =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ② R =0,MO≠0 即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚
解除约束，可把支反
力直接画在整体结构
的原图上）
解除约束
由
mA (Fi
)
0
P2a N B
3a0,
N B
2P 3
X 0 XA 0
Y 0 YB NB P0,
YA
P 3
2.5物体系统的平衡、静定与超静定问题
1、物体系统的平衡问题 物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫∼。 [例]
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
N2个物体受平面汇交力系（或平面平行力系）
X 0 Y 0
2*n2个独立平衡方程
N3个物体受平 X 0 面任意力系 Y 0
理论力学-平面汇交力系
F4
§2-1 平面汇交力系 3.3 平面汇交力的平衡条件与平衡方程
平面汇交力系平衡的充要条件是：该力系的合力等于零。
FR
F F
2 xi yi
2
0
平衡方程：
Fxi 0 Fyi 0 F F
x y
或：
0 0
根据作用力与反作用力原理，有: FBA 7.321kN (压)
B
F FBC T2
x
FBC 27.32kN (压)
§2-1 平面汇交力系
A D 600 B
【说明：设拉原则】
FBA FT1
30o
y
B
60o
300
F FBC T2
P
BA T1 T2
x
C
y
30o
60o
Fx 0, F F cos30 F sin30 0 FT1 sin30 FT2 cos30 0 F 0, FBC
§2-1 平面汇交力系
作 业
习, Fy 0,
FA cos FC cos 45 0
FA
A
E
FA sin FC sin 45 F 0
C
F
45o
B x
5. 解得： FA =22.4kN FC =28.3kN
FC
§2-1 平面汇交力系
解题技巧及说明
1、通常，对于只受三个力作用而平衡的物体，且角 度特殊时用几何法比较简便。- 解力三角形 2、对于受多个力作用平衡的物体，均用解析法。 3、投影轴的选择原则：与未知力垂直或平行，最好 使每个方程中只有一个未知数。 4、解析法解题时，如果力的指向不能确定，可任意 假定，如求出负值，说明力的实际方向与假设方 向相反。 如：对于二力构件，可先预先设为拉力。
理论力学5平面任意力系
P
1m
q
C
2m
A
2m
B
43
P
1m
q
C
XA
2m
A
YA
2m
XB
B
YB
解: ( 1 ) 取整体为研究对象，画受力图.
44
P
1m
q
C
XA
2m
A
2m
XB
B
YA
MA( F ) = 0
YB
- 4 × 3 × 1.5 - 20 × 3 + 4 YB = 0
YB = 19.5 kN
45
P
1m
q
C
XA
2m
2m
A
FR 0, M O (F ) 0
（一）基本平衡方程
Fx = 0 Fy = 0 Mo ( F ) = 0
（一力矩式）
能解 3 个未知量
16
（二）平面任意力系平衡方程旳其他形式
（1） 二力矩式
MA ( Fi ) = 0 MB ( Fi ) = 0 Fx = 0
投影轴 x 不能与矩心 A 和 B 旳连线垂直.
a
G3 A
C
e G1 L G2
B
NA
b
NB
1、满载时，当重物距离右轨最远时，易右翻。 当起重机平衡 m B( F ) = 0 - G1 ·e - G2 ·L - NA ·b+ G3 ·（a+ b） = 0
NA = [ - G1 ·e - G2 ·L + G3 ·（ a+ b）] / b
33
a
G3 A
XA = 14.14 kN
Fy = 0
YA
理论力学第2章平面任意力系
空载时轨道A 、 B的约束反力，并问此起重机在使用过程中有无翻
倒的危险。
解：
（1）起重机受力图如图
（2）列平衡方程 ：
MA 0:
Q
Q(6 2) RB 4 W 2 P(12 2) 0
MB 0:
Q(6 2) W 2 P(12 2) RA 4 0
6m
解方程得:
W
P
12m
RA 170 2.5P
FR' Fi Fxi Fy j
MO MO (Fi )
3. 平面任意力系的简化结果
（1）FR´= 0，Mo ≠ 0, （2）FR´ ≠ 0，Mo = 0, （3）FR´≠ 0，Mo ≠ 0, （4）FR´= 0，Mo = 0,
