数学建模——数值计算方法总结
非线性数学建模与数值计算方法
非线性数学建模与数值计算方法在当今社会的各个领域，非线性问题无处不在。
在处理这些非线性问题时，如何建立合理的数学模型和采用高效的数值计算方法成为了一大挑战。
非线性数学建模和数值计算方法是解决这些问题的关键。
一、非线性数学建模所谓非线性数学建模，是指在一定的数学理论支持下，对于某一研究问题，建立一个非线性的数学模型，来定量描述和分析问题的复杂性质和变化规律。
常见的非线性问题如：混沌、复杂动力学、非线性光学、非线性弹性等，这些问题也常常是跨学科研究的。
在这些问题中，模型的复杂性和精确性是十分重要的，而往往传统的线性模型无法满足研究的需要。
针对这些问题，使用非线性数学建模的方法，可以通过合适的方程模型，准确地描述复杂的现象，为研究提供重要的数学工具和分析手段。
二、数值计算方法在建立好数学模型后，我们需要使用数值计算方法对模型进行求解。
数值计算是通过数值方法求解实际的数学问题。
对于非线性问题的求解，因其特殊性质，使得求解过程十分复杂和困难。
然而，在数值计算的发展过程中，已经出现了许多高效的数值求解方法，如Newton法、分裂迭代法、Galerkin法、有限元法等。
这些数值计算方法在非线性问题的求解上，具有许多优点，如高精度、高效率、可自适应等，这些都使得非线性问题的求解变得更加可行和有效。
三、多尺度问题然而，在实际研究中，非线性问题往往是多尺度的，即问题的性质在不同的尺度下有不同的行为。
为了解决这一问题，我们需要使用多尺度建模和数值计算方法。
多尺度方法是指建立一个多尺度数学模型，将问题分解成不同的尺度上，将复杂问题分解为较小的模块，降低求解的难度。
在求解过程中，可以采用多重网格方法、耦合方法等，从而提高计算效率和精度。
在处理多尺度问题时，使用多尺度建模和数值计算方法，能够更好地描述和分析问题的各个尺度的行为，同时降低模型误差，提高模拟结果的可靠性和精度。
四、总结总之，非线性数学建模和数值计算方法是解决复杂问题的重要手段。
数学建模计算方法
数学建模计算方法蒙特卡罗算法(该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法)数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法(比赛中通常会碰到大量的数据必须要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab 作为工具)线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题(建模比赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo 软件实现) 图论算法(这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，必须要认真准备)动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法(这些算法是算法〔制定〕中比较常用的方法，很多场合可以用到比赛中)4建模计算法三层次结构：最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。
中间层：这一层次中包涵了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由假设干个层次组成，包括所必须合计的准则、子准则，因此也称为准则层。
最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。
递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及必须要分析的详尽程度有关，一般地层次数不受限制。
每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过 9 个。
这是因为支配的元素过多会给两两比较推断带来困难。
层次分析法的应用：在应用层次分析法研究问题时，碰到的主要困难有两个：(i)如何依据实际状况抽象出较为贴切的层次结构;(ii)如何将某些定性的量作比较接近实际定量化处理。
层次分析法对人们的思维过程进行了加工整理，提出了一套系统分析问题的方法，为科学管理和决策提供了较有说服力的依据。
但层次分析法也有其局限性，主要表现在：(i)它在很大程度上依赖于人们的经验，主观因素的影响很大，它至多只能排除思维过程中的严重非一致性，却无法排除决策者个人可能存在的严重片面性。
数学建模中的数值方法
准备工作
第一天晚前的活
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在此情况下,企业需要在销售季节到来之前确定制造 渠道产品的供应数量,即在需求和返回都是随机变量 的情况下进行决策,以使得收入达到最大.进而,分析 再制造渠道对制造渠道的影响。
在此情况下,企业需要做的事情如下：（A）在销售季节开始之前， 用户需求还没有到来时，对部件1和部件2库存的采购数量进行决 策并采购部件；（B）在销售季节开始后，所有的用户向制造商提 交产品订单，然后企业根据已实现的总需求装配成品满足用户， 假设每个成品需要部件1和部件2各1一个.请问：企业应该如何进 行部件1和部件2的采购决策. 进而，分析再制造渠道对制造渠道 的影响。
微分方程数值解法
dx rf ( x) dt x(0) x0
常微分方程
2 2 2 u 2 u 2 u 2 u a b c ku F ( x, y , z , t ) 2 2 2 t x y z u ( x, y , z , 0) 1 ( x, y , z )
论文正文 1、结构安排清晰（要从读者角度看） 一部分开始的简短引言、每部分的名称，包括每 个小问题的名称 2、主要结论突出
