不定积分概念-PPT课件
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课件+经济数学基础+罗国湘+高等教育出版社-第3章 不定积分
(12) ∫
d
1− 2
= arcsin + ;
= arctan + .
注意 （1）与基本求导公式一样,这些基本积分公式必须熟记，它们是积分运算的基础;
(2) 上述积分公式中积分变量换成其他变量仍成立. 如 ∫ e d = e + , ∫ cos d = sin + .
න
1
1
令 =3 1
cos 3 d = න cos 3 d(3)
=
න cos d = sin +
3
3
3
回代 1=3 + . Nhomakorabea3
验证可知, 结论正确.
第二节 不定积分的积分方法
二、第一换元积分法（凑微分法）
一般地, 有
න ()d = න [()]′ ()d = න [()]d()
(8) ∫
(9) ∫
1
sin2
d = ∫ csc 2 d = −cot +
(11) ∫ csc cot d = −csc + ;
(13) ∫
d
1+ 2
1
cos2
d = ∫ sec 2 d = tan + ;
(10) ∫ sec tan d = sec + ;
注意, 求 ∫ ()d 时, 切记 “ + ”, 否则求出的只是一个原函数而不是不定积分.
第一节 不定积分的概念与性质
一、不定积分的概念——几何意义
在直角坐标系中，（）的任意一个原函数（）的图形
是一条曲线 = （），这条曲线上任意点（，（））处
的切线的斜率F′（x）恰为函数值（），称这条曲线为（）
高职课件《高等数学》第四章不定积分课件
9 csc2x dx cotx C ;
10
dx arcsinx C ;
1 x2
11
dx arctanx C ; 1 x2
例4.1.2 求
x2
x
1 x2
dx
。
解 根据基本积分表中的公式(2)及不定积分的性质(4)得：
x2
x
1 x2
dx
x2
1
x2
1 x2
dx
例4.1.1 求 cosxdx 。
解 因为sinx' cosx，所以 cosxdx sinx C
如果忘记写常数 C，那就意味着你只找到了cosx 的一个原函数。
4.1.2不定积分的性质
根据不定积分的概念，可以推得如下性质：
(1)
d dx
f
x
dx
f x ；
(2) f ' x dx f x C
4.1.3 不定积分的几何意义
由 f x 的原函数族所确定的无穷多条曲线 y F x C 称为f x 的积 分曲线族。在 f x 的积分曲线族上，对应于同一 x 的点，所有曲线都
有相同的切线斜率，这就是不定积分的几何意义。 例如
2xdx x2 C
被积函数 2x 的积分曲线族就是 y x2 C ，即一族抛物线。对 应于同一 x 的点，这些抛物线上的切线彼此平行且具有相同的斜 率2x，如图4-1所示。
(由性质(1)和(2)可知，求导与求积是两个互逆的运算)；
(3) k f x dx k f x dxk为常数
(4) f x g x dx f x dx g x dx ； (5) d f x dx f x dx ； (6) df x = f ' x dx f x C 。
不定积分的概念及其性质省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
1
1
x4
dx
x2(1
x
2
dx )
1 x4
dx
[
1 x2
1
1 x2
]dx
1 x3 x1 arctan x C 3
例7.
2
3x
3x
5
2
x
dx；
解：
2
3x
3x
5
2
x
dx
2
dx
5
(
2 ) x dx 3
2x 5 (2 / 3)x C ln(2 / 3)
例8. 设函数 f ( x) 定义于 (0, ) 上，并且满足
积分号
原函数存在定理： 如果函数 f ( x) 在区间 I 内连续， 那么在区间 I 内存在可导函数 F ( x),使 x I ,都有 F ( x) f ( x).
连续函数一定有原函数.
例1 求 x5dx.
解
x6 x5 , x5dx x6 C .
6
6
例2
求
1
1 x
2
dx.