合力偶，合力偶矩，MO MO (Fi )
合力，合力作用线通过简化中心O。
3
F2
j
F3
x
(437.6)2 (161.6)2
F1
1 1
100
Oi
1 2
466.5N
200
MO 21.44N m
y
合力及其与原点O的距离如图(c) 。 MO
x
y
d
x
O
FR FR′ 466.5N FR´
FR
O
d MO 45.96mm
(b)
(c)
FR
10
例11 水平梁AB受按三角形分布的载荷作用，如图示。载荷的
M
l
l
30
B
D
° F
3l
P
q
A
21
解：T字形刚架ABD的受力如图所示。
M
l
l
Fx 0
30
B
FAx 1 • q • 3a Fcos30 0
理论力学.平面特殊力系
R = ∑F = 0
或
力多边形自行封闭 力系中各力的矢量和等于零
F1
F3 F2 FR
Fn
Fi
例题
其大小等于20kN 20kN， 水平梁AB 中点C 作用着力P，其大小等于20kN，方向与
梁的轴线成60 支承情况如图(a)所示， (a)所示 梁的轴线成60º角，支承情况如图(a)所示，试求固定铰链支座A 的反力。梁的自重不计。 和活动铰链支座B 的反力。梁的自重不计。
y
600
∑Y= 0
x B
C D
150 300
B
0
A
E
TBC 15 15 30 TBD
0
0
TBD=G E
FAB G
[例] 已知 P=2kN 例 解：①研究AB杆 ②画出受力图 ③列平衡方程
求SCD , RA
∑ X =0
RA⋅cosϕ − SCD⋅cos450 =0
ϕ
∑Y =0 − P− RA ⋅sinϕ + SCD ⋅sin450 =0
P B RA A
θ
y
C x 2m D 4m RD
P +RA cosθ = 0 θ
RA = - 22.36 kN
负号说明它的实际方向 和假设的方向相反。 和假设的方向相反。
∑ Y= 0
RA sinθ +RD = 0 θ RD =10 kN
tgθ = 0.5 cosθ = 0.89 sinθ = 0.447
(a)
(b)
图示是汽车制动机构的一部分。 例题 图示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力 P=212N，方向与水平面成α=45°角。当平衡时，BC水平，AD铅 =212N， =45° 当平衡时， 水平， 试求拉杆所受的力。 =24cm， =6cm( 直，试求拉杆所受的力。已知EA=24cm，DE=6cm(点E在铅直线 DA上)，又B、C、D都是光滑铰链，机构的自重不计。 都是光滑铰链，机构的自重不计 自重不计。
理论力学第4章-平面任意力系
FAx
FAy MA
解：（1）取悬臂刚架为研究对象，受力图。
（2）列平衡方程
Fx 0
FAx F 0
Fy 0
FAy 3q 0
解之得
MA(F) 0
M A F 4 3q 1.5 0
FAx 5kN FAy 6kN M A 11 kN m（与假设相反）
4.5.2 平面平行力系的平衡方程 作用线分布在同一平面内且相互平行的力系，称为平 面平行力系。
MO (F ) 2 OAB面积
（1）当力F通过矩心O时，力对该矩心的力矩为零。 （2）当力F沿作用线移动时，不改变该力对任一点的矩。
力对点之矩的解析式：
MO (F ) Fd Fr sin( ) Fr sin cos Fr cos sin
Fr cos Fx
r cos x
Fr sin Fy
合力矢 作用线的方程。
MO FRx
O
38.66
F Ry
F R
（x, y） FRx
400 x + 500 y = 2726.7
O
FRy
FR
4.5 平面任意力系、平面平行力系平衡方程 4.5.1 平面任意力系的平衡方程 平面任意力系平衡的必要与充分条件为：力系的
主矢以及对作用面内任一点的主矩都等于零，即
r sin y
MO (F ) xFy yFx （4-4）
y
Fy
F
y
r O d
A Fx
x
x
4.2 力线平移定理
力线平移定理： 作用在刚体上A点的力F可以平行 移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，此附加力 偶的矩等于原来的力F对B点的矩。
[证] 力 F
力系 F, F1, F1' 力F1 力偶（F, F1'）
理论力学-平面力系
第二章平面力系一、是非题1．一个力在任意轴上投影的大小一定小于或等于该力的模，而沿该轴的分力的大小则可能大于该力的模。
（）2．力矩与力偶矩的单位相同，常用的单位为牛·米，千牛·米等。