可用图、表、定理、命题表达。同时这也使论文 增色
3、不必像摘要那么苛刻，没有语法错误、表达清楚 即可
学校数据库 中文：CNKI、VIP、万方、超星 外文：EBSCO、Elseriver、ProQuest、Springer、EI、 ISI Web of Knowledge
3）大多数制造企业不单制造一种产品，现假设企业生产两 种产品,产品2是产品1的升级换代产品，类似电脑的更新。 每个产品由三个部件组装而成，如下图。部件可以进行分 类,包括：通用部件（属产品1和产品2共用，且可经制造和 再制造两种渠道供应，相应条件类似（1）（2））；特殊 部件（属产品1和产品2所特有）；升级部件（属产品1和产 品2所特有，但当产品1该部件短缺且产品2该部件剩余的情 况，可以用产品2部件替代产品1部件满足需求，用户可接 收该替换，也可不接受，假设是否接受部件产品服从0-1分 布；接受替换的用户需要支付一定的升级费用，不接受的 用户放弃购买该产品）.在此环境下,企业的运作流程类似 （2），“当需求还没有到来时,采购所有部件进行存储,等 待订单到来之后,根据具体的需求信息再进行组装”.请研 究该情况下企业对各个部件的采购决策。进而，分析再制 造渠道和替代行为lar(/)
数学建模计算方法
数学建模计算方法数学建模是指运用数学的方法和技巧解决实际问题的过程。
它是数学与其他学科的交叉融合，旨在通过建立数学模型，从而给出该问题的数学描述以及计算方法。
数学建模的计算方法是解决数学模型的关键步骤，下面将详细介绍数学建模的三种常用的计算方法：数值方法、优化方法和模拟方法。
首先，数值方法是通过数值计算来求解数学模型的一种方法。
它的基本思想是将问题转化为数值计算问题，利用离散的数值计算方法得到问题的近似解。
数值方法常用于求解无法用解析方法获得精确解的复杂数学模型。
其中的核心方法包括数值微积分、数值代数、数值逼近等。
数值方法的优点是能够较快地得到近似解，但是由于是近似解，所以其误差会存在一定的范围。
其次，优化方法是一种通过寻找最优解来求解数学模型的方法。
优化方法的目标是在模型的约束条件下，寻找使目标函数达到最大或最小值的决策变量。
它的基本思想是将问题转化为一个最优化问题，利用优化理论和算法来求解。
优化方法常用于求解资源配置、作业调度、生产运营等实际问题。
常见的优化方法有线性规划、整数规划、动态规划等。
优化方法的优点是能够找到最优解，但是对于复杂的问题，求解过程可能较为耗时。
最后，模拟方法是一种通过模拟现实系统的行为来求解数学模型的方法。
模拟方法的基本思想是将问题看作一个系统，通过建立与之对应的数学模型，模拟和观察该系统在不同条件下的行为，从而获得问题的解。
模拟方法常用于求解自然科学、社会科学等领域的问题，如气象预测、交通流模拟等。
常见的模拟方法有蒙特卡洛方法、离散事件仿真等。
模拟方法的优点是能够模拟现实系统的行为，但是对于复杂系统的模拟，需要考虑到各种因素的相互影响，因此模拟精度可能受到一定的限制。
总之，数学建模的计算方法包括数值方法、优化方法和模拟方法。
不同的计算方法适用于不同类型的问题，选择合适的计算方法可以有效地求解数学模型，并得到实际问题的解答。
在实际应用中，常常会结合不同的计算方法，综合运用，以获得更准确、更全面的结果。
数值计算方法
数值计算方法数值计算方法是一种通过使用数字和计算机来解决数学问题的方法。
它使用数值近似和算法来处理复杂的数学运算，从而帮助人们在实际应用中获得准确和可靠的结果。
在本文中，我将介绍数值计算方法的基本原理、常见的数值计算方法以及其在不同领域的应用。
一、基本原理数值计算方法的基本原理是将复杂的数学问题转化为简单的数值近似。
当我们遇到无法直接求解的数学问题时，我们可以通过逼近、插值、数值积分等方法来找到问题的近似解。
这些方法依赖于数值计算的基本运算，如加法、减法、乘法和除法，以及根据需要进行的其他运算，如开方、求幂、对数等。
二、常见的数值计算方法1. 逼近法：逼近法是一种通过构造一系列逼近值来找到待求解问题的近似解的方法。
常见的逼近法包括线性逼近、多项式逼近和三角函数逼近等。
2. 插值法：插值法是通过已知数据点来推断未知数据点的数值的方法。
最常见的插值法是拉格朗日插值和牛顿插值。
3. 数值积分：数值积分是通过将定积分转化为求和的形式来计算复杂的积分问题的方法。
常见的数值积分方法包括矩形法、梯形法和辛普森法等。
4. 方程求解：方程求解是通过数值计算方法来找到方程的根的方法。
常见的方程求解方法包括二分法、牛顿迭代法和割线法等。
5. 数值微分：数值微分是通过数值计算方法来近似计算函数的导数的方法。
最常见的数值微分方法是中心差分法和前向差分法。
三、数值计算方法的应用数值计算方法在多个领域都有广泛的应用。
以下是数值计算方法在一些领域的应用示例：1. 物理学：数值计算方法在物理学中常用于解决运动、电磁场、量子力学等问题。
通过数值模拟和计算，可以得到粒子的轨迹、电场分布和能级结构等重要信息。
2. 工程学：数值计算方法在工程学中广泛应用于结构分析、流体力学、电路设计等领域。
通过数值模拟和计算，可以预测材料的强度、流体的流动特性和电路的性能等。
3. 经济学：数值计算方法在经济学中用于解决成本、收益、市场供需等问题。
通过数值模拟和计算，可以预测经济指标的变化趋势和决策的效果。
数学建模第二章
方程的根：实根、虚根。全局的根、 方程的根：实根、虚根。全局的根、局部 的根。单根、重根。 的根。单根、重根。
介值定理 若函数 则方程
] f ( x在 [ a , b连续，且 ) 连续，
f ( a ) f (b ) < 0
f ( x ) = 0 ( a , b内至少有一个实根。 ) 内至少有一个实根。 在
x k +1
f ( xk ) ,k = 0,1,2, L = xk − f ′( x k )
2.1.2 非线性方程求解的MATLAB实现 非线性方程求解的MATLAB实现 MATLAB