解
arctan
F ( x)，使得： F ( x) f ( x)，x X 或 dF ( x) f ( x)dx 则称 F ( x) 是 f ( x) 的一个原函数，f ( x)的全部原函 数称为 f ( x) 的不定积分(indefinite integral)，记作： f ( x)dx 若 f ( x) 存在原函数，也称 f ( x) 可积。
分
表
(3)
dx x
ln
|
x
|
C;
阐明： x 0,
dx ln x C,
x
x 0, [ln( x)] 1 ( x) 1 ,
高等数学——不定积分课件
cos x cos2 x
dx
1
d
sin sin
x
2
x
1 2
1 1 sin
x
1 1 sin x
d
sin
x
1 ln 1 sin x ln 1 sin x C
2 1 ln 1 sin x C
2 1 sin x
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例11. 求
(x2
x3 a2
3
)2
dx
1
(
1
1
)
(x a)(x a) 2a x a x a
∴
原式
=
1 2a
dx xa
dx xa
1 2a
d(x a) xa
d(x a) xa
1 ln x a ln x a C 1 ln x a C
2a
2a xa
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(6) f (tan x)sec2 xdx
d
t
ln sect tan t C1
ln
x2 a2
x a
C1
x2 a2 x t a
(C C1 ln a)
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第四章 不定积分
微分法: F(x) ( ? ) 互逆运算
积分法: ( ? ) f (x)
第一节 不定积分的概念与性质
一、 原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、不定积分的性质
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一、 原函数与不定积分的概念
引例: 一个质量为 m 的质点, 在变力 下沿直线运动 , 试求质点的运动速度
根据牛顿第二定律, 加速度
因此问题转化为: 已知 v(t) A sin t , 求 v(t) ? m
ppt-0401--不定积分的概念与性质
2 x3dx 5 x2dx 4xdx 3dx
2 x3dx 5 x2dx 4 xdx 3 dx
1 2
x4
5 3
x3
2
x2
3x
C.
注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意 常数．由于任意常数之和仍是任意常数，因此只 要写出一个任意常数即可
例7 求 (3x 2sin x)dx
即
f (x)dx F(x) C，
其中记号"称" 为积分号，f (x)称为被积函数，f (x)dx称为
被积表达式，x称为积分变量，C为积分常数.
例1 求 x4dx.
解
(
x5)'
5
x4，
x4dx
x5
5
C.
例2 求
1
1
x
2
d
x.
解
(arctan
x)'
1
1 x
2
(
x
)，
所以在 x 上有 1
例3 设曲线通过点(2.,3)，,且其上任一点的切线斜率等 于这点的横坐标，求此曲线方程 .
解 设所求的曲线方程为 y f ( x)，依题意可知
y' x ，
把(2, 3)代入上述方程，得
C 1 ，
y
xdx
1 2
x2
C
因此所求曲线的方程为 x2
y 1 2
4 不定积分与微分的关系
微分运算与积分运算互为逆运算.
x2
，3x
3
是函数
x 2在
(,)上的原函
数.(sin x)' cos x，sin x是cos x在(,) 上的原函数.
又如d(sec x)=sec x tan xdx,所以sec x是sec x tan x
2 x3dx 5 x2dx 4 xdx 3 dx
1 2
x4
5 3
x3
2
x2
3x
C.
注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意 常数．由于任意常数之和仍是任意常数，因此只 要写出一个任意常数即可
例7 求 (3x 2sin x)dx
即
f (x)dx F(x) C，
其中记号"称" 为积分号，f (x)称为被积函数，f (x)dx称为
被积表达式，x称为积分变量，C为积分常数.
例1 求 x4dx.
解
(
x5)'
5
x4，
x4dx
x5
5
C.
例2 求
1
1
x
2
d
x.
解
(arctan
x)'
1
1 x
2
(
x
)，
所以在 x 上有 1
例3 设曲线通过点(2.,3)，,且其上任一点的切线斜率等 于这点的横坐标，求此曲线方程 .
解 设所求的曲线方程为 y f ( x)，依题意可知
y' x ，
把(2, 3)代入上述方程，得
C 1 ，
y
xdx
1 2
x2
C
因此所求曲线的方程为 x2
y 1 2
4 不定积分与微分的关系
微分运算与积分运算互为逆运算.
x2
，3x
3
是函数
x 2在
(,)上的原函
数.(sin x)' cos x，sin x是cos x在(,) 上的原函数.
又如d(sec x)=sec x tan xdx,所以sec x是sec x tan x
《不定积分》ppt课件
2
2
a2 x2 dx x a2 x2 a2 arcsin x C
2
2
a
.