（）3．只要两个力大小相等、方向相反，该两力就组成一力偶。
（）4．同一个平面内的两个力偶，只要它们的力偶矩相等，这两个力偶就一定等效。
（）5．只要平面力偶的力偶矩保持不变，可将力偶的力和臂作相应的改变，而不影响其对刚体的效应。
（）6．作用在刚体上的一个力，可以从原来的作用位置平行移动到该刚体内任意指定点，但必须附加一个力偶，附加力偶的矩等于原力对指定点的矩。
（）7．某一平面力系，如其力多边形不封闭，则该力系一定有合力，合力作用线与简化中心的位置无关。
（）8．平面任意力系，只要主矢≠0，最后必可简化为一合力。
（）9．平面力系向某点简化之主矢为零，主矩不为零。
则此力系可合成为一个合力偶，且此力系向任一点简化之主矩与简化中心的位置无关。
（）10．若平面力系对一点的主矩为零，则此力系不可能合成为一个合力。
（）11．当平面力系的主矢为零时，其主矩一定与简化中心的位置无关。
（）12．在平面任意力系中，若其力多边形自行闭合，则力系平衡。
（）二、选择题1．将大小为100N的力F沿x、y方向分解，若F在x轴上的投影为86.6N，而沿x方向的分力的大小为115.47N，则F在y轴上的投影为。
①0；②50N；③70.7N；④86.6N；⑤100N。
2．已知力的大小为=100N，若将沿图示x、y方向分解，则x向分力的大小为N，y向分力的大小为N。
①86.6；②70.0；③136.6；④25.9；⑤96.6；3．已知杆AB长2m，C是其中点。
分别受图示四个力系作用，则和是等效力系。
①图（a）所示的力系；②图（b）所示的力系；③图（c）所示的力系；④图（d）所示的力系。
4．某平面任意力系向O点简化，得到如图所示的一个力R 和一个力偶矩为Mo的力偶，则该力系的最后合成结果为。
理论力学平面任意力系
解: 取齿轮I及重物C ,画受力图.
M B 0 Pr F R 0 F 10 P1
由 Fr taan 200 3.64 P1
t
X 0 FBx Fr 0 FBx 3,64P1
Y 0 FBy P P2 F 0 FBy 32P1
[例1]
静定（未知数三个）
静不定（未知数四个）
[例2]
物体系统（物系）： ——由若干个物体经过 约束所构成旳系统。
超静定拱
[P62 思索题 3-10]
超静定梁
超静定桁架
3-3 物体系旳平衡•静定与超静定问题
二、物体系统旳平衡问题
外力：外界物体作用于系统上旳力。 内力：系统内部各物体之间旳相互作用力。
R
主矢
FR 0 FR 0
主矩
MO 0
MO 0 MO 0
MO 0
最终成果
阐明
合力 合力作用线过简化中心
合力 合力偶
合力作用线距简化中心M O FR
与简化中心旳位置无关
平衡
与简化中心旳位置无关
3-2 平面任意力系旳平衡条件与平衡方程
一、平面任意力系平衡旳充要条件为：
力系旳主矢
FR
'和对于任一点旳主矩
独立方程旳数目
平面力偶系
mi 0
1
平面平行力系 Y 0, mo (F ) 0
2
平面汇交力系
X 0
2
Y 0
平面任意力系
X 0
Y
0
3
mO (F i ) 0
3-3 物体系旳平衡•静定与超静定问题
独立方程数目≥未知数数目时，是静定问题 （可求解） 独立方程数目<未知数数目时，是超静定问题（静不定问题）
第二章 理论力学平面力系
特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。
2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或 特殊，都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中 只有一个未知数。
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。
5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出
负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，
力系分为：平面力系、空间力系 ①平面汇交力系 平面力系 ②平面平行力系(平面力偶系是其中的特殊情况 ) ③平面一般力系(平面任意力系) 平面汇交力系： 各力的作用线都在同一平面内且 汇交于一点的力系。 研究方法：几何法，解析法。
例：起重机的挂钩。
2.1 平面汇交力系的合成与平衡
2.1.1 平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件 1、几何法