MATLAB是matrix laboratory(矩阵实验室 的缩 是 矩阵实验室)的缩 矩阵实验室 软件包是由美国MathWorks公司 写， MATLAB软件包是由美国 软件包是由美国 公司 推出的。目前最为流行的版本MATLAB6.5，其最 推出的。目前最为流行的版本 ， 高版本已达到MATLAB7.7。 高版本已达到 。 对计算机编程与数值计算，之所以感到困难是因 对计算机编程与数值计算， 为受到编程技术与数学算法的制约 MATLAB对于问题的表达方式几乎与问题的数学 对于问题的表达方式几乎与问题的数学 表达形式完全一致，是效率较高，功能较强， 表达形式完全一致，是效率较高，功能较强，便 于进行科学工程计算的应用软件。 于进行科学工程计算的应用软件。
模型求解
利用MATLAB软件求解，见MATLAB界面操作 软件求解， 利用 软件求解 界面操作 第二问： 第二问：反复利用递推式可得
xn +1 = (1 + p ) xn − Q = (1 + p ) 2 xn −1 − (1 + p )Q − Q = (1 + p ) n x1 − [(1 + p ) n −1 + (1 + p ) n − 2 + L + (1 + p ) + 1]Q (1 + p ) n − 1 = (1 + p ) n x1 − Q p
数学建模与计算方法
数学建模与计算方法在实践中的重要性
实际应用中数学建模与计算方法的挑战与解决方案
实践经验对数学建模与计算方法的与实践方向
数据预处理：缺失值、异常值和离群点的处理方法
结果验证与评估：如何对模型结果进行验证和评估，以及如何处理过拟合和欠拟合问题
实际应用中的注意事项：如何在实际应用中考虑各种因素，以及如何解决实际应用中的问题
数学建模与计算方法的未来发展
人工智能在数学建模中的应用，提高模型精度和预测能力
机器学习算法在数学建模中的应用，实现自动化建模和优化
云计算技术，提供弹性可扩展的计算资源，降低计算成本
大数据处理技术，处理大规模数据集，加速计算速度
数据驱动的数学建模与计算方法
跨学科应用的拓展
计算方法的优化与创新
人工智能与数学建模的结合
汇报人：XX
数学建模与计算方法
目录
数学建模基础
计算方法概述
数学建模与计算方法的结合
常用数学建模与计算方法
数学建模与计算方法的实践
数学建模与计算方法的未来发展
数学建模基础
建模概念：数学建模是将现实问题转化为数学模型的过程，通过数学模型来描述和解决实际问题。
建模重要性：数学建模是科学研究、工程技术和实际应用中不可或缺的重要工具，能够提高问题解决的效率和质量，促进科技创新和社会发展。
不断尝试和优化计算方法
线性回归模型中最小二乘法的应用
微分方程求解中的有限差分法
概率论中的蒙特卡洛模拟方法
优化问题中的梯度下降法
数学建模为计算方法提供理论框架和应用场景
计算方法为数学建模提供高效求解手段和验证工具
数学建模与计算方法的结合有助于解决复杂问题
数学建模与计算方法的相互促进推动科学和技术的发展
数值计算方法总结.
运算量
1 1 分解A LR需 (n3 n)次, 解Ly b需 (n 2 n)次, 3 2 1 2 n3 n 解Rx y需 (n n)次, 共N n 2 2 3 3
第2章 解线性代数方程的直接法
2.2 三角分解法 2.2.2 克洛特分解法
对A进行杜里特尔分解时, A=LR, L为单位下三角阵, R为上三角阵
1i n j 1
2
( AT A), 称为谱范数
第2章 解线性代数方程的直接法
2.3 舍入误差对解的影响 2.3.1 向量和矩阵的范数
这些系数的绝对值称为求y问题的条件数，其值很大时的问题 称为坏条件问题或病态问题
凡是计算结果接近于零的问题往往是病态问题。
应避免相近数相减,小除数和大乘数
第1章 数值计算方法的一般概念
1.2.3 数据误差影响的估计
由误差估计式(1 1)可知 (x1 x2 ) x1 x2 x1 x2 (x1 x2 ) x x x1 x x x2 1 2 1 2 (x1 x2 ) x2 x1 x1x2 (x1 x2 ) x1 x2 x1 x1 x1 ( ) 2 x 2 x x2 x2 2 ( x1 ) x x 1 2 x 2
2.[回代] 按相反顺序求解上三角形方程组,得到方程组的解
第一步得到xn ,第二步得到xn1,...,第n步得到x1
将方程组写成增广矩阵的形式,将有利于计算机实现
A A b
第2章 解线性代数方程的直接法
2.1 高斯消去法 2.1.2 运算量估计 高斯消去法运算量估计 1.消去算法运算量
第1章 数值计算方法的一般概念
1.2.3 数据误差影响的估计
数值分析(计算方法)总结
第一章 绪论误差来源：模型误差、观测误差、截断误差（方法误差）、舍入误差ε(x )=|x −x ∗|是x ∗的绝对误差，e =x ∗−x 是x ∗的误差，ε(x )=|x −x ∗|≤ε，ε为x ∗的绝对误差限（或误差限） e r =ex =x ∗−x x为x ∗ 的相对误差，当|e r |较小时，令 e r =ex ∗=x ∗−x x ∗相对误差绝对值得上限称为相对误差限记为：εr 即：|e r |=|x ∗−x||x ∗|≤ε|x ∗|=εr绝对误差有量纲，而相对误差无量纲若近似值x ∗的绝对误差限为某一位上的半个单位，且该位直到x ∗的第一位非零数字共有n 位，则称近似值 x ∗有n 位有效数字，或说 x ∗精确到该位。
例：设x=π=3.1415926…那么x ∗=3,ε1(x )=0.1415926…≤0.5×100,则x ∗有效数字为1位，即个位上的3，或说 x ∗精确到个位。
科学计数法：记x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m (其中a 1≠0),若|x −x ∗|≤0.5×10m−n ，则x ∗有n 位有效数字，精确到10m−n 。