+ 除牢记积分公式外，还需熟练运用几种常 用方法：
+ 〔1〕换元积分法 + 〔2〕分部积分法 + 〔3〕有理函数积分法〔运用分式变形处置
积分函数联络积分根本公式〕
.
+ 关于换元法的问题 不定积分的换元法是在复合函数求导法那 么的根底上得来的，我们应根据详细实例 来选择所用的方法，求不定积分不象求导 那样有规那么可依，因此要想熟练的求出 某函数的不定积分，只需作大量的练习。
ln a
shxdx chx C
chxdx shx C
dx
ln( x
x2 a2
x2 a2 ) C
I n
2
sin n
0
2
xdx cosn
0
xdx
n 1
n
I n2
x 2 a 2 dx x 2
x 2 a 2 a 2 ln( x 2
x2 a2 ) C
x 2 a 2 dx x 2
2
2
2
.
2.第一类换元法 利用复合函数的一阶微分形式的不变性，通过变量代换求不定积分
简记为
g（x） dx = f φ（x） φ‘（x）dx
例 1.求
e x dx
2x
解：令u =
x，原式= e x d x =
eu du = eu + C = e x + C
例 2.求
arcsin x−x2
x
dx
解
：
令
dt
=
1 4
1 t−3
−
高等数学 课件 PPT 第四章 不定积分
如果一个函数存在原函数，那么这些原函数之间有什 么关系呢？
一、原函数的概念
定理2
若F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数,则F(x)+C（C为任意 常数）是fx在区间I上的全体原函数.
定理2说明,若一个函数有原函数,则它必有无穷多个原函数,且 它们彼此相差一个常数. 事实上，设F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则
g(x)=f［φ(x)］φ′(x)． 作变量代换u=φ(x)，并将φ′(x)dx凑微分成dφ(x)，则可将关 于变量x的积分转化为关于变量u的积分，于是有
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du． 如果∫f(u)du 可以求出，那么∫g(x)dx 的问题也就解决了，这就 是第一类换元积分法，又称为凑微分法．
一、第一类换元积分法
【例1】
解 本题的关键是将2xdx凑微分得dx2，然后令u=x2，则
【例2】
解 先将被积表达式中的sec2xdx凑微分得dtanx，然后令 u=tanx，再积分，即
一、第一类换元积分法
【例3】
一、第一类换元积分法
注意
（1）求不定积分的方法不唯一，不同方法算出的 答案也不相同，但它们的导数都是被积函数，经过恒等 变形后可以互化，其结果本质上只相差一个常数．
对于给定的函数fx具备什么条件才有原函数？这个问题将 在下一章讨论，这里先介绍一个结论.
一、原函数的概念
定理1
（原函数存在定理）若函数f(x)在区间I上连续,则函数 f(x)在区间I上存在原函数F(x).
由于初等函数在其定义区间上都是连续的,所以初等函 数在其定义区间上都存在原函数. 如果一个函数存在原函数，那么它的原函数是否唯一？事 实上，函数fx的原函数不是唯一的.例如，x2是2x的一个原 函数，而(x2+1)′=2x，故x2+1也是2x的一个原函数.
一、原函数的概念
定理2
若F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数,则F(x)+C（C为任意 常数）是fx在区间I上的全体原函数.
定理2说明,若一个函数有原函数,则它必有无穷多个原函数,且 它们彼此相差一个常数. 事实上，设F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则
g(x)=f［φ(x)］φ′(x)． 作变量代换u=φ(x)，并将φ′(x)dx凑微分成dφ(x)，则可将关 于变量x的积分转化为关于变量u的积分，于是有
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du． 如果∫f(u)du 可以求出，那么∫g(x)dx 的问题也就解决了，这就 是第一类换元积分法，又称为凑微分法．
一、第一类换元积分法
【例1】
解 本题的关键是将2xdx凑微分得dx2，然后令u=x2，则
【例2】
解 先将被积表达式中的sec2xdx凑微分得dtanx，然后令 u=tanx，再积分，即
一、第一类换元积分法
【例3】
一、第一类换元积分法
注意
（1）求不定积分的方法不唯一，不同方法算出的 答案也不相同，但它们的导数都是被积函数，经过恒等 变形后可以互化，其结果本质上只相差一个常数．
对于给定的函数fx具备什么条件才有原函数？这个问题将 在下一章讨论，这里先介绍一个结论.