Y X
87.46 8.852, 83.55O 9.88
由于FRx为负，FRY为正，故 在第二象限，合力 FR的作用线通过汇交点O，如图2.12
【例2.5】
如图2.1 3所示为建筑工地使用的 井架把杆装置，杆AB的一端铰接在井架上， 另一端用钢索BC与井架连接。重物通过卷扬 机由绕过滑轮BC的钢索起吊。已知重物 Fw=2kN，把杆重量、滑轮的重量及滑轮的大 小不计，滑轮的轴承是光滑的。试求钢索BC 的拉力和把杆AB所受的力。
由图2.14(b)可知 DB CB cot l cot 30 0 tan 0.866 AB 2l 2l 40.90 将 40.90 代入方程并求解得 FA 13.2 KN FB 8.66 KN
解题技巧及说明： 1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度
2、主矢和主矩
主矢：力系各力的矢量和，即 主矩：力系中各力对于任选简化中心O之矩的矢量和，即
理论力学 第二章 平面力系的等效简化
y
MO R'
Ox
简化结果：主矢 R ，主矩 MO 。
1. R' 0 , MO 0
2 . R' 0 , MO 0
3 . R' 0 , MO 0
4 . R' 0 , MO 0 力系平衡。
1. R' 0 , MO 0
F1 F2
AB
I
Fi
y
MO Ox
1. R ' = 0,MO≠0 简化结果
系，否则为空间平行力系。
6
五、 任意力系（一般力系） 若力系中各力的作用线既不汇交于一点，又不全部相互
平行，则该力系称为任意力系。 如各力作用线还位于同一平面内，则称为平面任意力系，
简称平面力系；否则称为空间任意力系，简称空间力系。
空 间 力 系
7
平面力系 P26.图2.6
8Байду номын сангаас
§2.２ 力的平移定理
这种合成方法叫力系向O点简化，O称为简化中心。
17
y
MO
AB
R'
主矢： R' F 'i
OI x
大小：R' R'x2 R'y2 ( Fx)2 ( Fy)2
主矢 R
方向：
arccosRx R
arccos Fx F
与简化中心位置无关.
主矩MO
大小：MO mO (Fi )
方向：方向规定
+,
为一合力偶,MO=M 与简化中心 O 无关。
20
2 R' 0 , MO 0
F1 F2
AB
I
Fi
y
R'
Ox
平面力系—平面汇交力系(理论力学)
y x
④解平衡方程
FAC P
代入下式解得：
解析法求解平面共点力系平衡问题的一般步骤:
1. 选分离体，画受力图（分离体选取应最好含题设的已知 条件）。
2. 在力系平面内选坐标系。 3. 将各力向二坐标轴投影，并应用平衡方程求解。
∑Fx=0，∑Fy=0
FR= Fx2+ Fy2=( Fx)2+( Fy)2 合力F的方向余弦
y
A Fx
Fy Fy
F B
θ
x
O
Fx
COS Fx Fix ,COS Fy Fiy
FR
FR
FR
FR
四、平面汇交力系平衡的解析条件
平面共点力系平衡的充要解析条件是： 力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上的投影的代数和分 别等于零。 平面共点力系的平衡方程：
例2-1 已知：P=10kN, BC=AC=2m，AC与BC相互垂直。求：在P 的作用下AC、BC所受力的大小。
B
解： ①选铰链C为研究对象
C AP
②取分离体画受力图
由于BC杆与AC杆是二力杆,这时FBC与 FAC和外力P构成一平面汇交力系且平衡。 由平衡的几何条件—力多边形封闭，得
FBC
P FAC
用矢量式表示为：
FR F1 F2 F3 Fn Fi
二、平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该 力系的合力等于零。
用矢量式表示，即：
Fi 0
在平衡的情形下，力多边形中最后一力的终点与第一力 的起点重合，此时的力多边形称为封闭的力多边形。
于是，平面汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系 的力多边形自行封闭，这是平衡的几何条件。
一、力在坐标轴上的投影
理论力学4 平面一般力系
力F ′+ 力偶（ F ， F ′′）
3
说明： 说明 力线平移定理揭示了力与力偶的关系： ①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力 （例断丝锥） 例断丝锥）