由有效数字求相对误差限：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）有n 位有效数字，则其相对误差限为12a 1×101−n由相对误差限求有效数字：设近似值x ∗=±0.a 1a 2⋯a n ×10m （a 1≠0）的相对误差限为为12（a 1+1）×101−n 则它有n 位有效数字令x ∗、y ∗是x 、y 的近似值，且|x ∗−x|≤η(x )、|y ∗−y|≤η(y)1. x+y 近似值为x ∗+y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）和的误差（限）等于误差（限）的和2. x-y 近似值为x ∗−y ∗,且η(x +y )=η(x )+η（y ）3. xy 近似值为x ∗y ∗,η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)4. η(xy )≈|x ∗|∗η(y )+|y ∗|∗η(x)|y ∗|21．避免两相近数相减2．避免用绝对值很小的数作除数 3．避免大数吃小数 4．尽量减少计算工作量 第二章 非线性方程求根1.逐步搜索法设f (a ) <0, f (b )> 0，有根区间为 (a , b )，从x 0=a 出发， 按某个预定步长(例如h =(b -a )/N )一步一步向右跨，每跨一步进行一次根的搜索，即判别f (x k )=f (a +kh )的符号，若f (x k )>0(而f (x k -1)<0),则有根区间缩小为[x k -1,x k ] (若f (x k )=0，x k 即为所求根), 然后从x k -1出发，把搜索步长再缩小，重复上面步骤，直到满足精度：|x k -x k -1|< 为止，此时取x *≈(x k +x k -1)/2作为近似根。
数学建模中的常用算法
数学建模中的常用算法在数学建模中，有许多常用算法被广泛应用于解决各种实际问题。
下面将介绍一些数学建模中常用的算法。
1.蒙特卡洛算法：蒙特卡洛算法是一种基于随机抽样的数值计算方法。
在数学建模中，可以用蒙特卡洛算法来估计概率、求解积分、优化问题等。
蒙特卡洛算法的基本思想是通过随机模拟来逼近所求解的问题。
2.最小二乘法：最小二乘法用于处理数据拟合和参数估计问题。
它通过最小化实际观测值与拟合函数之间的误差平方和来确定最优参数。
最小二乘法常用于线性回归问题，可以拟合数据并提取模型中的参数。
3.线性规划：线性规划是一种优化问题的求解方法，它通过线性方程组和线性不等式约束来寻找最优解。
线性规划常用于资源分配、生产计划、运输问题等。
4.插值算法：插值算法是一种通过已知数据点来推断未知数据点的方法。
常见的插值算法包括拉格朗日插值、牛顿插值和样条插值等。
插值算法可以用于数据恢复、图像处理、地理信息系统等领域。
5.遗传算法：遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化算法。
它通过模拟遗传操作（如交叉、变异）来最优解。
遗传算法常用于复杂优化问题，如旅行商问题、机器学习模型参数优化等。
6.神经网络：神经网络是一种模拟人脑神经系统的计算模型。
它可以通过学习数据特征来进行分类、预测和优化等任务。
神经网络在图像识别、自然语言处理、数据挖掘等领域有广泛应用。
7.图论算法：图论算法主要解决图结构中的问题，如最短路径、最小生成树、最大流等。
常见的图论算法包括迪杰斯特拉算法、克鲁斯卡尔算法、深度优先和广度优先等。
8.数值优化算法：数值优化算法用于求解非线性优化问题，如无约束优化、约束优化和全局优化等。
常用的数值优化算法有梯度下降法、牛顿法、遗传算法等。
9.聚类算法：聚类算法用于将一组数据分为若干个簇或群组。
常见的聚类算法包括K均值算法、层次聚类和DBSCAN算法等。
聚类算法可用于数据分类、客户分群、图像分割等应用场景。
10.图像处理算法：图像处理算法主要用于图像的增强、恢复、分割等任务。
数值计算方法
数值计算方法数值计算方法是一种通过使用数学算法和计算机技术，对数值问题进行近似求解的方法。
它广泛应用于科学、工程和金融等领域，是现代科学研究和工程设计中不可或缺的工具。
本文将介绍数值计算方法的基本概念和原理，以及一些常用的数值计算方法和其在实际问题中的应用。
一、基本概念和原理1.1 数值计算方法的定义数值计算方法是一种使用数学模型和计算机算法来求解数值问题的方法。
它的基本思想是将实际问题转化为数学模型，并通过数学算法进行近似求解。
数值计算方法包括数值逼近、数值微积分、数值代数、数值方程求解等多个方面。
1.2 数值计算方法的原理数值计算方法的原理是通过将连续的实际问题转化为离散的数学问题，然后利用数值算法对离散问题进行求解。
它的基本步骤包括问题建模、离散化、数值计算和求解结果的评估。
数值计算方法的关键在于选择合适的离散方法和数值算法，并进行适当的误差分析。
二、常用的2.1 数值逼近方法数值逼近方法是一种通过使用逼近函数来近似求解函数值的方法。
常用的数值逼近方法包括插值法、拟合法和最小二乘法等。
插值法通过已知函数值来估计其他点上的函数值，拟合法通过拟合函数来逼近实际数据，最小二乘法通过最小化误差平方和来确定拟合函数的系数。
2.2 数值微积分方法数值微积分方法是一种通过数值近似计算函数的导数和积分的方法。
常用的数值微积分方法包括数值微分和数值积分。
数值微分通过差分近似计算函数的导数，数值积分通过数值近似计算函数的定积分。
数值微积分方法在科学计算和工程设计中广泛应用，如求解微分方程、优化问题等。
2.3 数值代数方法数值代数方法是一种通过数值计算近似解线性代数方程组的方法。
常用的数值代数方法包括直接方法和迭代法。
直接方法通过高斯消元法等精确求解线性方程组，迭代法通过迭代逼近的方式求解线性方程组。
数值代数方法广泛应用于科学计算和工程设计中的矩阵计算和线性方程组求解等问题。
2.4 数值方程求解方法数值方程求解方法是一种通过数值计算近似求解非线性方程的方法。
数值计算方法
数值计算方法数值计算方法，是指通过数值代数和解析几何的思想和方法，利用计算机技术进行数学计算和问题求解的方法。