一、原函数的概念
定理1
（原函数存在定理）若函数f(x)在区间I上连续,则函数 f(x)在区间I上存在原函数F(x).
由于初等函数在其定义区间上都是连续的,所以初等函 数在其定义区间上都存在原函数. 如果一个函数存在原函数，那么它的原函数是否唯一？事 实上，函数fx的原函数不是唯一的.例如，x2是2x的一个原 函数，而(x2+1)′=2x，故x2+1也是2x的一个原函数.
4.不定积分。PPT
三、 不定积分的几何意义
如果 F(x)是 f (x)的一个原函数，则 f (x)
的不定积分 f (x)dx F(x) C．对于每一给
定的常数 C ，F(x) C 表示坐标平面上的一 条确定的曲线，这条曲线称为 f (x)的一条积 分曲线．由于 C 可以取任意值，因此不定积
分 f (x)dx 表示 f (x) 的一族积分曲线．
sin x 1 sin3 x c 3
例 4 求不定积分 3xexdx ．
解 3xexdx (3e)xdx (3e)x c 3xex c
ln 3e 1+ ln 3
4-2 不定积分的直接积分法
例 5 求不定积分
x4 1 x2
dx
．
解
x4
(x4 1) 1
1 x2 dx 1 x2 dx
x4 x2
1dx 1
1 1 x2
4-1不定积分的概念与性质
一般，如果F(x)是 f (x)的一个原函数，则 f (x)的全部原函数就是 F(x) C ( C为任意常 数)．
那么一个函数满足什么条件, 它的原函数 一定存在呢?
如果函数f(x)在区间［a,b］上连续,则在该 区间上f(x)的原函数一定存在.
4-1不定积分的概念与性质
第4章 不定积分
第4章 不定积分
4-1 不定积分的概念与性质 4-2 不定积分的直接积分法 4-3 换元积分法 4-4 分部积分法
4-1不定积分的概念与性质
一、 不定积分的概念 二、 不定积分的性质 三、 不定积分的几何意义
4-1不定积分的概念与性质
一、 不定积分的概念
1. 原函数 定义4.1 设 f (x)是定义在区间 (a,b)内的
其中 C 称为积分常数．
如果 F(x)是 f (x)的一个原函数，则 f (x)
的不定积分 f (x)dx F(x) C．对于每一给
定的常数 C ，F(x) C 表示坐标平面上的一 条确定的曲线，这条曲线称为 f (x)的一条积 分曲线．由于 C 可以取任意值，因此不定积
分 f (x)dx 表示 f (x) 的一族积分曲线．
sin x 1 sin3 x c 3
例 4 求不定积分 3xexdx ．
解 3xexdx (3e)xdx (3e)x c 3xex c
ln 3e 1+ ln 3
4-2 不定积分的直接积分法
例 5 求不定积分
x4 1 x2
dx
．
解
x4
(x4 1) 1
1 x2 dx 1 x2 dx
x4 x2
1dx 1
1 1 x2
4-1不定积分的概念与性质
一般，如果F(x)是 f (x)的一个原函数，则 f (x)的全部原函数就是 F(x) C ( C为任意常 数)．
那么一个函数满足什么条件, 它的原函数 一定存在呢?
如果函数f(x)在区间［a,b］上连续,则在该 区间上f(x)的原函数一定存在.