力+力偶 力偶
有关， ②力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有关，m=F•d 力平移的条件是附加一个力偶 ， 与 有关 ③力线平移定理是力系简化的理论基础。 力线平移定理是力系简化的理论基础。
Fx = 0, FAx − FT cos 30 0 = 0 ∑
Fy = 0, FAy + FT sin300 − P −Q = 0 ∑
1 ∑ M A = 0, FT 2 ⋅ 6a − P ⋅ 3a − Q ⋅ 4a = 0 F T = 17 . 33 kN 解得： F Ax = 15 . 01 kN 解得： F 22 Ay = 5 . 33 kN
a a 两力作用线过x1 = 和x2 = 3 2
17
§3-4
平面一般力系的平衡条件与平衡方程
一 平面任意力系的平衡方程 平面任意力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
r ′ 即 FR = 0
Mo = 0
FR′ = (∑ Fx )2 + (∑ Fy )2
MO = ∑MO (Fi )
∑ F = 0, F = 0 ∑ Fy = 0, FAy + FBy − P − q ⋅ 2a = 0
9
固定端（插入端） 固定端（插入端）约束 说明 ① 认为Fi这群力在同一平面内; 雨搭 ② 将Fi向A点简化得一力和一力偶; ③ FA方向不定可用正交分力FAX, FAY 表示; ④ FAX, FAY, MA为固定端约束反力;
FR FYA FXA
理论力学-平面任意力系
平面任意力系可能由 多个力的叠加构成， 具有较高的复杂性。
平面任意力系的特点
多方向性
平面任意力系可以有从不同方向作用的力。
多点作用性
平面任意力系可以有多个作用点。
力的大小不同
平面任意力系中的力可以有不同的大小。
力的叠加
平面任意力系可能由多个力的叠加构成。
平面任意力系的合力和力矩求解方法
1
合力求解方法
Hale Waihona Puke 理论力学-平面任意力系通过本讲，你将深入了解平面任意力系的定义、特点、合力和力矩求解方法、 平衡条件、实际应用，以及解题步骤。准备好开始你的力学之旅吧！
平面任意力系的定义
1 什么是平面任意
力系？
平面任意力系是指位 于同一平面内的多个 力的集合。
2 力的方向和作用点 3 任意力系的复杂性
力可以有不同的方向 和不同的作用点，但 都在同一平面内。
将所有力按照矢量法则相加，求
力矩求解方法
2
得合力的大小和方向。
通过力矩定理，求得平面任意力
系的力矩。
3
力矩的方向
力矩的方向垂直于力的平面。
平面任意力系的平衡条件
力的平衡
合力为零，即所有力合成为零。
力矩的平衡
力矩的合力为零。
平面任意力系的实际应用
1 桥梁结构分析
分析桥梁结构的受力 情况。
2 机械设计
设计和优化机械系统 中的力的分布。
3 建筑结构设计
分析建筑结构的静力 平衡。
案例分析：平面任意力系的解题步骤
1
Step 1
分析力的大小和方向。
2
Step 2
计算合力和合力矩。
3
Step 3
《平面力系》PPT课件_OK
解力三角形：
FN
F
cos
又：
cos
R2
(Rh)2 R
1 R
h(2Rh)
FN
FR h (2R h)
9
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
再研究球，受力如图： 作力三角形
解力三角形：
P FN sin
又sin
Rh R
FN FN
FNB= 0时为
球离开地面
P FN sin
F R R h P F(Rh)
（2）力偶对作用面内任一点的矩，与矩心的位置无关。
力偶对点O的矩为Mo（F，F′）,则
M o (F , F ) M o (F ) M o (F ) F(x d) Fx Fd
力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的 大小与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的 转向：一般以逆时针转向为正，反之为负。
记为M（F，F′） 简记为M。
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
[例] 已知 P=2kN ，求CD所受的力和A处的约束反力。
解：①以AB杆为研究对象 ②画受力图 ③列平衡方程求解
F x 0 RA cos SCD cos 450 0