它在科学计算、工程技术、金融统计等领域都有广泛应用。
本文将介绍数值计算方法的基本原理和常用技术，以及其在实际问题中的应用。
一、基本原理数值计算方法的基本原理是将连续问题离散化，然后通过数值逼近来求解。
离散化是将整个问题分割成一系列的小问题，求解这些小问题，最后再将结果组合起来得到整体的解。
数值逼近是指我们通过一系列数值计算来逼近问题的精确解，以达到预期的计算精度。
二、常用技术1. 插值法插值法是指根据已知数据点的函数值，通过构造一个插值函数来估计中间点的函数值。
常用的插值方法有拉格朗日插值法和牛顿插值法。
拉格朗日插值法是通过构造一个多项式，使其经过已知数据点，然后利用该多项式来求解中间点的函数值。
牛顿插值法是通过构造一个差商表，然后利用差商表来计算中间点的函数值。
2. 数值积分数值积分是指通过数值方法来计算函数的定积分。
常用的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则和龙贝格法则。
梯形法则是将函数的积分区间分割成若干个小区间，然后用每个小区间的梯形面积来逼近函数的积分。
辛普森法则是将函数的积分区间分割成若干个小区间，然后用每个小区间的曲线面积来逼近函数的积分。
龙贝格法则是通过不断加密求解区间，然后通过龙贝格加法将不同精度的近似值进行组合，从而得到更高精度的积分结果。
3. 数值微分数值微分是指通过数值方法来计算函数的导数。
常用的数值微分方法有有限差分法和牛顿差商法。
有限差分法是通过计算函数在一些离散点上的差分值，然后用差分值逼近函数的导数。
牛顿差商法是通过构造差商表，然后利用差商从而计算函数的导数。
4. 方程求解方程求解是指通过数值方法来求解非线性方程或线性方程组的根。
常用的方程求解方法有二分法、牛顿迭代法和高斯消元法。
二分法是通过不断将区间分成两部分，然后根据函数值的符号变化来确定方程的根。
牛顿迭代法是通过在初值附近进行迭代，根据切线与横坐标轴的交点来逼近根。
数值计算知识点总结
数值计算知识点总结数值计算是数学中非常重要的一个分支，它涉及到数的运算，计算机科学和工程学等领域也都离不开数值计算。
数值计算涉及的知识点很多，比如数值逼近、数值微分和积分、数值代数、线性规划、非线性规划、差分方程与微分方程的数值解法等。
下面将从这些知识点入手，来总结数值计算相关的知识点。
数值逼近数值逼近是指用数值方法计算出实数值的估计值。
这其中包括插值法、数值拟合等知识点。
插值法就是指通过已知的点估计出中间未知的点的值，主要包括线性插值、拉格朗日插值、牛顿插值等方法。
数值拟合则是指通过一组数据点找到一个与之最为接近的曲线或者曲面，主要包括最小二乘法、多项式拟合、数值拟合等方法。
数值微分和积分数值微分和积分也是数值计算中非常重要的一部分。
数值微分是指通过一组有限的数据点计算出导数的近似值，主要包括向前差分、向后差分、中心差分等方法。
而数值积分则是指通过近似方法计算出定积分的值，主要包括复化梯形法则、辛普森法则、高斯求积法则等方法。
数值代数数值代数是现代科学中的一个非常重要的组成部分，它主要研究线性代数中的数值计算方法。
其中包括矩阵运算、特征值与特征向量的计算、线性方程组的数值解法等。
矩阵运算主要包括矩阵的加法、减法、数乘、乘法等运算。
特征值与特征向量的计算则是指给定一个矩阵，求其特征值与特征向量的问题。
而线性方程组的数值解法则是指通过数值方法求解线性方程组的值，主要包括高斯消元法、雅可比迭代法、逐次超松弛法等方法。
线性规划线性规划是运筹学数学建模的一种方法，它主要研究最优化问题，即在一定的约束条件下求解目标函数的最大值或最小值。
通过线性规划，我们可以解决一系列的问题，比如资源分配、生产计划、最短路径等。
其数值计算方法主要包括单纯形法、对偶单纯形法等方法。
非线性规划非线性规划是运筹学中一个重要的分支，它主要研究非线性目标函数的最优化问题。
在实际生产实践中，因素之间的关系可能不是线性的，需要通过非线性规划来求解最优解。
全部数值计算公式
全部数值计算公式数值计算公式。
数值计算是现代科学和工程领域中的重要工具，它涉及到对数学模型进行数值求解，以获得实际问题的数值解。
数值计算公式是数值计算的基础，它们可以帮助我们对复杂的数学问题进行数值求解，从而得到实际的结果。
本文将介绍一些常见的数值计算公式，并探讨它们在不同领域的应用。
一、牛顿迭代法。
牛顿迭代法是一种用来求解方程根的数值方法，它的基本思想是通过不断迭代逼近方程的根。
假设我们要求解方程f(x)=0的根，牛顿迭代法的公式如下：x_{n+1} = x_n \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}。
其中，x_n是第n次迭代的近似解，f(x_n)是方程在x_n处的函数值，f'(x_n)是方程在x_n处的导数值。
通过不断地迭代，我们可以逐渐逼近方程的根，从而得到方程的数值解。
牛顿迭代法在实际中有着广泛的应用，比如在工程领域中用来求解复杂的非线性方程，以及在金融领域中用来进行风险分析和模型求解。
二、梯度下降法。
梯度下降法是一种用来求解最优化问题的数值方法，它的基本思想是通过不断地调整参数来使目标函数的值最小化。
假设我们要求解目标函数f(x)的最小值，梯度下降法的公式如下：x_{n+1} = x_n \alpha \nabla f(x_n)。
其中，x_n是第n次迭代的参数向量，\alpha是学习率，\nabla f(x_n)是目标函数在x_n处的梯度。
通过不断地迭代，我们可以逐渐逼近目标函数的最小值，从而得到最优解。
梯度下降法在机器学习和深度学习领域有着广泛的应用，比如在训练神经网络时用来调整参数以使损失函数最小化，以及在优化算法中用来求解复杂的非凸优化问题。
三、龙格-库塔法。
龙格-库塔法是一种用来求解常微分方程初值问题的数值方法，它的基本思想是通过不断地迭代来逼近微分方程的解。