4-1不定积分的概念与性质
第4章 不定积分
第4章 不定积分
4-1 不定积分的概念与性质 4-2 不定积分的直接积分法 4-3 换元积分法 4-4 分部积分法
4-1不定积分的概念与性质
一、 不定积分的概念 二、 不定积分的性质 三、 不定积分的几何意义
4-1不定积分的概念与性质
一、 不定积分的概念
1. 原函数 定义4.1 设 f (x)是定义在区间 (a,b)内的
其中 C 称为积分常数．
高等数学第四章 第二节不定积分 课件
1 x+ 1 例17 求 ∫ (1 − 2 )e x dx . x ′ 1 1 解 ∵ x + = 1− 2 , x x
1 ∴ ∫ (1 − 2 )e x = ∫e
x+ 1 x
x+
1 x
dx
1 x+ 1 d( x + ) = e x + C. x
例18 求 解
cot x dx ∫ ln sin x
同样可证
∫ csc xdx = ln csc x − cot x + C
或
x 1 1 − cos x = ln tan + C = ln + C. 2 1 + cos x 2
1 dx . 例12 求∫ 1 + cos x 1 1 − cos x 解法一 ∫ dx = ∫ dx 1 + cos x (1+ cos x)(1− cos x) 1 − cos x 1 1 dx = ∫ 2 dx − ∫ 2 d (sin x ) =∫ 2 sin x sin x sin x 1 = − cot x + + C. sin x
x x
1 8) ∫ f ( x ) d x = 2∫ f ( x )d x x
1 9) ∫ f (arctan x) d x = ∫ f (arctan x)darctan x 2 1+ x
例7. 求
dln x 1 d(1+ 2ln x) 解: 原式 = ∫ = ∫ 1+ 2ln x 2 1+ 2ln x
其中 ψ − 1 ( x ) 是 x = ψ ( t ) 的反函数。 的反函数。
d (( ∫ f [ψ ( t )]ψ ′( t ) dt )
《不定积分教学》课件
不定积分的性质
总结词
不定积分的性质是理解不定积分的关键，它包括比较定理、积分中值定理等。
详细描述
比较定理指出，如果一个函数在某个区间上大于或小于另一个函数，那么它的不定积分在相应的区间上也大于或 小于另一个函数的不定积分。积分中值定理则指出，如果一个函数在某个区间上连续，那么在这个区间上至少存 在一点，使得函数在该点的值等于函数在该区间上的不定积分值的平均值。
在电磁学中，不定积分可以用于 求解电场、磁场、电流等物理量 的分布和变化规律。
微积分基本定理
要点一
微积分基本定理
微积分基本定理是微积分学中的核心定理之一，它建立了 不定积分和定积分之间的联系，即牛顿-莱布尼茨公式。
要点二
计算方法
通过微积分基本定理，可以计算定积分的值，从而得到原 函数或物理量的具体数值。
针对学生在使用换元法和分部积分法时存在的问 题，加强相关训练。
及时总结与反思
学生应及时总结解题经验，反思自己在解题过程 中存在的问题，以便进一步提高。
05
总结与回顾
本章重点回顾
不定积分的概念
回顾了不定积分的定义、性质和计算方法，以及不定积分与原函数 的关系。
不定积分的计算方法
总结了不定积分的多种计算方法，包括直接积分法、换元积分法、 分部积分法等，并给出了相应的例题和练习题。
C)，其中 (C) 是积分常数。
换元积分法
总结词
换元积分法是通过引入新的变量来简化 不定积分计算的方法。
VS
详细描述
换元积分法的关键是选择适当的换元，将 复杂的不定积分转化为简单的不定积分或 已知的积分。通过换元，可以将不定积分 的被积函数转化为更易于处理的形式，从 而简化计算过程。
数学分析PPT课件第四版华东师大研制--第8章-不定积分(1)可编辑全文
例6 求sec xdx.
解
(解法一)
sec xdx
cos x
cos2 x
dx
d(sin x)
1 sin2 x
1 ln 1 sin x C. 2 1 sin x
(解法二) sec
xdx
sec x(sec x tan sec x tan x
x)
dx
d(sec x tan x sec F (x)是 f (x) 的一个原函数, 则称 y = F (x) 的图
像是 f (x) 的一条积分曲线.
所有的积分曲线都是
y
y F(x) C
由其中一条积分曲线
y F(x)
沿纵轴方向平移而得 到的.
( x0 , y0 )
O
x
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满足条件 F( x0 ) y0 的原函数正是在积分曲线中 通过点( x0 , y0 )的那一条积分曲线. 例如, 质点以匀速 v0 运动时, 其路程函数
法则. 定理 8.3 (不定积分的线性运算法则)
若函数 f 与 g 在区间 I 上都存在原函数, k1, k2为
任意常数, 则 k1 f k2 g 在 I上也存在原函数, 且
( k1 f ( x) k2g( x) )dx k1 f ( x)dx k2 g( x)dx.
例1 p( x) a0 xn a1 xn1 an1x an , 则
s(t) v0 dt v0 t C.