F y 0 PRAsin SCD sin450 0
tan EB 0.4 1
AB 1.2 3
M Fd 2 AABC
力偶矩的单位：N·m。
Fix 0 Fiy 0
称为平面汇交力系的平衡方程。
14
2.2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
例：如图所示，重物P=20kN，用钢丝绳挂在支架的滑轮 上，钢丝绳的另一端缠绕在铰车D上。杆AB与BC铰接，并 以铰链A、C与墙连接。如两杆和滑轮的自重不计，并忽略 摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆AB和BC所受的力。
理论力学第二章
F F3 F4
M Fd ( F3 F4 )d F3d F4 d M1 M 2
在同平面内的任意个力偶可以合成为一个合力偶， 合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。
M Mi
i 1
n
2.2.4 平面力偶系的平衡条件
所谓力偶系的平衡，就是合力偶的矩等于零。因此， 平面力偶系平衡的必要和充分条件是：所有各力偶矩 的代数和等于零，即
F R F 1 F 2 F n F
如果一力与某一力系等效，则此力称为该 力系的合力。
2.1.2 平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的必要与充分条件是： 该力系的合力等于零。用矢量式表示为：
Fi 0
平面力偶系的合成结果为
M O M 1 M 2 M n M O ( F1 ) M O ( F2 ) M O ( Fn ) M O ( Fi )
平面汇交力系力，FR′ 平面力 偶 系力偶，MO
(主矢，作用在简化中心) (主矩，作用在该平面上)
理论 力 学
河南科技大学建筑工程学院工程力学系
第二章 平面力系
平面力系：各力作用线位于同一平面的力系。 本章主要介绍平面力系的简化与平衡。 各力作用线位于同一平面且相交于一点的力系称为平面 汇交力系。
F1 A F2
F3
F4
2.1 平面汇交力系
2.1.1 平面汇交力系合成的几何法
c F1 A F3 F12 FR a d F4 e
RB
2、研究对象： 整体 m N AD RB l 思考：CB杆受力情况如何？
RC
m
RB
[例6]图示杆系，已知m，l。求A、B处约束力。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章平面力系一、是非题1．一个力在任意轴上投影的大小一定小于或等于该力的模，而沿该轴的分力的大小则可能大于该力的模。
（）2．力矩与力偶矩的单位相同，常用的单位为牛·米，千牛·米等。
（）3．只要两个力大小相等、方向相反，该两力就组成一力偶。
（）4．同一个平面内的两个力偶，只要它们的力偶矩相等，这两个力偶就一定等效。
（）5．只要平面力偶的力偶矩保持不变，可将力偶的力和臂作相应的改变，而不影响其对刚体的效应。
（）6．作用在刚体上的一个力，可以从原来的作用位置平行移动到该刚体内任意指定点，但必须附加一个力偶，附加力偶的矩等于原力对指定点的矩。
（）7．某一平面力系，如其力多边形不封闭，则该力系一定有合力，合力作用线与简化中心的位置无关。
（）8．平面任意力系，只要主矢R≠0，最后必可简化为一合力。
（）9．平面力系向某点简化之主矢为零，主矩不为零。
则此力系可合成为一个合力偶，且此力系向任一点简化之主矩与简化中心的位置无关。
（）10．若平面力系对一点的主矩为零，则此力系不可能合成为一个合力。
（）11．当平面力系的主矢为零时，其主矩一定与简化中心的位置无关。
（）12．在平面任意力系中，若其力多边形自行闭合，则力系平衡。
（）二、选择题1．将大小为100N的力F沿x、y方向分解，若F在x轴上的投影为86.6N，而沿x方向的分力的大小为115.47N，则F在y轴上的投影为。
①0；②50N；③70.7N；④86.6N；⑤100N。
2．已知力F的大小为F=100N，若将F沿图示x、y方向分解，则x向分力的大小为N，y向分力的大小为N。
①86.6；②70.0；③136.6；④25.9；⑤96.6；3．已知杆AB长2m，C是其中点。
分别受图示四个力系作用，则和是等效力系。
①图（a）所示的力系；②图（b）所示的力系；③图（c）所示的力系；④图（d）所示的力系。
4．某平面任意力系向O点简化，得到如图所示的一个力R 和一个力偶矩为Mo的力偶，则该力系的最后合成结果为。