假设我们要求解初值问题\frac{dy}{dt} = f(t,y)，y(t_0) = y_0的数值解，龙格-库塔法的公式如下：y_{n+1} = y_n + \frac{1}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)。
数学建模数值算法
双线性插值
y•
(x1•, y2) (x2,•y2)
•
•
•
•
•
••
(x1, y1) (x2, y1)
•
•
•
••
O
x
双线性插值是一片一片的空间二次曲面构成。 双线性插值函数的形式如下：
f(x ,y ) (a x b )c ( y d )
其中有四个待定系数，利用该函数在矩形的四个顶 点（插值节点）的函数值，得到四个代数方程，正 好确定四个系数。
拟合与插值的关系 问题：给定一批数据点，需确定满足特定要求的 曲线或曲面 解决方案：
•若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插 值问题；
•若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它 反映对象整体的变化趋势，这就是数据拟合，又称曲 线拟合或曲面拟合。
平面的一般方程 ax + by + cz =d 把螺旋线方程代入平面方程整理，用t/代替原来的 t，cost、sint、t的系数分别为A、B、C常数项为D ,得：
Acos t + Bsin t +Ct +D=0
令：f(t)=Acos t + Bsin t +Ct +D问题归为解非线性 方程 f(t)=0。
称为拉格朗日插值基函数。
例：选取n+1个不同插值节点，其中n为插值多项式 的次数，当n分别取2,4,6,8,10时，绘出下列函数拉 格朗日插值插值多项式图形.
1 g(x)1x2 5x5
分段线性插值
y
••• •
• •
o x0
xj-1
数学建模知识点
数学建模知识点数学建模是指利用数学方法和技术对实际问题进行描述、分析和求解的过程。
在现实生活中，我们面临的问题往往是复杂的，数学建模的目的就是通过数学模型对这些问题进行抽象和分析，并找到合适的解决方法。
而要进行有效的数学建模，我们需要掌握一些基本的数学知识点。
本文将介绍数学建模中常用的几个重要知识点。
一、线性规划线性规划是数学建模中最常用的方法之一。
它的基本思想是在一组线性约束条件下，寻找一个线性目标函数的最优值。
线性规划可以用来解决资源分配、生产计划、运输问题等。
在线性规划中，我们需要掌握线性代数的相关知识，例如矩阵运算、向量空间等。
二、微积分微积分是数学建模中另一个重要的工具。
微积分主要包括导数、积分和微分方程等内容。
在数学建模中，常常需要对实际问题进行建模和分析，利用微积分的方法来求解最优值、极值点等。
同时，微积分还可以用来描述和分析变化率、速度、加速度等概念，对于模拟实际问题的变化过程有着重要的作用。
三、概率论与统计学概率论与统计学是数学建模中的另一个重要分支。
概率论研究的是随机事件的性质和规律，统计学则利用样本数据对总体进行推断和决策。
在数学建模中，概率论和统计学常常用于描述和分析实际问题的不确定性和随机性。
例如，通过概率模型可以对风险进行评估，通过统计方法可以对实验数据进行处理和分析。
四、图论图论是研究图和网络的一门学科，也是数学建模中常用的工具之一。
在数学建模中，我们经常需要用图来表示问题中的对象和关系，通过图论可以分析和求解一些与图相关的问题。
例如，利用图论可以解决路径规划、网络流量优化等实际问题。
五、数值计算方法数值计算方法是数学建模中的一种重要工具，用于对无法解析求解的问题进行数值逼近。
数值计算方法主要包括数值微分、数值积分、差分法和数值优化等。
在数学建模中，我们通常需要使用计算机进行模拟和求解，数值计算方法能够帮助我们高效地进行数值计算和近似求解。
总结：数学建模作为一种综合运用数学知识解决实际问题的方法，包括线性规划、微积分、概率论与统计学、图论和数值计算方法等重要的知识点。
数学建模计算方法总结
计算方法计算方法：数值逼近、数值代数、微分方程数值解一．数值逼近Lagrange插值逼近分段低次插值三次样条插值；简单了解误差最小二乘拟合的思想和方法；数值积分的思想：利用插值多项式替代函数进行近似的积分梯形公式，辛普森公式，柯特斯公式；复合梯形公式，复合辛普森公式，复合柯特斯公式；二．数值代数非线性方程求根：二分法，迭代法，牛顿迭代法；线性方程组求解：Gauss消去法、主元消去法，列主元消去法；迭代法：Jacobi迭代，Gauss-Seidel迭代；三．微分方程数值解常微分方程数值解:Euler格式，Runge-Kutta方法了解误差的分析方法偏微分方程数值解：椭圆方程（Laplace，Poisson方程）及抛物方程（热传导或扩散方程）的差分格式四．误差分析（1）计算方法一元函数Y=F(X)的公式；多元的公式（计算方法书）；四则运算的误差（2）差分法简介，差分法的误差；（3）插值的误差估计；（4）二分法的误差估计；（5）国际数模竞赛题目：扫雪问题，讲解并提出街道长度减少误差的证明：先影印放大后测量再缩小：直接测量：A+e放大五倍后测量：(5A+e)/5其中e 为测量误差。
(6) 拟合误差：均方误差，标准差；（7）统计型误差：验证),0(ln ln ),,0(2*2σσN x x E N E ---=--；五. 稳定性（1） Lypunov 稳定性定义考虑用微分方程描述的一般非自治系统：),(x t g dtdx = （5-1） 这里仅考虑n R x t I t ⊂∈+∞=∈Ω),,[0（Ω为开集）。
),(x t g 在给定区域Ω⨯I 中连续，以保证（5-1）的解的整体存在性。
不失一般性，我们只考虑（5-1）有平凡解0=x ，因为若（5-1）有不平凡解(t)ϕ=y ，令)(t x y ϕ-=则（5-1）式可化为),())(,())(,()(,y t f t t g t y t g t dtdx dt dy ∆ϕϕϕ=-+=-= （5-2） 显然，（5-2）式有平凡解0=y 。