若 t0 时刻质点在 s0 处, 且速度为 v0, 则有 s (t ) v0(t t0 ) s0 .
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四、基本积分表
由基本求导公式可得以下基本积分公式:
1. 0dx C.
2. 1dx dx x C. 3. xdx x1 C ( 1, x 0).
不定积分的概念【高等数学PPT课件】
1)
dx
1
dx x
2
1 x3 x arctan x C 3
例8. 设
f ( x3 )
1 x2
求
f (x)
解: 令 x3 t x 3 t
f (t)
1
2
t3
f
(t )dt
1 2 dt
t3
1
即 f (t) 3t 3 c
例9. 质点在距地面 处以初速 垂直上抛 , 不计阻 力, 求它的运动规律.
v0t
x0
解:
y
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) , 故有
(1, 2)
o
x
因此所求曲线为 y x2 1
从不定积分定义可知:
(1)
d dx
f (x)d x
f (x)
或 d
f (x)dx
f (x)dx
(2) F(x) dx F (x) C 或 d F (x) F (x) C
f (x)dx ki fi (x)dx i 1
例4. 求
解: 原式 = [(2e)x 5 2x )dx
(2e)x 5 2x C ln(2e) ln 2
2
x
ln
ex 2
1
5 ln 2
C
例5. 求
解: 原式 = (sec2x 1)dx sec2xdx dx tan x x C
f ( x)dx F( x) C
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达
不定积分课件
THANKS
03 不定积分的实际应用
物理问题中的应用
速度和加速度
通过不定积分计算物体的速度和 加速度，解决与运动学相关的物 理问题。
功和能量
不定积分可以用来计算力对物体 所做的功以及物体的能量变化， 解决与力学相关的物理问题。
电流和电压
不定积分可以用来计算电流和电 压的积分形式，解决与电磁学相 关的物理问题。
不定积分的几何意义
不定积分表示函数在某个区间上的面积，即函数图像与x轴围成的面积。
不定积分的性质
线性性质
对于任意常数C和D，有∫[f(x)+g(x)]dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx。
积分区间可加性
对于任意区间[a,b]和[b,c]，有∫f(x)dx=[∫f(x)dx]ab+[∫f(x)dx]bc。
工程问题中的应用
流体动力学
不定积分可以用来计算流体动力学中的流速、压力和 阻力等参数。
热力学
不定积分可以用来计算热力学中的温度、热量和熵等 参数。
控制工程
不定积分可以用来分析和设计控制系统，例如PID控 制器的设计和分析。
经济问题中的应用
01
02
03
成本和收益
不定积分可以用来计算成 本和收益的积分形式，解 决与经济学相关的经济问 题。
不定积分课件
目录
Contents
• 不定积分的基本概念 • 不定积分的计算方法 • 不定积分的实际应用 • 不定积分的注意事项与难点解析 • 不定积分的典型例题解析 • 不定积分的练习题与答案解析
01 不定积分的基本概念
不定积分的定义
原函数与不定积分
不定积分是微分的逆运算，给定一个函数f(x)，如果存在一个函数F(x)，使得 F'(x)=f(x)，则称F(x)是f(x)的一个原函数，记作∫f(x)dx=F(x)+C，其中C是常数 。
不定积分的概念和性质32页PPT
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
谢谢！
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
不定积分的概念和性质
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
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(P185)
x— 积分变量; f (x)dx — 被积表达式.
若 F (x)f(x),则
例如,
f(x)dxF(x)C ( C 为任意常数 )
exdx exC
x2dx
1 3
x3
C
C 称为积分常数, 不可丢 !
sinxdx co x C s
从不定积分定义可知:
(1)
x2(11 x2)(1 x2(x12 )x2)x 2
1 x2
11x2
(2) si2n x1 co 2xs ssi2in 2 xn x cco 2 o2xxss se 2xccs 2xc
Thank you
x 0时 (ln x) [ln x )( ] 1
x
(4)
dx 1x2
arcx tC an或
ac rx c o C t
(5)
dx arcx sC in 或 ac rx o c C s
1x2
(6) coxdsxsixnC
(7) sixndx co x C s (8) codsx2xse2cxdx taxn C (9) sidn2xx cs2cxdx co x C t
它属于函数族 F(x)C.