①作用在O点的一个合力；②合力偶；③作用在O点左边某点的一个合力；④作用在O点右边某点的一个合力。
5．图示三铰刚架受力F作用，则A支座反力的大小为，B支座反力的大小为。
①F/2；②F/2；③F；④2F；⑤2F。
6．图示结构受力P作用，杆重不计，则A支座约束力的大小为。
①P/2；3P；②3/③P；④O。
7．曲杆重不计，其上作用一力偶矩为M的力偶，则图（a）中B点的反力比图（b）中的反力。
①大；②小；③相同。
8．平面系统受力偶矩为M=10KN.m的力偶作用。
当力偶M作用于AC杆时，A支座反力的大小为，B支座反力的大小为；当力偶M作用于BC杆时，A 支座反力的大小为 ，B 支座反力的大小为 。
① 4KN ；② 5KN ；③ 8KN ；④ 10KN 。
9．汇交于O 点的平面汇交力系，其平衡方程式可表示为二力矩形式。
即0)(,0)(=∑=∑i B i A m m F F ，但必须 。
① A 、B 两点中有一点与O 点重合；② 点O 不在A 、B 两点的连线上；③ 点O 应在A 、B 两点的连线上；④ 不存在二力矩形式，∑X=0，∑Y=0是唯一的。
10．图示两个作用在三角板上的平面汇交力系（图（a ）汇交于三角形板中心，图（b ）汇交于三角形板底边中点）。
如果各力大小均不等于零，则图（a ）所示力系 ，图（b ）所示力系 。
① 可能平衡；② 一定不平衡；③ 一定平衡；④ 不能确定。
三、填空题1．两直角刚杆ABC 、DEF 在F 处铰接，并支承如图。
若各杆重不计，则当垂直BC 边的力P 从B点移动到C 点的过程中，A 处约束力的作用线与AB方向的夹角从 度变化到 度。
2．图示结构受矩为M=10KN.m 的力偶作用。
若a=1m ，各杆自重不计。
则固定铰支座D 的反力的大小为 ，方向 。
3．杆AB 、BC 、CD 用铰B 、C 连结并支承如图，受矩为M=10KN.m 的力偶作用，不计各杆自重，则支座D 处反力的大小为 ，方向 。
4．图示结构不计各杆重量，受力偶矩为m 的力偶作用，则E 支座反力的大小为 ，方向在图中表示。
5．两不计重量的簿板支承如图，并受力偶矩为m 的力偶作用。
试画出支座A 、F 的约束力方向（包括方位与指向）。
6．不计重量的直角杆CDA 和T 字形杆DBE在D 处铰结并支承如图。
若系统受力P 作用，则B 支座反力的大小为 ,方向 。
7．已知平面平行力系的五个力分别为F 1=10（N ），F 2=4（N ），F 3=8（N ），F 4=8（N ），F 5=10（N ），则该力系简化的最后结果为。
8．某平面力系向O 点简化，得图示主矢R '=20KN ，主矩Mo=10KN.m 。
图中长度单位为m ，则向点A （3、2）简化得 ，向点B （-4，0）简化得（计算出大小，并在图中画出该量）。
9．图示正方形ABCD ，边长为a （cm ），在刚体A 、B 、C 三点上分别作用了三个力：F 1、F 2、F 3，而F 1=F 2=F 3=F （N ）。
则该力系简化的最后结果为 并用图表示。
10．已知一平面力系，对A 、B 点的力矩为∑mA （F i ）=∑mB （F i ）=20KN.m ，且KN X i 25-=∑，则该力系的最后简化结果为（在图中画出该力系的最后简化结果）。
11．已知平面汇交力系的汇交点为A，且满足方程∑m B =0（B为力系平面内的另一点），若此力系不平衡，则可简化为。
已知平面平行力系，诸力与y轴不垂直，且满足方程∑Y=0，若此力系不平衡，则可简化为。
四、计算题1．图示平面力系，已知：F1=F2=F3=F4=F，M=Fa，a为三角形边长，若以A为简化中心，试求合成的最后结果，并在图中画出。
2．在图示平面力系中，已知：F1=10N，F2=40N，F3=40N，M=30N·m。
试求其合力，并画在图上（图中长度单位为米）。
3．图示平面力系，已知：P=200N，M=300N·m，欲使力系的合力R通过O点，试求作用在D点的水平力T为多大。
4．图示力系中力F1=100KN，F2=200KN，F3=300KN，方向分别沿边长为30cm的等边三角形的每一边作用。
试求此三力的合力大小，方向和作用线的位置。
5．在图示多跨梁中，各梁自重不计，已知：q、P、M、L。
试求：图（a）中支座A、B、C的反力，图（2）中支座A、B的反力。
6．结构如图，C处为铰链，自重不计。
已知：P=100KN，q=20KN/m，M=50KN·m。
试求A、B两支座的反力。
7．图示平面结构，自重不计，C处为光滑铰链。