数值计算方法心得共(1)
数值计算方法心得共(1)数值计算方法心得共数值计算方法是计算数学的一个重要分支，主要研究数学问题的数值解法。
在大量科学计算、数据处理和工程技术中，数值计算方法都扮演着至关重要的角色。
作为一名计算机相关专业的学生，我学习了数值计算方法课程并在实践中有所收获。
以下是我总结的数值计算方法心得，与大家分享：1.理解数值计算方法的一般过程。
将求解问题分为离散、逼近和求解三个步骤。
首先，将问题离散化，选择合适的插值基函数，并对区间进行划分。
然后，对离散得到的数据进行逼近处理，通过多项式、二次等方法找到一个近似解。
最后，采用数值方法求得近似解的精确解，如迭代算法进行处理。
2.明确数值计算方法的精度误差。
数值计算方法不可避免地存在精度误差，在计算中需要逐步放大误差并予以削减。
比如，大多数数值方法需要采用将一个实数划分成有限位小数，并在计算中注意保留正确的有效数字，同时避免计算中出现截断误差或者舍入误差。
3.了解数值方法的收敛性。
数值计算方法在不同的算法中附带着不同的收敛性要求，包括渐进收敛性和一致收敛性等。
需要在使用算法的过程中结合实际的计算结果和模拟案例进行评估和预估，评估其收敛速度和精度。
4.明确多项式插值方法的原理。
其中，对于多项式插值，需要了解拉格朗日插值法和牛顿插值法的基本思路和原理。
这些方法都依靠于在已知区间的基础上，求得一个高次多项式的系数来拟合出曲线近似图形，在计算中可用以代替原方程式求解，从而提高运算效率。
5.善于使用计算软件进行求解。
现代计算机专业的学习没有实际操作中的数据，是第一大损失。
在数值计算中，利用Matlab,Matematica或Python等多功能软件能够轻松计算出大量的解和逼近方程式，增加自己对算法思想的理解和熟练度。
总之，数值计算方法是一项复杂而细致的学术研究，需要不断地锻炼、实践和总结才能掌握其基本理论和实际应用。
尤其对于计算机专业的学生来说，数值计算方法是一个重要的必修课程，需要在实际操作中熟练掌握数值方法的基本思路和应用技巧。
数值分析知识点大全总结
数值分析知识点大全总结一、数值计算方法数值计算方法是数值分析的基础，它涵盖了数值逼近、数值积分、插值与拟合、数值微分与数值积分、解线性方程组、求解非线性方程与方程组、解常微分方程等内容。
下面我们将逐一介绍这些方面的知识点。
1. 数值逼近数值逼近是研究如何用简单的函数来近似一个复杂的函数的方法。
常见的数值逼近方法包括多项式逼近、三角函数逼近、曲线拟合等。
其中，最为重要的是多项式逼近，它可以用来近似任意函数，并且具有较好的数学性质。
2. 数值积分数值积分是研究如何用离散的数据来估计连续函数的积分值的方法。
常见的数值积分方法包括梯形公式、辛普森公式、龙贝格公式等。
其中，辛普森公式是一种较为精确的数值积分方法，它可以用来估计任意函数的积分值，并且具有较好的数值稳定性。
3. 插值与拟合插值与拟合是研究如何用离散的数据来构造连续函数的方法。
常见的插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值等。
而拟合方法则是研究如何用简单的函数来拟合复杂的数据，常见的拟合方法包括最小二乘法、最小二乘多项式拟合等。
4. 数值微分与数值积分数值微分与数值积分是研究如何用差分方法来估计导数与积分的值的方法。
常见的数值微分方法包括向前差分、向后差分、中心差分等。
而数值积分方法则可以直接用差分方法来估计积分的值。
5. 解线性方程组解线性方程组是研究如何用迭代法或直接法来求解线性方程组的方法。
常见的迭代法包括雅各比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。
而直接法则是指用消元法来求解线性方程组的方法。
6. 求解非线性方程与方程组求解非线性方程与方程组是研究如何用迭代法来求解非线性方程与方程组的方法。
常见的迭代法包括牛顿法、割线法等。
其中，牛顿法是一种非常高效的求解非线性方程与方程组的方法，它具有收敛速度快的特点。
7. 解常微分方程值积分方法包括龙格-库塔法、变步长欧拉法、变步长龙格-库塔法等。
其中，龙格-库塔法是一种较为精确的数值积分方法，它可以用来求解各种类型的常微分方程。
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2 i
i0
最小，其中
n
i aij x j bi j1
i 1, 2,L , m
则称 x*为该超定方程组的最小二乘解。
2
令
J ( x1 , x2 ,L , xn )
m
2 i
m
n
aij x j bi
i 1
i1 j1
求其最小值。 由多元函数取极值的必要条件有
J 0
xk
k 1, 2,L , n
设线性方程组为 Amn x b
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 L a2n xn b2 am1 x1 am2 x2 L amn xn bm
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m
若能找到一组向量 x* ( x1* , x2* ,L , xn* )T 使得
第一步:先选定一组函数 ( x) ( x) {0( x),1( x),L ,n( x)}
使
( x) a00 ( x) a11( x) L ann ( x)
其中 a1,a2, …an 为待定系数。
第二步: 确定a1,a2, …an 的准则（最小二乘准则）：
使n个点（xi,yi) 与曲线 y=φ(x) 的距离i 的平方和最小 。
i ( xi ) f ( xi ), i 1, 2,L , m
按某种度量标准为最小。
常用原则：残差平方和最小
m
m
min 2 2
2 i
[ ( xi ) yi ]2
i0
i0