定理 2. 若F(x)是f(x)的一个原,则 函f (数 x)的所有 原函数都在函数族 F(x)C( C 为任意常数 ) 内 .
定义 2. f (x) 在区间 I 上的原函数全体称为 f (x)在I
上的不定积分, 记作 f(x)dx, 其中
— 积分号;
f (x) — 被积函数;
第四章
不定积分
微分法: F(x)(?) 互逆运算
积分法: (?)f(x)
第一节
第四章
不定积分的概念与性质
一、 原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、不定积分的性质
一、 原函数与不定积分的概念
定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 满足 F(x)f(x)或 d F (x )f(x )d x ,则称 F (x) 为f (x) 在区间 I 上的一个原函数 .
1) (F(x)C )F(x)f(x)
F(x)C是f(x)的原函数
2)设(x)是f(x)的任一原 ， 即 函数
(x)f(x)
又知
(x)F (x)f(x )f(x ) 0
故
(x)F (x) C 0(C0为某个常)数
i1
n
f(x)dxkifi(x)dx i1
例5. 求 2x(ex5)dx. 解: 原式 [2 (ex)52x]dx
( 2 e) x 5 2 x C ln( 2 e) ln 2
2xlne2x1ln52 C
例6. 求 tan2xdx. 解: 原式 = (se2xc1)dx
求 (? )f(x) 即 (? )sixn
或由题意 f(x ) cx o C 1 s,其原函数为
f (x)dx sx i n C 1 x C 2
2. 求下列积分:
(1 )x2(1 d xx2);
(2 )s2 ix d n c x2 o x.s
提示:
(1)
se2xcdxdx ta x x n C
例7. 求
1 x x2 x (1 x2)
dx
.
解: 原式 =
x (1 x2) x(1 x2)
dx
1 1 x2
dx
1 x
dx
arcxtalnnx C
例8. 求
1
x
4
x
2
dx
.
解: 原式 = (x141x)21dx
例4. 求 si2 n xco2 xsdx. 解: 原式= 12sinxdx 1 2coxsC
三、不定积分的性质
1. kf(x)dxk f (x)dx (k0) 2.[f(x)g(x)d ]xf(x)dxg(x)dx
n
推论: 若 f (x)ki fi(x), 则
(x211)(xx221)1dx
(x21)dx1 dxx2
1x3xarcxt aC n 3
内容小结
1. 不定积分的概念 • 原函数与不定积分的定义 • 不定积分的性质 • 基本积分表 (见P188)
2. 直接积分法: 利用恒等变形, 积分性质 及 基本积分公式进行积分 .
分项积分 常用恒等变形方法 加项减项
利用三角公式 , 代数公式 ,
思考与练习
1. 若 f (x) 的导函数为 sinx, 则 f (x) 的一个原函数
是( B ).
(A ) 1sixn ; (B ) 1sixn ; (C ) 1co x;s (D ) 1co x.s
提示: 已知 f(x)sixn
d
dx
f (x)dx f(x)或
d
f (x)dx
f(x)dx
(2 )F(x)d x F(x) C或 dF(x)F(x)C
二、 基本积分表 (P188)
利用逆向思维
(1) kdx kxC ( k 为常数)
(2) xdx11x1C (1)
(3) dxx lnx C
(1)0sextcaxd n xsex cC (1)1csxcco xdxt cs x c C
(1)2 exdxexC
(1)3 axdx a x C ln a
例3. 求
dx x3 x
.
解: 原式 =
x
4 3
dx
x
4 3
1
4 3
1
C
3x13 C
例如: (sx i)n coxs 则coxs就是 sinx的一个原 . 函数
问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?
2. 若原函数存在, 它如何表示 ?
定理1. 若函 f(x数 )在区 I上 间 连 , 则续 f(x)在I上
存在原函数 .
(下章证明)
初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
x— 积分变量; f (x)dx — 被积表达式.