已知：P1=100KN，P2=50KN，θ=60°，q=50KN/m，L=4m。
试求固定端A的反力。
8．图示曲柄摇杆机构，在摇杆的B端作用一水平阻力R，已知：OC=r，AB=L，各部分自重及摩擦均忽略不计，欲使机构在图示位置（OC水平）保持平衡，试求在曲柄OC上所施加的力偶的力偶矩M，并求支座O、A的约束力。
9．平面刚架自重不计，受力、尺寸如图。
试求A、B、C、D处的约束力。
10．图示结构，自重不计，C处为铰接。
L1=1m，L2=1.5m。
已知：M=100KN·m，q=100 KN/m。
试求A、B支座反力。
11．支架由直杆AD与直角曲杆BE及定滑轮D组成，已知：AC=CD=AB=1m，R=0.3m，Q=100N，A、B、C处均用铰连接。
绳、杆、滑轮自重均不计。
试求支座A，B的反力。
12．图示平面结构，C 处为铰链联结，各杆自重不计。
已知：半径为R ，q=2kN/cm ，Q=10kN 。
试求A 、C 处的反力。
13．图示结构，由杆AB 、DE 、BD 组成，各杆自重不计，D 、C 、B 均为锵链连接，A 端为固定端约束。
已知q （N/m ），M=qa 2（N ·m ），qa(N)2P =，尺寸如图。
试求固定端A 的约束反力及BD 杆所受的力。
14．图示结构由不计杆重的AB 、AC 、DE 三杆组成，在A 点和D 点铰接。
已知：P 、Q L 0。
试求B 、C 二处反力（要求只列三个方程）。
15．图示平面机构，各构件自重均不计。
已知：OA=20cm ，O 1D=15cm ，θ=30°，弹簧常数k=100N/cm 。
若机构平衡于图示位置时，弹簧拉伸变形δ=2cm ，M 1=200N ·m ，试求使系统维持平衡的M 2。
16．图示结构，自重不计。
已知：P=2kN ，Q= kN ，M=2kN ·m 。
试求固定铰支座B 的反力。
17．构架受力如图，各杆重不计，销钉E固结在DH杆上，与BC槽杆为光滑接触。
已知：AD=DC=BE=EC=20cm，M=200N·m。
试求A、B、C处的约束反力。
18．重为P的重物按图示方式挂在三角架上，各杆和轮的自重不计，尺寸如图，试求支座A、B的约束反力及AB杆内力。
19．图示来而结构由杆AB及弯杆DB组成，P=10N，M=20N·m，L=r=1m，各杆及轮自重不计，求固定支座A及滚动支座D的约束反力及杆BD的B端所受的力。
20．构架如图所示。
重物Q=100N，悬持在绳端。
已知：滑轮半径R=10cm，L1=30cm，L2=40cm，不计各杆及滑轮，绳的重量。
试求A、E支座反力及AB杆在铰链D处所受的力。
第二章平面力系参考答案：一、是非题1、对2、对3、错4、对5、对6、对7、对8、对9、对10、错11、对12、错二、选择题1、①2、③②3、③④4、③5、②②6、②7、②8、④④②②9、② 10、①②三、填空题1、0°；90°；2、10KN ；方向水平向右；3、10KN ；方向水平向左；4、a m /2；方向沿HE 向；5、略6、2P ；方向向上；7、力偶，力偶矩m=－40（N ·cm ），顺时针方向。
8、A ：主矢为20KN ，主矩为50KN ·m ，顺钟向B ：主矢为20KN ，主矩为90KN ·m ，逆钟向9、一合力R =F 2，作用在B 点右边，距B 点水平距离a （cm ）10、为一合力R ，R=10KN ，合力作线与AB 平行，d=2m11、通过B 点的一个合力；简化为一个力偶。
四、计算题1、解：将力系向A 点简化Rx '=Fcos60°+Fsin30°－F=0Ry '=Fsin60°－Fcos30°+F=FR=Ry '=F对A 点的主矩M A =Fa+M －Fh=1.133Fa 合力大小和方向R =R '合力作用点O 到A 点距离d=M A /R '=1.133Fa/F=1.133a2．解：将力系向O 点简化R X =F 2－F 1=30NR V =－F 3=－40N∴R=50N主矩：Mo=（F 1+F 2+F 3）·3+M=300N ·m合力的作用线至O 点的矩离 d=Mo/R=6m合力的方向：cos （R ，i ）=0.6，cos （R ，i ）=－0.8 （R ，i ）=－53°08’ （R ，i ）=143°08’3．解：将力系向O 点简化，若合力R 过O 点，则Mo=0Mo=3P/5×2+4P/5×2－Q ×2－M －T ×1.5=14P/5－2Q －M －1.5T=0∴T=（14/5×200－2×100－300）/1.5=40（N ）∴T 应该为40N 。