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线性最小二乘拟合函数的选取
( x) a00 ( x) a11( x) L ann ( x) 1. 通过机理分析建立数学模型来确定 (；x)
LLL
amk (am1 x1 am2 x2 L amn xn ) amkbm 0
11
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a1k (a11 x1 a12 x2 L a1n xn ) a1kb1
a2k (a21 x1 a22 x2 L a2n xn ) a2kb2
LLL
J 0 xk
amk (am1 x1 am2 x2 L amn xn ) amkbm 0 k 1, 2,L , n
记
m
m
J (a1 , a2 ,L an )
2 i
[ ( xi ) yi ]2
i 1
i 1
问题归结为，求 a1,a2, …an 使 J(a1,a2, …an) 最小。
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最小二乘法的求解：预备知识
当线性方程组的方程个数多于未知数的个数时， 方程组没有通常意义下的解，这类方程组称为超定方 程组或矛盾方程组。
2. 将数据 (xi,yi) i=1, …n 作图，通过直观判断确定( x：)
φ=a1+a2x +
++
++
φ=a1+a2x+a3x2 +
+
+ +
+
φ=a1+a2x+a3x2
++ +
+ +
φ=a1+a2/x +
+++ +
7
φ=aebx + +
++ +
+ φ=ae-bx + + ++
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曲线拟合问题最常用的解法——线性最小二乘法的基本思路
求600C时的电阻R。
1100
1000
设 R=at+b
900
a,b为待定系数
800
700
20
406080 Nhomakorabea100
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拟合问题引例2
已知一室模型快速静脉注射下的血药浓度数据(t=0注射300mg) t (h) 0.25 0.5 1 1.5 2 3 4 6 8
c (g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01
函数插值与曲线拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似， 由于近似的要求不同，二者的数学方法上是完全不同的。
本专题的目的之一是：了解插值和拟合的基本内容及 方法；
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一、拟合问题
假设已获得某函数关系的成批离散实验数据或观 测数据，拟合问题就是为这样的大量离散数据建立对 应的、近似的连续模型的一种应用基础问题。所建立 的模型的基本形式是一条曲线（一元曲线），称为拟 合曲线或经验公式。
[a1k , a2k ,L
amk
]
a11 a21
a12 a22
L L
M M L
am1 am2 L
2a2k (a21 x1 a22 x2 L a2n xn b2 )
LLL
2amk (am1 x1 am2 x2 L amn xn bm ) 0
即
a1k (a11 x1 a12 x2 L a1n xn ) a1kb1
a2k (a21 x1 a22 x2 L a2n xn ) a2kb2
求血药浓度随时间的变化规律c(t).
作半对数坐标系(semilogy)下的图形
2
10
c(t) c0ekt
101
c0 , k为待定系数
0
10
0
2
4
6
8
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曲线拟合问题的提法
已知一组观测数据： ( xi , yi ) i 1, 2,L , m 要求在某特定函数类( x) 中寻找一个函数(x)作为 y f (x) 的近似函数，使得二者在节点产生的残差
它不要求目标模型（即拟合曲线）精确地过已知 的各离散点，只要求目标模型符合已知离散点分布的 总体轮廓，并与已知离散点的误差按某种意义尽量地 小。
通常采用“误差的平方和最小”的原则，即最小 二乘拟合问题。
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拟合问题引例1
已知热敏电阻数据：温度t(0C) 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7 电阻R() 765 826 873 942 1032
数学建模教程
拟 合与 插 值
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在大量的应用领域中，人们经常面临这样的问题： 给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或 曲面。对这个问题有两种方法。
一种是插值法，数据假定是正确的，要求以某种方法描述数 据点之间所发生的情况。
另一种方法是曲线拟合或回归。人们设法找出某条光滑曲线， 它最佳地拟合数据，但不必要经过任何数据点。
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m
J
2 i
(a11 x1 a12 x2 L
a1n xn
b1 )2
i 1
(a21 x1 a22 x2 L a2n xn b2 )2
LLL
(am1 x1 am2 x2 L amn xn bm )2
J xk 2a1k (a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1 )