若 F (x)f(x),则
例如,
f(x)dxF(x)C ( C 为任意常数 )
exdx exC
x2dx
1 3
x3
C
C 称为积分常数, 不可丢 !
sinxdx co x C s
从不定积分定义可知:
(1)
x2(11 x2)(1 x2(x12 )x2)x 2
1 x2
11x2
(2) si2n x1 co 2xs ssi2in 2 xn x cco 2 o2xxss se 2xccs 2xc
Thank you
x 0时 (ln x) [ln x )( ] 1
x
(4)
dx 1x2
arcx tC an或
ac rx c o C t
(5)
dx arcx sC in 或 ac rx o c C s
1x2
(6) coxdsxsixnC
(7) sixndx co x C s (8) codsx2xse2cxdx taxn C (9) sidn2xx cs2cxdx co x C t
它属于函数族 F(x)C.
定理 2. 若F(x)是f(x)的一个原,则 函f (数 x)的所有 原函数都在函数族 F(x)C( C 为任意常数 ) 内 .
定义 2. f (x) 在区间 I 上的原函数全体称为 f (x)在I
上的不定积分, 记作 f(x)dx, 其中
— 积分号;
f (x) — 被积函数;
第四章
不定积分
微分法: F(x)(?) 互逆运算
积分法: (?)f(x)
第一节
第四章
不定积分的概念与性质
一、 原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、不定积分的性质
一、 原函数与不定积分的概念
定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 满足 F(x)f(x)或 d F (x )f(x )d x ,则称 F (x) 为f (x) 在区间 I 上的一个原函数 .
1) (F(x)C )F(x)f(x)
F(x)C是f(x)的原函数
2)设(x)是f(x)的任一原 ， 即 函数
(x)f(x)
又知
(x)F (x)f(x )f(x ) 0
故
(x)F (x) C 0(C0为某个常)数
i1
n
f(x)dxkifi(x)dx i1
例5. 求 2x(ex5)dx. 解: 原式 [2 (ex)52x]dx
( 2 e) x 5 2 x C ln( 2 e) ln 2
2xlne2x1ln52 C
例6. 求 tan2xdx. 解: 原式 = (se2xc1)dx
求 (? )f(x) 即 (? )sixn
或由题意 f(x ) cx o C 1 s,其原函数为
f (x)dx sx i n C 1 x C 2
2. 求下列积分:
(1 )x2(1 d xx2);
(2 )s2 ix d n c x2 o x.s
提示:
(1)
se2xcdxdx ta x x n C
例7. 求
1 x x2 x (1 x2)
dx
.
解: 原式 =
x (1 x2) x(1 x2)
dx
1 1 x2
dx
1 x
dx
arcxtalnnx C
例8. 求
1
x
4
x
2
dx
.
解: 原式 = (x141x)21dx
例4. 求 si2 n xco2 xsdx. 解: 原式= 12sinxdx 1 2coxsC
三、不定积分的性质
1. kf(x)dxk f (x)dx (k0) 2.[f(x)g(x)d ]xf(x)dxg(x)dx
n
推论: 若 f (x)ki fi(x), 则
(x211)(xx221)1dx
(x21)dx1 dxx2
1x3xarcxt aC n 3
内容小结
1. 不定积分的概念 • 原函数与不定积分的定义 • 不定积分的性质 • 基本积分表 (见P188)
2. 直接积分法: 利用恒等变形, 积分性质 及 基本积分公式进行积分 .
分项积分 常用恒等变形方法 加项减项
利用三角公式 , 代数公式 ,
思考与练习
1. 若 f (x) 的导函数为 sinx, 则 f (x) 的一个原函数
是( B ).
(A ) 1sixn ; (B ) 1sixn ; (C ) 1co x;s (D ) 1co x.s
提示: 已知 f(x)sixn
d
dx
f (x)dx f(x)或
d
f (x)dx
f(x)dx
(2 )F(x)d x F(x) C或 dF(x)F(x)C
二、 基本积分表 (P188)
利用逆向思维
(1) kdx kxC ( k 为常数)
(2) xdx11x1C (1)
(3) dxx lnx C
(1)0sextcaxd n xsex cC (1)1csxcco xdxt cs x c C
(1)2 exdxexC
(1)3 axdx a x C ln a
例3. 求
dx x3 x
.
解: 原式 =
x
4 3
dx
x
4 3
1
4 3
1
C
3x13 C
例如: (sx i)n coxs 则coxs就是 sinx的一个原 . 函数
问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?
2. 若原函数存在, 它如何表示 ?
定理1. 若函 f(x数 )在区 I上 间 连 , 则续 f(x)在I上
存在原函数 .
(下章证明)
初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数